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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题29 数式图及坐标等规律探索问题
一、选择题
1.（ 2024江苏扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列
数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数
的个数为（ ）
A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350
【答案】D
【解析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于 ，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有 个．
故选：D
2.（ 2024山东烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子
不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布
的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布
天完工，问一共织了多少布？
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】C
【解析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和 即
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可，读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，第一天织布 尺，第 天织布 尺，
∴一共织布 （尺），
故选： ．
3. （2024四川德阳）将一组数 ，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，
从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有 个数，
则第八行左起第1个数是 ，
故选：C．
4. （2024云南省）按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ， ，第 个代数式
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的
关键．
∵按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ， ，
∴第 个代数式是 ，
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故选： ．
5.（ 2024重庆市B）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有
5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形
的个数是（ ）
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
【答案】C
【解析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相
应的规律，进行求解即可．
【详解】第①个图案中有 个菱形，
第②个图案中有 个菱形，
第③个图案中有 个菱形，
第④个图案中有 个菱形，
∴第 个图案中有 个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为 ，
故选：C．
6. （2024武汉市）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它关于点
中心对称．若点 ， ， ，……， ， 都在
函数图象上，这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，则 的值是（
）
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A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【 解 析 】 本 题 是 坐 标 规 律 题 ， 求 函 数 值 ， 中 心 对 称 的 性 质 ， 根 据 题 意 得 出
，进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，即可
求解．
【详解】∵这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 即 ，
∵ ，
当 时， ，即 ，
∵ 关于点 中心对称的点为 ，
即当 时， ，
∴ ，
故选：D．
7.（ 2024四川内江）如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为点 ，将 绕点 逆时针旋
转到 的位置，使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点 逆时针旋转到
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的位置，使点 的对应点 也落在直线 上，如此下去，……，若点 的坐标为
，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以
及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．
通过求出点 的坐标， 、 、 的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然
后结合图形求解即可．
【详解】 轴，点 的坐标为 ，
，则点 的纵坐标为3，代入 ，
得： ，则点 的坐标为 ．
， ，
，
由旋转可知， ， ，
，
， ，
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，
．
设点 的坐标为 ，
则 ，
解得 或 （舍去），则 ，
点 的坐标为 ．
故选C．
二、填空题
1. （2024江西省）观察a， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______．
【答案】
【解析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可
∵a， ， ， ，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
∴第n个式子是 ．
∴第100个式子是 ．
故答案为： ．
2. （2024四川成都市）在综合实践活动中，数学兴趣小组对 这 个自然数中，任取两数之和大于
的取法种数 进行了探究．发现：当 时，只有 一种取法，即 ；当 时，有 和
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两种取法，即 ；当 时，可得 ；……．若 ，则 的值为______；若 ，则
的值为______．
【答案】 ①. 9 ②. 144
【解析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取
法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．
【详解】当 时，只有 一种取法，则 ；
当 时，有 和 两种取法，则 ；
当 时，有 ， ， ， 四种取法，则 ；
故当 时，有 ， ， ， ， ， 六种取法，则 ；
当 时，有 ， ， ， ， ， ， ， ， 九种取法，则
；
依次类推，
当n为偶数时， ，
故当 时， ，
故答案为：9，144．
3.（ 2024四川德阳）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入
如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙
组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数字即可）．
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【答案】1##8
【解析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共
有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出
现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不
等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8．
【详解】 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个
数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下
5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．
位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．
故答案为：1（或8）．
4. （2024四川遂宁）在等边 三边上分别取点 ，使得 ，连结三点得到
，易得 ，设 ，则
如图①当 时，
如图②当 时，
如图③当 时，
……
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直接写出，当 时， ______．
【答案】 ##0.73
【 解 析 】 本 题 主 要 考 查 数 字 规 律 性 问 题 ， 首 先 根 据 已 知 求 得 比 例 为 n 时 ，
，代入 即可．
【详解】根据题意可得，当 时， ，
则当 时， ，
故答案为： ．
5.（ 2024四川达州）如图，在 中， ， 分别是内角 、外角 的三等分线，且
， ，在 中， ， 分别是内角 ，外角
的三等分线．且 ， ，…，以此规律作下去．若
．则 ______度．
【答案】
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【解析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对 运用三角形的外角定理，设 ，则 ， ，
则 ，得到 ， ，同理可求： ，所以可
得 ．
【详解】如图：
∵ ， ，
∴设 ， ，则 ， ，
由三角形的外角的性质得： ， ，
∴ ，
如图：
同理可求： ，
∴ ，
……，
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∴ ，
即 ，
故答案 为： ．
6. （2024四川眉山）已知 （ 且 ）， ，则
的值为______．
【答案】
【解析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为 ，
， ，进一步即可求出 ．
【详解】 ，
，
，
，
，
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，
……，
由上可得，每三个为一个循环，
，
．
故答案为： ．
7.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的
美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为 ，点B的坐标为 ，
点C在第一象限， ．将 沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重
合，第一次滚动后，点O的对应点为 ，点C的对应点为 ， 与 的交点为 ，称点 为第
一个“花朵”的花心，点 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律， 滚动2024次后停止
滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为______．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接 ，求得 ，
， ，分别得到 ， ， ， ，推导得到
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， 滚动一次得到 ， 滚动四次得到 ， 滚动七
次得到 ，由此得到 滚动2024次后停止滚动，则 ，据此求解即可．
【详解】解：连接 ，
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
同理 ，
，
，
滚动一次得到 ， 滚动四次得到 ， 滚动七次得到 ，
∴ 滚动2024次后停止滚动，则 时， ，
故答案为： ．
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8. （2024黑龙江绥化）如图，已知 ， ， ， ， ，
， ， …，依此规律，则点 的坐标为______．
【答案】
【解析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知
个点坐标的纵坐标为一个循环， 的坐标为 ，据此可求得 的坐标．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ， ，
…，，
∴可知 个点坐标的纵坐标为一个循环， 的坐标为 ，
∵ ，
∴ 的坐标为 ．
∴ 的坐标为
故答案为： ．
9.（ 2024四川广安）已知，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作等边三角形 ，
点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，以 为边作等边
三角形 （点 在点 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 ，等边三角形
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，则点 的横坐标为______．
【答案】
【解析】
直线直线 可知，点 坐标为 ，可得 ，由于 是等边三角形，可得
点 ，把 代入直线解析式即可求得 的横坐标，可得 ，由于 是等
边三角形，可得点 ；同理， ，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序
号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l： 与x轴负半轴交于点 ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
过 ， ，作 轴交x轴于点M， 轴交 于点D，交x轴于点N，
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∵ 为等边三角形，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，解得： ，
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∴ ；
而 ，
同理可得： 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊
图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
三、解答题
1.（ 2024安徽省）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为 （ 均为自然
数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（ 为正整数）：
奇数 的倍数
表示
结果
一般
______
结论
按上表规律，完成下列问题：
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（ ） （ ） （ ） ；
（ ） ______；
（2）兴趣小组还猜测：像 这些形如 （ 为正整数）的正整数 不能表示为 （
均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设 ，其中 均 为自然数．
分下列三种情形分析：
若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数．
若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 ______为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数．
若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数．
而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数．
由 可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形 的横线上填写所缺内容．
【答案】（1）（ ） ， ；（ ） ；
（2）
【解析】【分析】（ ）（ ）根据规律即可求解；（ ）根据规律即可求解；
（ ）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【小问1详解】
（ ）由规律可得， ，
故答案为： ， ；
（ ）由规律可得， ，
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故答案为： ；
【小问2详解】
解：假设 ，其中 均为自然数．
分下列三种情形分析：
若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数．
若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数．
若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数．
而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数．
由 可知，猜测正确．
故答案为： ．
2. （2024四川凉山）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第 行有
个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行 的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前 行的点数
之和为______
（2）体验：三角点阵中前 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
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（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，
第二排4盆，第三排6盆……第 排 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】（1）36；120；
（2）不能 （3）一共能摆放20排．
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是 ，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【小问1详解】
解：三角点阵中前8行的点数之和为 ，
前15行的点数之和为 ，
那么，前 行的点数之和为 ；
故答案为：36；120； ；
【小问2详解】
解：不能，
理由如下：
由题意得 ，
得 ，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
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【小问3详解】
解：同理，前 行的点数之和为 ，
由题意得 ，
得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴一共能摆放20排．
21
