专题09复数(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

09
专题 复数
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)2026(cid:29)(cid:30)(cid:27)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:28)2025(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
2025(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:28)2025(cid:29)(cid:30)(cid:27)
2024(cid:8)(cid:36)(cid:37)(cid:38)Ⅱ(cid:27)(cid:28)2024(cid:29)(cid:30)(cid:27)(cid:28)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2023(cid:8)(cid:36)(cid:37)(cid:38)Ⅱ(cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:39) (cid:3)(cid:43)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:44)(cid:45)(cid:28)(cid:22)(cid:16)(cid:46)(cid:47)(cid:28)(cid:22)(cid:16)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:23)(cid:24) (cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:28)2023(cid:25)(cid:26) (cid:18)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
(cid:27)(cid:28)2023(cid:29)(cid:30)(cid:27)
2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:27)(cid:28)2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:40)
(cid:27)(cid:28)2022(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)2022(cid:29)(cid:30)(cid:27)(cid:28)
2022(cid:41)(cid:42)(cid:27)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:27)(cid:28)2026(cid:34)(cid:35)(cid:27)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:27)
2024(cid:8)(cid:36)(cid:37)(cid:38)Ⅰ(cid:27)(cid:28)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:39)
(cid:27)(cid:28)2024(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)2024(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:22)(cid:16)(cid:65)(cid:5)(cid:18)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:22)(cid:16)(cid:54)(cid:16) 2024(cid:29)(cid:30)(cid:27) (cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:3)(cid:43)(cid:18)(cid:72)(cid:4)(cid:73)(cid:33)(cid:74)(cid:75)
(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60) 2023(cid:8)(cid:36)(cid:37)(cid:38)Ⅰ(cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:40) (cid:76)(cid:3)(cid:43)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:22)(cid:16)(cid:80)(cid:28)(cid:81)(cid:28)(cid:82)(cid:28)(cid:83)(cid:28)
(cid:27)(cid:28)2023(cid:34)(cid:35)(cid:27) (cid:82)(cid:84)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:18)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)
2022(cid:8)(cid:36)(cid:62)(cid:3)(cid:31)(cid:32)Ⅰ(cid:27)(cid:28)2022(cid:8)(cid:36)
(cid:62)(cid:3)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:27)(cid:28)2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:27)(cid:28)
2022(cid:34)(cid:35)(cid:27)
考点 01 数系的扩充与复数的引入
1(cid:90)（2026·上海·高考真题）(cid:79)(cid:91)(cid:92)(cid:52)(cid:93)(cid:94)(cid:22)(cid:16)z (cid:70)w (cid:70)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)“z-wÎR ”(cid:99)“z-wÎR ”(cid:70)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)z (cid:104)w (cid:105)(cid:106).(cid:58)(cid:107)z (cid:104)w (cid:105)(cid:106)(cid:70)(cid:58)w-i (cid:104)z+i (cid:105)(cid:106)(cid:18)(cid:20)(cid:76)(cid:108)(cid:109)(cid:71)(cid:10) (cid:11).
A(cid:90)Rew+Rez=0 B(cid:90)Rew-Rez=0
C(cid:90)Imw+Imz=0 D(cid:90)Imw-Imz=0
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:115)z=x+yi(cid:70)w=a+bi(cid:70)x,yÎR(cid:70)a,bÎR(cid:70)(cid:116)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:118)(cid:105)(cid:106)(cid:18)(cid:119)(cid:53)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:117)(cid:123).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:115)z=x+yi(cid:70)w=a+bi(cid:70)x,yÎR(cid:70)a,bÎR(cid:70)
(cid:58)z-w=x-a+y-bi(cid:70)z-w=x-a+y+bi(cid:70)
(cid:107)z(cid:104)w(cid:105)(cid:106)(cid:70)(cid:126)y-b=0(cid:99)y+b=0(cid:70)
(cid:127)w-i-z+i=a-x+b-y-2i(cid:70)w-i-z+i=a-x+b+yi(cid:70)
(cid:128)w-i(cid:104)z+i(cid:105)(cid:106)(cid:70)(cid:58)b-y-2=0(cid:99)b+y=0(cid:70)
(cid:129)(cid:130)w-i(cid:104)z+i(cid:105)(cid:106)(cid:18)(cid:20)(cid:76)(cid:108)(cid:109)(cid:71)b+y=0(cid:70)(cid:131)Imw+Imz=0.
2(cid:90)（2026·北京·高考真题）(cid:132)(cid:133)z =3-2i(cid:70)z =-1+4i(cid:70)(cid:58) z +z =(cid:10) (cid:11)
1 2 1 2
A(cid:90)2 2 B(cid:90)i C(cid:90)2 D(cid:90)8
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)A
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)z +z =3-1+-2+4i=2+2i(cid:70)
1 2
(cid:58) z +z = 22+22 =2 2.
1 2
3(cid:90)（2025·北京·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:16)z(cid:97)(cid:98)i×z+2=2i(cid:70)(cid:58)|z|=(cid:10) (cid:11)
A(cid:90) 2 B(cid:90)2 2 C(cid:90)4 D(cid:90)8
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)B
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:22)(cid:16)z(cid:70)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:48)(cid:18)(cid:140)(cid:56)(cid:131)(cid:120)(cid:135)(cid:136)(cid:90)
-2+2i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)i×z+2=2i(cid:120)(cid:141)(cid:70)z= =2+2i(cid:70)(cid:129)(cid:130) z = 22+22 =2 2(cid:70)
i
(cid:142)(cid:143)(cid:144)B.
4(cid:90)（2025·全国一卷·高考真题）(1+5i)i(cid:18)(cid:145)(cid:65)(cid:64)(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)-1 B(cid:90)0 C(cid:90)1 D(cid:90)6
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:54)(cid:16)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:130)(cid:49)(cid:145)(cid:65)(cid:18)(cid:119)(cid:53)(cid:131)(cid:120)(cid:135)(cid:136).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)1+5ii=i+5i2 =-5+i(cid:70)(cid:129)(cid:130)(cid:147)(cid:145)(cid:65)(cid:64)1(cid:70)(cid:142)(cid:143)(cid:144)C.
5(cid:90)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)z=-1-i(cid:70)(cid:58) z =(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)0 B(cid:90)1 C(cid:90) 2 D(cid:90)2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:116)(cid:22)(cid:16)(cid:48)(cid:18)(cid:148)(cid:60)(cid:140)(cid:56)(cid:149)(cid:150)(cid:148)(cid:60)(cid:131)(cid:120).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:128)z=-1-i(cid:70)(cid:58) z = -12+-12 = 2.
(cid:142)(cid:143)(cid:144)C.
 
6(cid:90)（2023·北京·高考真题）(cid:151)(cid:22)(cid:152)(cid:153)(cid:68)(cid:70)(cid:22)(cid:16)z(cid:79)(cid:154)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:155)(cid:38)(cid:71) -1, 3 (cid:70)(cid:58)z(cid:18)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)z =(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)1+ 3i B(cid:90)1- 3i
C(cid:90)-1+ 3i D(cid:90)-1- 3i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)D
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:22)(cid:16)z(cid:70)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:119)(cid:53)(cid:148)(cid:60).
 
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)z(cid:151)(cid:22)(cid:152)(cid:153)(cid:79)(cid:154)(cid:18)(cid:4)(cid:71) -1, 3 (cid:70)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:70)z=-1+ 3i(cid:70)
(cid:116)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:119)(cid:53)(cid:120)(cid:133)(cid:70)z=-1- 3i.
(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
7(cid:90)（2023·全国乙卷·高考真题） 2+i2+2i3 =(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)1 B(cid:90)2 C(cid:90) 5 D(cid:90)5
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:162)(cid:134)(cid:163)(cid:164)2+i2+2i3(cid:70)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:60)(cid:147)(cid:48)(cid:131)(cid:120).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:120)(cid:141)2+i2+2i3 =2-1-2i=1-2i(cid:70)
(cid:58) 2+i2+2i3 =1-2i = 12+-22 = 5.
(cid:142)(cid:143)(cid:144)C.
8(cid:90)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:115)aÎR,a+i1-ai=2(cid:70)(cid:58)a=(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)-1 B(cid:90)0 C(cid:90)1 D(cid:90)2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:54)(cid:16)(cid:59)(cid:60)(cid:130)(cid:49)(cid:22)(cid:16)(cid:46)(cid:47)(cid:131)(cid:120)(cid:125)(cid:136)(cid:90)(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)a+i1-ai=a-a2i+i+a=2a+  1-a2 i=2(cid:70)
ì2a=2
(cid:129)(cid:130)í (cid:70)(cid:125)(cid:141)(cid:144)a=1(cid:90)
î1-a2 =0
(cid:142)(cid:143)(cid:144)C.
9(cid:90)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:151)(cid:22)(cid:152)(cid:153)(cid:68)(cid:70)1+3i3-i(cid:79)(cid:154)(cid:18)(cid:4)(cid:165)(cid:91)(cid:10) (cid:11)(cid:90)
A(cid:90)(cid:166)(cid:33)(cid:167)(cid:168) B(cid:90)(cid:166)(cid:61)(cid:167)(cid:168) C(cid:90)(cid:166)(cid:169)(cid:167)(cid:168) D(cid:90)(cid:166)(cid:57)(cid:167)(cid:168)
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)A
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:82)(cid:85)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:5)(cid:114)(cid:121)(cid:122).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)1+3i3-i=3+8i-3i2 =6+8i(cid:70)
(cid:58)(cid:129)(cid:135)(cid:22)(cid:16)(cid:79)(cid:154)(cid:18)(cid:4)(cid:64)6,8(cid:70)(cid:165)(cid:91)(cid:166)(cid:33)(cid:167)(cid:168).
(cid:142)(cid:143)(cid:144)A.
10(cid:90)（2022·浙江·高考真题）(cid:132)(cid:133)a,bÎR,a+3i=(b+i)i(cid:10)i(cid:64)(cid:145)(cid:16)(cid:170)(cid:165)(cid:11)(cid:70)(cid:58)(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)a=1,b=-3 B(cid:90)a=-1,b=3 C(cid:90)a = -1,b = -3 D(cid:90)a=1,b=3
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)B
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:160)(cid:161)(cid:22)(cid:16)(cid:46)(cid:47)(cid:18)(cid:108)(cid:109)(cid:120)(cid:135)a,b.
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)a+3i=-1+bi(cid:70)(cid:171)a,b(cid:64)(cid:172)(cid:16)(cid:70)(cid:142)a=-1,b=3(cid:70)
(cid:142)(cid:143)(cid:144)B.
11(cid:90)（2022·北京·高考真题）(cid:128)(cid:22)(cid:16)z(cid:97)(cid:98)i×z=3-4i(cid:70)(cid:58) z =(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)1 B(cid:90)5 C(cid:90)7 D(cid:90)25
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)B
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:160)(cid:161)(cid:22)(cid:16)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:70)(cid:134)(cid:135)(cid:136)z(cid:70)(cid:137)(cid:148)(cid:60)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:48)(cid:90)
3-4i 3-4i-i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:126)z= = =-4-3i(cid:70)(cid:142)|z|= -42 +-32 =5(cid:90)
i i×-i
(cid:142)(cid:143)(cid:144)B(cid:90)
12(cid:90)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:128)z=1+i(cid:90)(cid:58)|iz+3z |=(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)4 5 B(cid:90)4 2 C(cid:90)2 5 D(cid:90)2 2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)D
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:54)(cid:16)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:70)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:44)(cid:45)(cid:130)(cid:49)(cid:22)(cid:16)(cid:48)(cid:18)(cid:148)(cid:60)(cid:140)(cid:56)(cid:131)(cid:120)(cid:135)(cid:136)(cid:90)(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)z=1+i(cid:70)(cid:129)(cid:130)iz+3z =i1+i+31-i=2-2i(cid:70)(cid:129)(cid:130)iz+3z = 4+4 =2 2(cid:90)
(cid:142)(cid:143)(cid:144)D.
13(cid:90)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)z=1-2i(cid:70)(cid:173)z+az +b=0(cid:70)(cid:147)(cid:174)a(cid:70)b(cid:64)(cid:172)(cid:16)(cid:70)(cid:58)(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)a=1,b=-2 B(cid:90)a=-1,b=2 C(cid:90)a=1,b=2 D(cid:90)a=-1,b=-2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)A
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:134)(cid:60)(cid:136)z ,(cid:137)(cid:54)(cid:24)(cid:148)(cid:60),(cid:172)(cid:65)(cid:21)(cid:145)(cid:65)(cid:175)(cid:64)(cid:176)(cid:125)(cid:84)(cid:88)(cid:177)(cid:131)(cid:120)
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)z=1-2i
z+az +b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i
(cid:116)z+az +b=0,(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:16)(cid:46)(cid:47)(cid:18)(cid:20)(cid:76)(cid:108)(cid:109)(cid:64)(cid:172)(cid:65)(cid:28)(cid:145)(cid:65)(cid:79)(cid:154)(cid:46)(cid:47)(cid:70)
ì1+a+b=0 ìa=1
(cid:141)í ,(cid:131)í
î2a-2=0 îb=-2
(cid:142)(cid:143):A
14(cid:90)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:115)(1+2i)a+b=2i(cid:70)(cid:147)(cid:174)a,b(cid:64)(cid:172)(cid:16)(cid:70)(cid:58)(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)a=1,b=-1 B(cid:90)a=1,b=1 C(cid:90)a=-1,b=1 D(cid:90)a=-1,b=-1
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)A
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:54)(cid:16)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:130)(cid:49)(cid:22)(cid:16)(cid:46)(cid:47)(cid:18)(cid:44)(cid:45)(cid:131)(cid:120)(cid:125)(cid:136)(cid:90)
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)a,bÎ R(cid:70)a+b+2ai=2i(cid:70)(cid:129)(cid:130)a+b=0,2a=2(cid:70)(cid:125)(cid:141)(cid:144)a=1,b=-1(cid:90)
(cid:142)(cid:143)(cid:144)A.
15(cid:90)（2026·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)m>1(cid:70)(cid:79)(cid:91)(cid:129)(cid:126)(cid:97)(cid:98) z =2(cid:18)(cid:22)(cid:16)z(cid:70)(cid:175)(cid:126) z-i (cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:21) z-m (cid:18)(cid:178)(cid:179)
(cid:180)(cid:46)(cid:181)(cid:70)(cid:58)m=____________.
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)3
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:5)(cid:114)(cid:135)(cid:125)(cid:131)(cid:120).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116) z =2(cid:141)(cid:22)(cid:16)z(cid:79)(cid:154)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:182)(cid:118)(cid:64)(cid:130)(cid:183)(cid:4)(cid:64)(cid:184)(cid:67)(cid:70)2(cid:64)(cid:185)(cid:186)(cid:18)(cid:184)(cid:70)
(cid:146)(cid:64) z-i (cid:187)(cid:188)(cid:4)0,1(cid:189)(cid:184)(cid:29)(cid:33)(cid:4)(cid:18)(cid:190)(cid:191)(cid:70)(cid:173)(cid:4)0,1(cid:189)(cid:184)(cid:67)0,0(cid:18)(cid:190)(cid:191)(cid:64)1(cid:70)
(cid:58) z-i (cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:64)2-1=1(cid:70)
(cid:171) z-m (cid:187)(cid:188)(cid:4)m,0(cid:189)(cid:184)(cid:29)(cid:33)(cid:4)(cid:18)(cid:190)(cid:191)(cid:70)(cid:173)(cid:4)m,0(cid:189)(cid:184)(cid:67)0,0(cid:18)(cid:190)(cid:191)(cid:64)m,m>1(cid:70)
(cid:58) z-m (cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:64) 2-m (cid:70)(cid:127)(cid:146)(cid:64) z-i (cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:21) z-m (cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:46)(cid:181)(cid:70)
(cid:129)(cid:130) 2-m =1(cid:70)m>1(cid:70)(cid:125)(cid:141)m=3.
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)3.
3+i
16(cid:90)（2025·天津·高考真题）(cid:132)(cid:133)i(cid:71)(cid:145)(cid:16)(cid:170)(cid:165)(cid:70)(cid:58) = ________(cid:90)
i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113) 10
3+i
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:134)(cid:116)(cid:22)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:163)(cid:164) (cid:70)(cid:137)(cid:116)(cid:22)(cid:16)(cid:48)(cid:192)(cid:140)(cid:56)(cid:131)(cid:120)(cid:148)(cid:60)(cid:135)(cid:125).
i
3+i 3+i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:134)(cid:116)(cid:13)(cid:141) =-i3+i=1-3i(cid:70)(cid:129)(cid:130) = 12+-32 = 10.
i i
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144) 10
17(cid:90)（2025·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:16)z(cid:97)(cid:98)z2 =(z)2,|z|£1(cid:70)(cid:58)|z-2-3i|(cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:71)_________(cid:90)
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)2 2
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:134)(cid:115)z=a+bi(cid:70)(cid:160)(cid:161)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:82)(cid:84)(cid:59)(cid:60)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:193)(cid:119)ab=0(cid:70)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:16)(cid:55)(cid:117)(cid:118)(cid:148)(cid:60)(cid:131)(cid:120).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:115)z=a+bia,bÎR,\z=a-bi(cid:70)
(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:120)(cid:133)z2 =a2+2abi-b2 =z 2 =a2-2abi-b2(cid:70)(cid:58)ab=0(cid:70)
(cid:127) z = a2+b2 £1(cid:70)(cid:116)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:133)z(cid:151)(cid:22)(cid:152)(cid:153)(cid:68)(cid:79)(cid:154)(cid:18)(cid:4)Za,b(cid:151)(cid:170)(cid:165)(cid:184)(cid:68)(cid:65)(cid:10)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:11)(cid:18)(cid:155)(cid:38)(cid:197)
(cid:29)(cid:59)(cid:198)(cid:70)(cid:95)(cid:199)(cid:129)(cid:188)(cid:131)(cid:200)(cid:201)AB,CD(cid:29)(cid:59)(cid:198)(cid:70)
(cid:115)E2,3(cid:70)(cid:58) z-2-3i = ZE (cid:70)(cid:116)(cid:199)(cid:167)(cid:120)(cid:133) BE = 10 > CE =2 2(cid:70)
(cid:129)(cid:130) ZE =2 2.
min
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)2 2
2+i
18(cid:90)（2025·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:16)z= (cid:70)(cid:147)(cid:174)i(cid:64)(cid:145)(cid:16)(cid:170)(cid:165)(cid:70)(cid:58)|z|=__________(cid:90)
i(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113) 5
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:83)(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:22)(cid:16)(cid:48)(cid:18)(cid:148)(cid:60)(cid:140)(cid:56)(cid:131)(cid:120).
2+i i2+i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)z= = =1-2i(cid:70)
i i2
(cid:142)|z|= 12+(-2)2 = 5(cid:90)
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144) 5.
2
19(cid:90)（2024·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:145)(cid:16)z(cid:70)(cid:147)(cid:172)(cid:65)(cid:64)1(cid:70)(cid:173)z+ =mmÎR(cid:70)(cid:58)(cid:172)(cid:16)m(cid:64)______(cid:90)
z
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)2
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:115)z=1+bi,bÎR(cid:173)b¹0(cid:70)(cid:149)(cid:150)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:83)(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:70)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:5)(cid:6)(cid:131)(cid:120)(cid:141)(cid:189)(cid:111)(cid:112).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:115)z=1+bi(cid:70)bÎR(cid:173)b¹0.
2 2 æb2+3ö æb3-bö
(cid:58)z+ =1+bi+ =ç ÷+ç ÷i=m(cid:70)
z 1+bi è1+b2 ø è1+b2 ø
ìb2+3
ï =m
ï1+b2
QmÎR(cid:70)\í (cid:70)(cid:125)(cid:141)m=2(cid:70)
ïb3-b
=0
ïî1+b2
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)2.
20(cid:90)（2023·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:107)z=1+i(cid:70)(cid:58)1-i×z =______(cid:202)
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113) 5
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:149)(cid:150)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:82)(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:130)(cid:49)(cid:22)(cid:16)(cid:48)(cid:18)(cid:119)(cid:53)(cid:131)(cid:120)(cid:141)(cid:189)(cid:111)(cid:112).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)1-iz=1-i(1+i)=2-i(cid:70)|1-iz|=|2-i|= 5.
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144) 5.
21(cid:90)（2023·上海·高考真题）(cid:115)z ,z ÎC(cid:173)z =i×z (cid:70)(cid:97)(cid:98) z -1 =1(cid:70)(cid:58) z -z (cid:18)(cid:203)(cid:180)(cid:204)(cid:205)(cid:64)________________(cid:90)
1 2 1 2 1 1 2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)é0,2+ 2ù
ë û
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:121)(cid:122)(cid:136)z,z (cid:79)(cid:154)(cid:4)(cid:18)(cid:206)(cid:207)(cid:70)(cid:208)(cid:171)(cid:135)(cid:141) z -z (cid:18)(cid:203)(cid:180)(cid:204)(cid:205).
1 2 1 2
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:115)z =a+bi,z =c+di,a,b,c,dÎR(cid:70)
1 2
z =c-di(cid:70)(cid:58)a+bi=i×c-di=d+ci(cid:70)
2ìa=d
(cid:129)(cid:130)í (cid:70)
îb=c
z -1 = a-1+bi = a-12+b2 =1(cid:70)(cid:129)(cid:130)a-12+b2 =1(cid:70)
1
(cid:131)z (cid:79)(cid:154)(cid:4)a,b(cid:151)(cid:130)1,0(cid:64)(cid:184)(cid:67)(cid:70)(cid:185)(cid:186)(cid:64)1(cid:18)(cid:184)x-12 +y2 =1(cid:29).
1
z =c+di=b+ai(cid:70)z (cid:79)(cid:154)(cid:4)(cid:64)b,a(cid:70)
2 2
a,b(cid:21)b,a(cid:209)(cid:91)y=x(cid:79)(cid:103)(cid:70)
(cid:129)(cid:130)(cid:4)b,a(cid:151)(cid:130)0,1(cid:64)(cid:184)(cid:67)(cid:70)(cid:185)(cid:186)(cid:64)1(cid:18)(cid:184)x2+y-12 =1(cid:29)(cid:70)
z -z (cid:187)(cid:188)a,b(cid:21)b,a(cid:93)(cid:4)(cid:210)(cid:18)(cid:190)(cid:191)(cid:70)
1 2
(cid:184)x-12 +y2 =1(cid:21)(cid:184)x2+y-12 =1(cid:46)(cid:211)(cid:70)(cid:184)(cid:67)(cid:190)(cid:64) 2(cid:70)(cid:95)(cid:199)(cid:129)(cid:188)(cid:70)
(cid:129)(cid:130) z -z (cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:64)0(cid:70)(cid:178)(cid:212)(cid:180)(cid:64) 2+1+1=2+ 2(cid:70)
1 2
(cid:129)(cid:130) z -z (cid:18)(cid:203)(cid:180)(cid:204)(cid:205)(cid:64)é0,2+ 2ù.
1 2 ë û
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)é0,2+ 2ù
ë û
22(cid:90)（2022·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)z=1+i(cid:10)(cid:147)(cid:174)i(cid:64)(cid:145)(cid:16)(cid:170)(cid:165)(cid:11)(cid:70)(cid:58)2z=___________(cid:202)
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)2-2i
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:134)(cid:116)z=1+i(cid:135)(cid:136)z(cid:70)(cid:208)(cid:171)(cid:120)(cid:135)(cid:136)2z
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)z=1+i(cid:70)(cid:129)(cid:130)z=1-i(cid:70)
(cid:129)(cid:130)2z=21-i=2-2i(cid:70)
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)2-2i
考点 02 复数代数形式的四则运算
1(cid:90)（2026·全国二卷·高考真题）1-3i2 =(cid:10) (cid:11)A(cid:90)-8+6i B(cid:90)-8-6i C(cid:90)8+6i D(cid:90)8-6i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)B
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)1-3i2 =1-6i+3i2 =1-9-6i=-8-6i
1
2(cid:90)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)z=1+i(cid:70)(cid:58) =(cid:10) (cid:11)
z-1
A(cid:90)-i B(cid:90)i C(cid:90)-1 D(cid:90)1
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)A
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:116)(cid:22)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:131)(cid:120)(cid:135)(cid:125).
1 1 1 i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)z=1+i(cid:70)(cid:129)(cid:130) = = = =-i.
z-1 1+i-1 i i2
(cid:142)(cid:143)(cid:144)A.
z
3(cid:90)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:128) =1+i(cid:70)(cid:58)z=(cid:10) (cid:11)
z-1
A(cid:90)-1-i B(cid:90)-1+i C(cid:90)1-i D(cid:90)1+i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:116)(cid:22)(cid:16)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:149)(cid:150)(cid:59)(cid:60)(cid:131)(cid:120)(cid:135)(cid:125).
z z-1+1 1 1
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64) = =1+ =1+i(cid:70)(cid:129)(cid:130)z=1+ =1-i.
z-1 z-1 z-1 i
(cid:142)(cid:143)(cid:144)C.
z
4(cid:90)（2024·北京·高考真题）(cid:132)(cid:133) =-1-i(cid:70)(cid:58)z=(cid:10) (cid:11)(cid:90)
i
A(cid:90)-1-i B(cid:90)-1+i C(cid:90)1-i D(cid:90)1+i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:149)(cid:150)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:82)(cid:85)(cid:131)(cid:120)(cid:141)(cid:189)(cid:111)(cid:112).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:141)z=i-1-i=1-i.
(cid:142)(cid:143)(cid:144)C.
5(cid:90)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:115)z= 2i(cid:70)(cid:58)z×z =(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)-2 B(cid:90) 2 C(cid:90)- 2 D(cid:90)2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)D
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:134)(cid:138)(cid:139)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:119)(cid:53)(cid:213)(cid:136)z(cid:70)(cid:158)(cid:159)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:82)(cid:85)(cid:148)(cid:60).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:214)(cid:13)(cid:52)(cid:141)(cid:70)z=- 2i(cid:70)(cid:142)zz=-2i2 =2.
(cid:142)(cid:143)(cid:144)D6(cid:90)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:128)z=5+i(cid:70)(cid:58)iz +z=(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)10i B(cid:90)2i C(cid:90)10 D(cid:90)2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)A
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:117)(cid:118)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:21)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:215)(cid:216)(cid:59)(cid:60)(cid:149)(cid:150)(cid:135)(cid:125).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)z=5+iÞz =5-i,z+z =10(cid:70)(cid:58)iz +z=10i.
(cid:142)(cid:143)(cid:144)A
5
 1+i3
7(cid:90)（2023·全国甲卷·高考真题） =(cid:10) (cid:11)
2+i2-i
A(cid:90)-1 B(cid:90)1 C(cid:90)1-i D(cid:90)1+i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:160)(cid:161)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:135)(cid:125)(cid:131)(cid:120).
5  1+i3 51-i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113) = =1-i
(2+i)(2-i) 5
(cid:142)(cid:143)(cid:144)C.
2+i
8(cid:90)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:115)z= (cid:70)(cid:58)z=(cid:10) (cid:11)
1+i2+i5
A(cid:90)1-2i B(cid:90)1+2i C(cid:90)2-i D(cid:90)2+i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)B
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:162)(cid:134)(cid:148)(cid:60)(cid:22)(cid:16)z(cid:18)(cid:180)(cid:70)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:119)(cid:53)(cid:193)(cid:119)(cid:147)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:131)(cid:120).
2+i 2+i i2+i 2i-1
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:120)(cid:141)z= = = = =1-2i(cid:70)
1+i2+i5 1-1+i i2 -1
(cid:58)z =1+2i.
(cid:142)(cid:143)(cid:144)B.
1-i
9(cid:90)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)z= (cid:70)(cid:58)z-z=(cid:10) (cid:11)
2+2i
A(cid:90)-i B(cid:90)i C(cid:90)0 D(cid:90)1
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)A
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:83)(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:135)(cid:136)z(cid:70)(cid:137)(cid:116)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:44)(cid:45)(cid:141)(cid:189)z(cid:70)(cid:208)(cid:171)(cid:125)(cid:136)(cid:90)
1-i 1-i1-i -2i 1 1
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:146)(cid:64)z= = = =- i(cid:70)(cid:129)(cid:130)z= i(cid:70)(cid:131)z-z=-i(cid:90)
2+2i 21+i1-i 4 2 2(cid:142)(cid:143)(cid:144)A(cid:90)
10(cid:90)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(2+2i)(1-2i)=(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)-2+4i B(cid:90)-2-4i C(cid:90)6+2i D(cid:90)6-2i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)D
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:160)(cid:161)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:82)(cid:85)(cid:120)(cid:135)2+2i1-2i
.
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)2+2i1-2i=2+4-4i+2i=6-2i(cid:70)
(cid:142)(cid:143)(cid:144)D.
11(cid:90)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:128)i(1-z)=1(cid:70)(cid:58)z+z =(cid:10) (cid:11)
A(cid:90)-2 B(cid:90)-1 C(cid:90)1 D(cid:90)2
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)D
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:160)(cid:161)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:83)(cid:85)(cid:120)(cid:135)z(cid:70)(cid:208)(cid:171)(cid:120)(cid:135)z+z .
1 i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:115)(cid:126)1-z= = =-i(cid:70)(cid:142)z=1+i(cid:70)(cid:142)z+z =1+i+1-i=2(cid:70)
i i2
(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
z
12(cid:90)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:128)z=-1+ 3i(cid:70)(cid:58) =(cid:10) (cid:11)
zz -1
1 3 1 3
A(cid:90)-1+ 3i B(cid:90)-1- 3i C(cid:90)- + i D(cid:90)- - i
3 3 3 3
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)C
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:116)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:44)(cid:45)(cid:49)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:59)(cid:60)(cid:131)(cid:120)(cid:141)(cid:125).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)z =-1- 3i,zz =(-1+ 3i)(-1- 3i)=1+3=4.
z -1+ 3i 1 3
= =- + i
zz -1 3 3 3
(cid:142)(cid:143) (cid:144)C
13(cid:90)(cid:10)(cid:217)(cid:143)(cid:13)(cid:11)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:115)z=3+2i(cid:70)(cid:58)(cid:10) (cid:11)
z+3
A(cid:90)z =3-2i B(cid:90) z =5 C(cid:90)z2 =5+12i D(cid:90) ÎR
z-i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)ACD
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:79)(cid:91)A(cid:143)(cid:218)(cid:70)(cid:22)(cid:16)z=a+bi(cid:18)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)z =a-bi(cid:70)(cid:146)(cid:219)z =3-2i(cid:70)A(cid:143)(cid:218)(cid:220)(cid:193).
(cid:79)(cid:91)B(cid:143)(cid:218)(cid:70)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:48)|z|= a2+b2 (cid:70)(cid:146)(cid:219)|z|= 32+22 = 13¹5(cid:70)B(cid:143)(cid:218)(cid:221)(cid:222).
(cid:79)(cid:91)C(cid:143)(cid:218)(cid:70) z=3+2i(cid:70)
∵z2 =(3+2i)2 =32+2´3´2i+(2i)2 =9+12i-4=5+12i(cid:70)(cid:223)(cid:143)(cid:218)(cid:220)(cid:193).
∴(cid:79)(cid:91)D(cid:143)(cid:218)(cid:70)
(cid:5)(cid:224)z+3=3+2i+3=6+2i(cid:70)(cid:5)(cid:225)z-i=3+2i-i=3+i(cid:70)
z+3 6+2i (6+2i)(3-i) 18-6i+6i-2i2 20 z+3
∵ = = = = =2(cid:70)2(cid:71)(cid:172)(cid:16)(cid:70)(cid:142) ÎR(cid:70)(cid:223)(cid:143)(cid:218)(cid:220)(cid:193).
z-i 3+i (3+i)(3-i) 9-i2 10 z-i
∴
14(cid:90)（2026·天津·高考真题）(cid:163)(cid:164)(3+i)2 =__________(cid:90)
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)8+6i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)3+i2 =9+6i+i2 =8+6i.
z
15(cid:90)（2024·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133) =i(cid:70)(cid:58)z=_______.
1+i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)-1-i/-i-1
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:226)(cid:227)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:82)(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:21)(cid:156)(cid:157)(cid:22)(cid:16)(cid:119)(cid:53)(cid:148)(cid:60)(cid:131)(cid:120)(cid:141).
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:120)(cid:141)z=i1+i=-1+i(cid:70)(cid:142)z =-1-i.
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)-1-i.
   
16(cid:90)（2024·天津·高考真题）i(cid:71)(cid:145)(cid:16)(cid:170)(cid:165)(cid:70)(cid:22)(cid:16) 5+i × 5-2i =______(cid:90)
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)7- 5i
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:226)(cid:227)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:82)(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:148)(cid:60)(cid:131)(cid:120)(cid:141).
   
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113) 5+i × 5-2i =5+ 5i-2 5i+2=7- 5i.
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)7- 5i.
5+14i
17(cid:90)（2023·天津·高考真题）(cid:132)(cid:133)i(cid:71)(cid:145)(cid:16)(cid:170)(cid:165)(cid:70)(cid:163)(cid:164) (cid:18)(cid:117)(cid:96)(cid:64)_________(cid:90)
2+3i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)4+i/i+4
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:160)(cid:161)(cid:22)(cid:16)(cid:18)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:70)(cid:5)(cid:224)(cid:5)(cid:225)(cid:181)(cid:228)(cid:82)(cid:130)2-3i(cid:70)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:60)(cid:147)(cid:59)(cid:60)(cid:117)(cid:96)(cid:131)(cid:120).
5+14i 5+14i2-3i 52+13i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:116)(cid:13)(cid:52)(cid:120)(cid:141) = = =4+i.
2+3i 2+3i2-3i 13
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)4+i.
11-3i
18(cid:90)（2022·天津·高考真题）(cid:132)(cid:133)i(cid:71)(cid:145)(cid:16)(cid:170)(cid:165)(cid:70)(cid:163)(cid:164) (cid:18)(cid:117)(cid:96)(cid:64)_______(cid:90)
1+2i
(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)1-5i/-5i+1
(cid:110)(cid:5)(cid:114)(cid:113)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:16)(cid:54)(cid:16)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:59)(cid:60)(cid:85)(cid:58)(cid:131)(cid:120)(cid:125)(cid:136)(cid:90)11-3i 11-3i1-2i 11-6-25i
(cid:110)(cid:124)(cid:125)(cid:113) = = =1-5i(cid:90)
1+2i 1+2i1-2i 5
(cid:142)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:144)1-5i(cid:90)