文档内容
专题 07 三角函数
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
2022年新高考全国II卷数学真题
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2022年新高考天津数学高考真题
考点1：三角函数的图像与
2022年新高考北京数学高考真题
性质：奇偶性、单调性、
2022年新高考全国I卷数学真题
奇偶性
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2024年上海夏季高考数学真题
2023年北京高考数学真题
2024年北京高考数学真题
考点2：值域与最值问题 2024年高考全国甲卷数学（文）真题
2024年天津高考数学真题
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
本节命题趋势仍是突出以三角
考点3：伸缩变换问题 2022年新高考浙江数学高考真题
函数的图像、周期性、单调
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题
考 点 4 ： 求 性、奇偶性、对称性、最值等
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
解 析 2023年天津高考数学真题 重点内容展开，并结合三角公
式问题
式、化简求值、平面向量、解
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2022年新高考浙江数学高考真题 三角形等内容综合考查，因此
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
复习时要注重三角知识的工具
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题 性，以及三角知识的应用意
考点5：三角恒等变换
2022年新高考全国II卷数学真题 识．
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2022年新高考北京数学高考真题
2023年北京高考数学真题
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点6： 与 的取值与范
2024年北京高考数学真题
围问题
2022年高考全国甲卷数学（文）真题
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
考点7：弧长、面积公式 2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点1：三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性
1．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的图像关于点
中心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【解析】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．故选：AD．
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数 和 ，下列说法
中正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，
显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
3．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
4．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
6．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 在区间 单调递增，
直线 和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
7．（2024年上海夏季高考数学真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．8．（2023年北京高考数学真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
考点2：值域与最值问题
9．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于
原点对称.若 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】由题意 ，从而 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .
故答案为： .
10．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
11．（2024年天津高考数学真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在
的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．【答案】A
【解析】 ，由 得 ，
即 ，当 时， ，
画出 图象，如下图，
由图可知， 在 上递减，
所以，当 时，
故选：A
考点3：伸缩变换问题
12．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移
个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
13．（2022年新高考浙江数学高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图
象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 时，曲线 与 的交点个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
考点4：求 解析式问题
15．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线
的两个交点，若 ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．16．（2023年天津高考数学真题）已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，
则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
考点5：三角恒等变换
17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
则 ， ，则 ，则 ，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则
故答案为： .
18．（2022年新高考浙江数学高考真题）若 ，则 ，
．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .故答案为： ； .
19．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
20．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
21．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.22．（2022年新高考全国II卷数学真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
23．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，故 即 ，
从而 ，故 ，
故选：A.
24．（2022年新高考北京数学高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
【答案】 1
【解析】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
25．（2023年北京高考数学真题）已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p
为假命题的一组 的值为 ， ．
【答案】
【解析】因为 在 上单调递增，若 ，则 ，
取 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 ，则 .
不妨取 ，即 满足题意.
故答案为： .
26．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若 ，则 ．
【答案】【解析】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
考点6： 与 的取值与范围问题
27．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，
则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记函数 的最小正周期为
T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
29．（2024年北京高考数学真题）设函数 .已知 ， ，且 的
最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
30．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）将函数 的图像向左平移 个单位
长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
31．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
考点7：弧长、面积公式
32．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录
了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上，
．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.
