文档内容
专题 08 解三角形
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
2023年天津高考数学真题
2022年高考全国乙卷数学（文）真题
2023年北京高考数学真题
考点1：正余弦定理综
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
合应用
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2024年天津高考数学真题
2022年新高考天津数学高考真题
2024年上海夏季高考数学真题
考点2：实际应用
2022年新高考浙江数学高考真题
考点3：角平分线、中 2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
高考对本节的考查不会有大的变
线、高问题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 化，仍将以考查正余弦定理的基
2022年高考全国甲卷数学（理）真题 本使用、面积公式的应用为主．
考点4：解三角形范围
2022年新高考全国I卷数学真题 从近三年的全国卷的考查情况来
与最值问题
2022年新高考北京数学高考真题 看，本节是高考的热点，主要以
考查正余弦定理的应用和面积公
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题
式为主．
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2024年北京高考数学真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点5：周长与面积问
2022年新高考北京数学高考真题
题
2023年高考全国甲卷数学（文）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2022年新高考浙江数学高考真题
2022年新高考全国II卷数学真题
考点6：解三角形中的
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
几何应用考点1：正余弦定理综合应用
1．（2023年天津高考数学真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知
．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【解析】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
．
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【解析】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：，故原等式成立．
3．（2023年北京高考数学真题）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 .
故选：B.
4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在 中,内角 所对边分别为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则由正弦定理得 .由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
6．（2024年天津高考数学真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的值．
【解析】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，
由（2）法一知 ，
因为 ，则 ，所以 ，则 ，
.
法二： ，
则 ，
因为 为三角形内角，所以 ，
所以
7．（2022年新高考天津数学高考真题）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【解析】（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得：
．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，所以
．
（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以
， ，而 ，所以
，
故 ．
考点2：实际应用8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， ,存在
点A满足 ，则 (精确到0.1度)
【答案】
【解析】设 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ’
即 ①
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，即 ，②
因为 ， 得 ，
利用计算器即可得 ，
故答案为： .
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，
他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ．
【答案】 .【解析】因为 ，所以 ．
故答案为： .
考点3：角平分线、中线、高问题
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【解析】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在 中， ， 的角平
分线交BC于D，则 ．
【答案】【解析】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
考点4：解三角形范围与最值问题
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 中，点D在边BC上，
．当 取得最小值时， ．
【答案】 /
【解析】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
13．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
14．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
考点5：周长与面积问题
15．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【解析】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
16．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
17．（2024年北京高考数学真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，
因为 为钝角，则 .
（2）选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；选择② ，因为 为三角形内角，则 ，
则代入 得 ，解得 ，
,
则 .
选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
18．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；（2）因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
19．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【解析】（1）因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
【解析】（1）因为 ，所以 ，解得： ．
（2）由正弦定理可得
，变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
21．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
22．（2022年新高考浙江数学高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．23．（2022年新高考全国II卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，
c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【解析】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
考点6：解三角形中的几何应用
24．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积
为 ， 为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
