专题11空间向量与立体几何(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

11
专题 空间向量与立体几何
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2025(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:26)
(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:20)(cid:25)(cid:43)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:44)(cid:3)(cid:45)
2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)
(cid:46)(cid:21)(cid:47)(cid:48)(cid:6)(cid:49)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:26)
(cid:30)(cid:26)2024(cid:31)(cid:32)(cid:30) (cid:52)(cid:54)(cid:26)(cid:52)(cid:55)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:61)(cid:62)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37) (cid:63)(cid:4)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:60)(cid:56)(cid:67)(cid:68)(cid:44)(cid:69)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:13)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:20)
Ⅱ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27) (cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:3)(cid:4)(cid:50)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:26)(cid:78)(cid:80)
(cid:25)
(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2023(cid:40)(cid:41)(cid:30) (cid:52)(cid:55)(cid:57)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:50)(cid:3)(cid:45)(cid:3)(cid:84)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:35) (cid:19)(cid:20)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:44)(cid:89)(cid:90)(cid:43)(cid:16)(cid:17)(cid:91)(cid:92)
(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26) (cid:93)(cid:94)(cid:66)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2022(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:3)(cid:45)(cid:103)(cid:84)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:96)(cid:97)(cid:60)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:96)
2025(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2025(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:97)(cid:60)(cid:95)(cid:24)(cid:26)(cid:95)(cid:24)(cid:60)(cid:95)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:44)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:4)(cid:26)(cid:95)(cid:24)(cid:26) 2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2024(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26) (cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:43)(cid:109)(cid:89)(cid:44)(cid:89)(cid:90)(cid:50)(cid:110)(cid:59)(cid:111)(cid:77)
(cid:96)(cid:97)(cid:17)(cid:44)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100) 2024(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:57)(cid:112)(cid:113)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:81)(cid:114)(cid:20)(cid:50)(cid:110)
(cid:101)(cid:102) 2023(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:115)(cid:85)(cid:116)(cid:117)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:44)(cid:101)(cid:102)(cid:118)(cid:12)(cid:13)(cid:50)
2022(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:104)(cid:50)(cid:122)(cid:74)(cid:85)(cid:105)(cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:44)(cid:3)
(cid:45)(cid:66)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30)(cid:26)2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)
(cid:97)(cid:24)(cid:68)(cid:100)(cid:126)(cid:127)(cid:73)(cid:105)(cid:123)(cid:134)(cid:3)(cid:13)
=
(cid:95)(cid:124)(cid:68)(cid:100)(cid:10)(cid:51)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:11)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2026(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2026
(cid:43)(cid:125)(cid:96)(cid:68)(cid:100)(cid:10)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:11)
(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:26) (cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:73)(cid:90)(cid:135)(cid:13)(cid:44)(cid:59)(cid:14)(cid:3)(cid:4)(cid:50)(cid:13)(cid:136)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30)(cid:26)2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:126)(cid:127)(cid:10)(cid:76)(cid:128) (cid:110)(cid:59)(cid:77)(cid:59)(cid:137)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:10)(cid:52)(cid:54)(cid:26)(cid:52)(cid:55)(cid:26)
(cid:30)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2025(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)
(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:13)(cid:133)1 (cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:11)(cid:81)(cid:114)(cid:20)(cid:50)(cid:75)(cid:138)(cid:64)(cid:65)(cid:18)(cid:19)(cid:109)
2025(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:71)(cid:11) (cid:139)(cid:26)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:140)(cid:124)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:89)(cid:50)(cid:144)(cid:145)
2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:97)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:44)(cid:96)(cid:146)(cid:147)(cid:62)
Ⅱ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2024(cid:31)(cid:32)
(cid:60)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:126)(cid:93)(cid:94)(cid:50)(cid:119)(cid:120)(cid:104)(cid:57)(cid:50)(cid:73)(cid:151)
(cid:30)(cid:26)2024(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2024(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:5)(cid:44)(cid:68)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:66)
2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)
(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2023(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2023(cid:40)(cid:41)
(cid:30)(cid:26)2023(cid:33)(cid:34)(cid:30)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:35)
(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2022(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:26)2022
(cid:155)(cid:156)(cid:30)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)2026(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2026
(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2026(cid:33)(cid:34)(cid:30)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30)(cid:26)2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2025(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:73)(cid:18)(cid:161)(cid:162)(cid:8)(cid:134)(cid:3)(cid:50)(cid:163)(cid:164)(cid:27)(cid:28)
2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)
(cid:30)(cid:26)(cid:165)(cid:79)(cid:30)(cid:76)(cid:166)(cid:165)(cid:167)(cid:50)(cid:22)(cid:168)(cid:73)(cid:96)(cid:97)
(cid:30)(cid:26)2024(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2024(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:60)(cid:95)(cid:24)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:50)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:169)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:138)(cid:157)(cid:24)(cid:96) 2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:67)(cid:46)(cid:21)(cid:66)(cid:13)(cid:136)(cid:110)(cid:59)(cid:170)(cid:75)(cid:64)(cid:65)(cid:16)(cid:17)(cid:171)
(cid:97)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:26)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:26) Ⅱ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)
(cid:172)(cid:173)(cid:10)(cid:174)(cid:100)(cid:26)(cid:138)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:11)(cid:175)(cid:18)(cid:19)(cid:173)
(cid:29)(cid:24)(cid:160) (cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2023(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2023(cid:33)(cid:34)
(cid:10)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:26)(cid:179)(cid:160)(cid:11)(cid:138)(cid:90)(cid:50)(cid:180)(cid:3)(cid:45)
(cid:30)
(cid:16)(cid:17)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:50)(cid:72)(cid:122)(cid:74)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:35)
(cid:185)(cid:50)(cid:73)(cid:167)(cid:5)(cid:120)(cid:44)(cid:74)(cid:75)(cid:20)(cid:130)(cid:66)
(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2022(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:26)2022
(cid:155)(cid:156)(cid:30)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30) (cid:16)(cid:17)(cid:186)(cid:187)(cid:74)(cid:4)(cid:3)(cid:45)(cid:4)(cid:188)(cid:24)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:50)
2025(cid:40)(cid:41)(cid:30) (cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:25)(cid:189)(cid:182)(cid:26)(cid:16)(cid:17)(cid:160)(cid:190)(cid:65)(cid:12)(cid:13)(cid:50)
(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:71)(cid:13)
2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2024(cid:40)(cid:41)(cid:30) (cid:170)(cid:75)(cid:191)(cid:178)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:173)(cid:175)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:44)
2023(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2023(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:90)
考点 01 空间几何体及其表面积、体积
1(cid:196)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:33)(cid:26)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:200)(cid:73)(cid:67)(cid:116)(cid:166)(cid:201)(cid:160)(cid:81)60°(cid:44)(cid:202)(cid:203)(cid:50)(cid:33)(cid:26)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:204)(cid:205)(cid:5)
(cid:206)(cid:81)2(cid:50)3(cid:50)(cid:207)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:81) 3(cid:50)(cid:208)(cid:22)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)19 19 19 19
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
12 6 4 2
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)D
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:5)(cid:206)(cid:138)(cid:213)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:33)(cid:199)(cid:24)(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:151)(cid:207)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25).
1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:50)(cid:151)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:33)(cid:199)(cid:24)(cid:24)(cid:25)(cid:81)2´ ´2´2´sin60°=2 3(cid:50)
2
1 9 3
(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:24)(cid:25)(cid:81)2´ ´3´3´sin60°= (cid:50)
2 2
1 æ 9 3 9 3 ö 1 æ 9 3ö 19
(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) ´ç2 3+ 2 3´ + ÷´ 3= ´ç2 3+3 3+ ÷´ 3= .
3 ç 2 2 ÷ 3 ç 2 ÷ 2
è ø è ø
2(cid:196)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:220)(cid:54)(cid:43)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:57)(cid:50)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:223)(cid:57)(cid:50)(cid:58)(cid:225)(cid:226)(cid:44)(cid:42)(cid:200)(cid:81) 3(cid:50)(cid:208)
(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)2 3π B(cid:196)3 3π C(cid:196)6 3π D(cid:196)9 3π
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:227)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:55)(cid:43)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:223)(cid:57)(cid:111)(cid:151)(cid:221)(cid:222)r(cid:44)(cid:79)(cid:228)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:90)(cid:229)(cid:111)(cid:138)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)
(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:227)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r(cid:50)(cid:208)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:81) r2+3(cid:50)
(cid:231)(cid:225)(cid:226)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:223)(cid:57)(cid:50)(cid:158)(cid:77)2πr´ 3=πr´ 3+r2 (cid:232)2 3= 3+r2 (cid:50)
1
(cid:233)r=3(cid:50)(cid:233)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) π´9´ 3=3 3π.
3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B.
3(cid:196)（2024·北京·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)PA=PB=4(cid:50)
PC =PD=2 2(cid:50)(cid:207)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)(cid:10) (cid:11).
A(cid:196)1 B(cid:196)2 C(cid:196) 2 D(cid:196) 3
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)D
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:237)(cid:4)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:5)(cid:212)(cid:111)(cid:62)(cid:95)(cid:24)PEF ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:111)(cid:62)PO^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:173)
(cid:138)(cid:4)(cid:188)(cid:24)(cid:44)(cid:186)(cid:187).(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)
(cid:240)(cid:223)(cid:241)(cid:44)(cid:52)(cid:205)(cid:223)(cid:57)(cid:242)(cid:50)(cid:243)(cid:244)(cid:227)PA=PB= AB=4,PC =PD=2 2(cid:50)
(cid:5)(cid:206)(cid:237)AB,CD(cid:44)(cid:104)(cid:4)E,F(cid:50)(cid:245)(cid:70)PE,PF,EF (cid:50)
(cid:208)PE^ AB,EF ^ AB(cid:50)(cid:58)PEÇEF =E(cid:50)PE,EF Ì(cid:95)(cid:24)PEF(cid:50)
(cid:111)(cid:62)AB^(cid:95)(cid:24)PEF(cid:50)(cid:58)ABÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)PEF ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
(cid:115)P(cid:176)EF(cid:44)(cid:125)(cid:97)(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)O(cid:50)(cid:232)PO^EF(cid:50)
(cid:218)(cid:95)(cid:24)PEFI(cid:95)(cid:24)ABCD=EF (cid:50)POÌ(cid:95)(cid:24)PEF(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PO^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:151)(cid:235)PE=2 3,PF =2,EF =4(cid:50)(cid:208)PE2+PF2 =EF2(cid:50)(cid:232)PE^PF(cid:50)
1 1 PE×PF
(cid:208) PE×PF = PO×EF(cid:50)(cid:111)(cid:151)PO= = 3(cid:50)
2 2 EF
(cid:158)(cid:77)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81) 3.
(cid:233)(cid:234)(cid:235)D.
4(cid:196)（2024·天津·高考真题）(cid:131)(cid:51)(cid:236)(cid:7)(cid:24)(cid:20)ABC-DEF (cid:104)(cid:50)(cid:52)AD,BE,CF (cid:247)(cid:223)(cid:95)(cid:124)(cid:50)(cid:58)(cid:248)(cid:248)(cid:249)(cid:17)(cid:186)(cid:187)(cid:200)(cid:81)
1(cid:196)(cid:250)AD=1(cid:50)BE=2(cid:50)CF =3(cid:196)(cid:208)(cid:207)(cid:7)(cid:24)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
3 3 1 3 3 3 1
A(cid:196) B(cid:196) + C(cid:196) D(cid:196) -
6 4 2 2 4 2
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:251)(cid:239)(cid:252)(cid:203)(cid:173)(cid:50)(cid:252)(cid:159)(cid:116)(cid:166)(cid:52)(cid:54)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:22)(cid:96)(cid:253)(cid:24)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:239)(cid:116)(cid:166)(cid:254)(cid:27)(cid:223)(cid:255)(cid:44)(cid:7)(cid:24)(cid:20)HIJ -LMN (cid:10)(cid:256)(cid:4)(cid:60)(cid:7)(cid:24)(cid:20)ABC-DEF (cid:116)(cid:116)(cid:85)(cid:257)(cid:11)(cid:60)(cid:207)(cid:7)(cid:24)(cid:20)(cid:223)(cid:258)(cid:50)(cid:259)
(cid:151)D,N(cid:260)E,M ;F,L(cid:74)(cid:65)(cid:50)(cid:261)(cid:81)AD(cid:262)BE(cid:262)CF (cid:50)(cid:58)(cid:248)(cid:248)(cid:249)(cid:17)(cid:186)(cid:187)(cid:81)1(cid:196)AD=1,BE =2,CF =3(cid:50)
(cid:208)(cid:203)(cid:159)(cid:44)(cid:35)(cid:263)(cid:65)(cid:20)(cid:81)(cid:116)(cid:166)(cid:264)(cid:52)(cid:54)(cid:50)
(cid:207)(cid:264)(cid:52)(cid:54)(cid:44)(cid:96)(cid:253)(cid:24)(cid:10)(cid:60)(cid:224)(cid:52)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:253)(cid:24)(cid:11)(cid:81)(cid:204)(cid:205)(cid:81)1(cid:44)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:224)(cid:52)(cid:205)(cid:81)1+3=2+2=3+1=4(cid:50)
1 1 1 3 3
V = V = ´ ´1´1´ ´4= .
ABC-DEF 2 ABC-HIJ 2 2 2 2
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
5(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)VABC(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)2(cid:44)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
PA=PB=2,PC = 6(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)1 B(cid:196) 3 C(cid:196)2 D(cid:196)3
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)A
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:126)(cid:127)AB^(cid:95)(cid:24)PEC(cid:50)(cid:5)(cid:265)(cid:264)(cid:52)(cid:55)(cid:81)(cid:266)(cid:199)(cid:24)(cid:248)(cid:166)(cid:267)(cid:264)(cid:52)(cid:55)(cid:50)(cid:22)(cid:42)(cid:249)(cid:43)(cid:81)AB(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:237)AB(cid:104)(cid:4)E(cid:50)(cid:245)(cid:70)PE,CE(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
QVABC(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)2(cid:44)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)PA=PB=2(cid:50)
\PE^ AB,CE^ AB(cid:50)(cid:268)PE,CEÌ(cid:95)(cid:24)PEC(cid:50)PEÇCE=E(cid:50)
\AB^(cid:95)(cid:24)PEC(cid:50)
3
(cid:268)PE=CE=2´ = 3(cid:50)PC = 6(cid:50)
2
(cid:233)PC2 =PE2+CE2(cid:50)(cid:232)PE^CE(cid:50)
1 1 1
(cid:158)(cid:77)V =V +V = S ×AB= ´ ´ 3´ 3´2=1(cid:50)
B-PEC A-PEC 3 (cid:269)PEC 3 2
(cid:233)(cid:234)(cid:235)A
6(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)
PC =PD=3,ÐPCA=45°(cid:50)(cid:208)△PBC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)A(cid:196)2 2 B(cid:196)3 2 C(cid:196)4 2 D(cid:196)6 2
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:238)(cid:239)(cid:27)(cid:57)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:44)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:173)(cid:270)(cid:168)(cid:126)(cid:151)VPDO@VPCO(cid:50)VPDB@VPCA(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:151)(cid:188)PA=PB(cid:50)
(cid:214)(cid:131)VPAC(cid:104)(cid:238)(cid:239)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:138)(cid:151)PA= 17(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:138)(cid:151)PB= 17(cid:50)(cid:218)(cid:274)(cid:131)△PBC(cid:104)(cid:238)(cid:239)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:60)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:24)
(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90)(cid:260)
1 uuur uuur
(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:275)(cid:131)VPAC(cid:104)(cid:238)(cid:239)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:138)(cid:151)PA= 17(cid:50)cosÐPCB= (cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:138)(cid:151)PA×PC =-3(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)
3
(cid:44)(cid:128)(cid:172)(cid:25)(cid:181)(cid:182)(cid:60)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:188)(cid:68)(cid:276)PB,ÐBPD(cid:44)(cid:79)(cid:228)(cid:263)(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:138)(cid:151)PB= 17(cid:50)(cid:218)(cid:274)(cid:131)△PBC(cid:104)(cid:238)(cid:239)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)
(cid:60)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:24)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:173)(cid:116)(cid:235)
(cid:245)(cid:64)AC,BD(cid:277)(cid:276)O(cid:50)(cid:245)(cid:64)PO(cid:50)(cid:208)O(cid:81)AC,BD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)AB=4(cid:50)(cid:158)(cid:77)AC =BD=4 2(cid:50)(cid:208)DO =CO =2 2 (cid:50)
(cid:268)PC=PD=3(cid:50)PO =OP(cid:50)(cid:158)(cid:77)VPDO@VPCO(cid:50)(cid:208)ÐPDO=ÐPCO(cid:50)
(cid:268)PC=PD=3(cid:50)AC =BD=4 2(cid:50)(cid:158)(cid:77)VPDB@VPCA(cid:50)(cid:208)PA=PB(cid:50)
(cid:131)VPAC(cid:104)(cid:50)PC =3,AC =4 2,ÐPCA=45°(cid:50)
2
(cid:208)(cid:218)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)PA2 = AC2+PC2-2AC×PCcosÐPCA=32+9-2´4 2´3´ =17(cid:50)
2
(cid:233)PA= 17(cid:50)(cid:208)PB= 17(cid:50)
(cid:233)(cid:131)△PBC(cid:104)(cid:50)PC =3,PB= 17,BC =4(cid:50)
PC2+BC2-PB2 9+16-17 1
(cid:158)(cid:77)cosÐPCB= = = (cid:50)
2PC×BC 2´3´4 3
2 2
(cid:268)0<ÐPCB<π(cid:50)(cid:158)(cid:77)sinÐPCB= 1-cos2ÐPCB = (cid:50)
3
1 1 2 2
(cid:158)(cid:77)△PBC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)S = PC×BCsinÐPCB= ´3´4´ =4 2.
2 2 3
(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:245)(cid:64)AC,BD(cid:277)(cid:276)O(cid:50)(cid:245)(cid:64)PO(cid:50)(cid:208)O(cid:81)AC,BD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)AB=4(cid:50)(cid:158)(cid:77)AC =BD=4 2(cid:50)
(cid:131)VPAC(cid:104)(cid:50)PC =3,ÐPCA=45°(cid:50)
2
(cid:208)(cid:218)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)PA2 = AC2+PC2-2AC×PCcosÐPCA=32+9-2´4 2´3´ =17(cid:50)(cid:233)PA= 17(cid:50)
2
PA2+PC2-AC2 17+9-32 17
(cid:158)(cid:77)cosÐAPC = = =- (cid:50)(cid:208)
2PA×PC 2´ 17´3 17
uuur uuur uuur uuur æ 17ö
PA×PC = PA PC cosÐAPC = 17´3´ç- ÷=-3(cid:50)
ç 17 ÷
è ø
(cid:243)(cid:244)(cid:278)PB=m,ÐBPD=q(cid:50)
uuur 1 uuur uuur  1 uuur uuur   uuur uuur 2  uuur uuur 2
(cid:261)(cid:81)PO= PA+PC = PB+PD (cid:50)(cid:158)(cid:77) PA+PC = PB+PD (cid:50)
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:232) 2 2 2 2 (cid:50)
PA +PC +2PA×PC =PB +PD +2PB×PD
(cid:208)17+9+2´-3=m2+9+2´3´mcosq(cid:50)(cid:279)(cid:89)(cid:151)m2+6mcosq-11=0 (cid:50)
(cid:268)(cid:131)VPBD(cid:104)(cid:50)BD2 =PB2+PD2-2PB×PDcosÐBPD(cid:50)(cid:232)32=m2+9-6 ① mcosq(cid:50)(cid:208)m2-6mcosq-23=0 (cid:50)
(cid:248)(cid:195)(cid:223)(cid:280)(cid:151)2m2-34=0(cid:50)(cid:233)PB=m= 17(cid:50) ②
(cid:233)(cid:131)△PBC(cid:104)(cid:50)PC =3,PB= 17,BC =4(cid:50)
PC2+BC2-PB2 9+16-17 1
(cid:158)(cid:77)cosÐPCB= = = (cid:50)
2PC×BC 2´3´4 3
2 2
(cid:268)0<ÐPCB<π(cid:50)(cid:158)(cid:77)sinÐPCB= 1-cos2ÐPCB = (cid:50)
3
1 1 2 2
(cid:158)(cid:77)△PBC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)S = PC×BCsinÐPCB= ´3´4´ =4 2.
2 2 3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
7(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:220)(cid:55)PO(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81) 3(cid:50)O(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:281)(cid:50)PA(cid:50)PB(cid:81)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:97)(cid:50)9 3
ÐAOB=120°(cid:50)(cid:250)VPAB(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:276) (cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
4
A(cid:196)p B(cid:196) 6p C(cid:196)3p D(cid:196)3 6p
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:282)(cid:109)(cid:283)(cid:284)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:24)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:213)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:138)(cid:213)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:20)(cid:25)(cid:176)(cid:135).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:131)VAOB(cid:104)(cid:50)ÐAOB=120o(cid:50)(cid:231)OA=OB= 3(cid:50)(cid:237)AB(cid:104)(cid:4)C(cid:50)(cid:245)(cid:70)OC,PC(cid:50)(cid:67)
OC ^ AB,PC ^ AB(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
3 9 3 1 9 3
(cid:285)ABO=30o(cid:50)OC = ,AB=2BC =3(cid:50)(cid:218)VPAB(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81) (cid:50)(cid:151) ´3´PC = (cid:50)
2 4 2 4
3 3 3 3 3
(cid:90)(cid:151)PC = (cid:50)(cid:276)(cid:73)PO= PC2-OC2 = ( )2-( )2 = 6(cid:50)
2 2 2
1 1
(cid:158)(cid:77)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)V = π´OA2´PO= π´( 3)2´ 6 = 6π.
3 3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B
1
8(cid:196)（2023·天津·高考真题）(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)(cid:4)M,N(cid:5)(cid:206)(cid:131)(cid:52)PC,PB(cid:33)(cid:50)(cid:58)PM = PC(cid:50)
3
2
PN = PB(cid:50)(cid:208)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-AMN (cid:43)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:249)(cid:286)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
3
1 2 1 4
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
9 9 3 9
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:5)(cid:206)(cid:115)M,C(cid:176)MM¢ ^PA,CC¢ ^PA,(cid:125)(cid:246)(cid:5)(cid:206)(cid:81)M¢,C¢.(cid:115)B(cid:176)BB¢ ^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)B¢(cid:50)(cid:245)(cid:70)
PB¢,(cid:115)N (cid:176)NN¢ ^PB¢,(cid:125)(cid:246)(cid:81)N¢.(cid:275)(cid:126)NN¢^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)(cid:208)(cid:111)(cid:151)(cid:188)BB¢//NN¢(cid:50)(cid:214)(cid:126)MM¢//CC¢.(cid:218)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:223)
MM¢ 1 NN' 2 V V
(cid:287)(cid:151)(cid:188) = (cid:50) = (cid:50)(cid:214)(cid:218) P-AMN = N-PAM (cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:213)(cid:20)(cid:25)(cid:286).
CC¢ 3 BB' 3 V V
P-ABC B-PAC
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:5)(cid:206)(cid:115)M,C(cid:176)MM¢ ^PA,CC¢ ^PA,(cid:125)(cid:246)(cid:5)(cid:206)(cid:81)M¢,C¢.(cid:115)B(cid:176)BB¢ ^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)B¢(cid:50)(cid:245)(cid:70)PB¢,(cid:115)N (cid:176)NN¢ ^PB¢,(cid:125)(cid:246)(cid:81)N¢.
(cid:261)(cid:81)BB¢ ^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)BB¢Ì(cid:95)(cid:24)PBB¢(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24) PBB¢ ^ (cid:95)(cid:24)PAC.
(cid:268)(cid:261)(cid:81)(cid:95)(cid:24)PBB¢
I
(cid:95)(cid:24)PAC =PB¢(cid:50)NN¢ ^PB¢(cid:50)NN¢ Ì(cid:95)(cid:24)PBB¢(cid:50)(cid:158)(cid:77)NN¢^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)(cid:58)BB¢//NN¢.
PM MM¢ 1
(cid:131)VPCC¢(cid:104)(cid:50)(cid:261)(cid:81)MM¢ ^PA,CC¢ ^PA(cid:50)(cid:158)(cid:77)MM¢//CC¢(cid:50)(cid:158)(cid:77) = = (cid:50)
PC CC¢ 3
PN NN¢ 2
(cid:131)△PBB¢(cid:104)(cid:50)(cid:261)(cid:81)BB¢//NN¢(cid:50)(cid:158)(cid:77) = = (cid:50)
PB BB¢ 3
1 S ×NN¢ 1 ×ç æ1 PA×MM¢ ÷ ö ×NN¢
V V 3 VPAM 3 è2 ø 2
(cid:158)(cid:77) P-AMN = N-PAM = = = .
V P-ABC V B-PAC 1 3 S VPAC ×BB¢ 1 3 ×ç è æ1 2 PA×CC¢ ÷ ø ö ×BB¢ 9
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B
9(cid:196)（2022·天津·高考真题） (cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:256)(cid:73)(cid:104)(cid:28)(cid:292)(cid:293)(cid:174)(cid:294)(cid:295)(cid:256)(cid:44)(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:195)(cid:249)(cid:116)(cid:50)(cid:299)(cid:236)(cid:104)(cid:44)(cid:233)(cid:300)(cid:160)(cid:301)(cid:44)(cid:256)(cid:302)(cid:232)
(cid:81)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:256).(cid:22)(cid:33)(cid:302)(cid:111)(cid:303)(cid:81)(cid:218)(cid:248)(cid:166)(cid:223)(cid:255)(cid:44)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)(cid:74)(cid:304)(cid:231)(cid:159)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:10)(cid:51)(cid:305)(cid:236)(cid:11).(cid:306)(cid:248)(cid:166)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)(cid:67)(cid:116)(cid:166)(cid:194)
(cid:266)(cid:224)(cid:24)ABCD.(cid:131)(cid:199)(cid:24)BCE(cid:104)(cid:50)(cid:250)BE=CE=3,ÐBEC =120°,(cid:208)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
27 27 3
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196)27 D(cid:196)27 3
2 2
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:96)(cid:146)(cid:236)(cid:50)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:64)(cid:65)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:263)(cid:65)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:111)(cid:303)(cid:81)(cid:96)(cid:264)(cid:54)BCE-ADF (cid:60)(cid:248)(cid:166)(cid:264)(cid:52)(cid:55)S-MAB(cid:50)S-NCD(cid:308)(cid:70)(cid:231)(cid:159).
(cid:278)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)BCD-ADF(cid:44)(cid:199)(cid:24)BCE(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)S(cid:50)(cid:42)(cid:81)h(cid:50)(cid:158)(cid:138)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)V (cid:50)1 1 3 9 3
(cid:208)S = BE×CE×sin120° = ´3´3´ = (cid:50)
2 2 2 4
h=CD=BC =3 3.
(cid:158)(cid:77)V =V +V +V
(cid:264)(cid:52)(cid:54)BCE-ADF (cid:264)(cid:52)(cid:55)S-MAB (cid:264)(cid:52)(cid:55)S-NCD
1 1 1 1 4
=Sh+ S× h+ S× h= Sh=27.
3 2 3 2 3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
10(cid:196)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:81)1(cid:50)(cid:33)(cid:26)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:5)(cid:206)(cid:81)3 3(cid:43)4 3(cid:50)(cid:22)(cid:256)
(cid:4)(cid:309)(cid:131)(cid:255)(cid:116)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:56)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)100π B(cid:196)128π C(cid:196)144π D(cid:196)192π
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)A
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:138)(cid:213)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)(cid:33)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:158)(cid:131)(cid:220)(cid:24)(cid:44)(cid:221)(cid:222)r,r (cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:56)(cid:281)(cid:186)(cid:50)(cid:220)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:77)(cid:21)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)
1 2
(cid:249)(cid:17)(cid:44)(cid:68)(cid:100)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:90)(cid:213)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:151)(cid:213)(cid:56)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:196)
3 3 4 3
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:227)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)(cid:33)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:158)(cid:131)(cid:220)(cid:24)(cid:44)(cid:221)(cid:222)r,r (cid:50)(cid:158)(cid:77)2r = ,2r = (cid:50)(cid:232)r =3,r =4(cid:50)(cid:227)(cid:56)(cid:281)
1 2 1 sin60o 2 sin60o 1 2
(cid:188)(cid:33)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:5)(cid:206)(cid:81)d ,d (cid:50)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:81)R(cid:50)(cid:158)(cid:77)d = R2-9(cid:50)d = R2-16(cid:50)(cid:233) d -d =1(cid:175)
1 2 1 2 1 2
d +d =1(cid:50)(cid:232) R2-9- R2-16 =1(cid:175) R2-9+ R2-16 =1(cid:50)(cid:90)(cid:151)R2 =25(cid:310)(cid:65)(cid:13)(cid:219)(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:56)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:81)
1 2
S =4πR2 =100π(cid:196)
(cid:233)(cid:234)(cid:235)A(cid:196)
11(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:38)(cid:26)(cid:39)(cid:248)(cid:166)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:223)(cid:57)(cid:50)(cid:224)(cid:24)(cid:311)(cid:312)(cid:236)(cid:44)(cid:220)(cid:281)(cid:160)(cid:249)(cid:43)(cid:81)2π(cid:50)(cid:224)(cid:24)(cid:25)S V
(cid:5)(cid:206)(cid:81)S (cid:43)S (cid:50)(cid:20)(cid:25)(cid:5)(cid:206)(cid:81)V (cid:43)V (cid:196)(cid:250) (cid:38) =2(cid:50)(cid:208) (cid:38) =(cid:10) (cid:11)
(cid:38) (cid:39) (cid:38) (cid:39) S V
(cid:39) (cid:39)
5 10
A(cid:196) 5 B(cid:196)2 2 C(cid:196) 10 D(cid:196)
4
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:227)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:81)l(cid:50)(cid:38)(cid:220)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r (cid:50)(cid:39)(cid:220)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r (cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:111)(cid:151)r =2r (cid:50)
1 2 1 2
(cid:214)(cid:64)(cid:65)(cid:220)(cid:281)(cid:160)(cid:249)(cid:43)(cid:111)(cid:313)r,r (cid:5)(cid:206)(cid:239)l(cid:23)(cid:307)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:5)(cid:206)(cid:138)(cid:213)(cid:248)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:232)
1 2
(cid:111)(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:90)(cid:235)(cid:227)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:81)l(cid:50)(cid:38)(cid:220)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r (cid:50)(cid:39)(cid:220)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r (cid:50)
1 2
S prl r
(cid:208) (cid:38) = 1 = 1 =2(cid:50)
S prl r
(cid:39) 2 2
(cid:158)(cid:77)r =2r (cid:50)
1 2
2pr 2pr
(cid:268) 1 + 2 =2p(cid:50)
l l
r +r
(cid:208) 1 2 =1(cid:50)
l
2 1
(cid:158)(cid:77)r = l,r = l(cid:50)
1 3 2 3
4 5
(cid:158)(cid:77)(cid:38)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:42)h = l2- l2 = l(cid:50)
1 9 3
1 2 2
(cid:39)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:42)h = l2- l2 = l(cid:50)
2 9 3
1 4 5
pr2h l2´ l
(cid:158)(cid:77) V (cid:38) = 3 1 1 = 9 3 = 10.
V (cid:39) 1 pr2h 1 l2´ 2 2 l
3 2 2 9 3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
12(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:56)O(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:81)1(cid:50)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:256)(cid:4)(cid:81)O(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:80)(cid:166)(cid:256)(cid:4)(cid:200)(cid:131)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)
(cid:24)(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:240)(cid:207)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:316)(cid:132)(cid:242)(cid:50)(cid:22)(cid:42)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
1 1 3 2
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
3 2 3 2
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:275)(cid:126)(cid:127)(cid:240)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:256)(cid:4)O(cid:188)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:131)(cid:267)(cid:220)(cid:186)(cid:187)(cid:116)(cid:109)(cid:242)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:81)
2r2(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:151)(cid:188)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:23)(cid:318)(cid:195)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:200)(cid:317)(cid:109)(cid:89)(cid:319)(cid:138)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:44)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:151)(cid:188)(cid:240)(cid:207)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:316)(cid:132)(cid:242)(cid:22)(cid:42)(cid:44)(cid:317).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)[(cid:79)(cid:173)(cid:116)](cid:235)(cid:209)(cid:316)(cid:320)(cid:90)(cid:211)(cid:105)(cid:106)(cid:243)(cid:57)(cid:195)
(cid:227)(cid:207)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:81)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:50)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:158)(cid:131)(cid:267)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r(cid:50)
(cid:227)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:85)(cid:160)(cid:97)(cid:321)(cid:160)(cid:81)a(cid:50)
1 1 1
(cid:208)S = ×AC×BD×sina£ ×AC×BD£ ×2r×2r=2r2
ABCD 2 2 2
(cid:10)(cid:240)(cid:58)(cid:322)(cid:240)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:242)(cid:57)(cid:323)(cid:159)(cid:324)(cid:11)
(cid:232)(cid:240)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:256)(cid:4)O(cid:188)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:131)(cid:267)(cid:220)(cid:186)(cid:187)(cid:116)(cid:109)(cid:242)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:81)2r2
(cid:268)(cid:227)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)h(cid:50)(cid:208)r2 + h2 = 1(cid:50)
1 2 2 ær2+r2+2h2 ö 3 4 3
V = ×2r2×h= r2×r2×2h2 £ ç ÷ =
O-ABCD 3 3 3 è 3 ø 27
3
(cid:240)(cid:58)(cid:322)(cid:240)r2 =2h2(cid:232)h= (cid:242)(cid:57)(cid:323)(cid:159)(cid:324).
3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C
[(cid:79)(cid:173)(cid:29)](cid:235)(cid:325)(cid:116)(cid:326)(cid:172)(cid:327)(cid:105)(cid:106)(cid:243)(cid:57)(cid:195)
(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:50)(cid:240)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:81)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:242)(cid:50)(cid:22)(cid:20)(cid:25)(cid:316)(cid:132)(cid:50)(cid:227)(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:81)a(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:158)(cid:131)(cid:220)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r(cid:50)(cid:208)
2 a2
r= a(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)h= 1- (cid:50)
2 2
æa2 a2 a2 ö 3
V = 1 a2 1- a2 = 4 a2 × a2 ×(1- a2 )£ 4 ç ç 4 + 4 +1- 2 ÷ ÷ = 4 ( 1 )3 = 4 3
3 2 3 4 4 2 3 ç 3 ÷ 3 3 27
ç ÷
è ø
a2 a2 4
((cid:240)(cid:58)(cid:322)(cid:240) =1- (cid:50)(cid:232)a2 = (cid:242)(cid:50)(cid:57)(cid:323)(cid:159)(cid:324))
4 2 3
a2 2 3
(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:316)(cid:132)(cid:242)(cid:50)(cid:22)(cid:42)h= 1- = 1- = .
2 3 3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C(cid:196)[(cid:79)(cid:173)(cid:264)](cid:235)(cid:238)(cid:239)(cid:328)(cid:128)(cid:138)(cid:316)(cid:317)
(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:50)(cid:240)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:81)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:242)(cid:50)(cid:22)(cid:20)(cid:25)(cid:316)(cid:132)(cid:50)(cid:227)(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:81)a(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:158)(cid:131)(cid:220)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r(cid:50)(cid:208)
2 a2 1 a2 1 t3
r= a(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)h= 1- (cid:50)V = a2 1- (cid:50)(cid:329)a2 =t(0<t<2)(cid:50)V = t2- (cid:50)(cid:227)
2 2 3 2 3 2
t3 3t2
f t=t2- (cid:50)(cid:208) f¢t=2t- (cid:50)
2 2
4 4
0<t< (cid:50) f¢t>0(cid:50)(cid:113)(cid:145)(cid:330)(cid:331)(cid:50) <t<2(cid:50) f¢t<0(cid:50)(cid:113)(cid:145)(cid:330)(cid:332)(cid:50)
3 3
4 a2 3
(cid:158)(cid:77)(cid:240)t = (cid:242)(cid:50)V (cid:316)(cid:132)(cid:50)(cid:274)(cid:242)h= 1- = (cid:196)
3 2 3(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
(cid:209)(cid:4)(cid:333)(cid:211)(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:334)(cid:335)(cid:148)(cid:149)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:105)(cid:106)(cid:243)(cid:57)(cid:195)(cid:138)(cid:316)(cid:317)(cid:50)(cid:336)(cid:49)(cid:337)(cid:338)(cid:50)(cid:73)(cid:207)(cid:13)(cid:44)(cid:316)(cid:320)(cid:90)(cid:260)
(cid:79)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:339)(cid:340)(cid:50)(cid:341)(cid:130)(cid:326)(cid:172)(cid:325)(cid:116)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:105)(cid:106)(cid:243)(cid:57)(cid:195)(cid:138)(cid:316)(cid:317)(cid:260)
(cid:79)(cid:173)(cid:264)(cid:235)(cid:339)(cid:340)(cid:50)(cid:341)(cid:130)(cid:326)(cid:172)(cid:325)(cid:116)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:328)(cid:128)(cid:138)(cid:316)(cid:317)(cid:50)(cid:73)(cid:316)(cid:317)(cid:71)(cid:13)(cid:44)(cid:59)(cid:239)(cid:90)(cid:173)(cid:50)(cid:342)(cid:176)(cid:112)(cid:343)(cid:50)(cid:73)(cid:110)(cid:185)(cid:110)(cid:173)(cid:196)
13(cid:196)（2022·北京·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:344)(cid:283)(cid:52)(cid:205)(cid:200)(cid:81)6(cid:50)S(cid:73)VABC(cid:21)(cid:22)(cid:201)(cid:302)(cid:44)(cid:4)(cid:86)(cid:159)(cid:44)(cid:345)
(cid:65)(cid:196)(cid:227)(cid:345)(cid:65)T =QÎS PQ£5 (cid:50)(cid:208)T(cid:23)(cid:307)(cid:44)(cid:167)(cid:346)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
3p
A(cid:196) B(cid:196)p C(cid:196)2p D(cid:196)3p
4
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:138)(cid:213)(cid:77)P(cid:81)(cid:56)(cid:281)(cid:50)5(cid:81)(cid:221)(cid:222)(cid:44)(cid:56)(cid:60)(cid:199)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:253)(cid:24)(cid:220)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:229)(cid:111)(cid:138)(cid:167)(cid:346)(cid:44)(cid:24)(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)
(cid:227)(cid:256)(cid:4)P(cid:131)(cid:199)(cid:24)(cid:33)(cid:44)(cid:192)(cid:193)(cid:81)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)BO(cid:50)(cid:208)O(cid:81)(cid:264)(cid:160)(cid:203)ABC(cid:44)(cid:104)(cid:281)(cid:50)
2 3
(cid:58)BO= ´6´ =2 3(cid:50)(cid:233)PO= 36-12 =2 6.
3 2
(cid:261)(cid:81)PQ=5(cid:50)(cid:233)OQ=1(cid:50)
(cid:233)Q(cid:44)(cid:347)(cid:348)(cid:81)(cid:77)O(cid:81)(cid:220)(cid:281)(cid:50)1(cid:81)(cid:221)(cid:222)(cid:44)(cid:220)(cid:50)
3
2´ ´36
(cid:231)(cid:264)(cid:160)(cid:203)ABC(cid:201)(cid:69)(cid:220)(cid:44)(cid:220)(cid:281)(cid:81)O(cid:50)(cid:221)(cid:222)(cid:81)
4
(cid:50)
= 3>1
3´6
(cid:233)Q(cid:44)(cid:347)(cid:348)(cid:220)(cid:131)(cid:264)(cid:160)(cid:203)ABC(cid:201)(cid:302)(cid:50)(cid:233)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:81)p
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B
14(cid:196)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:52)(cid:205)(cid:81)l(cid:50)(cid:22)(cid:47)(cid:256)(cid:4)(cid:309)(cid:131)(cid:255)(cid:116)(cid:56)(cid:24)(cid:33).(cid:250)(cid:207)(cid:56)(cid:44)(cid:20)(cid:25)
(cid:81)36p(cid:50)(cid:58)3£l£3 3(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:44)(cid:237)(cid:317)(cid:349)(cid:350)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
é 81ù é27 81ù é27 64ù
A(cid:196) 18, B(cid:196) , C(cid:196) , D(cid:196)[18,27]
ê ú ê ú ê ú
ë 4 û ë 4 4 û ë 4 3 û(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:227)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)h(cid:50)(cid:218)(cid:56)(cid:44)(cid:253)(cid:24)(cid:185)(cid:351)(cid:352)(cid:79)(cid:228)(cid:138)(cid:213)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:60)(cid:42)(cid:44)(cid:68)(cid:100)(cid:50)(cid:218)(cid:274)(cid:184)(cid:109)(cid:78)(cid:80)
(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:44)(cid:237)(cid:317)(cid:349)(cid:350).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211) (cid:56)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)36p(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)R=3,
∵
[(cid:79)(cid:173)(cid:116)](cid:235)(cid:328)(cid:128)(cid:173)
(cid:227)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:81)2a(cid:50)(cid:42)(cid:81)h(cid:50)
(cid:208)l2 =2a2+h2(cid:50)32 =2a2+(3-h)2,
(cid:158)(cid:77)6h=l2(cid:50)2a2 =l2-h2
1 1 2 l4 l2 1æ l6 ö
(cid:158)(cid:77)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)V = Sh= ´4a2´h= ´(l2- )´ = çl4- ÷(cid:50)
3 3 3 36 6 9è 36ø
1æ l5ö 1 æ24-l2 ö
(cid:158)(cid:77)V¢= ç4l3- ÷= l3 ç ÷(cid:50)
9è 6 ø 9 è 6 ø
(cid:240)3£l£2 6(cid:242)(cid:50)V¢>0(cid:50)(cid:240)2 6<l£3 3(cid:242)(cid:50)V¢<0(cid:50)
64
(cid:158)(cid:77)(cid:240)l =2 6(cid:242)(cid:50)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)V (cid:237)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:50)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:81) (cid:50)
3
27 81
(cid:268)l=3(cid:242)(cid:50)V = (cid:50)l =3 3(cid:242)(cid:50)V = ,
4 4
27
(cid:158)(cid:77)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)V (cid:44)(cid:316)(cid:267)(cid:317)(cid:81) (cid:50)
4
é27 64ù
(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:44)(cid:237)(cid:317)(cid:349)(cid:350)(cid:73) (cid:50) .
ê ú
ë 4 3 û
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
[(cid:79)(cid:173)(cid:29)](cid:235)(cid:105)(cid:106)(cid:243)(cid:57)(cid:195)(cid:173)
4 2 1 1 é12-2h+h+hù 3 64
(cid:218)(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:233)(cid:158)(cid:77)V = a2h=  6h-h2 h= 12-2hh´h„ ´ê ú = ((cid:240)(cid:58)(cid:322)(cid:240)h=4(cid:237)(cid:188))(cid:50)
3 3 3 3 3 3
ë û
3 3 3 1 1 3 3 3 27
(cid:240)h= (cid:242)(cid:50)(cid:151)a= (cid:50)(cid:208)V = a2h= ( )2´ = ;
2 2 min 3 3 2 2 43 9
(cid:240)l =3 3(cid:242)(cid:50)(cid:56)(cid:281)(cid:131)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:42)(cid:97)(cid:33)(cid:50)(cid:274)(cid:242)h= +3= (cid:50)
2 2
2 3 3 3 3 1 1 3 3 9 81 64
a= Þa= (cid:50)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)V = a2h= ( )2´ = < (cid:50)(cid:233)(cid:207)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:44)(cid:237)(cid:317)(cid:349)(cid:350)(cid:73)
2 2 2 1 3 3 2 2 4 3
27 64
[ , ].
4 3
15(cid:196)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:353)(cid:354)(cid:31)(cid:145)(cid:355)(cid:228)(cid:356)(cid:90)(cid:357)(cid:31)(cid:79)(cid:116)(cid:117)(cid:165)(cid:167)(cid:354)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:71)(cid:13)(cid:50)(cid:22)(cid:104)(cid:116)(cid:302)(cid:5)(cid:354)
(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:354)(cid:365).(cid:197)(cid:62)(cid:207)(cid:354)(cid:365)(cid:354)(cid:98)(cid:81)(cid:34)(cid:366)148.5m(cid:242)(cid:50)(cid:223)(cid:257)(cid:354)(cid:24)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)140km2(cid:260)(cid:354)(cid:98)(cid:81)(cid:34)(cid:366)157.5m(cid:242)(cid:50)(cid:223)(cid:257)(cid:354)
(cid:24)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)180km2(cid:50)(cid:313)(cid:207)(cid:354)(cid:365)(cid:131)(cid:306)(cid:248)(cid:166)(cid:354)(cid:98)(cid:17)(cid:44)(cid:203)(cid:367)(cid:368)(cid:176)(cid:116)(cid:166)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:354)(cid:365)(cid:354)(cid:98)(cid:271)(cid:34)(cid:366)148.5m(cid:33)(cid:369)(cid:188)
157.5m(cid:242)(cid:50)(cid:331)(cid:280)(cid:44)(cid:354)(cid:172)(cid:370)(cid:81)(cid:10) 7 »2.65(cid:11)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)1.0´109m3 B(cid:196)1.2´109m3 C(cid:196)1.4´109m3 D(cid:196)1.6´109m3
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:371)(cid:75)(cid:138)(cid:213)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:238)(cid:239)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:213)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:270)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:81)MN =157.5-148.5=9(m)(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:331)(cid:280)(cid:44)(cid:354)(cid:172)(cid:232)(cid:81)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)V (cid:196)
(cid:52)(cid:53)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:25)S =140km2 =140´106m2(cid:50)(cid:33)(cid:199)(cid:24)(cid:25)S¢=180km2 =180´106m2(cid:50)
1   1  
V = h S+S¢+ SS¢ = ´9´ 140´106+180´106+ 140´180´1012
3 3
∴ =3´  320+60 7  ´106 »96+18´2.65´107 =1.437´109 »1.4´109(m3)(cid:196)
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C(cid:196)
16(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:234)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:198)(cid:352)(cid:372)(cid:20)(cid:104)(cid:50)(cid:93)(cid:373)(cid:374)(cid:279)(cid:20)(cid:375)(cid:363)(cid:52)(cid:205)(cid:81)1(cid:10)(cid:113)(cid:98)(cid:235)m(cid:11)(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:20)
(cid:376)(cid:377)(cid:10)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:379)(cid:120)(cid:380)(cid:381)(cid:243)(cid:189)(cid:11)(cid:201)(cid:44)(cid:67)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:96)(cid:222)(cid:81)0.99m(cid:44)(cid:56)(cid:20)
B(cid:196)(cid:158)(cid:67)(cid:52)(cid:205)(cid:200)(cid:81)1.4m(cid:44)(cid:80)(cid:24)(cid:20)
C(cid:196)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:81)0.01m(cid:50)(cid:42)(cid:81)1.8m(cid:44)(cid:220)(cid:54)(cid:20)
D(cid:196)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:81)1.2m(cid:50)(cid:42)(cid:81)0.01m(cid:44)(cid:220)(cid:54)(cid:20)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)ABD(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:64)(cid:65)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:382)(cid:383)(cid:5)(cid:212)(cid:101)(cid:102).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:85)(cid:276)(cid:234)(cid:383)A(cid:235)(cid:261)(cid:81)0.99m<1m(cid:50)(cid:232)(cid:56)(cid:20)(cid:44)(cid:96)(cid:222)(cid:267)(cid:276)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:52)(cid:205)(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:93)(cid:373)(cid:374)(cid:279)(cid:20)(cid:375)(cid:363)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:201)(cid:50)(cid:233)A(cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)(cid:234)(cid:383)B(cid:235)(cid:261)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:24)(cid:85)(cid:160)(cid:97)(cid:205)(cid:81) 2m(cid:50)(cid:58) 2 >1.4(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:93)(cid:373)(cid:374)(cid:279)(cid:20)(cid:375)(cid:363)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:201)(cid:50)(cid:233)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)(cid:234)(cid:383)C(cid:235)(cid:261)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:85)(cid:160)(cid:97)(cid:205)(cid:81) 3m(cid:50)(cid:58) 3<1.8(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:243)(cid:93)(cid:373)(cid:374)(cid:279)(cid:20)(cid:375)(cid:363)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:201)(cid:50)(cid:233)C(cid:243)(cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)(cid:234)(cid:383)D(cid:235)(cid:261)(cid:81)1.2m>1m(cid:50)(cid:111)(cid:62)(cid:199)(cid:24)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:243)(cid:93)(cid:384)(cid:385)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:50)
(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:115)AC (cid:44)(cid:104)(cid:4)O(cid:176)OE ^ AC (cid:50)(cid:227)OEI AC =E(cid:50)
1 1
3 CC OE
(cid:111)(cid:62)AC = 2,CC =1,AC = 3,OA= (cid:50)(cid:208)tanÐCAC = 1 = (cid:50)
1 1 2 1 AC AO
1 OE
= 6
(cid:232) 2 3 (cid:50)(cid:90)(cid:151)OE= (cid:50)
4
2
2
æ 6ö 3 9 9 6
(cid:58)ç ÷ = = > =0.62(cid:50)(cid:232) >0.6(cid:50)
ç ÷
è 4 ø 8 24 25 4
(cid:233)(cid:77)AC (cid:81)(cid:386)(cid:111)(cid:93)(cid:85)(cid:387)(cid:375)(cid:99)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:81)1.2m(cid:220)(cid:54)(cid:50)
1
(cid:250)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:81)1.2m(cid:44)(cid:220)(cid:54)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:33)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:200)(cid:223)(cid:69)(cid:50)(cid:227)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:281)O (cid:50)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:69)(cid:4)(cid:81)
1
M (cid:50)
CC OM
(cid:111)(cid:62)(cid:235)AC ^OM,OM =0.6(cid:50)(cid:208)tanÐCAC = 1 = 1 (cid:50)
1 1 1 1 AC AO
1
1 0.6
(cid:232) = (cid:50)(cid:90)(cid:151)AO =0.6 2(cid:50)
2 AO 1
1
(cid:215)(cid:216)(cid:85)(cid:387)(cid:185)(cid:111)(cid:62)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:42)(cid:81) 3-2´0.6 2 »1.732-1.2´1.414=0.0352>0.01(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:93)(cid:373)(cid:374)(cid:279)(cid:20)(cid:375)(cid:363)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:201)(cid:50)(cid:233)D(cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:233)(cid:234)(cid:235)ABD.17(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:234)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:256)(cid:4)(cid:81)P(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:281)(cid:81)O(cid:50)AB(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:50)
ÐAPB=120°(cid:50)PA=2(cid:50)(cid:4)C(cid:131)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:388)(cid:33)(cid:50)(cid:58)(cid:29)(cid:24)(cid:160)P-AC-O(cid:81)45°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)(cid:196)
A(cid:196)(cid:207)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)π B(cid:196)(cid:207)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81)4 3π
C(cid:196)AC =2 2 D(cid:196)VPAC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81) 3
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)AC
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:26)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:102)A(cid:26)B(cid:234)(cid:383)(cid:44)(cid:78)(cid:184)(cid:185)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:101)(cid:102)C(cid:26)D(cid:234)(cid:383)(cid:44)(cid:78)(cid:184)(cid:185).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:270)(cid:13)(cid:219)(cid:50)ÐAPB=120°(cid:50)PA=2(cid:50)(cid:158)(cid:77)OP=1,OA=OB= 3(cid:50)
1  2
A(cid:234)(cid:383)(cid:50)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) ´π´ 3 ´1=π(cid:50)A(cid:234)(cid:383)(cid:78)(cid:184)(cid:260)
3
B(cid:234)(cid:383)(cid:50)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81)π´ 3´2=2 3π(cid:50)B(cid:234)(cid:383)(cid:389)(cid:390)(cid:260)
C(cid:234)(cid:383)(cid:50)(cid:227)D(cid:73)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:245)(cid:70)OD,PD(cid:50)
(cid:208)AC ^OD,AC ^PD(cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐPDO(cid:73)(cid:29)(cid:24)(cid:160)P-AC-O(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)
(cid:208)ÐPDO=45°(cid:50)(cid:158)(cid:77)OP=OD=1(cid:50)
(cid:233)AD=CD= 3-1= 2(cid:50)(cid:208)AC =2 2(cid:50)C(cid:234)(cid:383)(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1
D(cid:234)(cid:383)(cid:50)PD= 12+12 = 2(cid:50)(cid:158)(cid:77)S = ´2 2´ 2 =2(cid:50)D(cid:234)(cid:383)(cid:389)(cid:390).
VPAC 2
(cid:233)(cid:234)(cid:235)AC.
18(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:234)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)ED^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
FB(cid:262)ED,AB=ED=2FB(cid:50)(cid:278)(cid:264)(cid:52)(cid:55)E-ACD(cid:50)F-ABC(cid:50)F-ACE(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:5)(cid:206)(cid:81)V,V ,V (cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 2 3A(cid:196)V =2V B(cid:196)V =V
3 2 3 1
C(cid:196)V =V +V D(cid:196)2V =3V
3 1 2 3 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)CD
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:96)(cid:70)(cid:218)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:189)(cid:182)V,V (cid:50)(cid:245)(cid:70)BD(cid:277)AC(cid:276)(cid:4)M (cid:50)(cid:245)(cid:70)EM,FM (cid:50)(cid:218)V =V +V (cid:189)(cid:182)(cid:213)
1 2 3 A-EFM C-EFM
V (cid:50)(cid:270)(cid:168)(cid:101)(cid:102)(cid:234)(cid:383)(cid:232)(cid:111).
3
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)
1 1 1 4
(cid:227)AB=ED=2FB=2a(cid:50)(cid:261)(cid:81)ED^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)FBPED(cid:50)(cid:208)V = ×ED×S = ×2a× ×2a2 = a3(cid:50)
1 3 VACD 3 2 3
1 1 1 2
V = ×FB×S = ×a× ×2a2 = a3(cid:50)(cid:245)(cid:70)BD(cid:277)AC(cid:276)(cid:4)M (cid:50)(cid:245)(cid:70)EM,FM (cid:50)(cid:391)(cid:151)BD^ AC(cid:50)
2 3 VABC 3 2 3
(cid:268)ED^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)ACÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:208)ED^ AC(cid:50)(cid:268)EDIBD=D(cid:50)ED,BDÌ(cid:95)(cid:24)BDEF(cid:50)(cid:208)AC ^
(cid:95)(cid:24)BDEF(cid:50)
1
(cid:268)BM =DM = BD= 2a(cid:50)(cid:115)F (cid:176)FG^DE(cid:276)G(cid:50)(cid:391)(cid:151)(cid:80)(cid:204)(cid:203)BDGF(cid:81)(cid:392)(cid:203)(cid:50)(cid:208)FG=BD=2 2a,EG=a(cid:50)
2
(cid:208)EM = 2a2 +  2a 2 = 6a,FM = a2+  2a 2 = 3a(cid:50)EF = a2+  2 2a 2 =3a(cid:50)
1 3 2
EM2+FM2 =EF2(cid:50)(cid:208)EM ^FM (cid:50)S = EM×FM = a2(cid:50)AC =2 2a(cid:50)
VEFM 2 2
1
(cid:208)V =V +V = AC×S =2a3(cid:50)(cid:208)2V =3V (cid:50)V =3V (cid:50)V =V +V (cid:50)(cid:233)A(cid:26)B(cid:389)(cid:390)(cid:260)C(cid:26)D(cid:78)
3 A-EFM C-EFM 3 VEFM 3 1 3 2 3 1 2(cid:184).
(cid:233)(cid:234)(cid:235)CD.
19(cid:196)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:56)O(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)4 3π(cid:50)A(cid:50)B(cid:50)C(cid:50)D(cid:80)(cid:4)(cid:200)(cid:131)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:50)VABC
(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)DA=DB=DC = 2(cid:50)(cid:208)VABC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)__________(cid:196)
5 3
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)
4
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:56)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:151)(cid:213)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:218)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:85)(cid:387)(cid:185)(cid:151)(cid:213)(cid:56)(cid:281)(cid:44)(cid:98)(cid:99)(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:50)(cid:352)(cid:79)(cid:228)(cid:263)
(cid:138)(cid:90).
4
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:218)(cid:56)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:50)V = πR3 =4 3π(cid:50)(cid:90)(cid:151)R= 3(cid:50)
3
(cid:227)VABC(cid:44)(cid:394)(cid:281)(cid:81)H(cid:50)(cid:245)(cid:70)DH (cid:50)
(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:62)DH (cid:81)(cid:207)(cid:264)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:264)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:56)(cid:44)(cid:56)(cid:281)O(cid:131)DH (cid:33)(cid:50)
(cid:243)(cid:244)(cid:227)O(cid:131)(cid:97)(cid:395)DH (cid:33)(cid:50)(cid:245)(cid:70)AO,DO,AH(cid:50)
3x
(cid:227)VABC(cid:44)(cid:204)(cid:205)(cid:81) 3x(cid:50)(cid:218)(cid:78)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)(cid:50)AH = =x(cid:50)
2sin60o
ìx2+y2 =3
ï
(cid:214)(cid:227)OH = y(cid:50)(cid:218)(cid:13)(cid:62)(cid:50)í
 2
(cid:50)
ïx2+ y+ 3 =2
î
2
(cid:90)(cid:151)y=- (cid:10)(cid:396)(cid:317)(cid:23)(cid:307)(cid:56)(cid:281)O(cid:131)(cid:97)(cid:395)DH (cid:44)(cid:397)(cid:205)(cid:97)(cid:33)(cid:50)(cid:341)(cid:398)(cid:9)(cid:399)(cid:51)(cid:305)(cid:236)(cid:11)(cid:50)
3
5
(cid:158)(cid:77)x2 = (cid:50)
3
1  2 5 3
(cid:218)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:24)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:50)S = ´ 3x ´sin60o = .
VABC 2 4
20(cid:196)（2025·北京·高考真题）(cid:364)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:267)(cid:263)(cid:239)3D(cid:404)(cid:405)(cid:406)(cid:407)(cid:176)(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:408)(cid:284)(cid:111)(cid:77)(cid:409)(cid:92)(cid:81)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:76)(cid:24)(cid:20)(cid:50)
(cid:22)(cid:104)ABCDEF(cid:73)(cid:116)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:76)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:95)(cid:24)AFR^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:95)(cid:24)CDT ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
0
5
AB^BC(cid:50)AB//EF//RS//CD(cid:50) BC//DE//ST //AF .(cid:250) AB=BC =8,AF =CD=4,RA=RF =TC =T D= (cid:50)
0 0 0 2
(cid:208)(cid:207)(cid:76)(cid:24)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)________(cid:196)(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)60
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:313)(cid:116)(cid:221)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:5)(cid:265)(cid:159)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ARF-BHT (cid:43)(cid:80)(cid:52)(cid:55)B-HTSE(cid:229)(cid:64)(cid:65)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:111)(cid:138)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:44)(cid:20)(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:275)(cid:126)(cid:127)(cid:116)(cid:166)(cid:64)(cid:150)(cid:235)(cid:51)(cid:410)(cid:95)(cid:24)a^(cid:95)(cid:24)g(cid:50)(cid:95)(cid:24)b^(cid:95)(cid:24)g(cid:50)(cid:95)(cid:24)aIb=l(cid:50)(cid:208)l ^g.
(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:227)aÇg=a(cid:50)bÇg=b(cid:50) (cid:131)(cid:95)(cid:24)g(cid:237)(cid:116)(cid:4)O(cid:50)OÏa,OÏb(cid:50)
(cid:131)(cid:95)(cid:24)g(cid:201)(cid:115)O(cid:176)(cid:96)(cid:97)m(cid:50)(cid:259)(cid:151)m^a(cid:50)(cid:176)(cid:96)(cid:97)n(cid:50)(cid:259)(cid:151)n^b(cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:95)(cid:24)a^(cid:95)(cid:24)g(cid:50)mÌg(cid:50)(cid:233)m^a(cid:50)(cid:231)lÌa(cid:50)(cid:233)m^l(cid:50)
(cid:255)(cid:89)n^l(cid:50)(cid:231)mIn=O,m,nÌg(cid:50)(cid:233)l ^g .
(cid:198)(cid:24)(cid:411)(cid:412)(cid:71)(cid:13).
(cid:245)(cid:70)BE(cid:50)(cid:261)(cid:81)AB^BC(cid:58)AF//BC(cid:50)(cid:233)AF ^ AB(cid:50)(cid:255)(cid:89)BC ^CD(cid:50)EF ^ED(cid:50)
(cid:231)AB=BC =8,AF =CD=4(cid:50)(cid:233)(cid:96)(cid:160)(cid:413)(cid:203)ABEF(cid:60)(cid:96)(cid:160)(cid:413)(cid:203)CBED(cid:27)(cid:57)(cid:50)
(cid:233)ÐBEF =ÐBED=45°(cid:50)
(cid:131)(cid:96)(cid:160)(cid:413)(cid:203)ABEF(cid:104)(cid:50)(cid:115)B(cid:176)BT ^EF(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)T(cid:50)
(cid:208)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABTF(cid:81)(cid:392)(cid:203)(cid:50)(cid:58)VBTE(cid:81)(cid:77)ÐBTE(cid:81)(cid:96)(cid:160)(cid:44)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
(cid:233)EF =FT +TE= AB+BT = AB+AF =12(cid:50)
(cid:95)(cid:24)RAF ^(cid:95)(cid:24)ABEF(cid:50)(cid:95)(cid:24)RAFI(cid:95)(cid:24)ABEF = AF(cid:50)AF ^ AB,
ABÌ(cid:95)(cid:24)ABEF(cid:50)(cid:233)AB^(cid:95)(cid:24)RAF(cid:50)
(cid:237)AF (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:81)M (cid:50)BE(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:81)U (cid:50)CD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:81)V (cid:50)(cid:245)(cid:70)RM,MU,SU,UV (cid:50)
(cid:208)MU//RS(cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:111)(cid:126)RM ^(cid:95)(cid:24)ABEF(cid:50)(cid:231)RM Ì(cid:95)(cid:24)RMUS(cid:50)
(cid:233)(cid:95)(cid:24)RMUS ^(cid:95)(cid:24)ABEF(cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:95)(cid:24)VUS ^(cid:95)(cid:24)ABEF(cid:50)(cid:231)(cid:95)(cid:24)RMUSI(cid:95)(cid:24)VUS =SU(cid:50)(cid:233)SU ^(cid:95)(cid:24)ABEF(cid:50)
1
(cid:233)RM//SU (cid:50)(cid:233)(cid:80)(cid:204)(cid:203)RMUS(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:233)MU =RS = 8+12=10.
2
(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABSR(cid:104)(cid:115)B(cid:176)BH//AR(cid:50)(cid:277)RS (cid:276)H(cid:50)(cid:245)(cid:70)HT .
(cid:208)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABHR(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:58)RH//AB,RH=AB(cid:50)(cid:233)RH//FT,RH=FT(cid:50)
(cid:233)(cid:80)(cid:204)(cid:203)RFTH (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
(cid:231)BH ^ AB,BT ^ AB,BTIBH =B,BT,BH Ì(cid:95)(cid:24)BHT(cid:50)
(cid:233)AB^(cid:95)(cid:24)BHT(cid:50)(cid:233)(cid:95)(cid:24)ARF//(cid:95)(cid:24)BHT(cid:50)
(cid:231)AR=BH,RF =HT,AF =BT (cid:50)(cid:233)(cid:269)ARF @(cid:269)BHT (cid:50)
(cid:233)(cid:18)(cid:19)(cid:20)ARF-BHT (cid:81)(cid:96)(cid:52)(cid:54)(cid:50)
1 æ5ö 2
(cid:231)S VARF = 2 ´4´ ç è2 ÷ ø -4 =3(cid:50)(cid:233)V ARF-BHT =8´3=24,
(cid:261)(cid:81)AB//EF (cid:50)(cid:233)EF ^(cid:95)(cid:24)ARF(cid:50)
(cid:231)EF Ì(cid:95)(cid:24)RSEF(cid:50)(cid:233)(cid:95)(cid:24)ARF ^(cid:95)(cid:24)RSEF(cid:50)
(cid:131)(cid:95)(cid:24)ARF(cid:104)(cid:115)A(cid:176)AG^RF (cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)G(cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:111)(cid:126)AG^(cid:95)(cid:24)RSEF(cid:50)
1 12 1 12 1 5
(cid:231) AG´RF =3(cid:50)(cid:233)AG= (cid:50)(cid:233)V = ´ ´ 2+4´ =6(cid:50)
2 5 B-HTES 3 5 2 2
(cid:218)(cid:85)(cid:387)(cid:185)(cid:111)(cid:151)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)2´24+6=60(cid:50)
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)60.
21(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)BD=4 2,DB =9(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)(cid:44)
1 1 1 1 1
(cid:20)(cid:25)(cid:81)_________(cid:196)(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)112
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:138)(cid:213)(cid:224)(cid:52)(cid:205)(cid:43)(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:229)(cid:111)(cid:138)(cid:20)(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:261)(cid:81)BD=4 2(cid:58)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:233)BA=4(cid:50)
(cid:231)DB =9(cid:50)(cid:233)BB2+BD2 =81(cid:50)(cid:233)BB =7(cid:50)
1 1 1
(cid:233)(cid:158)(cid:138)(cid:20)(cid:25)(cid:81)7´16=112(cid:50)
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)112.
22(cid:196)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:116)(cid:166)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)4cm(cid:50)(cid:42)(cid:81)9cm(cid:44)(cid:415)(cid:416)(cid:220)(cid:54)(cid:203)(cid:376)(cid:377)(cid:10)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:379)(cid:120)(cid:380)(cid:381)(cid:243)(cid:189)(cid:11)
(cid:201)(cid:67)(cid:248)(cid:166)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:57)(cid:44)(cid:417)(cid:56)(cid:50)(cid:208)(cid:417)(cid:56)(cid:221)(cid:222)(cid:44)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:81)____________cm(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)2.5
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:54)(cid:60)(cid:56)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:77)(cid:21)(cid:56)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:111)(cid:138)(cid:213)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:260)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)
(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)4cm(cid:50)(cid:227)(cid:417)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r(cid:50)(cid:58)r<4(cid:50)
(cid:218)(cid:220)(cid:54)(cid:60)(cid:56)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:62)AB2 =(2r)2 =(8-2r)2 +(9-2r)2(cid:50)
(cid:232)4r2-68r+145=2r-52r-29=0(cid:50)Qr<4(cid:50)
\r=2.5.
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)2.5.
23(cid:196)（2024·北京·高考真题）(cid:418)(cid:293)(cid:419)(cid:420)(cid:227)(cid:189)(cid:44)“(cid:421)(cid:422)(cid:172)”(cid:73)(cid:423)(cid:26)(cid:65)(cid:26)(cid:369)(cid:26)(cid:424)(cid:26)(cid:425)(cid:7)(cid:172)(cid:65)(cid:116)(cid:44)(cid:37)(cid:183)(cid:172)(cid:377)(cid:50)(cid:22)(cid:104)(cid:369)
(cid:172)(cid:377)(cid:26)(cid:424)(cid:172)(cid:377)(cid:26)(cid:425)(cid:172)(cid:377)(cid:44)(cid:203)(cid:367)(cid:200)(cid:111)(cid:303)(cid:81)(cid:220)(cid:54).(cid:250)(cid:369)(cid:26)(cid:424)(cid:26)(cid:425)(cid:172)(cid:377)(cid:44)(cid:376)(cid:25)(cid:159)(cid:194)(cid:286)(cid:81)10(cid:44)(cid:57)(cid:286)(cid:128)(cid:352)(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:270)(cid:168)(cid:81) 65mm,325mm,325mm(cid:50)(cid:58)(cid:425)(cid:172)(cid:377)(cid:44)(cid:42)(cid:81)230mm(cid:50)(cid:208)(cid:424)(cid:172)(cid:377)(cid:44)(cid:42)(cid:81)______mm(cid:50)(cid:369)(cid:172)(cid:377)(cid:44)(cid:42)(cid:81)________
mm(cid:196)
115
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211) 23 57.5/
2
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:194)(cid:286)(cid:81)10(cid:44)(cid:57)(cid:286)(cid:128)(cid:352)(cid:111)(cid:151)(cid:68)(cid:276)(cid:42)(cid:120)(cid:44)(cid:79)(cid:228)(cid:263)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:22)(cid:90)(cid:229)(cid:111)(cid:151)(cid:426)(cid:248)(cid:166)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:42)(cid:120).
æ325ö 2 æ325ö 2
πç ÷ h πç ÷ ´230
è 2 ø 2 è 2 ø
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:227)(cid:369)(cid:172)(cid:377)(cid:44)(cid:42)(cid:81)h (cid:50)(cid:424)(cid:172)(cid:377)(cid:44)(cid:42)(cid:81)h (cid:10)(cid:113)(cid:98)(cid:309)(cid:73)mm(cid:11)(cid:50)(cid:208) = =10(cid:50)
1 2 æ65ö 2 æ325ö 2
πç ÷ h πç ÷ h
è 2 ø 1 è 2 ø 2
115
(cid:233)h =23mm(cid:50)h = mm.
2 1 2
115
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)23mm, mm.
2
24(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:220)(cid:53)(cid:38)(cid:26)(cid:39)(cid:44)(cid:33)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:200)(cid:81)r ,(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:200)(cid:81)r (cid:50)(cid:220)(cid:53)(cid:44)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:5)
1 2
(cid:206)(cid:81)2r -r ,3r -r(cid:50)(cid:208)(cid:220)(cid:53)(cid:38)(cid:60)(cid:39)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:249)(cid:286)(cid:81)______(cid:196)
2 1 2 1
6
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)
4
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:275)(cid:215)(cid:216)(cid:197)(cid:62)(cid:283)(cid:284)(cid:43)(cid:220)(cid:53)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:5)(cid:206)(cid:138)(cid:213)(cid:248)(cid:220)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:96)(cid:70)(cid:293)(cid:363)(cid:189)(cid:182)(cid:232)(cid:111)
(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:218)(cid:13)(cid:111)(cid:151)(cid:248)(cid:166)(cid:220)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:5)(cid:206)(cid:81)h = é2r -r ù 2 -r -r 2 = 3r -r (cid:50)
(cid:38) ë 1 2 û 1 2 1 2
h = é3r -r ù 2 -r -r 2 =2 2r -r (cid:50)
(cid:39) ë 1 2 û 1 2 1 2
1 
(cid:158)(cid:77) V (cid:38) = 3 S 2 +S 1 + S 2 S 1 h (cid:38) = h (cid:38) = 3r 1 -r 2  = 6 .
V 1  h 2 2r -r  4
(cid:39) S +S + S S h (cid:39) 1 2
3 2 1 2 1 (cid:39)
6
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235) .
4
25(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:4)S,A,B,C(cid:200)(cid:131)(cid:221)(cid:222)(cid:81)2(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:50)VABC(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)3(cid:44)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
SA^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:208)SA=________(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)2
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:275)(cid:239)(cid:78)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:138)(cid:199)(cid:24)(cid:394)(cid:70)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:214)(cid:64)(cid:65)(cid:96)(cid:52)(cid:54)(cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:56)(cid:77)(cid:21)(cid:138)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:181)(cid:182)(cid:138)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:313)(cid:264)(cid:52)(cid:55)S-ABC(cid:427)(cid:428)(cid:81)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)SMN- ABC(cid:50)
(cid:227)VABC(cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:220)(cid:220)(cid:281)(cid:81)O (cid:50)(cid:221)(cid:222)(cid:81)r(cid:50)
1AB 3
2r= = =2 3
(cid:208) sinÐACB 3 (cid:50)(cid:111)(cid:151)r= 3(cid:50)
2
1
(cid:227)(cid:264)(cid:52)(cid:55)S-ABC(cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:56)(cid:56)(cid:281)(cid:81)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)OA,OO (cid:50)(cid:208)OA=2,OO = SA(cid:50)
1 1 2
1
(cid:261)(cid:81)OA2 =OO2+OA2(cid:50)(cid:232)4=3+ SA2(cid:50)(cid:90)(cid:151)SA=2.
1 1 4
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)2.
(cid:209)(cid:4)(cid:429)(cid:211)(cid:79)(cid:173)(cid:4)(cid:429)(cid:235)(cid:76)(cid:24)(cid:20)(cid:60)(cid:56)(cid:69)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:44)(cid:138)(cid:90)(cid:79)(cid:173)
(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:21)(cid:56)(cid:60)(cid:52)(cid:54)(cid:26)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:69)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:242)(cid:50)(cid:116)(cid:430)(cid:115)(cid:56)(cid:281)(cid:21)(cid:76)(cid:24)(cid:20)(cid:44)(cid:87)(cid:431)(cid:4)((cid:116)(cid:430)(cid:81)(cid:70)(cid:26)(cid:69)(cid:4))(cid:175)(cid:97)(cid:176)(cid:253)(cid:24)(cid:50)
(cid:432)(cid:16)(cid:17)(cid:71)(cid:13)(cid:427)(cid:428)(cid:81)(cid:95)(cid:24)(cid:71)(cid:13)(cid:138)(cid:90)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:250)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:80)(cid:4)P(cid:26)A(cid:26)B(cid:26)C(cid:86)(cid:159)(cid:44)(cid:264)(cid:283)(cid:97)(cid:395)PA(cid:26)PB(cid:26)PC(cid:248)(cid:248)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:58)PA(cid:433)a(cid:50)PB(cid:433)b(cid:50)PC(cid:433)c(cid:50)(cid:116)
(cid:430)(cid:432)(cid:67)(cid:68)(cid:340)(cid:434)“(cid:252)(cid:203)”(cid:159)(cid:81)(cid:116)(cid:166)(cid:56)(cid:201)(cid:70)(cid:205)(cid:79)(cid:20)(cid:50)(cid:215)(cid:216)4R2(cid:433)a2(cid:327)b2(cid:327)c2(cid:138)(cid:90)(cid:260)
(cid:10)3(cid:11)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:201)(cid:69)(cid:56)(cid:44)(cid:96)(cid:222)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:52)(cid:205)(cid:260)
(cid:10)4(cid:11)(cid:56)(cid:43)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:52)(cid:223)(cid:69)(cid:242)(cid:50)(cid:56)(cid:44)(cid:96)(cid:222)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:24)(cid:85)(cid:160)(cid:97)(cid:205)(cid:260)
(cid:10)5(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:95)(cid:24)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:435)(cid:179)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:104)(cid:340)(cid:434)(cid:17)(cid:44)(cid:68)(cid:100)(cid:50)(cid:175)(cid:371)(cid:436)(cid:201)(cid:69)(cid:26)(cid:394)(cid:70)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:96)(cid:146)(cid:236)(cid:50)(cid:184)(cid:109)(cid:56)(cid:281)(cid:44)(cid:98)
(cid:99)(cid:50)(cid:437)(cid:438)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)((cid:96)(cid:222))(cid:60)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:197)(cid:62)(cid:172)(cid:44)(cid:68)(cid:100)(cid:50)(cid:352)(cid:79)(cid:228)((cid:263))(cid:138)(cid:90)(cid:196)
26(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB=4,O(cid:81)AC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:250)(cid:207)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:52)
1 1 1 1 1
(cid:60)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:67)(cid:194)(cid:266)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:56)O(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:44)(cid:237)(cid:317)(cid:349)(cid:350)(cid:73)________(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)[2 2,2 3]
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:240)(cid:56)(cid:73)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:56)(cid:242)(cid:221)(cid:222)(cid:316)(cid:132)(cid:50)(cid:240)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:73)(cid:56)(cid:44)(cid:132)(cid:220)(cid:44)(cid:201)(cid:70)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:242)(cid:221)(cid:222)(cid:318)(cid:188)(cid:316)(cid:267).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:227)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:81)R.
(cid:240)(cid:56)(cid:73)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:56)(cid:242)(cid:50)(cid:439)(cid:440)(cid:296)(cid:115)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:162)(cid:166)(cid:256)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:138)(cid:44)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:316)(cid:132)(cid:50)(cid:250)(cid:221)(cid:222)(cid:326)(cid:151)(cid:441)(cid:132)(cid:50)(cid:56)(cid:442)(cid:384)
(cid:385)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:50)(cid:328)(cid:443)(cid:56)(cid:24)(cid:43)(cid:52)(cid:444)(cid:67)(cid:277)(cid:4)(cid:50)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:56)(cid:96)(cid:222)2R¢(cid:81)(cid:20)(cid:85)(cid:160)(cid:97)(cid:205)AC = 42+42+42 =4 3(cid:50)(cid:232)2R¢=4 3,R¢=2 3(cid:50)(cid:233)R =2 3(cid:260)
1 max
(cid:5)(cid:206)(cid:237)(cid:224)(cid:52)AA,BB,CC ,DD (cid:44)(cid:104)(cid:4)M,H,G,N(cid:50)(cid:445)(cid:393)(cid:80)(cid:204)(cid:203)MNGH (cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:58)O(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)
1 1 1 1
MNGH (cid:44)(cid:85)(cid:160)(cid:97)(cid:277)(cid:4)(cid:50)
(cid:245)(cid:70)MG(cid:50)(cid:208)MG=4 2(cid:50)(cid:240)(cid:56)(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:132)(cid:220)(cid:439)(cid:440)(cid:73)(cid:80)(cid:204)(cid:203)MNGH (cid:44)(cid:394)(cid:70)(cid:220)(cid:50)(cid:56)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:318)(cid:188)(cid:316)(cid:267)(cid:50)(cid:232)R(cid:44)(cid:316)
(cid:267)(cid:317)(cid:81)2 2.
(cid:190)(cid:33)(cid:50)RÎ[2 2,2 3].
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)[2 2,2 3]
27(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)E(cid:50)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB(cid:50)CD (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:77)EF(cid:81)(cid:96)
1 1 1 1 1 1
(cid:222)(cid:44)(cid:56)(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:60)(cid:207)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:52)(cid:266)(cid:67)____________(cid:166)(cid:194)(cid:266)(cid:4)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)12
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:85)(cid:387)(cid:185)(cid:50)(cid:111)(cid:62)(cid:56)(cid:281)(cid:188)(cid:47)(cid:52)(cid:186)(cid:187)(cid:223)(cid:57)(cid:50)(cid:233)(cid:111)(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:243)(cid:244)(cid:227)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:52)(cid:205)(cid:81)2(cid:50)EF(cid:104)(cid:4)(cid:81)O(cid:50)(cid:237)CD(cid:50)CC (cid:104)(cid:4)G,M (cid:50)(cid:224)(cid:24)BBCC(cid:44)(cid:104)(cid:281)(cid:81)N (cid:50)(cid:245)(cid:70)
1 1 1
FG,EG,OM,ON,MN(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:50)O(cid:81)(cid:56)(cid:281)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:104)(cid:50)EF = FG2+EG2 = 22+22 =2 2(cid:50)
(cid:232)R= 2(cid:50)
(cid:208)(cid:56)(cid:281)O(cid:188)CC (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)OM = ON2+MN2 = 12+12 = 2(cid:50)
1(cid:158)(cid:77)(cid:56)O(cid:60)(cid:52)CC (cid:223)(cid:69)(cid:50)(cid:56)(cid:24)(cid:60)(cid:52)CC (cid:371)(cid:67)1(cid:166)(cid:277)(cid:4)(cid:50)
1 1
(cid:255)(cid:89)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:85)(cid:387)(cid:185)(cid:62)(cid:50)(cid:22)(cid:272)(cid:47)(cid:52)(cid:43)(cid:56)(cid:24)(cid:72)(cid:371)(cid:67)1(cid:166)(cid:277)(cid:4)(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:77)EF(cid:81)(cid:96)(cid:222)(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:52)(cid:44)(cid:277)(cid:4)(cid:446)(cid:128)(cid:81)12.
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)12
28(cid:196)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:53)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB=2,AB =1,AA = 2(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:52)(cid:53)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:20)(cid:25)(cid:81)________(cid:196)
7 6 7
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211) / 6
6 6
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:64)(cid:65)(cid:236)(cid:447)(cid:50)(cid:270)(cid:168)(cid:138)(cid:151)AO,AO,AM (cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:238)(cid:239)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90).
1 1 1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:115)A(cid:176)AM ^ AC(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)M (cid:50)(cid:391)(cid:62)AM (cid:81)(cid:80)(cid:52)(cid:53)ABCD-ABCD (cid:44)(cid:42)(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)AB=2,AB =1,AA = 2(cid:50)
1 1 1
1 1 2 1 1
(cid:208)AO = AC = ´ 2AB = ,AO= AC = ´ 2AB= 2(cid:50)
1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2
1 2 1 6
(cid:233)AM = AC-AC = (cid:50)(cid:208)AM = AA2-AM2 = 2- = (cid:50)
2 1 1 2 1 1 2 2
1 6 7 6
(cid:158)(cid:77)(cid:158)(cid:138)(cid:20)(cid:25)(cid:81)V = ´(4+1+ 4´1)´ = .
3 2 6
7 6
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235) .
6
29(cid:196)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:374)(cid:95)(cid:124)(cid:276)(cid:22)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:158)(cid:253)(cid:50)(cid:253)(cid:319)(cid:116)(cid:166)(cid:199)(cid:24)(cid:204)
(cid:205)(cid:81)2(cid:50)(cid:42)(cid:81)3(cid:44)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:50)(cid:158)(cid:151)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)______(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)28
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:265)(cid:252)(cid:173)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:185)(cid:351)(cid:77)(cid:21)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:151)(cid:78)(cid:184)(cid:135)(cid:210)(cid:260)(cid:79)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:215)(cid:216)(cid:53)(cid:20)
(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:96)(cid:70)(cid:181)(cid:182)(cid:138)(cid:90).
2 1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:218)(cid:276) = (cid:50)(cid:231)(cid:253)(cid:319)(cid:44)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)3(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:448)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)6(cid:50)
4 21
(cid:158)(cid:77)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) ´4´4´6=32(cid:50)
3
1
(cid:253)(cid:319)(cid:44)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) ´2´2´3=4(cid:50)
3
(cid:158)(cid:77)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)32-4=28.
1  
(cid:79)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) ´3´ 16+4+ 16´4 =28.
3
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)28.
30(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:364)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)4(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:81)9π(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81)___.
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)15π
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:275)(cid:138)(cid:151)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:43)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:138)(cid:151)(cid:207)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:220)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:81)9π(cid:50)(cid:208)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)3(cid:50)(cid:268)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)4(cid:50)
(cid:208)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:81)5(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81)3´5π=15π
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)15π
考点 02 点、平面、直线间的位置关系判断
1(cid:196)（2025·天津·高考真题）(cid:250)m(cid:81)(cid:96)(cid:97)(cid:50)a,b(cid:81)(cid:248)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:352)(cid:64)(cid:150)(cid:104)(cid:78)(cid:184)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:250)m//a,nÌa(cid:50)(cid:208)m//n B(cid:196)(cid:250)m^a,m^b(cid:50)(cid:208)a^b
C(cid:196)(cid:250)m//a,m^b(cid:50)(cid:208)a^b D(cid:196)(cid:250)mÌa,a^b(cid:50)(cid:208)m^b
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:111)(cid:101)(cid:102)A(cid:44)(cid:78)(cid:390)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:125)(cid:96)(cid:68)(cid:100)(cid:44)(cid:427)(cid:428)(cid:111)(cid:101)(cid:102)BCD(cid:44)(cid:78)(cid:390).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:85)(cid:276)A(cid:50)(cid:250)m//a,nÌa(cid:50)(cid:208)m,n(cid:111)(cid:95)(cid:124)(cid:175)(cid:157)(cid:24)(cid:50)(cid:233)A(cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)B(cid:50)(cid:250)m^a,m^b(cid:50)(cid:208)a//b(cid:50)(cid:233)B(cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)C(cid:50)(cid:250)m//a(cid:50)(cid:208)(cid:449)(cid:131)(cid:96)(cid:97)aÌa(cid:50)a//m(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:218)m^b(cid:111)(cid:151)a^b(cid:50)(cid:233)a^b(cid:50)(cid:233)C(cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)D(cid:50)mÌa,a^b(cid:50)(cid:208)m(cid:60)b(cid:111)(cid:95)(cid:124)(cid:175)(cid:223)(cid:277)(cid:175)mÌb(cid:50)(cid:233)D(cid:389)(cid:390)(cid:260)(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
2(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)ABCD-ABCD (cid:73)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:352)(cid:47)(cid:263)(cid:96)(cid:97)(cid:104)(cid:450)(cid:276)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:44)(cid:73)
1 1 1 1
(cid:10) (cid:11)(cid:196)
A(cid:196)AB(cid:43)CD (cid:260) B(cid:196)AA (cid:43)CC (cid:260) C(cid:196)BD (cid:43)BD(cid:260) D(cid:196)AD (cid:43)AB(cid:196)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)D
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:21)(cid:96)(cid:97)(cid:60)(cid:96)(cid:97)(cid:44)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:261)(cid:81)ABCD-ABCD (cid:73)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:158)(cid:77)AB//AB //CD (cid:50)(cid:233)A(cid:389)(cid:390)(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:224)(cid:52)(cid:397)(cid:205)(cid:277)(cid:276)(cid:116)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)AA (cid:60)CC (cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)B(cid:389)(cid:390)(cid:50)
1 1
(cid:255)(cid:89)BB (cid:60)DD (cid:72)(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:158)(cid:77)B,B,D,D(cid:80)(cid:4)(cid:266)(cid:24)(cid:50)(cid:158)(cid:77)BD (cid:60)BD(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)C(cid:389)(cid:390)(cid:50)
1 1 1 1 1 1
AD (cid:60)AB(cid:73)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:233)D(cid:78)(cid:184).
1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)D
3(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:67)(cid:248)(cid:166)(cid:243)(cid:255)(cid:44)(cid:95)(cid:24)a(cid:50)b(cid:43)(cid:248)(cid:283)(cid:243)(cid:255)(cid:44)(cid:96)(cid:97)m(cid:50)n(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:352)(cid:451)(cid:173)(cid:104)(cid:78)(cid:184)
(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:250)a^b(cid:50)m^a(cid:50)m^n(cid:50)(cid:208)n^b
B(cid:196)(cid:250)a^b(cid:50)m^a(cid:50)n^b(cid:50)(cid:208)m^n
C(cid:196)(cid:250)a(cid:262)b(cid:50)m//a(cid:50)n//b(cid:50)(cid:208)m(cid:262)n
D(cid:196)(cid:250)a(cid:262)b(cid:50)m//a(cid:50)m(cid:262)n(cid:50)(cid:208)n//b
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:50)(cid:218)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:97)(cid:24)(cid:68)(cid:100)(cid:382)(cid:116)(cid:101)(cid:102)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:188)(cid:64)(cid:410).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:85)(cid:276)A(cid:50)(cid:250)a^b(cid:50)m^a(cid:50)(cid:208)m//b(cid:175)mÌb(cid:50)
(cid:240)m//b(cid:242)(cid:50)m^n(cid:50)(cid:208)n//b(cid:175)(cid:452)n(cid:60)b(cid:453)(cid:277)(cid:175)(cid:452)nÌb(cid:50)
(cid:240)mÌb(cid:242)(cid:50)m^n(cid:50)(cid:208)n//b(cid:175)(cid:452)n(cid:60)b(cid:453)(cid:277)(cid:175)(cid:452)nÌb(cid:50)(cid:233)A(cid:389)(cid:390)(cid:260)
ur r
(cid:85)(cid:276)B(cid:50)(cid:250)a^b(cid:50)m^a(cid:50)n^b(cid:50)(cid:111)(cid:131)m,n(cid:237)m,n(cid:176)(cid:81)a,b(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)
ur r ur r
(cid:218)(cid:276)a^b(cid:50)(cid:233)m×n=0(cid:50)(cid:232)m^n(cid:50)(cid:208)m^n(cid:50)(cid:233)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)(cid:85)(cid:276)C(cid:50)(cid:250)a(cid:262)b(cid:50)m//a(cid:50)n//b(cid:50)(cid:208)m,n(cid:111)(cid:93)(cid:95)(cid:124)(cid:111)(cid:93)(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:72)(cid:111)(cid:93)(cid:157)(cid:24)(cid:50)(cid:233)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)D(cid:50)(cid:250)a(cid:262)b(cid:50)m//a(cid:50)m(cid:262)n(cid:50)(cid:208)n//b(cid:175)nÌb(cid:50)(cid:233)D(cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B
4(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:227)a(cid:26)b(cid:81)(cid:248)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:50)m(cid:26)n(cid:81)(cid:248)(cid:283)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:58)aIb=m.(cid:198)(cid:454)(cid:80)(cid:166)(cid:12)(cid:13)(cid:235)
(cid:250)m//n(cid:50)(cid:208)n//a(cid:175)n//b (cid:250)m^n(cid:50)(cid:208)n^a(cid:175)n^b
①(cid:250)n//a(cid:58)n//b(cid:50)(cid:208)m//n ②(cid:250)n(cid:60)a,b(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:223)(cid:57)(cid:50)(cid:208)m^n
③(cid:22)(cid:104)(cid:158)(cid:67)(cid:455)(cid:12)(cid:13)(cid:44)(cid:456)(cid:323)(cid:73)(cid:10) (cid:11) ④
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)①A③ ②④ ①②③ ①③④
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102) (cid:260)(cid:457)(cid:458)(cid:459)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102) (cid:260)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102) .
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:85) (cid:50)(cid:240)nÌa(cid:50)(cid:261)(cid:81)m//n(cid:50)mÌ①b(cid:50)(cid:208)n//b(cid:50) ②④ ③
(cid:240)nÌb(cid:50)(cid:261)①(cid:81)m//n(cid:50)mÌa(cid:50)(cid:208)n//a(cid:50)
(cid:240)n(cid:180)(cid:243)(cid:131)a(cid:72)(cid:243)(cid:131)b(cid:201)(cid:50)(cid:261)(cid:81)m//n(cid:50)mÌa,mÌb(cid:50)(cid:208)n//a(cid:58)n//b(cid:50)(cid:233) (cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:85) (cid:50)(cid:250)m^n(cid:50)(cid:208)n(cid:60)a,b(cid:243)(cid:116)(cid:109)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:233) (cid:389)(cid:390)(cid:260) ①
(cid:85)②(cid:50)(cid:115)(cid:96)(cid:97)n(cid:5)(cid:206)(cid:176)(cid:248)(cid:95)(cid:24)(cid:60)a,b(cid:5)(cid:206)(cid:223)(cid:277)②(cid:276)(cid:96)(cid:97)s(cid:43)(cid:96)(cid:97)t(cid:50)
(cid:261)③(cid:81)n//a(cid:50)(cid:115)(cid:96)(cid:97)n(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:60)(cid:95)(cid:24)a(cid:44)(cid:277)(cid:97)(cid:81)(cid:96)(cid:97)s(cid:50)(cid:208)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:62)n//s(cid:50)
(cid:255)(cid:89)(cid:111)(cid:151)n//t(cid:50)(cid:208)s//t(cid:50)(cid:261)(cid:81)sË(cid:95)(cid:24)b(cid:50)tÌ(cid:95)(cid:24)b(cid:50)(cid:208)s//(cid:95)(cid:24)b(cid:50)
(cid:261)(cid:81)sÌ(cid:95)(cid:24)a(cid:50)aIb=m(cid:50)(cid:208)s//m(cid:50)(cid:268)(cid:261)(cid:81)n//s(cid:50)(cid:208)m//n(cid:50)(cid:233) (cid:78)(cid:184)(cid:260)
③
(cid:85) (cid:50)(cid:250)aÇb=m,n(cid:60)a(cid:43)b(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:223)(cid:57)(cid:50)(cid:51)(cid:410)n//a,n//b(cid:50)(cid:208)m//n(cid:50)(cid:233) (cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:190)④(cid:33)(cid:371)(cid:67) (cid:78)(cid:184)(cid:50) ④
(cid:233)(cid:234)(cid:235)A.①③
5(cid:196)（2024·天津·高考真题）(cid:197)(cid:62)m,n(cid:73)(cid:248)(cid:283)(cid:96)(cid:97)(cid:50)a(cid:73)(cid:116)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:50)(cid:198)(cid:352)(cid:12)(cid:13)(cid:78)(cid:184)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:250)m//a(cid:50)m^n(cid:50)(cid:208)n^a B(cid:196)(cid:250)m^a,m^n(cid:50)(cid:208)n^a
C(cid:196)(cid:250)m//a,n^a(cid:50)(cid:208)m^n D(cid:196)(cid:250)m^a,n^a(cid:50)(cid:208)m^n
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:60)(cid:185)(cid:351)(cid:50)(cid:382)(cid:383)(cid:101)(cid:102)(cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:90).(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:85)(cid:276)A(cid:50)(cid:250)m//a(cid:50)m^n(cid:50)(cid:208)n,a(cid:95)(cid:124)(cid:175)(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:243)(cid:116)(cid:109)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:233)A(cid:389)(cid:390).
(cid:85)(cid:276)B(cid:50)(cid:250)m^a,m^n(cid:50)(cid:208)n//a(cid:175)nÌa(cid:50)(cid:233)B(cid:389)(cid:390).
(cid:85)(cid:276)C(cid:50)m//a,n^a(cid:50)(cid:115)m(cid:176)(cid:95)(cid:24)b(cid:50)(cid:259)(cid:151)bIa=s(cid:50)
(cid:261)(cid:81)mÌb(cid:50)(cid:233)m//s(cid:50)(cid:231)sÌa(cid:50)(cid:233)n^s(cid:50)(cid:233)m^n(cid:50)(cid:233)C(cid:78)(cid:184).
(cid:85)(cid:276)D(cid:50)(cid:250)m^a,n^a(cid:50)(cid:208)m//n(cid:50)(cid:233)D(cid:389)(cid:390).
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C.
6(cid:196)（2023·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:4)P(cid:81)(cid:97)(cid:395)AC (cid:33)(cid:44)(cid:460)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:352)(cid:96)
1 1 1 1 1 1
(cid:97)(cid:104)(cid:50)(cid:461)(cid:462)(cid:60)(cid:96)(cid:97)BP(cid:157)(cid:24)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)DD B(cid:196)AC C(cid:196)AD D(cid:196)BC
1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:116)(cid:116)(cid:101)(cid:102)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:218)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:391)(cid:62)(cid:240)P(cid:81)AC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:242)(cid:50)P(cid:81)BD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1 1 1 1
(cid:231)DD //BB (cid:50)(cid:158)(cid:77)B,D,D,B (cid:266)(cid:24)(cid:50)(cid:208)BP(cid:26)DD (cid:131)(cid:95)(cid:24)BDDB (cid:33)(cid:50)(cid:233)A(cid:243)(cid:310)(cid:13)(cid:219)(cid:260)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)AA//CC (cid:50)(cid:232)A,C,C,A(cid:266)(cid:24)(cid:50)
1 1 1 1
(cid:391)(cid:62)PÎ(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)(cid:231)BÏ(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)PÎAC (cid:50)PÏAC(cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:233)BP(cid:60)AC(cid:157)(cid:24)(cid:50)(cid:233)B(cid:310)(cid:65)(cid:13)(cid:219)(cid:260)
(cid:240)P(cid:26)C (cid:74)(cid:65)(cid:242)(cid:50)(cid:391)(cid:62)AB//DC,AB=DC (cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:208)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD (cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:208)(cid:274)(cid:242)AD//BP(cid:50)(cid:233)C(cid:243)(cid:310)(cid:65)(cid:13)(cid:219)(cid:260)
1 1 1
(cid:240)P(cid:26)C (cid:74)(cid:65)(cid:242)(cid:50)(cid:445)(cid:393)BC(cid:50)BP(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)D(cid:243)(cid:310)(cid:65)(cid:13)(cid:219).
1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B.
7(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)P(cid:26)Q(cid:26)R(cid:26)S(cid:5)(cid:206)(cid:81)(cid:52)AB(cid:26)BC(cid:26)BB (cid:26)CD
1 1 1 1 1(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:245)(cid:70)AS(cid:26)B D(cid:50)(cid:16)(cid:17)(cid:463)(cid:219)(cid:248)(cid:4)M(cid:26)N(cid:50)(cid:250)(cid:97)(cid:395)MN(cid:33)(cid:243)(cid:449)(cid:131)(cid:4)(cid:131)(cid:97)(cid:395)AS(cid:26)B D(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:387)M(cid:26)N
1 1 1 1
(cid:248)(cid:4)(cid:111)(cid:303)(cid:50)(cid:198)(cid:352)(cid:234)(cid:383)(cid:104)(cid:60)(cid:4)D (cid:111)(cid:303)(cid:44)(cid:81)(cid:10) (cid:11)(cid:196)
1
A(cid:196)(cid:4)Q B(cid:196)(cid:4)P C(cid:196)(cid:4)B D(cid:196)(cid:4)R
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)A
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:101)(cid:102)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)A(cid:234)(cid:383)(cid:50)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ADSP(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)QÎ BC,BC//PS(cid:50)(cid:151)(cid:4)QÏ(cid:95)(cid:24)ADSP(cid:50)(cid:151)AS(cid:60)DQ(cid:81)
1 1 1 1 1 1
(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:50)
(cid:80)(cid:204)(cid:203)DBBD(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:58)QÎ BC,BC I(cid:95)(cid:24)DBBD=B(cid:50)(cid:151)(cid:4)QÏ(cid:95)(cid:24)DBBD(cid:50)(cid:151)DB (cid:60)DQ(cid:81)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:50)(cid:151)Q,D (cid:248)(cid:4)(cid:111)(cid:303)(cid:50)(cid:233)A(cid:85)(cid:260)
1
B(cid:234)(cid:383)(cid:235)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ADSP(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)AS(cid:60)DP(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)B(cid:389)(cid:260)
1 1 1 1
C(cid:234)(cid:383)(cid:235)(cid:80)(cid:204)(cid:203)DBBD(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)DB(cid:60)DB (cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)C(cid:389)(cid:260)
1 1 1 1
D(cid:234)(cid:383)(cid:235)(cid:80)(cid:204)(cid:203)DBBD(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)DR(cid:60)DB (cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)D(cid:389)(cid:260)
1 1 1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)A.
8(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:33)(cid:34)(cid:34)(cid:68)(cid:132)(cid:301)(cid:44)(cid:33)(cid:24)(cid:111)(cid:77)(cid:368)(cid:176)(cid:116)(cid:166)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)(cid:50)(cid:80)(cid:166)(cid:224)(cid:24)(cid:67)(cid:80)(cid:166)(cid:242)(cid:464)(cid:50)(cid:208)
(cid:223)(cid:241)(cid:248)(cid:166)(cid:242)(cid:464)(cid:44)(cid:242)(cid:465)(cid:271)0(cid:242)(cid:427)(cid:188)12(cid:242)(cid:10)(cid:385)0(cid:242)(cid:243)(cid:385)12(cid:242)(cid:11)(cid:44)(cid:115)(cid:228)(cid:104)(cid:50)(cid:93)(cid:373)(cid:223)(cid:247)(cid:125)(cid:96)(cid:10) (cid:11)(cid:168)
A(cid:196)0 B(cid:196)2 C(cid:196)4 D(cid:196)12
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)(cid:223)(cid:241)(cid:224)(cid:24)(cid:44)(cid:97)(cid:97)(cid:68)(cid:100)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:240)(cid:242)(cid:465)(cid:131)3(cid:242)(cid:175)9(cid:242)(cid:223)(cid:247)(cid:125)(cid:96)(cid:50)0(cid:242)(cid:175)6(cid:242)(cid:242)(cid:465)(cid:95)(cid:124)(cid:50)(cid:22)(cid:225)(cid:242)(cid:17)(cid:242)(cid:465)(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:157)(cid:24)(cid:466)(cid:243)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:158)(cid:77)
(cid:93)(cid:373)(cid:125)(cid:96)2(cid:168).
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B.
考点 03 线面平行、垂直的证明
1(cid:196)（2026·天津·高考真题）(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:389)(cid:390)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)AC//AC B(cid:196)CC ^(cid:95)(cid:24)ABC C(cid:196)(cid:95)(cid:24)ACD //(cid:95)(cid:24)ACB D(cid:196)(cid:95)(cid:24)ADD ^(cid:95)(cid:24)ACD
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)D
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)A(cid:383)(cid:50)(cid:110)(cid:115)(cid:126)(cid:127)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ACC A (cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:64)(cid:150)(cid:260)B(cid:383)(cid:50)(cid:110)(cid:115)CC ^BC(cid:50)
1 1 1
CC ^CD(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)CC ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:260)C(cid:383)(cid:50)(cid:110)(cid:115)(cid:126)(cid:127)AC//(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)CD //(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:64)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:150)(cid:260)D(cid:383)(cid:50)(cid:467)(cid:227)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:151)(cid:213)AD^(cid:95)(cid:24)ACD (cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:213)(cid:468)(cid:469)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:213)(cid:64)(cid:150).
1
(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:138)(cid:95)(cid:24)ACD (cid:26)(cid:95)(cid:24)ACB(cid:43)(cid:95)(cid:24)ADD (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:101)(cid:102)(cid:97)(cid:26)(cid:24)
1 1 1 1
(cid:68)(cid:100).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)
1 1 1 1
A(cid:383)(cid:50)
AA //CC (cid:50)AA =CC (cid:50) (cid:80)(cid:204)(cid:203)ACC A (cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50) AC//AC (cid:50)A(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ ∴
B(cid:383)(cid:50)(cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)CC ^BC(cid:50)CC ^CD(cid:50)
1 1
BCÇCD=C(cid:50)BCÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)CDÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
CC ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:233)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1
∴ C(cid:383)(cid:50)AC//AC (cid:50)AC Ì(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)ACË(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50) AC//(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵ ∴
(cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)BC//AD (cid:50)BC=AD(cid:50) (cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD (cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
1 1 1 1 1 1
CD //AB(cid:50) ∴
1 1
∴ABÌ(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)CD Ë(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50) CD //(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵ ∴
ACICD =C(cid:50)ABIAC = A (cid:50) (cid:95)(cid:24)ACD //(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)C(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1 1 1 1 1
∵ D(cid:383)(cid:50) ∴
(cid:467)(cid:227)(cid:95)(cid:24)ADD ^(cid:95)(cid:24)ACD (cid:50)(cid:208)(cid:277)(cid:97)(cid:81)AD (cid:50)(cid:274)(cid:242)(cid:67)AD^ AD (cid:50)
1 1 1 1 1
AD^(cid:95)(cid:24)ACD (cid:50)
1 1
∴
ACÌ(cid:95)(cid:24)ACD (cid:50) AD^ AC(cid:50)
1 1
∵ ∴
(cid:245)(cid:70)AC (cid:50)CD(cid:50)
1 1 1
(cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)AC//AC (cid:50)(cid:208)AD^ AC (cid:50)(cid:233)ÐC AD=90°
1 1 1 1 1 1 1
(cid:131)VACD(cid:104)(cid:50)(cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)AC = AD=CD(cid:50)
1 1 1 1 1 1(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)ÐC AD=60°(cid:50)(cid:468)(cid:469)(cid:50)
1 1
∴(cid:233)D(cid:389)(cid:390).
(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:77)D(cid:81)(cid:470)(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:50)DA,DC,DD (cid:5)(cid:206)(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
1
(cid:227)AB=1(cid:50)(cid:208)A1,0,0(cid:50)B1,1,0(cid:50)C0,1,0(cid:50)D0,0,0(cid:50)A 1,0,1(cid:50)B 1,1,1(cid:50)C 0,1,1(cid:50)D 0,0,1(cid:50)
1 1 1 1
uuur uuuur uuuur uuuur
(cid:111)(cid:151)AC =-1,1,0(cid:50)AC =-1,1,0(cid:50)AD =-1,0,1(cid:50)BC =-1,0,1(cid:50)
1 1 1 1
uuur uuuur
(cid:85)(cid:276)A(cid:235)(cid:261)(cid:81)AC = AC (cid:50)(cid:111)(cid:151)AC//AC (cid:50)(cid:233)A(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1
(cid:85)(cid:276)B(cid:235)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:111)(cid:62)CC ^(cid:95)(cid:24)ABC (cid:50)(cid:233)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1
ur uuur
ur ì ïn ×AC =-x +y =0
(cid:85)(cid:276)C(cid:235)(cid:227)(cid:95)(cid:24)ACD (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =x,y ,z (cid:50)(cid:208)íur 1 uuuur 1 1 (cid:50)
1 1 1 1 1
ïîn ×AD =-x +z =0
1 1 1 1
ur
(cid:227)x =1(cid:50)(cid:111)(cid:151)y =z =1(cid:50)(cid:111)(cid:151)n =1,1,1(cid:260)
1 1 1 1
uur uuuur
uur ì ïn ×AC =-x +y =0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)ACB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =x ,y ,z (cid:50)(cid:208)íuur 2 uu 1 uur 1 2 2 (cid:50)
1 1 2 2 2 2
ïîn ×BC =-x +z =0
2 1 2 2
uur
(cid:227)x =1(cid:50)(cid:111)(cid:151)y =z =1(cid:50)(cid:111)(cid:151)n =1,1,1(cid:260)
2 2 2 2
ur uur
(cid:261)(cid:81)n =n (cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)ACD //(cid:95)(cid:24)ACB(cid:50)(cid:233)C(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 2 1 1 1
uur
(cid:85)(cid:276)D(cid:235)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:235)(cid:95)(cid:24)ADD (cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)n =0,1,0(cid:50)
1 3
ur ur
(cid:261)(cid:81)n ×n =1¹0(cid:50)(cid:111)(cid:62)(cid:95)(cid:24)ADD (cid:60)(cid:95)(cid:24)ACD (cid:243)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:233)D(cid:389)(cid:390).
1 3 1 1
2(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:205)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:197)(cid:62)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:43)(cid:95)(cid:24)AABB(cid:158)(cid:159)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:160)(cid:200)(cid:81)30°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)AB=2AD B(cid:196)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)30°
1 1C(cid:196)AC =CB D(cid:196)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)D
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:77)(cid:21)(cid:205)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:213)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:235)
(cid:243)(cid:244)(cid:227)AB=a,AD=b,AA =c(cid:50)(cid:270)(cid:13)(cid:77)(cid:21)(cid:205)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:111)(cid:62)(cid:50)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐBDB(cid:50)BD
1 1 1 1
c b
(cid:60)(cid:95)(cid:24)AABB(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐDBA(cid:50)(cid:158)(cid:77)sin30o = = (cid:50)(cid:232)b=c(cid:50)BD=2c= a2+b2+c2 (cid:50)(cid:90)(cid:151)a= 2c(cid:196)
1 1 1 BD BD 1
1 1
(cid:85)(cid:276)A(cid:50)AB=a(cid:50)AD=b(cid:50)AB= 2AD(cid:50)A(cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)B(cid:50)(cid:115)B(cid:176)BE^ AB (cid:276)E(cid:50)(cid:391)(cid:62)BE^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐBAE(cid:50)(cid:261)(cid:81)
1 1 1 1 1
c 2
tanÐBAE= = (cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐBAE¹30o(cid:50)B(cid:389)(cid:390)(cid:260)
a 2
(cid:85)(cid:276)C(cid:50)AC = a2+b2 = 3c(cid:50)CB = b2+c2 = 2c(cid:50)AC ¹CB (cid:50)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1
CD a 2
(cid:85)(cid:276)D(cid:50)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐDBC (cid:50)sinÐDBC = = = (cid:50)(cid:231)0<ÐDBC<90o(cid:50)(cid:158)(cid:77)
1 1 1 1 1 BD 2c 2 1
1
ÐDBC =45o(cid:196)D(cid:78)(cid:184)(cid:196)
1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)D(cid:196)
3(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)E(cid:50)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB,BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF ^(cid:95)(cid:24)BDD B(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF ^(cid:95)(cid:24)ABD
1 1 1 1
C(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF//(cid:95)(cid:24)AAC D(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF//(cid:95)(cid:24)ACD
1 1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)A
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:126)(cid:127)EF ^平面BDD ，即可判断A；(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:77)(cid:4)D(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:227)AB=2(cid:50)(cid:5)
1
(cid:206)(cid:138)(cid:213)平面BEF，ABD，ACD的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
1 1 1 1(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:90)(cid:235)在正方体ABCD-ABCD 中，
1 1 1 1
AC ^BD且DD ^平面ABCD，
1
又EF Ì平面ABCD，所以EF ^DD ，
1
因为E,F分别为AB,BC的中点，
所以EFP AC，所以EF ^BD，
又BDÇDD =D，
1
所以EF ^平面BDD ，
1
又EF Ì平面BEF，
1
所以平面BEF ^平面BDD ，故A正确；
1 1
选项BCD解法一：
(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:77)(cid:4)D(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:227)AB=2(cid:50)
(cid:208)B 2,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A 2,0,2,A2,0,0,C0,2,0(cid:50)
1 1
C 0,2,2(cid:50)
1
uuur uuur uuur uuuur
则EF =-1,1,0,EB =0,1,2，DB=2,2,0,DA =2,0,2，
1 1
uuur uuur uuuur
AA =0,0,2,AC =-2,2,0,AC =-2,2,0,
1 1 1
ur
设平面BEF的法向量为m=x,y,z ，
1 1 1 1
v uuuv
ìïm×EF =-x +y =0 ur
则有ív uuuv 1 1 ，可取m=2,2,-1，
ïîm×EB = y +2z =0
1 1 1
ur
同理可得平面ABD的法向量为n =1,-1,-1，
1 1
uur
平面AAC的法向量为n =1,1,0，
1 2
uur
平面ACD的法向量为n =1,1,-1，
1 1 3
ur ur
则m×n =2-2+1=1¹0(cid:50)
1
所以平面BEF与平面ABD不垂直，故B错误；
1 1
uur
ur
因为m与n 不平行，
2所以平面BEF与平面AAC不平行，故C错误；
1 1
ur uur
因为m与n 不平行，
3
所以平面BEF与平面ACD不平行，故D错误，
1 1 1
故选：A.
选项BCD解法二：
(cid:90)(cid:235)(cid:85)(cid:276)(cid:234)(cid:383)B(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)(cid:227)ABIBE=M (cid:50)EFIBD=N(cid:50)(cid:208)MN(cid:81)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:44)(cid:277)(cid:97)(cid:50)
1 1 1 1
(cid:131)VBMN(cid:201)(cid:50)(cid:176)BP^MN(cid:276)(cid:4)P(cid:50)(cid:131)VEMN(cid:201)(cid:50)(cid:176)GP^MN(cid:50)(cid:277)EN (cid:276)(cid:4)G(cid:50)(cid:245)(cid:64)BG(cid:50)
(cid:208)ÐBPG(cid:175)(cid:22)(cid:252)(cid:160)(cid:81)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:158)(cid:159)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)
1 1
(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:62)(cid:235)PB2+PN2 =BN2(cid:50)PG2+PN2 =GN2(cid:50)
(cid:199)(cid:24)(cid:78)(cid:79)(cid:203)ABCD(cid:104)(cid:50)E,F(cid:81)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)EF ^BD(cid:50)
(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)NB2+NG2 =BG2(cid:50)
(cid:271)(cid:231)(cid:67)(cid:235)NB2+NG2 =  PB2+PN2 +  PG2+PN2 =BG2(cid:50)
(cid:216)(cid:274)(cid:111)(cid:151)PB2+PG2 ¹BG2(cid:50)(cid:232)ÐBPG¹90o(cid:50)(cid:216)(cid:274)(cid:111)(cid:151)(cid:95)(cid:24)BEF ^(cid:95)(cid:24)ABD(cid:243)(cid:159)(cid:324)(cid:50)(cid:234)(cid:383)B(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1
(cid:85)(cid:276)(cid:234)(cid:383)C(cid:50)(cid:237)AB (cid:44)(cid:104)(cid:4)H(cid:50)(cid:208)AH PBE(cid:50)
1 1 1
(cid:218)(cid:276)AH(cid:60)(cid:95)(cid:24)AAC(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:262)(cid:95)(cid:24)AAC(cid:243)(cid:159)(cid:324)(cid:50)(cid:234)(cid:383)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1 1
(cid:85)(cid:276)(cid:234)(cid:383)D(cid:50)(cid:237)AD(cid:44)(cid:104)(cid:4)M (cid:50)(cid:471)(cid:127)(cid:445)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABFM (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:208)AM PBF(cid:50)
1 1 1 1
(cid:218)(cid:276)AM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ACD(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:233)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:262)(cid:95)(cid:24)ACD(cid:243)(cid:159)(cid:324)(cid:50)(cid:234)(cid:383)D(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1 1 1 1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)A.
4(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:234)(cid:13)(cid:11)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:131)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:50)A(cid:26)B(cid:81)(cid:248)(cid:166)(cid:109)(cid:4)(cid:50)(cid:460)(cid:4)C(cid:188)(cid:96)(cid:97)AB(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)2(cid:50)
(cid:460)(cid:4)D(cid:188)(cid:96)(cid:97)AB(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)1(cid:196)(cid:250)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AB-D(cid:81)60°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)ÐCAD³60° B(cid:196)CD³ 3
C(cid:196)(cid:240)AB^CD(cid:242)(cid:50)CD^(cid:95)(cid:24)ABD D(cid:196)(cid:240)AB^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:242)(cid:50)AC ^ AD
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)BC
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:472)(cid:213)(cid:473)(cid:246)(cid:283)(cid:284)(cid:44)(cid:236)(cid:50)(cid:115)(cid:4)C(cid:176)CE^ AB(cid:50)E(cid:81)(cid:125)(cid:246)(cid:50)(cid:115)(cid:4)D(cid:176)DF ^ AB(cid:50)F (cid:81)(cid:125)(cid:246)(cid:50)(cid:115)(cid:4)E(cid:176)
EG//FD(cid:50)(cid:218)(cid:283)(cid:284)(cid:111)(cid:151)ÐCEG=60o(cid:50)(cid:90)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:111)(cid:151)CG= 3(cid:50)(cid:218)(cid:274)(cid:101)(cid:102)B(cid:50)(cid:240)(cid:4)A(cid:60)(cid:4)E(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:474)(cid:475)(cid:132)(cid:242)(cid:50)
(cid:111)(cid:151)ÐCAD(cid:476)(cid:171)(cid:276)0o(cid:50)(cid:477)(cid:478)A(cid:50)(cid:275)(cid:126)(cid:127)AB^(cid:95)(cid:24)CDG(cid:50)(cid:64)(cid:65)AB^CD(cid:50)(cid:126)(cid:127) D,G(cid:74)(cid:65)(cid:50)(cid:218)(cid:274)(cid:126)(cid:127)CD^
(cid:95)(cid:24)ABD(cid:50)(cid:218)AB^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:143)(cid:213)(cid:4)A(cid:60)(cid:4)E(cid:74)(cid:65)(cid:50)(cid:4)D(cid:60)(cid:4)G(cid:74)(cid:65)(cid:50)(cid:101)(cid:102)D.(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:243)(cid:479)(cid:116)(cid:430)(cid:185)(cid:176)(cid:236)(cid:51)(cid:198)(cid:50)
(cid:115)(cid:4)C(cid:176)CE^ AB(cid:50)E(cid:81)(cid:125)(cid:246)(cid:50)(cid:115)(cid:4)D(cid:176)DF ^ AB(cid:50)F (cid:81)(cid:125)(cid:246)(cid:50)
(cid:115)(cid:4)E(cid:176)EG//FD(cid:50)EG=FD(cid:50)(cid:245)(cid:70)GD(cid:50)
(cid:208)EG^ AB(cid:50)(cid:261)(cid:81)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AB-D(cid:81)60o(cid:50)
(cid:158)(cid:77)ÐCEG=60o(cid:50)(cid:218)(cid:197)(cid:62)CE =2,DF =1(cid:50)
(cid:158)(cid:77)CG2 =4+1-2´2´1´cos60o =3(cid:50)(cid:158)(cid:77)CG= 3(cid:50)
(cid:233)CG^EG(cid:50)CD³CG= 3(cid:50)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:240)(cid:4)A(cid:60)(cid:4)E(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:474)(cid:475)(cid:132)(cid:242)(cid:50)CA(cid:50)AD(cid:474)(cid:475)(cid:132)(cid:50)CA,CD(cid:474)(cid:475)(cid:480)(cid:481)AB(cid:50)
(cid:274)(cid:242)ÐCAD(cid:476)(cid:171)(cid:276)0o(cid:50)A(cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:261)(cid:81)AB^CE,AB^EG(cid:50)CEI EG=E(cid:50)CE,EGÌ(cid:95)(cid:24)CEG(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AB^(cid:95)(cid:24)CEG(cid:50)(cid:268)CGÌ(cid:95)(cid:24)CEG(cid:50)(cid:158)(cid:77)AB^CG(cid:50)
(cid:250)AB^CD(cid:50)D,G(cid:243)(cid:74)(cid:65)(cid:50)(cid:64)(cid:65)CGICD=C(cid:50)CG,CDÌ(cid:95)(cid:24)CDG(cid:50)
(cid:111)(cid:151)AB^(cid:95)(cid:24)CDG(cid:50)DGÌ(cid:95)(cid:24)CDG(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AB^DG(cid:50)(cid:468)(cid:469)(cid:50)(cid:158)(cid:77)D,G(cid:74)(cid:65)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)AB^CG(cid:50)CG^EG(cid:50)EGIEF =E(cid:50)EG,EF Ì(cid:95)(cid:24)EFDG(cid:50)
(cid:158)(cid:77)CG^(cid:95)(cid:24)EFDG(cid:50) (cid:233)CD^(cid:95)(cid:24)ABD(cid:50)C(cid:78)(cid:184)(cid:260)
(cid:261)(cid:81)AB^(cid:95)(cid:24)CEG(cid:50)(cid:250)AB^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:50)
(cid:208)(cid:95)(cid:24)CEG(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACD(cid:74)(cid:65)(cid:50)(cid:274)(cid:242)(cid:4)A(cid:60)(cid:4)E(cid:74)(cid:65)(cid:50)(cid:4)D(cid:60)(cid:4)G(cid:74)(cid:65)(cid:50)
(cid:233)AC(cid:60)AD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:81)60o(cid:50)D(cid:389)(cid:390)(cid:50)
5(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:234)(cid:13)(cid:11)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)D(cid:81)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1
A(cid:196)AD^ AC B(cid:196)BC ^(cid:95)(cid:24)AAD
1 1 1 1
C(cid:196)AD//AB D(cid:196)CC //(cid:95)(cid:24)AAD
1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)BD
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:85)(cid:276)A(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:44)(cid:97)(cid:185)(cid:181)(cid:182)(cid:60)(cid:128)(cid:172)(cid:25)(cid:181)(cid:182)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102)(cid:260)(cid:85)(cid:276)B(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:101)(cid:109)
(cid:60)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102)(cid:260)(cid:85)(cid:276)D(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102)(cid:260)(cid:85)(cid:276)C(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:458)(cid:126)(cid:173)(cid:232)(cid:111)(cid:101)(cid:102)(cid:260)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:382)(cid:116)(cid:5)(cid:212)(cid:101)(cid:102)(cid:47)(cid:234)(cid:383)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:85)(cid:276)A(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AA ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1 1 1
uuur uuur
(cid:268)ADÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:208)AA ^AD(cid:50)(cid:208)AA×AD=0(cid:50)
1 1
uuur uuur
(cid:261)(cid:81)VABC(cid:73)(cid:78)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)D(cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)AD^BC(cid:50)(cid:208)DC×AD=0
uuur uuur uuur uuur
(cid:268)AC = AA+AD+DC(cid:50)
1 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
  2 2
(cid:158)(cid:77)AC×AD= AA+AD+DC ×AD= AA×AD+AD +DC×AD= AD ¹0(cid:50)
1 1 1
(cid:208)AD^ AC(cid:243)(cid:159)(cid:324)(cid:50)(cid:233)A(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1
(cid:85)(cid:276)B(cid:50)(cid:261)(cid:81)(cid:131)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AA ^(cid:95)(cid:24)ABC (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:268)BC Ì(cid:95)(cid:24)ABC (cid:50)(cid:208)AA ^BC (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)VABC(cid:73)(cid:78)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)D(cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)AD^BC(cid:50)AD^BC (cid:50)
1 1
(cid:268)AA IAD= A,AA,ADÌ(cid:95)(cid:24)AAD(cid:50)
1 1 1
(cid:158)(cid:77)BC ^(cid:95)(cid:24)AAD(cid:50)(cid:233)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1
(cid:85)(cid:276)D(cid:50)(cid:261)(cid:81)(cid:131)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)CC //AA
1 1 1 1 1
(cid:268)AA Ì(cid:95)(cid:24)AAD,CC Ì/ (cid:95)(cid:24)AAD(cid:50)(cid:158)(cid:77)CC //(cid:95)(cid:24)AAD(cid:50)(cid:233)D(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1 1 1
(cid:85)(cid:276)C(cid:50)(cid:261)(cid:81)(cid:131)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AB //AB(cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:467)(cid:227)AD//AB (cid:50)(cid:208)AD//AB(cid:50)(cid:306)(cid:60)ADÇAB= A(cid:468)(cid:469)(cid:50)
1 1
(cid:158)(cid:77)AD//AB (cid:243)(cid:159)(cid:324)(cid:50)(cid:233)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)BD.
(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:227)(cid:207)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)(cid:44)(cid:199)(cid:204)(cid:81)2(cid:50)(cid:42)(cid:81)h(cid:50)(cid:208)D0,0,0,A  3,0,0  ,A  3,0,h  ,C0,-1,0,C 0,-1,h,B0,1,0,B 0,1,h(cid:50)
1 1 1
uuur uuur
   
(cid:85)(cid:276)A(cid:50)AD= - 3,0,0 ,AC = - 3,-1,-h (cid:50)
1
uuur uuur
   
(cid:208)AD×AC = - 3 ´ - 3 +0=3¹0(cid:50)
1
(cid:208)AD^ AC(cid:243)(cid:159)(cid:324)(cid:50)(cid:233)A(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1
uuur uuuur uuur uuur
(cid:85)(cid:276)BD(cid:50)BC =0,-2,0,CC =0,0,h,AA =0,0,h,AD=  - 3,0,0  (cid:50)
1 1
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)AAD(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x,y,z(cid:50)
1
uuur r
ì ïAA ×n=hz=0 r
(cid:208)íuuur 1
r
(cid:50)(cid:151)x=z=0(cid:50)(cid:329)y=1(cid:50)(cid:208)n=0,1,0(cid:50)
ïîAD×n=- 3x=0
uuur r uuur r
(cid:158)(cid:77)BC =0,-2,0=-2n(cid:50)CC ×n=0(cid:50)
1
(cid:208)BC ^(cid:95)(cid:24)AAD(cid:50)CC //(cid:95)(cid:24)AAD(cid:50)(cid:233)BD(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1
uuur uuuur
   
(cid:85)(cid:276)C(cid:50)AD= - 3,0,0 ,AB = - 3,1,0 (cid:50)
1 1
- 3 0
(cid:208) ¹ (cid:50)(cid:445)(cid:393)AD//AB (cid:243)(cid:159)(cid:324)(cid:50)(cid:233)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
- 3 1 1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)BD.
6(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:234)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90° B(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)CA(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90°
1 1 1 1
C(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45° D(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)ABD
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:128)(cid:203)(cid:64)(cid:65)(cid:50)(cid:270)(cid:168)(cid:85)(cid:158)(cid:282)(cid:234)(cid:383)(cid:140)(cid:124)(cid:101)(cid:102)(cid:232)(cid:111).(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:245)(cid:70)BC(cid:26)BC (cid:50)(cid:261)(cid:81)DA //BC(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)BC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:232)(cid:81)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:160)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:80)(cid:204)(cid:203)BBCC(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:208)BC ^ BC (cid:50)(cid:233)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90°(cid:50)A(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1 1 1
(cid:245)(cid:70)AC(cid:50)(cid:261)(cid:81)AB ^(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)BC Ì(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:208)AB ^BC (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)BC ^ BC (cid:50)AB ÇBC =B (cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:268)ACÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^CA (cid:50)(cid:233)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1 1
(cid:245)(cid:70)AC (cid:50)(cid:227)AC IBD =O(cid:50)(cid:245)(cid:70)BO(cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)BB ^(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:50)COÌ(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:50)(cid:208)CO^ BB(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)CO^BD (cid:50)BD ÇBB=B (cid:50)(cid:158)(cid:77)CO^(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)ÐCBO(cid:81)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)
1 1 1 1
2 CO 1
(cid:227)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:52)(cid:205)(cid:81)1(cid:50)(cid:208)CO= (cid:50)BC = 2(cid:50)sinÐCBO= 1 = (cid:50)
1 2 1 1 BC 2
1
(cid:158)(cid:77)(cid:50)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)30o(cid:50)(cid:233)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1 1
(cid:261)(cid:81)CC ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐCBC(cid:81)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)(cid:391)(cid:151)ÐCBC =45o(cid:50)(cid:233)D(cid:78)(cid:184).
1 1 1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)ABD
7(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)P(cid:73)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:256)(cid:4)(cid:50)O(cid:73)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:281)(cid:50)AB(cid:73)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:50)(cid:58)AB=2(cid:196)π
(1)(cid:250)(cid:96)(cid:97)PA(cid:60)(cid:220)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81) (cid:50)(cid:138)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:260)
3
π
(2)(cid:197)(cid:62)Q(cid:73)(cid:230)(cid:97)PA(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:4)C(cid:26)D(cid:131)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:388)(cid:33)(cid:50)(cid:58)(cid:482)AC(cid:44)(cid:205)(cid:81) (cid:50)CD∥AB(cid:196)(cid:227)(cid:4)M(cid:131)(cid:97)(cid:395)OC
3
(cid:33)(cid:50)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:96)(cid:97)QM∥(cid:95)(cid:24)PBD(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)2π
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:275)(cid:182)(cid:213)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:215)(cid:216)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:90).
(cid:10)2(cid:11)(cid:126)(cid:127)(cid:95)(cid:24)QOC//(cid:95)(cid:24)PBD(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:111)(cid:151).
π
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:62)(cid:50)ÐPAB= (cid:50)(cid:232)(cid:386)(cid:253)(cid:24)VABP(cid:73)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:233)PA= AB=2(cid:50)
3
1
(cid:199)(cid:24)(cid:388)(cid:205)(cid:81)2π´1=2π(cid:50)(cid:208)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:235) ´2´2π=2π;
2
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:62)AQ=QP,AO=OB(cid:50)(cid:208)(cid:215)(cid:216)(cid:104)(cid:98)(cid:97)(cid:185)(cid:351)(cid:50)QO(cid:262)PB(cid:50)
(cid:268)QOË(cid:95)(cid:24)PBD(cid:50)PBÌ(cid:95)(cid:24)PBD(cid:50)(cid:208)QO//(cid:95)(cid:24)PBD
π π π
(cid:218)(cid:276)AC = (cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:73)1(cid:50)(cid:208)ÐAOC = (cid:50)(cid:268)CDP AB(cid:50)(cid:208)ÐOCD= (cid:50)
3 3 3
(cid:268)OC =OD(cid:50)(cid:208)VOCD(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:208)CD=1(cid:50)
(cid:276)(cid:73)CD(cid:262)BO(cid:58)CD=OB(cid:50)(cid:208)(cid:80)(cid:204)(cid:203)OBDC(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:233)OC∥BD(cid:50)
(cid:268)OCË(cid:95)(cid:24)PBD(cid:50)BDÌ(cid:95)(cid:24)PBD(cid:50)(cid:233)OC//(cid:95)(cid:24)PBD.
(cid:268)OCIOQ=O,OC,OQÌ(cid:95)(cid:24)QOC(cid:50)
(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:50)(cid:276)(cid:73)(cid:95)(cid:24)QOC//(cid:95)(cid:24)PBD(cid:50)
(cid:268)MÎOC(cid:50)(cid:208)QM Ì(cid:95)(cid:24)QOC(cid:50)(cid:208)QM //(cid:95)(cid:24)PBD8(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:267)(cid:127)(cid:255)(cid:103)(cid:483)(cid:280)(cid:190)(cid:65)(cid:341)(cid:484)(cid:485)(cid:460)(cid:50)(cid:227)(cid:189)(cid:357)(cid:116)(cid:166)(cid:415)(cid:416)(cid:44)(cid:384)(cid:486)(cid:487)(cid:50)(cid:384)(cid:486)(cid:487)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:235)
(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)8(cid:10)(cid:113)(cid:98)(cid:235)cm(cid:11)(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)VEAB,VFBC,VGCD,VHDA(cid:200)(cid:81)(cid:78)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:58)(cid:225)(cid:226)(cid:158)(cid:131)(cid:44)(cid:95)
(cid:24)(cid:309)(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:125)(cid:96)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)EF//(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:207)(cid:384)(cid:486)(cid:487)(cid:44)(cid:376)(cid:25)(cid:10)(cid:243)(cid:189)(cid:384)(cid:486)(cid:487)(cid:488)(cid:489)(cid:44)(cid:379)(cid:120)(cid:11)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:235)
(cid:5)(cid:206)(cid:237)AB,BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)M,N(cid:50)(cid:245)(cid:70)MN(cid:50)(cid:261)(cid:81)VEAB,VFBC(cid:81)(cid:27)(cid:57)(cid:44)(cid:78)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:158)(cid:77)EM ^ AB,FN ^BC(cid:50)
EM =FN(cid:50)
(cid:268)(cid:95)(cid:24)EAB^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:95)(cid:24)EABI(cid:95)(cid:24)ABCD= AB(cid:50)EM Ì(cid:95)(cid:24)EAB(cid:50)(cid:158)(cid:77)EM ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:111)(cid:151)FN ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:62)EM //FN (cid:50)(cid:231)EM =FN(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EMNF(cid:81)
(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
(cid:158)(cid:77)EF //MN(cid:50)(cid:268)EFË(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)MN Ì(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)EF//(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:196)
640
(2) 3(cid:196)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:5)(cid:206)(cid:237)AB,BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)M,N(cid:50)(cid:245)(cid:70)MN(cid:50)(cid:218)(cid:95)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:111)(cid:62)EM ^ AB,FN ^BC(cid:50)EM =FN(cid:50)
(cid:270)(cid:13)(cid:271)(cid:231)(cid:111)(cid:126)EM ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)FN ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:62)EM //FN (cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:62)(cid:80)
(cid:204)(cid:203)EMNF(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:276)(cid:73)EF //MN(cid:50)(cid:316)(cid:229)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:213)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:214)(cid:5)(cid:206)(cid:237)AD,DC(cid:104)(cid:4)K,L(cid:50)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)(cid:50)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:57)(cid:276)(cid:205)(cid:79)(cid:20)KMNL-EFGH (cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:280)(cid:33)(cid:80)(cid:52)
(cid:55)B-MNFE(cid:20)(cid:25)(cid:44)4(cid:490)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:90)(cid:213)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)[(cid:79)(cid:173)(cid:116)](cid:235)(cid:5)(cid:265)(cid:173)(cid:116)
(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:235)
(cid:5)(cid:206)(cid:237)AD,DC(cid:104)(cid:4)K,L(cid:50)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)(cid:50)EF //MN(cid:58)EF =MN (cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:67)(cid:50)HE//KM,HE=KM (cid:50)
HG//KL,HG=KL(cid:50)GF//LN,GF =LN(cid:50)(cid:218)(cid:95)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:111)(cid:62)(cid:50)BD^MN(cid:50)MN ^MK(cid:50)
KM =MN =NL=LK (cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:57)(cid:276)(cid:205)(cid:79)(cid:20)KMNL-EFGH (cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:280)(cid:33)(cid:80)(cid:52)(cid:55)B-MNFE(cid:20)(cid:25)
(cid:44)4(cid:490)(cid:196)
(cid:261)(cid:81)MN =NL=LK =KM =4 2(cid:50)EM =8sin60o =4 3(cid:50)(cid:4)B(cid:188)(cid:95)(cid:24)MNFE(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:232)(cid:81)(cid:4)B(cid:188)(cid:96)(cid:97)MN(cid:44)
(cid:186)(cid:187)d(cid:50)d =2 2(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)
 2 1 256 640
V = 4 2 ´4 3+4´ ´4 2´4 3´2 2 =128 3+ 3= 3(cid:196)
3 3 3
[(cid:79)(cid:173)(cid:29)](cid:235)(cid:5)(cid:265)(cid:173)(cid:29)
(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:235)(cid:245)(cid:70)AC,BD,(cid:277)(cid:276)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)OE,OF,OG,OH.(cid:208)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:57)(cid:276)(cid:80)(cid:52)(cid:55)O-EFGH(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:280)(cid:33)(cid:264)(cid:52)(cid:55)A-OEH
(cid:44)4(cid:490),(cid:214)(cid:280)(cid:33)(cid:264)(cid:52)(cid:55)E-OAB(cid:44)(cid:80)(cid:490)(cid:196)(cid:376)(cid:391)(cid:138)(cid:151)(cid:50)OE=OF=OG=OH=8,(cid:237)EH(cid:44)(cid:104)(cid:4)P(cid:50)(cid:245)(cid:70)AP,OP.(cid:208)EH
(cid:125)(cid:96)(cid:95)(cid:24)APO.(cid:218)(cid:236)(cid:111)(cid:62)(cid:50)(cid:264)(cid:160)(cid:203)APO,(cid:80)(cid:52)(cid:55)O-EFGH(cid:60)(cid:264)(cid:52)(cid:55)E-OAB(cid:44)(cid:42)(cid:200)(cid:81)EM(cid:44)(cid:205).(cid:158)(cid:77)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:44)(cid:20)(cid:25)
1  2 1 1 1 1 640 3
V = ×4 3× 4 2 +4× ×4 2× 4 2×4 3+4× ×4 3× 4 2×4 2 = .
3 3 2 3 2 3
9(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:80)(cid:24)(cid:20)ABCD(cid:104)(cid:50)AD^CD,AD=CD,ÐADB=ÐBDC(cid:50)E(cid:81)AC(cid:44)
(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:95)(cid:24)BED^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:260)
(2)(cid:227)AB=BD=2,ÐACB=60°(cid:50)(cid:4)F(cid:131)BD(cid:33)(cid:50)(cid:240)VAFC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:267)(cid:242)(cid:50)(cid:138)(cid:264)(cid:52)(cid:55)F-ABC(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:217)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
3
(2)
4
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)(cid:115)(cid:126)(cid:127)AC ^(cid:95)(cid:24)BED(cid:118)(cid:126)(cid:151)(cid:95)(cid:24)BED^(cid:95)(cid:24)ACD.
(cid:10)2(cid:11)(cid:491)(cid:275)(cid:101)(cid:102)(cid:213)(cid:264)(cid:160)(cid:203)AFC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:267)(cid:242)F (cid:4)(cid:44)(cid:98)(cid:99)(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:138)(cid:151)F (cid:188)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:138)(cid:151)(cid:264)(cid:52)(cid:55)
F-ABC(cid:44)(cid:20)(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:276)AD=CD(cid:50)E(cid:73)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)AC ^DE.ìAD=CD
ï
(cid:218)(cid:276)íBD=BD (cid:50)(cid:158)(cid:77)VADB@VCDB(cid:50)
ï
îÐADB=ÐCDB
(cid:158)(cid:77)AB=CB(cid:50)(cid:233)AC ^BE(cid:50)
(cid:218)(cid:276)DEÇBE=E(cid:50)DE,BEÌ(cid:95)(cid:24)BED(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AC ^(cid:95)(cid:24)BED(cid:50)
(cid:218)(cid:276)ACÌ(cid:95)(cid:24)ACD(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)BED^(cid:95)(cid:24)ACD.
(cid:10)2(cid:11)[(cid:79)(cid:173)(cid:116)](cid:235)(cid:101)(cid:206)(cid:18)(cid:19)(cid:68)(cid:100)
(cid:270)(cid:13)(cid:219)AB=BD=BC =2(cid:50)ÐACB=60°(cid:50)(cid:264)(cid:160)(cid:203)ABC(cid:73)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AC =2,AE=CE=1,BE= 3(cid:50)
(cid:218)(cid:276)AD=CD,AD^CD(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:264)(cid:160)(cid:203)ACD(cid:73)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:158)(cid:77)DE=1.
DE2+BE2 =BD2(cid:50)(cid:158)(cid:77)DE^BE(cid:50)
(cid:218)(cid:276)ACIBE=E(cid:50)AC,BEÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:158)(cid:77)DE^(cid:95)(cid:24)ABC.
(cid:218)(cid:276)VADB@VCDB(cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐFBA=ÐFBC(cid:50)
ìBF =BF
ï
(cid:218)(cid:276)íÐFBA=ÐFBC(cid:50)(cid:158)(cid:77)VFBA@VFBC(cid:50)
ï
îAB=CB
(cid:158)(cid:77)AF =CF(cid:50)(cid:158)(cid:77)EF ^ AC(cid:50)
1
(cid:218)(cid:276)S = ×AC×EF (cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:240)EF(cid:316)(cid:360)(cid:242)(cid:50)(cid:264)(cid:160)(cid:203)AFC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:267)
VAFC 2
(cid:115)E(cid:176)EF ^BD(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)F (cid:50)
1 1 3
(cid:131)Rt(cid:269)BED(cid:104)(cid:50) ×BE×DE= ×BD×EF (cid:50)(cid:90)(cid:151)EF = (cid:50)
2 2 2
2
æ 3ö 1 3
(cid:158)(cid:77)DF = 12-ç ÷ = ,BF =2-DF = (cid:50)
ç ÷
2 2 2
è ø
BF 3
(cid:158)(cid:77) =
BD 4
FH BF 3
(cid:115)F (cid:176)FH ^BE(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)H(cid:50)(cid:208)FH//DE(cid:50)(cid:158)(cid:77)FH ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:58) = = (cid:50)
DE BD 4
3
(cid:158)(cid:77)FH = (cid:50)
4
1 1 1 3 3
(cid:158)(cid:77)V = ×S ×FH = ´ ´2´ 3´ = .
F-ABC 3 VABC 3 2 4 4[(cid:79)(cid:173)(cid:29)](cid:235)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:427)(cid:492)
QAB=BC(cid:50)ÐACB=60°(cid:50)AB=2
\DABC(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)2(cid:44)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
\BE = 3
(cid:245)(cid:70)EF
QΔADB@ΔCDB\AF =CF
\EF ^ AC
\(cid:131)ΔBED(cid:104)(cid:50)(cid:240)EF ^BD(cid:242)(cid:50)ΔAFC(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:267)
QAD^CD,AD=CD,AC =2,E(cid:81)AC(cid:104)(cid:4)
\DE=1QDE2+BE2 =BD2
\BE^ED
BE×DE 3
(cid:250)EF ^BD,(cid:131)ΔBED(cid:104)(cid:50)EF = =
BD 2
3
BF = BE2-EF2 =
2
1 1 3 3 3 3
\S = BF×EF = × × =
ΔBEF 2 2 2 2 8
1 1 3 3 3
\V =V +V = S ×AC = × ×2=
F-ABC A-BEF C-BEF 3 ΔBEF 3 8 4
10(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:220)(cid:54)OO (cid:104)(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)1(cid:50)AA (cid:81)(cid:220)(cid:54)OO (cid:44)(cid:230)(cid:97).
1 1 1
(1)(cid:250)AA =4(cid:50)M (cid:81)AA (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)MO(cid:60)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:132)(cid:267)(cid:260)
1 1 1
(2)(cid:250)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:386)(cid:253)(cid:24)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:138)(cid:207)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:20)(cid:25).(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)arctan2(cid:260)
(2)(cid:224)(cid:24)(cid:25)4p(cid:50)(cid:20)(cid:25)2p.
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:5)(cid:212)(cid:111)(cid:62)(cid:96)(cid:97)MO(cid:60)(cid:199)(cid:24)(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)ÐMOA(cid:50)(cid:138)(cid:213)tanÐMOA(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90)(cid:260)
1 1 1 1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:138)(cid:213)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:43)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:111)(cid:138)(cid:151)(cid:64)(cid:410).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:90)(cid:235)(cid:261)(cid:81)AA (cid:60)(cid:220)(cid:54)OO (cid:44)(cid:33)(cid:199)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:208)(cid:96)(cid:97)MO(cid:60)(cid:199)(cid:24)(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)ÐMOA(cid:50)
1 1 1 1 1
1
(cid:391)(cid:62)AA ^OA (cid:50)(cid:131)Rt(cid:269)MOA (cid:104)(cid:50)MA = AA =2(cid:50)OA =1(cid:50)
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
MA
(cid:233)tanÐMOA = 1 =2(cid:50)(cid:233)(cid:96)(cid:97)MO(cid:60)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:132)(cid:267)(cid:81)arctan2.
1 1 OA 1
1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:90)(cid:235)(cid:250)(cid:220)(cid:54)(cid:44)(cid:386)(cid:253)(cid:24)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:208)AA =2(cid:50)
1
(cid:233)(cid:220)(cid:54)OO (cid:44)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81)2p´1´2=4p(cid:50)(cid:20)(cid:25)(cid:81)p´12´2=2p.
1
考点 04 求异面直线所成角、线面角、二面角
52
1(cid:196)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)ABC-ABC (cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) (cid:50)AB=6(cid:50)AB =2(cid:50)(cid:208)AA(cid:60)(cid:95)
1 1 1 3 1 1 1
(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:317)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
1
A(cid:196) B(cid:196)1 C(cid:196)2 D(cid:196)3
2
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)B
4 3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:215)(cid:216)(cid:53)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:111)(cid:151)(cid:264)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)h= (cid:50)(cid:472)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:138)(cid:151)
3
4 3
AM = (cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:5)(cid:212)(cid:138)(cid:90)(cid:260)(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:313)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)ABC-ABC (cid:252)(cid:159)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:55)
1 1 1
3
P-ABC(cid:50)AA(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:232)(cid:81)PA(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:286)(cid:459)(cid:68)(cid:100)(cid:111)(cid:151)V =18(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:111)(cid:138)(cid:78)
1 P-ABC
(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:42)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:64)(cid:410).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:5)(cid:206)(cid:237)BC,BC (cid:44)(cid:104)(cid:4)D,D(cid:50)(cid:208)AD=3 3,AD = 3(cid:50)
1 1 1 1 1
1 3 1
(cid:111)(cid:62)S = ´6´6´ =9 3,S = ´2´ 3= 3(cid:50)
VABC 2 2 VA1B1C1 2
(cid:227)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)ABC-ABC (cid:44)(cid:81)h(cid:50)
1 1 1
1  52 4 3
(cid:208)V = 9 3+ 3+ 9 3´ 3 h= (cid:50)(cid:90)(cid:151)h= (cid:50)
ABC-A1B1C1 3 3 3
(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:5)(cid:206)(cid:115)A,D (cid:176)(cid:199)(cid:24)(cid:125)(cid:97)(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)M,N(cid:50)(cid:227)AM =x(cid:50)
1 116
(cid:208)AA = AM2+AM2 = x2+ (cid:50)DN =AD- AM - MN =2 3- x(cid:50)
1 1 3
 2 16
(cid:111)(cid:151)DD = DN2+DN2 = 2 3-x + (cid:50)
1 1 3
æ6-2ö 2
(cid:64)(cid:65)(cid:57)(cid:414)(cid:413)(cid:203)BCC 1 B 1 (cid:111)(cid:151)BB 1 2 =ç è 2 ÷ ø +DD 1 2,
16  2 16 4 3
(cid:232)x2+ = 2 3-x + +4(cid:50)(cid:90)(cid:151)x= (cid:50)
3 3 3
AM
(cid:158)(cid:77)AA(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:317)(cid:81)tanÐAAD= 1 =1(cid:260)
1 1 AM
(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:313)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:53)ABC-ABC (cid:252)(cid:159)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:50)
1 1 1
(cid:208)AA(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:232)(cid:81)PA(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:50)
1
PA AB 1 V 1
(cid:261)(cid:81) 1 = 1 1 = (cid:50)(cid:208) P-A1B1C1 = (cid:50)
PA AB 3 V 27
P-ABC
26 52
(cid:111)(cid:62)V = V = (cid:50)(cid:208)V =18(cid:50)
ABC-A1B1C1 27 P-ABC 3 P-ABC
1 1 3
(cid:227)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:42)(cid:81)d(cid:50)(cid:208)V = d´ ´6´6´ =18(cid:50)(cid:90)(cid:151)d =2 3(cid:50)
P-ABC 3 2 2
(cid:237)(cid:199)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:104)(cid:281)(cid:81)O(cid:50)(cid:208)PO^(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:58)AO=2 3(cid:50)
PO
(cid:158)(cid:77)PA(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:317)tanÐPAO= =1.
AO
(cid:233)(cid:234)(cid:235)B.
2(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)VABC(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)AB(cid:81)(cid:453)(cid:204)(cid:50)VABD(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:250)(cid:29)(cid:24)
(cid:160)C-AB-D(cid:81)150°(cid:50)(cid:208)(cid:96)(cid:97)CD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:317)(cid:81)(cid:10) (cid:11)1 2 3 2
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
5 5 5 5
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)C
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:282)(cid:109)(cid:283)(cid:284)(cid:50)(cid:143)(cid:328)(cid:184)(cid:109)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:26)(cid:78)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:138)(cid:90)(cid:176)(cid:135).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:237)AB(cid:44)(cid:104)(cid:4)E(cid:50)(cid:245)(cid:70)CE,DE(cid:50)(cid:261)(cid:81)VABC(cid:73)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:58)AB(cid:81)(cid:453)(cid:204)(cid:50)(cid:208)(cid:67)CE^ AB(cid:50)
(cid:268)VABD(cid:73)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:208)DE^ AB(cid:50)(cid:271)(cid:231)ÐCED(cid:81)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AB-D(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)(cid:232)ÐCED=150o(cid:50)
(cid:445)(cid:393)CEÇDE=E,CE,DEÌ(cid:95)(cid:24)CDE(cid:50)(cid:276)(cid:73)AB^(cid:95)(cid:24)CDE(cid:50)(cid:268)ABÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
(cid:261)(cid:274)(cid:95)(cid:24)CDE^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:445)(cid:393)(cid:95)(cid:24)CDEÇ(cid:95)(cid:24)ABC =CE(cid:50)
(cid:96)(cid:97)CDÌ(cid:95)(cid:24)CDE(cid:50)(cid:208)(cid:96)(cid:97)CD(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:201)(cid:44)(cid:493)(cid:193)(cid:81)(cid:96)(cid:97)CE(cid:50)
(cid:271)(cid:231)ÐDCE(cid:81)(cid:96)(cid:97)CD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)(cid:329)AB=2(cid:50)(cid:208)CE=1,DE= 3(cid:50)(cid:131)(cid:269)CDE(cid:104)(cid:50)(cid:218)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:235)
3
CD= CE2+DE2-2CE×DEcosÐCED = 1+3-2´1´ 3´(- ) = 7(cid:50)
2
DE CD 3sin150o 3
(cid:218)(cid:78)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:151) = (cid:50)(cid:232)sinÐDCE= = (cid:50)
sinÐDCE sinÐCED 7 2 7
3 5
(cid:445)(cid:393)ÐDCE(cid:73)(cid:494)(cid:160)(cid:50)cosÐDCE= 1-sin2ÐDCE = 1-( )2 = (cid:50)
2 7 2 7
3
(cid:158)(cid:77)(cid:96)(cid:97)CD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:81) .
5
(cid:233)(cid:234)(cid:235)C
3(cid:196)（2022·浙江·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC,AC = AA(cid:50)E(cid:50)F(cid:5)(cid:206)(cid:73)(cid:52)BC,AC (cid:33)(cid:44)
1 1 1 1 1 1
(cid:4)(cid:196)(cid:278)EF(cid:60)AA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)a(cid:50)EF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)b(cid:50)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F -BC-A(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:81)g(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1A(cid:196)a£b£g B(cid:196)b£a£g C(cid:196)b£g£a D(cid:196)a£g£b
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)A
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:275)(cid:239)(cid:18)(cid:19)(cid:173)(cid:23)(cid:307)(cid:213)a(cid:50)b(cid:50)g(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:204)(cid:205)(cid:68)(cid:100)(cid:232)(cid:111)(cid:286)(cid:495)(cid:132)(cid:267)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)(cid:115)(cid:4)F (cid:176)FP^ AC(cid:276)P(cid:50)(cid:115)P(cid:176)PM ^BC(cid:276)M (cid:50)(cid:245)(cid:70)PE(cid:50)
(cid:208)a=ÐEFP(cid:50)b=ÐFEP(cid:50)g=ÐFMP(cid:50)
PE PE FP AB FP FP
tana= = £1(cid:50)tanb= = ³1(cid:50)tang= ³ =tanb(cid:50)
FP AB PE PE PM PE
(cid:158)(cid:77)a£b£g(cid:50)
(cid:233)(cid:234)(cid:235)A(cid:196)
4(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:205)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:197)(cid:62)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:43)(cid:95)(cid:24)AABB(cid:158)(cid:159)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:160)(cid:200)(cid:81)30°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)AB=2AD B(cid:196)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)30°
1 1
C(cid:196)AC =CB D(cid:196)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)D
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:77)(cid:21)(cid:205)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:213)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:235)(cid:243)(cid:244)(cid:227)AB=a,AD=b,AA =c(cid:50)(cid:270)(cid:13)(cid:77)(cid:21)(cid:205)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:111)(cid:62)(cid:50)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐBDB(cid:50)BD
1 1 1 1
c b
(cid:60)(cid:95)(cid:24)AABB(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐDBA(cid:50)(cid:158)(cid:77)sin30o = = (cid:50)(cid:232)b=c(cid:50)BD=2c= a2+b2+c2 (cid:50)(cid:90)(cid:151)a= 2c(cid:196)
1 1 1 BD BD 1
1 1
(cid:85)(cid:276)A(cid:50)AB=a(cid:50)AD=b(cid:50)AB= 2AD(cid:50)A(cid:389)(cid:390)(cid:260)
(cid:85)(cid:276)B(cid:50)(cid:115)B(cid:176)BE^ AB (cid:276)E(cid:50)(cid:391)(cid:62)BE^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐBAE(cid:50)(cid:261)(cid:81)
1 1 1 1 1
c 2
tanÐBAE= = (cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐBAE¹30o(cid:50)B(cid:389)(cid:390)(cid:260)
a 2
(cid:85)(cid:276)C(cid:50)AC = a2+b2 = 3c(cid:50)CB = b2+c2 = 2c(cid:50)AC ¹CB (cid:50)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1
CD a 2
(cid:85)(cid:276)D(cid:50)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)ÐDBC (cid:50)sinÐDBC = = = (cid:50)(cid:231)0<ÐDBC<90o(cid:50)(cid:158)(cid:77)
1 1 1 1 1 BD 2c 2 1
1
ÐDBC =45o(cid:196)D(cid:78)(cid:184)(cid:196)
1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)D(cid:196)
5(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:234)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90° B(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)CA(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90°
1 1 1 1
C(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45° D(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)ABD
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:128)(cid:203)(cid:64)(cid:65)(cid:50)(cid:270)(cid:168)(cid:85)(cid:158)(cid:282)(cid:234)(cid:383)(cid:140)(cid:124)(cid:101)(cid:102)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:245)(cid:70)BC(cid:26)BC (cid:50)(cid:261)(cid:81)DA //BC(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)BC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:232)(cid:81)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:160)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:80)(cid:204)(cid:203)BBCC(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:208)BC ^ BC (cid:50)(cid:233)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90°(cid:50)A(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1 1 1(cid:245)(cid:70)AC(cid:50)(cid:261)(cid:81)AB ^(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)BC Ì(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:208)AB ^BC (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)BC ^ BC (cid:50)AB ÇBC =B (cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:268)ACÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^CA (cid:50)(cid:233)B(cid:78)(cid:184)(cid:260)
1 1 1 1 1
(cid:245)(cid:70)AC (cid:50)(cid:227)AC IBD =O(cid:50)(cid:245)(cid:70)BO(cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)BB ^(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:50)COÌ(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:50)(cid:208)CO^ BB(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)CO^BD (cid:50)BD ÇBB=B (cid:50)(cid:158)(cid:77)CO^(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)ÐCBO(cid:81)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)
1 1 1 1
2 CO 1
(cid:227)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:52)(cid:205)(cid:81)1(cid:50)(cid:208)CO= (cid:50)BC = 2(cid:50)sinÐCBO= 1 = (cid:50)
1 2 1 1 BC 2
1
(cid:158)(cid:77)(cid:50)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)30o(cid:50)(cid:233)C(cid:389)(cid:390)(cid:260)
1 1 1
(cid:261)(cid:81)CC ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐCBC(cid:81)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)(cid:391)(cid:151)ÐCBC =45o(cid:50)(cid:233)D(cid:78)(cid:184).
1 1 1 1
(cid:233)(cid:234)(cid:235)ABD
6(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)P(cid:73)(cid:116)(cid:166)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:256)(cid:4)(cid:50)PA(cid:73)(cid:230)(cid:97)(cid:50)PA=2(cid:50)(cid:207)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:73)1(cid:196)B(cid:26)C
(cid:5)(cid:206)(cid:131)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)PA(cid:60)BC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:316)(cid:267)(cid:317)(cid:81)__________(cid:196)
π
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:115)A(cid:176)AD//BC(cid:277)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:55)(cid:276)D(cid:4)(cid:50)(cid:208)ÐPAD(cid:81)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)PA(cid:60)BC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:60)(cid:272)(cid:273)
(cid:496)(cid:128)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:232)(cid:111)(cid:151)ÐPAD(cid:44)(cid:237)(cid:317)(cid:349)(cid:350)(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:151)(cid:158)(cid:138)(cid:316)(cid:317).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:115)A(cid:176)AD//BC(cid:277)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:55)(cid:276)D(cid:4)(cid:50)(cid:245)(cid:70)PD(cid:50)
(cid:261)(cid:81)PA=PD,AD//BC(cid:50)(cid:208)ÐPAD(cid:81)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)PA(cid:60)BC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:50)
PA2+ AD2- PD2 22+ AD2-22 AD
(cid:158)(cid:77)cosÐPAD= = = (cid:50)
2 PA× AD 4 AD 4
AD 1 1
(cid:268)0< AD £2(cid:50)(cid:158)(cid:77)0< £ (cid:50)(cid:232)0<cosÐPAD£ (cid:50)
4 2 2
æ πö æ πö π π
(cid:261)(cid:81)ÐPADÎç0, ÷(cid:50)(cid:496)(cid:128)y=cosa(cid:131)aÎç0, ÷(cid:33)(cid:113)(cid:145)(cid:330)(cid:332)(cid:50)(cid:158)(cid:77) £ÐPAD< (cid:50)
è 2ø è 2ø 3 2
π
(cid:233)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)PA(cid:60)BC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:316)(cid:267)(cid:317)(cid:81) .
3
π
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235) .
3
7(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:131)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50) AA =3(cid:50) BD =4(cid:50)
1 1 1 1 1
uuur uuur uuuur uuur
AB ×BC-AD × DC =5(cid:50)(cid:227)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)AA (cid:60)BD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)(cid:208)cosq=________(cid:196)
1 1 1
5
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)
12
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:313)AB ,AD (cid:239)(cid:243)(cid:266)(cid:24)(cid:44)(cid:171)(cid:172)AB,AA,AD(cid:23)(cid:307)(cid:213)(cid:118)(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:151)(cid:188)AA ×BC-AA ×DC =5(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:218)(cid:194)(cid:195)
1 1 1 1 1
(cid:189)(cid:182)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
AB = AB+AA,AD = AD+AA (cid:50)
1 1 1 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
   
\ AB+AA ×BC- AD+AA ×DC =5(cid:50)
1 1uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB×BC+AA ×BC-AD×DC-AA ×DC =5(cid:50)
1 1
uuur uuur uuur uuur
(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:158)(cid:77)AB×BC = AD×DC(cid:50)
uuur uuur uuur uuur
(cid:158)(cid:77)AA ×BC-AA ×DC =5(cid:50)
1 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 
AA ×BD= AA × AD-AB = AA ×AD-AA ×AB= AA ×BC-AA ×DC =5.
1 1 1 1 1 1
uuur uuur
uuur uuur AA ×BD 5 5
(cid:158)(cid:77)cos AA,BD = uuur1 uuur = = (cid:50)
1 AA BD 3´4 12
1
5
(cid:233)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)AA (cid:60)BD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81): (cid:50)
1 12
5
(cid:233)(cid:135)(cid:210)(cid:81)(cid:235)
12
8(cid:196)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:264)(cid:52)(cid:55)A-BCD(cid:104)(cid:50)(cid:4)E(cid:131)BD(cid:33)(cid:50)AE^CE(cid:50)AE^DE(cid:50)CD^ AD(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)CD^AB(cid:260)
(2)(cid:250)DE=2(cid:50)BE=1(cid:50)AE= 2(cid:50)CD=2 3(cid:196)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)
(cid:261)(cid:81)AE^CE(cid:58)AE^DE(cid:50)CEÇDE=E(cid:50)(cid:58)CE,DEÌ (cid:95)(cid:24) BCD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AE^(cid:95)(cid:24)BCD.
(cid:261)(cid:81)CDÌ(cid:95)(cid:24)BCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)AE^CD.
(cid:268)AD^CD(cid:50)AEÇAD= A(cid:50)AEÌ(cid:95)(cid:24)ABD(cid:50)
ADÌ(cid:95)(cid:24)ABD(cid:50)CDË(cid:95)(cid:24)ABD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)CD^(cid:95)(cid:24)ABD(cid:50)
(cid:233)CD^AB.
6
(2)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:151)AE^CD(cid:50)AD^CD(cid:50)(cid:214)(cid:64)(cid:65)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:126)(cid:127)(cid:232)(cid:111)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:138)(cid:90)(cid:171)(cid:172)AD(cid:43)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:214)(cid:64)(cid:65)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:138)(cid:90)(cid:97)(cid:24)(cid:321)(cid:160)(cid:260)(cid:173)(cid:29)(cid:235)
(cid:238)(cid:239)(cid:20)(cid:25)(cid:173)(cid:90)(cid:213)(cid:227)(cid:4)D(cid:188)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)h(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:189)(cid:182)(cid:97)(cid:24)(cid:321)(cid:160).(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)(cid:77)D(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)DE(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:81)x(cid:386)(cid:50)DC(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:81)y(cid:386)(cid:50)(cid:115)(cid:4)D(cid:58)(cid:125)(cid:96)(cid:276)(cid:95)(cid:24)BCD(cid:44)(cid:96)
(cid:97)(cid:81)z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:111)(cid:151)D0,0,0(cid:50)C  0,2 3,0  (cid:50)E2,0,0 (cid:50)B3,0,0 .
 
(cid:261)(cid:81)AE^DE (cid:58) AE= 2(cid:50)(cid:158)(cid:77)A 2,0, 2 .
uuur   uuur   uuur  
(cid:158)(cid:77)AD= -2,0,- 2 (cid:50)AB= 1,0,- 2 (cid:50)AC = -2,2 3,- 2 .
r uuur
r ì ïn×AB=x- 2z=0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)ABC (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172) n=x,y,z(cid:50)(cid:208)í r uuur (cid:50)
ïîn×AC =-2x+2 3y- 2z=0
r  
(cid:111)(cid:151)x= 2z(cid:50)(cid:329)z=2(cid:50)(cid:208)(cid:235)x=2 2(cid:50)y= 6(cid:50)(cid:232)n= 2 2, 6,2 .
(cid:227)AD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)q(cid:235)
uuur r -2´2 2+0+  - 2  ´2
(cid:497)AD×n(cid:497)
(cid:158)(cid:77)sinq= uuur r =
(cid:497)AD(cid:497)× n -22 +02+  - 2 2 ´  2 2 2 +  6 2 +22
6 2 6
= = (cid:50)
6´3 2 3
6
(cid:158)(cid:77)AD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
3
 2
(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:131)Rt(cid:269)ADE (cid:104)(cid:50)AD= AE2+DE2 = 2 +22 = 6(cid:50)
 2
(cid:131)Rt△ABE (cid:104)(cid:50)AB= AE2+BE2 = 2 +12 = 3(cid:50)
(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)CD^(cid:95)(cid:24)ADE(cid:50)(cid:208)CD^DE,CD^ AD.
(cid:131)Rt(cid:269)BDC (cid:104)(cid:50)BC = BD2+CD2 = 32+  2 3 2 = 21.
(cid:131)Rt(cid:269)ADC (cid:104)(cid:50)AC = AD2+CD2 = 6+12 =3 2. 2  2
QAB2+AC2 = 3 + 3 2 =21=BC2(cid:50)
1 1 3 6
\VABC(cid:81)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:208)S = AB×AC = ´ 3´3 2 = .
(cid:269)ABC 2 2 2
(cid:227)(cid:4)D(cid:188)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)h(cid:50)AD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)
(cid:218)V =V (cid:151)(cid:235)
D-ABC A-BCD
1 1 1 3 6 1 æ1 ö
3
S
VABC
×h=
3
S
VBCD
×AE(cid:50)(cid:232)
3
×
2
×h=
3
×ç
è2
×3×2 3÷
ø
× 2(cid:50)
(cid:90)(cid:151)(cid:235)h=2.
h 2 6
(cid:158)(cid:77)sinq= = = .
AD 6 3
9(cid:196)（2026·北京·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:50)ÐBAC=90°(cid:50)AB= AC =2(cid:50)BB = 2(cid:50)E(cid:26)D(cid:5)
1 1 1 1
(cid:206)(cid:81)AB (cid:26)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
1 1
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)DE//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:260)
1 1
(2)(cid:4)P(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABC (cid:201)(cid:50)(cid:58)EP//BC (cid:50)(cid:214)(cid:271)(cid:283)(cid:284) (cid:26)(cid:283)(cid:284) (cid:26)(cid:283)(cid:284) (cid:306)(cid:264)(cid:166)(cid:283)(cid:284)(cid:104)(cid:234)(cid:498)(cid:116)(cid:166)(cid:176)(cid:81)(cid:197)(cid:62)(cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:259)(cid:151)P(cid:499)(cid:116)(cid:184)(cid:109)(cid:50)(cid:138)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:60)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:44)(cid:321)(cid:160)①(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)②(cid:196) ③
PA=PD(cid:260)
①PA^BC(cid:260)
②BB //(cid:95)(cid:24)PDE(cid:196)
1
③(cid:122)(cid:235)(cid:51)(cid:410)(cid:234)(cid:498)(cid:283)(cid:284) (cid:26)(cid:283)(cid:284) (cid:26)(cid:283)(cid:284) (cid:5)(cid:206)(cid:90)(cid:135)(cid:50)(cid:500)(cid:133)(cid:116)(cid:166)(cid:90)(cid:135)(cid:189)(cid:5)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:90)(cid:173)(cid:116)①(cid:235)(cid:237)BC(cid:44)②(cid:104)(cid:4)F (cid:50)③(cid:245)(cid:70)DF(cid:50)BF(cid:50)
11
(cid:261)(cid:81)D,F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AC(cid:50)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)DF//AB(cid:50)(cid:58)DF = AB(cid:50)
2
1
(cid:268)(cid:261)(cid:81)ABBA (cid:81)(cid:392)(cid:203)(cid:50)(cid:58)E(cid:81)AB (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)BE//AB(cid:50)(cid:58)BE= AB(cid:50)
1 1 1 1 1 1 2
(cid:111)(cid:151)DF//BE(cid:50)(cid:58)DF =BE(cid:50)(cid:111)(cid:62)DFBE(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:208)DE//BF(cid:50)
1 1 1 1
(cid:58)DEË(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)BF Ì(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:158)(cid:77)DE//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:260)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:227)AC (cid:50)AB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:5)(cid:206)(cid:81)G(cid:50)H(cid:50)(cid:245)(cid:70)DG(cid:50)GE(cid:50)EH (cid:50)DH (cid:50)
1 1
(cid:261)(cid:81)D,G(cid:5)(cid:206)(cid:81)AC(cid:50)AC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)DG//CC (cid:50)DG//AA(cid:50)
1 1 1 1
(cid:58)DGË(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)CC Ì(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:158)(cid:77)DG//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:268)(cid:261)(cid:81)G,E(cid:5)(cid:206)(cid:81)AC (cid:50)AB (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)GE//BC (cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:58)GEË(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)BC Ì(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:158)(cid:77)GE//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:268)(cid:261)(cid:81)E,H (cid:5)(cid:206)(cid:81)AC (cid:50)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)EH //AA (cid:50)
1 1 1
(cid:111)(cid:151)EH //DG(cid:50)(cid:111)(cid:62)E,H,D,G(cid:80)(cid:4)(cid:266)(cid:24)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)DGI GE=G(cid:50)DG,GEÌ(cid:95)(cid:24)DEG(cid:50)(cid:208)(cid:95)(cid:24)DGEH //(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)
1 1
(cid:58)DEÌ(cid:95)(cid:24)DGEH (cid:50)(cid:158)(cid:77)DE//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:260)
1 1
(cid:90)(cid:173)(cid:264)(cid:235)(cid:77)A(cid:81)(cid:470)(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:50)AB,AC,AA(cid:5)(cid:206)(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
1(cid:208)A0,0,0(cid:50)B2,0,0(cid:50)C0,2,0(cid:50)A  0,0, 2  (cid:50)B  2,0, 2  (cid:50)C  0,2, 2  (cid:50)
1 1 1
(cid:58)D0,1,0(cid:50)E  1,0, 2  (cid:50)
uuur   uuur   uuur
(cid:111)(cid:151)DE= 1,-1, 2 (cid:50)BB = 0,0, 2 (cid:50)CB=2,-2,0(cid:50)
1
ur uuur
ur ì ïn ×BB = 2z =0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =x,y ,z (cid:50)(cid:208)íur 1 uuur 1 1 (cid:50)
1 1 1 1 1 1
ïîn ×BC =2x -2y =0
1 1 1
ur
(cid:329)x =1(cid:50)(cid:208)y =1(cid:50)z =0(cid:50)(cid:111)(cid:151)n =1,1,0(cid:50)
1 1 1 1
uuur ur uuur ur
(cid:261)(cid:81)DE×n =1-1+0=0(cid:50)(cid:232)DE^n (cid:50)
1 1
(cid:261)(cid:81)DEË(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:158)(cid:77)DE//(cid:95)(cid:24)BBCC.
1 1 1 1
2
(2)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:50)(cid:111)(cid:126)DE//BF(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:5)(cid:212)(cid:126)(cid:127)(cid:260)(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:50)
1
(cid:111)(cid:126)(cid:95)(cid:24)DGEH //(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:126)(cid:127)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:260)(cid:90)(cid:173)(cid:264)(cid:235)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)
1 1
(cid:172)(cid:126)(cid:127)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:250)(cid:234) (cid:235)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:395)(cid:205)(cid:223)(cid:57)(cid:111)(cid:62)P(cid:81)EG(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:58)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)
(cid:81)ÐAKN(cid:50)①(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:64)(cid:410)(cid:260)(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:227)P  a,1-a, 2  (cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:151)a= 1 (cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:138)(cid:24)(cid:24)(cid:321)(cid:160)(cid:260)(cid:250)(cid:234)
2
(cid:235)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:125)(cid:96)(cid:68)(cid:100)(cid:5)(cid:212)(cid:111)(cid:62)P(cid:81)EG(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:58)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:81)
② ÐAKN(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:64)(cid:410)(cid:260)(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:227)P  a,1-a, 2  (cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:151)a= 1 (cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:138)(cid:24)(cid:24)(cid:321)(cid:160)(cid:260)(cid:250)(cid:234)
2
(cid:235)(cid:215)(cid:216)(cid:95)(cid:24)DGEH //(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:5)(cid:212)(cid:111)(cid:62)(cid:4)P(cid:243)(cid:499)(cid:116)(cid:50)(cid:243)(cid:65)(cid:13)(cid:219).
1 1
③(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:62)EG//BC (cid:50)(cid:208)PÎEG(cid:50)
1 1
(cid:250)(cid:234) (cid:235)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:227)AD(cid:50)AG(cid:50)EG(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:5)(cid:206)(cid:81)I,J,P(cid:50)
1
①(cid:111)(cid:62)IJ (cid:81)(cid:97)(cid:395)AD(cid:44)(cid:104)(cid:125)(cid:97)(cid:50)(cid:208)AJ =DJ (cid:50)
(cid:261)(cid:81)PJ //AB (cid:50)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:235)AB ^(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)(cid:232)PJ ^(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:208)PJ ^JA(cid:50)PJ ^JD(cid:50)(cid:111)(cid:151)PA=PD(cid:50)(cid:310)(cid:65)(cid:13)(cid:219)(cid:50)
(cid:237)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)M (cid:50)(cid:245)(cid:70)AM (cid:50)(cid:227)AM I DH =N (cid:50)
(cid:261)(cid:81)AB= AC(cid:50)(cid:208)AM ^BC(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)BB ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)AM Ì(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:208)AM ^BB (cid:50)
1 1
(cid:58)BCÇBB =B(cid:50)BC,BB Ì(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:208)AM ^(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:232)AN ^(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:58)(cid:95)(cid:24)DGEH //(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:111)(cid:151)AN ^(cid:95)(cid:24)DGEH (cid:50)
1 1
(cid:58)PDÌ(cid:95)(cid:24)DGEH (cid:50)(cid:111)(cid:151)AN ^PD(cid:50)
(cid:115)(cid:4)N (cid:176)NK ^PD(cid:50)
(cid:58)ANI NK =N(cid:50)AN,NK Ì(cid:95)(cid:24)ANK(cid:50)
(cid:208)PD^(cid:95)(cid:24)ANK(cid:50)(cid:111)(cid:151)AK ^PD(cid:50)
(cid:111)(cid:62)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:81)ÐAKN(cid:50)
1 2
(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:235)AN =ND=PG= AM = (cid:50)GD= 2(cid:50)
2 2
10 GD 2
(cid:208)PD= (cid:50)sinÐPDN =cosÐPDG= = (cid:50)
2 PD 5
2 3
(cid:208)NK =ND×sinÐPDN = (cid:50)AK = (cid:50)
10 10
NK 2
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81)cosÐAKN = = (cid:260)
AK 3
 
(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:227)P a,1-a, 2 (cid:50)
1 æ1 1 ö
(cid:261)(cid:81)PA=PD(cid:50)(cid:208) a2+1-a2 +2 = a2+-a2 +2(cid:50)(cid:90)(cid:151)a= (cid:50)(cid:232)Pç , , 2÷(cid:50)
2 è2 2 ø
uuur æ1 1 ö uuur
(cid:208)AP=ç , , 2÷(cid:50)AD=0,1,0(cid:50)
è2 2 øìuur uuur 1
uur ïn ×AP= x +y + 2z =0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =x ,y ,z (cid:50)(cid:208)í 2 2 2 2 2 (cid:50)
2 2 2 2 uur uuur
ï
în ×AD= y =0
2 2
uur
 
(cid:329)x =2 2(cid:50)(cid:208)y =0(cid:50)z =-1(cid:50)(cid:111)(cid:151)n = 2 2,0,-1 (cid:50)
2 2 2 2
ur
(cid:261)(cid:81)(cid:95)(cid:24)DEG//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:111)(cid:62)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =1,1,0(cid:50)
1 1 1
ur uur
ur uur n ×n 2 2 2
(cid:208)cosn,n = ur1 u2ur = = (cid:50)
1 2 n × n 2´3 3
1 2
2
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81) (cid:260)
3
(cid:250)(cid:234) (cid:235)(cid:90)(cid:173)(cid:116)(cid:235) (cid:237)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)M (cid:50)(cid:245)(cid:70)AM (cid:50)(cid:227)AM I DH =N (cid:50)
②
(cid:261)(cid:81)AB= AC(cid:50)(cid:208)AM ^BC(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)BB ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)AM Ì(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:208)AM ^BB (cid:50)
1 1
(cid:58)BCÇBB =B(cid:50)BC,BB Ì(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:208)AM ^(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:232)AN ^(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:58)(cid:95)(cid:24)DGEH //(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:111)(cid:151)AN ^(cid:95)(cid:24)DGEH (cid:50)
1 1
(cid:237)BC (cid:44)(cid:104)(cid:4)Q(cid:50)(cid:245)(cid:70)AQ(cid:50)QM (cid:50)(cid:111)(cid:62)AQ//AM (cid:50)
1 1 1 1
(cid:227)AQI EG=P(cid:50)(cid:111)(cid:62)(cid:4)P(cid:81)EG(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1
(cid:261)(cid:81)AM ^BC(cid:50)QM ^BC(cid:50)(cid:111)(cid:151)BC ^(cid:95)(cid:24)AMQA(cid:50)(cid:208)AP^BC(cid:50)
1
(cid:261)(cid:81)AN ^(cid:95)(cid:24)DGEH (cid:58)PDÌ(cid:95)(cid:24)DGEH (cid:50)(cid:111)(cid:151)AN ^PD(cid:50)
(cid:115)(cid:4)N (cid:176)NK ^PD(cid:50)
(cid:58)ANI NK =N(cid:50)AN,NK Ì(cid:95)(cid:24)ANK(cid:50)
(cid:208)PD^(cid:95)(cid:24)ANK(cid:50)(cid:111)(cid:151)AK ^PD(cid:50)
(cid:111)(cid:62)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:81)ÐAKN(cid:50)
1 2
(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:111)(cid:62)(cid:235)AN =ND=PG= AM = (cid:50)GD= 2(cid:50)
2 210 GD 2
(cid:208)PD= (cid:50)sinÐPDN =cosÐPDG= = (cid:50)
2 PD 5
2 3
(cid:208)NK =ND×sinÐPDN = (cid:50)AK = (cid:50)
10 10
NK 2
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81)cosÐAKN = = (cid:260)
AK 3
  uuur  
(cid:90)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:227)P a,1-a, 2 (cid:50)(cid:208)AP= a,1-a, 2 (cid:50)
uuur uuur 1 æ1 1 ö
(cid:261)(cid:81)AP^BC(cid:50)(cid:208)AP×BC =a+1-a=0(cid:50)(cid:90)(cid:151)a= (cid:50)(cid:232)Pç , , 2÷(cid:50)
2 è2 2 ø
uuur æ1 1 ö uuur
(cid:208)AP=ç , , 2÷(cid:50)AD=0,1,0(cid:50)
è2 2 ø
ìuur uuur 1
uur ïn ×AP= x +y + 2z =0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =x ,y ,z (cid:50)(cid:208)í 2 2 2 2 2 (cid:50)
2 2 2 2 uur uuur
ï
în ×AD= y =0
2 2
uur
 
(cid:329)x =2 2(cid:50)(cid:208)y =0(cid:50)z =-1(cid:50)(cid:111)(cid:151)n = 2 2,0,-1 (cid:50)
2 2 2 2
ur
(cid:261)(cid:81)(cid:95)(cid:24)DEG//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)(cid:111)(cid:62)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =1,1,0(cid:50)
1 1 1
ur uur
ur uur n ×n 2 2 2
(cid:208)cosn,n = ur1 u2ur = = (cid:50)
1 2 n × n 2´3 3
1 2
2
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81) (cid:260)
3
(cid:250)(cid:234) (cid:235)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:62)(cid:235)(cid:95)(cid:24)DGEH //(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)
1 1
③
(cid:261)(cid:81)PÎEG(cid:50)(cid:95)(cid:24)DGEH (cid:232)(cid:81)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:50)(cid:232)(cid:95)(cid:24)PDE//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:50)
1 1
(cid:111)(cid:151)BB //(cid:95)(cid:24)PDE(cid:50)(cid:274)(cid:242)(cid:4)P(cid:243)(cid:499)(cid:116)(cid:50)(cid:243)(cid:65)(cid:13)(cid:219).
1
10(cid:196)（2026·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:392)(cid:203)(cid:50)PH ^(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:125)(cid:246)H(cid:131)AD
(cid:204)(cid:33)(cid:50)(cid:58)AH =1(cid:50)HD=4(cid:50)AB=2(cid:196)
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)HC ^PB(cid:260)
10 5
(2)(cid:250)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) (cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-PB-H(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:196)
3(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:215)(cid:216)(cid:197)(cid:62)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:283)(cid:284)(cid:50)(cid:77)A(cid:81)(cid:470)(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:198)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:208)A0,0,0,B2,0,0,H0,1,0,C2,5,0(cid:50)(cid:227)(cid:4)P0,1,t(cid:50)
uuur uuur
(cid:208)CH =-2,-4,0,PB=2,-1,-t(cid:50)
uuur uuur
\CH×PB=-2´2-4´-1+0´-t=-4+4+0=0(cid:50)
\HC ^PB(cid:196)
1
(2)arccos
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:151)(cid:213)(cid:223)(cid:68)(cid:4)(cid:43)(cid:171)(cid:172)(cid:470)(cid:37)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:171)(cid:172)(cid:44)(cid:128)(cid:172)(cid:25)(cid:81)0(cid:50)(cid:143)(cid:213)(cid:171)(cid:172)(cid:125)(cid:96)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:213)h(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:138)(cid:213)(cid:4)P(cid:50)(cid:151)(cid:213)(cid:223)(cid:68)(cid:171)(cid:172)(cid:470)(cid:37)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:95)(cid:24)(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:238)(cid:239)(cid:171)(cid:172)(cid:321)
(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:90)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
1 1 10 5
(cid:10)2(cid:11)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)V = S×PH = ´5´2´PH = (cid:50)(cid:90)(cid:151)PH = 5(cid:50)
3 3 3
uuur uuur uuur uuur
\P  0,1, 5  (cid:50)(cid:208)CP=  -2,-4, 5  ,CB=0,-5,0(cid:50)HP=  0,0, 5  ,HB=2,-1,0(cid:50)
uuur r
r ì ïHP×m= 5z=0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PBH (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m=x,y,z(cid:50)(cid:208)íuuur
r
(cid:50)
ïîHB×m=2x-y=0
r
(cid:329)x=1(cid:50)(cid:208)m=1,2,0(cid:50)
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PCB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x,y ,z (cid:50)
1 1 1
uuur r
(cid:208) ì ï í C uu P ur ×n r =-2x 1 -4y 1 + 5z 1 =0 (cid:50)(cid:329)x 1 = 5(cid:50)(cid:208)n r =  5,0,2  (cid:50)
ïîCB×n=-5y =0
1
r r
m×n 5 1
(cid:227)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-PB-H(cid:81)q(cid:50)(cid:208) cosq= r r = = (cid:50)
m× n 5´ 9 3
1
(cid:218)(cid:236)(cid:111)(cid:62)(cid:50)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-PB-H(cid:81)(cid:494)(cid:160)(cid:50)(cid:208)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-PB-H(cid:132)(cid:267)(cid:81)arccos (cid:196)
311(cid:196)（2026·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:53)ABCD-ABCD (cid:50)(cid:22)(cid:104)AB=4(cid:50)AB =2.
1 1 1 1 1 1
(1)(cid:240)AA =2(cid:242)(cid:50)(cid:138)AA (cid:43)(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:260)
1 1 1 1 1 1
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:235)AA//(cid:95)(cid:24)BCD(cid:260)(cid:250)(cid:52)(cid:53)(cid:42)(cid:81)3(cid:50)(cid:138)(cid:264)(cid:52)(cid:55)A -BCD(cid:44)(cid:20)(cid:25).
1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)45°
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)(cid:50)(cid:20)(cid:25)(cid:81)8
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:176)A(cid:188)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:125)(cid:97)(cid:50)(cid:184)(cid:109)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)(cid:214)(cid:110)(cid:115)(cid:204)(cid:205)(cid:189)(cid:182)(cid:207)(cid:160)(cid:44)(cid:132)(cid:267).
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:245)(cid:70)(cid:33)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:85)(cid:160)(cid:97)(cid:44)(cid:277)(cid:4)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:78)(cid:52)(cid:53)(cid:185)(cid:351)(cid:126)(cid:151)(cid:97)(cid:97)(cid:95)(cid:124)(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:126)(cid:127)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:260)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:313)(cid:264)
(cid:52)(cid:55)(cid:501)(cid:5)(cid:81)(cid:248)(cid:166)(cid:267)(cid:52)(cid:55)(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:189)(cid:182)(cid:22)(cid:20)(cid:25).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:115)A(cid:176)AH ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:276)H,(cid:245)(cid:70)AH(cid:50)
1 1
(cid:115)H(cid:5)(cid:206)(cid:176)HE^ AB(cid:276)E,HF ^ AD(cid:276)F ,(cid:245)(cid:70)AE,AF ,
1 1
(cid:51)(cid:236)HE(cid:81)AE(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:33)(cid:44)(cid:192)(cid:193),
1
(cid:218)(cid:276)ABÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)AH ^ AB(cid:50)
1
(cid:218)(cid:276)AHÇHE=H,AH,HEÌ(cid:95)(cid:24)AHE(cid:50)
1 1 1
(cid:158)(cid:77)AB^(cid:95)(cid:24)AHE.(cid:218)(cid:276)AEÌ(cid:95)(cid:24)AHE(cid:50)(cid:158)(cid:77)AE^ AB.
1 1 1 1
4-2
(cid:158)(cid:77)AE= =1,(cid:255)(cid:89)AF ^ AD,AF =1,(cid:80)(cid:204)(cid:203)AEHF (cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203),
2 1
(cid:158)(cid:77)AH = 2(cid:50)AH(cid:81)AA(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:33)(cid:44)(cid:192)(cid:193),
1
(cid:268)(cid:261)(cid:95)(cid:24)ABCD//(cid:95)(cid:24)ABCD ,
1 1 1 1
AH 2
(cid:158)(cid:77)AA (cid:43)(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:232)ÐAAH(cid:50)cosÐAAH = = ,
1 1 1 1 1 1 1 AA 2
1
(cid:233)AA (cid:43)(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)45o.
1 1 1 1 1(cid:10)2(cid:11)(cid:245)(cid:70)AC(cid:26)BD(cid:277)(cid:276)O,(cid:245)(cid:70)AC (cid:26)BD(cid:277)(cid:276)O ,
1 1 1 1 1
1
(cid:51)(cid:236),(cid:33)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203),(cid:218)(cid:78)(cid:52)(cid:53)(cid:185)(cid:351),(cid:111)(cid:151)AC //AC,(cid:58)AC =2 2,AC =4 2,AO= AC = AC ,
1 1 1 1 2 1 1
(cid:158)(cid:77)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ACOA(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203),(cid:158)(cid:77)AA//OC (cid:50)
1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)AA Ë(cid:95)(cid:24)BCD,OC Ì(cid:95)(cid:24)BCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)AA//(cid:95)(cid:24)BCD.
1 1 1 1 1 1
(cid:218)(cid:78)(cid:52)(cid:53)(cid:185)(cid:351),OO (cid:60)(cid:33)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:200)(cid:125)(cid:96),(cid:208)OO =3(cid:50)
1 1
(cid:261)(cid:81)OO ^BD,AC ^BD,ACÇOO =O(cid:50)AC,OO Ì(cid:95)(cid:24)AOC (cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)BD^(cid:95)(cid:24)AOC ,(cid:158)(cid:138)(cid:264)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:111)(cid:501)(cid:5)(cid:159)(cid:248)(cid:166)(cid:267)(cid:264)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:249)(cid:43),
1 1
1 1
(cid:232):V =V +V = OB×S + OD×S
A1-BC1D B-A1OC1 D-A1OC1 3 VA1OC1 3 VA1OC1
1 1 1
= BD·S = ´4 2´ ´2 2´3=8.
3 VA1OC1 3 2
12(cid:196)（2025·北京·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)VADC(cid:60)VBAC(cid:200)(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
ÐADC =90°，ÐBAC =90°(cid:50)E(cid:81)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:250)F,G(cid:5)(cid:206)(cid:81)PD,PE(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:126)(cid:235)FG//(cid:95)(cid:24)PAB(cid:260)
(2)(cid:250)PA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)PA= AC(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
3
(2)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)PA(cid:44)(cid:104)(cid:4)N(cid:50)PB(cid:44)(cid:104)(cid:4)M(cid:50)(cid:245)(cid:70)FN(cid:26)MN(cid:50)(cid:371)(cid:170)(cid:126)(cid:127)FG∥MN(cid:232)(cid:111)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:121)(cid:240)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:96)(cid:97)AB(cid:44)(cid:79)(cid:171)(cid:171)(cid:172)(cid:60)(cid:24)PCD(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:171)(cid:172)(cid:321)(cid:160)(cid:194)(cid:195)(cid:232)(cid:111)(cid:138)
(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)PA(cid:44)(cid:104)(cid:4)N(cid:50)PB(cid:44)(cid:104)(cid:4)M(cid:50)(cid:245)(cid:70)FN(cid:26)MN(cid:50)
QVACD(cid:60)VABC(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:58)ÐADC =90°，ÐBAC =90°(cid:50)
(cid:243)(cid:244)(cid:227)AD=CD=2(cid:50)\AC = AB=2 2.\BC =4.
QE(cid:26)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)BC(cid:26)PD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1 1
\FN = AD=1,GM = BE=1(cid:50)(cid:58)FN //AD,GM //BC.
2 2
QÐDAC =45°, ÐACB=45°(cid:50)\AD∥BC(cid:50)
\FN∥GM (cid:50) (cid:80)(cid:204)(cid:203)FGMN(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
\FG∥MN(cid:50)∴
QFGË(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)MN Ì(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)\FG∥(cid:95)(cid:24)PAB(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)QPA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)\(cid:77)A(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)AC(cid:26)AB(cid:26)AP(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x(cid:26)y(cid:26)z(cid:386)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)
(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:227)AD=CD=2(cid:50)(cid:208)A0,0,0,B  0,2 2,0  ,C  2 2,0,0  ,D  2,- 2,0  ,P  0,0,2 2  (cid:50)
uuur uuur uuur
     
\AB= 0,2 2,0 ,DC = 2, 2,0 ,CP= -2 2,0,2 2 (cid:50)
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=(x,y,z)(cid:50)
uuur r
ì ïDC×n=0 ì ï 2x+ 2y=0
\íuuur
r
(cid:50)\í (cid:50)
ïîCP×n=0 ïî-2 2x+2 2z=0
r
(cid:237)x=1(cid:50)\y=-1,z=1(cid:50)\n=1,-1,1
.(cid:227)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)
uuur r u A u B ur ×n r 0´1+2 2´-1+0´1 2 2 3
(cid:208)sinq= cos AB,n = uuur r = = = (cid:50)
AB × n 2 2´ 12+-12 +12 2 2´ 3 3
3
(cid:232)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
3
13(cid:196)（2025·天津·高考真题）(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:44)(cid:52)(cid:205)(cid:81)4(cid:50)E(cid:26)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AD,CB (cid:104)(cid:4)(cid:50)CG=3GC (cid:196)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)GF ^(cid:95)(cid:24)FBE(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)FBE(cid:60)(cid:95)(cid:24)EBG(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:260)
(3)(cid:138)(cid:264)(cid:52)(cid:55)D-FBE(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
4
(2)
5
32
(3)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:26)(cid:238)(cid:239)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:275)(cid:126)(cid:127)FG^BF(cid:50)(cid:214)(cid:64)(cid:65)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:151)(cid:213)EF ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:238)
1 1
(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:60)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:126)(cid:127)(cid:232)(cid:111)(cid:260)(cid:173)(cid:29)(cid:26)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:126)(cid:127)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:232)(cid:111)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:189)(cid:182)(cid:24)(cid:24)(cid:321)(cid:160)(cid:232)(cid:111)(cid:260)
(cid:10)3(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:189)(cid:182)(cid:4)(cid:24)(cid:186)(cid:187)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:55)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:189)(cid:182)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:26)(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:203)BCCB (cid:104)(cid:50)
1 1
CG 1 FB
(cid:218)(cid:283)(cid:284)(cid:391)(cid:62)tanÐCFG= 1 = = 1 =tanÐBBF(cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐCFG=ÐBBF(cid:50)
1 CF 2 BB 1 1 1
1 1
π
(cid:208)ÐBFB+ÐBBF = =ÐCFG+ÐBFB(cid:50)
1 1 2 1 1
π
(cid:233)ÐBFG=π-ÐCFG+ÐBFB= (cid:50)(cid:232)FG^BF(cid:50)
1 1 2
(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:104)(cid:50)(cid:391)(cid:62)DC ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:58)EF//DC (cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)EF ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1(cid:268)FGÌ(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50) EF ^FG(cid:50)
1 1
EFIBF =F,EF(cid:26)BF∴Ì(cid:95)(cid:24)BEF(cid:50) GF ^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:260)
∵(cid:173)(cid:29)(cid:26)(cid:51)(cid:236)(cid:77)D(cid:81)(cid:104)(cid:281)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)∴(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:208)B4,4,0,E2,0,4,F2,4,4,G0,4,3(cid:50)
uuur uuur uuur
(cid:158)(cid:77)EF =0,4,0,EB=2,4,-4,FG=-2,0,-1(cid:50)
ur
(cid:227)m=a,b,c(cid:73)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)
ur uuur
ìïm×EF =4b=0 ur
(cid:208)íur uuur (cid:50)(cid:329)a=2(cid:50)(cid:208)b=0,c=1(cid:50)(cid:158)(cid:77)m=2,0,1(cid:50)
ïîm×EB=2a+4b-4c=0
uuur r uuur
(cid:391)(cid:62)FG=-m(cid:50)(cid:208)FG(cid:72)(cid:73)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50) GF ^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:255)(cid:33)(cid:173)(cid:29)(cid:174)(cid:324)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50) ∴
uuur uuur
(cid:158)(cid:77)EG=-2,4,-1,BG=-4,0,3(cid:50)
uuur
(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)FG(cid:73)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)
r uuur
r ìïn×EG=-2x+4y-z=0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BEG(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x,y,z(cid:50)(cid:158)(cid:77)ír uuur (cid:50)
ïîn×BG=-4x+3z=0
r
(cid:329)x=6(cid:50)(cid:208)z=8,y=5(cid:50)(cid:232)n=6,5,8(cid:50)
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:60)(cid:95)(cid:24)BEG(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:81)a(cid:50)
uuur r
uuur r FG×n 20 4
(cid:208)cosa= cos FG,n = uuur r = = (cid:260)
FG × n 5´ 125 5
(cid:10)3(cid:11)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)EF ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)FBÌ(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50) EF ^FB(cid:50)
1 1 1 1
1 1 ∴
(cid:391)(cid:62)S = EF×BF = ´4´ 42+22 =4 5(cid:50)
VBEF 2 2
uuur uuur
uuur DE×FG 8
(cid:268)DE=2,0,4(cid:50)(cid:208)D(cid:188)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)d = uuur = (cid:50)
FG 5
1 1 8 32
(cid:218)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:62)(cid:235)V = d´S = ´ ´4 5= .
D-BEF 3 VBEF 3 5 314(cid:196)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:104)(cid:50)AB//CD,ÐDAB=90°(cid:50)F(cid:81)CD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:4)E
(cid:131)AB(cid:33)(cid:50)EF//AD(cid:50)AB=3AD,CD=2AD.(cid:313)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFDA(cid:502)EF(cid:503)(cid:504)(cid:505)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFD¢A¢(cid:50)(cid:259)(cid:151)(cid:24)EFD¢A¢(cid:60)
(cid:24)EFCB(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:81)60°(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)A¢B//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:24)BCD¢(cid:60)(cid:24)EFD¢A¢(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
42
(2)
7
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:275)(cid:257)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:213)A¢E//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:21)EB//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:50)
(cid:214)(cid:257)(cid:239)(cid:24)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:213)(cid:95)(cid:24)A¢EB//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:151)(cid:213)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:197)(cid:62)(cid:283)(cid:284)(cid:313)(cid:4)B,C,D¢,E,F(cid:44)(cid:470)(cid:37)(cid:23)(cid:307)(cid:213)(cid:118)(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:313)(cid:95)(cid:24)BCD¢(cid:21)(cid:95)(cid:24)
EFD¢A¢(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:138)(cid:213)(cid:118)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:248)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:44)(cid:128)(cid:172)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:111)(cid:313)(cid:248)(cid:95)(cid:24)(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:138)(cid:213)(cid:118)(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:111)(cid:138)(cid:151)(cid:22)(cid:78)
(cid:273)(cid:317).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:227)AD=1(cid:50)(cid:158)(cid:77)AB=3,CD=2(cid:50)(cid:261)(cid:81)F (cid:81)CD(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)DF =1(cid:50)
(cid:261)(cid:81)EF//AD(cid:50)AB//CD(cid:50)(cid:158)(cid:77)AEFD(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50) (cid:158)(cid:77)AE//DF(cid:50)(cid:158)(cid:77)A¢E//D¢F (cid:50)
(cid:261)(cid:81)D¢F Ì(cid:95)(cid:24)CD¢F,A¢E Ë(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:50)(cid:158)(cid:77)A¢E//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:50)
(cid:261)(cid:81)FC//EB,FCÌ(cid:95)(cid:24)CD¢F,EBË(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:50)(cid:158)(cid:77)EB//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:50)
(cid:268)EBIA¢E=E(cid:50)EB,A¢EÌ(cid:95)(cid:24)A¢EB(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)A¢EB//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:50)
(cid:268)A¢BÌ(cid:95)(cid:24)A¢EB(cid:50)(cid:158)(cid:77)A¢B//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:196)(cid:10)2(cid:11)
(cid:261)(cid:81)ÐDAB=90°(cid:50)(cid:158)(cid:77)AD^ AB(cid:50)(cid:268)(cid:261)(cid:81)AB//FC,EF //AD(cid:50)(cid:158)(cid:77)EF ^FC(cid:50)
(cid:77)F (cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)FE,FC(cid:77)(cid:21)(cid:125)(cid:96)(cid:276)(cid:95)(cid:24)BECF(cid:44)(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100).
(cid:261)(cid:81)D¢F ^ EF,CF ^ EF (cid:50)(cid:95)(cid:24)EFD¢A¢(cid:60)(cid:95)(cid:24)EFCB(cid:158)(cid:159)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:81)60° (cid:50)
(cid:158)(cid:77)ÐD¢FC =60°.
æ 1 3ö
(cid:208)B1,2,0(cid:50)C0,1,0(cid:50)D¢ç0, , ÷(cid:50)E1,0,0(cid:50)F0,0,0(cid:50).
ç 2 2 ÷
è ø
uuur uuuur æ 1 3ö uuur uuuur æ 1 3ö
(cid:158)(cid:77)BC =-1,-1,0,CD¢=ç0,- , ÷,FE=1,0,0,FD¢=ç0, , ÷.
ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷
è ø è ø
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BCD¢(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x,y,z(cid:50)(cid:208)
uuur r ì 1 3
ì ïBC·n=0 ï- y+ z=0 r  
íuuuur
r
(cid:50)(cid:158)(cid:77)í 2 2 (cid:50)(cid:329)y= 3(cid:50)(cid:208)z=1,x=- 3(cid:50)(cid:208)n= - 3, 3,1 .
ïîCD¢·n=0 ï
î-x-y=0
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)EFD¢A¢(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m=x,y ,z (cid:50)
1 1 1
uuur r ì1 3
ì ïFE·m=0 ï y + z =0
(cid:208)íuuuur
r
(cid:50)(cid:158)(cid:77)í2 1 2 1 (cid:50)
ïîFD¢·m=0 ï
îx =0
1
r  
(cid:329)y = 3(cid:50)(cid:208)z =-1,x =0(cid:50)(cid:158)(cid:77)m= 0, 3,-1 .
1 1 1
< >
→→
→→ m·n 0 3−1 1
(cid:158)(cid:77)cos m,n =|→| = = .
m|n| 3 3 + 1× 1 3 7
⃗
+ + +
2
æ 1 ö 42
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)BCD¢(cid:60)(cid:95)(cid:24)EFD¢A¢(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) 1- = .
ç ÷
è 7ø 7
15(cid:196)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:51)(cid:236),(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)PA^(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:50)AB^ AD,BC//AD(cid:196)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:95)(cid:24)PAB^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:260)
(2)(cid:227)PA= AB= 2,BC =2,AD=1+ 3(cid:50)(cid:58)(cid:4)P(cid:50)B(cid:50)C(cid:50)D(cid:200)(cid:131)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:196)
(cid:10)i(cid:11)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:4)O(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:201)(cid:260)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AC(cid:60)PO(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:126)(cid:127)(cid:51)(cid:198)(cid:50)
(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)PA (cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)AB^ AD(cid:50)
ABÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)ADÌ(cid:95)⊥(cid:24)ABCD(cid:50)
AP^ AB(cid:50)AP^ AD(cid:50)
∴APÌ(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)ADÌ(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)APÇAD= A(cid:50)
∵AB^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)
∴ABÌ(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)
∵(cid:95)(cid:24)PAB^(cid:95)(cid:24)PAD.
∴(2)(cid:10)i(cid:11)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:21)(cid:10)1(cid:11)(cid:126)(cid:127)(cid:51)(cid:198)(cid:50)
(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)AP^ AB(cid:50)AP^ AD(cid:50)AB^ AD(cid:50)BC AD(cid:50)
PA=AB= 2(cid:50)AD=1+ 3(cid:50) ∥
(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:51)(cid:198)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)
A0,0,0,B  2,0,0  ,C  2,2,0  ,D  0,1+ 3,0  ,P  0,0, 2  (cid:50)
∴(cid:250)P(cid:50)B(cid:50)C(cid:50)D(cid:131)(cid:255)(cid:116)(cid:166)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:50)(cid:208)OP = OB = OC = OD (cid:50)
(cid:131)(cid:95)(cid:24)xAy(cid:104)(cid:50)
A0,0,B  2,0  ,C  2,2  ,D  0,1+ 3  (cid:50)
∴
æ 2 3+3ö
(cid:97)(cid:395)CD(cid:104)(cid:4)(cid:470)(cid:37)Fç , ÷(cid:50)
ç ÷
2 2
è ø
∴
1+ 3-2 3-1
(cid:96)(cid:97)CD(cid:44)(cid:453)(cid:506)(cid:235)k = =- (cid:50)
1 0- 2 2
2 6+ 2
(cid:96)(cid:97)CD(cid:44)(cid:125)(cid:96)(cid:95)(cid:5)(cid:97)EF(cid:453)(cid:506)(cid:235)k = = (cid:50)
2 3-1 2
3+3 6+ 2æ 2ö
(cid:96)(cid:97)EF(cid:44)(cid:79)(cid:228)(cid:235)y- = çx- ÷(cid:50)
ç ÷
2 2 2
è ø
∴
6+ 2æ 2ö 3+3
(cid:232)y= çx- ÷+ (cid:50)
2 ç 2 ÷ 2
è ø
6+ 2æ 2ö 3+3
(cid:240)y=1(cid:242)(cid:50)1= çx - ÷+ (cid:50)(cid:90)(cid:151)(cid:235)x =0(cid:50)
2 ç O 2 ÷ 2 O
è ø
O0,1
∴
(cid:131)(cid:324)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:104)(cid:50)O0,1,0(cid:50)
ì  2
OP = 02+12+ 0- 2
ï
ï
ï  2
OB = 0- 2 +12+02
ï
í
ï OC =  0- 2 2 +1-22 +02
∵ï
ï
 2
ïOD = 02+ 1-1- 3 +02
î(cid:90)(cid:151)(cid:235)OP = OB = OC = OD = 3(cid:50)
(cid:4)O(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:33).
∴(cid:10)ii(cid:11) 2
.
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)(cid:115)(cid:126)(cid:127)AP^ AB(cid:50)AP^ AD(cid:50)(cid:151)(cid:213)AB^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:507)(cid:23)(cid:318)(cid:213)(cid:47)(cid:4)(cid:44)(cid:470)(cid:37)(cid:50)(cid:467)(cid:227)P,B,C,D(cid:131)(cid:255)(cid:116)(cid:56)(cid:24)O(cid:33)(cid:50)(cid:131)(cid:95)(cid:24)xAy(cid:104)(cid:50)(cid:151)
(cid:213)(cid:4)O(cid:470)(cid:37)(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:151)(cid:213)(cid:4)O(cid:131)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:44)(cid:470)(cid:37)(cid:50)(cid:189)(cid:182)(cid:213)OP = OB = OC = OD (cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:64)(cid:150)(cid:260)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:508)(cid:213)(cid:96)(cid:97)AC(cid:43)PO(cid:44)(cid:79)(cid:171)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:213)(cid:272)(cid:273)(cid:317).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:381)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:50)(cid:10)1(cid:11)(cid:10)2(cid:11)(cid:10)ii(cid:11)(cid:21)(cid:236)(cid:151)(cid:50)
uuur uuur
   
AC = 2,2,0 ,PO= 0,1,- 2 (cid:50)
(cid:227)(cid:96)(cid:97)AC(cid:60)(cid:96)(cid:97)PO(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)
uuur uuur
AC×PO 0+2´1+0 2
cosq= uuur uuur = = .
AC PO  2  2 3
2 +22+0´ 0+12+ - 2
∴
(cid:173)2(cid:235)
(cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)PO= 3(cid:50)
AB^ AD(cid:50)BC AD(cid:50)
AB^BC(cid:50) ∥
∴(cid:131)RtVABC(cid:104)(cid:50)AB= 2(cid:50)BC =2(cid:50)(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:50)
 2
AC = AB2+BC2 = 2 +22 = 6(cid:50)
(cid:115)(cid:4)O(cid:176)AC(cid:44)(cid:95)(cid:124)(cid:97)(cid:50)(cid:277)BC(cid:44)(cid:397)(cid:205)(cid:97)(cid:81)C (cid:50)(cid:245)(cid:70)AC (cid:50)PC (cid:50)
1 1 1(cid:208)OC = AC = 6(cid:50)(cid:96)(cid:97)AC(cid:60)(cid:96)(cid:97)PO(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:232)(cid:81)(cid:269)POC (cid:104)ÐPOC (cid:175)(cid:22)(cid:252)(cid:160).
1 1 1
PA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)AC Ì(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)PAIAC =A(cid:50)
1 1
∵
PA^ AC (cid:50)
1
∴
(cid:131)RtVABC (cid:104)(cid:50)AB= 2(cid:50)BC =BC+CC =2+1=3(cid:50)(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:50)
1 1 1
 2
AC = AB2+BC2 = 2 +32 = 11(cid:50)
1 1
(cid:131)RtVAPC (cid:104)(cid:50)PA= 2(cid:50)(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:50)
1
 2  2
PC = PA2+AC2 = 2 + 11 = 13(cid:50)
1 1
(cid:131)(cid:269)POC (cid:104)(cid:50)(cid:218)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:151)(cid:50)
1
PC2 =PO2+OC2-2PO×OC cosÐPOC (cid:50)
1 1 1 1
 2  2  2
(cid:232)(cid:235) 13 = 3 + 6 -2 3´ 6cosÐPOC
1
2
(cid:90)(cid:151)(cid:235)cosÐPOC =-
1 3
2
(cid:96)(cid:97)AC(cid:60)(cid:96)(cid:97)PO(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81)(cid:235) cosÐPOC = .
1 3
∴ 16(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)(cid:95)(cid:24)PAC ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)PA= AC =CP=2(cid:50)AB=BC = 2(cid:50)
(1)(cid:250)O(cid:73)(cid:52)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:126)(cid:127)(cid:235)BO^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)(cid:507)(cid:138)(cid:264)(cid:52)(cid:55)B-OPA(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PC-A(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:196)(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:245)(cid:70)BO(cid:50)(cid:261)(cid:81)AB=BC = 2(cid:50)(cid:158)(cid:77)BO AC(cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:95)(cid:24)PAC ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:277)(cid:97)(cid:81)AC(cid:50) ⊥
BOÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)BO (cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)
(cid:20)(cid:25)(cid:81)
⊥3
6
21
(2)arccos
7
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:176)(cid:213)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:50)(cid:151)(cid:188)(cid:97)(cid:97)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:151)(cid:188)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:507)(cid:238)(cid:239)(cid:55)(cid:20)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:213)(cid:135)(cid:210)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:126)(cid:127)(cid:213)OB,OC,OP(cid:248)(cid:248)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:248)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:138)(cid:213)
r r
r r m×n 21
cosm,n= r r = (cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:138)(cid:213)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PC-A(cid:44)(cid:132)(cid:267).
m× n 7
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:261)(cid:81)PA= AC =CP=2(cid:50)(cid:158)(cid:77)PO AC(cid:50)AO=1(cid:50)PO= AP2-AO2 = 3(cid:50)
1 1 3 ⊥
(cid:233)S = OP×AO= ´ 3´1= (cid:50)
VOPA 2 2 2
AB= 2(cid:50)(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:151)BO= AB2-AO2 = 2-1=1(cid:50)
(cid:268)BO (cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)
(cid:264)(cid:52)(cid:55)⊥ B-OPA(cid:44)(cid:20)(cid:25)V = 1 S ×BO= 1 ´ 3 ´1= 3 (cid:260)
3 VOPA 3 2 6
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)(cid:50)BO (cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)OC,OPÌ(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)BO OC(cid:50)BO O⊥P(cid:50)(cid:268)PO AC(cid:50)(cid:233)OB,OC,OP(cid:248)(cid:248)(cid:125)(cid:96)(cid:50)
(cid:77)O(cid:81)(cid:470)⊥(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:50)O⊥B,OC,OP(cid:158)(cid:131)⊥(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:208)B1,0,0,P  0,0, 3  ,C0,1,0,A0,-1,0(cid:50)
uuur uuur
   
BP= -1,0, 3 ,PC = 0,1,- 3 (cid:50)
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BPC(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m=x,y,z(cid:50)m r × u B u P ur =x,y,z×  -1,0, 3  =-x+ 3z=0
(cid:208){ (cid:50)
m r × u P u C ur =x,y,z×  0,1,- 3  = y- 3z=0
r  
(cid:329)z=1(cid:151)x= y= 3(cid:50)(cid:233)m= 3, 3,1 (cid:50)
r
(cid:268)(cid:95)(cid:24)PCA(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=1,0,0(cid:50)
r r  3, 3,1  ×1,0,0
r r m×n 3 21
(cid:233)cos m,n = = = = (cid:50)
r r
m × n 3+3+1 7 7
(cid:218)(cid:236)(cid:111)(cid:62)(cid:50)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PC-A(cid:81)(cid:494)(cid:160)(cid:50)
21
(cid:233)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PC-A(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:81)arccos .
7
17(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)PA(cid:26)PB(cid:26)PC(cid:81)(cid:220)(cid:55)(cid:264)(cid:283)(cid:230)(cid:97)(cid:50)AB= AC.
(1)(cid:126)(cid:127):PA^BC(cid:260)
(2)(cid:250)(cid:220)(cid:55)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81) 3π,BC(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:50)BC =2(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PA-C(cid:44)(cid:132)(cid:267)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
1
(2)π-arccos
5
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)BC(cid:104)(cid:4)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)AO(cid:26)PO(cid:50)(cid:208)AO^BC,PO^BC(cid:50)(cid:233)(cid:111)(cid:151)BC ^(cid:24)PAO(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:151)(cid:188)
PA^BC.
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:111)(cid:138)(cid:24)PAC(cid:26)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:189)(cid:182)(cid:213)(cid:225)(cid:226)(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:229)(cid:111)(cid:151)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)BC(cid:104)(cid:4)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)AO(cid:26)PO(cid:50)(cid:261)(cid:81)AB= AC,PB=PC(cid:50)(cid:158)(cid:77)AO^BC,PO^BC(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)POÌ(cid:24)PAO,AOÌ(cid:24)PAO,POÇAO=O(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^(cid:24)PAO(cid:50)
(cid:261)(cid:81)PAÌ(cid:24)PAO(cid:50)(cid:158)(cid:77)PA^BC.
(cid:10)2(cid:11)(cid:261)(cid:81)BC(cid:81)(cid:96)(cid:222)(cid:50)(cid:233)O(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:220)(cid:44)(cid:220)(cid:281)(cid:50)(cid:233)PO^(cid:95)(cid:24)BAC(cid:50)(cid:231)AO^BC
(cid:233)(cid:111)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:220)(cid:55)(cid:224)(cid:24)(cid:25)(cid:81) 3p(cid:50)BC(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:222)(cid:50)BC =2(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)1(cid:50)(cid:230)(cid:97)(cid:205)(cid:81) 3(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PO= PA2-AO2 = 2(cid:50)
(cid:208)(cid:111)(cid:151)P  0,0, 2  ,A0,1,0,B1,0,0,C-1,0,0(cid:50)
uuur   uuur   uuur  
(cid:233)PA= 0,1,- 2 ,PB= 1,0,- 2 ,PC = -1,0,- 2 (cid:50)
ur uuur
ur ï ìn ×PA=0 ï ìy - 2z =0
(cid:227)n =x,y ,z (cid:81)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:208)íur 1 uuur Þí 1 1 (cid:50)
1 1 1 1
ïî n
1
×PB=0 ïîx
1
- 2z
1
=0
ur
 
(cid:329)x = 2(cid:50)(cid:208)y = 2(cid:50)z =1(cid:50)(cid:158)(cid:77)n = 2, 2,1 .
1 1 1 1
uur
(cid:227)n =x ,y ,z (cid:81)(cid:95)(cid:24)PAC(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)
2 2 2 2
uur uuur
ì ïn ×PA=0 ï ì y - 2z =0
(cid:208)íuur 2 uuur Þí 2 2 (cid:50)
ïî n
2
×PC =0 ïî-x
2
- 2z
2
=0
uur
 
(cid:329)x =- 2(cid:50)(cid:208)y = 2(cid:50)z =1(cid:50)(cid:158)(cid:77)n = - 2, 2,1 .
2 2 2 2
ur uur
ur uur n ×n -2+2+1 1
(cid:208)cos n,n = ur1 uur2 = = (cid:50)
1 2 n n 5´ 5 5
1 2
(cid:227)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PA-C(cid:81)q(cid:50)(cid:208)q(cid:81)(cid:509)(cid:160)(cid:50)
1
(cid:158)(cid:77)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PA-C(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:81)π-arccos .
518(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:81)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD,O(cid:81)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:44)(cid:104)(cid:281)(cid:196)
(1)(cid:250)AP=5,AD=3 2(cid:50)(cid:138)VPOA(cid:510)PO(cid:511)(cid:427)(cid:116)(cid:388)(cid:203)(cid:159)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:260)
(2)(cid:250)AP= AD,E(cid:81)PB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)AEC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)12π
π
(2)
4
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:128)(cid:216)(cid:50)(cid:275)(cid:182)(cid:213)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)VPOA(cid:44)(cid:204)(cid:205)(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:138)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:245)(cid:70)EA,EO,EC(cid:50)(cid:111)(cid:275)(cid:126)BE^(cid:95)(cid:24)ACE(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:151)(cid:213)(cid:158)(cid:138)(cid:160)(cid:81)ÐBOE(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:64)(cid:65)(cid:13)(cid:136)(cid:128)
(cid:172)(cid:68)(cid:100)(cid:138)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:473)(cid:246)(cid:58)PO^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:218)AOÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:208)PO^ AO(cid:50)
(cid:268)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:73)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:218)AD=3 2(cid:111)(cid:151)(cid:50)AO=3(cid:50)
(cid:233)PO= PA2-AO2 =4(cid:50)
(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:50)VPOA(cid:510)PO(cid:511)(cid:427)(cid:116)(cid:388)(cid:203)(cid:159)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:73)(cid:77)PO(cid:81)(cid:386)(cid:50)AO(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:44)(cid:220)(cid:55)(cid:50)
(cid:232)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)PO=4(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:221)(cid:222)(cid:81)AO=3(cid:50)
1
(cid:215)(cid:216)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:50)(cid:158)(cid:151)(cid:220)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:73) ´π´32´4=12π
3
(cid:10)2(cid:11)(cid:245)(cid:70)EA,EO,EC(cid:50)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:64)(cid:65)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:111)(cid:62)(cid:50)(cid:162)(cid:166)(cid:224)(cid:24)(cid:309)(cid:73)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
(cid:218)E(cid:73)PB(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)AE^PB,CE^PB(cid:50)(cid:268)AEICE=E,AE,CEÌ(cid:95)(cid:24)ACE(cid:50)
(cid:233)PB^(cid:95)(cid:24)ACE(cid:50)(cid:232)BE^(cid:95)(cid:24)ACE(cid:50)(cid:268)BDI(cid:95)(cid:24)ACE=O(cid:50)
(cid:276)(cid:73)(cid:96)(cid:97)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)AEC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:232)(cid:81)ÐBOE(cid:50)3 2
(cid:243)(cid:244)(cid:227)AP= AD=6(cid:50)(cid:208)BO=3 2,BE=3(cid:50)sinÐBOE= = (cid:50)
3 2 2
é πù
(cid:268)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:349)(cid:350)(cid:73) 0, (cid:50)
ê ú
ë 2û
π
(cid:233)ÐBOE= .(cid:232)(cid:81)(cid:158)(cid:138).
4
19(cid:196)（2024·北京·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)BC//AD(cid:50)AB=BC =1(cid:50)AD=3,(cid:4)E(cid:131)AD
(cid:33)(cid:50)(cid:58)PE^ AD(cid:50)PE=DE=2(cid:196)
(1)(cid:250)F (cid:81)(cid:97)(cid:395)PE(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:126)(cid:235)BF//(cid:95)(cid:24)PCD(cid:196)
(2)(cid:250)AB^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)(cid:138)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:60)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
30
(2)
30
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)PD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:81)S(cid:50)(cid:70)SF,SC(cid:50)(cid:111)(cid:126)(cid:80)(cid:204)(cid:203)SFBC(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:218)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)
BF//(cid:95)(cid:24)PCD.
(cid:10)2(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:95)(cid:24)APB(cid:43)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:229)(cid:111)(cid:138)(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317).
1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)PD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:81)S(cid:50)(cid:70)SF,SC(cid:50)(cid:208)SF//ED,SF = ED=1(cid:50)
2
(cid:231)ED//BC,ED=2BC(cid:50)(cid:233)SF//BC,SF =BC(cid:50)(cid:233)(cid:80)(cid:204)(cid:203)SFBC(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
(cid:233)BF//SC(cid:50)(cid:231)BFË(cid:95)(cid:24)PCD(cid:50)SCÌ(cid:95)(cid:24)PCD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)BF//(cid:95)(cid:24)PCD.
(cid:10)2(cid:11)(cid:261)(cid:81)ED=2(cid:50)(cid:233)AE=1(cid:50)(cid:233)AE//BC,AE=BC(cid:50)
(cid:233)(cid:80)(cid:204)(cid:203)AECB(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:233)CE//AB(cid:50)(cid:158)(cid:77)CE^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)
(cid:231)PE,EDÌ(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)(cid:233)CE^PE,CE^ED(cid:50)(cid:231)PE^ED(cid:50)
(cid:233)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:208)A0,-1,0,B1,-1,0,C1,0,0,D0,2,0,P0,0,2(cid:50)
uuur uuur uuur uuur
(cid:208)PA=0,-1,-2,PB=1,-1,-2,PC =1,0,-2,PD=0,2,-2,
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m=x,y,z(cid:50)
r uuur
ì ïm×PA=0 ì-y-2z=0 r
(cid:208)(cid:218)í ïîm r × u P u B ur =0 (cid:111)(cid:151)í îx-y-2z=0 (cid:50)(cid:237)m=0,-2,1(cid:50)
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=a,b,c(cid:50)
r uuur
ì ïn×PC =0 ìa-2b=0 r
(cid:208)(cid:218)í ïîn r × u P u D ur =0 (cid:111)(cid:151)í î2b-2c=0 (cid:50)(cid:237)n=2,1,1(cid:50)
r r -1 30
(cid:233)cosm,n= =- (cid:50)
5´ 6 30
30
(cid:233)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:60)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81)
30
20(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:77)A(cid:50)B(cid:50)C(cid:50)D(cid:50)E(cid:50)F(cid:81)(cid:256)(cid:4)(cid:44)(cid:7)(cid:24)(cid:20)(cid:104)(cid:50)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:60)(cid:80)
(cid:204)(cid:203)ADEF(cid:200)(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:413)(cid:203)(cid:50)EF//AD,BC//AD(cid:50)AD=4,AB=BC =EF =2(cid:50)ED= 10,FB=2 3(cid:50)M (cid:81)AD
(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)BM //(cid:95)(cid:24)CDE(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F-BM -E(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:261)(cid:81)BC//AD,EF =2,AD=4,M (cid:81)AD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC//MD,BC =MD(cid:50)
(cid:80)(cid:204)(cid:203)BCDM (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:158)(cid:77)BM//CD(cid:50)(cid:268)(cid:261)(cid:81)BMË(cid:95)(cid:24)CDE(cid:50)
CDÌ(cid:95)(cid:24)CDE(cid:50)(cid:158)(cid:77)BM//(cid:95)(cid:24)CDE(cid:260)
4 3
(2)
13
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:391)(cid:126)(cid:80)(cid:204)(cid:203)BCDM (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:111)(cid:126)BM//CD(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:176)BO^ AD(cid:277)AD(cid:276)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)OF (cid:50)(cid:391)(cid:126)OB,OD,OF(cid:264)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:251)(cid:239)(cid:174)(cid:100)(cid:173)(cid:64)(cid:65)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:194)(cid:195)(cid:232)
(cid:111)(cid:138)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)(cid:176)BO^ AD(cid:277)AD(cid:276)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)OF (cid:50)
(cid:261)(cid:81)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:413)(cid:203)(cid:50)BC//AD,AD=4, AB=BC =2(cid:50)(cid:158)(cid:77)CD=2(cid:50)
(cid:64)(cid:65)(cid:10)1(cid:11)BCDM (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:111)(cid:151)BM =CD=2(cid:50)(cid:268)AM =2(cid:50)
(cid:158)(cid:77)VABM (cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)O(cid:81)AM (cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)OB= 3(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ADEF (cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:413)(cid:203)(cid:50)M (cid:81)AD(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)EF =MD,EF//MD(cid:50)
(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFMD(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)FM =ED= AF(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:269)AFM (cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)VABM (cid:60)(cid:269)AFM (cid:199)(cid:204)(cid:33)(cid:104)(cid:4)O(cid:74)(cid:65)(cid:50)OF ^ AM (cid:50)OF = AF2-AO2 =3(cid:50)
(cid:261)(cid:81)OB2+OF2 =BF2(cid:50)(cid:158)(cid:77)OB^OF(cid:50)(cid:158)(cid:77)OB,OD,OF(cid:247)(cid:223)(cid:125)(cid:96)(cid:50)
(cid:77)OB(cid:79)(cid:171)(cid:81)x(cid:386)(cid:50)OD(cid:79)(cid:171)(cid:81)y(cid:386)(cid:50)OF (cid:79)(cid:171)(cid:81)z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)O-xyz(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
uuuur uuur
F0,0,3(cid:50)B  3,0,0  ,M0,1,0,E0,2,3(cid:50)BM =  - 3,1,0  ,BF =  - 3,0,3  (cid:50)
u B u E ur =  - 3,2,3  (cid:50)(cid:227)(cid:95)(cid:24)BFM (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m r =x,y ,z (cid:50)
1 1 1
r
(cid:95)(cid:24)EMB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x ,y ,z (cid:50)
2 2 2r uuuur
ìïm×BM =0 ì ï- 3x +y =0 r  
(cid:208)í r uuur (cid:50)(cid:232)í 1 1 (cid:50)(cid:329)x 1 = 3(cid:50)(cid:151)y 1 =3,z 1 =1(cid:50)(cid:232)m= 3,3,1 (cid:50)
ïîm×BF =0 ïî- 3x +3z =0
1 1
r uuuur
ì ïn×BM =0 ì ï- 3x +y =0
(cid:208)í r uuur (cid:50)(cid:232)í 2 2 (cid:50)(cid:329)x 2 = 3(cid:50)(cid:151)y 2 =3,z 2 =-1(cid:50)
ïîn×BE=0 ïî- 3x +2y +3z =0
2 2 2
r r
(cid:232)n r =  3,3,-1  (cid:50)cosm r ,n r = m r ×n r = 11 = 11 (cid:50)(cid:208)sinm r ,n r = 4 3 (cid:50)
m× n 13× 13 13 13
4 3
(cid:233)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F-BM -E(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
13
21(cid:196)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:95)(cid:24)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:104)(cid:50)AB=8(cid:50)CD=3(cid:50)AD=5 3(cid:50)
uuur 2uuur uuur 1uuur
ÐADC =90°(cid:50)ÐBAD=30°(cid:50)(cid:4)E(cid:50)F(cid:473)(cid:246)AE = AD(cid:50)AF = AB(cid:50)(cid:313)VAEF(cid:502)EF(cid:503)(cid:504)(cid:505)VPEF (cid:50)(cid:259)(cid:151)PC =4 3(cid:196)
5 2
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)EF ^PD(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:60)(cid:95)(cid:24)PBF(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)
uuur 2uuur uuur 1uuur
(cid:218)AB=8,AD=5 3,AE= AD,AF = AB(cid:50)
5 2
(cid:151)AE=2 3,AF =4(cid:50)(cid:268)ÐBAD=30°(cid:50)(cid:131)VAEF(cid:104)(cid:50)
3
(cid:218)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:151)EF = AE2+AF2-2AE×AFcosÐBAD = 16+12-2×4×2 3× =2,
2
(cid:158)(cid:77)AE2+EF2 = AF2(cid:50)(cid:208)AE^EF (cid:50)(cid:232)EF ^ AD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)EF ^PE,EF ^DE(cid:50)(cid:268)PEÇDE=E,PE(cid:26)DEÌ(cid:95)(cid:24)PDE(cid:50)(cid:158)(cid:77)EF ^(cid:95)(cid:24)PDE(cid:50)(cid:268)PDÌ(cid:95)(cid:24)PDE(cid:50)
(cid:233)EF ^ PD(cid:260)
8 65
(2)
65
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:138)(cid:151)EF =2(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:44)(cid:512)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:126)(cid:151)EF ^ AD(cid:50)(cid:208)
EF ^PE,EF ^DE(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:60)(cid:185)(cid:351)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:60)(cid:185)(cid:351)(cid:111)(cid:126)(cid:127)PE^ED(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)E-xyz(cid:50)(cid:238)(cid:239)
(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:138)(cid:90)(cid:24)(cid:24)(cid:160)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:245)(cid:70)CE(cid:50)(cid:218)ÐADC =90°,ED=3 3,CD=3(cid:50)(cid:208)CE2 =ED2+CD2 =36(cid:50)
(cid:131)VPEC(cid:104)(cid:50)PC =4 3,PE=2 3,EC =6(cid:50)(cid:151)EC2+PE2 =PC2(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PE^EC(cid:50)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)PE^EF(cid:50)(cid:268)ECÇEF =E,EC(cid:26)EF Ì(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PE^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:268)EDÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PE^ED(cid:50)(cid:208)PE,EF,ED(cid:248)(cid:248)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)E-xyz(cid:50)
       
(cid:208)E(0,0,0),P 0,0,2 3 ,D 0,3 3,0 ,C 3,3 3,0 ,F(2,0,0),A 0,-2 3,0 (cid:50)
(cid:218)F (cid:73)AB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:151)B(4,2 3,0)(cid:50)
uuur uuur uuur uuur
       
(cid:158)(cid:77)PC = 3,3 3,-2 3 ,PD= 0,3 3,-2 3 ,PB= 4,2 3,-2 3 ,PF = 2,0,-2 3 (cid:50)
r r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:43)(cid:95)(cid:24)PBF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:5)(cid:206)(cid:81)n=x,y ,z ,m=x ,y ,z (cid:50)
1 1 1 2 2 2
r uuur r uuur
ì ïn×PC =3x +3 3y -2 3z =0 ì ïm×PB=4x +2 3y -2 3z =0
(cid:208)í r uuur 1 1 1 (cid:50)í r uuur 2 2 2 (cid:50)
ïîn×PD=3 3y -2 3z =0 ïîm×PF =2x -2 3z =0
1 1 2 2
(cid:329)y =2,x = 3(cid:50)(cid:151)x =0,z =3,y =-1,z =1(cid:50)
1 2 1 1 2 2
r r  
(cid:158)(cid:77)n=(0,2,3),m= 3,-1,1 (cid:50)
r r
r r m×n 1 65
(cid:158)(cid:77) cosm,n = r r = = (cid:50)
m n 5× 13 65
8 65
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:43)(cid:95)(cid:24)PBF(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)(cid:208)sinq= 1-cos2q= (cid:50)
65
8 65
(cid:232)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:43)(cid:95)(cid:24)PBF(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
6522(cid:196)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)PA^(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:50)PA= AC =2(cid:50)BC =1,AB= 3(cid:196)
(1)(cid:250)AD^PB(cid:50)(cid:126)(cid:127)(cid:235)AD//(cid:95)(cid:24)PBC(cid:260)
42
(2)(cid:250)AD^DC(cid:50)(cid:58)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-CP-D(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) (cid:50)(cid:138)AD(cid:196)
7
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:261)(cid:81)PA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:231)ADÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)PA^ AD(cid:50)
(cid:268)AD^PB(cid:50)PBIPA=P(cid:50)PB,PAÌ(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:158)(cid:77)AD^(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)
(cid:231)ABÌ(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:158)(cid:77)AD^ AB.
(cid:261)(cid:81)BC2+AB2 = AC2(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^ AB(cid:50) (cid:215)(cid:216)(cid:95)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:111)(cid:62)AD//BC(cid:50)
(cid:268)ADË(cid:95)(cid:24)PBC(cid:50)BCÌ(cid:95)(cid:24)PBC(cid:50)(cid:158)(cid:77)AD//(cid:95)(cid:24)PBC(cid:196)
(2) 3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:275)(cid:126)(cid:213)AD^(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)AD^ AB(cid:50)(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:512)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)BC ^ AB(cid:50)(cid:271)(cid:231)
AD//BC(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:213)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:115)(cid:4)D(cid:176)DE^ AC(cid:276)E(cid:50)(cid:214)(cid:115)(cid:4)E(cid:176)EF ^CP(cid:276)F (cid:50)(cid:245)(cid:70)DF(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:264)(cid:125)(cid:97)(cid:173)(cid:111)(cid:62)(cid:50)ÐDFE(cid:232)(cid:81)(cid:29)
(cid:24)(cid:160)A-CP-D(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:151)tanÐDFE= 6(cid:50)(cid:214)(cid:5)(cid:206)(cid:239)AD(cid:44)(cid:205)(cid:120)(cid:23)(cid:307)(cid:213)DE,EF(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:90)(cid:79)(cid:228)(cid:138)(cid:213)
AD(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)(cid:115)(cid:4)D(cid:176)DE^ AC(cid:276)E(cid:50)(cid:214)(cid:115)(cid:4)E(cid:176)EF ^CP(cid:276)F (cid:50)(cid:245)(cid:70)DF(cid:50)(cid:261)(cid:81)PA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)PAC ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:231)(cid:95)(cid:24)PACÇ(cid:95)(cid:24)ABCD= AC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)DE^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)(cid:268)EF ^CP(cid:50)(cid:158)(cid:77)CP^(cid:95)(cid:24)DEF (cid:50)
(cid:215)(cid:216)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:111)(cid:62)(cid:50)ÐDFE(cid:232)(cid:81)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-CP-D(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)
42
(cid:232)sinÐDFE= (cid:50)(cid:232)tanÐDFE= 6(cid:196)
7
x 4-x2
(cid:261)(cid:81)AD^DC(cid:50)(cid:227)AD=x(cid:50)(cid:208)CD= 4-x2 (cid:50)(cid:218)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:173)(cid:111)(cid:151)(cid:50)DE= (cid:50)
2
x2 4-x2
4-x2
4-x2
(cid:268)
CE=
 4-x2
- =
(cid:50)(cid:231)VEFC(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:158)(cid:77)EF = (cid:50)
4 2 2 2
x 4-x2
2
(cid:233)tanÐDFE= = 6(cid:50)(cid:90)(cid:151)x= 3(cid:50)(cid:232)AD= 3(cid:196)
4-x2
2 2
23(cid:196)（2023·上海·高考真题）(cid:131)(cid:96)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB//CD(cid:50)AB^ AD(cid:50)AB=2(cid:50)AD=3(cid:50)
1 1 1 1
DC =4
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)AB//(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:260)
1 1 1
(2)(cid:250)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:20)(cid:25)(cid:81)36(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A -BD-A(cid:132)(cid:267).
1 1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
2 13
(2)arctan
3(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:96)(cid:80)(cid:52)(cid:54)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:21)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:50)(cid:111)(cid:126)(cid:95)(cid:24)ABBA //(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)(cid:214)(cid:218)(cid:24)(cid:24)(cid:95)
1 1 1 1
(cid:124)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:275)(cid:215)(cid:216)(cid:52)(cid:54)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:151)AA (cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:50)(cid:138)(cid:90)(cid:232)(cid:111)(cid:196)
1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:62)(cid:50)AA //DD (cid:50)
1 1
(cid:261)(cid:81)AA Ì (cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)DD Ì(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)AA //(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)
1 1 1
(cid:261)(cid:81)AB//DC(cid:50)(cid:58)ABÌ/ (cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)DCÌ(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)
1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)AB//(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)
1 1
(cid:268)AAIAB=A(cid:50)AA (cid:26)ABÌ(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)
1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)ABBA //(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:50)
1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)ABÌ(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)
1 1 1
(cid:158)(cid:77)AB//(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:196)
1 1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:62)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:96)(cid:160)(cid:413)(cid:203)(cid:50)
(2+4)´3
(cid:158)(cid:77)(cid:413)(cid:203)ABCD(cid:44)(cid:24)(cid:25)S= =9(cid:50)
2
(cid:261)(cid:81)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)36(cid:50)
1 1 1 1
36
(cid:158)(cid:77)AA = =4(cid:50)
1 S
(cid:115)A(cid:176)AE^BD(cid:276)E(cid:50)(cid:245)(cid:70)AE(cid:50)
1
(cid:261)(cid:81)AA ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:58)BDÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
1
(cid:158)(cid:77)AA ^BD(cid:50)
1
(cid:268)AAIAE=A(cid:50)AA (cid:26)AEÌ(cid:95)(cid:24)AAE(cid:50)
1 1 1
(cid:158)(cid:77)BD^(cid:95)(cid:24)AAE(cid:50)
1
(cid:261)(cid:81)AEÌ(cid:95)(cid:24)AAE(cid:50)(cid:158)(cid:77)BD^ AE(cid:50)
1 1 1
(cid:158)(cid:77)ÐAEA(cid:232)(cid:81)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A -BD-A(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)
1 1(cid:131)Rt ABD(cid:104)(cid:50)AE×BD=AB×AD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)A △ E= AB×AD = 2´3 = 6 13 (cid:50)
BD 22+32 13
AA 4 2 13
tanÐAEA= 1 = = 2 13
(cid:158)(cid:77) 1 AE 6 13 3 (cid:50)(cid:232)ÐAEA=arctan (cid:50)
1 3
13
2 13
(cid:233)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A -BD-A(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:81)arctan (cid:196)
1
3
24(cid:196)（2023·北京·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)PA^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)PA= AB=BC =1，PC = 3(cid:196)
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)BC ^(cid:95)(cid:24)PAB(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-PC-B(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
π
(2)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:275)(cid:218)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:126)(cid:151)PA^BC(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:126)(cid:151)BC ^PB(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:101)
(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:64)(cid:65)(cid:10)1(cid:11)(cid:104)(cid:64)(cid:150)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:5)(cid:206)(cid:138)(cid:151)(cid:95)(cid:24)PAC(cid:60)(cid:95)(cid:24)PBC(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)
(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:44)(cid:470)(cid:37)(cid:23)(cid:307)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:261)(cid:81)PA^(cid:95)(cid:24)ABC,BCÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PA^BC(cid:50)(cid:255)(cid:89)PA^ AB(cid:50)
(cid:158)(cid:77)VPAB(cid:81)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:268)(cid:261)(cid:81)PB= PA2+AB2 = 2(cid:50)BC =1,PC = 3(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PB2+BC2 =PC2(cid:50)(cid:208)VPBC(cid:81)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:233)BC ^PB(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)BC ^PA(cid:50)PAÇPB=P(cid:50)
(cid:158)(cid:77)BC ^(cid:95)(cid:24)PAB.
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)BC ^(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:268)ABÌ(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:208)BC ^ AB(cid:50)
(cid:77)A(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)AB(cid:81)x(cid:386)(cid:50)(cid:115)A(cid:58)(cid:60)BC(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:96)(cid:97)(cid:81)y(cid:386)(cid:50)AP(cid:81)z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
(cid:208)A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)(cid:50)
uuur uuur uuur uuur
(cid:158)(cid:77)AP=(0,0,1),AC =(1,1,0),BC =(0,1,0),PC =(1,1,-1)(cid:50)
uuur
ur ì ïm×AP=0 ìz =0,
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PAC(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m=x,y,z (cid:50)(cid:208)í uuur (cid:50)(cid:232)í 1
1 1 1 ïîm×AC =0 îx
1
+y
1
=0,
ur
(cid:329)x =1(cid:50)(cid:208)y =-1(cid:50)(cid:158)(cid:77)m=(1,-1,0)(cid:50)
1 1
uuur
r ï ìn×BC =0 ìy =0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PBC(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x ,y ,z (cid:50)(cid:208)í uuur (cid:50)(cid:232)í 2 (cid:50)
2 2 2 ïîn×PC =0 îx
2
+y
2
-z
2
=0
r
(cid:329)x =1(cid:50)(cid:208)z =1(cid:50)(cid:158)(cid:77)n=(1,0,1)(cid:50)
2 2
ur r
ur r m×n 1 1
(cid:158)(cid:77)cos m,n = ur r = = (cid:50)
m n 2´ 2 2
(cid:268)(cid:261)(cid:81)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-PC-B(cid:81)(cid:494)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:50)
π
(cid:158)(cid:77)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-PC-B(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:81) .
3
25(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AC ^(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)ÐACB=90°,AA =2(cid:50)
1 1 1 1 1
A(cid:188)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)1(cid:196)
1 1 1(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)AC = AC(cid:260)
1
(2)(cid:197)(cid:62)AA (cid:60)BB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)2(cid:50)(cid:138)AB (cid:60)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
1 1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
13
(2)
13
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:60)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)AO^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:214)(cid:218)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:138)(cid:213)O(cid:81)
1 1 1
(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:138)(cid:213)AB (cid:44)(cid:205)(cid:21)(cid:4)A(cid:188)(cid:24)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:109)(cid:139)(cid:96)(cid:70)(cid:111)(cid:151)(cid:78)(cid:273)(cid:317).
1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
QAC^(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)BCÌ(cid:24)ABC(cid:50)
1
\AC ^BC(cid:50)(cid:268)BC ^ AC(cid:50)AC,ACÌ(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)ACÇAC =C,
1 1 1 1 1
\BC ^(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)(cid:268)BCÌ(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1 1 1
\(cid:95)(cid:24)ACC A ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1 1 1
(cid:115)A(cid:176)AO^CC (cid:277)CC (cid:276)O(cid:50)(cid:268)(cid:95)(cid:24)ACC A Ç(cid:95)(cid:24)BCCB =CC (cid:50)AOÌ(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
\AO^(cid:95)(cid:24)BCCB
1 1 1
QA (cid:188)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)1(cid:50)\AO=1(cid:50)
1 1 1 1(cid:131)Rt(cid:269)ACC (cid:104)(cid:50)AC ^ AC,CC = AA =2(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:227)CO=x(cid:50)(cid:208)CO=2-x(cid:50)
1
Q(cid:269)AOC,(cid:269)AOC ,(cid:269)ACC (cid:81)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:58)CC =2(cid:50)
1 1 1 1 1 1
CO2+AO2 = AC2(cid:50)AO2+OC2 =C A2(cid:50)AC2+AC2 =CC2(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
\1+x2+1+(2-x)2 =4(cid:50)(cid:90)(cid:151)x=1(cid:50)
\AC = AC = AC = 2(cid:50)
1 1 1
\AC = AC
1
(cid:10)2(cid:11)QAC = AC,BC ^ AC,BC ^ AC(cid:50)
1 1 1
\Rt(cid:269)ACB(cid:513)Rt(cid:269)ACB
1
\BA=BA (cid:50)
1
(cid:115)B(cid:176)BD^ AA (cid:50)(cid:277)AA (cid:276)D(cid:50)(cid:208)D(cid:81)AA (cid:104)(cid:4)(cid:50)
1 1 1
(cid:218)(cid:96)(cid:97)AA (cid:60)BB (cid:186)(cid:187)(cid:81)2(cid:50)(cid:158)(cid:77)BD=2
1 1
QAD=1(cid:50)BD=2(cid:50)\AB= AB= 5(cid:50)
1 1
(cid:131)Rt(cid:269)ABC(cid:50)\BC = AB2-AC2 = 3(cid:50)
(cid:397)(cid:205)AC(cid:50)(cid:259)AC =CM (cid:50)(cid:245)(cid:70)CM (cid:50)
1
(cid:218)CM(cid:262)AC,CM = AC (cid:62)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ACMC (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
1 1 1 1 1 1
\CM(cid:262)AC(cid:50)\CM ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:268)AM Ì(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1 1
\CM ^ AM
1
(cid:208)(cid:131)Rt(cid:269)ACM (cid:104)(cid:50)AM =2AC,CM = AC(cid:50)\AC = (2AC)2+AC2 (cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:131)Rt△ABC (cid:104)(cid:50)AC = (2AC)2+AC2 (cid:50)BC =BC = 3(cid:50)
1 1 1 1 1 1
\AB = (2 2)2+( 2)2+( 3)2 = 13,
1
(cid:268)A(cid:188)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:186)(cid:187)(cid:72)(cid:81)1(cid:50)
1 11 13
(cid:158)(cid:77)AB (cid:60)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) = .
1 1 1 13 13
26(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)AB^BC(cid:50)AB=2(cid:50)BC =2 2(cid:50)
PB=PC = 6(cid:50)BP(cid:50)AP(cid:50)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:5)(cid:206)(cid:81)D(cid:50)E(cid:50)O(cid:50)AD= 5DO(cid:50)(cid:4)F(cid:131)AC(cid:33)(cid:50)BF ^ AO.
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)EF//(cid:95)(cid:24)ADO(cid:260)
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:95)(cid:24)ADO^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:260)
(3)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AO-C(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317).
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1uuur
(cid:245)(cid:70)DE,OF(cid:50)(cid:227)AF =tAC(cid:50)(cid:208)BF =BA+AF =(1-t)BA+tBC(cid:50)AO=-BA+ BC(cid:50)BF ^ AO(cid:50)
2
(cid:208) u B u F ur × u A u O ur =[(1-t) u B u A ur +t u B u C ur ]×(- u B u A ur + 1u B u C ur )=(t-1) u B u A ur 2 + 1 t u B u C uur 2 =4(t-1)+4t =0(cid:50)
2 2
1
(cid:90)(cid:151)t = (cid:50)(cid:208)F (cid:81)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:218)D,E,O,F(cid:5)(cid:206)(cid:81)PB,PA,BC,AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
2
1 1
(cid:276)(cid:73)DE//AB,DE= AB,OF//AB,OF = AB(cid:50)(cid:232)DE//OF,DE=OF(cid:50)(cid:208)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ODEF (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
2 2
EF//DO,EF =DO(cid:50)(cid:268)EFË(cid:95)(cid:24)ADO,DOÌ(cid:95)(cid:24)ADO(cid:50)
(cid:158)(cid:77)EF//(cid:95)(cid:24)ADO.
(2)
6 30
(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:62)EF//OD(cid:50)(cid:208)AO= 6,DO= (cid:50)(cid:151)AD= 5DO= (cid:50)
2 215
(cid:261)(cid:274)OD2+AO2 = AD2 = (cid:50)(cid:208)OD^ AO(cid:50)(cid:67)EF ^ AO(cid:50)
2
(cid:268)AO^BF,BFIEF =F(cid:50)BF,EF Ì(cid:95)(cid:24)BEF(cid:50)
(cid:208)(cid:67)AO^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:50)(cid:268)AOÌ(cid:95)(cid:24)ADO(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)ADO^(cid:95)(cid:24)BEF.
(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:261)(cid:81)AB^BC(cid:50)(cid:115)(cid:4)B(cid:176)z(cid:386)^(cid:95)(cid:24)BAC(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
A2,0,0,,B0,0,0,C  0,2 2,0  (cid:50)
3 15
+4-
DB2+AB2-DA2 2 2 1
(cid:131)VBDA(cid:104)(cid:50)cosÐPBA= = =- (cid:50)
2DB×AB 6 6
2´2´
2
æ 1 ö
(cid:131)△PBA(cid:104)(cid:50)PA2 =PB2+AB2-2PB×ABcosÐPBA=6+4-2 6´2´
ç
-
÷
=14(cid:50)
è 6ø
ì
ìPA= 14 ï x-22 +y2+z2 =14
ï
ï ï
(cid:227)Px,y,z(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:218)íPB= 6 (cid:111)(cid:151)(cid:235)íx2+y2+z2 =6 (cid:50)
ï ï
ïî PC = 6 ïx2+  y-2 2 2 +z2 =6
î
 
(cid:111)(cid:151)(cid:235)x=-1,y= 2,z= 3(cid:50)(cid:158)(cid:77)P -1, 2, 3 (cid:50)
æ 1 2 3ö æ1 2 3ö  
(cid:208)Dç- , , ÷(cid:50)(cid:158)(cid:77)Eç , , ÷(cid:50)F 1, 2,0 (cid:50)
ç 2 2 2 ÷ ç2 2 2 ÷
è ø è ø
uuur   uuur æ 5 2 3ö
AO= -2, 2,0 ,AD=ç- , , ÷
ç 2 2 2 ÷
è ø
ur
(cid:227)(cid:95)(cid:24)ADO(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =x,y ,z (cid:50)
1 1 1 1
ur uuur ì-2x + 2y =0
ì ïn ×AO=0 ï 1 1
(cid:208)íur 1 uuur (cid:50)(cid:151)í 5 2 3 (cid:50)
ïîn ×AD=0 ï- x + y + z =0
1 î 2 1 2 1 2 1
ur
 
(cid:329)x =1(cid:50)(cid:208)y = 2,z = 3(cid:50)(cid:158)(cid:77)n = 1, 2, 3 (cid:50)
1 1 1 1
uuur æ1 2 3ö uuur  
BE=ç , , ÷,BF = 1, 2,0
ç2 2 2 ÷
è ø
uur
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =x ,y ,z (cid:50)
2 2 2 2uur uuur ì1 2 3
ì ïn ×BE=0 ï x + y + z =0
(cid:208)íuur 2 uuur (cid:50)(cid:151)í2 2 2 2 2 2 (cid:50)
ïîn ×BF =0 ï
2 îx + 2y =0
2 2
uur
 
(cid:329)x =2(cid:50)(cid:208)y =- 2,z =0(cid:50)(cid:158)(cid:77)n = 2,- 2,0 (cid:50)
2 2 2 2
ur uur
 
n ×n =2´1+ 2´ - 2 +0=0(cid:50)
1 2
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)ADO^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:260)
2
(3) .
2
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:282)(cid:109)(cid:283)(cid:284)(cid:50)(cid:126)(cid:127)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ODEF (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:143)(cid:89)(cid:176)(cid:135).
(cid:10)2(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:44)(cid:514)(cid:515)(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:44)(cid:512)(cid:109)(cid:89)(cid:21)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:143)(cid:89)(cid:176)(cid:135).(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:115)(cid:4)B
ìPA= 14
ï
ï
(cid:176)z(cid:386)^(cid:95)(cid:24)BAC(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:227)Px,y,z(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:218)íPB= 6 (cid:138)(cid:213)P(cid:4)(cid:470)(cid:37)(cid:50)(cid:214)
ï
PC = 6
ïî
ur uur ur uur
(cid:138)(cid:213)(cid:95)(cid:24)ADO(cid:60)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)n,n (cid:50)(cid:218)n ×n =0(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:260)
1 2 1 2
(cid:10)3(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:218)(cid:10)2(cid:11)(cid:44)(cid:514)(cid:515)(cid:176)(cid:213)(cid:507)(cid:126)(cid:127)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)(cid:214)(cid:64)(cid:65)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:74)(cid:281)(cid:21)(cid:272)(cid:273)(cid:109)(cid:89)(cid:138)(cid:90)(cid:176)(cid:135).(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:138)
(cid:213)(cid:95)(cid:24)ADO(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACO(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:218)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:171)(cid:172)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:90)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:381)
(cid:10)3(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:115)(cid:4)O(cid:176)OH //BF (cid:277)AC(cid:276)(cid:4)H(cid:50)(cid:227)ADIBE=G(cid:50)
1
(cid:218)AO^BF (cid:50)(cid:151)HO^ AO(cid:50)(cid:58)FH = AH (cid:50)
3
(cid:268)(cid:218)(cid:10)2(cid:11)(cid:62)(cid:50)OD^ AO(cid:50)(cid:208)ÐDOH(cid:81)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AO-C(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)D,E(cid:5)(cid:206)(cid:81)PB,PA(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:261)(cid:274)G(cid:81)VPAB(cid:44)(cid:74)(cid:281)(cid:50)
1 1 1 3
(cid:232)(cid:67)DG= AD,GE= BE(cid:50)(cid:268)FH = AH (cid:50)(cid:232)(cid:67)DH = GF(cid:50)
3 3 3 23 15
4+ -
2 2
4+6-PA2
6
cosÐABD= = (cid:50)(cid:90)(cid:151)PA= 14(cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:151)BE= (cid:50)
6 2´2´ 6 2
2´2´
2
2 2
æ1 6ö æ 6ö 5
(cid:276)(cid:73)BE2+EF2 =BF2 =3(cid:50)(cid:232)(cid:67)BE^EF (cid:50)(cid:208)GF2 =ç ´ ÷ +ç ÷ = (cid:50)
ç ÷ ç ÷
3 2 2 3
è ø è ø
15 3 15 15
(cid:271)(cid:231)GF = (cid:50)DH = ´ = (cid:50)
3 2 3 2
1 3 6 15
(cid:131)△DOH(cid:104)(cid:50)OH = BF = ,OD= ,DH = (cid:50)
2 2 2 2
6 3 15
4 + 4 - 4 2 æ 2ö 2 2
(cid:276)(cid:73)cosÐDOH = =- (cid:50)sinÐDOH = 1-ç- ÷ = (cid:50)
6 3 2 ç 2 ÷ 2
2´ ´ è ø
2 2
2
(cid:158)(cid:77)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AO-C(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
2
ur
 
(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:95)(cid:24)ADO(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n = 1, 2, 3 (cid:50)
1
uur
(cid:95)(cid:24)ACO(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =0,0,1(cid:50)
3
ur uur
ur uur n ×n 3 2
(cid:158)(cid:77)cosn,n = ur1 uu3r = = (cid:50)
1 3 n × n 1+2+3 2
1 3
ur uur ur uur ur uur 2
(cid:261)(cid:81)n,n Î0,π (cid:50)(cid:158)(cid:77)sinn,n = 1-cos2n,n = (cid:50)
1 3 1 3 1 3 2
2
(cid:233)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AO-C(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
2
27(cid:196)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB=2,AA =4(cid:196)(cid:4)A ,B ,C ,D
1 1 1 1 1 2 2 2 2
(cid:5)(cid:206)(cid:131)(cid:52)AA,BB,CC ,DD (cid:33)(cid:50)AA =1,BB =DD =2,CC =3(cid:196)
1 1 1 1 2 2 2 2(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)BC(cid:262)AD (cid:260)
2 2 2 2
(2)(cid:4)P(cid:131)(cid:52)BB (cid:33)(cid:50)(cid:240)(cid:29)(cid:24)(cid:160)P-AC -D (cid:81)150°(cid:242)(cid:50)(cid:138)B P(cid:196)
1 2 2 2 2
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:51)(cid:198)(cid:235)
(cid:77)C(cid:81)(cid:470)(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:50)CD,CB,CC (cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
1
(cid:208)C(0,0,0),C (0,0,3),B (0,2,2),D (2,0,2),A (2,2,1)(cid:50)
2 2 2 2
uuuuur uuuuur
\BC =(0,-2,1),A D =(0,-2,1)(cid:50)
2 2 2 2
uuuuur uuuuur
\BC(cid:262)A D (cid:50)
2 2 2 2
(cid:268)BC(cid:50)A D (cid:243)(cid:131)(cid:255)(cid:116)(cid:283)(cid:96)(cid:97)(cid:33)(cid:50)
2 2 2 2
\BC(cid:262)A D .
2 2 2 2
(2)1
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:171)(cid:172)(cid:470)(cid:37)(cid:223)(cid:57)(cid:126)(cid:127)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:227)P(0,2,l)(0£l£4)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:79)(cid:228)(cid:138)(cid:213)l(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90).(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:227)P(0,2,l)(0£l£4)(cid:50)
uuuuur uuuur uuuuur
(cid:208)AC =(-2,-2,2),PC =(0,-2,3-l),DC =(-2,0,1)(cid:50)
2 2 2 2 2
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PAC (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)n=(x,y,z)(cid:50)
2 2
r uuuuur
ì ïn×AC =-2x-2y+2z=0
(cid:208)í r uu 2 uur 2 (cid:50)
ïîn×PC =-2y+(3-l)z=0
2
(cid:329) z=2(cid:50)(cid:151)y=3-l,x=l-1(cid:50)
r
\n=(l-1,3-l,2)(cid:50)
ur
(cid:227)(cid:95)(cid:24)AC D (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)m=(a,b,c)(cid:50)
2 2 2
r uuuuur
ì ïm×AC =-2a-2b+2c=0
(cid:208)í r uu 2 uuu 2 r (cid:50)
ïîm×DC =-2a+c=0
2 2
(cid:329) a=1(cid:50)(cid:151)b=1,c=2(cid:50)
ur
\m=(1,1,2)(cid:50)
r r
r r n×m 6 3
\cosn,m = r r = = cos150° = (cid:50)
n m 6 4+(l-1)2+(3-l)2 2
(cid:428)(cid:112)(cid:111)(cid:151)(cid:50)l2-4l+3=0(cid:50)
(cid:90)(cid:151)l=1(cid:175)l=3(cid:50)
\P(0,2,1)(cid:175)P(0,2,3)(cid:50)
\B P=1.
2
28(cid:196)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:264)(cid:52)(cid:55)A-BCD(cid:104)(cid:50)DA=DB=DC(cid:50)BD^CD(cid:50)ÐADB=ÐADC =60o(cid:50)E(cid:81)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)BC ^DA(cid:260)
uuur uuur
(2)(cid:4)F(cid:473)(cid:246)EF =DA(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AB-F(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)
(cid:245)(cid:70)AE,DE(cid:50)(cid:261)(cid:81)E(cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)DB=DC(cid:50)(cid:158)(cid:77)DE^BC (cid:50)
(cid:261)(cid:81)DA=DB=DC(cid:50)ÐADB=ÐADC =60o(cid:50)(cid:158)(cid:77)VACD(cid:60)VA①BD(cid:200)(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
\AC = AB(cid:50)(cid:271)(cid:231)AE^BC (cid:50)(cid:218) (cid:50)AEIDE=E(cid:50)AE,DEÌ(cid:95)(cid:24)ADE(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:50)BC ^(cid:95)(cid:24)ADE(cid:50)(cid:231)②ADÌ(cid:95)①(cid:24)②ADE(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^DA(cid:196)
3
(2) (cid:196)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:13)(cid:219)(cid:391)(cid:126)BC ^(cid:95)(cid:24)ADE(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:126)(cid:151)BC ^DA(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:111)(cid:126)AE^(cid:95)(cid:24)BCD(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:77)(cid:4)E(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)ED,EB,EA(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)
(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:214)(cid:138)(cid:213)(cid:95)(cid:24)ABD,ABF (cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:171)(cid:172)(cid:194)(cid:195)(cid:77)(cid:21)(cid:255)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:496)(cid:128)(cid:68)(cid:100)(cid:232)(cid:111)(cid:90)(cid:213)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:243)(cid:244)(cid:227)DA=DB=DC =2(cid:50)QBD^CD(cid:50)\BC =2 2,DE= AE= 2(cid:196)
\AE2+DE2 =4= AD2(cid:50)\AE^DE(cid:50)(cid:268)QAE^BC,DEIBC =E(cid:50)DE,BCÌ(cid:95)(cid:24)BCD\AE^(cid:95)(cid:24)BCD(cid:196)
(cid:77)(cid:4)E(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)ED,EB,EA(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:235)
(cid:227)D( 2,0,0),A(0,0, 2),B(0, 2,0),E(0,0,0)(cid:50)
ur uur
(cid:227)(cid:95)(cid:24)DAB(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:5)(cid:206)(cid:81)n =x,y ,z ,n =x ,y ,z (cid:50)
1 1 1 1 2 2 2 2uuur
 
(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AB-F(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:81)q,(cid:231)AB= 0, 2,- 2 (cid:50)
uuur uuur     uuur  
(cid:261)(cid:81)EF =DA= - 2,0, 2 (cid:50)(cid:158)(cid:77)F - 2,0, 2 (cid:50)(cid:232)(cid:67)AF = - 2,0,0 (cid:50)
ì ï- 2x + 2z =0 ur
\í 1 1 (cid:50)(cid:237)x =1(cid:50)(cid:158)(cid:77)n =(1,1,1)(cid:260)
1 1
ïî 2y - 2z =0
1 1
ï ì 2y - 2z =0 uur
í 2 2 (cid:50)(cid:237)y =1(cid:50)(cid:158)(cid:77)n =(0,1,1)(cid:50)
2 2
ïî- 2x =0
2
ur uur
n ×n
1 2 2 6 6 3
(cid:158)(cid:77)(cid:50) cosq= ur uur = = (cid:50)(cid:271)(cid:231)sinq= 1- = (cid:196)
n n 3´ 2 3 9 3
1 2
3
(cid:158)(cid:77)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AB-F(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) (cid:196)
3
29(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)ABC(cid:50)O(cid:81)AC(cid:204)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:58)PO^
(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)AP= AC =2
(1)(cid:138)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:260)
(2)(cid:250)M(cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)PM(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:132)(cid:267)(cid:10)(cid:64)(cid:410)(cid:239)(cid:458)(cid:264)(cid:160)(cid:128)(cid:317)(cid:23)(cid:307)(cid:11).
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)1(cid:260)
3
(2)q=arcsin (cid:196)
4
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:189)(cid:182)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)PO^(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)ACÌ(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:208)PO^ AC(cid:50)(cid:245)(cid:70)BO(cid:50)(cid:255)(cid:89)PO^BO(cid:50)
1
(cid:268)AO= AC =1(cid:50)PA=2(cid:50) PO= 22-12 = 3(cid:50)
2
1 ∴
(cid:231)S = ´2´2´sin60°= 3(cid:50)
(cid:269)ABC 2
1 1
(cid:158)(cid:77)V = PO×S = ´ 3´ 3=1(cid:260)
P-ABC 3 ! ABC 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:197)(cid:62)BO^ AC(cid:50)(cid:5)(cid:206)(cid:77)OB,OC,OP(cid:81)x,y,z(cid:386)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:218)(cid:197)(cid:62)BO= 3(cid:50)
3 1
(cid:208)P(0,0, 3)(cid:50)B( 3,0,0)(cid:50)C(0,1,0)(cid:50) M( , ,0)(cid:50)
2 2
uuuur 3 1 ∴ ur
PM =( , ,- 3)(cid:50)(cid:391)(cid:62)(cid:95)(cid:24)PAC(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:73)m=(1,0,0)(cid:50)
2 2
3
ur uuuur
ur uuuur m×PM 2 3
cos m,PM = ur uuuur = = (cid:50)
m PM 3 1 4
1´ + +3
4 4
3 3
(cid:227)PM(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:132)(cid:267)(cid:81)q(cid:50)(cid:208)sinq= (cid:50)qÎ[0,π](cid:50) q=arcsin (cid:196)
4 4
∴
30(cid:196)（2022·天津·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AC ^ AB(cid:50)(cid:4)D(cid:26)E(cid:26)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB,AA,CD
1 1 1 1 1 1
(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50) AB= AC = AA =2.
1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)EF//(cid:95)(cid:24)ABC(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:96)(cid:97)BE(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:260)
1
(3)(cid:138)(cid:95)(cid:24)ACD(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)
(cid:131)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AA ^(cid:95)(cid:24)ABC (cid:50)(cid:58)AC ^ AB(cid:50)(cid:208)AC ^ AB
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:77)(cid:4)A(cid:81)(cid:470)(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:50)AA(cid:26)AB (cid:26)AC (cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x(cid:26)y(cid:26)z(cid:386)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:198)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
1 1 1 1 1 1(cid:208)A2,0,0(cid:26)B2,2,0(cid:26)C2,0,2(cid:26)A 0,0,0(cid:26)B 0,2,0(cid:26)C 0,0,2(cid:26)D0,1,0(cid:26)E1,0,0(cid:26)
1 1 1
æ 1 ö uuuv æ 1 ö
Fç1, ,1÷(cid:50)(cid:208)EF =ç0, ,1÷(cid:50)
è 2 ø è 2 ø
(cid:391)(cid:62)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m v =1,0,0(cid:50)(cid:208) u E u F ur ×m ur =0(cid:50)(cid:233) u E u F ur ^m ur (cid:50)
QEF Ë(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:233)EF//(cid:95)(cid:24)ABC.
4
(2)
5
10
(3)
10
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:77)(cid:4)A(cid:81)(cid:470)(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:50)AA(cid:26)AB (cid:26)AC (cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x(cid:26)y(cid:26)z(cid:386)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:111)(cid:126)(cid:151)(cid:64)(cid:150)(cid:159)(cid:324)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:111)(cid:138)(cid:151)(cid:96)(cid:97)BE(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:260)
1
(cid:10)3(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:111)(cid:138)(cid:151)(cid:95)(cid:24)ACD(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317).
1 1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
uuuuv uuuuv uuuv
(cid:10)2(cid:11)(cid:90)(cid:235)CC =2,0,0(cid:50)CD=0,1,-2(cid:50)EB=1,2,0(cid:50)
1 1
v uuuuv
(cid:227)(cid:95)(cid:24)CC 1 D(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)u v =x 1 ,y 1 ,z 1 (cid:50)(cid:208) ìï í ïî u u v × × C C uu1u C D uv = = 2 y x 1 - = 2 0 z =0 (cid:50)
1 1 1
uuuv v
(cid:237)y =2(cid:50)(cid:111)(cid:151)u v =0,2,1(cid:50)cos u E u B uv ,u v = u E uu B v ×u v = 4 .
1 EB ×u 5
4
(cid:261)(cid:274)(cid:50)(cid:96)(cid:97)BE(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
1 5
uuuv uuuuv
(cid:10)3(cid:11)(cid:90)(cid:235)AC =2,0,2(cid:50)AD=0,1,0(cid:50)
1 1v uuuv
(cid:227)(cid:95)(cid:24)A 1 CD(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)v v =x 2 ,y 2 ,z 2 (cid:50)(cid:208) ï í ïî ìv v v × × u A A u1u C D uv = = 2 y x 2 = + 0 2z 2 =0 (cid:50)
1 2
v v
(cid:237)x =1(cid:50)(cid:111)(cid:151)v v =1,0,-1(cid:50)(cid:208)cos u v ,v v = u×v =- 1 =- 10 (cid:50)
2 u v ×v v 5´ 2 10
10
(cid:261)(cid:274)(cid:50)(cid:95)(cid:24)ACD(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
1 1
10
31(cid:196)（2022·浙江·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:197)(cid:62)ABCD(cid:43)CDEF(cid:309)(cid:73)(cid:96)(cid:160)(cid:413)(cid:203)(cid:50)AB//DC(cid:50)DC//EF(cid:50)AB=5(cid:50)
DC =3(cid:50)EF =1(cid:50)ÐBAD=ÐCDE =60°(cid:50)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F-DC-B(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:81)60°(cid:196)(cid:227)M(cid:50)N(cid:5)(cid:206)(cid:81)AE,BC(cid:44)(cid:104)
(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)FN ^ AD(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:96)(cid:97)BM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ADE(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:115)(cid:4)E(cid:26)D(cid:5)(cid:206)(cid:472)(cid:96)(cid:97)DC(cid:26)AB(cid:44)(cid:125)(cid:97)EG(cid:26)DH (cid:507)(cid:5)(cid:206)(cid:277)(cid:276)(cid:4)G(cid:26)H(cid:196)
(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:43)EFCD(cid:309)(cid:73)(cid:96)(cid:160)(cid:413)(cid:203)(cid:50)AB//DC,CD//EF,AB=5,DC =3,EF =1(cid:50)ÐBAD=ÐCDE =60°(cid:50)
∵(cid:218)(cid:95)(cid:24)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:391)(cid:62)(cid:50)DG= AH =2,ÐEFC =ÐDCF =ÐDCB=ÐABC =90°(cid:50)(cid:208)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFCG(cid:43)(cid:80)(cid:204)(cid:203)
DCBH(cid:73)(cid:392)(cid:203)(cid:50) (cid:131)RtVEGD(cid:43)RtVDHA(cid:50)EG=DH =2 3(cid:50)
DC ^CF,DC ^∴CB(cid:50)(cid:58)CFÇCB=C(cid:50)
∵DC^(cid:95)(cid:24)BCF,ÐBCF(cid:73)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F-DC-B(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:50)(cid:208)ÐBCF =60o(cid:50)
∴VBCF(cid:73)(cid:78)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:218)DCÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:151)(cid:95)(cid:24)ABCD^(cid:95)(cid:24)BCF(cid:50)
∴N (cid:73)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)\FN ^BC(cid:50)(cid:268)DC^(cid:95)(cid:24)BCF(cid:50)FN Ì(cid:95)(cid:24)BCF(cid:50)(cid:111)(cid:151)FN ^CD(cid:50)(cid:231)BCÇCD=C(cid:50)
∵FN ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:231)ADÌ(cid:95)(cid:24)ABCD\FN ^ AD(cid:196)
( ∴ 2) 5 7 (cid:196)
14
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:115)(cid:4)E(cid:26)D(cid:5)(cid:206)(cid:472)(cid:96)(cid:97)DC(cid:26)AB(cid:44)(cid:125)(cid:97)EG(cid:26)DH (cid:507)(cid:5)(cid:206)(cid:277)(cid:276)(cid:4)G(cid:26)H(cid:50)(cid:218)(cid:95)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:391)(cid:151)FC =BC(cid:50)
(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:111)(cid:62)(cid:50)ÐBCF =60o(cid:50)(cid:218)(cid:274)(cid:111)(cid:62)(cid:50)FN ^BC(cid:50)FN ^CD(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:111)(cid:126)(cid:151)FN ^(cid:95)(cid:24)
ABCD(cid:50)(cid:232)(cid:151)FN ^ AD(cid:260)(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:62)FN ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:115)(cid:4)N (cid:472)AB(cid:95)(cid:124)(cid:97)NK (cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:111)(cid:77)(cid:77)(cid:4)N (cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)NK (cid:50)NB(cid:26)NF
(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:5)(cid:206)(cid:81)x(cid:386)(cid:26)y(cid:386)(cid:26)z(cid:386)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)N-xyz(cid:50)(cid:138)(cid:213)(cid:95)(cid:24)ADE(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:77)(cid:21) u B u M uur (cid:50)
(cid:232)(cid:111)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:171)(cid:172)(cid:194)(cid:195)(cid:90)(cid:213)(cid:196)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:261)(cid:81)FN ^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:115)(cid:4)N (cid:472)AB(cid:95)(cid:124)(cid:97)NK (cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:77)(cid:4)N (cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50) NK (cid:50)NB(cid:26)NF(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:97)(cid:5)
(cid:206)(cid:81)x(cid:386)(cid:26)y(cid:386)(cid:26)z(cid:386)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)N-xyz(cid:50)
æ 3 3ö
(cid:227)A(5, 3,0),B(0, 3,0),D(3,- 3,0),E(1,0,3)(cid:50)(cid:208)Mç3, , ÷(cid:50)
ç 2 2÷
è ø
uuuuv æ 3 3ö uuuv uuuv
\BM =ç3,- , ÷,AD=(-2,-2 3,0),DE=(-2, 3,3)
ç 2 2÷
è ø
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)ADE(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=(x,y,z)
ìn r × u A u D uv =0 ì ï-2x-2 3y=0
(cid:218)ír uuuv (cid:50)(cid:151)í (cid:50)(cid:237)n r =( 3,-1, 3)(cid:50)
în×DE=0 ïî-2x+ 3y+3z=0
(cid:227)(cid:96)(cid:97)BM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ADE(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)
3 3 3
r uuuuv 3 3+ +
r uuuuv n×BM 2 2 5 3 5 7
sinq= cosnn,BMn = r uuuuv = = = (cid:196)
n × BM 3 9 7×2 3 14
3+1+3× 9+ +
∴ 4 4
32(cid:196)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)PO(cid:73)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:42)(cid:50)PA=PB(cid:50)AB^AC(cid:50)E(cid:73)PB
(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)OE//(cid:95)(cid:24)PAC(cid:260)
(2)(cid:250)ÐABO=ÐCBO=30°(cid:50)PO=3(cid:50)PA=5(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AE-B(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)
(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:245)(cid:70)BO(cid:507)(cid:397)(cid:205)(cid:277)AC(cid:276)(cid:4)D(cid:50)(cid:245)(cid:70)OA(cid:26)PD(cid:50)
(cid:261)(cid:81)PO(cid:73)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:42)(cid:50)(cid:158)(cid:77)PO^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)AO,BOÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PO^ AO(cid:26)PO^BO(cid:50)
(cid:268)PA=PB(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:269)POA@(cid:269)POB(cid:50)(cid:232)OA=OB(cid:50)(cid:158)(cid:77)(cid:285)OAB=(cid:285)OBA(cid:50)
(cid:268)AB^AC(cid:50)(cid:232)ÐBAC=90°(cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐOAB+ÐOAD=90°(cid:50)ÐOBA+ÐODA=90°(cid:50)
(cid:158)(cid:77)ÐODA=ÐOAD
(cid:158)(cid:77)AO=DO(cid:50)(cid:232)AO=DO=OB(cid:50)(cid:158)(cid:77)O(cid:81)BD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:268)E(cid:81)PB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)OE//PD(cid:50)
(cid:268)OEË(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)PDÌ(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)OE//(cid:95)(cid:24)PAC
11
(2)
13
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:245)(cid:70)BO(cid:507)(cid:397)(cid:205)(cid:277)AC(cid:276)(cid:4)D(cid:50)(cid:245)(cid:70)OA(cid:26)PD(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:27)(cid:57)(cid:151)(cid:188)OA=OB(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:96)(cid:160)
(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:151)(cid:188)AO=DO(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:188)O(cid:81)BD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:271)(cid:231)(cid:151)(cid:188)OE//PD(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:121)(cid:240)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:138)(cid:213)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:44)(cid:516)(cid:85)(cid:317)(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:255)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:496)(cid:128)(cid:44)(cid:105)
(cid:106)(cid:68)(cid:100)(cid:189)(cid:182)(cid:111)(cid:151).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:90)(cid:235)(cid:115)(cid:4)A(cid:176)Az//OP(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)PO=3(cid:50)AP=5(cid:50)(cid:158)(cid:77)OA= AP2-PO2 =4(cid:50)(cid:268)ÐOBA=ÐOBC =30°(cid:50)(cid:158)(cid:77)BD=2OA=8(cid:50)(cid:208)AD=4(cid:50)AB=4 3(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AC =12(cid:50)(cid:158)(cid:77)O  2 3,2,0  (cid:50)B  4 3,0,0  (cid:50)P  2 3,2,3  (cid:50)C0,12,0(cid:50)
æ 3ö
(cid:158)(cid:77)Eç3 3,1, ÷(cid:50)
è 2ø
uuuv æ 3ö uuuv   uuuv
(cid:208)AE=ç3 3,1, ÷(cid:50)AB= 4 3,0,0 (cid:50)AC =0,12,0(cid:50)
è 2ø
ìv uuuv 3
(cid:227)(cid:95)(cid:24)AEB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n v =x,y,z(cid:50)(cid:208) ï í n×AE=3 3x+y+ 2 z=0 (cid:50)(cid:329)z=2(cid:50)(cid:208)y=-3(cid:50)x=0(cid:50)(cid:158)(cid:77)
ïv uuuv
în×AB=4 3x=0
n v =0,-3,2(cid:260)
ìv uuuv 3
(cid:227)(cid:95)(cid:24)AEC(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m v =a,b,c(cid:50)(cid:208) ï í m×AE=3 3a+b+ 2 c=0 (cid:50)
ï îm v × u A u C uv =12b=0
v  
(cid:329)a= 3(cid:50)(cid:208)c=-6(cid:50)b=0(cid:50)(cid:158)(cid:77)m= 3,0,-6 (cid:260)
v v
v v n×m -12 4 3
(cid:158)(cid:77)cosn,m= v v = =- .
n m 13´ 39 13
v v 4 3
(cid:227)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AE-B(cid:44)(cid:132)(cid:267)(cid:81)q(cid:50)(cid:208) cosq= cosn,m = (cid:50)
13
11 11
(cid:158)(cid:77)sinq= 1-cos2q= (cid:50)(cid:232)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AE-B(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
13 13
33(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)PD^(cid:199)(cid:24)
ABCD,CD(cid:262)AB,AD=DC =CB=1,AB=2,DP= 3(cid:196)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)BD^PA(cid:260)
(2)(cid:138)PD(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)(cid:260)
5
(2) .
5
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:176)DE^ AB(cid:276)E(cid:50)CF ^ AB(cid:276)F (cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:126)(cid:127)AD^BD(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:111)(cid:151)
PD^BD(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:111)(cid:151)BD^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:77)(cid:4)D(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:213)(cid:135)(cid:210).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:131)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:104)(cid:50)(cid:176)DE^ AB(cid:276)E(cid:50)CF ^ AB(cid:276)F (cid:50)
(cid:261)(cid:81)CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:413)(cid:203)(cid:50)
1
(cid:158)(cid:77)AE=BF = (cid:50)
2
3
(cid:233)DE= (cid:50)BD= DE2+BE2 = 3(cid:50)
2
(cid:158)(cid:77)AD2+BD2 = AB2(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AD^BD(cid:50)
(cid:261)(cid:81)PD^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)BDÌ(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PD^BD(cid:50)
(cid:268)PDÇAD=D(cid:50)
(cid:158)(cid:77)BD^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)PAÌ(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)BD^PA(cid:260)(cid:10)2(cid:11)(cid:90)(cid:235)(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:77)(cid:4)D(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
BD= 3(cid:50)
(cid:208)A1,0,0,B  0, 3,0  ,P  0,0, 3  (cid:50)
uuur uuur uuur
     
(cid:208)AP= -1,0, 3 ,BP= 0,- 3, 3 ,DP= 0,0, 3 (cid:50)
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)n=x,y,z(cid:50)
r uuur
(cid:208)(cid:67){ n r × u A u P ur =-x+ 3z=0 (cid:50)(cid:111)(cid:237)n r =  3,1,1  (cid:50)
n×BP=- 3y+ 3z=0
r uuur
r uuur n×DP 5
(cid:208)cos n,DP = r uuur = (cid:50)
n DP 5
5
(cid:158)(cid:77)PD(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
5
34(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:80)(cid:24)(cid:20)ABCD(cid:104)(cid:50)AD^CD,AD=CD,ÐADB=ÐBDC(cid:50)E(cid:81)AC(cid:44)
(cid:104)(cid:4)(cid:196)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:95)(cid:24)BED^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:260)
(2)(cid:227)AB=BD=2,ÐACB=60°(cid:50)(cid:4)F(cid:131)BD(cid:33)(cid:50)(cid:240)VAFC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:267)(cid:242)(cid:50)(cid:138)CF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)
(cid:317)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:51)(cid:198)(cid:235)
(cid:261)(cid:81)AD=CD(cid:50)E(cid:81)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AC ^DE(cid:260)
(cid:131)VABD(cid:43)VCBD(cid:104)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)AD=CD,ÐADB=ÐCDB,DB=DB(cid:50)
(cid:158)(cid:77)VABD(cid:513)VCBD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AB=CB(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)E(cid:81)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AC ^BE(cid:260)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)DE,BEÌ(cid:95)(cid:24)BED(cid:50)DEÇBE=E(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AC ^(cid:95)(cid:24)BED(cid:50)
(cid:261)(cid:81)ACÌ(cid:95)(cid:24)ACD(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)BED^(cid:95)(cid:24)ACD.
4 3
(2)CF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81)
7
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:197)(cid:62)(cid:68)(cid:100)(cid:126)(cid:127)VABD(cid:513)VCBD(cid:50)(cid:151)(cid:188)AB=CB(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:57)(cid:414)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:264)(cid:97)(cid:65)(cid:116)(cid:151)(cid:188)(cid:125)(cid:96)(cid:68)(cid:100)(cid:50)
(cid:64)(cid:65)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:512)(cid:239)(cid:151)(cid:188)BE^DE(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:181)(cid:182)(cid:173)(cid:208)(cid:140)(cid:124)(cid:189)(cid:182)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:245)(cid:70)EF(cid:50)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)(cid:50)AC ^(cid:95)(cid:24)BED(cid:50)(cid:261)(cid:81)EF Ì(cid:95)(cid:24)BED(cid:50)
1
(cid:158)(cid:77)AC ^EF(cid:50)(cid:158)(cid:77)S = AC×EF(cid:50)
(cid:269)AFC 2
(cid:240)EF ^BD(cid:242)(cid:50)EF(cid:316)(cid:267)(cid:50)(cid:232)VAFC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:316)(cid:267).(cid:261)(cid:81)VABD(cid:513)VCBD(cid:50)(cid:158)(cid:77)CB= AB=2(cid:50)
(cid:268)(cid:261)(cid:81)ÐACB=60°(cid:50)(cid:158)(cid:77)VABC(cid:73)(cid:57)(cid:204)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
(cid:261)(cid:81)E(cid:81)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:158)(cid:77)AE=EC =1(cid:50)BE= 3(cid:50)
1
(cid:261)(cid:81)AD^CD(cid:50)(cid:158)(cid:77)DE= AC =1,
2
(cid:131)VDEB(cid:104)(cid:50)DE2+BE2 =BD2(cid:50)(cid:158)(cid:77)BE^DE.
(cid:77)E(cid:81)(cid:470)(cid:37)(cid:448)(cid:4)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)E-xyz(cid:50)
(cid:208)A1,0,0,B  0, 3,0  ,D0,0,1(cid:50)(cid:158)(cid:77) u A u D uv =-1,0,1, u A u B uv =  -1, 3,0  (cid:50)
(cid:227)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n v =x,y,z(cid:50)
v uuuv
ìïn×AD=-x+z=0
v  
(cid:208)í v uuuv (cid:50)(cid:237)y= 3(cid:50)(cid:208)n= 3, 3,3 (cid:50)
ïîn×AB=-x+ 3y=0
æ 3 3ö uuuv æ 3 3ö
(cid:268)(cid:261)(cid:81)C-1,0,0,Fç0, , ÷(cid:50)(cid:158)(cid:77)CF =ç1, , ÷(cid:50)
ç 4 4÷ ç 4 4÷
è ø è ø
v uuuv
v uuuv n×CF 6 4 3
(cid:158)(cid:77) cosn,CF = n v C uu F uv = 7 = 7 (cid:50)
21´
4
æ pö
(cid:227)CF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)qç0£q£ ÷(cid:50)
è 2ø
v uuuv 4 3
(cid:158)(cid:77)sinq= cosn,CF = (cid:50)
7
4 3
(cid:158)(cid:77)CF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) .
7
35(cid:196)（2022·北京·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)(cid:224)(cid:24)BCCB (cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:95)(cid:24)BCCB ^(cid:95)(cid:24)
1 1 1 1 1 1 1
ABBA (cid:50)AB=BC =2(cid:50)M(cid:50)N(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB (cid:50)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
1 1 1 1(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)MN∥(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:260)
1 1
(2)(cid:214)(cid:271)(cid:283)(cid:284) (cid:26)(cid:283)(cid:284) (cid:306)(cid:248)(cid:166)(cid:283)(cid:284)(cid:104)(cid:234)(cid:498)(cid:116)(cid:166)(cid:176)(cid:81)(cid:197)(cid:62)(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)BMN(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
(cid:283)(cid:284) (cid:235)AB①^MN(cid:260)②
(cid:283)(cid:284)①(cid:235)BM =MN(cid:196)
(cid:122)(cid:235)②(cid:51)(cid:410)(cid:234)(cid:498)(cid:283)(cid:284) (cid:43)(cid:283)(cid:284) (cid:5)(cid:206)(cid:90)(cid:135)(cid:50)(cid:500)(cid:133)(cid:116)(cid:166)(cid:90)(cid:135)(cid:189)(cid:5)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)①(cid:237)AB(cid:44)(cid:104)②(cid:4)(cid:81)K(cid:50)(cid:245)(cid:70)MK,NK(cid:50)
(cid:218)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:111)(cid:151)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABBA (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:231)BM =MA,BK =KA(cid:50)(cid:208)MK//BB (cid:50)
1 1 1
(cid:231)MK Ë(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)BB Ì(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:233)MK//(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:231)CN =NA,BK =KA(cid:50)(cid:208)NK//BC(cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:111)(cid:151)NK//(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1
(cid:231)NKIMK =K,NK,MK Ì(cid:95)(cid:24)MKN(cid:50)
(cid:233)(cid:95)(cid:24)MKN//(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:231)MN Ì(cid:95)(cid:24)MKN(cid:50)(cid:233)MN//(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1 1 1
(2)
2
(cid:250)(cid:234) (cid:175)(cid:234) (cid:50)(cid:96)(cid:97)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)BMN(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:309)(cid:73) .
3
① ②
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)AB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:81)K(cid:50)(cid:245)(cid:70)MK,NK(cid:50)(cid:111)(cid:126)(cid:95)(cid:24)MKN//(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:111)(cid:126)MN//(cid:95)(cid:24)
1 1
BCCB .
1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:234) (cid:200)(cid:111)(cid:126)(cid:127)BB ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:271)(cid:231)(cid:111)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:111)(cid:138)(cid:97)(cid:24)
1
(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:273)①(cid:317)②
.
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:261)(cid:81)(cid:224)(cid:24)BCCB (cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:233)CB^BB (cid:50)
1 1 1(cid:231)CBÌ(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:95)(cid:24)CBBC ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:95)(cid:24)CBBC Ç(cid:95)(cid:24)ABBA =BB (cid:50)(cid:233)CB^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:261)(cid:81)NK//BC(cid:50)(cid:233)NK ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)
1 1
(cid:261)(cid:81)ABÌ(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)(cid:233)NK ^ AB(cid:50)
1 1
(cid:250)(cid:234) (cid:50)(cid:208)AB^MN(cid:50)(cid:231)NK ^ AB(cid:50)NKIMN =N (cid:50)
(cid:233)AB①^(cid:95)(cid:24)MNK(cid:50)(cid:231)MK Ì(cid:95)(cid:24)MNK(cid:50)(cid:233)AB^MK(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AB^BB (cid:50)(cid:231)CB^BB (cid:50)CBÇAB=B(cid:50)(cid:233)BB ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1 1
(cid:233)(cid:111)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:208)B0,0,0,A0,2,0,N1,1,0,M0,1,2(cid:50)
uuur uuur uuuur
(cid:233)BA=0,2,0,BN =1,1,0,BM =0,1,2(cid:50)
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BNM (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x,y,z(cid:50)
v uuuv
ìn×BN =0 ìx+y=0 r
(cid:208)ív uuuuv (cid:50)(cid:271)(cid:231)í (cid:50)(cid:237)z=-1(cid:50)(cid:208)n=-2,2,-1(cid:50)
în×BM =0 îy+2z=0
(cid:227)(cid:96)(cid:97)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)BNM (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)(cid:208)
r uuur 4 2
sinq= cosn,AB = = .
2´3 3
(cid:250)(cid:234) (cid:50)(cid:261)(cid:81)NK//BC(cid:50)(cid:233)NK ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)(cid:231)KM Ì(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)
1 1 1 1
②
(cid:233)NK ^KM (cid:50)(cid:231)BM =BK =1,NK =1(cid:50)(cid:233)BM =NK(cid:50)
1 1
(cid:231)BB=MK =2(cid:50)MB=MN(cid:50)(cid:233)VBBM @VMKN(cid:50)
1 1
(cid:158)(cid:77)ÐBBM =ÐMKN =90°(cid:50)(cid:233)AB ^BB (cid:50)
1 1 1 1
(cid:231)CB^BB (cid:50)CBÇAB=B(cid:50)(cid:233)BB ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1
(cid:233)(cid:111)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:158)(cid:307)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:208)B0,0,0,A0,2,0,N1,1,0,M0,1,2(cid:50)
uuur uuur uuuur
(cid:233)BA=0,2,0,BN =1,1,0,BM =0,1,2(cid:50)
r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BNM (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x,y,z(cid:50)
r uuur
ì ïn×BN =0 ìx+y=0 r
(cid:208)í ïîn r × u B u M uur =0 (cid:50)(cid:271)(cid:231)í îy+2z=0 (cid:50)(cid:237)z=-1(cid:50)(cid:208)n=-2,2,-1(cid:50)(cid:227)(cid:96)(cid:97)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)BNM (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)(cid:208)
r uuur 4 2
sinq= cosn,BA = = .
2´3 3
36(cid:196)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)4(cid:50)VABC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)2 2(cid:196)
1 1 1 1
(1)(cid:138)A(cid:188)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:260)
1
(2)(cid:227)D(cid:81)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)AA = AB(cid:50)(cid:95)(cid:24)ABC ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-BD-C(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:196)
1 1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1) 2
3
(2)
2
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:173)(cid:181)(cid:182)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:21)(cid:101)(cid:109)(cid:111)(cid:151)BC ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90).
1 1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:131)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)(cid:227)(cid:4)A(cid:188)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)h(cid:50)
1 1 1 1
1 2 2 1 1 4
(cid:208)V = S ×h= h=V = S ×AA= V = (cid:50)
A-A1BC 3 VA1BC 3 A1-ABC 3 VABC 1 3 ABC-A1B1C1 3
(cid:90)(cid:151)h= 2(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:4)A(cid:188)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81) 2(cid:260)
1(cid:10)2(cid:11)(cid:237)AB(cid:44)(cid:104)(cid:4)E,(cid:245)(cid:70)AE,(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:261)(cid:81)AA = AB(cid:50)(cid:158)(cid:77)AE^ AB,
1 1 1
(cid:268)(cid:95)(cid:24)ABC ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)(cid:95)(cid:24)ABCÇ(cid:95)(cid:24)ABBA = AB(cid:50)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:58)AEÌ(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)(cid:158)(cid:77)AE^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1 1
(cid:131)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)BB ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
1 1 1 1
(cid:218)BCÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)BCÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:111)(cid:151)AE^BC(cid:50)BB ^BC(cid:50)
1 1
(cid:268)AE,BB Ì(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:58)(cid:223)(cid:277)(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)BC,BA,BB (cid:248)(cid:248)(cid:125)(cid:96)(cid:50)(cid:77)B(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:236)(cid:50)
1
(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:151)AE= 2(cid:50)(cid:158)(cid:77)AA = AB=2(cid:50)AB=2 2(cid:50)(cid:158)(cid:77)BC =2(cid:50)
1 1
(cid:208)A0,2,0,A 0,2,2,B0,0,0,C2,0,0 ,(cid:158)(cid:77)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)D1,1,1(cid:50)
1 1
uuuv uuuv uuuv
(cid:208)BD=1,1,1(cid:50)BA=0,2,0,BC =2,0,0,
r uuur
(cid:227)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)m v =x,y,z(cid:50)(cid:208) ì ï í m r × u B u D ur =x+y+z=0 (cid:50)
ïîm×BA=2y=0
(cid:111)(cid:237)m v =1,0,-1(cid:50)
r uuuv
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BDC(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)n v =a,b,c(cid:50)(cid:208) ì í n r × u B u D uv =a+b+c=0 (cid:50)
în×BC =2a=0
(cid:111)(cid:237)n v =0,1,-1(cid:50)v v
v v m×n 1 1
(cid:208)cosm,n= v v = = (cid:50)
m× n 2´ 2 2
æ1ö 2 3
(cid:158)(cid:77)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-BD-C(cid:44)(cid:78)(cid:273)(cid:317)(cid:81) 1-ç ÷ = .
è2ø 2
考点 05 空间中的距离问题
1(cid:196)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)ÐACB=90°(cid:50)AC =BC(cid:50)D(cid:50)E(cid:5)(cid:206)
1 1 1
(cid:81)AB(cid:50)AC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
1
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)DE//(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:260)
1 1
(2)(cid:227)CC =2(cid:50)(cid:96)(cid:97)DE(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)DE(cid:188)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:196)
1 1 1 1 1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:126)(cid:127)(cid:51)(cid:198)(cid:235)
(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:176)(cid:213)(cid:310)(cid:65)(cid:13)(cid:219)(cid:44)(cid:236)(cid:203)(cid:50)(cid:245)(cid:70)BC (cid:50)
1
(cid:131)VABC (cid:104)(cid:50)D(cid:50)E(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB(cid:50)AC (cid:104)(cid:4)(cid:50) DE//BC (cid:50)
1 1 1
∴
DEË(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)BC Ì(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1 1 1 1
∵
DE//(cid:95)(cid:24)BCCB .
1 1
∴ (2)(cid:186)(cid:187)(cid:81)1.(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)(cid:115)(cid:126)(cid:127)DE//BC (cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:213)(cid:64)(cid:150)(cid:260)
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:227)(cid:213)AC =BC =2tt >0(cid:50)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:507)(cid:23)(cid:318)(cid:213)(cid:47)(cid:4)(cid:44)(cid:470)(cid:37)(cid:50)(cid:151)(cid:213)(cid:171)(cid:172) u E u D ur (cid:60)(cid:24)ACC A
1 1
(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:44)(cid:23)(cid:318)(cid:195)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:96)(cid:97)DE(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°(cid:138)(cid:213)(cid:483)(cid:128)t(cid:50)(cid:191)(cid:178)(cid:18)(cid:19)(cid:68)(cid:100)(cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:213)DE
1 1
(cid:188)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187).
1 1
(cid:79)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:238)(cid:239)(cid:96)(cid:97)DE(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°(cid:50)(cid:138)(cid:213)AC =BC =CC =2(cid:50)(cid:191)(cid:178)(cid:18)(cid:19)(cid:68)(cid:100)(cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:213)DE
1 1 1
(cid:188)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187).
1 1
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:21)(cid:10)1(cid:11)(cid:151)(cid:50)CC =2
1
(cid:131)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)ÐACB=90°(cid:50)(cid:227)AC =BC =2tt >0(cid:50)
1 1 1
(cid:80)(cid:204)(cid:203)ACC A (cid:60)(cid:80)(cid:204)(cid:203)BCCB (cid:73)(cid:392)(cid:203)(cid:50)
1 1 1 1
AC ^BC(cid:50)AC ^CC (cid:50)BC ^CC (cid:50)
1 1
∴(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:198)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:50)
(cid:151)(cid:188)A2t,0,0(cid:50)B0,2t,0(cid:50)C0,0,0(cid:50)Dt,t,0(cid:50)Et,0,1(cid:50)
uuur ur
ED=0,t,-1(cid:50)(cid:24)ACC A (cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n =0,1,0(cid:50)
1 1 1
∴
(cid:96)(cid:97)DE(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°(cid:50)
1 1
∵
(cid:227)(cid:96)(cid:97)DE(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)q
1 1
uuur ur
uuur ur ED×n 0+t´1+0
1
sinq= cosED,n = uuur ur = =sin45°
1 ED × n 0+t2+-12 ´ 0+12+0
1
∴(cid:90)(cid:151)t=1(cid:50) A2,0,0(cid:50)B0,2,0(cid:50)C0,0,0(cid:50)D1,1,0(cid:50)E1,0,1(cid:50)
∴
DE//(cid:24)BCCB (cid:50) (cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)DE(cid:188)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)x =1.
1 1 1 1 D
∵(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:21)(cid:10)1 ∴(cid:11)(cid:151)(cid:50)
(cid:131)(cid:96)(cid:264)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)ÐACB=90°(cid:50)AC =BC(cid:50)
1 1 1
(cid:80)(cid:204)(cid:203)ACC A (cid:60)(cid:80)(cid:204)(cid:203)BCCB (cid:73)(cid:392)(cid:203)(cid:50)
1 1 1 1
AC ^BC(cid:50)AC ^CC (cid:50)BC ^CC (cid:50)
1 1
∴
ACÇCC =C(cid:50)ACÌ(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)CC Ì(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)BCË(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1
∵
BC ^(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)ÐBCC =90°(cid:50)
1 1 1
∴
(cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)ÐBCC(cid:232)(cid:81)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)
1 1 1 1
∴
(cid:96)(cid:97)DE(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°(cid:50)
1 1
(cid:131)VABC (cid:104)(cid:50)D(cid:50)E(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB(cid:50)AC (cid:104)(cid:4)(cid:50)DE//BC (cid:50)
1 1 1
(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°(cid:50)(cid:232)ÐBCC =45°(cid:50)
1 1 1 1
∴
(cid:131)RtVBCC (cid:104)(cid:50)ÐBCC =45°(cid:50)ÐBCC =90°(cid:50)CC =2(cid:50)
1 1 1 1
AC =BC =CC =2(cid:50)
1
∴(cid:131)RtVABC(cid:104)(cid:50)AC ^BC(cid:50)AC =BC(cid:50)
VABC(cid:81)(cid:57)(cid:414)(cid:96)(cid:160)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:115)(cid:4)D(cid:176)DF//AC(cid:50)
1
(cid:208)(cid:4)F (cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)DF = AC =1(cid:50)DF ^BC(cid:50)
2
(cid:218)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:50)DE(cid:188)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:232)(cid:81)DF =1.
1 1
2(cid:196)（2025·天津·高考真题）(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:44)(cid:52)(cid:205)(cid:81)4(cid:50)E(cid:26)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AD,CB (cid:104)(cid:4)(cid:50)CG=3GC (cid:196)
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)GF ^(cid:95)(cid:24)FBE(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)FBE(cid:60)(cid:95)(cid:24)EBG(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:260)
(3)(cid:138)(cid:264)(cid:52)(cid:55)D-FBE(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:196)
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
4
(2)
5
32
(3)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:26)(cid:238)(cid:239)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:275)(cid:126)(cid:127)FG^BF(cid:50)(cid:214)(cid:64)(cid:65)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:151)(cid:213)EF ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:238)
1 1
(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:60)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:126)(cid:127)(cid:232)(cid:111)(cid:260)(cid:173)(cid:29)(cid:26)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:126)(cid:127)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:232)(cid:111)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:189)(cid:182)(cid:24)(cid:24)(cid:321)(cid:160)(cid:232)(cid:111)(cid:260)
(cid:10)3(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:189)(cid:182)(cid:4)(cid:24)(cid:186)(cid:187)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:55)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:189)(cid:182)(cid:232)(cid:111).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:173)(cid:116)(cid:26)(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:203)BCCB (cid:104)(cid:50)
1 1
CG 1 FB
(cid:218)(cid:283)(cid:284)(cid:391)(cid:62)tanÐCFG= 1 = = 1 =tanÐBBF(cid:50)(cid:158)(cid:77)ÐCFG=ÐBBF(cid:50)
1 CF 2 BB 1 1 1
1 1
π
(cid:208)ÐBFB+ÐBBF = =ÐCFG+ÐBFB(cid:50)
1 1 2 1 1
π
(cid:233)ÐBFG=π-ÐCFG+ÐBFB= (cid:50)(cid:232)FG^BF(cid:50)
1 1 2
(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:104)(cid:50)(cid:391)(cid:62)DC ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)(cid:58)EF//DC (cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:158)(cid:77)EF ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)
1 1
(cid:268)FGÌ(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50) EF ^FG(cid:50)
1 1
EFIBF =F,EF(cid:26)BF∴Ì(cid:95)(cid:24)BEF(cid:50) GF ^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:260)
∵(cid:173)(cid:29)(cid:26)(cid:51)(cid:236)(cid:77)D(cid:81)(cid:104)(cid:281)(cid:174)(cid:324)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)∴(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:208)B4,4,0,E2,0,4,F2,4,4,G0,4,3(cid:50)uuur uuur uuur
(cid:158)(cid:77)EF =0,4,0,EB=2,4,-4,FG=-2,0,-1(cid:50)
ur
(cid:227)m=a,b,c(cid:73)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)
ur uuur
ìïm×EF =4b=0 ur
(cid:208)íur uuur (cid:50)(cid:329)a=2(cid:50)(cid:208)b=0,c=1(cid:50)(cid:158)(cid:77)m=2,0,1(cid:50)
ïîm×EB=2a+4b-4c=0
uuur r uuur
(cid:391)(cid:62)FG=-m(cid:50)(cid:208)FG(cid:72)(cid:73)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50) GF ^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:255)(cid:33)(cid:173)(cid:29)(cid:174)(cid:324)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50) ∴
uuur uuur
(cid:158)(cid:77)EG=-2,4,-1,BG=-4,0,3(cid:50)
uuur
(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)FG(cid:73)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:50)
r uuur
r ìïn×EG=-2x+4y-z=0
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BEG(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)n=x,y,z(cid:50)(cid:158)(cid:77)ír uuur (cid:50)
ïîn×BG=-4x+3z=0
r
(cid:329)x=6(cid:50)(cid:208)z=8,y=5(cid:50)(cid:232)n=6,5,8(cid:50)
(cid:227)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:60)(cid:95)(cid:24)BEG(cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:81)a(cid:50)
uuur r
uuur r FG×n 20 4
(cid:208)cosa= cos FG,n = uuur r = = (cid:260)
FG × n 5´ 125 5
(cid:10)3(cid:11)(cid:218)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)EF ^(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50)FBÌ(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:50) EF ^FB(cid:50)
1 1 1 1
1 1 ∴
(cid:391)(cid:62)S = EF×BF = ´4´ 42+22 =4 5(cid:50)
VBEF 2 2
uuur uuur
uuur DE×FG 8
(cid:268)DE=2,0,4(cid:50)(cid:208)D(cid:188)(cid:95)(cid:24)BEF(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)d = uuur = (cid:50)
FG 5
1 1 8 32
(cid:218)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:194)(cid:195)(cid:62)(cid:235)V = d´S = ´ ´4 5= .
D-BEF 3 VBEF 3 5 3
3(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)AB//CD,CD//EF(cid:50)AB=DE=EF =CF =2(cid:50)CD=4,AD=BC = 10(cid:50)AE=2 3,M (cid:81)CD(cid:44)(cid:104)(cid:4).
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)EM //(cid:95)(cid:24)BCF(cid:260)
(2)(cid:138)(cid:4)M (cid:188)ADE(cid:44)(cid:186)(cid:187).
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:217)(cid:90)(cid:260)
6 13
(2)
13
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:391)(cid:126)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFCM (cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:111)(cid:126)EM//FC(cid:50)(cid:140)(cid:231)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:275)(cid:126)(cid:127)OA^(cid:95)(cid:24)EDM (cid:50)(cid:64)(cid:65)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:173)V =V (cid:232)(cid:111)(cid:138)(cid:90).
M-ADE A-EDM
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:219)(cid:151)(cid:50)EF//MC(cid:50)(cid:58)EF =MC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFCM (cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:158)(cid:77)EM //FC(cid:50)
(cid:268)CF Ì(cid:95)(cid:24)BCF,EM Ì/ (cid:95)(cid:24)BCF(cid:50)
(cid:158)(cid:77)EM //(cid:95)(cid:24)BCF(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:237)DM (cid:44)(cid:104)(cid:4)O(cid:50)(cid:245)(cid:70)OA(cid:50)OE(cid:50)(cid:261)(cid:81)AB//MC(cid:50)(cid:58)AB=MC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:80)(cid:204)(cid:203)AMCB(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:158)(cid:77)AM =BC = 10(cid:50)
(cid:268)AD= 10(cid:50)(cid:233)(cid:269)ADM (cid:73)(cid:57)(cid:414)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:255)(cid:89)(cid:269)EDM (cid:73)(cid:57)(cid:414)(cid:264)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
æDM ö 2 æDM ö 2
(cid:111)(cid:151)OA^DM,OE^DM,OA= AD2-ç ÷ =3,OE= ED2-ç ÷ = 3(cid:50)
è 2 ø è 2 ø
(cid:268)AE=2 3(cid:50)(cid:158)(cid:77)OA2+OE2 = AE2(cid:50)(cid:233)OA^OE.
(cid:268)OA^DM,OEÇDM =O,OE,DM Ì(cid:95)(cid:24)EDM (cid:50)(cid:158)(cid:77)OA^(cid:95)(cid:24)EDM (cid:50)
1
(cid:391)(cid:62)S = ´2´ 3= 3.
VEDM 2
4+12-10 3
(cid:131)VADE(cid:104)(cid:50)cosÐDEA= = (cid:50)
2´2´2 3 413 1 13 39
(cid:158)(cid:77)sinÐDEA= ,S = ´2´2 3´ = .
4 VDEA 2 4 2
(cid:227)(cid:4)M (cid:188)(cid:95)(cid:24)ADE(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)d(cid:50)(cid:218)V =V (cid:50)
M-ADE A-EDM
1 1 6 13
(cid:151) S ×d = S ×OA(cid:50)(cid:151)d = (cid:50)
3 VADE 3 VEDM 13
6 13
(cid:233)(cid:4)M (cid:188)(cid:95)(cid:24)ADE(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81) .
13
4(cid:196)（2024·天津·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)AB^ AD,AB//DC(cid:50)
1 1 1 1 1
AB= AA =2,AD=DC =1(cid:196)M,N(cid:5)(cid:206)(cid:81)DD,BC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1 1 1 1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)DN//(cid:95)(cid:24)CBM (cid:260)
1 1
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:260)
1 1 1
(3)(cid:138)(cid:4)B(cid:188)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:196)
1
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)
2 22
(2)
11
2 11
(3)
11
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)CB (cid:104)(cid:4)P(cid:50)(cid:245)(cid:70)NP(cid:50)MP(cid:50)(cid:191)(cid:178)(cid:104)(cid:98)(cid:97)(cid:44)(cid:185)(cid:351)(cid:60)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:185)(cid:351)(cid:109)(cid:89)(cid:111)(cid:151)DN//MP(cid:50)(cid:64)
1 1
(cid:65)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:126)(cid:260)
(cid:10)2(cid:11)(cid:174)(cid:324)(cid:121)(cid:240)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)(cid:189)(cid:182)(cid:248)(cid:95)(cid:24)(cid:44)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:50)(cid:214)(cid:238)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:321)(cid:160)(cid:194)(cid:195)(cid:189)(cid:182)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90)(cid:260)(cid:10)3(cid:11)(cid:191)(cid:178)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:4)(cid:188)(cid:95)(cid:24)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:194)(cid:195)(cid:189)(cid:182)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:90).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)CB (cid:104)(cid:4)P(cid:50)(cid:245)(cid:70)NP(cid:50)MP(cid:50)
1
1
(cid:218)N (cid:73)BC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:233)NP//CC (cid:50)(cid:58)NP= CC (cid:50)
1 1 1 2 1
1 1
(cid:218)M (cid:73)DD (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:233)DM = DD = CC (cid:50)(cid:58)DM//CC (cid:50)
1 1 2 1 2 1 1 1
(cid:208)(cid:67)DM//NP(cid:26)DM =NP(cid:50)
1 1
(cid:233)(cid:80)(cid:204)(cid:203)DMPN(cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:233)DN//MP(cid:50)
1 1
(cid:268)MPÌ(cid:95)(cid:24)CBM (cid:50)DN Ë(cid:95)(cid:24)CBM (cid:50)
1 1 1
(cid:233)DN//(cid:95)(cid:24)CBM (cid:260)
1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:77)A(cid:81)(cid:448)(cid:4)(cid:174)(cid:324)(cid:51)(cid:236)(cid:158)(cid:307)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:160)(cid:470)(cid:37)(cid:100)(cid:50)
(cid:67)A0,0,0(cid:26)B2,0,0(cid:26)B 2,0,2(cid:26)M0,1,1(cid:26)C1,1,0(cid:26)C 1,1,2(cid:50)
1 1
uuur uuuur uuur
(cid:208)(cid:67)CB =1,-1,2(cid:26)CM =-1,0,1(cid:26)BB =0,0,2(cid:50)
1 1
r r
(cid:227)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:5)(cid:206)(cid:81)m=x,y ,z (cid:26)n=x ,y ,z (cid:50)
1 1 1 1 1 1 2 2 2
r uuur r uuur
ì ïm×CB =x -y +2z =0 ì ïn×CB =x -y +2z =0
(cid:208)(cid:67)í r uuuu 1 r 1 1 1 (cid:50)í r uuur 1 2 2 2 (cid:50)
ïîm×CM =-x +z =0 ïîn×BB =2z =0
1 1 1 2
(cid:5)(cid:206)(cid:237)x =x =1(cid:50)(cid:208)(cid:67)y =3(cid:26)z =1(cid:26)y =1(cid:50)z =0(cid:50)
1 2 1 1 2 2
r r
(cid:232)m=1,3,1(cid:26)n =1,1,0(cid:50)
r r
r r m×n 1+3 2 22
(cid:208)cos m,n = r r = = (cid:50)
m× n 1+9+1× 1+1 112 22
(cid:233)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC (cid:44)(cid:321)(cid:160)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:81) (cid:260)
1 1 1
11
uuur r
(cid:10)3(cid:11)(cid:218)BB =0,0,2(cid:50)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:44)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:81)m=1,3,1(cid:50)
1 1
uuur r
BB ×m
2 2 11
(cid:208)(cid:67) 1 = = (cid:50)
r
m 1+9+1 11
2 11
(cid:232)(cid:4)B(cid:188)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81) .
1
11
5(cid:196)（2023·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:264)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)AB^AC, PA^(cid:95)(cid:24)ABC, PA=AB=3, AC=4,M (cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)
(cid:115)(cid:4)M (cid:5)(cid:206)(cid:176)(cid:95)(cid:124)(cid:276)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:96)(cid:97)(cid:277)AC(cid:26)PC(cid:276)(cid:4)E(cid:26)F.
(1)(cid:138)(cid:96)(cid:97)PM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:317)(cid:260)
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:95)(cid:24)MEF//(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:507)(cid:138)(cid:96)(cid:97)ME(cid:188)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:186)(cid:187).
5
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)
4
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:90)(cid:212)(cid:260)2
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:215)(cid:216)(cid:96)(cid:97)(cid:60)(cid:95)(cid:24)(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:232)(cid:111)(cid:62)ÐPMA(cid:232)(cid:81)(cid:96)(cid:97)PM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:395)
(cid:205)(cid:96)(cid:70)(cid:138)(cid:90)(cid:232)(cid:111).
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:24)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:96)(cid:70)(cid:126)(cid:127)(cid:232)(cid:111)(cid:260)(cid:215)(cid:216)(cid:97)(cid:24)(cid:17)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:427)(cid:428)(cid:81)(cid:4)(cid:24)(cid:186)(cid:187)(cid:50)(cid:232)(cid:111)(cid:151)(cid:213)(cid:135)(cid:210).
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)
(cid:261)(cid:81)PA^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:245)(cid:70)AM (cid:50)
(cid:208)ÐPMA(cid:232)(cid:81)(cid:96)(cid:97)PM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:50)
(cid:268)PA= AB=3(cid:50)AC =4(cid:50)AB^AC(cid:50)5
M (cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:111)(cid:151)BC =5(cid:50)AM = (cid:50)
2
PA 6
(cid:158)(cid:77)tanÐPMA= = (cid:50)
AM 5
6
(cid:232)(cid:96)(cid:97)PM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:317)(cid:81) .
5
(cid:10)2(cid:11)(cid:218)(cid:13)(cid:62)(cid:50)ME//(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)MF//(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)
MEIMF =M (cid:50)ME,MF Ì(cid:95)(cid:24)MEF (cid:50)
(cid:158)(cid:77)(cid:95)(cid:24)MEF//(cid:95)(cid:24)PAB.
(cid:261)(cid:81)PA^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)ACÌ(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
(cid:158)(cid:77)PA^ AC(cid:50)
(cid:268)AC ^ AB(cid:50)AB,PAÌ(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)ABÇPA= A(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AC ^(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:268)ME//(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)
(cid:158)(cid:77)AE(cid:517)(cid:73)(cid:96)(cid:97)ME(cid:188)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:50)
(cid:268)M (cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1
(cid:208)AE= AC =2(cid:50)
2
(cid:232)(cid:96)(cid:97)ME(cid:188)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)2.
6(cid:196)（2023·天津·高考真题）(cid:51)(cid:236)(cid:50)(cid:131)(cid:264)(cid:52)(cid:53)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AA^(cid:95)(cid:24)
1 1 1 1
ABC,AB^ AC,AB= AC = AA =2,AC =1(cid:50)M (cid:81)BC(cid:104)(cid:4).(cid:50)N(cid:81)AB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1 1 1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:235)AN //(cid:95)(cid:24)AMC (cid:260)
1 1
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)AMC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:321)(cid:160)(cid:44)(cid:272)(cid:273)(cid:317)(cid:260)
1 1 1
(3)(cid:138)(cid:4)C(cid:188)(cid:95)(cid:24)AMC (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:196)
1
AC
(cid:209)(cid:135)(cid:210)(cid:211)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:235)(cid:245)(cid:70)MN,C A.(cid:218)M,N(cid:5)(cid:206)(cid:73)BC,BA(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:104)(cid:98)(cid:97)(cid:185)(cid:351)(cid:50)MN//AC(cid:50)(cid:58)MN = =1(cid:50)
1 2
(cid:218)(cid:52)(cid:53)(cid:185)(cid:351)(cid:50)AC //AC(cid:50)(cid:276)(cid:73)MN//AC (cid:50)(cid:218)MN = AC =1(cid:111)(cid:62)(cid:50)(cid:80)(cid:204)(cid:203)MNAC (cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:208)AN //MC (cid:50)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(cid:268)ANË(cid:95)(cid:24)CMA(cid:50)MC Ì(cid:95)(cid:24)CMA(cid:50)(cid:276)(cid:73)AN //(cid:95)(cid:24)AMC .
1 1 1 1 1 1
2
(2)
3
4
(3)
3
(cid:209)(cid:5)(cid:212)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:275)(cid:126)(cid:127)(cid:80)(cid:204)(cid:203)MNAC (cid:73)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:393)(cid:229)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:90)(cid:518)(cid:260)
1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:238)(cid:239)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:109)(cid:139)(cid:50)(cid:176)(cid:213)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:229)(cid:140)(cid:124)(cid:138)(cid:90)(cid:260)
(cid:10)3(cid:11)(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:73)(cid:238)(cid:239)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:68)(cid:100)(cid:50)(cid:179)(cid:188)(cid:125)(cid:97)(cid:395)(cid:44)(cid:205)(cid:50)(cid:79)(cid:173)(cid:29)(cid:474)(cid:170)(cid:179)(cid:125)(cid:97)(cid:395)(cid:205)(cid:50)(cid:96)(cid:70)(cid:238)(cid:239)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:173)(cid:138)(cid:90)
(cid:209)(cid:217)(cid:90)(cid:211)(cid:10)1(cid:11)(cid:381)
(cid:10)2(cid:11)(cid:115)M (cid:176)ME^ AC(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)E(cid:50)(cid:115)E(cid:176)EF ^ AC (cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)F ,(cid:245)(cid:70)MF,CE.
1 1
(cid:218)MEÌ(cid:24)ABC(cid:50)AA^(cid:24)ABC(cid:50)(cid:233)AA ^ME(cid:50)(cid:268)ME^ AC(cid:50)ACÇAA = A(cid:50)AC,AA Ì(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)
1 1 1 1 1 1
(cid:208)ME^(cid:95)(cid:24)ACC A .
1 1
(cid:218)AC Ì(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:50)(cid:233)ME^ AC (cid:50)(cid:268)EF ^ AC (cid:50)MEÇEF =E(cid:50)ME,EF Ì(cid:95)(cid:24)MEF (cid:50)(cid:276)(cid:73)AC ^(cid:95)
1 1 1 1 1 1
(cid:24)MEF (cid:50)
(cid:218)MF Ì(cid:95)(cid:24)MEF (cid:50)(cid:233)AC ^MF .(cid:276)(cid:73)(cid:95)(cid:24)AMC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:232)ÐMFE.
1 1 1 1
AB 1 2 2
(cid:268)ME= =1(cid:50)cosÐCAC = (cid:50)(cid:208)sinÐCAC = (cid:50)(cid:233)EF =1´sinÐCAC = (cid:50)(cid:131)RtVMEF(cid:104)(cid:50)
2 1 5 1 5 1 5
4 3
ÐMEF =90o(cid:50)(cid:208)MF = 1+ = (cid:50)
5 5
EF 2
(cid:276)(cid:73)cosÐMFE= =
MF 3(cid:10)3(cid:11)[(cid:79)(cid:173)(cid:116)(cid:235)(cid:18)(cid:19)(cid:173)]
(cid:115)C (cid:176)CP^ AC(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)P(cid:50)(cid:176)CQ^ AM (cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)Q(cid:50)(cid:245)(cid:70)PQ,PM (cid:50)(cid:115)P(cid:176)PR^CQ(cid:50)(cid:125)(cid:246)(cid:81)R.
1 1 1 1
2
æ 2ö 3 2
(cid:218)(cid:13)(cid:519)(cid:128)(cid:216)(cid:111)(cid:151)(cid:50)C A=CC = 5(cid:50)CM = CP2+PM2 = 5(cid:50)(cid:215)(cid:216)(cid:314)(cid:315)(cid:109)(cid:89)(cid:50)CQ= 5-ç ÷ = (cid:50)
1 1 1 1 1 ç 2 ÷ 2
è ø
(cid:218)CP^(cid:95)(cid:24)AMC(cid:50)AM Ì(cid:95)(cid:24)AMC(cid:50)(cid:208)CP^ AM (cid:50)(cid:268)CQ^ AM (cid:50)CQÇCP=C (cid:50)CQ,CPÌ(cid:95)(cid:24)
1 1 1 1 1 1 1 1
CPQ(cid:50)(cid:276)(cid:73)AM ^(cid:95)(cid:24)CPQ.
1 1
(cid:268)PRÌ(cid:95)(cid:24)CPQ(cid:50)(cid:208)PR^ AM (cid:50)(cid:268)PR^CQ(cid:50)CQÇAM =Q(cid:50)CQ,AM Ì(cid:95)(cid:24)CMA(cid:50)(cid:233)PR^(cid:95)(cid:24)
1 1 1 1 1
CMA.
1
2
2×
PC ×PQ 2 2
(cid:131)RtVCPQ(cid:104)(cid:50)PR= 1 = = (cid:50)
1 QC 3 2 3
1
2
(cid:268)CA=2PA(cid:50)(cid:233)(cid:4)C(cid:188)(cid:95)(cid:24)CMA(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:73)P(cid:188)(cid:95)(cid:24)CMA(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:44)(cid:248)(cid:490)(cid:50)
1 1
4
(cid:232)(cid:4)C(cid:188)(cid:95)(cid:24)AMC (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:73) .
1 3
[(cid:79)(cid:173)(cid:29)(cid:235)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:173)](cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:255)(cid:79)(cid:173)(cid:116).
(cid:227)(cid:4)C(cid:188)(cid:95)(cid:24)AMC (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)h.
1
1 1 1  2 2
V = ´CP´S = ´2´ ´ 2 = (cid:50)
C1-AMC 3 1 VAMC 3 2 3
1 1 1 3 2 h
V = ´h´S = ´h´ ´ 2´ = .
C-C1MA 3 VAMC1 3 2 2 2
h 2 4
(cid:218)V =V Û = (cid:50)(cid:232)h= .
C1-AMC C-C1MA 2 3 3