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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 05 立体几何（解答题）
立体几何在理科数解答题中一般出现在20题左右的位置。主要考查空间几何体对应的空间角问题，考查二
面角的频率比较大。
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱 中， ．点 分
别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
2．（20203全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥 中， ， ，
1，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
3．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
24．（2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
， 到平面 的距离为1．
(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
5．（2022·全国·统考高考乙卷）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
36．（2022·全国·统考高考甲卷）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
7．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
48．（2022全国·统考新课标Ⅱ卷）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中
点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
9．（2021·全国·统考高考乙卷）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，
为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
510．（2021·全国·统考高考甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
11．（2021·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为
的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
612．（2021全国·统考新课标Ⅱ卷）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
13．（2020·全国·Ⅰ卷）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ．
是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
714．（2020·全国·新课标Ⅰ卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与
平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
15．（2020全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD 底面ABCD．设平面PAD
与平面PBC的交线为 ．
（1）证明： 平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为 上的点，QB= ，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
816．（2020全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，已知三棱柱ABC-A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，
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M，N分别为BC，B C 的中点，P为AM上一点，过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F.
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（1）证明：AA ∥MN，且平面A AMN⊥EB C F；
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（2）设O为△A B C 的中心，若AO∥平面EB C F，且AO=AB，求直线B E与平面A AMN所成角的正弦值.
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17．（2019·全国·统考Ⅰ卷）如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，
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E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
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（1）证明：MN∥平面C DE；
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（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
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918．（2019全国·统考Ⅱ卷）如图，长方体ABCD–ABC D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，
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BE⊥EC .
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（1）证明：BE⊥平面EBC ；
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（2）若AE=AE，求二面角B–EC–C 的正弦值.
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