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考点巩固卷 16 空间向量与立体几何(六大考点)
考点01：法向量的秒杀
方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平
面垂线的方向向量即为平面的法向量．
方法2、待定系数法：步骤如下：
①设出平面的法向量为 ．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量
， ．
③根据法向量的定义建立关于 的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组 有无数多个解，只需给
中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的
法向量就不同，但它们是共线向量．
方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）
向量 ， 是平面 内的两个不共线向量，则向量
是平面 的一个法向量.
1．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为平面 的一个法向量， ，则下列向量是平面 的一个法向量
的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则平面 的法向量与 的夹角
的余弦值为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
4．已知点 ，则下列向量可作为平面 的一个法向量的是
（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系 中， ， ， ，则平面 的一
个法向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体 的棱长为2，E为棱 的中点，以A为坐标原点建立空间
直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，若平面 的一个法向量为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线 ， 的方向向量分别为 ， ，且直线 ， 均平行于平
面 ，平面 的单位法向量为（ ）
A． B．
C． D． 或9．已知 ， ， ，则平面 的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面内的两个向量 ， ，则该平面的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
考点02：空间直角坐标系构建策略
①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系
②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系
③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系
④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系
⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系
11．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为
上一点且满足 ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
12．如图，在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，F为AB的中点．
试卷第4页，共3页(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
13．如图，三棱台 中， 为等边三角形， ， 平面
ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点D到平面 的距离．
14．如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，
，且 底面 ，点 满足 ，点 是棱 上的一个点(包括端点)．(1)求证： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到平面 的距离．
15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面
是 的中点， .
(1)求证： .
(2)若㫒面直线 与 所成的角为 ，求四棱锥 的体积.
16．如图， 为正方体．
试卷第6页，共3页(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
17．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点E在线段
上，且 ， 分别为 、 、 的中点.求证：
(1)平面 平面 ；
(2)平面 平面 .
18．如图，直三棱柱 中， ， ， ， ， 是
的中点．(1)求直线 的一个方向向量；
(2)求证： ．
19．在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， ， ，O
为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
(1)求证： ；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
20．如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，
为 中点．求证： 平面 ．
试卷第8页，共3页考点03：坐标处理距离问题
结论1：《点线距离》 《异面直线求距离问题》
推导过程：已知直线 的方向向量是 ，点 则直线 与直线 夹角
为θ，则
结论2：《点面距离》
提示： 分别是平面外及平面上的两点， 是平面的法向量
结论3：《线面距离》
提示： 分别是直线上及平面上的任意两点， 是平面的法向量
结论4：《面面距离》
提示： 分别是平面1及平面2的任意两点， 是平面2的法向量
结论5：《点点距离》
提示： 与 , 的距离为
21．如图 的外接圆 的直径 ， 垂直于圆 所在的平面，BD//CE，
，BC=BD=1， 为 上的点.(1)证明： ；
(2)当 为 的中点时，求点 到平面 的距离.
22．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， 平面 ，
E为PD中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值．
23．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上，且 ．
试卷第10页，共3页(1)求四棱锥 的表面积
(2)若点 在棱 上，且 到平面 的距离为 ，求点 到直线 的距离．
24．如图，在四棱柱 中， 平面 ，底面 是平行四边形，
．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求点 到平面 的距离．
25．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， 为线段
的中点， ， 为线段 上的动点.
(1)证明： ；
(2)当 为线段 的中点时，求点 到面 的距离.
26．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形， ，
PB=PD， ，点E，F分别为棱 ， 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的大小为 .
①求二面角 的余弦值；
②求点F到平面 的距离.
27．如图，在三棱柱 中，棱 的中点分别为 在平面 内的射
影为D， 是边长为2的等边三角形，且 ，点F在棱 上运动（包括端点）．
(1)若点 为棱 的中点，求点 到平面 的距离；
(2)求锐二面角 的余弦值的取值范围．
28．如图，在四面体 中， 平面 ，点 在线
段 上.
(1)当点 是线段 中点时，求点 到平面 的距离；
试卷第12页，共3页(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
29．如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截而得到的，其中
， ， ， ．
(1)求 到平面 的距离．
(2) 与平面 平行吗？请说明理由．
30．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， 分别是 的中点，
是边长为2的等边三角形， ．
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
考点04：坐标处理角度问题结论1：异面直线所成角
①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解
②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式 求出
关键是求出 及 与
结论2：线面角
提示： 是线 与平面法向量的夹角， 是线 与平面的夹角
结论3：二面角的平面角
提示： 是二面角的夹角，具体 取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则
取正，若为钝角则取负.
31．如图，在四棱锥 中， ，底面 为正方形，
， 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
32．如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 ．
试卷第14页，共3页(1)求证： ；
(2)若 ， ．
（i）求证： 平面 ；
（ii）设平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
33．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， 为等边三角形，
平面 平面 ， ．点 在线段 上．
(1)若 ，在 上找一点 ，使得 四点共面，并说明理由；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余
弦值．
34．如图，在四棱锥 中，已知底面 为矩形， ，平面 平面
.(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，点 在棱 上，且二面角 的大小为 .
①求证： ；
②设 是直线 上的点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
35．如图，直三棱柱 的体积为6， 的面积为4．
(1)求 到平面 的距离；
(2)设 为 的中点， ，平面 平面 ，求平面 与平面 夹
角的正弦值．
36．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，四边形 为
梯形， ， ， ， ， ， ， 交 于点 ，
点 在线段 上，且 .
试卷第16页，共3页(1)证明： 平面 .
(2)求二面角 的正弦值.
37．如图所示，在几何体 中，四边形 和 均为边长为2的正方形，
， 底面 ，M、N分别为 、 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
38．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面 平面ABCD，
是边长为8的正三角形， ，且 ，点G，H分别是BC，BF的中点．
(1)设AE与平面DGH相交于点M，求 的值；
(2)求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值．
39．如图，在长方体 中， ， ，点E在棱AB上移动.(1)求证： .
(2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面 的距离.
(3)在棱AB上是否存在点M，使平面 与平面AMC所成的角为 ？若存在，求出AM
的值；若不存在，请说明理由.
40．如图，平行六面体 的体积为 ， ， ，
， ．
(1)求点A到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值．
考点05：坐标处理平行问题
线线平行：两个向量存在一定的倍数关系
线面平行：先求平面的法向量，然后法向量与线垂直即可
面面平行：先求其中一平面的法向量，然后让法向量与另一个平面垂直即可
41．如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
分别为线段 上一点， .
试卷第18页，共3页(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
42．如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD为直角梯形， ，
， ， ，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.
43．如图，在棱长均为2的四棱柱 中，点 是 的中点， 交平面
于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)已知：条件① 平面 ，条件② ，条件③平面 平面 ，
从这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱 存在且唯一确定，并求二面角 的余弦值．
44．如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ， ，
， ，点M是棱PC的中点．
(1)求证： 平面PAD；
(2)求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值．
45．如图1，在五边形 中， ， ， 且 ，将
沿 折成图2，使得 ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值．
46．如图，四棱锥 中，底面 是边长为4的菱形， ，
，E为 中点， 与 交点为O．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若 ，求点C到平面 的距离．
试卷第20页，共3页47．已知四棱锥 分别为 的中点， 平面 .
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的大小为 ，求 .
48．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，
， 分别为棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
考点06： 坐标处理垂直问题
线线垂直：两个向量乘积等于0
线面垂直：线与平面中任意两条相交直线乘积等于0
面面垂直：求两个平面的法向量，然后两个法向量乘积等于0即可
49．如图所示， 是 的直径，点 是 上异于 的动点， 平面 ，
分别为 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的正弦值为 ，求 .
50．如图，在平行六面体 中， ，
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
51．如图，在平行四边形 中， ， ， 为边 上的点，
，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且三棱柱 的体
积为 .
试卷第22页，共3页(1)证明：平面 平面PAE；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
52．在长方体 中，点E，F分别在 ， 上，且 ，
．
(1)求证： 平面AEF；
(2)当 ， ， 时，求平面AEF与平面 所成二面角的余弦值．
53．在三棱锥P—ABC中， ， ，E为AC的中点，
．
(1)求证：平面 平面ABC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
54．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
， ， 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
55．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值；
(3)在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.
56．如图①，在等腰梯形 中， ， ， ， ， 分别是线段
的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线 ， 折起，使得点 和点 重合，记为点 ，
如图②.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面PAE与平面 所成锐二面角的余弦值.
试卷第24页，共3页
