1.1 空间向量及其线性运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：空间向量的有关概念....................................................... 2
考点二：空间向量的加法、减法运算...............................................2
考点三：空间向量的数乘运算....................................................... 3
考点四：共线向量......................................................................3
考点五：共面向量......................................................................4
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：空间向量的有关概念....................................................... 5
题型二：空间向量加减运算及几何表示............................................6
题型三：空间向量数乘运算及几何表示............................................8
题型四：空间向量共线的判定....................................................... 9
题型五：空间向量共线求参数......................................................10
题型六：向量共面的判定........................................................... 11
题型七：空间向量共面求参数......................................................13
题型八：空间共面向量推论及其应用.............................................14
模块三：综合巩固....................................................................... 15
1.1 空间向量及其线性运算
模块一：基础知识
考点一：空间向量的有关概念
1.空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或
模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0 的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
与向量a
长度相等而方向相反的向量，称为a
的相反向量，记为a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2.空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段AB
来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；
（2）字母表示法：用, ,
a b c
表示．向量a
的起点是A ，终点是B ，则向量a
也可以记作AB
，其模记为a
或AB
.
考点二：空间向量的加法、减法运算
1.空间向量的位置
已知空间向量,a b
，可以把它们平移到同一平面内，以任意点O 为起点，作向量OA
a
，OB
b
2.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量AC
b
，则向量OC
叫做向量,a b
的和．记作a
b
，
即OC
AC
a
b
3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量BA
叫做a
与b
的差，记作a
b
，即
BA
OA OB
a
b
4.空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：a
b
b
a
（2）加法结合律：
a
b
c
a
b
c
考点三：空间向量的数乘运算
1.定义：与平面向量一样，实数与空间向量a
的乘积a
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2.数乘向量a
与向量a
的关系
的范围
a
的方向
a
的模
0
a
与向量a
的方向相同
|
| |
||
|
a
a
0
0
a
，其方向是任意的
0
a
与向量a
的方向相反
3.对数乘向量a
与向量a
的关系的进一步理解：
（1）可以把向量a
的模扩大（当|
| 1
时），也可缩小（当|
| 1
时）；可以不改变向量a
的方向（当
0
时），也可以改变向量a
的方向（当
0
时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当
0
时，
0
a
；当
0
时，若
0
a
，则
0
a
．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，
a
，
a
没有意义，无法运算．
考点四：共线向量
1.共线（平行）向量的定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若a
与b
是共线向量，则记为
/ /
a
b
．
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如
/ / , / /
a
b b
c
，那么
/ /
a
c
不一定成立，因为当
0
b
时，虽然
/ / , / /
a
b b
c
，
但a
不一定与c
共线（特别注意0
，0
与任何向量共线）．
2.共线向量定理
对空间任意两个向量, (
0)
a b b
，a b
的充要条件是存在实数，使a
b
．
3.共线向量定理推论
如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a
的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存
在实数t ,使OP
OA
ta
①，若在l 上取AB
a
，则①可以化作：OP
OA
t AB
4.证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数�，使��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ成立.
（2）对空间任一点O，有��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�∈�).
（3）对空间任一点O，有��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�+ �= 1).
考点五：共面向量
1.共面向量定义
如图，如果表示向量�Ԧሬ的有向线段��Ԧ
ሬሬሬሬ所在的直线OA 与直线l 平行或重合，
那么称向量�Ԧሬ平行与直线l.
如果直线OA 平行于平面�或在平面�内，那么称向量�Ԧሬ平行于平面�.
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
2.共面向量定理
如果两个向量,a b
不共线，那么向量p
与向量,a b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( , )
x y ，使
p
xa
yb
3.空间共面向量的表示
如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对( , )
x y ，使AP
xAB
yAC
．
或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（
, , ,
P A B C 四点共面）的充要条件是存
在有序实数对( , )
x y ，使OP
OA
xAB
yAC
，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4.向量共面证明
（1）证明点P 在平面ABC 内，可以用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，也可以用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
若用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，则必须满足�+ �+ �= 1.
（2）判断三个向量共面一般用�Ԧሬ= ��Ԧሬ+ ��Ԧሬ，
证明三线共面常用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
证明四点共面常用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ（其中�+ �+ �= 1）
模块二：题型分类
题型一：空间向量的有关概念
1.（多选）下列说法正确的是（
）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2.已知a为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（
）
A．与a共面的单位向量有无数个
B．与a垂直的单位向量有无数个
C．与a平行的单位向量只有一个
D．与a同向的单位向量只有一个
3.在正方体����−�1�1�1�1中，与向量��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ相反的向量是（
）
A．�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ
B．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
C．�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ
D．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
4.下列命题中是假命题的是（
）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果
0
a
，则
0
a
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
5.下列命题中为真命题的是（
）
A．空间向量AB
与BA
的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
6.对于空间任意两个非零向量�Ԧሬ，�Ԧሬ，“�Ԧሬ//�Ԧሬ”是“ �Ԧሬ,�Ԧሬ
= 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7.（多选）下列说法，错误的为（
）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ满足��Ԧ
ሬሬሬሬ
> ��Ԧ
ሬሬሬሬ，且��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ同向，则��Ԧ
ሬሬሬሬ> ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．若两个非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ满足��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ为相反向量
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ的充要条件是�与�重合，�与�重合
8.给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b
满足a
b
r
r
，
则a
b
；③在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，必有
1
1
AC
AC
；④若空间向量
, ,
m n p
满足m
n
，n
p
，则
m
p
．其中正确的个数为（
）．
A．4
B．3
C．2
D．1
9.如图所示，已知
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与
1
BB
相等的向量；
（2）与
1
BC 相反的向量；
（3）与
1
BA
平行的向量．
题型二：空间向量加减运算及几何表示
1.如图E，F 分别是长方体����−�′�′�′�′的棱AB，CD 的中点，化简下列表达式：
(1)��′Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)��′Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(3)��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(4)��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ.
2.如图，在斜棱柱����−�1�1�1�1中，��与��的交点为点M，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则��1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
B．−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ
D．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
3.已知在空间四边形ABCD中，
1
2
CG
CD
，则
2
BD
BC
AB
（
）
A．2AG
B．2GC
C．2BC
D．1
2
BC
4.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，化简
1
AB
BD
AC
（
）
A．
1
C B
B．
1
BC
C．
1
C D
D．
1
DC
5.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，O为线段AC 的中点，则
1
OA
AD
AB
（
）
A．
1
AD
uuur
B．
1
OB
C．
1
OC
D．
1
OD
uuur
6.如图，空间四边形����中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，点�在��Ԧ
ሬሬሬሬ上，且��= 2��，2��= 3��，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
（
）
A．−
1
3 �Ԧሬ−
2
5 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ
B．−
2
3 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ+
2
5 �Ԧሬ
C．−
2
3 �Ԧሬ+
2
5 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ
D．
2
3 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ−
2
5 �Ԧሬ
7.如图，四棱锥�−����的底面是平行四边形，若��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，�是��的中点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．−�Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
C．−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
D．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
题型三：空间向量数乘运算及几何表示
1.已知正方体ABCD
A B C D
，点E 是A C
的中点，点F 是AE 的三等分点，且
1
2
AF
EF
，则AF
等于
（
）．
A．
1
1
2
2
AA
AB
AD
B．1
1
1
2
2
2
AA
AB
AD
C．1
1
1
2
6
6
AA
AB
AD
D．1
1
1
3
6
6
AA
AB
AD
2.如图，在四面体����中，�, �分别为��, ��的中点，�为△���的重心，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
3.已知三棱锥�−���，点M，N 分别为AB，OC 的中点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬሬ，
则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ等于（
）
A．
1
2 (�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ)
B．
1
2 (�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ)
C．
1
2 (�Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ)
D．
1
2 (�Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ)
4.如图，在四棱锥�−����中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，点F 满足��Ԧ
ሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，若��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，
��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ−
4
3 �Ԧሬ+
1
6 �Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ−
4
3 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ−
7
6 �Ԧሬ+
1
6 �Ԧሬ
D．
1
2 �Ԧሬ−
7
6 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ
5.在三棱柱
1
1
1
A B C
ABC
中，D 是四边形
1
1
BB C C 的中心，且
1
AA
a
，AB
b
，AC
c
，则
1A D
（
）
A．1
1
1
2
2
2
a
b
c
B．1
1
1
2
2
2
a
b
c
C．1
1
1
2
2
2
a
b
c
D．
1
1
1
2
2
2
a
b
c
6.如图：在平行六面体����−�1�1�1�1中，�为�1�1, �1�1的交点．若�1�1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, �1�1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则
向量��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．
1
2 �
→−
1
2 �
Ԧ
+ �
→
7.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点M 满足2AM
AC
．若
1
1
1
1
1
,
,
A B
a A D
b A A
c
，则下列向量中与
1B M
相等的是（
）
A．1
1
2
2
a
b
c
B．1
1
2
2
a
b
c
C．
1
1
2
2
a
b
c
D．
1
1
2
2
a
b
c
题型四：空间向量共线的判定
1.设,a b
是空间中两个不共线的向量，已知
9
AB
a
mb
，
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，且
, ,
A B D 三点共
线，则实数m ______．．
2.如图，已知
, , ,
,
,
,
,
,
O A B C D E F G H 为空间的9 个点，且OE
kOA
，OF
kOB
，OH
kOD
，
AC
AD
mAB
，EG
EH
mEF
，
0,
0
k
m
.
求证：（1）
/ /
AC
EG
；
（2）OG
kOC
.
3.如图所示，在正方体����−�1�1�1�1中，点�在�1�1上，且�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，点�在体对角线�1�上，且�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ．求证：�，�，�三点共线．
4.如图，四边形ABCD ､ABEF 都是平行四边形且不共面，M , N 分别是AC ､BF 的中点，判断CE
与MN
是否共线？
5.A 是
BCD
△
所在平面外一点，G 是
BCD
△
的重心，M、E 分别是BD、AG 的中点，点F 在线段AM 上，
2
5
AF
AM
，判断三点C、E、F 是否共线．
题型五：空间向量共线求参数
1.设�1Ԧ
ሬሬ, �2Ԧ
ሬሬ是空间两个不共线的非零向量，已知��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 3�2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ−�2Ԧ
ሬሬ，且A，B，
D 三点共线，求实数k 的值．
2.设
1e
，
2e
是两个不共线的空间向量，若
1
2
2
A
e
e
B
，
1
2
3
3
BC
e
e
，
1
2
CD
e
ke
uuur
ur
ur
，且A ，C ，D 三点
共线，则实数k 的值为______.
3.已知�1Ԧ
ሬሬ、�2Ԧ
ሬሬ、�3Ԧ
ሬሬ为空间三个不共面的向量，向量�Ԧሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ+ 4�3Ԧ
ሬሬ，�Ԧሬ= 3�1Ԧ
ሬሬ+ 9�2Ԧ
ሬሬ+ ��3Ԧ
ሬሬ，若�Ԧሬ与�Ԧሬ共线，
则�+ �=（
）
A．−3
B．3
C．−15
D．15
4.已知{
}
, ,
a b c
是空间的一个基底，若
2
3
m
a
b
c
，
(
)
(
) 3(
)
n
x a b
y b c
a c
，若m
n
∥，则x
y
（
）
A．3
B．
1
3
C．3
D．1
3
5.设,a b
是空间中两个不共线的向量，已知
9
AB
a
mb
，
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，且
, ,
A B D 三点共线，
则实数m ______．．
6.下列命题中，正确命题的个数为（
）
①若//
a b
r r ，则a
与b
方向相同或相反；
②若AB
CD
，则A，B，C，D 四点共线；
③若a
，b
不共线，则空间任一向量p
a
b
( ,
R
).
A．0
B．1
C．2
D．3
7.已知向量
1e
，
2e
不共线，
1
2
AB
e
e
，
1
2
2
8
AC
e
e
，
1
2
3
5
AD
e
e
，则（
）
A．AB
与AC
共线
B．AB
与CD
共线
C．A ，B ，C ，D 四点不共面
D．A ，B ，C ，D 四点共面
题型六：向量共面的判定
1.如图，在长方体ABCD
A B C D
中，向量
AB ，AD
，BD
是
向量(填“共面”或“不共面”)．
2.对于空间一点O 和不共线三点A，B，C，且有6��Ԧ
ሬሬሬሬ=��Ԧ
ሬሬሬሬ+2��Ԧ
ሬሬሬሬ+3��Ԧ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．O，A，B，C 四点共面
B．P，A，B，C 四点共面
C．O，P，B，C 四点共面
D．O，P，A，B，C 五点共面
3.设空间任意一点O和不共线的三点A ，B ，C ，若点P 满足向量关系OP
xOA
yOB
zOC
（其中
1
x
y
z
），试问：P ，A ，B ，C 四点是否共面？
4.已知, ,
i j k
是不共面向量，
2
,
3
2 ,
3
7
a
i
j
k b
i
j
k c
i
j，证明这三个向量共面.
5.（多选）空间四点
,
,
,
A B C D 及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出
, ,
,
A B C D 四点共面的有
A．
2
3
AB
AC
AD
B．
3
OA
OB
OC
DO
C．AB
AC
∥
D．OC
3
5
BO
AO
DO
6.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C 共面的是（
）
A．OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
B．OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
C．
2
OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
D．
3
OA
OB
OC
OP
7.（多选）以下能判定空间四点P、M、A、B 共面的条件是（
）
A．
2
3
MP
MA
MB
B．
1
1
1
2
3
6
OP
OA
OB
OM
C．
0
PM AB
uuur uuur
D．PM
AB
8.在四棱柱����−�1�1�1�1中，�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ, �1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ，�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ, �1�Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ．
(1)当�=
3
4时，试用��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)证明：�, �, �, �四点共面；
题型七：空间向量共面求参数
1.�为空间任意一点，若��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
8 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，若�，�，�，�四点共面，则�=（
）
A．1
B．
9
8
C．
1
8
D．
1
4
2.已知
, ,
A B C 三点不共线，O是平面ABC 外任意一点，若
2
1
2
5
6
OM
OA
OB
OC
，则
, ,
,
A B C M 四点
共面的充要条件是（
）
A．
13
60
B．
17
60
C．
17
60
D．
13
60
3.已知O为空间中一点，
, ,
,
A B C D 四点共面且任意三点不共线，若2BD
xOA
OB
OC
，则x 的值为
______．
4.已知O，A，B，C 为空间中不共面的四点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�∈�)，若P，A，B，C 四点共
面，则�=（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
5
12
D．−
7
12
5.在四面体����中，点�, �满足��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，若��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，则�+ �+ �=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．
1
2
D．1
6.如图,平面ABC 内的小方格均为正方形,点P 为平面ABC 内的一点,O为平面ABC 外一点,设
2
OP
mOA
nOB
OC
,则m
n
的值为（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
7.
, ,
a b c
是空间向量的一组基底，
2
OA
a
mb
c
，
2
OB
a
b
，OC
a
b
c
，已知点O在平面ABC 内，
则m ______.
题型八：空间共面向量推论及其应用
1.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C 共面的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
5 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
2.已知
, ,
A B C 三点不共线，O是平面ABC 外任意一点，若由
1
1
5
3
OP
OA
OB
OC
确定的一点P 与
,
,
A B C 三点共面，则等于（
）
A．
2
3
B．2
3
C．7
15
D．
7
15
3.已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且
4
1
3
6
PA
x P
DB
PB
C
，则实数x 的值为_________.
4.在三棱锥
P
ABC 中，M 是平面ABC 上一点，且5
2
PM
PA
tPB
PC
，则t （
）
A．1
B．2
C．1
7
D．
1
2
5.已知点D 在ABC
确定的平面内，O是空间任意一点，实数,x y 满足
2
OD
xOA
yOB
OC
，则
2
2
x
y
的
最小值为（
）
A．4
5
B．2 5
5
C．1
D．2
6.已知点D 在ABC
确定的平面内，O是平面ABC 外任意一点，实数,x y 满足OD
xOA
yOB
OC
，则
2
2
x
y
的最小值为（
）
A．4
5
B．2 5
5
C．1
D．2
7.四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若AE
xAB
yAD
z AP
，则
x
y
z
等于（
）
A．3
2
B．1
C．5
2
D．2
8.如图，在四面体ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，点M 是EG 和FH 的交点，
对空间任意一点О都有OA
OB
OC
OD
kOM
，则k （
）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
9.如图，在正方体����−�1�1�1�1中，点M 是��1上靠近点C 的三等分点，点N 满足��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，若N
为AM 与平面���1的交点，则t＝（
）
A．
1
3
B．
2
5
C．
3
7
D．
3
8
模块三：综合巩固
1.下列说法正确的是（
）
A．若�Ԧሬ
< �Ԧሬ，则�Ԧሬ< �Ԧሬ
B．若�Ԧሬ，�Ԧሬ互为相反向量，则�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 0
C．空间中两平行向量相等
D．在四边形ABCD 中，��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
2.下列各式计算正确的是（
）
A．
(
)
2
a
b
a
b
a
B．2(
)
2
a
b
c
a
b
c
C．3(
)
3(
)
0
a
b
a
b
D．
(
3 )
3
a
b
b
c
a
c
3.给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量,a b
满足a
b
，则a
b
；
④若空间向量
, ,
m n p
满足
,
m
n n
p
，则m
p
；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
4.在下列条件中，一定能使空间中的四点�, �, �, �共面的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
6 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
5．空间四边形����中，点�在��上，且��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，�为��中点，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ等于（
）
A．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
6.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E 满足
1
1
1
1
1
3
3
AE
AA
AB
AD
，则（
）
A．
1
1
1
3B E
B C
B．
1
1
1
3
2
B E
B C
C．
1
1
1
3
B E
B C
D．
1
1
1
2
3
B E
B C
7.如图，在四面体����中，�是��的中点．设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
8.已知三棱锥O-ABC 中，点M、N 分别为AB、OC 的中点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ
9.已知�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ是不共面的空间向量，若�Ԧሬ= 3�Ԧሬ−2�Ԧሬ−4�Ԧሬ与�Ԧሬ= (�+ 1)�Ԧሬ+ 8�Ԧሬ+ ��Ԧሬ（�, �是实数）是平行向
量，则�+ �的值为（
）
A．16
B．-13
C．3
D．-3
10.（多选）已知四面体ABCD，E，F 分别是BC，CD 的中点，则��Ԧ
ሬሬሬ=（
）
A．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
11.如图，三棱柱���−�1�1�1中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ，��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，点�为四边形���1�1的中心点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=
（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
D．�Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
12.对于空间任一点�和不共线的三点�，�，�，有��
→
= ���
→
+ ���
→
+ ���
→
，则�+ �+ �= 1 是�，�，�，
�四点共面的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
13.如图，在四面体ABCD中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过EF 的平面分别交棱DA 、BC 于G 、H
（不同于A 、B 、C 、D ），P 、Q 分别是棱BC 、CD 上的动点，则下列命题错误的是（
）
A．存在平面和点P ，使得
//
AP 平面
B．存在平面和点Q ，使得AQ// 平面
C．对任意的平面，线段EF 平分线段GH
D．对任意的平面，线段GH 平分线段EF
14.四面体O
ABC
中，
3
OP
PA ，Q 是BC 的中点，M 是PQ的中点，设OA
a
，OB
b
，OC
c
，则OM
（
）
A．1
1
1
4
6
6
a
b
c
B．3
1
1
4
4
4
a
b
c
C．3
1
1
8
4
4
a
b
c
D．1
1
1
3
4
4
a
b
c
15.已知�, �, �, �四点共面且任意三点不共线，平面����外一点�，满足��Ԧ
ሬሬሬሬ=−2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 5��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，则
�=
．
16.已知长方体����−�1�1�1�1中，点Q 为线段��1的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，则
�+ �+ �=
.
17.设�1Ԧ
ሬሬ, �2Ԧ
ሬሬ是空间两个不共线的非零向量，已知��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 3�2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ−�2Ԧ
ሬሬ，且�, �, �
三点共线，则实数k 的值为
．
18.如图，三棱锥O－ABC 中，M 是BC 的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ表示
向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=
19.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，
2
AB
AD
，
1
4
AA
，M 是
1
BB 的中点，点P 满足
1
BP
BC
BB
，
其中
0,1
，
0,1
，且MP∥平面
1
1
AB D ，则动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是（
）
A．5
B．4 2
C．2 2
D．2
20.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
AB
AA
，点P 满足
1
BP
mBC
nBB
，其中
1,
[0,1]
m
n
，则三角形
1
AB P 周长最小值是___________.
21.（多选）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，P 为空间一点，且满足
1
BP
BC
BB
，
,
0,1
，则（
）
A．当
1
时，点P 在棱
1
BB 上
B．当
1
时，点P 在棱
1
1
B C 上
C．当
1
时，点P 在线段
1B C 上
D．当
时，点P 在线段
1
BC 上
22.如图所示的平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，已知
1
AB
AA
AD
，
1
60
BAD
DAA
，
1
30
BAA
，N
为
1
1
A D 上一点，且
1
1
1
A N
A D
．若BD
AN
，则的值为__；若M 为棱
1
DD 的中点，
/ /
BM
平面
1
AB N ，
则的值为__．
23．如图，在四面体PABC 中，点M 、N 分别为PA 、PB 的中点，问：MN
与BC
、AC
是否共面？
24．如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，O为AC 的中点.
（1）化简：
1
1
1
2
2
AO
AB
AD
；
（2）设E 是棱
1
DD 上的点，且
1
2
3
DE
DD
，若
1
EO
xAB
y AD
zAA
，试求实数x ，y ，z 的值.
25.如图，在棱长为4 的正四面体����中，�是��的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3��Ԧ
ሬሬሬ，记��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ.
(1)求�+ �+ �的值；
(2)求��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ.
26．如图，在三棱锥P
ABC
中，点G 为ABC
的重心，点M 在PG 上，且
3
PM
MG
，过点M 任意作
一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD
m PA
，PE
n PB
，PF
t PC
，求证：1
1
1
m
n
t
为定值，并求出该定值.
27．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，O为其中心．
（1）化简
1
1
1
AB
CC
B D
；
（2）若
1
1
1
1
0
AA
x
BC
C D
D A
，则x
r 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）
