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专题 06 向量专题（新定义）
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
．令 ，下面说法错误的是（ ）
A．若 与 共线，则
B．
C．对任意的 , ,
D．
2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）定义 .若向量 ，向量 为单位向量，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021春·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点 和两个不共线的向量 ， ，
由平面向量基本定理，平面内任何一个向量 都可以唯一表示成 ， 的线性组合，
，则把有序数组 称为 在仿射坐标系 下的坐标，记为 ，在仿
射坐标系 下， ， 为非零向量，且 ， ，则下列结论中（ ）
① ②若 ，则
③若 ，则 ④一定成立的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些
向量为“等模整向量”，例如向量 ，即为“等模整向量”，那么模为 的“等模整向
量”有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
5．（2017·四川广元·统考三模）对于 个向量 ，若存在 个不全为0的示数 ，
使得： 成立；则称向量 是线性相关的，按此规定，能使向量
， ， 线性相关的实数 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量 ，定义 ，若平
面向量 满足 ， 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则 =
（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标
系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的
平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记 ，则在x轴正方向和y轴
正方向的夹角为 的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）A．当 时 与 距离为
B．点 关于原点的对称点为
C．向量 与 平行的充要条件是
D．点 到直线 的距离为
8．（2022春·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成
角的两条数轴， 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为 斜坐标
系，若 ，则把有序数对 叫做向量 的斜坐标，记为 ．在 的斜坐标
系中， ﹒则下列结论中，错误的是（ ）① ；② ；③ ；④ 在 上的投影为
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
9．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义 、 的向量积 ，
为当 、 的起点相同时，由 的方向逆时针旋转到与 方向相同时，旋转过的最小角，对于 ，
， 的向量积有如下的五个结论：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
10．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）定义 为两个向量 ， 间的“距离”，若向量 ，
满足下列条件：(ⅰ) ；(ⅱ) ；(ⅲ)对于任意的 ，恒有 ，现给出下面结论的编号，
①. ②. ③. ④. ⑤.
则以上正确的编号为（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤
11．（2018·湖南·统考一模）在实数集 中，我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”，类似
的，我们这平面向量集合 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．
定义如下：对于任意两个向量 ， ， 当且仅当“ ”或“ 且 ”，
按上述定义的关系“ ”，给出下列四个命题：
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ，则对于任意的 ， ；
④对于任意的向量 ，其中 ，若 ，则 ．
其中正确的命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2017秋·河南郑州·高三郑州一中阶段练习）若非零向量 的夹角为锐角 ，且 ，则称
被 “同余”.已知 被 “同余”，则 在 上的投影是（ ）
A． B． C． D．13．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期中）设 定义一种向量积：
．已知 ， ，点 在 的图象上运
动，点Q在 的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则 的最大值
A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C． ，4π D． ，π
14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量 与 的夹角为 ，定义
.已知向量 为单位向量， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）记 ，设 ， 为平面内的
非零向量，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021·全国·高三专题练习）对于向量 ，把能够使得 取到最小值
的点 称为 的“平衡点”.如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，延长 至 ，使得
，联结 ，分别交 于 两点.下列的结论中，正确的是（ ）A． 的“平衡点”为 .
B． 的“平衡点”为 的中点.
C． 的“平衡点”存在且唯一.
D． 的“平衡点”必为
二、多选题
17．（2022春·浙江·高一期中）如图所示，在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量 ， ，
称为平面上的一个仿射坐标系，记作 ，向量 与有序数组 之间建立了一一对应
关系，有序数组 称为 在伤射坐标系 下的坐标，记作 ．已知 ， 是夹角为
的单位向量， ， ，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影向量为
18．（2022春·河南·高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量 ，定义新运算： .已知非零向量 满足 且向量 的夹角 ，若 和 都是整数，则 的
值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 是平面 内的一组基向量，O为 内的定点，对于 内
任意一点P，当 时，则称有序实数对 为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为
， ，关于下列命题正确的是（ ）
A．线段A，B的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量 平行于向量 ，则
D．若向量 垂直于向量 ，则
20．（2022·江苏南京·统考模拟预测）设 是大于零的实数，向量 ，
其中 ，定义向量 ，记 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．21．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）设 、 、 是平面上任意三点，定义向量的运算：
，其中 由向量 以点 为旋转中心逆时针旋转直角得到（若 为零向量，规
定 也是零向量）.对平面向量 、 、 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意 ，
C．若 、 为不共线向量，满足 ，则 ，
D．
22．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义
，若平面向量 满足 与 的夹角 ，且 和 都在集合
中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ）
A．若 时，则
B．若 时，则
C．若 时，则 的取值个数最多为7
D．若 时，则 的取值个数最多为
23．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“ ”如下：对任意的两个向量 ，，令 ，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的 ，有
B．存在唯一确定的向量 使得对于任意向量 ，都有 成立
C．若 与 垂直，则 与 共线
D．若 与 共线，则 与 的模相等
三、填空题
24．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量
积”， 是一个向量，它的模等于 ，若 ， ，则 ______．
25．（2018春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系 中， ，平面上任一
点 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 （其中 ， 分别为 ， 轴方向相同的单位
向量），则 的坐标为 ，若 关于斜坐标系 的坐标为 ，则 ______
26．（2019春·安徽芜湖·高一校联考期中）定义 ，若 ， ，则与 方向相反
的单位向量的坐标为______________．
27．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方
向旋转 角得到向量 ．如图所示，顶角 的等腰三角形PQR的顶
点P、Q的坐标分别为 、 ，则顶点R的坐标为______．28．（2022春·北京海淀·高一校考期中）设平面中所有向量组成集合 ， 为 中的一个单位向量，定义
.则下列结论中正确的有___________（只需填写序号）.
①若 ､ ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 有唯一解 .
29．（2022春·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考期中）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有
如下研究成果：若 ， ，则 .试用上述成果解决问题：已知
， ， ，则 ___________.
30．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括
2种v变换和4种w变换
：模变为原来的 倍，同时逆时针旋转90°；
：模变为原来的 倍，同时顺时针旋转90°；
：模变为原来的 倍，同时逆时针旋转45°；
：模变为原来的 倍，同时顺时针旋转45°；
：模变为原来的 倍，同时逆时针旋转135°；：模变为原来的 倍，同时顺时针旋转135°．
记集合 ，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的
变换记为 ，即可得到一个n维有序变换序列，记为 ，则以下判断中正确的
序号是______．
①单位向量 经过2022次v变换后所得向量一定与向量 垂直；
②单位向量 经过2022次w变换后所得向量一定与向量 平行；
③单位向量 经过 变换后得到向量 ，则 中有且只有2个v变换；
④单位向量 经过 变换后不可能得到向量 ；
⑤存在n，使得单位向量 经过 次变换后，得到 ．
31．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射
，记 的象为 ．若映射 满足：对所有 及任意实数 都有
，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换， ，则 ；
②若 是平面M上的单位向量，对 ，设 ，则f是平面M上的线性变换；
③对 ，设 ，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换， ，则对任意实数k均有 ．
其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．
32．（2021春·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算
“※”，记 ，其中 是非零向量 的夹角，若 ， 均为单位向量，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为_________.
33．（2021春·陕西宝鸡·高一统考期末）设 ､ 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与
轴， 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做 在坐标系 中的坐
标．假设 ，则 的大小为________．
34．（2018春·浙江台州·高一台州中学校考期中）已知向量 及向量序列: 满足如下条件:
，且 ,当 且 时, 的最大值为__________．
35．（2017春·北京东城·高二统考期末）已知平面向量 ，平面向量 ，（其中
）．
定义： ．若 ， ，则 =_____________；
若 ，且 ， ，则 _________， __________（写出一组满足此条件的 和 即
可）．
36．（2014·安徽·高考真题）已知两个不相等的非零向量 两组向量 和
均由2个 和3个 排列而成.记 ， 表示 所有可能取值中
的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.
① 有5个不同的值.
②若 则 与 无关.
③若 则 与 无关.
④若 ，则 .⑤若 ，则 与 的夹角为
37．（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数 和两个定点 、 ，在
某图形上恰有 个不同的点 ，使得 ，称该图形满足“ 度囧合”，若在边长
为 的正方形 中， ， ，且该正方形满足“ 度囧合”，则实数 的取值范围是
_________.
38．（2022·全国·高三专题练习）定义两个向量组 的运算
，设 为单位向量，向量组 分别为
的一个排列，则 的最小值为_______．
39．（2022·北京顺义·统考二模）向量集合 ，对于任意 ， ，以及任意
，都有 ，则称集合 是“凸集”，现有四个命题：
①集合 是“凸集”；
② 若 为“凸集”，则集合 也是“凸集”；
③若 都是“凸集”，则 也是“凸集”；
④若 都是“凸集”，且交集非空，则 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
四、解答题
40．（2022秋·河北沧州·高二校考开学考试）平面内一组基底 及任一向量，若点 在直线 上或在平行于 的直线上，我们把直线 以及与直线
平行的直线称为“等和线”，此时 为定值，请证明该结论.
41．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中， 为坐标
原点，定义非零向量 的“相伴函数”为 ，向量 称为函数
的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
(1)已知 ， ，若函数 为集合 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范
围；
(2)已知点 满足条件： ， ，若向量 的“相伴函数” 在 处取得最大
值，当 在区间 变化时，求 的取值范围；
(3)当向量 时，“相伴函数”为 ，若 ，方程 存在4
个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
42．（2022春·上海奉贤·高一校考期末）对于一个向量组 ，令
，如果存在 ，使得 ，那么称 是该向量组的“好向量”
(1)若 是向量组 的“好向量”，且 ，求实数 的取值范围；
(2)已知 ， ， 均是向量组 的“好向量”，试探究 的等量关系并加以证明．
43．（2021春·山西临汾·高一统考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别
是AD，BC的二等分点．（1）EF，EG有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（2）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针旋转 角得到向量
，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转 角得到点P．已知正方形
ABCD中，点 ，点 ，把点G绕点E沿顺时针方向旋转 后得到点P，求点P的坐标．
44．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）定义非零向量 的“相伴
函数”为 ，向量 称为函数 的“相伴向
量”（其中 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 ．
(1)设 ，请问函数 是否存在相伴向量 ，若存在，求出与
共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
(2)已知点 满足： ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值，求 的取
值范围．
