文档内容
专题 17 直线与圆小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
2024·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷
考点1 直线方
2018·天津卷、2016·上海卷、2016·浙江卷 1.理解、掌握直线的倾斜角与
程与圆的方程
2016·天津卷、2016·全国卷、2015·全国卷 斜率及其关系，熟练掌握直线
（10年5考）
2016·北京卷、2015·北京卷 方程的5种形式及其应用，熟
考点2 直线与 2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷、2022·天津卷 练掌握距离计算及其参数求
圆的位置关系 2020·天津卷、2018·全国卷、2016·全国卷 解，该内容是新高考卷的常考
内容，通常和圆结合在一起考
及其应用 2016·全国卷、2016·全国卷、2016·山东卷
查，需重点练习
（10年6考） 2015·湖北卷、2015·湖北卷、2015·全国卷
2.理解、掌握圆的标准方程和
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷
考点3 圆中的 一般方程，并会基本量的相关
2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷
切线问题 计算，能正确处理点与圆、直
2020·全国卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷
（10年7考） 线与圆及圆与圆的位置关系求
2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖北卷
解，能利用圆中关系进行相关
考点4 直线、 2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
参数求解，会解决圆中的最值
圆与其他知识 2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ
问题，该内容是新高考卷的必
点综合 卷2021·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·山东卷
考内容，一般考查直线与圆和
（10年7考） 2020·北京卷、、2018·全国卷、2015·全国卷
圆与圆的几何综合，需强化练
习
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国乙卷
3. 熟练掌握圆中切线问题的
考点5 直线与 2022·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国新Ⅰ卷 快速求解，该内容是新高考卷
圆中的最值及 2020·全国卷、2020·北京卷、2020·全国卷 的常考内容，需要大家掌握二
范围问题 2020·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷 级结论来快速解题，需强化练
（10年9考） 2018·全国卷、2017·江苏卷、2016·四川卷 习
2016·四川卷、2016·北京卷 4. 强化解析几何联动问题
考点01 直线方程与圆的方程1．（2024·北京·高考真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：D.
2．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方
程为 ．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .
故答案为：
3．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】 或 或 或 ．
【分析】方法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立
得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
4．（2018·天津·高考真题）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为
．
【答案】
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为 ，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得： ，则圆的方程为 .
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直
线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心
和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三
个独立等式．
5．（2016·上海·高考真题）已知平行直线 ，则 的距离是
.
【答案】
【详解】试题分析：
利用两平行线间的距离公式得 .
【考点】两平行线间距离公式
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即 的系数必须相同，本题较为容易，
主要考查考生的基本运算能力.
6．（2016·浙江·高考真题）已知 ，方程 表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．
【答案】 ； 5．
【详解】试题分析：由题意，知 ， ，当 时，方程为 ，即
，圆心为 ，半径为5，当 时，方程为 ，
不表示圆．
圆的标准方程.
由方程 表示圆可得 的方程，解得 的值，一定要注意检验 的值是否符
合题意，否则很容易出现错误．
7．（2016·天津·高考真题）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 在圆C上，且圆心到直线
的距离为 ，则圆C的方程为 .
【答案】
【详解】试题分析：设 ，则 ，故圆C的方程为
【考点】直线与圆位置关系
【名师点睛】求圆的方程有两种方法：
（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方
程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，
列出关于D，E，F的方程组求解．
（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．
8．（2016·全国·高考真题）圆 的圆心到直线 的距离为1，则
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】试题分析：由 配方得 ，所以圆心为 ，因为圆
的圆心到直线 的距离为1，所以 ，解得 ，故选A.
【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几
何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
9．（2015·全国·高考真题）过三点 ， ， 的圆交y轴于M，N两点，则
A．2 B．8 C．4 D．10【答案】C
【详解】由已知得 ， ，所以 ，所以 ，即 为直角三
角形，其外接圆圆心为AC中点 ，半径为长为 ，所以外接圆方程为 ，令
，得 ，所以 ，故选C．
考点：圆的方程．
10．（2016·北京·高考真题）圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 ( )
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【详解】试题分析：圆心坐标为 ，由点到直线的距离公式可知 ，故选C.
【考点】直线与圆的位置关系
【名师点睛】点 到直线 （即 ）的距离公式 记忆容易，
对于知 求 ， 很方便.
11．（2015·北京·高考真题）圆心为 且过原点的圆的方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：设圆的方程为 ，且圆过原点，即 ，
得 ，所以圆的方程为 .故选D.
考点：圆的一般方程.
考点02 直线与圆的位置关系及其应用
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满
足“ 面积为 ”的m的一个值 ．【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 ，以及点 到直线 的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
2．（2022·北京·高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．
3．（2022·天津·高考真题）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则
．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于 的等式，即可解得 的值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
4．（2020·天津·高考真题）已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，
则 的值为 ．
【答案】5
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离 ，进而利
用弦长公式 ，即可求得 ．【详解】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
5．（2018·全国·高考真题）直线 与圆 交于 两点，则 ．
【答案】
【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公
式即可求出．
【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用
根据题意，圆的方程可化为 ，所以圆的圆心为 ，且半径是 ，
弦心距 ，所以 ．
故答案为： .
［方法二］：距离公式的应用
由 解得： 或 ，不妨设 ，
所以 ．
故答案为： .
［方法三］：参数方程的应用
直线 的参数方程为 ，将其代入 ，可得
，化简得 ，从而 ，所以 ．
故答案为： .
【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算
偏麻烦；
方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．
6．（2016·全国·高考真题）已知直线 ： 与圆 交于 两点，过 分别作 的
垂线与 轴交于 两点.则 .
【答案】4【详解】试题分析：由 ，得 ，代入圆的方程，整理得 ，解得
，所以 ，所以 ．又直线 的倾斜角为 ，
由平面几何知识知在梯形 中， ．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代
数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出
图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
7．（2016·全国·高考真题）已知直线 ： 与圆 交于 ， 两点，过 ， 分
别作 的垂线与 轴交于 ， 两点，若 ，则 ．
【答案】4
【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.
【详解】因为 ，且圆的半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为
，则由 ，解得 ，代入直线 的方程，得 ，所以直线
的倾斜角为 ，由平面几何知识知在梯形 中， ．
故答案为4
【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数
化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图
形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
8．（2016·全国·高考真题）设直线 与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若 ，则圆
C的面积为
【答案】
【详解】因为圆心坐标与半径分别为 ，所以圆心到直线的距离 ，则
，解之得 ，所以圆的面积 ，应填答案 ．
9．（2016·山东·高考真题）已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则
圆 与圆 的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【详解】化简圆 到直线 的距离，
又 两圆相交. 选B
10．（2015·湖北·高考真题）如图，已知圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点A，B（B在A
的上方），且 ．
（Ⅰ）圆 的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆 在点 处的切线在 轴上的截距为_________．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【详解】设点 的坐标为 ，则由圆 与 轴相切于点 知，点 的横坐标为 ，即 ，半
径 ．又因为 ，所以 ，即 ，所以圆 的标准方程为 ，
令 得： ．设圆 在点 处的切线方程为 ，则圆心 到其距离为：
，解之得 ．即圆 在点 处的切线方程为 ，于是令 可得
，即圆 在点 处的切线在 轴上的截距为 ，故应填 和 ．
考点：本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题．
11．（2015·湖北·高考真题）如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 （ 在 的
上方），且 ．
（Ⅰ）圆 的标准方程为 ；
（Ⅱ）过点 任作一条直线与圆 相交于 两点，下列三个结论：
① ； ② ； ③ ．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】 ； ①②③
【详解】（Ⅰ）依题意，设 （ 为圆的半径），因为 ，所以 ，
所以圆心 ，故圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）因为 在圆 上，所以可设 ，
所以 ，
，
所以 ，同理可得 ，
所以 ， ， ，
故①②③都正确.
12．（2015·全国·高考真题）过三点 ， ， 的圆交y轴于M，N两点，则
A．2 B．8 C．4 D．10
【答案】C
【详解】由已知得 ， ，所以 ，所以 ，即 为直角三
角形，其外接圆圆心为AC中点 ，半径为长为 ，所以外接圆方程为 ，令
，得 ，所以 ，故选C．
考点：圆的方程．
考点03 圆中的切线问题
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B选项， 三点共线时，先求
出 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 先算出 的坐标，然后验证 是否成立；D
选项，根据抛物线的定义， ，于是问题转化成 的 点的存在性问题，此时考察 的
中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.3．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线
交于点 两点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，即可根
据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
5．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知直线 与圆 ，点 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
6．（2020·全国·高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
7．（2020·全国·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的标准方
程，利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距
离.
【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．（2020·浙江·高考真题）设直线 与圆 和圆 均相切，则
；b= ．
【答案】
【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.
【详解】设 ， ，由题意， 到直线的距离等于半径，即 ，
，
所以 ，所以 （舍）或者 ，
解得 .
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
9．（2019·浙江·高考真题）已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点
，则 ， .
【答案】
【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 的斜率，进一步得到其方程，
将 代入后求得 ，计算得解.
【详解】可知 ，把 代入得 ，此时 .
【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
10．（2015·山东·高考真题）一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则
反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反
射光线所在直线方程为： ，即： .又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故选D．
考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.
11．（2015·山东·高考真题）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 = .
【答案】
【详解】如图，连接 ，在直角三角形 中， 所以， ，
，故 .
考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
12．（2015·湖北·高考真题）如图，已知圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点A，B（B在A
的上方），且 ．
（Ⅰ）圆 的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆 在点 处的切线在 轴上的截距为_________．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．【详解】设点 的坐标为 ，则由圆 与 轴相切于点 知，点 的横坐标为 ，即 ，半
径 ．又因为 ，所以 ，即 ，所以圆 的标准方程为 ，
令 得： ．设圆 在点 处的切线方程为 ，则圆心 到其距离为：
，解之得 ．即圆 在点 处的切线方程为 ，于是令 可得
，即圆 在点 处的切线在 轴上的截距为 ，故应填 和 ．
考点：本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题．
考点04 直线、圆与其他知识点综合
1．（2024·天津·高考真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲线
的交点，则原点到直线 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求 及 的方程，从而可求原点
到直线 的距离.
【详解】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 或 ，
故原点到直线 的距离为 ，
故答案为：
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与
圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由 ，则 ，解得 ，
所以双曲线的一条渐近线为 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 内随机取一
点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域 表示以 圆心，外圆半径 ，内圆半径 的圆环，
则直线 的倾斜角不大于 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角 ，
结合对称性可得所求概率 .
故选：C.
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
5．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
7．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
8．（2021·全国甲卷·高考真题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
9．（2020·山东·高考真题）（多选）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线，
时表示两条直线.
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
10．（2020·北京·高考真题）已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其
渐近线的距离是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直
线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，
属于基础题.
11．（2018·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近
线的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
12．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的
标准方程为 .
【答案】
【详解】设圆心为（ ，0），则半径为 ，则 ，解得 ，故圆的方程为
.
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程
考点05 直线与圆中的最值及范围问题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点 ，从而可得当 时， 的最小，结合勾股定
理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线 ，即 ，令 ，
则 ，所以直线过定点 ，设 ，
将圆 化为标准式为 ，
所以圆心 ，半径 ，
当 时， 的最小，
此时 .
故选：C
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于
两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时， 最小，
，此时 .
故选：C
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令 ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 ，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设 ，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
5．（2021·北京·高考真题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，
若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时， 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
6．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知点 在圆 上，点 、 ，
则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；
分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线
的距离的取值范围是 .
7．（2020·全国·高考真题）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点
到直线 距离最大，即可求得结果.
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解
题的关键，属于基础题.
8．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】求出圆心 的轨迹方程后，根据圆心 到原点 的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
9．（2020·全国·高考真题）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值
为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
10．（2020·全国·高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，
过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根
据圆系的知识即可求出直线 的方程．【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线
与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的
转化能力和数学运算能力，属于中档题．
11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到
直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.
由 ，得 ， ，
即切点 ，
则切点Q到直线 的距离为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和
公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
12．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离，当
、 变化时， 的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，则根据几何意义得 的最大值为 .
【详解】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，
所以 的最大值为 ，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求
相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
13．（2018·全国·高考真题）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆
上，则 面积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到 再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面
积公式计算即可
详解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点
,则
点P在圆 上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
14．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，
若 · 20，则点P的横坐标的取值范围是
【答案】
【详解】设 ，由 ，易得 ，由 ，可得 或 ，
由 得P点在圆左边弧 上，结合限制条件 ，可得点P横坐标的取值
范围为 ．
点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，
其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜
率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．
15．（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为 ，平面ABC内的动点P，M满足 ，，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设D为三角形ABC的外心，如图可得 .以 为
原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则 设 由已知 ，
得 ，又
，它表示圆 上的点 与点 的距离的平方的 ，
，故选B.
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要
把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 ，
且 ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 的坐标，同时动点
的轨迹是圆，则 ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的
数学思想．
16．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足 = = , = =
=–2，动点P，M满足 =1， = ，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知易得 .以 为原点，直线
为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 设 由已知 ，得 ，又
，它表示圆 上的点 与点 的距离的平方的 ，
，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要
把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 ，
且 ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 的坐标，同时动点
的轨迹是圆，则 ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的
数学思想．
17．（2016·北京·高考真题）已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为
A．−1 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【详解】由题意得，线段AB的方程： ， ，
∴ ，
当 时等号成立，即 的最大值为7.
故选：C.
【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图
象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义
域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
