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专题 14 坐标系与参数方程、不等式选讲
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
考点1：不等式选讲之 2023年高考全国甲卷数学（理）真题
面积问题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
考点2：不等式选讲之
证明不等式、范围问
2022年高考全国甲卷数学（理）真题 高考对选做题的考查相对稳定，
题
考查内容、频率、题型、难度均
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
变化不大．不等式选讲主要以证
明不等式为主，坐标系与参数方
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
程主要以考察直角坐标方程与极
考点3：直角坐标方程 2023年高考全国乙卷数学（理）真题 坐标方程互化为主.
与极坐标方程互化
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点4：的几何意义 2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点1：不等式选讲之面积问题
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 ，函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若曲线 与 轴所围成的图形的面积为2，求 ．
【解析】（1）若 ,则 ,
即 ,解得 ,即 ,
若 ,则 ,
解得 ,即 ,
综上,不等式的解集为 .
（2） .
画出 的草图,则 与 轴围成 ,
的高为 ,所以 ,
所以 ,解得 .
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 .
(1)求不等式 的解集；
(2)在直角坐标系 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.【解析】（1）依题意， ，
不等式 化为： 或 或 ，
解 ，得无解；解 ，得 ，解 ，得 ，因此
，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影 ，
由 ，解得 ，由 , 解得 ，又 ，
所以 的面积 .
考点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知实数 满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
【解析】（1）因为 ，
当 时等号成立，则 ，
因为 ，所以 ;
（2）4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．
【解析】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .
[方法二]：基本不等式
由 ， ， ，
，
当且仅当 时，取等号，所以 .
（2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
5．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ；
【解析】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
考点3：直角坐标方程与极坐标方程互化
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知点 ，直线 （t为参数）， 为 的
倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且 ．
(1)求 ；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
【解析】（1）因为 与 轴， 轴正半轴交于 两点，所以 ，
令 ， ，令 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）可知，直线 的斜率为 ，且过点 ，
所以直线 的普通方程为： ，即 ，
由 可得直线 的极坐标方程为 ．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ： （ 为参数，
）.
(1)写出 的直角坐标方程；
(2)若直线 既与 没有公共点，也与 没有公共点，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，即 ，可得 ，
整理得 ，表示以 为圆心，半径为1的圆，又因为 ，
且 ，则 ，则 ，
故 .
（2）因为 （ 为参数， ），
整理得 ，表示圆心为 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线 过 ，则 ，解得 ；
若直线 ，即 与 相切，则 ，解得 ，
若直线 与 均没有公共点，则 或 ，
即实数 的取值范围 .
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为
参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
(1)写出 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与
交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，即 的普通方程为 ．
（2）因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ．9．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ，
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【解析】（1）因为l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将 ， 代入 中，
可得 ，
化简为 ，
要使l与C有公共点，则 有解，
令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为 .
[方法二]：直角坐标方程
由曲线 的参数方程为 ， 为参数，消去参数 ，可得 ，
联立 ，得 ，即 ，即有
，即 ， 的取值范围是 ．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视 的范围限制而出错．
考点4： 的几何意义
10．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)写出 的直角坐标方程；
(2)设直线l： （ 为参数），若 与l相交于 两点，若 ，求 .
【解析】（1）由 ，将 代入 ，
故可得 ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为 .
（2）对于直线 的参数方程消去参数 ，得直线的普通方程为 .
法1：直线 的斜率为 ，故倾斜角为 ，
故直线的参数方程可设为 ， .
将其代入 中得
设 两点对应的参数分别为 ，则 ，
且 ，故 ，
，解得 .
法2：联立 ，得 ，
，解得 ，
设 , ，
则 ，
解得
