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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 04 导数及应用（解答题）
函数导数应用是高考必考知识点 ，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：
考点 01 利用导数求函数单调性，求参数
一、解答题
1．（2023·全国乙卷）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
2．（2022·全国乙卷）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2021·全国甲卷）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
14．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
5．（2020年全国高考Ⅰ卷）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
6．（2020·江苏·统考高考真题）已知关于x的函数 与 在区间D上恒
有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证：
．
7．（2019年全国高考Ⅱ卷）已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x，ln x )处的切线也是曲线 的切线.
0 0 0
8．（2019年全国高考Ⅲ卷）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不
存在，说明理由.
考点 02 恒成立问题
一、解答题
1．（2023 全国新高考Ⅰ卷）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
2(2)证明：当 时， ．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
3．（2021·全国乙卷）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
4．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
5．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
6．（2020·山东·统考高考真题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
7．（2020年全国新高考Ⅰ卷）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
38．（2019·北京·高考真题）已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a），当M（a）最小时，
求a的值．
9．（2019·浙江·高考真题）已知实数 ，设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.
注： 为自然对数的底数.
考点 03 三角函数相关导数问题
一、解答题
1．（2023年全国高考Ⅱ卷）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
2．（2023·全国甲卷）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
3．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
4．（2020年全国高考Ⅱ卷）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
4（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
5．（2019·天津·高考真题）设函数 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明
.
考点 04 导数类综合问题
一、解答题
1．（2023·全国乙卷）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
2．（2022·全国甲卷）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
3．（2022年全国新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
5点的横坐标成等差数列．
4．（20122年全国高考Ⅱ卷）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
5．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
6．（2021·全国乙卷）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
7．（2022年全国新高考Ⅰ卷）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
.
8．（2022年全国新高考Ⅱ卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
9．（2020年全国高考Ⅲ卷）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
6（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
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