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第五章 平面向量
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
数量积的定义及 利用坐标运算求解 公式法
２０２１新高考 １０ ５ 多项选择题 中 数学运算
Ⅰ， 夹角与模问题 向量的模、数量积运算 直接法
２０２１新高考 １５ ５ 填空题 中 数量积的综合应用 平面向量的数量积 公式法 数学运算
Ⅱ，
数量积的定义及
２０２１全国乙理 １４ ５ 填空题 易 由向量垂直求参数 公式法 数学运算
， 夹角与模问题
数量积的定义
２０２１全国甲文 １３ ５ 填空题 易 求参数的值 公式法 数学运算
， 及夹角与模问题
平面向量的 逻辑推理
２０２０新高考 ３ ５ 单项选择题 易 向量的线性运算 定义法
Ⅱ， 线性运算 数学运算
数学运算
数量积的
２０２０新高考 ７ ５ 单项选择题 中 求数量积的取值范围 分类讨论法 逻辑推理
Ⅰ， 综合应用
直观想象
命题规律与备考策略
考查内容 本章具体内容有 以向量的概念为主体的向量的表示 几 以向量为工具的综合问题 多集中考查学生对平面向量的基础知识和
① 、 ，
个特殊向量 向量共线的含义 向量的有关线性运算 如向量的加 基本解题方法的理解与运用．试题情境主要为课程学习情境 主要考查
、 ；② ， ，
法 减法运算及其几何意义 向量数乘的运算及几何意义 以平面向 的核心素养为数学运算 逻辑推理．
、 ， ；③ 、
量基本定理为核心的向量坐标表示 向量的坐标运算 以平面向量 复习建议 结合本章知识零碎 公式多的特点 建议以 向量 运算
、 ；④ 、 ， “ — —
的数量积为载体 考查向量数量积的坐标运算 几何意义和取值范围 应用 为主线 将各个知识点融合在一起 形成知识网络 构建知识体
， 、 ” ， ， ，
问题 体现向量的工具性． 系 其次 复习过程中突出 平面向量基本定理及应用 向量的线性运
， ； ， “ ”“
题型赋分 本章内容题难度以中 低档为主 题型主要以选择题或填 算与其几何意义 向量法求解平面几何问题 等这几个重点内容 最
、 ， ”“ ” ，
空题形式出现 分值为 分． 后 需强化向量的模 向量的夹角计算的应用．
， ５ ， 、
命题特点 以考查平面向量的基础知识 基本运算为主 考查平面向 备考策略 本章内容高考必考且难度不大 多集中在有关向量的线性
、 ， ，
量基本定理相关的线性运算 向量的夹角 向量的模 投影向量的意义 运算与数量积运算等方面 备考时 复习面要广 题型要练全．
、 、 、 ， ， ，
等 亦命制与三角函数 解三角形 函数 不等式相结合的综合题 考查
， 、 、 、 ，２ ３０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§５．１ 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
平面向量的概念及线性运算 学生用书Ｐ８４
１．（２０２０ 新高考 ，３，５ 分）若 Ｄ 为 ＡＢＣ 的边 ＡＢ 的中点
Ⅱ △ ，
则Ｃ→Ｂ
＝ （ ）
Ｃ→Ｄ →ＣＡ →ＣＡ Ｃ→Ｄ
Ａ．２ － Ｂ．２ －
Ｃ→Ｄ →ＣＡ →ＣＡ Ｃ→Ｄ
Ｃ．２ ＋ Ｄ．２ ＋ 则有Ａ→Ｎ １ →ＡＢ →ＡＣ 所以Ｍ→Ｎ Ａ→Ｎ Ａ→Ｍ １ →ＡＢ →ＡＣ ２
１． 答案 Ａ ＝ （ ＋ ）， ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ·
２ ２ ３
２．（２０１７课标 文，４，５分）设非零向量ａ ｂ满足 ａ ｂ ａ ｂ
Ⅱ ， ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜， →ＡＣ １→ＡＢ １→ＡＣ
则 ＝ － ，
（ ） ２ ６
ａ ｂ ａ ｂ
Ａ． ⊥ Ｂ．｜ ｜＝｜ ｜ 又因为Ｍ→Ｎ ｘ→ＡＢ ｙ→ＡＣ 所以ｘ １ ｙ １ ．
ａ ｂ ａ ｂ ＝ ＋ ， ＝ ， ＝－
Ｃ． ∥ Ｄ．｜ ｜＞｜ ｜ ２ ６
２． 答案 Ａ ５．（２０１３江苏，１０，５分）设Ｄ Ｅ分别是 ＡＢＣ的边ＡＢ ＢＣ上的
， △ ，
以下为教师用书专用（１—５）
点
，
ＡＤ
＝
１ ＡＢ
，
ＢＥ
＝
２ ＢＣ．若Ｄ→Ｅ
＝
λ
１
→ＡＢ
＋
λ
２
→ＡＣ
（
λ
１，
λ
２
为实
２ ３
１．（２０１５课标 Ⅰ 理，７，５分）设Ｄ为 △ ＡＢＣ所在平面内一点 ， Ｂ→Ｃ ＝ 数 ）， 则λ １＋ λ ２ 的值为 ．
Ｃ→Ｄ 则 答案 １
３ ， （ ）
２
Ａ． Ａ→Ｄ ＝－ １→ＡＢ ＋ ４→ＡＣ Ｂ． Ａ→Ｄ ＝ １→ＡＢ － ４→ＡＣ 解析 Ｄ→Ｅ Ｄ→Ｂ Ｂ→Ｅ １ →ＡＢ ２ Ｂ→Ｃ １ →ＡＢ ２ →ＡＣ →ＡＢ
３ ３ ３ ３ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝
２ ３ ２ ３
Ｃ．
Ａ→Ｄ
＝
４→ＡＢ
＋
１→ＡＣ
Ｄ．
Ａ→Ｄ
＝
４→ＡＢ
－
１→ＡＣ
－
１→ＡＢ
＋
２→ＡＣ
，
３ ３ ３ ３ ６ ３
答案 Ａ Ａ→Ｄ
＝
→ＡＢ
＋
Ｂ→Ｄ
＝
→ＡＢ
＋
Ｂ→Ｃ
＋
Ｃ→Ｄ
＝
→ＡＢ
＋ ３
４ Ｂ→Ｃ
＝
→ＡＢ
＋ ∵
Ｄ→Ｅ
＝
λ
１
→ＡＢ
＋
λ
２
→ＡＣ
，∴
λ
１＝－ ６
１
，
λ
２＝ ３
２
，
故λ
１＋
λ
２＝ ２
１ ．
４ →ＡＣ →ＡＢ １→ＡＢ ４→ＡＣ．故选 ．
（ － ）＝－ ＋ Ａ 平面向量基本定理及坐标运算 学生用书Ｐ８４
３ ３ ３
２．（２０１４课标 文，６，５分）设Ｄ Ｅ Ｆ分别为 ＡＢＣ的三边ＢＣ
Ⅰ ， ， △ ， １．（２０１７课标 理，１２，５ 分）在矩形 ＡＢＣＤ 中 ＡＢ ＡＤ 动
ＣＡ ＡＢ的中点 则Ｅ→Ｂ Ｆ→Ｃ Ⅲ ， ＝１， ＝２，
， ， ＋ ＝ （ ） 点Ｐ在以点Ｃ为圆心且与ＢＤ相切的圆上．若→ＡＰ λ→ＡＢ μＡ→Ｄ
＝ ＋ ，
．Ａ→Ｄ ． １ Ａ→Ｄ ．Ｂ→Ｃ ． １ Ｂ→Ｃ 则λ μ的最大值为
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ＋ （ ）
２ ２
答案 Ａ 设→ＡＢ ＝ ａ ， →ＡＣ ＝ ｂ ， 则Ｅ→Ｂ ＝－ １ ｂ ＋ ａ ， Ｆ→Ｃ ＝－ １ ａ ＋ ｂ ， １． Ａ．３ 答案 Ａ Ｂ．２ ２ Ｃ． ５ Ｄ．２
２ ２
( ) ( ) ２．（２０１８课标 文，１３，５分）已知向量ａ ｂ ｃ
从而Ｅ→Ｂ
＋
Ｆ→Ｃ
＝ －
１ ｂ
＋
ａ
＋ －
１ ａ
＋
ｂ
＝
１
（
ａ
＋
ｂ
）＝
Ａ→Ｄ
，
故选
Ａ
．
λ ．若ｃ
Ⅲ
ａ ｂ 则λ
＝
．
（１，２）， ＝（２，－２）， ＝
２ ２ ２ （１， ） ∥（２ ＋ ）， ＝
３．（２０１５课标 Ⅱ 理，１３，５分）设向量ａ ， ｂ不平行 ， 向量λａ ＋ ｂ与ａ ２． 答案 １
ｂ平行 则实数λ ． ２
＋２ ， ＝ ３．（２０１９上海，９，５分）过曲线ｙ２ ｘ的焦点Ｆ并垂直于ｘ轴的
＝４
答案 １ 直线分别与曲线ｙ２
＝４
ｘ交于Ａ
、
Ｂ
，
Ａ在Ｂ上方
，
Ｍ为抛物线上
２
解析 由于ａ ｂ不平行 所以可以以ａ ｂ作为一组基底 于 一点 Ｏ→Ｍ λＯ→Ａ λ Ｏ→Ｂ 则λ ．
， ， ， ， ， ＝ ＋（ －２） ， ＝
λ ３． 答案
是λａ ｂ与ａ ｂ平行等价于 １ 即λ １ ． ３
＋ ＋２ ＝ ， ＝
１ ２ ２ 以下为教师用书专用（１—７）
４．（２０１５北京理，１３，５分）在 ＡＢＣ中 点Ｍ Ｎ满足Ａ→Ｍ Ｍ→Ｃ
△ ， ， ＝２ ， １．（２０１５课标 文，２，５ 分）已知点 Ａ Ｂ 向量→ＡＣ
Ⅰ （０，１）， （３，２）， ＝
Ｂ→Ｎ Ｎ→Ｃ．若Ｍ→Ｎ ｘ→ＡＢ ｙ→ＡＣ 则ｘ ｙ ．
＝ ＝ ＋ ， ＝ ， ＝ 则向量Ｂ→Ｃ
（－４，－３）， ＝ （ ）
答案 １ １ ． ． ． ．
；－ Ａ（－７，－４） Ｂ（７，４） Ｃ（－１，４） Ｄ（１，４）
２ ６ 答案 Ａ 根据题意得→ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＡＣ →ＡＢ
解析 由Ａ→Ｍ
＝２
Ｍ→Ｃ知Ｍ为ＡＣ上靠近Ｃ的三等分点
，
由Ｂ→Ｎ
．故选
＝
．
（３，１），∴ ＝ － ＝（－４，－
３）－（３，１）＝（－７，－４） Ａ
Ｎ→Ｃ知Ｎ为ＢＣ的中点 作出草图如下 ２．（２０１４ 北京文，３，５ 分）已知向量ａ ｂ 则
＝ ， ： ＝（２，４）， ＝（－１，１），
第五章 平面向量 ２ ３１
ａ ｂ ５．（２０１７山东文，１１，５分）已知向量ａ ｂ λ ．若ａ
２ － ＝ （ ） ＝（２，６）， ＝（－１， ）
ｂ 则λ ．
Ａ．（５，７） Ｂ．（５，９） ∥ ， ＝
答案
Ｃ．（３，７） Ｄ．（３，９） －３
答案 Ａ 由ａ 知 ａ 所以 ａ ｂ 解析 本题考查向量平行的条件．
＝（２，４） ２ ＝（４，８）， ２ － ＝（４，８）－
．故选 ． ａ ｂ λ ａ ｂ
（－１，１）＝（５，７） Ａ ∵ ＝（２，６）， ＝（－１， ）， ∥ ，
３．（２０１４广东文，３，５分）已知向量ａ ｂ 则ｂ ａ λ λ ．
＝（１，２）， ＝（３，１）， － ＝ ∴２ －６×（－１）＝０，∴ ＝－３
６．（２０１６课标 文，１３，５分）已知向量ａ ｍ ｂ 且
（ ） Ⅱ ＝（ ，４）， ＝（３，－２），
ａ ｂ 则ｍ ．
Ａ．（－２，１） Ｂ．（２，－１） Ｃ．（２，０） Ｄ．（４，３） ∥ ， ＝
答案 Ｂ ｂ ａ ．故答案为 ． 答案
－ ＝（３，１）－（１，２）＝（２，－１） Ｂ －６
４．（２０１４福建理，８，５分）在下列向量组中 可以把向量ａ ｍ
， ＝（３，２） 解析 因为ａ ｂ 所以 ４ 解得ｍ ．
表示出来的是 ∥ ， ＝ ， ＝－６
（ ） ３ －２
ｅ ｅ ｅ ｅ 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆．
Ａ． １＝（０，０）， ２＝（１，２） Ｂ． １＝（－１，２）， ２＝（５，－２）
ｅ ｅ ｅ ｅ 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件．
Ｃ． １＝（３，５）， ２＝（６，１０） Ｄ． １＝（２，－３）， ２＝（－２，３）
答案 Ｂ 设ａ ｋ ｅ ｋ ｅ
＝ １ １＋ ２ ２， ７．（２０１４陕西，１３，５分）设 θ π 向量ａ θ θ ｂ
{ｋ ０＜ ＜ ， ＝（ｓｉｎ ２ ，ｃｏｓ ）， ＝
选项 ｋ ｋ ２＝３， 无解． ２
Ａ ，∵ （３，２）＝（ ２，２ ２），∴ ｋ θ 若ａ ｂ 则 θ ．
２ ２＝２， （ｃｏｓ ，１）， ∥ ， ｔａｎ ＝
选项 ｋ ｋ ｋ ｋ
Ｂ
∴
{ －
ｋ
ｋ １
，
＋
∵
５
ｋ
ｋ
（
２
３
＝
，
３
２
，
）
解
＝（
之
－
得
１
{
＋
ｋ
ｋ
５
１＝
２，
２
２
，
．
１－２ ２），
解
答
析
案
∵
１
２ ａ
∥
ｂ
，∴ ｓｉｎ ２
θ
×１－ｃｏｓ
２θ
＝０，∴ ２ｓｉｎ
θ
ｃｏｓ
θ
－ｃｏｓ
２θ
＝
２ １－２ ２＝２， ２＝１
故 中的ｅ ｅ 可把ａ表示出来． θ π θ θ θ θ １ ．
Ｂ １， ２ ０，∵０＜ ＜ ，∴ ｃｏｓ ＞０，∴２ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ，∴ ｔａｎ ＝
同理 选项同 选项 无解． ２ ２
，Ｃ、Ｄ Ａ ，
学生用书Ｐ８４
1 续表
考点 平面向量的概念及线性运算
向量运算 定义 法则 或几何意义 运算律
（ ）
１．向量的有关概念
名称 定义 备注 交换律
（１） ：
ａ ｂ ｂ ａ
既有 大小又有 方向 的量 求两个向量和的 ＋ ＝ ＋ ；
向量 向量的 ① 大小 叫做向 ② 量 的 长度 ； 平面向量是自由向量 加法 运算 三角形法则 （２） 结合律 ：
③ ａ ｂ ｃ
或称模 （ ＋ ）＋ ＝
（ ） ａ ｂ ｃ
长度为 的向量 其方向是 ＋（ ＋ ）
零向量 ０ ； 记作０
任意的
④ 平行四边形法则
续表
求ａ 与 ｂ 的相反
名称 定义 备注 向量 ｂ的和的运
减法 －
非零向量ａ的单位向 算叫做 ａ 与 ｂ
单位向量 长度等于 个单位的向量 ａ 的差
１ 量为 三角形法则
⑤ ± ａ
｜ ｜ λａ λ
方向相同或 相反的非零向量 ０与任一向量 平行 （１）｜ ｜＝｜ ｜·
平行向量 （ 又叫做共线 ⑥ 向 量 ） 或共线 ⑦ ｜ ａ ｜ ． 当λ 时 λａ λ （ μａ ） ＝
相等向量 长度相等且方向 相同的向量 两向量只有相等或不 （ 的 ２ 方 ） 向与 ＞０ ａ 的 ， 方 （ λμ ） ａ ；
⑧ 等 不能比较大小 求实数 λ 与向量 λ μ ａ λａ
， 数乘 向 相同 当λ （ ＋ ） ＝
相反向量 长度相等且方向 相反的向量 ０的相反向量为０ ａ的积的运算 ⑩ ； ＜ μａ
⑨ 时 λａ的方向与 ＋ ；
０ ， λ ａ ｂ λａ
２．向量的线性运算 ａ 的 方 向 （ ＋ ）＝
λｂ
向量运算 定义 法则 或几何意义 运算律 相反 ； 当 λ ＝０ ＋
（ ） 时 λａ ０
， ＝
３．共线向量定理
向量ａ与ｂ ｂ ０ 共线的充要条件是有且只有一个实数λ
（ ≠ ） ，
使得 ａ λｂ ．
＝
４．若Ｐ为线段ＡＢ的中点Ｏ为平面内任一点则→ＯＰ １ →ＯＡ →ＯＢ ．
， ， ＝ （ ＋ ）
２
２ ３２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
５．对于平面内任意一点Ｏ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ不共线 满足→ＯＡ λＯ→Ｂ μＯ→Ｃ
３．向量平行的坐标表示
， ， ， ＝ ＋
（ λ ， μ ∈ Ｒ ）， 若点Ａ ， Ｂ ， Ｃ共线 ， 则 λ ＋ μ ＝１ ； 反之也成立． （１） 如果ａ ＝（ ｘ １， ｙ １）， ｂ ＝（ ｘ ２， ｙ ２）（ ｂ ≠ ０ ）， 则ａ ∥ ｂ的充要条
件为 ｘ ｙ ｘ ｙ
１ ２－ ２ １＝０ ；
Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ 三点共线的充要条件为
2 （２） （ １， １）， （ ２， ２）， （ ３， ３）
考点 平面向量基本定理及坐标运算 ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ ｙ ｙ ．
（ ２－ １）（ ３－ １）－（ ３－ １）（ ２－ １）＝０
４．几个重要结论 如图．
：
１．平面向量基本定理
如果ｅ ｅ 是同一平面内的两个 不共线 向量 那么对于
１， ２ ，
这一平面内的任意向量ａ 有且只有 一对实数λ λ 使ａ
， １， ２， ＝
λ ｅ λ ｅ ．其中 不共线 的向量ｅ ｅ 叫做表示这一平 若ａ ｂ为不共线向量 则ａ ｂ ａ ｂ是以ａ ｂ为邻边的平
１ １＋ ２ ２ ， １， ２ （１） 、 ， ＋ 、 － 、
面内所有向量的一组基底． 行四边形的对角线向量
；
２．平面向量的坐标运算 ａ ｂ ２ ａ ｂ ２ ａ ２ ｂ ２
（２）｜ ＋ ｜ ＋｜ － ｜ ＝２（｜ ｜ ＋｜ ｜ ）；
若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ （ｘ ｘ ，ｙ ｙ ）
（１） ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， ± ＝ １± ２ １± ２ ； Ｇ为 ＡＢＣ的重心 →ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０
（３） △ ⇔ ＋ ＋ ＝
若Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则→ＡＢ （ｘ ｘ ，ｙ ｙ ） æｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ö
（２） 若ａ （ １ ｘ ， ｙ １）， λ （ Ｒ ２， 则 ２）， λａ ＝ （ λ ｘ，λ ２ ｙ － ） １ ． ２－ １ ； ⇔ Ｇ è ç Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ ， Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ ø ÷．
（３） ＝（ ， ）， ∈ ， ＝ ３ ３
学生用书Ｐ８５
一、平面向量线性运算的常见类型及解题策略 １－２ 在 ＡＢＣ中 Ｐ为ＢＣ的中点 内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
△ ， ， ， ，
１．考查向量加法或减法的几何意义． 为ａ
，
ｂ
，
ｃ
，
若ｃ→ＡＣ
＋
ａ→ＰＡ
＋
ｂＰ→Ｂ
＝
０
，
则
△
ＡＢＣ的形状为 ．
２．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边 １－２． 答案 等边三角形
形法则 求向量的差用三角形法则 求首尾相连的向量的和用三 二、平面向量坐标运算的解题策略
， ；
角形法则．
１．引进向量的坐标运算可以使向量的线性运算用坐标来表示
３．与三角形综合 求参数的值．求出向量的和或差 与已知条 ，
， ， 从而实现向量运算的代数化 使几何问题转换成数量运算问题．
件中的式子比较 求得参数的值． ，
， ２．利用平面向量的坐标运算来解题有两种情形 一是本身
４．与平行四边形综合 研究向量的关系．画出图形 找出图中 ：
， ， 就是坐标关系 此时只需应用向量的坐标运算法则求解 二是通
的相等向量 共线向量 将所求向量转化到同一个平行四边形或 ， ；
、 ， 过建立平面直角坐标系 利用向量的坐标把几何问题转化为代
三角形中求解． ，
数问题求解．
例１ （２０１８课标 ，文７，理６，５ 分）在 ＡＢＣ中 ＡＤ为ＢＣ
Ⅰ △ ， 例２ （２０１７江苏，１２，５分）如图 在同一个平面内 向量Ｏ→Ａ
边上的中线 Ｅ为ＡＤ的中点 则Ｅ→Ｂ ， ， ，
， ， ＝ （ ） Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ的模分别为 Ｏ→Ａ与Ｏ→Ｃ的夹角为α 且 α Ｏ→Ｂ
， １，１， ２， ， ｔａｎ ＝７，
Ａ．
３ →ＡＢ
－
１→ＡＣ
Ｂ．
１ →ＡＢ
－
３→ＡＣ
与Ｏ→Ｃ的夹角为 °．若Ｏ→Ｃ ｍ Ｏ→Ａ ｎ Ｏ→Ｂ ｍ ｎ Ｒ 则 ｍ ｎ
４ ４ ４ ４ ４５ ＝ ＋ （ ， ∈ ）， ＋ ＝
．
３ →ＡＢ １→ＡＣ １ →ＡＢ ３→ＡＣ
Ｃ． ＋ Ｄ． ＋
４ ４ ４ ４
解题思路
结合选项可知 该问题为 用基底→ＡＢ →ＡＣ表示Ｅ→Ｂ．根据向量
， ： 、
的运算法则 首先在 ＡＢＥ中得到Ｅ→Ｂ →ＥＡ →ＡＢ 然后把→ＥＡ用→ＡＢ和
， △ ＝ ＋ ，
→ＡＣ表示出来． 解题思路
思路一 坐标法．在求解平面向量问题时 容易想到从 数
解析 Ｅ是ＡＤ的中点 →ＥＡ １ Ａ→Ｄ Ｅ→Ｂ →ＥＡ →ＡＢ ： ， “ ”
∵ ，∴ ＝－ ，∴ ＝ ＋ ＝ 的角度出发 因此坐标法是优先选择的方法 将几何问题代数化．
２ ， ，
本题建系方式有多种 抓住两个向量夹角特征 以Ｏ为原点 ＯＡ
１ Ａ→Ｄ →ＡＢ 又 Ｄ为ＢＣ的中点 Ａ→Ｄ １ →ＡＢ →ＡＣ 因此Ｅ→Ｂ ， ， 、
－ ＋ ， ∵ ，∴ ＝ （ ＋ ）， ＝
２ ２ 所在直线为ｘ轴建系 把Ｏ→Ｃ ｍＯ→Ａ ｎＯ→Ｂ用坐标表示出来 运算
， ＝ ＋ ，
１ →ＡＢ →ＡＣ →ＡＢ ３→ＡＢ １→ＡＣ 故选 ． 量最小．
－ （ ＋ ）＋ ＝ － ， Ａ
４ ４ ４ 思路二 两边同时点乘一个向量．抓住已知条件中向量的模
答案 Ａ ：
与夹角 借助向量数量积 给Ｏ→Ｃ ｍＯ→Ａ ｎＯ→Ｂ两边同时点乘同一
１－１ 在 ＡＢＣ中 Ｄ→Ｃ Ｂ→Ｄ 且Ｅ为ＡＣ的中点 则Ｄ→Ｅ ， ， ＝ ＋
△ ， ＝２ ， ， ＝ （ ） 个向量 从而转化为关于ｍ ｎ的实数方程．
， ，
２→ＡＢ １→ＡＣ ２ →ＡＢ １→ＡＣ 解析 解法一 如图 以Ｏ为坐标原点 ＯＡ所在直线为ｘ
Ａ．－ ＋ Ｂ． － ： ， ，
３ ６ ３ ６ 轴 建立平面直角坐标系．
，
１→ＡＢ １→ＡＣ ２ →ＡＢ ５→ＡＣ
Ｃ．－ － Ｄ． ＋
３ ６ ３ ６
１－１． 答案 Ａ
第五章 平面向量 ２ ３３
ìｍ
{Ｏ→Ｃ２ ｍＯ→Ａ Ｏ→Ｃ ｎＯ→Ｂ Ｏ→Ｃ ï ï ＋ ｎ ＝２，
由 ＝ · ＋ · ，得í５
Ｏ→Ｃ
·
Ｏ→Ｂ
＝
ｍＯ→Ａ
·
Ｏ→Ｂ
＋
ｎＯ→Ｂ２ ï
ï ３ ｍ ｎ
î－ ＋ ＝１，
５
ì
ïｍ ５
ï ＝ ，
解得í ４ 所以ｍ ｎ ．
ï ＋ ＝３
ïｎ ７
î ＝ ，
因为 α α为锐角 所以 α ７ ２ α ２ ４
ｔａｎ ＝７， ， ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ， 答案
１０ １０ ３
２－１ 在 ＡＢＣ中 Ａ ° 点Ｄ是边ＢＣ上的动点 且
从而 α ° ３ α ° ４ ． Ｒｔ△ ，∠ ＝９０ ， ，
ｃｏｓ（ ＋４５ ）＝－
５
，ｓｉｎ（ ＋４５ ）＝
５ ｜
→ＡＢ
｜＝３，｜
→ＡＣ
｜＝４，
Ａ→Ｄ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
（
λ
＞０，
μ
＞０），
则当λμ取得最
又向量Ｏ→Ａ
，
Ｏ→Ｂ
，
Ｏ→Ｃ的模分别为
１，１， ２， 大值时 Ａ→Ｄ ．
( ) ( ) ，｜ ｜＝
所以Ａ （１，０）， Ｂ － ３ ， ４ ， Ｃ １ ， ７ ． ２－１． 答案 ５
５ ５ ５ ５
２
因为Ｏ→Ｃ
＝
ｍＯ→Ａ
＋
ｎＯ→Ｂ
， ２－２ 给定两个长度为 的平面向量Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 它们的夹角为
１ ， ，
ì ì
ï ï １ ＝ ｍ － ３ ｎ ， ï ï ｍ ＝ ５ ， １２０ °．如图所示 ， 点Ｃ在以Ｏ为圆心的弧ＡＢ上运动．若Ｏ→Ｃ ＝ ｘＯ→Ａ
所以í５ ５ 解得í ４ 所以ｍ ｎ ．
ï ï７ ４ ｎ ï ïｎ ７ ＋ ＝３ ＋ ｙＯ→Ｂ ， 其中ｘ ， ｙ ∈ Ｒ ， 则ｘ ＋ ｙ的最大值是 ．
î ＝ ， î ＝ ，
５ ５ ４
解法二 由 α α 得 α ７ ２ α ２
： ｔａｎ ＝７， ∈［０，π］ ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ，
１０ １０
则 α ° ３ ．
ｃｏｓ（ ＋４５ ）＝－ ２－２． 答案
５ ２
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ８６
３． 答案 Ｄ
平面向量的概念及线性运算
１．（２０２０河北廊坊第一次联考，６）在 ＡＢＣ 中 Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ Ｅ 是 平面向量基本定理及坐标运算
△ ， ＝２ ，
ＡＤ的中点
，
则→ＡＥ
＝ （ ） １．（２０２１湖北二模，８）在 ＡＢＣ中 ＡＢ ＡＣ ＢＣ 点Ｏ为
△ ， ＝４， ＝６， ＝５，
Ａ．
１ →ＡＢ
＋
１→ＡＣ
Ｂ．
１ →ＡＢ
－
１→ＡＣ
△
ＡＢＣ的外心
，
若Ａ→Ｏ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
，
则λ
＋
μ
＝ （ ）
６ ３ ３ ６
２ ３ ４ ５
Ｃ． １ →ＡＢ － １→ＡＣ Ｄ． １ →ＡＢ ＋ １→ＡＣ Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ． ７ Ｄ． ９
１． 答 ６ 案 Ａ ３ ３ ６ １． 答案 Ｃ
２．（２０２１ 广东韶关一模，３）在 ＡＢＣ 中 点 Ｍ 为 ＡＣ 上的点 且 ２．（２０２１湖南岳阳一模，６）已知等边三角形 ＡＢＣ 的边长为 Ｏ
△ ， ， ４，
为三角形内一点 且Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０ 则 ＡＯＢ的面积是
Ａ→Ｍ １ Ｍ→Ｃ 若Ｂ→Ｍ λ→ＢＡ μＢ→Ｃ 则λ μ的值是 ， ＋ ＋２ ＝ ， △
＝ ， ＝ ＋ ， － （ ）
２ （ ）
１ １ ２
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ． ８ ３ ４ ３
２ ３ ３ Ａ．４ ３ Ｂ． Ｃ． Ｄ．２ ３
２． 答案 Ｃ ３ ３
２． 答案 Ｄ
３．（２０２０山东枣庄统考，６）如图 在 ＡＢＣ中 点Ｄ Ｅ是线段ＢＣ
， △ ， ， ３．（２０１９广东江门一模，７） ＡＢＣ中 ＡＣＢ ° ＡＣ ＢＣ
△ ，∠ ＝９０ ， ＝３， ＝４，
上两个动点
，
且Ａ→Ｄ
＋
→ＡＥ
＝
ｘ→ＡＢ
＋
ｙ→ＡＣ
，
则１
ｘ ＋
４
ｙ
的最小值为
ＣＤ ＡＢ 垂足为Ｄ 则Ｃ→Ｄ
⊥ ， ， ＝ （ ）
（ ） ４ →ＣＡ ３ Ｃ→Ｂ ３ →ＣＡ ４ Ｃ→Ｂ
Ａ． ＋ Ｂ． ＋
７ ７ ７ ７
１６→ＣＡ ９ Ｃ→Ｂ ９ →ＣＡ １６Ｃ→Ｂ
Ｃ． ＋ Ｄ． ＋
２５ ２５ ２５ ２５
３． 答案 Ｃ
４．（２０２１广东揭阳４月联考，７）在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ
， ＝４， ＝３，
３ ５ ９
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． Ｄ． Ｍ Ｎ分别是ＡＢ ＡＤ上的动点 且满足 Ａ→Ｍ Ａ→Ｎ 设→ＡＣ
２ ２ ２ ， ， ， ２｜ ｜＋｜ ｜＝１，
２ ３４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
＝
ｘＡ→Ｍ
＋
ｙＡ→Ｎ
，
则
２
ｘ
＋３
ｙ的最小值为
（ ）
４． 答案 Ｂ
Ａ．４８ Ｂ．４９ Ｃ．５０ Ｄ．５１
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ８６ ４０分钟 ５５分
一、单项选择题（每小题５分，共３０分）
１．（２０２１百校大联考第６次联考，９）已知向量ａ 若λａ
＝（３，１００），
λ
λ μ λ μ Ｒ 则
＝（３ ，２ ）（ ， ∈ ）， μ ＝ （ ）
１ １
Ａ．５０ Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．
５０ ３
１． 答案 Ｃ
Ａ．
５＋１
Ｂ．
５－１
Ｃ．－
５＋１
Ｄ．
１－ ５
２．（２０２０湖南永州祁阳二模，８） ＡＢＣ中 点Ｄ在ＡＢ上 ＣＤ平 ２ ２ ２ ２
△ ， ， ６． 答案 Ｄ
分 ＡＣＢ 若Ｃ→Ｂ ａ →ＣＡ ｂ ａ ｂ 则Ｃ→Ｄ
∠ ， ＝ ， ＝ ，｜ ｜＝２，｜ ｜＝３， ＝ （ ）
二、多项选择题（每小题５分，共１５分）
１ ａ ２ ｂ ２ ａ １ ｂ
Ａ． ＋ Ｂ． ＋ ７．（２０２０山东省实验中学第二次诊断，１１）关于平面向量ａ ｂ ｃ
３ ３ ３ ３ ， ， ，
下列说法中不正确的是
３ ａ ２ ｂ ２ ａ ３ ｂ （ ）
Ｃ． ＋ Ｄ． ＋ 若ａ ｂ且∙ｂ∙∙ｃ 则ａ ｃ
５ ５ ５ ５ Ａ． ∥ ∥ ， ∥
２． 答案 Ｃ ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ
Ｂ．（ ＋ ）· ＝ · ＋ ·
３．（２０２１山东烟台一模，６）平行四边形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ 若ａ ｂ ａ ｃ 且ａ ０ 则ｂ ｃ
， ＝４， ＝３， Ｃ． · ＝ · ， ≠ ， ＝
∠
ＢＡＤ
＝６０
°
，
Ｑ为ＣＤ 的中点
，
点 Ｐ 在对角线 ＢＤ 上
，
且Ｂ→Ｐ
＝ Ｄ．（
ａ
·
ｂ
）·
ｃ
＝
ａ
·（
ｂ
·
ｃ
）
７． 答案 ＡＣＤ
λＢ→Ｄ 若→ＡＰ Ｂ→Ｑ 则λ
， ⊥ ， ＝ （ ） ８．（２０２１广东珠海一模，１０）在 ＡＢＣ中 Ｄ为ＡＣ上一点且满足
△ ，
１ １ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ→Ｄ １ Ｄ→Ｃ 若Ｐ为ＢＤ上一点 且满足→ＡＰ λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ μ为
４ ２ ３ ４ ＝ ， ， ＝ ＋ （ ，
３． 答案 Ａ ３
正实数 则下列结论正确的是
４．（２０１９河北３月质检，６）在 ＡＢＣ中 Ｏ为 ＡＢＣ的重心．若Ｂ→Ｏ ）， （ ）
△ ， △
λμ的最小值为 λμ的最大值为 １
λ→ＡＢ μ→ＡＣ 则λ μ Ａ． １６ Ｂ．
＝ ＋ ， －２ ＝ （ ） １６
１ ４ ４ １ １ 的最大值为 １ １ 的最小值为
Ａ．－ Ｂ．－１ Ｃ． Ｄ．－ Ｃ． λ＋ μ １６ Ｄ． λ＋ μ ４
２ ３ ３ ４ ４
４． 答案 Ｄ ８． 答案 ＢＤ
５．（２０２１广东深圳一模，８）骑自行车是一种能有效改善心肺功能 ９．（２０２１福建三明三模，９）设Ｐ是 ＯＡＢ内部的一点 以下可能
△ ，
的耐力性有氧运动 深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面 成立的是
， （ ）
结构示意图．已知图中的圆Ａ 前轮 圆Ｄ 后轮 的半径均为
（ ）， （ ） Ｏ→Ｐ ２ Ｏ→Ａ １ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｐ ２ Ｏ→Ａ ４ Ｏ→Ｂ
ＡＢＥ ＢＥＣ ＥＣＤ均是边长为 的等边三角形．设点Ｐ Ａ． ＝ ５ ＋ ５ Ｂ． ＝ ５ ＋ ５
３，△ ，△ ，△ ４
为后轮上的一点 则在骑该自行车的过程中 →ＡＣ Ｂ→Ｐ的最大 Ｏ→Ｐ ２ Ｏ→Ａ １→ＡＢ Ｏ→Ｐ ２ Ｏ→Ａ ４→ＡＢ
， ， · Ｃ． ＝ ＋ Ｄ． ＝ ＋
值为 ５ ５ ５ ５
（ ） ９． 答案 ＡＣ
三、填空题（每小题５分，共１０分）
１０．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，１３）已知平面向量ａ
＝（３，４），
非零向量ｂ满足ｂ ａ 则满足条件的一个向量ｂ ．
⊥ ， ＝
１０． 答案 答案不唯一
（４，－３）（ ）
Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３６ Ｄ．４８ １１．（２０１９广东七校第二次联考，１６）已知Ｇ为 ＡＢＣ的重心 过
５． 答案 Ｃ △ ，
６．（２０２１重庆一模，７）五角星是一个非常优美的几何图形 且与 点Ｇ的直线与边ＡＢ ＡＣ分别相交于点Ｐ Ｑ 若→ＡＰ ３ →ＡＢ 则
， ， ， ， ＝ ，
黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中 以Ａ Ｂ Ｃ ５
， ， ， ， ＡＢＣ与 ＡＰＱ面积的比值为 ．
→ＰＴ △ △
Ｄ Ｅ为顶点的多边形为正五边形 且｜ ｜ ５－１ 若→ＥＳ →ＡＰ
， ， ＝ ， － ＝ １１． 答案 ２０
→ＡＴ ２
｜ ｜ ９
λＢ→Ｑ λ Ｒ 则λ
（ ∈ ）， ＝ （ ）
第五章 平面向量 ２ ３５
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ａ ｂ与ａ ｂ不平行 故 错误
∵５×２－（－３）×１≠０，∴ － ＋ ， Ｃ ；
ａ ｂ与ａ ｂ不垂直 故 错误 故选 ．
１．（２０２１天津和平三模，９）在 ＡＢＣ 中 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０ →ＡＥ ∵１×２＋５×（－３）≠０，∴ － ＋ ， Ｄ ， Ｂ
△ ， ＋ ＋ ＝ ， ＝ ４．（２０２１山西大同３月模拟，１０）如图 Ａ Ｂ Ｃ是圆Ｏ上的三点 ＣＯ
Ｅ→Ｂ →ＡＢ λ →ＡＣ 若→ＡＢ →ＡＣ Ａ→Ｏ Ｅ→Ｃ 则实数λ ， ， ， ，
２ ，｜ ｜＝ ｜ ｜， · ＝９ · ， ＝（ ） 的延长线与线段ＡＢ交于圆内一点Ｄ 若Ｏ→Ｃ ｘ→ＯＡ ｙＯ→Ｂ 则
， ＝ ＋ ，
３ ６ ３ ６
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （ ）
３ ３ ２ ２
答案 Ｄ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０ Ｏ为 ＡＢＣ的重心
∵ ＋ ＋ ＝ ，∴ △ ，
Ａ→Ｏ ２ １ →ＡＢ →ＡＣ １ →ＡＢ →ＡＣ
∴ ＝ × （ ＋ ）＝ （ ＋ ），
３ ２ ３
又 →ＡＥ Ｅ→Ｂ Ｅ→Ｃ →ＡＣ →ＡＥ →ＡＣ ２→ＡＢ
∵ ＝２ ，∴ ＝ － ＝ － ，
３
( )
Ａ→Ｏ Ｅ→Ｃ →ＡＢ →ＡＣ →ＡＣ ２→ＡＢ →ＡＢ →ＡＣ →ＡＢ２ →ＡＣ２ ｘ ｙ ｘ ｙ
∴９ · ＝３（ ＋ ） － ＝ · －２ ＋３ Ａ．０＜ ＋ ＜１ Ｂ． ＋ ＞１
３ ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｃ． ＋ ＜－１ Ｄ．－１＜ ＋ ＜０
→ＡＢ →ＡＣ →ＡＢ２ →ＡＣ２
＝ · ，∴２ ＝３ ， 答案 Ｃ 因为 Ａ Ｄ Ｂ 三点共线 所以Ｏ→Ｄ λ Ｏ→Ａ
→ＡＢ ， ， ， ＝ ＋（１－
∴
λ
＝
｜
｜ →ＡＣ
｜
｜ ＝ ２
３
＝ ２
６．故选
Ｄ
． λ
）
Ｏ→Ｂ
（０＜
λ
＜１），
设Ｏ→Ｃ
＝
μＯ→Ｄ
（ {
μ
＜ ｘ － λ １） μ
．所以Ｏ→Ｃ
＝
μλＯ→Ａ
＋
μ
（１－
２．（２０２１北京海淀二模，５）向量ａ ｂ ｃ在边长为 的正方形网格 λ Ｏ→Ｂ 又Ｏ→Ｃ ｘＯ→Ａ ｙＯ→Ｂ 所以 ＝ ， 即ｙ μ ｘ 所以ｘ
， ， １ ） ， ＝ ＋ ， ｙ μ λ ＝ － ，
中的位置如图所示．若 ｅ 为与 ｃ 同方向的单位向量 则 ＝ （１－ ），
， ｙ μ 又μ 所以ｘ ｙ 故选 ．
ａ ｂ ｅ ＋ ＝ ， ＜－１， ＋ ＜－１， Ｃ
（ ＋ ）· ＝ （ ） ５．（２０２１天津南开二模，９）在直角梯形ＡＢＣＤ中 ＡＤ ＡＢ ＣＤ
， ⊥ ， ∥
ＡＢ ＡＢ ＡＤ ＤＣ Ｅ为ＢＣ边上一点 Ｂ→Ｃ Ｅ→Ｃ Ｆ为直线
， ＝２ ＝２ ＝２， ， ＝３ ，
ＡＥ上一点 则Ｃ→Ｆ Ｆ→Ｂ的最大值为
， · （ ）
６ ６ ９ ９
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
． ． １３ １３ ２０ ２０
Ａ．１５ Ｂ．２ Ｃ．－４５ Ｄ．－３ 答案 Ｃ 如图 建立直角坐标系
答案 Ｄ 解法一 由图 可知 ａ ｂ ｅ ａ ｂ ｅ ， ，
： １ ， ＋ ＝－３ ，∴ （ ＋ ）· ＝－
ｅ２ ． ∴
Ａ
（０，０），
Ｂ
（２，０），
Ｃ
（１，１），
→ＢＣ
＝（－１，１），
３ ＝－３ ( )
Ｂ→Ｃ Ｅ→Ｃ Ｅ→Ｃ １ １
∵ ＝３ ，∴ ＝ － ， ，
３ ３
( ) ( )
Ｅ ４ ２ →ＡＥ ４ ２
∴ ， ，∴ ＝ ， ，
３ ３ ３ ３
直线ＡＥ ｙ １ ｘ
∴ ： ＝ ，
图 图 ２
１ ２ ( ) ( )
解法二 ： 建立如图 ２ 所示直角坐标系 ， 则 ａ ＝（－１，１）， ｂ ＝
Ｆ在ＡＥ上
，
故可设Ｆ ｘ
０，
１
２
ｘ
０ ，
则Ｃ→Ｆ
＝
ｘ
０－１，
１
２
ｘ
０－１ ，
Ｆ→Ｂ
＝
ｅ ａ ｂ ｅ ( )
（
（１
－
，
２
０
，
）
－
＝
１）
－
，
３ ．
＝（１，０），∴ （ ＋ ）· ＝［（－１，１）＋（－２，－１）］·
２－
ｘ
０，－ ２
１ ｘ
０ ，
Ｃ→Ｆ
·
Ｆ→Ｂ
＝－
ｘ２
０＋３
ｘ
０－２－ ４
１ ｘ２
０＋ ２
１ ｘ
０＝－ ４
５ ｘ２
０＋
( )
３．（２０２１云南高三下第一次统一检测，７）已知向量ａ
＝
２
３
，１ ，
ｂ
２
７ ｘ
０－２
．令ｇ
（
ｘ
）＝－
４
５ ｘ２
＋
２
７ ｘ
－２，
当ｘ
＝
５
７ 时
，
ｇ
（
ｘ
）ｍａｘ＝
２
９
０
．
( )
１ 则 ６．（２０２１山西孝义二模，６）已知→ＡＢ α Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ
＝ － ，４ ， （ ） ＝（－１，ｃｏｓ ）， ＝（２，０），
２ α 若Ａ Ｂ Ｄ三点共线 则 α
ａ ａ ｂ ａ ａ ｂ ＝（２，２ｓｉｎ ）， ， ， ， ｔａｎ ＝ （ ）
Ａ． ∥（ － ） Ｂ． ⊥（ － ）
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ １ １
Ｃ．（ － ）∥（ ＋ ） Ｄ．（ － ）⊥（ ＋ ） Ａ．－２ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．２
( ) ( ) ２ ２
答案 Ｂ ∵ ａ ＝ ３ ，１ ， ｂ ＝ － １ ，４ ， 答案 Ａ 由Ｂ→Ｃ ＝（２，０）， Ｃ→Ｄ ＝（２，２ｓｉｎ α ） 可得 ， Ｂ→Ｄ ＝（４，
２ ２
ａ ｂ ａ ｂ α 又知Ａ Ｂ Ｄ 三点共线 则有→ＡＢ Ｂ→Ｄ 所以
∴ － ＝（２，－３）， ＋ ＝（１，５）， ２ｓｉｎ ）， ， ， ， ∥ ， （－１）×
α α 解得 α 故选
３ ２ｓｉｎ ＝４×ｃｏｓ ， ｔａｎ ＝－２， Ａ．
∵ ×（－３）－２×１≠０， ７．（２０２１广西百色重点中学４月模拟，５）已知点Ｐ为 ＡＢＣ所在
２ △
ａ ｂ与ａ不平行 故 错误
∴ － ， Ａ ； 平面内一点 若→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ ０ 点Ｑ是线段ＢＰ的中点 则Ａ→Ｑ
， ＋ ＋ ＝ ， ， ＝
３
∵ ×２＋（－３）×１＝０， （ ）
２
ａ ｂ与ａ垂直 故 正确 １ →ＡＢ ２→ＡＣ ２ →ＡＢ １→ＡＣ
∴ － ， Ｂ ； Ａ． ＋ Ｂ． ＋
６ ３ ３ ３
２ ３６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
上 直线ＡＯ不过ＢＣ边的中点 错误．
１ →ＡＢ １→ＡＣ ２ →ＡＢ １→ＡＣ ，∴ ，Ｃ
Ｃ． － Ｄ． ＋
６ ６ ３ ６ 由Ａ→Ｏ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０ 可得Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ
＋２ ＋３ ＝ ， ＝２ ＋３ ，
答案 Ｄ 由Ｐ→Ｂ
＝
→ＰＡ
＋
→ＡＢ
，
Ｐ→Ｃ
＝
→ＰＡ
＋
→ＡＣ
，
→ＰＡ
＋
Ｐ→Ｂ
＋
Ｐ→Ｃ
＝
０得→ＰＡ
因为 Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ 且Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ
｜ ｜＝｜ ｜＝１， ⊥ ，
＋ Ｐ→Ｂ ＋ Ｐ→Ｃ ＝３ →ＰＡ ＋ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ＝ ０ ， 所以→ＡＰ ＝ １ （ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ）， 又因为点Ｑ 可得 ｜ Ｏ→Ａ ｜ ２ ＝｜２ Ｏ→Ｂ ＋３ Ｏ→Ｃ ｜ ２ ＝４ Ｏ→Ｂ２ ＋１２ Ｏ→Ｂ · Ｏ→Ｃ ＋９ Ｏ→Ｃ２ ＝１３，
３
所以 Ｏ→Ａ 所以 正确．
→ＡＢ →ＡＰ ｜ ｜＝ １３， Ｄ
是线段ＢＰ的中点 所以Ａ→Ｑ ＋ ２→ＡＢ １→ＡＣ 故选 ．
， ＝ ＝ ＋ ， Ｄ 二、多项选择题
２ ３ ６
８．（２０２１山西太原第一次模拟考试，６）已知梯形ＡＢＣＤ中 ＡＢ １０．（２０２１届重庆第一中学第二次月考，１０）下列关于平面向量的
， ∥
说法中 正确的是
ＤＣ 且ＡＢ ＤＣ 点Ｐ在线段ＢＣ上 若→ＡＰ ５ →ＡＢ λＡ→Ｄ 则实 ， （ ）
， ＝２ ， ， ＝ ＋ ， 已知ａ ｂ均为非零向量 则ａ ｂ 存在唯一的实数λ 使
６ Ａ． ， ， ∥ ⇔ ，
数λ 得ｂ λａ
＝ （ ） ＝
３ ２ １ １ 若向量→ＡＢ Ｃ→Ｄ共线 则点Ａ Ｂ Ｃ Ｄ必在同一直线上
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｂ． ， ， ， ， ，
４ ３ ３ ２ 若ａ ｃ ｂ ｃ且ｃ ０ 则ａ ｂ
答案 Ｃ 如图 延长ＡＤ ＢＣ交于点Ｅ 因为ＡＢ ＣＤ 且ＡＢ Ｃ． · ＝ · ≠ ， ＝
， ， ， ∥ ， 若点Ｇ为 ＡＢＣ的重心 则→ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０
Ｄ． △ ， ＋ ＋ ＝
＝２ ＣＤ ， 所以点Ｄ是ＡＥ的中点 ， 所以Ａ→Ｄ ＝ １→ＡＥ ， 所以→ＡＰ ＝ ５→ＡＢ 答案 ＡＤ 由共线向量定理知 正确
，Ａ ；
２ ６
对于选项 若两个向量共线 则两个向量所在直线平行或重
λ λ
＋
λＡ→Ｄ
＝
５→ＡＢ
＋
→ＡＥ
，
因为Ｂ
，
Ｐ
，
Ｅ三点共线
，
所以 ５
＋ ＝１， 合 因此
Ｂ
不
，
正确
，
６ ２ ６ ２ ， Ｂ ；
对于选项 由ａ ｃ ｂ ｃ且ｃ ０ 可得 ａ ｂ ｃ 则 ａ
解得λ １ 故选 ． Ｃ， · ＝ · ≠ ， （ － ）· ＝０， （ －
＝ ， Ｃ ｂ ｃ ａ与ｂ不一定相等 不正确
３ ）⊥ ， ，Ｃ ；
对于选项 延长ＡＧ交ＢＣ于点Ｍ 则点Ｍ是线段ＢＣ的中
Ｄ， ，
点 则Ａ→Ｇ Ｇ→Ｍ １ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ 则Ｇ→Ａ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０
， ＝２ ＝２× （ ＋ ）＝ ＋ ， ＋ ＋ ＝ ，
２
正确 选 ．
Ｄ ， ＡＤ
１１．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，１０）八卦是中国文化
的基本哲学概念 如图 是八卦模型图 其平面图形记为图
， １ ， ２
９．（２０２１河南中原名校联盟３月联考，１０）已知点Ｏ为
△
ＡＢＣ所 中的正八边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ
，
其中ＯＡ
＝１，
则以下结论正确的是
在平面内一点 且Ａ→Ｏ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０ 则下列选项错误的是 （ ）
， ＋２ ＋３ ＝ ，
（ ）
Ａ→Ｏ １→ＡＢ ３→ＡＣ
Ａ． ＝ ＋
２ ４
Ｓ Ｓ
Ｂ． △ ＡＯＢ ∶ △ ＡＯＣ＝３ ∶ ２
直线ＡＯ必过ＢＣ边的中点
Ｃ．
若 Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ 且Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ 则 Ｏ→Ａ
Ｄ． ｜ ｜＝｜ ｜＝１， ⊥ ， ｜ ｜＝ １３
答案 Ｃ 如图所示 ＡＯ与ＢＣ交于点Ｅ Ｄ为ＢＣ的中点．
， ，
由点Ｏ为 ＡＢＣ所在平面内一点 且Ａ→Ｏ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０
△ ， ＋２ ＋３ ＝ ， Ｈ→Ｄ Ｂ→Ｆ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｄ ２
可得Ａ→Ｏ
＋２
Ｏ→Ｂ
－２
Ｏ→Ａ
＋３
Ｏ→Ｃ
－３
Ｏ→Ａ
＋５
Ｏ→Ａ
＝
０
，
即
４
Ａ→Ｏ
＝２（
Ｏ→Ｂ
－
Ａ． · ＝０ Ｂ． · ＝－
２
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｈ Ｏ→Ｅ Ａ→Ｈ Ｆ→Ｈ
）＋３（ － ）， Ｃ． ＋ ＝－ ２ Ｄ．｜ － ｜＝ ２－ ２
即 Ａ→Ｏ →ＡＢ →ＡＣ 所以Ａ→Ｏ １→ＡＢ ３→ＡＣ 所以 正确 答案 ＡＢＣ 正八边形每一个中心角为２π π．
４ ＝２ ＋３ ， ＝ ＋ ， Ａ ； ＝
２ ４ ８ ４
由Ａ→Ｏ
＋２
Ｏ→Ｂ
＋３
Ｏ→Ｃ
＝
０得
（
Ａ→Ｏ
＋
Ｏ→Ｃ
）＋２（
Ｏ→Ｂ 对于
Ａ
选项
，
因为 ＨＤ 与 ＢＦ 互相垂直
，
所以Ｈ→Ｄ
·
Ｂ→Ｆ
＝０，Ａ
正确
Ｏ→Ｃ ０ ；
＋ ）＝ ，
∴
→ＡＣ
＝－２（
Ｏ→Ｂ
＋
Ｏ→Ｃ
）＝－４
Ｏ→Ｄ
，
对于
Ｂ
选项
，
因为
∠
ＡＯＤ
＝
３π
，
４
→ＡＣ Ｏ→Ｄ 且ＡＣ ＯＤ
∴ ｜ ｜＝４｜ ｜， ∥ ， 所以Ｏ→Ａ Ｏ→Ｄ ２ 因此 正确
ＤＥ ＯＤ ＢＥ · ＝－ ， Ｂ ；
所以 １ 所以 ＤＥ １ ＥＣ 则 ＥＣ ２ ＢＣ 所以 ２
ＥＣ＝ ＡＣ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＥＣ 对于 选项 由于ＯＢ与ＯＨ互相垂直
４ ４ ５ Ｃ ， ，
３ ． ＯＡ平分 ＢＯＨ 且Ｏ→Ａ Ｏ→Ｅ
＝ ∠ ， ＝－ ，
２ 因此Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｈ Ｏ→Ｅ成立 从而 正确
＋ ＝－ ２ ， Ｃ ；
１ ＡＯ ＢＥ ＡＥＢ
所以
Ｓ
△ ＡＯＢ ２
· ｓｉｎ∠ ＢＥ
３ 正确．
对于
Ｄ
选项
，｜
Ａ→Ｈ
－
Ｆ→Ｈ
｜＝｜
Ａ→Ｈ
＋
Ｈ→Ｆ
｜＝｜
→ＡＦ
｜，
Ｓ ＝ ＝ＥＣ＝ ，Ｂ
△ ＡＯＣ １ ＡＯ ＥＣ ＯＥＣ ２ 在 ＡＯＦ中 →ＡＦ →ＡＦ２ Ｏ→Ｆ Ｏ→Ａ ２
· ｓｉｎ∠ △ ，｜ ｜＝ ＝ （ － ）
２
ＡＣ ＯＤ ＡＣ ＯＡ Ａ ＯＡ与ＯＤ不平行 即Ｄ不在直线ＯＡ Ｏ→Ａ２ Ｏ→Ｆ２ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｆ
∵ ∥ ， ∩ ＝ ，∴ ， ＝ ＋ －２ ·
第五章 平面向量 ２ ３７
３π 因此 不正确．综上 Ａ→Ｍ １ Ａ→Ｎ Ｍ Ｏ Ｎ三点共线 １ １ １ １
＝ １＋１－２×１×１×ｃｏｓ ＝ ２＋ ２， Ｄ ， ＋ μ ，∵ ， ， ，∴ λ＋ μ＝１，∴ λ ＋ μ ＝３，
４ ３ ３ ３
选 ．
ＡＢＣ １ １ 为定值 与直线ｌ的位置无关 故 不正确
∴ λ＋ μ ， ， ③ ；
三、填空题
１２．（２０２１江西赣中南五校第二次联考，１５）已知 ＡＢＣ的重心为Ｇ Ｓ １ ·｜ ＡＭ ｜·｜ ＡＮ ｜·ｓｉｎ∠ ＢＡＣ ＡＭ ＡＮ
△ ， △ ＡＭＮ ２ ｜ ｜·｜ ｜ λ
过Ｇ点的直线与边ＡＢ和ＡＣ的交点分别为Ｍ和Ｎ
，
若Ａ→Ｍ
＝
λ ④Ｓ
△ ＡＢＣ
＝
１ ＡＢ ＡＣ ＢＡＣ
＝
｜
ＡＢ
｜·｜
ＡＣ
｜
＝ ·
·｜ ｜·｜ ｜·ｓｉｎ∠
Ｍ→Ｂ 且 ＡＭＮ 与 ＡＢＣ 的面积的比值为２５ 则实数λ ２
， △ △ ， ＝
５４ μ．又 １ １ １ λμ ４ 当且仅当 λ μ ２
． λ＋ μ ＝３≥２ λ μ，∴ ≥ ， ＝ ＝
· ９ ３
时 等号成立 所以 ＡＭＮ与 ＡＢＣ的面积之比的最小值为
答案 或 ５ ， ， △ △
５
４ ４ 故 正确．故答案为 ．
解析
(
设Ａ→Ｎ
＝ )
ｘ→ＡＣ
，
因为Ｇ为
△
ＡＢＣ的
λ
重心
，
所以→ＡＢ
＋
→ＡＣ
＝ １４．（ ９ ２０
，
２１
④
浙江“９＋１”联盟４
①
月
④
联考，１６）已知点Ｏ是 ＡＢＣ的外
→ＡＧ 即 １ Ａ→Ｍ １ Ａ→Ｎ →ＡＧ 所以 ＋１Ａ→Ｍ １ Ａ→Ｎ →ＡＧ △
３ ， １＋λ ＋ ｘ ＝３ ， λ ＋ ｘ ＝ ， 心 ＢＡＣ ° 设Ａ→Ｏ ｍ→ＡＢ ｎ→ＡＣ 且实数ｍ ｎ满足ｍ ｎ
３ ３ ，∠ ＝６０ ， ＝ ＋ ， ， ＋４ ＝
λ λ 则ｍｎ的值是 ．
由于Ｍ Ｎ Ｇ三点共线 所以 ＋１ １ 即ｘ 因为 ２，
， ， ， λ ＋ ｘ＝１， ＝ λ ①， 答案
３ ３ ２ －１ ０
解析 设 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ．
Ｓ
△ ＡＢＣ＝
１
｜
→ＡＢ
｜·｜
→ＡＣ
｜·ｓｉｎ
Ａ
，
Ｓ
△ ＡＭＮ＝
１
｜
Ａ→Ｍ
｜·｜
Ａ→Ｎ
｜· △ ， ， ， ， ，
２ ２ 将Ａ→Ｏ ｍ→ＡＢ ｎ→ＡＣ两端分别与→ＡＢ →ＡＣ作内积
λ ＝ ＋ 、 ，
Ａ 所以 Ｓ △ ＡＭＮ ｜ Ａ→Ｍ ｜·｜ Ａ→Ｎ ｜ λ ＋１ ｜ →ＡＢ ｜· ｘ ｜ →ＡＣ ｜ ｘ · λ ì ï ï １ ｜ →ＡＢ ｜ ２ ＝ Ａ→Ｏ · →ＡＢ ＝ ｍ→ＡＢ２ ＋ ｎ→ＡＣ · →ＡＢ ，
ｓｉｎ ， Ｓ △ ＡＢＣ ＝ ｜ →ＡＢ ｜·｜ →ＡＣ ｜ ＝ ｜ →ＡＢ ｜·｜ →ＡＣ ｜ ＝ λ ＋１ ＝ 得í ï ２
２５ 联立 解得λ 或 ５ ． î ï１ ｜ →ＡＣ ｜ ２ ＝ Ａ→Ｏ · →ＡＣ ＝ ｍ→ＡＢ · →ＡＣ ＋ ｎ→ＡＣ２．
②， ①② ＝５ ２
５４ ４ ì ì ｂ
１３．（２０２１北京门头沟一模，１５）正 △ ＡＢＣ的边长为 １， 中心为Ｏ ， ï ï １ ｃ ＝ ｃｍ ＋ １ ｂｎ ， ï ï ｍ ＝ ２ － ｃ，
又 ＢＡＣ ° 所以í２ ２ 解得í ３ ３ 所以
过Ｏ的动直线ｌ与边ＡＢ ， ＡＣ分别相交于点Ｍ 、 Ｎ ， Ａ→Ｍ ＝ λ→ＡＢ ， ∠ ＝６０ ， ï ï１ ｂ １ ｃｍ ｂｎ ï ïｎ ２ ｃ
Ａ→Ｎ
＝
μ→ＡＣ
，
Ｂ→Ｄ
＝
Ｄ→Ｃ．给出下列四个结论
： ( )( )
î
２
＝
２
＋ ， î ＝
３
－
３
ｂ，
①
Ａ→Ｏ
＝
１→ＡＢ
＋
１→ＡＣ
；
ｍ
－
２ ｎ
－
２
＝
１ ．
３ ３ ３ ３ ９
②
若Ａ→Ｎ
＝２
Ｎ→Ｃ
，
则Ａ→Ｄ
·
Ｎ→Ｃ
＝－
１
；
又ｍ
＋４
ｎ
＝２，
联立可得ｍ
＝０，
ｎ
＝
１
，
所以ｍｎ
＝０
．
４ ２
１５．（２０２１浙江稽阳联谊４月模考，１７）已知Ｏ为坐标原点 Ｅ为
１ １ 不是定值 与直线ｌ的位置有关 ，
③λ＋ μ ， ； 平面内一定点且 Ｏ→Ｅ 平面内的动点Ｐ满足 存在实数λ
｜ ｜＝１， ：
④△
ＡＭＮ与
△
ＡＢＣ的面积之比的最小值为 ４ ．
≥１，
使
｜
λＯ→Ｐ
＋（１－
λ
）
Ｏ→Ｅ
｜＝
１
，
若点Ｐ的轨迹为平面图形Ｓ
，
９ ２
其中所有正确结论的序号是 ． 则Ｓ的面积为 ．
答案
①④
解析 如图 答案 π ３
， ＋
６ ４
解析 设Ｏ→Ｑ λ Ｏ→Ｐ λ Ｏ→Ｅ 则Ｅ→Ｑ λ Ｅ→Ｐ λ 且
＝ ＋（１－ ） ， ＝ （ ≥１），
Ｏ→Ｑ １ 所以点Ｑ的轨迹是以Ｏ为圆心 １ 为半径的圆
｜ ｜＝ ， ， ，
２ ２
所以ＥＰ的延长线与以Ｏ为圆心 １ 为半径的圆 如图 有公
， （ ）
２
① 连接ＡＤ ， 因为Ｂ→Ｄ ＝ Ｄ→Ｃ ，∴ Ｄ是ＢＣ的中点 ， 因为 △ ＡＢＣ为 共点 所以点Ｐ的轨迹如图中阴影部分所示 其中ＡＥ ＢＥ分
， ， ，
正三角形 Ｏ是 ＡＢＣ 的中心 Ａ Ｏ Ｄ 三点共线 Ａ→Ｏ
， △ ，∴ 、 、 ，∴ ＝ 别与圆相切 ＯＥ ＯＡ ＯＢ １ 则 ＡＯＢ ２π
，｜ ｜＝１，｜ ｜＝｜ ｜＝ ， ∠ ＝ ，
２ Ａ→Ｄ ２ １ →ＡＢ →ＡＣ １→ＡＢ １→ＡＣ 故 正确 ２ ３
＝ · （ ＋ ）＝ ＋ ， ① ； ( )
３ ３ ２ ３ ３ 从而该平面图形的面积为 １ ４π １ ２ １ １ ３
· · ＋２× × × ＝
若Ａ→Ｎ Ｎ→Ｃ 则Ｎ→Ｃ １→ＡＣ．Ａ→Ｄ Ｎ→Ｃ １ →ＡＢ →ＡＣ １ →ＡＣ ２ ３ ２ ２ ２ ２
② ＝２ ， ＝ · ＝ （ ＋ ）· ＝
３ ２ ３
π ３．
１→ＡＢ · →ＡＣ ＋ １→ＡＣ２ ＝ １ ｜ →ＡＢ ｜·｜ →ＡＣ ｜·ｃｏｓ∠ ＢＡＣ ＋ １ ×１ ２ ＝ １ ６ ＋ ４
６ ６ ６ ６ ６
π １ １ ．故 不正确．
×１×１×ｃｏｓ ＋ ＝ ②
３ ６ ４
由题意知 λ μ 由 知Ａ→Ｏ １ →ＡＢ １ →ＡＣ １
③ ０＜ ＜１，０＜ ＜１， ① ＝ ＋ ＝ λ·
３ ３ ３
２ ３８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
学生用书Ｐ８７
１．（２０２１ ５·３ 原创题）在正六边形ＡＢＣＤＥＦ中 对角线ＢＤ ＣＦ 若ａ 把ａ向右平移 个单位 得到的向量的坐标为
， ， Ｃ． ＝（１，１）， ２ ，
相交于点Ｐ．若→ＡＰ ＝ ｘ→ＡＢ ＋ ｙ→ＡＦ ， 则ｘ ＋ ｙ ＝ （ ） （３，１）
æ →ＣＡ Ｃ→Ｂ ö
Ａ．２ Ｂ．
５
２ Ｃ．３ Ｄ．
７
２ Ｄ．
在
△
ＡＢＣ中
，
若Ｃ→Ｐ
＝
λ
è
ç
→ＣＡ ＋ Ｃ→Ｂ ø
÷
，
λ
∈
Ｒ
，
则Ｐ点的轨迹
｜ ｜ ｜ ｜
１． 答案 Ｂ
经过 ＡＢＣ的内心
△
２．（多选题）（２０２１ ５·３原创题）三角形ＡＢＣ中 ， ＡＢ ＝ ＡＣ ， Ｄ在线 ３． 答案 ＡＢＤ
段ＢＣ上 →ＡＣ →ＡＢ λＢ→Ｄ 下列说法正确的是 ４．（２０２１ ５·３原创题）如图 在 ＡＢＣ中 Ｍ Ｎ分别是边ＡＢ ＡＣ
， ＝ ＋ ， （ ） ， △ ， ， ，
Ａ． λ ∈（０，１） 的中点 ， 点Ｏ是线段 ＭＮ 上异于端点的一点 ， 且满足 λ Ｏ→Ａ ＋
Ｂ． 若Ａ→Ｄ ＝ ｍ→ＡＢ ＋ ｎ→ＡＣ ， 则ｎλ ＝１ ３ Ｏ→Ｂ ＋４ Ｏ→Ｃ ＝ ０ （ λ ≠０）， 则λ ＝ ．
若 ＢＡＣ ° ＡＤ ＢＤ 则λ
Ｃ． ∠ ＝１２０ ， ＝ ， ＝３
若λ 则Ａ→Ｄ →ＡＢ →ＡＣ
Ｄ． ＝２， ＝ ＋
２． 答案 ＢＣ
３．（多选题）（２０２１ ５·３原创题）下列命题正确的是
（ ）
→ＡＢ →ＡＣ Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ ０
Ａ． － ＋ － ＝
Ｂ． 在 △ ＡＢＣ中 ， 若Ｏ点满足Ｏ→Ａ ＋ Ｏ→Ｂ ＋ Ｏ→Ｃ ＝ ０ ， 则Ｏ点是 △ ＡＢＣ的 ４． 答案
重心 ７
