6.3 平面向量的数乘运算与共线定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量数乘的定义............................................................. 2
考点二：向量数乘的几何意义....................................................... 2
考点三：向量数乘的运算律.......................................................... 2
考点四：向量的线性运算............................................................. 2
考点五：向量共线定理................................................................ 2
考点六：三点共线向量表示的两个结论............................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：向量数乘运算的定义....................................................... 3
题型二：向量的线性运算............................................................. 4
考点三：向量数乘的几何意义应用..................................................4
考点四：用已知向量表示未知向量..................................................5
考点五：向量共线定理及应用....................................................... 6
模块三：综合巩固.........................................................................8
6.3 平面向量的数乘运算与共线定理
模块一：基础知识
考点一：向量数乘的定义
实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
当λ>0 时，与a 的方向相同；
当λ<0 时，与a 的方向相反.
特别地，当λ＝0 时，λa＝0.，当λ＝－1 时，(－1)a＝－a.
考点二：向量数乘的几何意义
对于
a
：①从代数角度看，是实数，a
是向量，它们的积仍然是向量．a
的条件是
0
a
或
0
．②
从几何的角度看，对于长度来说，当
1
时，意味着表示向量a
的有向线段在原方向(
0)
或相反方向
(
0)
上伸长了倍；当0
1
时，意味着表示向量a
的有向线段在原方向(0
1)
或反方向
( 1
0)
上缩短了倍．
考点三：向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b 为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
考点四：向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量a
,b
,以及任意实数,
1
,
2
,恒有
1
2
1
2
(
)
a
b
a
b
.
考点五：向量共线定理
（1）内容：向量b
与非零向量a
共线，则存在唯一一个实数，b
a
.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意
0
a
．特别地，若
0
a
b
，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量b
与a
的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两
个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
考点六：三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点
,
A B C
,
共线的充要条件是存在唯一实数t ，使得AC
t AB
.
结论2：设O 是平面内的任意一点，点A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数使得
(1
)
OC
OA
OB
.
模块二：题型分类
题型一：向量数乘运算的定义
1．已知平面内的两个非零向量a
，b
满足
3
a
b
r
r ，则a
与b
（
）
A．相等
B．方向相同
C．垂直
D．方向相反
2.已知a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a 的方向与a 的方向相同；
(2)|－2a|＝3
2|3a|；
(3) 1
|a|a 是单位向量；
(4)a＋b 与－a－b 是一对相反向量．
3.已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有(
)
①当λ＞0 时，λa 与a 的方向一定相同；
②当λ＜0 时，λa 与a 的方向一定相反；
③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0；
④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．已知
0
a
，则下列结论一定正确的是（
）
A．
0
B．
0
a
C．
0
且
0
a
D．以上说法都不对
5．下列说法中正确的是（
）
A．a
与a
的方向不是相同就是相反
B．若,a b
共线，则b
a
C．若
2
b
a
＝
，则
2
b
a
D．若
2
b
a
，则
2
b
a
＝
题型二：向量的线性运算
1．化简
6
4
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
c
为（
）
A．6
2
8
a
b
c
B．6
14
a
b
C．2
14
a
b
D．6
2
a
b
2．下列计算正确的个数是（
）
①
3
2
6
a
a
＝-
；②
2
2
3
a b
b a
a
+
-
-
=
；③
2
2
0
a
b
b
a
-
.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．设, ,
i j k
是两两不共线的向量，且向量
2
4
a
i
j
k
，
3
2
b
i
j
k
，则2
3
a
b
（
）
A．11
2
5
i
j
k
B．11
2
5
i
j
k
C．11
10
11
i
j
k
D．11
10
11
i
j
k
考点三：向量数乘的几何意义应用
1．已知点C 在线段AB 上，且
2
AC
CB
，若向量AC
AB
，则（
）
A．2
B．1
2
C．3
2
D．2
3
2．（多选）如图，设
,
P Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式正确的是（
）
A．
1
3
AP
AB
B．
2
3
AQ
AB
C．
2
3
BP
AB
D．AQ
BP
3．（多选）如图，点
,
C D 是线段AB 的三等分点，则下列结论正确的有（
）
A．AC
DB
B．AB
AC
C．
3
2
AB
CD
D．
2
AD
CD
4.（多选）向量
2 ,
6
a
e b
e
，则下列说法正确的是（
）
A．
/ /
a
b
B．向量,a b
方向相反
C．|
| 3|
|
a
b
D．
3a
b
5．在梯形ABCD 中，
4
AB
DC
，AC
AB
xAD
yCD
，则x
y
（
）
A．5
B．6
C．－5
D．－6
6．在ABC
中，点D 为边BC 的中点，若AB
AC
AD
，则实数的值为
.
7．设四边形ABCD中，
1
2
DC
AB
且AD
BC
，则这个四边形是
．
考点四：用已知向量表示未知向量
1．已知四边形ABCD为平行四边形，AC 与BD 相交于O，设
,
AB
a AD
b
，则OB
等于（
）
A．1
1
2
2
a
b
B．1
1
2
2
a
b
C．
1
1
2
2
a
b
D．
1
1
2
2
a
b
2．在ABC
中，
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，则DE
（
）
A．
1
3
2
2
a
b
B．1
3
2
2
a
b
C．
1
3
2
2
a
b
D．1
3
2
2
a
b
3．在梯形ABCD中，E 是CD 中点，
2
BC
AD
，设BE
BA
BC
，则
（
）
A．5
3
B．5
2
C．2
D．5
4
4．如图，在四边形ABCD 中，
2
,
2
DC
AB BE
EC
，设DC
a
，DA
b
，则DE
等于（
）
A．5
1
6
2
a
b
B．2
1
3
2
a
b
C．5
1
6
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
5.如图所示，向量
,
,
OA
a OB
b OC
c
，
,
,
A B C 在一条直线上，且
4
AC
CB
uuur
uur 则（
）
A．
1
3
2
2
c
a
b
B．
1
4
3
3
c
a
b
C．
2
c
a
b
D．
3
1
2
2
c
a
b
r
r
r
6.四边形ABCD中，
/ /
AB
CD ，
90 ,
2
2
3
,
2
A
AB
AD
DC
BC
EC
AE
AF
，
，则下列表示正确的
是（
）
A．
1
1
2
6
AF
AB
AD
B．
2
1
3
3
AF
AB
AD
C．
1
1
3
3
AF
AB
AD
D．
2
2
3
3
AF
AB
AD
考点五：向量共线定理及应用
1．判断下列各小题中的向量a
，b
是否共线：
(1)
3
a
e
，
3
2
b
e
；
(2)
1
2
2
2
a
e
e
，
1
2
b
e
e
（其中两个非零向量
1e
和
2e
不共线）；
(3)
2
3
a
e
，
5
3
2
b
a
e
.
2．设
1e
，
2e
是两个不共线向量，若向量
1
2
3
5
a
e
e
与向量
1
2
3
b
me
e
共线，则m 的值等于（
）
A．
5
3
B．
9
5
C．
3
5
-
D．
5
9
3．设
1e
，
2e
是两个不共线的向量，若向量
1
2(
R)
m
k
e
e k
与向量
2
1
2
n
e
e
共线，则（
）
A．
0
k
B．
1
k
C．
2
k
D．
1
2
k
4．设
1e
，
2e
是两个不共线的向量，已知
1
2
2
AB
e
ke
，
1
2
3
CB
e
e
，
1
2
2
CD
e
e
，若三点A，B，D 共
线，则k 的值为（
）
A．－8
B．8
C．6
D．－6
5．(多选)下列命题正确的的有（
）
A．( 5)(6 )
30
a
a
B．7(
)
6
7
13
a
b
b
a
b
C．若
,
3(
)
a
m
n b
m
n
，则,a b
共线
D．(
5 )
(
5 )
2
a
b
a
b
a
，则,a b
共线
6.（多选）已知4
3
AB
AD
AC
，则下列结论正确的是（
）
A．A，B，C，D 四点共线
B．C，B，D 三点共线
C．|
| |
|
AC
DB
D．|
| 3|
|
BC
DB
7．设a与b
是两个不共线向量，且向量a
b
与
2
b
a
共线，则
.
8．已知a，b
是两个不共线的向量，向量6b
ta
，
3
a
b
共线，则实数t 的值为
.
9．已知向量a
，b
，c
中任意两个都不共线，并且a
b
与c
共线，b
c
与a
共线，那么a
b
c
r
r
r 等于（
）
A．a
B．b
C．c
D．0
10．已知向量,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，则（
）
A．A，B，C 三点共线
B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线
D．B，C，D 三点共线
11．已知向量,a b
不共线，
3
m
a
b
，
2
n
a
xb
，m
n
∥
，则实数x
．
12．已知平面向量a，b
，则“
/ /
a
b
”是“存在
R
，使得a
b
”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．已知不共线的向量,a b
，且
2
AB
a
b
，
5
6
BC
a
b
，
7
2
CD
a
b
，则一定共线的三点是（
）
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
模块三：综合巩固
1.下列计算正确的个数是（
）
①
3
2
6
a
a
＝-
；②
2
2
3
a b
b a
a
+
-
-
=
；③
2
2
0
a
b
b
a
-
.
A．0
B．1
C．2
D．3
2.已知m ，n 是实数，a
，b
是向量，则下列命题中正确的为（
）
①
m a
b
ma
mb
；②
m
n a
ma
na
；
③若ma
mb
，则a
b
；④若ma
na
，则m
n
．
A．①④
B．①②
C．①③
D．③④
3．（多选）若,
a b
都是非零向量，且a
b
，则（
）
A．,
a b
方向相同
B．,a b
方向相反
C．a
b
D．
0
a
b
4．若
3
2
2
4
0
x
x
a
x
a
b
a
，则x
.
5．已知
3
4
AB
BC
，若记AC
BA
，则
．
6．在ABC
中，
,
AB
c AC
b
，若点D 满足
1
2
BD
DC
，则AD
（
）
A．1
1
2
2
b
c
B．2
1
3
3
b
c
C．4
1
3
3
b
c
D．1
2
3
3
b
c
7．如图所示的ABC
中，点D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE
（
）
A．
1
1
3
6
AB
AC
B．
1
1
6
3
AB
AC
C．
5
1
6
3
AB
AC
D．
5
1
6
3
AB
AC
8．在ABC
中，
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，则DE
（
）
A．
1
3
2
2
a
b
B．1
3
2
2
a
b
C．
1
3
2
2
a
b
D．1
3
2
2
a
b
9．在ABC
中，已知
,
,
AB
a AC
b M
为AB 的中点，N 为CM 的中点，则BN
为（
）
A．1
3
2
4
a
b
B．1
3
2
4
b
a
C．3
1
2
2
a
b
D．3
1
2
2
b
a
10．如图，在四边形ABCD 中，
2
,
2
DC
AB BE
EC
，设DC
a
，DA
b
，则DE
等于（
）
A．5
1
6
2
a
b
B．2
1
3
2
a
b
C．5
1
6
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
11．（多选）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃
采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该
图形中，下列说法正确的是（
）
A．
2 3
1
3
GH
BD
B．
3
2
BE
BD
CF
C．
3
1
3
2
GB
BD
CF
D．
3
3
3
1
6
4
IC
BD
CF
12.已知向量,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，则（
）
A．A，B，C 三点共线
B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线
D．B，C，D 三点共线
13.已知
1e
，2e
是平面内两个不共线的向量，
1
2
4
2
A
e
B
e
，
1
2
B
e
e
C
，
1
2
1
CD
e
e
，且A，C，
D 三点共线，则（
）
A．1
2
B．2
C．4
D．1
4
注意：利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，
需注意的是，在证明三点共线时，不仅要证明b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b 有公共点．
14.(1)已知e1，e2 是两个不共线的向量，若AB
―→＝2e1－8e2，CB
―→＝e1＋3e2，CD
―→＝2e1－e2，求证：A，B，
D 三点共线．
(2)已知A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP
―→＝x OA
―→＋y OB
―→，求证：x＋y＝1.
15.设e1，e2 是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
16.已知P，A，B，C 是平面内四点，且PA
―→＋PB
―→＋PC
―→＝AC
―→，则下列向量一定共线的是(
)
A. PC
―→与PB
―→
B. PA
―→与PB
―→
C. PA
―→与PC
―→
D. PC
―→与AB
―→
17．在平行四边形ABCD中，M 是AB 的中点，N 在对角线BD 上，且
2
3
DN
DB
，求证：
,
,
M N C 共线
18．判断三点是否共线.
(1)已知两个非零向量
1e
和
2e
不共线，
1
2
2
3
AB
e
e
，
1
2
6
23
BC
e
e
，
1
2
4
8
CD
e
e
.求证：A，B，D 三
点共线.
(2)已知任意两个非零向量a
，b
，求作OA
a
b
，
2
OB
a
b
，
3
OC
a
b
.试判断A，B，C 三点之间的
位置关系，并说明理由.
19.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点.
（1）若点O 满足2
0
OA
OB
OC
，求证：AO
OD
；
（2）已知E 为AC 边中点，O 在线段DE 上，且满足
2
3
0
OA
OB
OC
，△BOC 的面积为2，求△ABC 的
面积.
20.如图，已知点G 是ABC
的重心，若PQ过ABC
的重心G ，且AB a
= ，AC
b
，AP
ma
，AQ
nb
（
0
m
0
n
），试求
2
m
n
的最小值．
