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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 04 导数及应用（解答题）
函数导数应用是高考必考知识点 ，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：
考点 01 利用导数求函数单调性，求参数
一、解答题
1．（2023·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
2．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
4．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ，曲线 在点处的切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
6．（2020年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
7．（2020年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
考点 02 恒成立问题
1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
3．（2019·全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
考点 03 三角函数相关导数问题
一、解答题
1．（2023·全国甲卷）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
2．（2023·全国新课标Ⅱ卷）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
3．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
考点 04 导数类综合问题
2022年8月11日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；(3)求 的极值点个数．
2．（2023·天津·统考高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处切线的斜率；
(2)当 时，证明： ；
(3)证明： ．
3．（2022年全国新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
4．（2022·全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
5．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
6．（2021·全国乙卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
7．（2021年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；② ．
8．（2020·全国高考Ⅱ卷）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
9．（2020·全国高考Ⅲ卷(文)）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求 的取值范围．
10（2021·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
