文档内容
专题 03 导数及其应用
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
2024年全国甲卷（理）、2023年全国甲卷
考点1：切线问题 （文）
2024年全国Ⅰ卷、2022年全国II卷
2022年全国I卷
2023年全国乙卷（文）
2022年全国乙卷（理）
考点2：单调性、极最
2023年北京卷
值问题 2024年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷
2023年全国Ⅱ卷、2023年全国Ⅱ卷
2022年全国乙卷（文）
2022年全国甲卷（文）
高考对导数及其应用的考查相
2022年全国甲卷（理）
考点3：比较大小问题 2022年全国I卷、2024年北京卷 对稳定，属于重点考查的内
2024年天津卷 容．高考在本节内容上无论试
2023年全国甲卷（文）、2023年天津卷
题怎样变化，我们只要把握好
2024年新课标全国Ⅱ卷
考点4：恒成立与有解
2023年全国甲卷（文）、2023年全国甲卷 导数作为研究函数的有力工具
问题 （理）
这一点，将函数的单调性、极
2024年全国甲卷（理）、2024年全国Ⅰ卷
值、最值等本质问题利用图像
2023年全国乙卷（理）
考点5：极最值问题 2023年北京卷 直观明了地展示出来，其余的
2024年全国Ⅱ卷
就是具体问题的转化了．最终
2024年全国甲卷（文）、2023年天津卷
考点6：证明不等式 2023年全国Ⅰ卷、2023年全国Ⅱ卷 的落脚点一定是函数的单调性
2022年全国II卷 与最值，因为它们是导数永恒
考点7：双变量问题
2022年全国甲卷（理） 的主题．
（极值点偏移、拐点 2022年北京卷、2022年天津卷
偏移） 2022年浙江卷、2024年天津卷
2024年全国Ⅱ卷
2023年全国乙卷（文）、2024年天津卷
2024年全国甲卷（文）
考点8：零点问题 2023年天津卷、2022年天津卷
2024年北京卷
2022年全国乙卷（文）、2022年全国甲卷
（文）
2022年全国乙卷（理）、2022年全国I卷考点1：切线问题
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 ，则曲线 在点 处的切
线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切
线，则 .
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
考点2：单调性、极最值问题
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．8．（2023年北京高考数学真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
9．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
10．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
11．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数 既有极大值也有极
小值，则（ ）．
A． B． C． D．
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小
值为（ ）．
A． B．e C． D．
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 在区间 的最小值、最
大值分别为（ ）
A． B． C． D．
考点3：比较大小问题
14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 ，则（ ）A． B． C． D．
15．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2022年新高考全国I卷数学真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2024年北京高考数学真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
18．（2024年天津高考数学真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．记
，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2023年天津高考数学真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点4：恒成立与有解问题
21．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
22．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．23．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
24．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
25．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
考点5：极最值问题
26．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
27．（2023年北京高考数学真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
28．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
考点6：证明不等式
29．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．30．（2023年天津高考数学真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
31．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
32．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
33．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．考点7：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
34．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
35．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
36．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
37．（2022年新高考浙江数学高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
38．（2024年天津高考数学真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
考点8：零点问题
39．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ， ，当 时，
曲线 与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
40．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
41．（2024年天津高考数学真题）若函数 恰有一个零点，则 的取值范围为
．
42．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值范围为 ．
43．（2023年天津高考数学真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则
的取值范围为 ．
44．（2022年新高考天津数学高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．
若 至少有3个零点，则实数 的取值范围为 .
45．（2024年北京高考数学真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
46．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
47．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ，曲线 在点
处的切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．48．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
49．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
