1
1.集合、常用逻辑用语、不等式
1.(2023 北京,1)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},则M∩N=( )
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2<x≤1}
C.{x|x≥-2}
D.{x|x<1}
2.(2023 贵州贵阳模拟)已知命题p:∀n∈N,2n-2 不是素数,则p 为( )
A.∃n∉N,2n-2 是素数
B.∀n∈N,2n-2 是素数
C.∀n∉N,2n-2 是素数
D.∃n∈N,2n-2 是素数
3.(2023 新高考Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( )
A.2
B.1
C.2
3
D.-1
4.(2023 全国甲,理7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.(2023 广东广州模拟)已知集合A={(x,y)|x-y+1=0},B={(x,y)|x2+y2=1},则集合A∩B 的子集个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
6.(2023 全国甲,理1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=( )
A.{x|x=3k,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}
D.⌀
7.(2023 新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n 项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{ Sn
n }为等差数列,则
(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.(2023 山东潍坊二模)已知集合M={x|x+1≥0},N={x|2x<1},则下列Venn 图中阴影部分可以表示集
合{x|-1≤x<0}的是( )
9.(2023 辽宁朝阳模拟)命题“∀x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.(-8,0)
B.(-8,0]
C.[-8,0]
D.(-3,0)
10.(2023 山西阳泉二模)已知m<n,则下列结论正确的是( )
A.m2<n2
B.1
n < 1
m
C.2m<2n
D.lg m<lg n
11.(2023 北京房山二模)已知函数f(x)={
2 x
2+ax - 3
2 , x ≤1,
2a x
2+ x, x>1,
则“a≤0”是“f(x)在R 上单调递减”的
( )
2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2023 湖南长沙模拟)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1 800 平方米的
矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2 米的人行通道,则种植
花卉区域的面积的最大值是( )
A.1 208 平方米
B.1 448 平方米
C.1 568 平方米
D.1 698 平方米
13.(多选题)(2023 广东深圳外国语学校模拟)已知p:∀x∈R,x2-ax+1>0 恒成立;q:∀x>0,x+a
x >2 恒成立.
则( )
A.“a<2”是p 的充分不必要条件
B.“a<2”是p 的必要不充分条件
C.“a>2”是q 的充分不必要条件
D.“a>2”是q 的必要不充分条件
14.(多选题)(2023 山东潍坊二模)已知实数a>b>0,则( )
A.b
a < b+2
a+2
B.a+1
b>b+1
a
C.ab>ba
D.lga+b
2
> lga+lgb
2
15.(2023 湖北武汉模拟)如图,在△ABC 中,M 为线段BC 的中点,G 为线段AM 上一点,⃗AG=2⃗GM,过点
G 的直线分别交直线AB,AC 于P,Q 两点,⃗AB=x⃗AP(x>0),⃗AC=y⃗AQ(y>0),则4
x +
1
y +1的最小值为(
)
A.3
4
B.9
4
C.3
D.9
16.(多选题)(2023 山东聊城一模)设a>0,b>0,且a+2b=2,则( )
A.ab 的最大值为1
2
B.a+b 的最小值为1
C.a2+b2的最小值为4
5
D.a-b+2
ab
的最小值为9
2
17.(2023 山东济南三模)已知正数x,y 满足4x+2y=xy,则x+2y 的最小值为 .
18.(2023 山东潍坊二模)若“x=α”是“sin x+cos x>1”的一个充分条件,则α 的一个可能值是
.
19.(2023 河北衡水中学模拟)设命题p:∀x∈(√2,2),x+2
x >a,若p 是假命题,则实数a 的取值范围是
.
3
20.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,则9a-c 的取值范围是 .
4
1.集合、常用逻辑用语、不等式
1.A 解析 由题意得,M={x|x+2≥0}={x|x≥-2},N={x|x-1<0}={x|x<1},则M∩N={x|-2≤x<1}.
2.D 解析 命题p 为全称量词命题,该命题的否定为p:∃n∈N,2n-2 是素数.
3.B 解析 ∵A⊆B,∴a-2=0 或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A⊄B;若2a-2=0,
则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B 成立.故选B.
4.B 解析 若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α+cos β=0,故乙不
一定成立.
若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
5.A 解析 集合B 中圆的半径为1,圆心(0,0)到集合A 中直线的距离d= 1
√2 = √2
2 <1,所以直线与
圆相交,有两个交点,即集合A∩B 中有两个元素,其子集个数为4.
6.A 解析 由题意知集合M 表示除以3 余1 的整数构成的集合,集合N 表示除以3 余2 的整数
构成的集合,因为U 为整数集,所以∁U(M∪N)表示能被3 整除的整数构成的集合,即
∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.
7.C 解析 (充分性)若{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n(n-1)
2
d,则Sn
n =a1+
n-1
2
d=d
2 n+a1-d
2 ,
故Sn+1
n+1 - Sn
n = d
2 , d
2 为常数,则{Sn
n }为等差数列,则甲是乙的充分条件.
(必要性)反之,若{Sn
n }为等差数列,设Sn
n =An+B,A≠0,则Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B.当n≥2 时,an=Sn-
Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.当n=1 时也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的
必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C.
8.A 解析 ∵M={x|x+1≥0}={x|x≥-1},N={x|2x<1}={x|x<0},
∴M∩N={x|-1≤x<0}.由Venn 图知,选项A 符合要求.
9.C 解析 因为∀x∈R,2kx2+kx-1<0 为真命题,
则k=0 或{
k <0,
k
2+8k <0,解得-8<k≤0.
对于A,(-8,0)⫋(-8,0],(-8,0)是命题“∀x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的充分不必要条件,故A 错误;
对于B,(-8,0]是命题“∀x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的充要条件,故B 错误;
对于C,(-8,0]⫋[-8,0],[-8,0]是命题“∀x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的必要不充分条件,故C 正确;
对于D,(-3,0)⫋(-8,0],(-3,0)是命题“∀x∈R,2kx2+kx-1<0”为真命题的充分不必要条件,故D 错误.
10.C 解析 根据题意可知,不妨取m=-1,n=1,
则m2=1,n2=1,此时不满足m2<n2,故A 错误;
易得1
n=1, 1
m=-1,此时1
n > 1
m,故B 错误;
对于D,lg m 无意义,故D 错误,
由指数函数单调性可得,当m<n 时,2m<2n,故C 正确.
11.B 解析 若f(x)={
2 x
2+ax - 3
2 , x ≤1,
2a x
2+ x, x>1
在R 上单调递减,
5
则{
- a
4 ≥1,
a<0,
- 1
4 a ≤1,
2+a- 3
2 ≥2a+1,
解得a≤-4.
所以“a≤0”是“f(x)在R 上单调递减”的必要而不充分条件.
12.C 解析 设AB=x 米,则种植花卉区域的面积S=(x-4)(
1 800
x
-2)=-2x-7 200
x
+1 808.因为
x>0,所以2x+7 200
x
≥2√14 400=240,当且仅当x=60 时,等号成立,
则S≤-240+1 808=1 568,即当AB=60 米,BC=30 米时,种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是
1 568 平方米.
13.BC 解析 已知p:∀x∈R,x2-ax+1>0 恒成立,则方程x2-ax+1=0 无实根,所以Δ=a2-4<0 恒成立,
即-2<a<2,故“a<2”是p 的必要不充分条件,故A 错误,B 正确;
q:∀x>0,x+a
x >2 恒成立,所以a>-x2+2x 在x>0 时恒成立,又函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1 的最大值为
y=1,所以a>1,故“a>2”是q 的充分不必要条件,故C 正确,D 错误.故选BC.
14.ABD 解析 b
a - b+2
a+2 = 2(b-a)
a(a+2)<0,则b
a < b+2
a+2,故选项A 正确;
a+1
b-b-1
a=(a-b)+a-b
ab =(a-b)(1+ 1
ab)>0,
则a+1
b>b+1
a,故选项B 正确;
当a=4,b=2 时,ab=ba,故选项C 错误;
由a+b
2
>√ab(等号取不到),则lga+b
2
>lg√ab= lga+lgb
2
,故选项D 正确.故选ABD.
15.B 解析 因为M 为线段BC 的中点,所以⃗AM = 1
2 (⃗AB+⃗AC).
又因为⃗AG=2⃗GM,所以⃗AG = 2
3⃗AM = 1
3 (⃗AB+⃗AC).
又⃗AB=x⃗AP(x>0),⃗AC=y⃗AQ(y>0),
所以⃗AG = x
3⃗AP+ y
3⃗AQ.
又P,G,Q 三点共线,所以x
3 + y
3 =1,即x+y=3,
所以4
x +
1
y +1 = 1
4 ( 4
x +
1
y +1)[x+(y+1)]=
1
4[4+
x
y +1 + 4( y +1)
x
+1]≥1
4(5+2√
x
y +1 · 4( y +1)
x
)= 9
4
,当且仅当
x
y +1 = 4( y +1)
x
,即
x=8
3,y=1
3时,等号成立.
16.ACD 解析 对于A 选项,由基本不等式可得2=a+2b≥2√2ab,可得ab≤1
2,当且仅当a=2b=1
时,等号成立,故A 正确;
对于B 选项,由a+2b=2 可得0<2b<2,解得0<b<1,
6
所以a+b=2-b∈(1,2),故B 错误;
对于C 选项,由a+2b=2 可得,a=2-2b,则a2+b2=(2-2b)2+b2=5b2-8b+4=5(b- 4
5)
2
+ 4
5 ≥4
5 ,当且仅当
b=4
5 时,等号成立,故a2+b2的最小值为4
5 ,故C 正确;
对于D 选项,a-b+2
ab
= a-b+(a+2b)
ab
= 2a+b
ab
= 1
a + 2
b.
因为1
a + 2
b = 1
2(a+2b)(
1
a + 2
b)= 5
2 + b
a + a
b ≥5
2+2√
b
a · a
b = 9
2,当且仅当a=b=2
3时,等号成立,故
a-b+2
ab
的最小值为9
2,故D 正确.
故选ACD.
17.18 解析 因为4x+2y=xy,则4 x +2 y
xy
= 4
y + 2
x =1.又x,y 是正数,所以x+2y=(x+2y)(
4
y + 2
x)
=10+4 x
y + 4 y
x ≥10+2√
4 x
y · 4 y
x
=18,当且仅当4 x
y = 4 y
x ,即x=6,y=6 时,等号成立,所以x+2y 的
最小值为18.
18.π
4 (答案不 唯一) 解析 由sin x+cos x>1,可得√2sin(x+π
4 )>1,则sin(x + π
4)> √2
2 ,所以2kπ+π
4
<x+π
4 <2kπ+3 π
4 (k∈Z),解得2kπ<x<2kπ+π
2 (k∈Z).因为“x=α”是“sin x+cos x>1”的一个充分条
件,故α 的一个可能取值为π
4 .
19.(-∞,2√2] 解析 若p 是假命题,则p 是真命题.当x∈(√2,2)时,y=x+2
x 单调递增,则y 的取值范
围为(2√2,3).若p 为真命题,则2√2≥a,即a 的取值范围为(-∞,2√2].
20.[-1,20] 解析 设9a-c=m(a-c)+n(4a-c),即9a-c=(m+4n)a-(m+n)c,∴{
m+ 4 n=9,
m+n=1, 解得
{
m=- 5
3 ,
n= 8
3 .
∴9a-c=-5
3(a-c)+8
3(4a-c).
∵-4≤a-c≤-1,∴5
3≤-5
3(a-c)≤20
3 .
①
∵-1≤4a-c≤5,∴-8
3 ≤8
3(4a-c)≤40
3 . ②
①+②,得-1≤9a-c≤20,即9a-c 的取值范围是[-1,20].
②
