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专题 21 等腰三角形【十六大题型】
【题型1 根据等边对等角求解或证明】..................................................................................................................3
【题型2 根据三线合一求解或证明】......................................................................................................................4
【题型3 格点图中画等腰三角形】..........................................................................................................................5
【题型4 根据等角对等边证明或求解】..................................................................................................................6
【题型5 确定构成等腰三角形的点】......................................................................................................................8
【题型6 等腰三角形性质与判定综合】..................................................................................................................9
【题型7 利用等边三角形的性质求解】................................................................................................................10
【题型8 等边三角形的判定】................................................................................................................................12
【题型9 等腰/等边三角形有关的动点问题】......................................................................................................13
【题型10 探究等腰/等边三角形中线段间存在的关系】......................................................................................14
【题型11 等腰/等边三角形有关的新定义问题】..................................................................................................16
【题型12 等腰/等边三角形有关的折叠问题】......................................................................................................18
【题型13 等腰/等边三角形有关的规律探究问题】..............................................................................................20
【题型14 利用等腰/等边三角形的性质与判定解决多结论问题】......................................................................21
【题型15 利用垂直平分线的性质求解】................................................................................................................23
【题型16 线段垂直平分线的判定】........................................................................................................................25
【知识点 等腰三角形】
等腰三角形
1.等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
2.等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等
边”）.
易错混淆：
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角
还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
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3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
b
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 b．记△ABC的面积为S．
(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S ，正
1
方形BGFC的面积为S ．
2
①若S =9，S =16，求S的值；
1 2
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求
证：S −S =2S．
2 1
(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积
为S ，等边三角形CBE的面积为S ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，
1 2
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CF．若EF⊥CF，试探索S −S 与S之间的等量关系，并说明理由．
2 1
【变式10-2】（2023·湖北十堰·统考一模）在Rt△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点（不与点B、C重
合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．
(1)如图1，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是_________，位置关系是________；
(2)如图2，当点D在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD,BD,CD之间的等量关系，并加以证
明；
(3)如图3，在四边形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=13,CF=5，请直接写出AF的
长．
【变式10-3】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，连
接AC、BD交于点M．
(1)如图1．若∠AOB=∠COD=40°，则AC与BD的数量关系为___________；∠AMB的度数为
___________；
(2)如图2，若∠AOB=∠COD=90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当∠ABC=60°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
【题型11 等腰/等边三角形有关的新定义问题】
【例11】（2023·四川成都·统考二模）定义：如图1，在△ABC中，点P在BC边上，连接AP，若AP的长
恰好为整数，则称点P为BC边上的“整点”．
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如图2，已知等腰三角形的腰长为√10，底边长为6，则底边上的“整点”个数为 ；
如图3，在△ABC中，AB=2√5，AC=√29，且BC边上有6个“整点”，则BC的长为 ．
【变式11-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三
角形叫做“3倍长三角形”．若等腰△ABC是“3倍长三角形”，底边BC的长为3，则等腰△ABC的周长
为 ．
【变式11-2】（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三
角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，点E是BD的中点，连结AE，CE．
①试判断四边形ABCE是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数；
(2)如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD=DE．
CG 3
延长AE交BC于点G，连结FG．若AD=5，∠EFG=90°， = ，求AB的长．
FC 4
【变式11-3】（2023·江苏扬州·统考二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、
顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰
三角形互为“友好三角形”．
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(1)如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（异于B点），AB=AC，
AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，连接CE，则CE______BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=
______°（用含m的代数式表示）．
(2)如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=60°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，过D点作DF⊥AD，交直线CE于F点，若点D从B点运动到C点，直
接写出F点运动的路径长．
【题型12 等腰/等边三角形有关的折叠问题】
【例12】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到
△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是
．
【变式12-1】（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探
究．
探究发现
如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
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（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接
DE，DB，则∠BDE=_______°，设AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；
底BC √5−1
（2）进一步探究发现： = ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
腰AC 2
底BC √5−1
= ；
腰AC 2
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角
形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求这个菱形较长对角线的长．
【变式12-2】（2023·安徽蚌埠·一模）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=50°，点E是BC上一点，沿
DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，PF垂直平分AC，F为垂足，则∠PDB的度数是
°．
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【变式12-3】（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，
AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折
叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．
猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交
AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
【题型13 等腰/等边三角形有关的规律探究问题】
【例13】（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA A ,△A A A ,△A A A ,⋯⋯都是边长为2
1 2 3 4 5 6 7 8
的等边三角形，按下图所示摆放．点A ,A ,A ,⋯⋯都在x轴正半轴上，且
2 3 5
A A =A A =A A =⋯⋯=1，则点A 的坐标是 ．
2 3 5 6 8 9 2023
【变式13-1】（2023·山东枣庄·校考一模）如图△OA B 、△A A B 、△A A B 都是等腰直角三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3
1 2
直角顶点B 、B ，B 均在直线l上，直线l的解析式为y= x+ ，点B 的横坐标为1，根据此规律第n个等
1 2 3 3 3 1
腰直角三角形A ❑ A B 的面积为 ．
n −1 n n
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【变式13-2】（2023·湖南娄底·校联考一模）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，
再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ(a,θ)变换．如图，等边△ABC的边长为
1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A B C 就是△ABC经γ(1,180°)变
1 1 1
换后所得的图形，若△ABC经γ(1,180°)变换后得到△A B C ，△A B C 经γ(2,180°)变换后得到
1 1 1 1 1 1
△A B C ，△A B C 经γ(3,180°)变换后得到△A B C ，依此类推••••••，△A B C 经
2 2 2 2 2 2 3 3 3 n−1 n−1 n−1
γ(n,180°)变换后得到△A B C ，点A 的坐标为 ．
n n n 2023
【变式13-3】（2023·湖北黄冈·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，
AC=AB=5，BC=8，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的
角度后得到△A B C，使得点B对应点B 在x轴上，记为第一次旋转，再将△A B C绕点B 顺时针旋转
1 1 1 1 1 1
一定的角度后得到△A B C ，使得点A 对应点A 在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点
2 1 1 1 2
坐标为 ．
【题型14 利用等腰/等边三角形的性质与判定解决多结论问题】
【例14】（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B
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1
为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 FG的长为
2
1
半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径
2
作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED=∠ABC；
1
②BC=AE；③ED= BC；④当AC=2时，AD=√5−1．其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式14-1】（2023·湖北·统考中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，
连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其
中所有正确结论的序号是 ．
【变式14-2】（2023·四川·中考真题）如图，点D为ΔABC的AB边上的中点，点前E为AD的中点，
3
ΔADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE,②tan∠B= ，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点
4
P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d ，d ，则d 2+d 2 的最小值是3.其中正确的结论是
1 2 1 2
（填写正确结论的番号）
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1
【变式14-3】（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，等边ΔABC的边长为3，点D在边AC上，AD= ，
2
1
线段PQ在边BA上运动，PQ= ，有下列结论：
2
31√3
①CP与QD可能相等；②ΔAQD与ΔBCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为 ；④四边形
16
√37
PCDQ周长的最小值为3+ ．其中，正确结论的序号为（ ）
2
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【题型15 利用垂直平分线的性质求解】
【例15】（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成
4×10的小正方形网格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问
题：
（答题卷用）
作法（如图） 结论
∠P OA=45°
1
①在CB上取点P ，使CP =4． ，点P 表示45°
1 1 1
．
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∠P OA=30°
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于 2
，点P 表示30°
点P ． 2
2
．
③分别以O,P 为圆心，大于OP 长度一
2 2
半的长为半径作弧，相交于点E,F，连结 …
EF与BC相交于点P ．
3
④以P 为圆心，OP 的长为半径作弧，与
2 2
射线CB交于点D，连结OD交AB于点P …
4
．
(1)分别求点P ,P 表示的度数．
3 4
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P ，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
5
【变式15-1】（2023·西藏·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以点B和点C为圆心，
1
大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE=5，AC=12，
2
则BE长为 ．
【变式15-2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点
E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
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【变式15-3】（2023·陕西·统考中考真题）问题提出
(1)如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为
__________．
问题探究
(2)如图2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线
l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
(3)如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°．工人师傅想用这块板材裁出一个
△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【题型16 线段垂直平分线的判定】
【例16】（2023·河南·统考中考真题）如图，在ΔABC中，AB=BC=√3,∠BAC=30° ，分别以点A,C
为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6√3 B．9 C．6 D．3√3
【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）如图，已知等腰△ABC，AD⊥BC于D，点E是AC
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边上的一点，将△ABC沿线段BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC的延长线上，若CF=2DC，则
sin∠FBE的值是 ．
【变式16-2】（2023·河北保定·统考三模）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD=CD，
过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
(1)判断△CEF的形状，并说明理由；
(2)连接BD，若BC=10，CF=4，求DE的长．
【变式16-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点
P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．
(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，
①求证：AE=2EP；
②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
26
