十年大数据*全景展示
大数据分析*预测高考
专题 15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理
年
份
题号
考
点
考 查 内 容
2014
卷
1
文6
平面向量的概念与线性运算
主要考查平面向量的线性运算
2015
卷
1
理 7
平面向量基本定理及其应用
主要考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理
卷
2
理 13
平面向量的概念与线性运算
主要考查平面向量共线的充要条件
卷
1
文 2
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量的坐标与点坐标的关系、平面向量坐
标运算
2016
卷
2
文 13
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量坐标的线性运算及向量共线的充要
条件
2018
卷
1
理 6
文 7
平面向量基本定理及其应用
主要考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理
卷
3
理 13
文 13
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件
2019
卷
2
文 3
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量坐标运算及模公式
考
点
出现频率
2021 年预测
考点 47 平面向量的概念与线性运算2/8
2021 年高考仍将重点考查向量的线性运算及向量共
线的充要条件，难度为基础题或中档题，题型为选择
题或填空题．
考点 48 平面向量基本定理及其应用2/8
考点 49 平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
4/8
十年试题分类*探求规律
考点 47 平面向量的概念与线性运算
1．(2014
新课标I
，文6)
设D, E, F 分别为ABC
的三边BC, CA, AB
的中点，则EB FC
3
3
A. BC
B．
【答案】C
1
AD
2
C． AD
D．
1
BC
2
【解析】EB FC 1
(CB AB)
1
(BC AC) = 1
( AB AC) = AD ，故选 C．
2
2
2
2．(2014 福建)在下列向量组中，可以把向量a 3,2 表示出来的是
A． e1 (0,0),e2 (1,2)
C． e1 (3,5),e2 (6,10)
【答案】B
B． e1 (1,2),e2 (5,2)
D． e1 (2,3),e2 (2,3)
【解析】对于 A，C，D，都有e1 ∥ e2 ，所以只有 B 成立．
考点 48 平面向量基本定理及其应用
1．(2020 江苏 13)在ABC 中， AB 4 ， AC 3 ， BAC 90， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P ，使
得
3
AP 9
，若PA mPB (
2
m)PC (
m
为常数)，则CD 的长度是 ．
18
【答案】
5
3
【解析】由向量系数m ( m)
为常数，结合等和线性质可
知
2
2
PA
PD
2 ，
1
故PD 2 PA 6 ， AD PA PD 3 AC ，故C CDA ，故CAD 2C ．
3
AC
3
CD
AD
在ABC 中， cos C
；在ADC 中，由正弦定理得
，
BC
5
sin CAD
sin C
sin( 2C)
sin 2C
3
18
即CD
AD
AD 2 cos C AD 2 3
．
sin C
sin C
5
5
2．(2018•
Ⅰ
新课标，理 6 文 7)在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB (
)
A． 3
1
B． 1
3
C． 3
1
D． 1
3
AB
AC
4
4
【答案】A
AB
AC
4
4
AB
AC
4
4
AB
AC
4
4
2
EB
AB
AE
AB
AD
1
1
AB
AC
【解析】在ABC
中，AD
为BC
边上的中线，E
为AD 的中点，
∴
1
2
AB
2
2
( AB
AC)
3
1
，故选 A ．
4
4
3．(2015 新课标Ⅰ，理 7)设 D 为?ABC 所在平面内一点 BC 3CD ，则( )
(A) AD
1
AB
4
AC
(B) AD
1
AB
4
AC
3
3
3
3
(C) AD
4
1
AB
AC
(D) AD
4 1
AB
AC
3
3
3
3
【答案】A
1
1
1
4
【解析】由题知AD AC CD AC
BC AC
3
3
( AC AB) =
AB
3
3
AC ，故选 A．
4．(2013 广东)设a 是已知的平面向量且a 0 ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量 c ，使 a b c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数和，使a b c ；
③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使a b c ；
④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c ；
上述命题中的向量b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的
终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三
角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 b c =+ a ，所以④是假命题．综上，本题
选 B．
5．(2017 江苏)如图，在同一个平面内，向量OA ， OB ， OC 的模分别为 1，1，， OA 与OC 的夹角
为 ， 且 tan 7 ， OB 与 OC 的夹角为 45
． 若 OC = m OA + n OB ( m ， n R ) ， 则
m n =
．
【答案】3
【解析】由tan 7 可得sin 7 2 ， cos 2 ，由OC = m OA + n OB 得
10
10
2
OC OA mOA nOB OA
2 cos m n cos( 45 )
2 ，即
，两式相加得，
2 cos 45
mcos( 45
) n
OC OB mOB OA nOB
2(cos cos 45
) (m n)(1 cos( 45
)) ，所以
2
2
2
2
m n
2 cos
2 cos 45
10
2
3 ，所以 m n 3 ．
1 cos( 45
)
2
2
7 2
2
1
10
2
10
2
6．(2013 北京)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b (λ，μ∈R)，则
=
．
【答案】4
1
【解析】 如图建立坐标系，则 a 1,1 ，b 6, 2 ，c 1, 3 ．由c a b ，可得 2,
，
2
∴
4
7．(2015 北京)在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM 2MC ， BN NC ，若 MN x AB y AC ，则 x
2
AB
c / /(2a
a
| a b |
； y ．
1
【答案】
2
1
-
6
1
1
1
1
1
1
【解析】由 MN MC CN
AC
CB
AC
( AB AC )
AB
AC = x AB y AC ．所
3
2
3
2
2
6
1
1
以 x =
， y = - ．
2
6
考点 49 平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件
1．(2019•
Ⅱ
新课标，文 3)已知向量 a (2, 3) ， b (3, 2) ，则| a b | (
)
A．
【答案】A
B.2
C．
5
D．50
【解析】 a (2, 3) ，b (3, 2) ， b (2 ，3) (3 ，2) (1 ，1) ，
，故选 A ．
2．(2013 辽宁)已知点 A(1, 3) ， B(4, 1) ，则与向量 AB 同方向的单位向量为
3
4
4
3
3 4
4 3
A． ，-
B
． ，-
C．
，
D． ，
5
5
【答案】A
5
5
5 5
5 5
【解析】 AB (3, 4) ，所以| AB | 5 ，这样同方向的单位向量是 1
(3 , 4 ) ．
5
5
5
3．(2011 广东)已知向量a =(1，2)
，b =(1，0)
，c =(3，4)．若
为实数，(a b)∥c ，则=
A.
1
4
【答案】B
B.
1
2
C．1
D．2
【解析】a b (1 , 2) ，由(a b) ∥ c ，得6 4(1 ) 0 ，解得 1
2
4．( 2018•新课标Ⅲ，理 13)已知向量 a (1, 2) ， b (2, 2) ， c (1,) ．若 b) ，则．
【答案】 1
2
【解析】
向量a (1, 2)
，b (2, 2) ，
b (4, 2) ， c (1,) ，
b) ，
2a
1 ，解得 1 ．
c / /(2a
4
2
2
5．(2016 新课标，文 13) 已知向量 a =(m，4)，b=(3，−2)，且 a∥b，则 m=
．
x
【答案】6
2
2
(1)2 12
5
1
【解析】向量 a ， b 不平行，向量a b 与 a 2b 平行，
a b t(a 2b) ta 2tb
【解析】因为 a∥b，所以2m 4 3 0 ，解得 m 6 ．
6．(2015•新课标Ⅱ，理 13)设向量 a ， b 不平行，向量
b 与 2b 平行，则实数．
【答案】 1
2
a
a
t
1
2t
，解得实数 1 ．
2
7．(2015 江苏)已知向量a (2,1) ， b (1, 2) ，若 ma nb (9, 8) ( m, n R)，
则m
n
的值为 ．
【答案】－3
【解析】由题意得：2m n 9, m 2n 8 m 2, n 5, m n 3.
8．(2014 北京)已知向量a 、b 满足 a 1 ， b (2,1) ，且a b 0 ( R )，则 ．
【答案】
cos 2
【解析】∵| a | 1，∴可令 a (cos, sin) ，∵ a b 0 ，∴ cos 2 0
，即
，解
sin1 0
sin 1
得
2 5 得| |
．
9．(2014 陕西) 设0 ，向量a sin 2，cos ， b cos，1，若a ∥b ，则
2
tan．
1
【答案】
2
【解析】∵a ∥b
，∴sin 2 cos
2
，∴2 sincos cos
2 ，∵
(0,
)
2
，∴ tan
．
2
5
