01.人教A版数学必修第一册_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

·北京·
普
通
高
中
教
科
书
数学
必    修
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
编著
第一册
初高中资料 微信公众号：优之习屋
     
普通高中教科书  数学  必修  第一册
人民教育出版社  课程教材研究所  
中学数学课程教材研究开发中心  编著
出    版 
  
          （北京市海淀区中关村南大街17 号院1 号楼  邮编：100081）
网    址  http://www.pep.com.cn
重    印  ××× 出版社
发    行  ××× 新华书店
印    刷  ××× 印刷厂
版    次      年  月第  版   
印    次      年  月第  次印刷
开    本  890 毫米×1240 毫米  1/16
印    张   
插    页
字    数      千字
印    数        册
书    号  ISBN 978-7-107-    - 
定    价      元
定价批号：××号    审图号：GS（××××）××××号
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
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如发现印、装质量问题，影响阅读，请与××× 联系调换。电话：×××-××××××××
主  编：章建跃 李增沪
副 主 编：李 勇 李海东 李龙才
本册主编：李海东 郭玉峰
编写人员：王 嵘 白 涛 刘长明 刘春艳 李柏青 宋莉莉 张劲松  
     周远方 赵 昕 胡永建 俞求是 郭玉峰 郭慧清 黄炳锋 
     章建跃 薛红霞
责任编辑：王 嵘
美术编辑：王俊宏
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主编寄语
亲爱的同学，欢迎使用这套教科书，希望它能成为你学习数学的好帮手．在开始学习
前，我们想就数学学习中的一些问题与你做点交流．
首先，你想过为什么要学那么多数学吗？高中生应该认真思考这个问题了．其实道理
很明显，就是因为数学有用．数学不仅对社会发展和科技进步作用巨大，而且对你个人的
发展也很重要．努力学好数学对你的人生幸福意义重大，这个道理在你今后学习、工作和
生活中会逐步体会到．
第二，要采用多样化学习方式．高中数学内容的抽象程度提高了，要以更加积极主动
的态度、刻苦钻研的精神，采取阅读自学、独立思考、实践探究、合作交流等多种学习方
式，才能更好地掌握它．内容越抽象，就越需要静下心来，持之以恒地思考，然后才能有
所领悟、有所收获．
第三，注重基础，拾阶而上．数学的特点是逻辑严谨，从概念到性质再到应用环环相
扣，前面知识未理解，后续学习就必然会遇上实质性困难．学数学，既没有捷径，也没有
灵丹妙药，唯有按数学的方式，按部就班地学，循序渐进地想，在基础知识上下足功夫，
才能取得好成效．
第四，按学习规律办事．理解概念、熟练技能和准确表达是数学学习的“三要素”，
做好这些的要诀是遵循学习规律，掌握学习节奏．概念是数学的精要所在，必须深刻理
解、牢固掌握，因此概念学习要“慢慢来”．例如，函数是贯穿高中数学的一条主线，是
重中之重的内容，因为其抽象程度高而成为许多同学的学习难点．在起始阶段囫囵吞枣、
贪多求快，就会给后续学习埋下隐患．学好它的秘诀在于慢，慢下来，仔细阅读教科书，
用心揣摩每句话，搞懂每个例题，在探究、质疑、反思中逐渐领悟函数的概念及其蕴含的
数学思想和方法，并用简明扼要的语言概括出来，从而实现认识的升华．这个过程，貌似
慢而实为快，在反复推敲中悟出学习窍门，达到举一反三、触类旁通的效果，进而一通百
通，由慢转快．这样的快是真快，是无后顾之忧的快，是充满智慧的快．
第五，重视严格的数学训练，独立完成作业．做作业的目的是：加深理解知识，熟练
基本技能；学会思考，培养数学能力；查漏补缺，培养良好的学习习惯．本套书中的习题
是精心挑选的，看似不难但寓意深刻，要高度重视．完成作业，独立思考最重要，遇到困
难不能轻言放弃．有含金量的数学题往往要绞尽脑汁，一时做不出很正常，如果浅尝辄
止，急于“刷题”看答案，这是自欺欺人，受害的是你自己．
最后，学习贵在创新．理解概念、学会证明、领会思想、掌握方法都是必备基础，还
要善于发现和提出问题，“凡事问个为什么”，这样才能学会学习．在这套教科书中，我们
注重在提问方面做出示范，期望你能“看过问题三百个，不会解题也会问”．
学数学趁年轻．高中阶段是接受数学训练、打好数学基础的最佳时期．这个时期下功夫学
数学，将使你终生受益．期盼这套教科书能给你带来愉快，使你的数学素养得到大幅提升．
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本书根据《普通高中数学课程标准（２０１７年版》编写，包括“集合与常用逻辑用语”
“一元二次函数、方程和不等式”“函数的概念与性质”“指数函数与对数函数”“三角函
数”五章内容．
集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础；常用逻辑用语是数学语言的
重要组成部分，是数学表达和交流的工具．在“集合与常用逻辑用语”的学习中，同学们
将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法；并学习用逻
辑用语表达数学对象、进行数学推理，为高中数学学习做准备．
相等关系和不等式关系是数学中最基本的数量关系．在“一元二次函数、方程和不等
式”的学习中，同学们将类比等式学习不等式．通过梳理初中数学的相关内容，理解一元
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系，从函数观点认识方程与不等式，
感悟数学知识之间的关联，完成初高中数学学习的过渡．
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的
始终．在“函数的概念与性质”中，同学们将在初中的基础上，进一步学习运用集合与对
应的语言刻画函数概念，学习函数的基本性质，并通过幂函数的学习感受如何研究一个函
数，如研究的内容、思路和方法，进一步感受函数的思想方法和广泛应用．
“指数爆炸”“对数增长”是生活中常见的变化现象．在“指数函数与对数函数”中，
同学们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数与对数函数的概念、图象和性质．通过对
几类基本初等函数的变化差异的比较，体会如何根据变化差异选择合适的函数类型构建数
学模型，刻画现实问题的变化规律，解决简单的实际问题．
三角函数也是一类基本的、重要的函数，它是刻画现实世界中具有周期性变化现象的
数学模型．在“三角函数”的学习中，同学们将学习借助单位圆建立一般三角函数的概
念，学习三角函数的图象和性质，探索和研究三角函数之间的一些恒等关系．通过建立三
角函数模型刻画周期变化现象，进一步体会函数的广泛应用．
祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核
心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的
认识．
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第一章　集合与常用逻辑用语
１
…………………………………………………………………
１．１　集合的概念
２
…………………………………………………………………………
１．２　集合间的基本关系
７
…………………………………………………………………
１．３　集合的基本运算
１０
……………………………………………………………………
阅读与思考　集合中元素的个数
１５
…………………………………………………
１．４　充分条件与必要条件
１７
………………………………………………………………
１．５　全称量词与存在量词
２４
………………………………………………………………
阅读与思考　几何命题与充分条件、必要条件
３１
…………………………………
小结
３３
………………………………………………………………………………………
复习参考题１
３４
……………………………………………………………………………
第二章　一元二次函数、方程和不等式
３６
……………………………………………………
２．１　等式性质与不等式性质
３７
……………………………………………………………
２．２　基本不等式
４４
…………………………………………………………………………
２．３　二次函数与一元二次方程、不等式
５０
………………………………………………
小结
５６
………………………………………………………………………………………
复习参考题２
５７
……………………………………………………………………………
第三章　函数的概念与性质
５９
…………………………………………………………………
３．１　函数的概念及其表示
６０
………………………………………………………………
阅读与思考　函数概念的发展历程
７５
………………………………………………
３．２　函数的基本性质
７６
……………………………………………………………………
信息技术应用　用计算机绘制函数图象
８７
…………………………………………
３．３　幂函数
８９
………………………………………………………………………………
探究与发现　探究函数狔＝狓＋１狓的图象与性质
９２
………………………………
３．４　函数的应用（一）
９３
…………………………………………………………………
文献阅读与数学写作　函数的形成与发展
９７
…………………………………………
小结
９９
………………………………………………………………………………………
复习参考题３
１００
……………………………………………………………………………
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第四章　指数函数与对数函数
１０３
………………………………………………………………
４．１　指数
１０４
………………………………………………………………………………
４．２　指数函数
１１１
…………………………………………………………………………
阅读与思考　放射性物质的衰减
１１５
………………………………………………
信息技术应用　探究指数函数的性质
１２０
…………………………………………
４．３　对数
１２２
………………………………………………………………………………
阅读与思考　对数的发明
１２８
………………………………………………………
４．４　对数函数
１３０
…………………………………………………………………………
探究与发现　互为反函数的两个函数图象间的关系
１３５
……………………………
４．５　函数的应用（二）
１４２
………………………………………………………………
阅读与思考　中外历史上的方程求解
１４７
…………………………………………
文献阅读与数学写作　对数概念的形成与发展
１５７
……………………………………
小结
１５８
………………………………………………………………………………………
复习参考题４
１５９
……………………………………………………………………………
数学建模　建立函数模型解决实际问题
１６２
……………………………………………………
第五章　三角函数
１６７
……………………………………………………………………………
５．１　任意角和弧度制
１６８
…………………………………………………………………
５．２　三角函数的概念
１７７
…………………………………………………………………
阅读与思考　三角学与天文学
１８６
…………………………………………………
５．３　诱导公式
１８８
…………………………………………………………………………
５．４　三角函数的图象与性质
１９６
…………………………………………………………
探究与发现　函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）及函数狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ）的周期
２０３
……
探究与发现　利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质
２０８
…………
５．５　三角恒等变换
２１５
……………………………………………………………………
信息技术应用　利用信息技术制作三角函数表
２２４
………………………………
５．６　函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）
２３１
…………………………………………………………
５．７　三角函数的应用
２４２
…………………………………………………………………
阅读与思考　振幅、周期、频率、相位
２５０
………………………………………
小结
２５１
………………………………………………………………………………………
复习参考题５
２５３
……………………………………………………………………………
部分中英文词汇索引
２５８
…………………………………………………………………………
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第一章
集合与常用逻辑用语
我们知道，方程狓２＝２在有理数范围内无解，但在实数范围
内有解．在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个
圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球
面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基
础．为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用
集合的语言和工具．事实上，集合的知识是现代数学的基础，也
是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它．
在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合
语言刻画一类事物的方法．
逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的
工具．学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、
合理论证数学结论、准确表达数学内容．逻辑用语也是日常交
往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位
公民应具备的基本素养．本章我们将通过常用逻辑用语的学习，
理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻
辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合
和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性．
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第一章　集合与常用逻辑用语
１１　集合的概念
在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然
数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集
合（即圆）等．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一
步了解集合的有关知识．下面先从集合的含义开始．
看下面的例子：
（１）１～１０之间的所有偶数；
（２）立德中学今年入学的全体高一学生；
（３）所有的正方形；
（４）到直线犾的距离等于定长犱的所有点；
（５）方程狓２－３狓＋２＝０的所有实数根；
（６）地球上的四大洋．
例（１）中，我们把１～１０之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集
合；同样地，例（２）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的
全体也是一个集合．
 Ꮶ
上面的例（３）到例（６）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？
一般地，我们把研究对象统称为元素（ｅｌｅｍｅｎｔ），把一些元素组成的总体叫做集合
（ｓｅｔ）（简称为集）．
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或
不在这个集合中就确定了．例如，“１～１０之间的所有偶数”构成一个集合，２，４，６，８，
１０是这个集合的元素，１，３，５，７，９，…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，
因为组成它的元素是不确定的．
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
我们通常用大写拉丁字母犃，犅，犆，…表示集合，用小写拉丁字母犪，犫，犮，…表
示集合中的元素．
如果犪是集合犃的元素，就说犪属于（ｂｅｌｏｎｇｔｏ）集合犃，记作犪∈犃；如果犪不是
集合犃中的元素，就说犪不属于（ｎｏｔｂｅｌｏｎｇｔｏ）集合犃，记作犪犃．
２
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第一章　集合与常用逻辑用语
例如，若用犃表示前面例（１）中“１～１０之间的所有偶数”组成的集合，则有
４∈犃，３犃，等等．
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作犖；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作犖或犖＋；
全体整数组成的集合称为整数集，记作犣；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作犙；
全体实数组成的集合称为实数集，记作犚．
从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么
方式表示集合呢？
列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝；
“方程狓２－３狓＋２＝０的所有实数根”组成的集合可以表示为｛１，２｝．
像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛　｝”括起来表示集合的方
法叫做列举法．
例１　用列举法表示下列集合：
（１）小于１０的所有自然数组成的集合；
（２）方程狓２＝狓的所有实数根组成的集合．
解：（１）设小于１０的所有自然数组成的集合为犃，那么
犃＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝．
（２）设方程狓２＝狓的所有实数根组成的集合为犅，那么
犅＝｛０，１｝．
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同
的列举方法．例如，例１（１）的集合还可以写成
犃＝｛９，８，７，６，５，４，３，２，１，０｝
等．
 Ꮶ
（１）你能用自然语言描述集合｛０，３，６，９｝吗？
（２）你能用列举法表示不等式狓－７＜３的解集吗？
３
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第一章　集合与常用逻辑用语
描述法
不等式狓－７＜３的解是狓＜１０，因为满足狓＜１０的实数有无数个，所以狓－７＜３的
解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：狓是实数，且
狓＜１０，把解集表示为
｛狓∈犚｜狓＜１０｝．
　　你能用这样的方法表
示偶数集吗？
又如，整数集犣可以分为奇数集和偶数集．对于每一个
狓∈犣，如果它能表示为狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形式，那么狓除
以２的余数为１，它是一个奇数；反之，如果狓是一个奇数，
那么狓除以２的余数为１，它能表示为狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形
式．所以，狓＝２犽＋１（犽∈犣）是所有奇数的一个共同特征，
于是奇数集可以表示为
｛狓∈犣｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝．
　　有时也用冒号或分号
代替竖线，写成
｛狓∈犃：犘（狓）｝
或｛狓∈犃；犘（狓）｝．
一般地，设犃是一个集合，我们把集合犃中所有具有
共同特征犘（狓）的元素狓所组成的集合表示为
｛狓∈犃｜犘（狓）｝，
这种表示集合的方法称为描述法．
例如，实数集犚中，有限小数和无限循环小数都具有狇狆
（狆，狇∈犣，狆≠０）的形式，这些数组成有理数集，我们将
它表示为
犙＝｛狓∈犚｜狓＝狇狆，狆，狇∈犣，狆≠０｝．
其中，狇狆（狆，狇∈犣，狆≠０）就是所有有理数具有的共同特征．
显然，对于任何狔∈｛狓∈犃｜犘（狓）｝，都有狔∈犃，且犘（狔）成立．
例２　试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（１）方程狓２－２＝０的所有实数根组成的集合犃；
（２）由大于１０且小于２０的所有整数组成的集合犅．
解：（１）设狓∈犃，则狓是一个实数，且狓２－２＝０．因此，用描述法表示为
犃＝狓∈犚狓２－２＝０
｛
｝．
方程狓２－２＝０有两个实数根槡２，－槡２，因此，用列举法表示为
犃＝｛槡２，－槡２｝．
（２）设狓∈犅，则狓是一个整数，即狓∈犣，且１０＜狓＜２０．因此，用描述法表示为
犅＝｛狓∈犣１０＜狓＜２０｝．
大于１０且小于２０的整数有１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，因此，用列举
法表示为
犅＝｛１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９｝．
４
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第一章　集合与常用逻辑用语
我们约定，如果从上下文的关系看，狓∈犚，狓∈犣是明确的，那么狓∈犚，狓∈犣可
以省略，只写其元素狓．例如，集合犇＝｛狓∈犚｜狓＜１０｝也可表示为犇＝｛狓｜狓＜１０｝；集
合犈＝｛狓∈犣｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝也可表示为犈＝｛狓｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝．
 Ꮶ
举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点．
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１．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（１）与定点犃，犅等距离的点；
（２）高中学生中的游泳能手．
２．用符号“∈”或“”填空：
０　　犖；－３　　犖；０．５　　犣；槡２　　犣；１３　　犙；π　　犚．
３．用适当的方法表示下列集合：
（１）由方程狓２－９＝０的所有实数根组成的集合；
（２）一次函数狔＝狓＋３与狔＝－２狓＋６图象的交点组成的集合；
（３）不等式４狓－５＜３的解集．
ܭ˸ ڍ
习题１．１
１．用符号“∈”或“”填空：
（１）设犃为所有亚洲国家组成的集合，则
中国　　　犃，美国　　　犃，印度　　　犃，英国　　　犃；
（２）若犃＝｛狓｜狓２＝狓｝，则－１　　　犃；
（３）若犅＝｛狓｜狓２＋狓－６＝０｝，则３　　　犃；
（４）若犆＝｛狓∈犖｜１≤狓≤１０｝，则８　　　犆，９．１　　　犆．
２．用列举法表示下列集合：
（１）大于１且小于６的整数；
（２）犃＝｛狓｜（狓－１）（狓＋２）＝０｝；
（３）犅＝｛狓∈犣｜－３＜２狓－１＜３｝．
５
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第一章　集合与常用逻辑用语
፬Ռᤂၹ
３．把下列集合用另一种方法表示出来：
（１）｛２，４，６，８，１０｝；
（２）由１，２，３这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
（３）｛狓∈犖｜３＜狓＜７｝；
（４）中国古代四大发明．
４．用适当的方法表示下列集合：
（１）二次函数狔＝狓２－４的函数值组成的集合；
（２）反比例函数狔＝２狓的自变量组成的集合；
（３）不等式３狓≥４－２狓的解集．
   ጊ
康托尔（ＧｅｏｒｇＣａｎｔｏｒ，
１８４５—１９１８）
５．集合论是德国数学家康托尔于１９世纪末创立的．当时，康托尔在解决
涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的
“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产
物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为
“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简
短的报告阐述你对这些评价的认识．
６
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第一章　集合与常用逻辑用语
１２　集合间的基本关系
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如
５＝５，５＜７，５＞３，等等．两个集合之间是否也有类似的关
系呢？
᜺ 
观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集
合之间的关系吗？
（１）犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛１，２，３，４，５｝；
（２）犆为立德中学高一（２）班全体女生组成的集合，犇为这个班全体学生组成
的集合；
（３）犈＝｛狓｜狓是两条边相等的三角形｝，犉＝｛狓｜狓是等腰三角形｝．
可以发现，在（１）中，集合犃的任何一个元素都是集合犅的元素．这时我们说集合
犃包含于集合犅，或集合犅包含集合犃．（２）中的集合犆与集合犇也有这种关系．
一般地，对于两个集合犃，犅，如果集合犃中任意一
个元素都是集合犅中的元素，就称集合犃为集合犅的子集
（ｓｕｂｓｅｔ），记作
A
B
图１．２１
犃犅（或犅犃），
读作“犃包含于犅”（或“犅包含犃”）．
　　请你举出几个具有包
含关系、相等关系的集合
实例．
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集
合，这种图称为犞犲狀狀图．这样，上述集合犃与集合犅的包
含关系，可以用图１．２１表示．
在（３）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角
形，因此，集合犈，犉都是由所有等腰三角形组成的集合．
即集合犈中任何一个元素都是集合犉中的元素，同时，集
　　与实数中的结论“若
犪≥犫，且犫≥犪，则犪＝
犫”相类比，你有什么
体会？
合犉中任何一个元素也都是集合犈中的元素．这样，集合
犈的元素与集合犉的元素是一样的．
一般地，如果集合犃的任何一个元素都是集合犅的元
素，同时集合犅的任何一个元素都是集合犃的元素，那么
集合犃与集合犅相等，记作犃＝犅．
也就是说，若犃犅，且犅犃，则犃＝犅．
７
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第一章　集合与常用逻辑用语
　　你能举出几个空集的
例子吗？
如果集合犃犅，但存在元素狓∈犅，且狓犃，就称
集合犃是集合犅的真子集（ｐｒｏｐｅｒｓｕｂｓｅｔ），记作
犃犅（或犅犃）．
例如，在（１）中，犃犅，但４∈犅，且４犃，所以
集合犃是集合犅的真子集．
我们知道，方程狓２＋１＝０没有实数根，所以方程狓２＋
１＝０的实数根组成的集合中没有元素．
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（ｅｍｐｔｙ
ｓｅｔ），记为，并规定：空集是任何集合的子集．
 Ꮶ
包含关系｛犪｝犃与属于关系犪∈犃有什么区别？试结合实例作出解释．
由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：
（１）任何一个集合是它本身的子集，即
犃犃；
（２）对于集合犃，犅，犆，如果犃犅，且犅犆，那么犃犆．
例１　写出集合｛犪，犫｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
解：集合｛犪，犫｝的所有子集为，｛犪｝，｛犫｝，｛犪，犫｝．真子集为，｛犪｝，｛犫｝．
例２　判断下列各题中集合犃是否为集合犅的子集，并说明理由：
（１）犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛狓｜狓是８的约数｝；
（２）犃＝狓｜狓是长方形
｛
｝，犅＝狓｜狓是两条对角线相等的平行四边形
｛
｝．
解：（１）因为３不是８的约数，所以集合犃不是集合犅的子集．
（２）因为若狓是长方形，则狓一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合犃是
集合犅的子集．
ጷ˸
１．写出集合｛犪，犫，犮｝的所有子集．
２．用适当的符号填空：
（１）犪　　｛犪，犫，犮｝；　　　　　　　　　　　（２）０　　｛狓｜狓２＝０｝；
（３）　　｛狓∈犚｜狓２＋１＝０｝；
（４）｛０，１｝　　犖；
（５）｛０｝　　｛狓｜狓２＝狓｝；
（６）｛２，１｝　　｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．
８
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第一章　集合与常用逻辑用语
３．判断下列两个集合之间的关系：
（１）犃＝狓｜狓＜０
｛
｝，犅＝狓｜狓＜１
｛
｝；
（２）犃＝｛狓｜狓＝３犽，犽∈犖｝，犅＝｛狓｜狓＝６狕，狕∈犖｝；
（３）犃＝｛狓∈犖＋｜狓是４与１０的公倍数｝，犅＝｛狓｜狓＝２０犿，犿∈犖＋｝．
ܭ˸ ڍ
习题１．２
１．选用适当的符号填空：
（１）若集合犃＝｛狓｜２狓－３＜３狓｝，犅＝｛狓｜狓≥２｝，则
－４　　犅，－３　　犃，｛２｝　　犅，犅　　犃；
（２）若集合犃＝｛狓｜狓２－１＝０｝，则
１　　犃，｛－１｝　　犃，　　犃，｛１，－１｝　　犃；
（３）｛狓｜狓是菱形｝　　｛狓｜狓是平行四边形｝；
｛狓｜狓是等腰三角形｝　　｛狓｜狓是等边三角形｝．
２．指出下列各集合之间的关系，并用Ｖｅｎｎ图表示：
犃＝｛狓｜狓是四边形｝，犅＝｛狓｜狓是平行四边形｝，犆＝｛狓｜狓是矩形｝，犇＝｛狓｜狓是正方形｝．
፬Ռᤂၹ
３．举出下列各集合的一个子集：
（１）犃＝｛狓｜狓是立德中学的学生｝；　　　　（２）犅＝｛狓｜狓是三角形｝；
（３）犆＝｛０｝；　　　　　　　　　　　
（４）犇＝｛狓∈犣｜３＜狓＜３０｝．
４．在平面直角坐标系中，集合犆＝｛（狓，狔）｜狔＝狓｝表示直线狔＝狓，从这个角度看，集合犇＝
（狓，狔）２狓－狔＝１
狓＋４狔＝５
烅烄烆
烅烄
烆
烍烌
烎表示什么？集合犆，犇之间有什么关系？
   ጊ
５．（１）设犪，犫∈犚，犘＝｛１，犪｝，犙＝｛－１，－犫｝，若犘＝犙，求犪－犫的值；
（２）已知集合犃＝｛狓｜０＜狓＜犪｝，犅＝｛狓｜１＜狓＜２｝，若犅犃，求实数犪的取值范围．
９
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第一章　集合与常用逻辑用语
１３　集合的基本运算
我们知道，实数有加、减、乘、除等运算．集合是否也
有类似的运算呢？
并集
᜺ 
观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合犆与集合犃，犅之间的
关系吗？
（１）犃＝｛１，３，５｝，犅＝｛２，４，６｝，犆＝｛１，２，３，４，５，６｝；
（２）犃＝｛狓｜狓是有理数｝，犅＝｛狓｜狓是无理数｝，犆＝｛狓｜狓是实数｝．
A
B
A B
Ĥ
图１．３１
在上述两个问题中，集合犃，犅与集合犆之间都具有
这样一种关系：集合犆是由所有属于集合犃或属于集合犅
的元素组成的．
一般地，由所有属于集合犃或属于集合犅的元素组成
的集合，称为集合犃与犅的并集（ｕｎｉｏｎｓｅｔ），记作犃∪犅
（读作“犃并犅”），即
犃∪犅＝｛狓｜狓∈犃，或狓∈犅｝，
可用Ｖｅｎｎ图（图１．３１）表示．
这样，在问题（１）（２）中，集合犃与犅的并集是犆，即
犃∪犅＝犆．
　　在求两个集合的并集
时，它们的公共元素在并
集中只能出现一次．如元
素５，８．
例１　设犃＝｛４，５，６，８｝，犅＝｛３，５，７，８｝，求犃∪犅．
解：犃∪犅＝｛４，５，６，８｝∪｛３，５，７，８｝
＝｛３，４，５，６，７，８｝．
例２　设集合犃＝｛狓｜－１＜狓＜２｝，集合犅＝｛狓｜１＜狓＜３｝，
求犃∪犅．
解：犃∪犅＝｛狓｜－１＜狓＜２｝∪｛狓｜１＜狓＜３｝
＝｛狓｜－１＜狓＜３｝．
如图１．３２，还可以利用数轴直观表示例２中求并集
０１
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第一章　集合与常用逻辑用语
犃∪犅的过程．
1
2
3
x
0
-1
图１．３２
 Ꮶ
下列关系式成立吗？
（１）犃∪犃＝犃；（２）犃∪＝犃．
交集
 Ꮶ
观察下面的集合，集合犃，犅与集合犆之间有什么关系？
（１）犃＝｛２，４，６，８，１０｝，犅＝｛３，５，８，１２｝，犆＝｛８｝；
（２）犃＝｛狓｜狓是立德中学今年在校的女同学｝，犅＝｛狓｜狓是立德中学今年在校
的高一年级同学｝，犆＝｛狓｜狓是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．
在上述两个问题中，集合犆是由所有既属于集合犃又属于
集合犅的元素组成的．
A
B
A B
Ĥ
图１．３３
一般地，由所有属于集合犃且属于集合犅的元素组成的集
合，称为集合犃与犅的交集（ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓｅｔ），记作犃∩犅
（读作“犃交犅”），即
犃∩犅＝｛狓｜狓∈犃，且狓∈犅｝，
可用Ｖｅｎｎ图（图１．３３）表示．
这样，在上述问题（１）（２）中，犃∩犅＝犆．
例３　立德中学开运动会，设
犃＝｛狓｜狓是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，
犅＝｛狓｜狓是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，
求犃∩犅．
解：犃∩犅就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成
的集合．所以，
犃∩犅＝｛狓｜狓是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝．
１１
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第一章　集合与常用逻辑用语
例４　设平面内直线犾１上点的集合为犔１，直线犾２上点的集合为犔２，试用集合的运算
表示犾１，犾２的位置关系．
解：平面内直线犾１，犾２可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．
（１）直线犾１，犾２相交于一点犘可表示为
犔１∩犔２＝｛点犘｝；
（２）直线犾１，犾２平行可表示为
犔１∩犔２＝；
（３）直线犾１，犾２重合可表示为
犔１∩犔２＝犔１＝犔２．
 Ꮶ
下列关系式成立吗？
（１）犃∩犃＝犃；（２）犃∩＝．
ጷ˸
１．设犃＝｛３，５，６，８｝，犅＝｛４，５，７，８｝，求犃∩犅，犃∪犅．
２．设犃＝｛狓｜狓２－４狓－５＝０｝，犅＝｛狓｜狓２＝１｝，求犃∪犅，犃∩犅．
３．设犃＝｛狓｜狓是等腰三角形｝，犅＝｛狓｜狓是直角三角形｝，求犃∩犅，犃∪犅．
４．设犃＝｛狓｜狓是幸福农场的汽车｝，犅＝｛狓｜狓是幸福农场的拖拉机｝，求犃∪犅．
　　通常也把给定的集合
作为全集．
补集
在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．
例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到
正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到
实数．在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充．
在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果．例如
方程（狓－２）（狓２－３）＝０的解集，在有理数范围内只有一个
解２，即
｛狓∈犙｜（狓－２）（狓２－３）＝０｝＝｛２｝；
在实数范围内有三个解：２，槡３，－槡３，即
｛狓∈犚｜（狓－２）（狓２－３）＝０｝＝｛２，槡３，－槡３｝．
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元
素，那么就称这个集合为全集（ｕｎｉｖｅｒｓｅｓｅｔ），通常记作犝．
２１
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第一章　集合与常用逻辑用语
A
U
A
图１．３４
对于一个集合犃，由全集犝中不属于集合犃的所有元素组成
的集合称为集合犃相对于全集犝的补集（ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｓｅｔ），
简称为集合犃的补集，记作瓓犝犃，即
瓓犝犃＝｛狓｜狓∈犝，且狓犃｝，
可用Ｖｅｎｎ图（图１．３４）表示．
例５　设犝＝｛狓｜狓是小于９的正整数｝，犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛３，４，５，６｝，求瓓犝犃，
瓓犝犅．解：根据题意可知，犝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，所以
瓓犝犃＝｛４，５，６，７，８｝，
瓓犝犅＝｛１，２，７，８｝．
例６　设全集犝＝｛狓｜狓是三角形｝，犃＝｛狓｜狓是锐角三角形｝，犅＝｛狓｜狓是钝角三
角形｝，求犃∩犅，瓓犝（犃∪犅）．
解：根据三角形的分类可知
犃∩犅＝，
犃∪犅＝｛狓｜狓是锐角三角形或钝角三角形｝，
瓓犝（犃∪犅）＝｛狓｜狓是直角三角形｝．
ጷ˸
１．已知犝＝｛１，２，３，４，５，６，７｝，犃＝｛２，４，５｝，犅＝｛１，３，５，７｝，求犃∩（瓓犝犅），（瓓犝犃）∩（瓓犝犅）．
２．设犛＝｛狓｜狓是平行四边形或梯形｝，犃＝｛狓｜狓是平行四边形｝，犅＝｛狓｜狓是菱形｝，犆＝｛狓｜狓是矩
形｝，求犅∩犆，瓓犛犅，瓓犛犃．
３．图中犝是全集，犃，犅是犝的两个子集，用阴影表示：
（１）（瓓犝犃）∩（瓓犝犅）；　　（２）（瓓犝犃）∪（瓓犝犅）．
A
B
8
A
B
8
（１）
（２）
（第３题）
３１
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第一章　集合与常用逻辑用语
ܭ˸ ڍ
习题１．３
１．集合犃＝｛狓｜２≤狓＜４｝，犅＝｛狓｜３狓－７≥８－２狓｝，求犃∪犅，犃∩犅．
２．设犃＝｛狓｜狓是小于９的正整数｝，犅＝｛１，２，３｝，犆＝｛３，４，５，６｝．求犃∩犅，犃∩犆，
犃∩（犅∪犆），犃∪（犅∩犆）．
３．学校开运动会，设犃＝｛狓｜狓是参加１００ｍ跑的同学｝，犅＝｛狓｜狓是参加２００ｍ跑的同学｝，
犆＝｛狓｜狓是参加４００ｍ跑的同学｝，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比
赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
（１）犃∪犅；　　　　　　（２）犃∩犆．
፬Ռᤂၹ
４．已知集合犃＝｛狓｜３≤狓＜７｝，犅＝｛狓｜２＜狓＜１０｝，求瓓犚（犃∪犅），瓓犚（犃∩犅），（瓓犚犃）∩犅，
犃∪（瓓犚犅）．
５．设集合犃＝｛狓｜（狓－３）（狓－犪）＝０，犪∈犚｝，犅＝｛狓｜（狓－４）（狓－１）＝０｝，求犃∪犅，犃∩犅．
   ጊ
６．已知全集犝＝犃∪犅＝｛狓∈犖｜０≤狓≤１０｝，犃∩（瓓犝犅）＝｛１，３，５，７｝，试求集合犅．
４１
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第一章　集合与常用逻辑用语
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
集合中元素的个数
　　ｃａｒｄ是英文ｃａｒｄｉｎａｌ
（基数）的缩写．
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个
数问题．我们把含有限个元素的集合犃叫做有限集，
用ｃａｒｄ（犃）来表示有限集合犃中元素的个数．例
如，犃＝｛犪，犫，犮｝，则ｃａｒｄ（犃）＝３．
看一个问题．某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔
记本、方便面、汽水共６种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共
４种，两次一共进了几种货？
回答两次一共进了１０（＝６＋４）种，显然是不对的．让我们试着从集合的角度
考虑这个问题．
用集合犃表示第一次进货的品种，用集合犅表示第二次进货的品种，就有
犃＝｛圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水｝，
犅＝｛圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面｝．
这里ｃａｒｄ（犃）＝６，ｃａｒｄ（犅）＝４．求两次一共进了几种货，这个问题指的是求
ｃａｒｄ（犃∪犅）．这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是
ｃａｒｄ（犃∩犅）．ｃａｒｄ（犃），ｃａｒｄ（犅），ｃａｒｄ（犃∪犅），ｃａｒｄ（犃∩犅）之间有什么关
系呢？
可以算出
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝８，
ｃａｒｄ（犃∩犅）＝２．
一般地，对任意两个有限集合犃，犅，有
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝ｃａｒｄ（犃）＋ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）．
再来看一个问题．学校先举办了一次田径运动会，某班有８名同学参赛，又
举办了一次球类运动会，这个班有１２名同学参赛，两次运动会都参赛的有３人．
两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
用集合犃表示田径运动会参赛的学生，用集合犅表示球类运动会参赛的学
生，就有
犃＝｛狓｜狓是田径运动会参赛的学生｝，
犅＝｛狓｜狓是球类运动会参赛的学生｝，
那么
犃∩犅＝｛狓｜狓是两次运动会都参赛的学生｝，
犃∪犅＝｛狓｜狓是所有参赛的学生｝，
５１
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第一章　集合与常用逻辑用语
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝ｃａｒｄ（犃）＋ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）
＝８＋１２－３＝１７．
所以，在两次运动会中，这个班共有１７名同学参赛．
我们也可以用Ｖｅｎｎ图来求解．
A
B
A B
Ĥ
(3)
(9)
(5)
　　?这里的３是表示元
素的个数，而不是元素．
图中我们特别加上括号，
另外两个数５，９也一样．
在上图中相应于犃∩犅的区域里先填上３?（ｃａｒｄ
（犃∩犅）＝３），再在犃中不包括犃∩犅的区域里填上
５（ｃａｒｄ（犃）－ｃａｒｄ（犃∩犅）＝５），在犅中不包括犃∩犅
的区域里填上９（ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）＝９）．最后把
这三个数加起来得１７，这就是ｃａｒｄ（犃∪犅）．
这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三
个以上集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性．对于有限集合犃，犅，犆，
你能发现ｃａｒｄ（犃∪犅∪犆），ｃａｒｄ（犃），ｃａｒｄ（犅），ｃａｒｄ（犆），ｃａｒｄ（犃∩犅），ｃａｒｄ
（犅∩犆），ｃａｒｄ（犃∩犆），ｃａｒｄ（犃∩犅∩犆）之间的关系吗？通过一个具体的例子，
算一算．
有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来．而对于元素个数无限的集
合，如
犃＝｛１，２，３，４，…，狀，…｝，
犅＝｛２，４，６，８，…，２狀，…｝，
我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少．你
能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？
６１
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第一章　集合与常用逻辑用语
１４　充分条件与必要条件
在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，
我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述
句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句
是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若狆，则狇”
“如果狆，那么狇”等形式．其中狆称为命题的条件，狇称
为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题．下面我们
将进一步考察“若狆，则狇”形式的命题中狆和狇的关系，
学习数学中的三个常用的逻辑用语———充分条件、必要条
件和充要条件．
１４１!
"#$%&'($%
 Ꮶ
下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（３）若狓２－４狓＋３＝０，则狓＝１；
（４）若平面内两条直线犪和犫均垂直于直线犾，则犪∥犫．
　　?此时，如果狇不成
立，则狆一定不成立．所
以，狇对于狆成立而言是
必要的．请举例说明．
在命题（１）（４）中，由条件狆通过推理可以得出结论
狇，所以它们是真命题．在命题（２）（３）中，由条件狆不能
得出结论狇，所以它们是假命题．
一般地，“若狆，则狇”为真命题，是指由狆通过推理
可以得出狇．这时，我们就说，由狆可以推出狇，记作
狆狇，
并且说，狆是狇的充分条件（ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ），狇是狆
的必要条件? （ｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．
如果“若狆，则狇”为假命题，那么由条件狆不能推出
结论狇，记作狆／狇．此时，我们就说狆不是狇的充分条件，
狇不是狆的必要条件．
上述命题（１）（４）中的狆是狇的充分条件，狇是狆的必
７１
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第一章　集合与常用逻辑用语
要条件，而命题（２）（３）中的狆不是狇的充分条件，狇不是狆的必要条件．
例１　下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狆是狇的充分条件？
（１）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（２）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（３）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（４）若狓２＝１，则狓＝１；
（５）若犪＝犫，则犪犮＝犫犮；
（６）若狓，狔为无理数，则狓狔为无理数．
　　举反例是判断一个命
题是假命题的重要方法．
解：（１）这是一条平行四边形的判定定理，狆狇，所
以狆是狇的充分条件．
（２）这是一条相似三角形的判定定理，狆狇，所以狆
是狇的充分条件．
（３）这是一条菱形的性质定理，狆狇，所以狆是狇的
充分条件．
（４）由于（－１）２＝１，但－１≠１，狆／狇，所以狆不是狇
的充分条件．
（５）由等式的性质知，狆狇，所以狆是狇的充分条件．
（６）槡２为无理数，但槡２×槡２＝２为有理数，狆／狇，所
以狆不是狇的充分条件．
 Ꮶ
例１中命题（１）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形
的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个
不同的充分条件吗？
我们说狆是狇的充分条件，是指由条件狆可以推出结论狇，但这并不意味着只能由这
个条件狆才能推出结论狇．一般来说，对给定结论狇，使得狇成立的条件狆是不唯一的．
例如，我们知道，下列命题均为真命题：
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形．
所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对
角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件．
事实上，例１中命题（１）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理．所以，平
８１
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第一章　集合与常用逻辑用语
行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条
件能充分保证四边形是平行四边形．类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线
平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”．
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
例２　下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狇是狆的必要条件？
（１）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（２）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（３）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（４）若狓＝１，则狓２＝１；
（５）若犪犮＝犫犮，则犪＝犫；
（６）若狓狔为无理数，则狓，狔为无理数．
解：（１）这是平行四边形的一条性质定理，狆狇，所以，狇是狆的必要条件．
（２）这是三角形相似的一条性质定理，狆狇，所以，狇是狆的必要条件．
A
B
C
D
图１．４１
（３）如图１．４１，四边形犃犅犆犇的对角线互相垂直，
但它不是菱形，狆／狇，所以，狇不是狆的必要条件．
（４）显然，狆狇，所以，狇是狆的必要条件．
（５）由于（－１）×０＝１×０，但－１≠１，狆／狇，所以，狇不
是狆的必要条件．
（６）由于１×槡２＝槡２为无理数，但１，槡２不全是无理
数，狆／狇，所以，狇不是狆的必要条件．
一般地，要判断“若狆，则狇”形式的命题中狇是否为狆的必要条件，只需判断是否
有“狆狇”，即“若狆，则狇”是否为真命题．
 Ꮶ
例２中命题（１）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四
边形的两组对角分别相等”．这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出
“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？
我们说狇是狆的必要条件，是指以狆为条件可以推出结论狇，但这并不意味着由条件
狆只能推出结论狇．一般来说，给定条件狆，由狆可以推出的结论狇是不唯一的．例如，
下列命题都是真命题：
①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
９１
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第一章　集合与常用逻辑用语
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分．
这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的
两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件．
我们知道，例２中命题（１）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理．所以，平行
四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件．类似地，平行线
的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件，例如“同位角相等”是“两直
线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”．
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
ጷ˸
１．下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狆是狇的充分条件？
（１）若平面内点犘在线段犃犅的垂直平分线上，则犘犃＝犘犅；
（２）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
a
2
1
3
4
b
l
（第３题）
（３）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方．
２．下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狇是狆的必要条件？
（１）若直线犾与⊙犗有且仅有一个交点，则犾为⊙犗的一条切线；
（２）若狓是无理数，则狓２也是无理数．
３．如图，直线犪与犫被直线犾所截，分别得到了∠１，∠２，∠３和∠４．请根
据这些信息，写出几个“犪∥犫”的充分条件和必要条件．
１４２!
"($%
 Ꮶ
下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（１）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（２）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（３）若一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个不相等的实数根，则犪犮＜０；
（４）若犃∪犅是空集，则犃与犅均是空集．
　　将命题“若狆，则狇”
中的条件狆和结论狇互
换，就得到一个新的命题
“若狇，则狆”，称这个命
题为原命题的逆命题．
不难发现，上述命题中的命题（１）（４）和它们的逆命题
都是真命题；命题（２）是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题（３）是假命题，但它的逆命题是真命题．
如果“若狆，则狇”和它的逆命题“若狇，则狆”均是
真命题，即既有狆狇，又有狇狆，就记作
狆狇．
０２
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第一章　集合与常用逻辑用语
此时，狆既是狇的充分条件，也是狇的必要条件，我们说狆是狇的充分必要条件，简称为
充要条件（ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．显然，如果狆是狇的充要条件，那么狇也
是狆的充要条件．
概括地说，如果狆狇，那么狆与狇互为充要条件．上述命题（１）（４）中的狆与狇互
为充要条件．
例３　下列各题中，哪些狆是狇的充要条件？
（１）狆：四边形是正方形，狇：四边形的对角线互相垂直且平分；
（２）狆：两个三角形相似，狇：两个三角形三边成比例；
（３）狆：狓狔＞０，狇：狓＞０，狔＞０；
（４）狆：狓＝１是一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的一个根，狇：犪＋犫＋犮＝０（犪≠０）．
解：（１）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以
狇／狆，所以狆不是狇的充要条件．
（２）因为“若狆，则狇”是相似三角形的性质定理，“若狇，则狆”是相似三角形的判
定定理，所以它们均为真命题，即狆狇，所以狆是狇的充要条件．
（３）因为狓狔＞０时，狓＞０，狔＞０不一定成立（为什么），所以狆／狇，所以狆不是狇
的充要条件．
（４）因为“若狆，则狇”与“若狇，则狆”均为真命题，即狆狇，所以狆是狇的充要
条件．
 ቃ
通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的
一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充
分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．
另外，我们再看平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，
它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件．
上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出
平行四边形的其他定义形式．例如：
两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；
对角线互相平分的四边形叫做平行四边形．
类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义
形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给
出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等等．
１２
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第一章　集合与常用逻辑用语
例４　已知：⊙犗的半径为狉，圆心犗到直线犾的距离为犱．求证：犱＝狉是直线犾与
⊙犗相切的充要条件．
分析：设狆：犱＝狉，狇：直线犾与⊙犗相切．要证狆是狇的充要条件，只需分别证明
充分性（狆狇）和必要性（狇狆）即可．
O
P
l
图１．４２
证明：设狆：犱＝狉，狇：直线犾与⊙犗相切．
（１）充分性（狆狇）：如图１．４２，作犗犘⊥犾于点犘，则
犗犘＝犱．若犱＝狉，则点犘在⊙犗上．在直线犾上任取一点犙
（异于点犘），连接犗犙．在Ｒｔ△犗犘犙中，犗犙＞犗犘＝狉．所以，
除点犘外直线犾上的点都在⊙犗的外部，即直线犾与⊙犗仅有
一个公共点犘．所以直线犾与⊙犗相切．
（２）必要性（狇狆）：若直线犾与⊙犗相切，不妨设切点
为犘，则犗犘⊥犾．因此，犱＝犗犘＝狉．
由（１）（２）可得，犱＝狉是直线犾与⊙犗相切的充要条件．
ጷ˸
１．下列各题中，哪些狆是狇的充要条件？
A
B
C
D
（第３题）
（１）狆：三角形为等腰三角形，狇：三角形存在两角相等；
（２）狆：⊙犗内两条弦相等，狇：⊙犗内两条弦所对的圆周角相等；
（３）狆：犃∩犅为空集，狇：犃与犅之一为空集．
２．分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件．
３．证明：如图，梯形犃犅犆犇为等腰梯形的充要条件为犃犆＝犅犇．
ܭ˸ ڍ
习题１．４
１．举例说明：
（１）狆是狇的充分不必要条件；
（２）狆是狇的必要不充分条件；
（３）狆是狇的充要条件．
２．在下列各题中，判断狆是狇的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要
条件”“既不充分又不必要条件”回答）：
（１）狆：三角形是等腰三角形，狇：三角形是等边三角形；
（２）狆：一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有实数根，狇：犫２－４犪犮≥０；
（３）狆：犪∈犘∩犙，狇：犪∈犘；
（４）狆：犪∈犘∪犙，狇：犪∈犘；
（５）狆：狓＞狔，狇：狓２＞狔２．
２２
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第一章　集合与常用逻辑用语
３．判断下列命题的真假：
（１）点犘到圆心犗的距离大于圆的半径是点犘在⊙犗外的充要条件；
（２）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
（３）犃∪犅＝犃是犅犃的必要不充分条件；
（４）狓或狔为有理数是狓狔为有理数的既不充分又不必要条件．
፬Ռᤂၹ
４．已知犃＝｛狓｜狓满足条件狆｝，犅＝｛狓｜狓满足条件狇｝，
（１）如果犃犅，那么狆是狇的什么条件？
（２）如果犅犃，那么狆是狇的什么条件？
（３）如果犃＝犅，那么狆是狇的什么条件？
５．设犪，犫，犮∈犚．证明：犪２＋犫２＋犮２＝犪犫＋犪犮＋犫犮的充要条件是犪＝犫＝犮．
   ጊ
６．设犪，犫，犮分别是△犃犅犆的三条边，且犪≤犫≤犮．我们知道，如果△犃犅犆为直角三角形，那
么犪２＋犫２＝犮２（勾股定理）．反过来，如果犪２＋犫２＝犮２，那么△犃犅犆为直角三角形（勾股定理
的逆定理）．由此可知，△犃犅犆为直角三角形的充要条件是犪２＋犫２＝犮２．
请利用边长犪，犫，犮分别给出△犃犅犆为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明．
３２
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第一章　集合与常用逻辑用语
１５　全称量词与存在量词
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，
有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什
么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原
语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就
可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．本
节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个
量词的命题进行否定．
１５１!
)*+,&-.+,
 Ꮶ
下列语句是命题吗？比较（１）和（３），（２）和（４），它们之间有什么关系？
（１）狓＞３；
（２）２狓＋１是整数；
（３）对所有的狓∈犚，狓＞３；
（４）对任意一个狓∈犣，２狓＋１是整数．
语句（１）（２）中含有变量狓，由于不知道变量狓代表什么数，无法判断它们的真假，
所以它们不是命题．语句（３）在（１）的基础上，用短语“所有的”对变量狓进行限定；
语句（４）在（２）的基础上，用短语“任意一个”对变量狓进行限定，从而使（３）（４）
成为可以判断真假的语句，因此语句（３）（４）是命题．
　　常见的全称量词还有
“一切” “每一个” “任
给”等．
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量
词（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），并用符号“”表示．含有全称
量词的命题，叫做全称量词命题（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．
例如，命题“对任意的狀∈犣，２狀＋１是奇数”“所有的正方
形都是矩形”都是全称量词命题．
通常，将含有变量狓的语句用狆（狓），狇（狓），狉（狓），…
表示，变量狓的取值范围用犕表示．那么，全称量词命题
“对犕中任意一个狓，狆（狓）成立”可用符号简记为
狓∈犕，狆（狓）．
４２
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第一章　集合与常用逻辑用语
　　?如果一个大于１的
整数，除１和自身外无其
他正因数，则称这个正整
数为素数．
例１　判断下列全称量词命题的真假：
（１）所有的素数?都是奇数；
（２）狓∈犚，｜狓｜＋１≥１；
（３）对任意一个无理数狓，狓２也是无理数．
分析：要判定全称量词命题“狓∈犕，狆（狓）”是真命
题，需要对集合犕中每个元素狓，证明狆（狓）成立；如果在
　　?这个方法就是“举
反例”．
集合犕中找到一个元素狓０，使狆（狓０）不成立，那么这个全
称量词命题就是假命题．?
解：（１）２是素数，但２不是奇数．所以，全称量词命
题“所有的素数是奇数”是假命题．
（２）狓∈犚，总有｜狓｜≥０，因而｜狓｜＋１≥１．所以，全
称量词命题“狓∈犚，｜狓｜＋１≥１”是真命题．
（３）槡２是无理数，但（槡２）２＝２是有理数．所以，全称
量词命题“对每一个无理数狓，狓２也是无理数”是假命题．
 Ꮶ
下列语句是命题吗？比较（１）和（３），（２）和（４），它们之间有什么关系？
（１）２狓＋１＝３；
（２）狓能被２和３整除；
（３）存在一个狓∈犚，使２狓＋１＝３；
（４）至少有一个狓∈犣，狓能被２和３整除．
　　常见的存在量词还有
“有些” “有一个” “对某
些”“有的”等．
容易判断，（１）（２）不是命题．语句（３）在（１）的基
础上，用短语“存在一个”对变量狓的取值进行限定；语句
（４）在（２）的基础上，用“至少有一个”对变量狓的取值
进行限定，从而使（３）（４）变成了可以判断真假的陈述句，
因此（３）（４）是命题．
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在
量词（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），并用符号“”表示．含有存在
量词的命题，叫做存在量词命题（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．
例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不
是奇数”都是存在量词命题．
存在量词命题“存在犕中的元素狓，狆（狓）成立”可用
符号简记为
狓∈犕，狆（狓）．
５２
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第一章　集合与常用逻辑用语
例２　判断下列存在量词命题的真假：
（１）有一个实数狓，使狓２＋２狓＋３＝０；
（２）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（３）有些平行四边形是菱形．
分析：要判定存在量词命题“狓∈犕，狆（狓）”是真命题，只需在集合犕中找到一
个元素狓，使狆（狓）成立即可；如果在集合犕中，使狆（狓）成立的元素狓不存在，那么这
个存在量词命题是假命题．
解：（１）由于Δ＝２２－４×３＝－８＜０，因此一元二次方程狓２＋２狓＋３＝０无实根．所
以，存在量词命题“有一个实数狓，使狓２＋２狓＋３＝０”是假命题．
（２）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条
相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一
条直线”是假命题．
（３）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱
形”是真命题．
ጷ˸
１．判断下列全称量词命题的真假：
（１）每个四边形的内角和都是３６０°；
（２）任何实数都有算术平方根；
（３）狓∈｛狔｜狔是无理数｝，狓３是无理数．
２．判断下列存在量词命题的真假：
（１）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（２）至少有一个整数狀，使得狀２＋狀为奇数；
（３）狓∈｛狔｜狔是无理数｝，狓２是无理数．
１５２!
)*+,/01-.+,/0234
　　一个命题和它的否定
不能同时为真命题，也不
能同时为假命题，只能一
真一假．
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命
题，这一新命题称为原命题的否定．例如，“５６是７的倍数”
的否定为“５６不是７的倍数”，“空集是集合犃＝｛１，２，３｝
的真子集”的否定为“空集不是集合犃＝｛１，２，３｝的真子
集”．下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否
定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定．
６２
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第一章　集合与常用逻辑用语
 ቃ
写出下列命题的否定：
（１）所有的矩形都是平行四边形；
（２）每一个素数都是奇数；
（３）狓∈犚，狓＋｜狓｜≥０．
它们与原命题在形式上有什么变化？
上面三个命题都是全称量词命题，即具有“狓∈犕，狆（狓）”的形式．其中命题（１）
的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，
存在一个矩形不是平行四边形；
命题（２）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，
存在一个素数不是奇数；
命题（３）的否定是“并非所有的狓∈犚，狓＋｜狓｜≥０”，也就是说，
狓∈犚，狓＋｜狓｜＜０．
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意
一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定
全称量词命题为“狓∈犕，狆（狓）”，则它的否定为“并非狓∈犕，狆（狓）”，也就是
“狓∈犕，狆（狓）不成立”．通常，用符号“狆（狓）”表示“狆（狓）不成立”．
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题：
狓∈犕，狆（狓），
它的否定：
狓∈犕，狆（狓）．
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．
例３　写出下列全称量词命题的否定：
（１）所有能被３整除的整数都是奇数；
（２）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（３）对任意狓∈犣，狓２的个位数字不等于３．
解：（１）该命题的否定：存在一个能被３整除的整数不是奇数．
（２）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
（３）该命题的否定：狓∈犣，狓２的个位数字等于３．
７２
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第一章　集合与常用逻辑用语
 ቃ
写出下列命题的否定：
（１）存在一个实数的绝对值是正数；
（２）有些平行四边形是菱形；
（３）狓∈犚，狓２－２狓＋３＝０．
它们与原命题在形式上有什么变化？
这三个命题都是存在量词命题，即具有“狓∈犕，狆（狓）”的形式．其中命题（１）
的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，
所有实数的绝对值都不是正数；
命题（２）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，
每一个平行四边形都不是菱形；
命题（３）的否定是“不存在狓∈犚，狓２－２狓＋３＝０”，也就是说，
狓∈犚，狓２－２狓＋３≠０．
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至
少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是
说，假定存在量词命题为“狓∈犕，狆（狓）”，则它的否定为“不存在狓∈犕，使狆（狓）成
立”，也就是“狓∈犕，狆（狓）不成立”．
对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题：
狓∈犕，狆（狓），
它的否定：
狓∈犕，狆（狓）．
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．
例４　写出下列存在量词命题的否定：
（１）狓∈犚，狓＋２≤０；
（２）有的三角形是等边三角形；
（３）有一个偶数是素数．
解：（１）该命题的否定：狓∈犚，狓＋２＞０．
（２）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形．
（３）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数．
８２
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第一章　集合与常用逻辑用语
例５　写出下列命题的否定，并判断真假：
（１）任意两个等边三角形都相似；
（２）狓∈犚，狓２－狓＋１＝０．
解：（１）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角
形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．
（２）该命题的否定：狓∈犚，狓２－狓＋１≠０．因为对任意狓∈犚，
狓２－狓＋１＝（狓－１２）２＋３４＞０，
所以这是一个真命题．
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１．写出下列命题的否定：
（１）狀∈犣，狀∈犙；
（２）任意奇数的平方还是奇数；
（３）每个平行四边形都是中心对称图形．
２．写出下列命题的否定：
（１）有些三角形是直角三角形；
（２）有些梯形是等腰梯形；
（３）存在一个实数，它的绝对值不是正数．
ܭ˸ ڍ
习题１．５
１．判断下列全称量词命题的真假：
（１）每一个末位是０的整数都是５的倍数；
（２）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（３）对任意负数狓，狓２的平方是正数；
（４）梯形的对角线相等．
２．判断下列存在量词命题的真假：
（１）有些实数是无限不循环小数；
（２）存在一个三角形不是等腰三角形；
（３）有些菱形是正方形；
（４）至少有一个整数狀，狀２＋１是４的倍数．
３．写出下列命题的否定：
（１）狓∈犣，｜狓｜∈犖；
（２）所有可以被５整除的整数，末位数字都是０；
（３）狓∈犚，狓＋１≥０；
９２
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第一章　集合与常用逻辑用语
（４）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
፬Ռᤂၹ
４．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（１）平面直角坐标系下每条直线都与狓轴相交；
（２）每个二次函数的图象都是轴对称图形；
（３）存在一个三角形，它的内角和小于１８０°；
（４）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
５．将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定：
（１）平行四边形的对角线互相平分；
（２）三个连续整数的乘积是６的倍数；
（３）三角形不都是中心对称图形；
（４）一元二次方程不总有实数根．
   ጊ
６．在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题
只能一真一假，不能同真或同假．
在数学中，有很多“若狆，则狇”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：
①若狓＞１，则２狓＋１＞５；（假命题）
②若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．（真命题）
这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题．
（１）有人认为，①的否定是“若狓＞１，则２狓＋１≤５”，②的否定是“若四边形为等腰梯形，
则这个四边形的对角线不相等”．你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的
否定．
（２）请你列举几个“若狆，则狇”形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定，
并判断真假．
０３
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第一章　集合与常用逻辑用语
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几何命题与充分条件、必要条件
通过前面的学习我们发现，对于一种几何图形或几何图形之间的关系，可以
通过充要条件给出它的等价定义，通过充分条件给出它的判定定理，通过必要条
件给出它的性质定理．利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题，可以促进
我们更深入地理解几何图形及其关系．下面以相似三角形为例进行说明．
为了方便，我们记狇：两个三角形相似．
１．相似三角形的定义
三角形的相似是三角形之间的一种关系，它的定义是：三个角分别相等、三
条边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
记狆：三个角分别相等且三条边成比例．因为狆狇，狇狆，所以狆是狇的
充要条件．
三条边、三个内角是三角形的六个要素，相似三角形的定义从两个三角形各
要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件．
２．相似三角形的判定
相似三角形的判定指出了“满足什么条件的两个三角形相似”．初中学过如下
判定定理：
（１）三边成比例的两个三角形相似；
（２）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（３）两角分别相等的两个三角形相似．
记狆１：三边成比例，狆２：两边成比例且夹角相等，狆３：两角分别相等，我们
有狆１狇，狆２狇，狆３狇，即狆１，狆２，狆３分别给出了狇的一个充分条件．
上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出
了相似三角形的充分条件．事实上，我们还可以给出相似三角形的其他充分条件，
例如“相似于同一个三角形的两个三角形相似”（这表明，“相似”具有传递性）．
利用判定定理我们可以判定两个三角形是相似三角形．
想一想：（１）你能给出相似三角形的其他充分条件吗？（２）利用判定定理可
以判定两个三角形不是相似三角形吗？为什么？
３．相似三角形的性质
相似三角形的性质给出了两个三角形相似所必须满足的条件．换言之，如果
不满足这个条件，那么这两个三角形就一定不相似．在初中，我们学过的相似三
角形性质定理有：
（１）相似三角形对应线段的比都相等（等于相似比），特别地，相似三角形的对
应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都相等（等于相似比）；
１３
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第一章　集合与常用逻辑用语
（２）相似三角形的对应角相等；
（３）相似三角形周长的比等于对应边之比（相似比）；
（４）相似三角形面积的比等于对应边之比（相似比的平方）．
记狉１：对应线段的比等于相似比，狉２：对应角相等，狉３：周长的比等于对应
边之比，狉４：面积的比等于对应边之比的平方，我们有狇狉１，狇狉２，狇狉３，
狇狉４，即狉１，狉２，狉３，狉４分别给出了狇的一个必要条件．例如，如果狉１不成立，
即对应线段的比不全相等，那么这两个三角形就一定不相似．因此，利用性质定
理可以判定两个三角形不是相似三角形．
想一想：利用性质定理可以判定两个三角形是相似三角形吗？为什么？
以上性质定理分别从三角形的要素、三角形中的重要线段及重要几何量等方
面给出了相似三角形的必要条件．你能给出相似三角形的其他必要条件吗？
分析上述命题，可以发现，有些条件是狇的充要条件，例如狆１（狉１），狆２，
狆３（狉２），据此可以构造出相似三角形的等价定义：
（１）三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；
（２）两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形；
（３）两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形．
由上述任意一个定义出发，我们也可以推出相似三角形的其他性质，你能试
一试吗？
请你仿照上述思路，对等腰三角形、直角三角形、平行四边形（矩形、菱
形、正方形）等图形的知识进行梳理．
２３
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第一章　集合与常用逻辑用语
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本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要
条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定．
这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础．
为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述
方式．为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性
和互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用
了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我
们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决
定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、
补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研
究对象的某些关系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，
这对提升我们的数学运算素养是很有意义的．在学习中，要注意“集合的含义
与表示—集合的关系—集合的运算”这个研究路径．
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是
数学表达和交流的工具．结合初中学过的平面几何和代数知识，我们学习了常
用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表
达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理论证，可以大大提升表述的逻
辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养．
本章的学习不仅要为后续学习做好知识技能的准备，更重要的是要为整个
高中数学学习做好心理准备，初步形成适合高中数学学习的方式方法，使我们
能更好地适应高中数学学习．
３３
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第一章　集合与常用逻辑用语
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！
１．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，你能结合例子说明这些特性吗？
２．你能用集合表示平面内线段犃犅的垂直平分线吗？结合集合的描述法谈
谈你的体会．
３．用联系的观点看问题，可以使我们更深刻地理解数学知识．本章中，我
们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算．你认为这样的类
比对发现和提出集合的问题有什么意义？你能类比数的减法运算给出集合的减
法运算吗？
４．对给定的狆和狇，如何判定狆是狇的充分不必要条件、必要不充分条件、
充要条件、既不充分也不必要条件？你能举例说明吗？
５．如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？
ܭ˸ ڍ
复习参考题１
１．用列举法表示下列集合：
（１）犃＝｛狓｜狓２＝９｝；　　　　　　（２）犅＝｛狓∈犖｜１≤狓≤２｝；
（３）犆＝｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．
２．设犘表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（１）｛犘｜犘犃＝犘犅｝（犃，犅是两个不同定点）；
（２）｛犘｜犘犗＝３ｃｍ｝（犗是定点）．
３．设平面内有△犃犅犆，且犘表示这个平面内的动点，指出属于集合｛犘｜犘犃＝犘犅｝∩｛犘｜犘犃＝
犘犆｝的点是什么．
４．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：
（１）三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的　　　　　　　；
（２）狓∈犃是狓∈犃∪犅的　　　　　　　；
（３）狓∈犃是狓∈犃∩犅的　　　　　　　；
（４）狓，狔为无理数是狓＋狔为无理数的　　　　　　　．
５．已知犪，犫，犮是实数，判断下列命题的真假：
（１）“犪＞犫”是“犪２＞犫２”的充分条件；
（　　）
（２）“犪＞犫”是“犪２＞犫２”的必要条件；
（　　）
（３）“犪＞犫”是“犪犮２＞犫犮２”的充分条件；
（　　）
（４）“犪＞犫”是“犪犮２＞犫犮２”的必要条件．
（　　）
４３
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第一章　集合与常用逻辑用语
６．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（１）任意实数的平方大于或等于０；
（２）对任意实数犪，二次函数狔＝狓２＋犪的图象关于狔轴对称；
（３）存在整数狓，狔，使得２狓＋４狔＝３；
（４）存在一个无理数，它的立方是有理数．
７．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（１）犪∈犚，一元二次方程狓２－犪狓－１＝０有实根；
（２）每个正方形都是平行四边形；
（３）犿∈犖，犿２
槡＋１∈犖；
（４）存在一个四边形犃犅犆犇，其内角和不等于３６０°．
፬Ռᤂၹ
８．已知集合犃＝｛（狓，狔）｜２狓－狔＝０｝，犅＝｛（狓，狔）｜３狓＋狔＝０｝，犆＝｛（狓，狔）｜２狓－狔＝３｝，求
犃∩犅，犃∩犆，并解释它们的几何意义．
９．已知集合犃＝｛１，３，犪２｝，犅＝｛１，犪＋２｝，是否存在实数犪，使得犃∪犅＝犃？若存在，试求
出实数犪的值；若不存在，请说明理由．
１０．把下列定理表示的命题写成含有量词的命题：
（１）勾股定理；
（２）三角形内角和定理．
   ጊ
１１．学校举办运动会时，高一（１）班共有２８名同学参加比赛，有１５人参加游泳比赛，有８人参
加田径比赛，有１４人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有３人，同时参加游泳
比赛和球类比赛的有３人，没有人同时参加三项比赛．同时参加田径和球类比赛的有多少人？
只参加游泳一项比赛的有多少人？
A
B
C
D
F
E
O
（第１２（２）题）
１２．根据下述事实，分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：
（１）１＝１２，
１＋３＝２２，
１＋３＋５＝３２，
１＋３＋５＋７＝４２，
１＋３＋５＋７＋９＝５２，
……
（２）如图，在△犃犅犆中，犃犇，犅犈与犆犉分别为犅犆，犃犆与犃犅边上的高，则犃犇，犅犈与
犆犉所在的直线交于一点犗．
５３
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第二章
一元二次函数、方程和不等式
相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系．我们可以
利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等
式解决数学内外的各种问题．在初中，我们已学过一次函数与方
程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程（组）、
不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一
起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现．
本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认
识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，
通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的
不等式———基本不等式；通过从实际情境中抽象一元二次不等式
的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式
的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次
不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一
元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程
和不等式的数学思想方法．
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
２１　等式性质与不等式性质
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等
关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快
与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的
问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表
示，不等用不等式表示．
　　?你能写出其他的可
能情况吗？
问题１　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不
等关系吗？
（１）某路段限速４０ｋｍ／ｈ；
（２）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量犳
应不少于２．５％，蛋白质的含量狆应不少于２．３％；
（３）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第
三边；
（４）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线
段最短．
对于（１），设在该路段行驶的汽车的速度为狏ｋｍ／ｈ，“限
速４０ｋｍ／ｈ”就是狏的大小不能超过４０，于是０＜狏≤４０．
对于（２），由题意，得犳≥２．５％，
狆≥２．３％．
烅烄
烆
对于（３），设△犃犅犆的三条边为犪，犫，犮，则犪＋犫＞
犮，犪－犫＜犮．?
B
A
D
E
C
图２．１１
对于（４），如图２．１１，设犆是线段犃犅外的任意一
点，犆犇垂直于犃犅，垂足为犇，犈是线段犃犅上不同于犇
的任意一点，则犆犇＜犆犈．
以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．
接着，就可以用不等式研究相应的问题了．
问题２　某种杂志原以每本２．５元的价格销售，可以售出８万本．据市场调查，杂志
的单价每提高０．１元，销售量就可能减少２０００本．如何定价才能使提价后的销售总收入
不低于２０万元？
７３
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
设提价后每本杂志的定价为狓元，则销售总收入为（８－狓－２．５
０．１×０．２）狓万元．于是，
不等关系“销售总收入不低于２０万元”可以用不等式表示为
（８－狓－２．５
０．１×０．２）狓≥２０．
①
求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．
如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为
此，我们需要先研究不等式的性质．
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质
为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系
的基本事实．
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大
小关系：如图２．１２，设犪，犫是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是犃，犅．那
么，当点犃在点犅的左边时，犪＜犫；当点犃在点犅的右边时，犪＞犫．
A
B
a
b
a   b
x
A
B
a
b
a   b
x
ġ
ģ
图２．１２
关于实数犪，犫大小的比较，有以下基本事实：
如果犪－犫是正数，那么犪＞犫；如果犪－犫等于０，那么犪＝犫；如果犪－犫是负数，
那么犪＜犫．反过来也对．
这个基本事实可以表示为
犪＞犫犪－犫＞０；
犪＝犫犪－犫＝０；
犪＜犫犪－犫＜０．
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与０的
大小．
　　０是正数与负数的分
界点，它为实数比较大小
提供了“标杆”．
例１　比较（狓＋２）（狓＋３）和（狓＋１）（狓＋４）的大小．
分析：通过考察这两个多项式的差与０的大小关系，可
以得出它们的大小关系．
解：因为
　（狓＋２）（狓＋３）－（狓＋１）（狓＋４）
＝（狓２＋５狓＋６）－（狓２＋５狓＋４）
＝２＞０，
所以
（狓＋２）（狓＋３）＞（狓＋１）（狓＋４）．
８３
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于０的数（式）．这是解决不等
式问题的常用方法．
 ቃ
图２．１３
图２．１３是在北京召开的第２４届国际数学家大会的会标，会
标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看
上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一
些相等关系和不等关系吗？
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
a2+b2
图２．１４
将图２．１３中的“风车”抽象成图２．１４．在正方形犃犅犆犇中
有４个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为犪，
犫（犪≠犫），那么正方形的边长为犪２＋犫
槡
２．这样，４个直角三角形
的面积和为２犪犫，正方形的面积为犪２＋犫２．由于正方形犃犅犆犇的面
积大于４个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式
犪２＋犫２＞２犪犫．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即犪＝犫时，正方形
犈犉犌犎缩为一个点，这时有
犪２＋犫２＝２犪犫．
于是就有犪２＋犫２≥２犪犫．
一般地，犪，犫∈犚，有
犪２＋犫２≥２犪犫，
当且仅当犪＝犫时，等号成立．
事实上，利用完全平方差公式，得
犪２＋犫２－２犪犫＝（犪－犫）２．
因为犪，犫∈犚，（犪－犫）２≥０，当且仅当犪＝犫时，等号成立，
所以犪２＋犫２－２犪犫≥０．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得
犪２＋犫２≥２犪犫，当且仅当犪＝犫时，等号成立．
ጷ˸
5 m
5 m
5 m
5 m̲
 
፯ڡ
（第１（３）题）
１．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
（１）某高速公路规定通过车辆的车货总高度犺从地面算起不能超过４ｍ；
（２）犪与犫的和是非负实数；
（３）如图，在一个面积小于３５０ｍ２的矩形地基的中心位置上建造一
个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长犔大于宽犠的４倍．
９３
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
２．比较（狓＋３）（狓＋７）和（狓＋４）（狓＋６）的大小．
３．已知犪＞犫，证明犪＞犪＋犫
２＞犫．
关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到
底有哪些性质呢？
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研
究方法中获得启发．
 Ꮶ
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性
质的方法吗？
等式有下面的基本性质：
性质１　如果犪＝犫，那么犫＝犪；
性质２　如果犪＝犫，犫＝犮，那么犪＝犮；
性质３　如果犪＝犫，那么犪±犮＝犫±犮；
性质４　如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮；
　　运算中的不变性就是
性质．
性质５　如果犪＝犫，犮≠０，那么犪犮＝犫犮．
可以发现，性质１，２反映了相等关系自身的特性，性
质３，４，５是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保
持的不变性．
 ቃ
类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？
类比等式的性质１，２，可以猜想不等式有如下性质：
性质１　如果犪＞犫，那么犫＜犪；如果犫＜犪，那么犪＞犫．即
犪＞犫犫＜犪．
性质２　如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮．即
犪＞犫，犫＞犮犪＞犮．
我们来证明性质２：
０４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
由两个实数大小关系的基本事实知
犪＞犫犪－犫＞０
犫＞犮犫－犮＞０烍烌
烎犪－犫
（
）＋犫－犮
（
）＞０
犪－犮＞０犪＞犮．
　　从不同角度表述不等
式的性质，可以加深理解．
对其他不等式的性质，你
能用文字语言表述吗？
类比等式的性质３～５，可以猜想不等式还有如下性质：
性质３　如果犪＞犫，那么犪＋犮＞犫＋犮．
这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等
式与原不等式同向．
如图２．１５，把数轴上的两个点犃与犅同时沿相同方
向移动相等的距离，得到另两个点犃１与犅１，犃与犅和犃１
与犅１的左右位置关系不会改变．用不等式的语言表示，就
是上述性质３．
A
B
A1
B1
a
a+c
b
b+c
A
B
A1
B1
a
a+c
b
b+c
图２．１５
由性质３可得，
犪＋犫＞犮犪＋犫＋（－犫）＞犮＋（－犫）
犪＞犮－犫．
这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边．
性质４　如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮；如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮．
这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘
一个负数，所得不等式与原不等式反向．
利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质．例如，利用性
质２，３可以推出：
性质５　如果犪＞犫，犮＞犱，那么犪＋犮＞犫＋犱．
事实上，由犪＞犫和性质３，得犪＋犮＞犫＋犮；由犮＞犱和性质３，得犫＋犮＞犫＋犱．再
根据性质２，即得犪＋犮＞犫＋犱．
利用性质４和性质２可以推出：
性质６　如果犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，那么犪犮＞犫犱．
性质７　如果犪＞犫＞０，那么犪狀＞犫狀（狀∈犖，狀≥２）．
实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．
１４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
例２　已知犪＞犫＞０，犮＜０，求证犮犪＞犮犫．
分析：要证明犮犪＞犮犫，因为犮＜０，所以可以先证明１犪＜１犫．利用已知犪＞犫＞０和性质３，
即可证明１犪＜１犫．
证明：因为犪＞犫＞０，所以犪犫＞０，１犪犫＞０．
于是
犪·１犪犫＞犫·１犪犫，
即
１犫＞１犪．
由犮＜０，得犮犪＞犮犫．
ጷ˸
１．证明不等式性质１，３，４，６．
２．用不等号“＞”或“＜”填空：
（１）如果犪＞犫，犮＜犱，那么犪－犮　　　犫－犱；
（２）如果犪＞犫＞０，犮＜犱＜０，那么犪犮　　　犫犱；
（３）如果犪＞犫＞０，那么１犪２　　　１犫２；
（４）如果犪＞犫＞犮＞０，那么犮犪　　　犮犫．
ܭ˸ ڍ
习题２．１
１．举出几个现实生活中与不等式有关的例子．
２．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案Ａ为一次性投资５００万元；方
案Ｂ为第一年投资１００万元，以后每年投资１０万元．列出不等式表示“经过狀年之后，方案
Ｂ的投入不少于方案Ａ的投入”．
３．比较下列各组中两个代数式的大小：
（１）狓２＋５狓＋６与２狓２＋５狓＋９；　　　　（２）（狓－３）２与（狓－２）（狓－４）；
（３）当狓＞１时，狓２与狓２－狓＋１；　
（４）狓２＋狔２＋１与２（狓＋狔－１）．
４．一个大于５０且小于６０的两位数，其个位数字比十位数字大２．试用不等式表示上述关系，并
求出这个两位数（用犪和犫分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．
５．已知２＜犪＜３，－２＜犫＜－１，求２犪＋犫的取值范围．
６．证明：犮＜犫，犫＜犪犮＜犪．
２４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
፬Ռᤂၹ
７．已知犪＞犫＞０，犮＜犱＜０，犲＜０，求证犲
犪－犮＞犲
犫－犱．
８．下列不等式中成立的是（　　）．
（Ａ）若犪＞犫＞０，则犪犮２＞犫犮２　　　　　（Ｂ）若犪＞犫＞０，则犪２＞犫２
（Ｃ）若犪＜犫＜０，则犪２＜犪犫＜犫２　　
（Ｄ）若犪＜犫＜０，则１犪＜１犫
９．证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．并据此说明，人们通常把自来水管的
横截面制成圆形，而不是正方形的原因．
１０．已知犫克糖水中含有犪克糖（犫＞犪＞０），再添加犿克糖（犿＞０）（假设全部溶解），糖水变
甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
   ጊ
１１．已知犪＞犫＞０，求证槡犪＞槡犫．
１２．火车站有某公司待运的甲种货物１５３０ｔ，乙种货物１１５０ｔ．现计划用Ａ，Ｂ两种型号的货厢共
５０节运送这批货物．已知３５ｔ甲种货物和１５ｔ乙种货物可装满一节Ａ型货厢，２５ｔ甲种货物和
３５ｔ乙种货物可装满一节Ｂ型货厢，据此安排Ａ，Ｂ两种货厢的节数，共有几种方案？若每节Ａ
型货厢的运费是０．５万元，每节Ｂ型货厢的运费是０．８万元，哪种方案的运费较少？
３４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
２２　基本不等式
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那
么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与
乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题．
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
犪，犫∈犚，有
犪２＋犫２≥２犪犫，
当且仅当犪＝犫时，等号成立．
特别地，如果犪＞０，犫＞０，我们用槡犪，槡犫分别代替上式中的犪，犫，可得
槡犪犫≤犪＋犫
２，
（１）
当且仅当犪＝犫时，等号成立．
通常称不等式（１）为基本不等式（ｂａｓｉｃｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．其中，犪＋犫
２叫做正数犪，犫的
算术平均数，槡犪犫叫做正数犪，犫的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
上面通过考察犪２＋犫２≥２犪犫的特殊情形获得了基本不等式．能否直接利用不等式的性
质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下．
要证
槡犪犫≤犪＋犫
２，
①
只要证
２槡犪犫≤犪＋犫．
②
要证②，只要证
２槡犪犫－犪－犫≤０．
③
要证③，只要证
－（槡犪－槡犫）２≤０．
④
要证④，只要证
（槡犪－槡犫）２≥０．
⑤
显然，⑤成立，当且仅当犪＝犫时，⑤中的等号成立．
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了．
４４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
 ቃ
A
C
B
E
D
a
b
图２．２１
在图２．２１中，犃犅是圆的直径，点犆是犃犅上一点，
犃犆＝犪，犅犆＝犫．过点犆作垂直于犃犅的弦犇犈，连接犃犇，
犅犇．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
如图２．２１，可证△犃犆犇∽△犇犆犅，因而犆犇＝槡犪犫．由于犆犇小于或等于圆的半
径，用不等式表示为
槡犪犫≤犪＋犫
２．
显然，当且仅当点犆与圆心重合，即当犪＝犫时，上述不等式的等号成立．
例１已知狓＞０，求狓＋１狓的最小值．
分析：求狓＋１狓的最小值，就是要求一个狔０（＝狓０＋１狓０），使狓＞０，都有
狓＋１狓≥狔０．观察狓＋１狓，发现狓·１狓＝１．联系基本不等式，可以利用正数狓和１狓的算术
平均数与几何平均数的关系得到狔０＝２．
解：因为狓＞０，所以
狓＋１狓≥２狓·１狓
槡
＝２，
当且仅当狓＝１狓，即狓２＝１，狓＝１时，等号成立，因此所求的最小值为２．
在本题的解答中，我们不仅明确了狓＞０，有狓＋１狓≥２，而且给出了“当且仅当狓＝
１狓，即狓２＝１，狓＝１时，等号成立”，这是为了说明２是狓＋１狓（狓＞０）的一个取值．想一
想，当狔０＜２时，狓＋１狓≥狔０成立吗？这时能说狔０是狓＋１狓（狓＞０）的最小值吗？
例２　已知狓，狔都是正数，求证：
（１）如果积狓狔等于定值犘，那么当狓＝狔时，和狓＋狔有最小值２槡犘；
（２）如果和狓＋狔等于定值犛，那么当狓＝狔时，积狓狔有最大值１４犛２．
５４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
证明：因为狓，狔都是正数，所以
狓＋狔
２≥狓槡狔．
（１）当积狓狔等于定值犘时，
狓＋狔
２≥槡犘，
所以
狓＋狔≥２槡犘，
当且仅当狓＝狔时，上式等号成立．于是，当狓＝狔时，和狓＋狔有最小值２槡犘．
（２）当和狓＋狔等于定值犛时，
狓槡狔≤犛２，
所以
狓狔≤１４犛２，
当且仅当狓＝狔时，上式等号成立．于是，当狓＝狔时，积狓狔有最大值１４犛２．
ጷ˸
１．已知犪，犫∈犚，求证犪犫≤（犪＋犫
２）
２．
２．已知狓，狔都是正数，且狓≠狔，求证：
（１）狓狔＋狔狓＞２；　　（２）２狓狔
狓＋狔＜狓槡狔．
３．当狓取什么值时，狓２＋１狓２取得最小值？最小值是多少？
４．已知－１≤狓≤１，求１－狓２的最大值．
５．已知直角三角形的面积等于５０ｃｍ２，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小
值是多少？
基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
例３（１）用篱笆围一个面积为１００ｍ２的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所
用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（２）用一段长为３６ｍ的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大？最大面积是多少？
分析：（１）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积
为定值，边长多大时周长最短．
６４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
（２）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的２倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为
定值，边长多大时面积最大．
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为狓ｍ，狔ｍ，篱笆的长度为２（狓＋狔）ｍ．
（１）由已知得狓狔＝１００．
由
狓＋狔
２≥狓槡狔，
可得
狓＋狔≥２狓槡狔＝２０，
所以
２（狓＋狔）≥４０，
当且仅当狓＝狔＝１０时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为１０ｍ的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度
为４０ｍ．
（２）由已知得２（狓＋狔）＝３６，矩形菜园的面积为狓狔ｍ２．
由
狓槡狔≤狓＋狔
２＝１８２＝９，
可得
狓狔≤８１，
当且仅当狓＝狔＝９时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为９ｍ的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是８１ｍ２．
例４　某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积
为４８００ｍ３，深为３ｍ．如果池底每平方米的造价为１５０元，
池壁每平方米的造价为１２０元，那么怎样设计水池能使总造
价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是３ｍ，池底的边长没有确定．如果池底的边长确
定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总
造价最低．
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为狓ｍ，狔ｍ，水池的总造价为狕元．根
据题意，有
狕＝１５０×４８００
３＋１２０（２×３狓＋２×３狔）
＝２４００００＋７２０（狓＋狔）．
由容积为４８００ｍ３，可得
３狓狔＝４８００，
７４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
因此
狓狔＝１６００．
所以
狕≥２４００００＋７２０×２狓槡狔，
当狓＝狔＝４０时，上式等号成立，此时狕＝２９７６００．
所以，将贮水池的池底设计成边长为４０ｍ的正方形时总造价最低，最低总造价是
２９７６００元．
ጷ˸
１．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
２．用一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长１８ｍ．当这个矩形的边长为多少时，
菜园的面积最大？最大面积是多少？
３．做一个体积为３２ｍ３，高为２ｍ的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
４．已知一个矩形的周长为３６ｃｍ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋
转形成的圆柱的侧面积最大？
ܭ˸ ڍ
习题２．２
１．（１）已知狓＞１，求狓＋１
狓－１的最小值；
（２）求狓（１０－狓
槡
）的最大值．
２．（１）把３６写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（２）把１８写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
３．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为４８ｍ２，房屋正面每平方米的造价为１２００元，
房屋侧面每平方米的造价为８００元，屋顶的造价为５８００元．如果墙高为３ｍ，且不计房屋背
面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
፬Ռᤂၹ
４．已知狓，狔，狕都是正数，求证：（狓＋狔）（狔＋狕）（狕＋狓）≥８狓狔狕．
５．已知狓＞０，求证：２－３狓－４狓的最大值是
槡
２－４３．
６．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费
狔１（单位：元）与仓库到车站的距离狓（单位：ｋｍ）成反比，每月库存货物费狔２（单位：
元）与狓成正比；若在距离车站１０ｋｍ处建仓库，则狔１和狔２分别为２万元和８万元．这家公
司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
８４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
   ጊ
７．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买１０ｇ黄金，售货员先将５ｇ
的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将５ｇ的砝码放在天平
右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认
为顾客购得的黄金是小于１０ｇ，等于１０ｇ，还是大于１０ｇ？为什么？
８．设矩形犃犅犆犇（犃犅＞犃犇）的周长为２４ｃｍ，把△犃犅犆沿犃犆向△犃犇犆折叠，犃犅折过去后
交犇犆于点犘．设犃犅＝狓ｃｍ，求△犃犇犘的最大面积及相应狓的值．
９４
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
２３　二次函数与一元二次方程、不等式
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一
次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更
好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次
不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题．
问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种
植花卉．若栅栏的长度是２４ｍ，围成的矩形区域的面积要
大于２０ｍ２，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为狓ｍ，则另一条边长为
（１２－狓）ｍ．由题意，得
（１２－狓）狓＞２０，
其中狓∈｛狓｜０＜狓＜１２｝．整理得
狓２－１２狓＋２０＜０，狓∈｛狓｜０＜狓＜１２｝．
①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是２的不等式，称为一元
二次不等式（ｑｕａｄｒｉｃｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．一元二次不等式的一般形式是
犪狓２＋犫狓＋犮＞０或犪狓２＋犫狓＋犮＜０，
其中犪，犫，犮均为常数，犪≠０．
 Ꮶ
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想
方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式
的求解方法呢？
下面，我们先考察一元二次不等式狓２－１２狓＋２０＜０与二次函数狔＝狓２－１２狓＋２０之
间的关系．
如图２．３１，在平面直角坐标系中画出二次函数狔＝狓２－１２狓＋２０的图象，图象与狓
轴有两个交点．我们知道，这两个交点的横坐标就是方程狓２－１２狓＋２０＝０的两个实数根
狓１＝２，狓２＝１０，因此二次函数狔＝狓２－１２狓＋２０与狓轴的两个交点是（２，０）和（１０，０）．
一般地，对于二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，我们把使犪狓２＋犫狓＋犮＝０的实数狓叫做二次函数
０５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
y=x2-12x+20
y
x
O
5
10
-5
-10
-15
2
10
20
5
15
图２．３１
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的零点．于是，二次函数狔＝狓２－１２狓＋２０
的两个零点是狓１＝２，狓２＝１０．
从图２．３１可以看出，二次函数狔＝狓２－１２狓＋２０的两
个零点狓１＝２，狓２＝１０将狓轴分成三段．相应地，当狓＜２
或狓＞１０时，函数图象位于狓轴上方，此时狔＞０，即狓２－
１２狓＋２０＞０；当２＜狓＜１０时，函数图象位于狓轴下方，此
时狔＜０，即狓２－１２狓＋２０＜０．所以，一元二次不等式狓２－
１２狓＋２０＜０的解集是
｛狓｜２＜狓＜１０｝．
因为｛狓｜２＜狓＜１０｝｛狓｜０＜狓＜１２｝，因此当围成的矩
形的一条边长狓满足２＜狓＜１０时，围成的矩形区域的面积
大于２０ｍ２．
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０）和犪狓２＋犫狓＋
犮＜０（犪＞０）的解集．因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元
二次方程的根，再根据二次函数图象与狓轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．
我们知道，对于一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪＞０），设Δ＝犫２－４犪犮，它的根按照
Δ＞０，Δ＝０，Δ＜０可分为三种情况．相应地，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪＞０）的图象与
狓轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式
犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０）和犪狓２＋犫狓＋犮＜０（犪＞０）的解集（表２．３１）．
表２３１　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞０
Δ＝０
Δ＜０
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪＞０）
的图象
O
y
x
x1
x2
O
y
x
x1=x2
O
y
x
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪＞０）
的根
有两个不相等的实数
根狓１，狓２（狓１＜狓２）
有两个相等的实数根
狓１＝狓２＝－犫２犪
没有实数根
犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０）
的解集
｛狓｜狓＜狓１，或狓＞狓２｝
｛狓｜狓≠－犫２犪｝
犚
犪狓２＋犫狓＋犮＜０（犪＞０）
的解集
｛狓｜狓１＜狓＜狓２｝


１５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
y=x2-5x+6
y
x
O
1
2
3
4
5
-1
2
4
3
1
-1
6
图２．３２
例１　求不等式狓２－５狓＋６＞０的解集．
分析：因为方程狓２－５狓＋６＝０的根是函数狔＝狓２－５狓＋６
的零点，所以先求出狓２－５狓＋６＝０的根，再根据函数图象
得到狓２－５狓＋６＞０的解集．
解：对于方程狓２－５狓＋６＝０，因为Δ＞０，所以它有两
个实数根．解得狓１＝２，狓２＝３．
画出二次函数狔＝狓２－５狓＋６的图象（图２．３２），结合
图象得不等式狓２－５狓＋６＞０的解集为｛狓｜狓＜２，或狓＞３｝．
y
x
O
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.2
0.4
0.6
y=9x2-6x+1
图２．３３
例２　求不等式９狓２－６狓＋１＞０的解集．
解：对于方程９狓２－６狓＋１＝０，因为Δ＝０，所以它有
两个相等的实数根，解得狓１＝狓２＝１３．
画出二次函数狔＝９狓２－６狓＋１的图象（图２．３３），结
合图象得不等式９狓２－６狓＋１＞０的解集为｛狓｜狓≠１３｝．
例３　求不等式－狓２＋２狓－３＞０的解集．
解：不等式可化为狓２－２狓＋３＜０．
因为Δ＝－８＜０，所以方程狓２－２狓＋３＝０无实数根．
画出二次函数狔＝狓２－２狓＋３的图象（图２．３４）．
　　对于二次项系数是负
数（即犪＜０）的不等式，
可以先把二次项系数化成
正数，再求解．
y
x
O
2
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
10
9
2
-2
4
y=x2-2x+3
图２．３４
结合图象得不等式狓２－２狓＋３＜０的解集为．
因此，原不等式的解集为．
现在，你能解决第２．１节的“问题２”了吗？
利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程．这里，我们以求解可化成
犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程（图２．３５）．
２５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
 ሮaxὉbxὉc Ὓ
     
Ԕˀ኎ ᄊᝍᬷ
˞ R
Ԕˀ኎ ᄊᝍᬷ
˞
ᾙx] xķ
ᾛ
Ԕˀ኎ ᄊᝍᬷ
˞
ᾙx] x὚x Ὂ x὜xᾛ
 Ԕˀ኎ ӑ ax bx c὜὆a὜὇ᄊ  
 ሮaxὉb
b
2a
xὉcὛ 
ː˔ᄱ኎ᄊ   Ὂᝍ
 xx
b
2a
ᝠካὛb
Ὃac ᄊϙ
 ሮaxὉbxὉcὛ 
ː˔ˀᄱ኎ᄊ   Ὂ
ᝍ xὊx὆x὚x὇
὜
὚
Δ
Δ
Δ
Δ
Ὓ
Ὃ
Ὃ
图２．３５
ጷ˸
１．求下列不等式的解集：
（１）（狓＋２）（狓－３）＞０；　　　　　（２）３狓２－７狓≤１０；
（３）－狓２＋４狓－４＜０；　　
（４）狓２－狓＋１４＜０；
（５）－２狓２＋狓≤－３；　　　
（６）狓２－３狓＋４＞０．
２．当自变量狓在什么范围取值时，下列函数的值等于０？大于０？小于０？
（１）狔＝３狓２－６狓＋２；　　
（２）狔＝２５－狓２；
（３）狔＝狓２＋６狓＋１０；　　
（４）狔＝－３狓２＋１２狓－１２．
利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子．
例４　一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车
数量狓（单位：辆）与创造的价值狔（单位：元）之间有如下的关系：
狔＝－２狓２＋２２０狓．
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收６０００元以上，则在一个星期内大
约应该生产多少辆摩托车？
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产狓辆摩托车，根据题
意，得
－２狓２＋２２０狓＞６０００．
移项整理，得
狓２－１１０狓＋３０００＜０．
对于方程狓２－１１０狓＋３０００＝０，Δ＝１００＞０，方程有两个实数根狓１＝５０，狓２＝６０．
３５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
O
y
x
60
40
30
20
10
10
20
30
40
50
50
y=x2-110x+3 000
图２．３６
画出二次函数狔＝狓２－１１０狓＋３０００的图象（图２．３６），结合
图象得不等式狓２－１１０狓＋３０００＜０的解集为｛狓｜５０＜狓＜６０｝，
从而原不等式的解集为
｛狓｜５０＜狓＜６０｝．
因为狓只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩
托车数量在５１～５９辆时，这家工厂能够获得６０００元以上的收益．
例５　某种汽车在水泥路面上的刹车距离狊（单位：ｍ）
和汽车刹车前的车速狏（单位：ｋｍ／ｈ）之间有如下关系：
狊＝１２０狏＋１１８０狏２．
　　刹车距离是指汽车刹
车后由于惯性往前滑行的
距离．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于３９．５ｍ，
那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到１ｋｍ／ｈ）？
解：根据题意，得
１２０狏＋１１８０狏２＞３９．５．
移项整理，得
狏２＋９狏－７１１０＞０．
O
s
v
v1
v2
s=v2+9v-7 110
图２．３７
对于方程狏２＋９狏－７１１０＝０，Δ＞０，方程有两个实数
根狏１＝－９－槡２８５２１
２
，狏２＝－９＋槡２８５２１
２
．
画出二次函数狊＝狏２＋９狏－７１１０的图象（图２．３７），
结合图象得不等式的解集为｛狏｜狏＜狏１，或狏＞狏２｝，从而原
不等式的解集为
｛狏｜狏＜狏１，或狏＞狏２｝．
因为车速狏＞０，所以狏＞狏２．而７９．９＜狏２＜８０，所以这
辆汽车刹车前的车速至少为８０ｋｍ／ｈ．
类似地，第２．１节的不等式①经移项整理，得２狓２－１３狓＋２０≤０．用上述方法解这个
不等式，得｛狓｜２．５≤狓≤４｝．所以，当每本杂志的定价不低于２．５元且不超过４元时，
提价后的销售总收入不低于２０万元．
ጷ˸
（第２题）
１．狓是什么实数时，狓２＋狓
槡
－１２有意义？
２．如图，在长为８ｍ，宽为６ｍ的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如
果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的
宽度应为多少米？
４５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
３．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为１５元．若按最低售价销售，每天能卖出３０
个；若一个削笔器的售价每提高１元，日销售量将减少２个．为了使这批削笔器每天获得４００元以上
的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？
ܭ˸ ڍ
习题２．３
１．求下列不等式的解集：
（１）１３－４狓２＞０；　　　　（２）（狓－３）（狓－７）＜０；
（３）狓２－３狓－１０＞０；　　　（４）－３狓２＋５狓－４＞０．
２．狓是什么实数时，下列各式有意义？
（１）狓２－４狓
槡
＋９；
（２）－２狓２＋１２狓
槡
－１８．
፬Ռᤂၹ
　　若不计空气阻力，则
竖直上抛的物体距离抛出
点的高度犺与时间狋满足关
系犺＝狏０狋－１２犵狋２，其中
犵≈１０ｍ／ｓ２．
３．已知犕＝｛狓｜４狓２－４狓－１５＞０｝，犖＝｛狓｜狓２－５狓－６＞０｝，求
犕∩犖，犕∪犖．
４．一名同学以初速度狏０＝１２ｍ／ｓ竖直上抛一排球，排球能够在
抛出点２ｍ以上的位置最多停留多长时间（精确到０．０１ｓ）？
５．已知集合犃＝｛狓｜狓２－１６＜０｝，犅＝｛狓｜狓２－４狓＋３＞０｝，
求犃∪犅．
   ጊ
x
y
O
45c
ᆊ݀
བྷ ᮳ ˗ 
（第６题）
６．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东４５°方向６００ｋｍ
处的热带风暴中心正以２０ｋｍ／ｈ的速度向正北方向移动，距风
暴中心４５０ｋｍ以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从
现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间
大约为多长（精确到０．１ｈ）？
５５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
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ˀ኎ 
 ሮ
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本章我们类比初中学过的等式与方程学习了不等式的一些知识．与用方程
刻画相等关系类似，我们用不等式刻画不等关系．解决不等式问题需要利用不
等式的性质，为此，在学习关于实数大小关系的基本事实的基础上，类比等式
的性质，先研究了不等式的一些性质；接着，利用不等式的性质研究了基本不
等式，并用基本不等式解决了一些最值问题；最后，学习了一元二次不等式，
并利用它与二次函数、一元二次方程的联系获得了求解它的一种方法．
关于实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础．不等
式与等式之间既有共性又有差异，所以可以通过类比等式的内容和研究方法，
获得关于不等式的内容和研究方法的启发．其中，“运算中的不变性就是性质”
指引我们发现了一些不等式的性质；等号没有方向性而不等号具有方向性，这
使我们注意到，在不等式两边同乘一个数（式）时，所乘数（式）的符号对不
等号方向的影响；等等．以实数大小关系的基本事实为基础，先通过类比，归
纳猜想出不等式性质；再运用逻辑推理证明不等式性质．这个过程不仅可以使
我们学习发现数学关系、规律的方法，而且可以培养我们借助直观理解数学内
容、通过逻辑推理证明数学结论的思维习惯．
同样地，类比用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，我们
得到了以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来的思想
方法，并得到了一种利用函数的零点求一元二次不等式解集的简捷方法．
因此，类比是发现的引路人，在今后的学习中我们会经常用到它．
请你带着下面的问题，复习一下本章内容吧！
１．举出一些蕴含不等关系的实际例子，并用不等式描述这些不等关系．
２．你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗？
６５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
３．在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，你认为应特别注意哪
些问题？
４．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变
化，基本不等式就是其中之一．你还能通过运算（代数变形）得出基本不等式
的一些变式吗？通过对变式的研究，你有什么体会？
５．用基本不等式解决最大值、最小值问题时，你认为应注意哪些问题？
６．用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，其中函数的图象、零
点、图象与狓轴的关系等是关键要素．你能以函数观点看一元二次方程、一元
二次不等式为例，谈谈体会吗？
ܭ˸ ڍ
复习参考题２
（第１题）
１．某夏令营有４８人，出发前要从Ａ，Ｂ两种型号的帐篷中选择一
种．Ａ型号的帐篷比Ｂ型号的少５顶．若只选Ａ型号的，每顶帐
篷住４人，则帐篷不够；每顶帐篷住５人，则有一顶帐篷没有住
满．若只选Ｂ型号的，每顶帐篷住３人，则帐篷不够；每顶帐篷
住４人，则有帐篷多余．设Ａ型号的帐篷有狓顶，用不等式将题
目中的不等关系表示出来．
２．用不等号“＞”或“＜”填空：
（１）若犪＞犫，且１犪＞１犫，则犪犫
０；
（２）若犮＞犪＞犫＞０，则犪
犮－犪
犫
犮－犫；
（３）若犪＞犫＞犮＞０，则犪犫
犪＋犮
犫＋犮．
３．（１）在面积为定值犛的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？
（２）在周长为定值犘的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？
４．求下列不等式的解集：
（１）１４－４狓２≥狓；　　　　　（２）狓２－１４狓＋４５≤０；
（３）狓２＋６狓＋１０＞０；　　　（４）狓（狓＋２）＞狓（３－狓）＋１．
７５
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
፬Ռᤂၹ
５．若犪，犫＞０，且犪犫＝犪＋犫＋３，求犪犫的取值范围．
６．当犽取什么值时，一元二次不等式２犽狓２＋犽狓－３８＜０对一切实数狓都成立？
７．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于
１０％，而且这个比值越大，采光效果越好．
（１）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为２２０ｍ２，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（２）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
８．相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就
可得到一个相应的不等关系的命题．请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，
仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并
说明理由．
相等关系
不等关系
相等关系的命题
不等关系的命题
判断正误
（１）若狓＝狔，则狓３＝狔３
（１）若狓＞狔，则狓３＞狔３
正确
   ጊ
M
N
A
B
E
F
C
D
P
H
G
（第９题）
９．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图
是由两个相同的矩形犃犅犆犇和犈犉犌犎构成的面积为２００ｍ２的十字
形地域．计划在正方形犕犖犘犙上建一座花坛，造价为４２００元／ｍ２；
在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
２１０元／ｍ２；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为
８０元／ｍ２．设总造价为犛（单位：元），犃犇长为狓（单位：ｍ）．当
狓为何值时，犛最小？并求出这个最小值．
１０．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑
物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑
物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方
式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
８５
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第三章
函数的概念与性质
客观世界中有各种各样的运动变化现象．例如，天宫二号在
发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水
的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我
国高速铁路营业里程逐年增加，已突破２万公里……所有这些都
表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，
并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律．
随着学习的深入你会发现，函数是贯穿高中数学的一条主
线，是解决数学问题的基本工具；函数概念及其反映的数学思想
方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础．
同时，函数知识有广泛的实际应用，并且是学习其他学科的重要
基础．本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言
和对应关系刻画函数概念，通过函数的不同表示法加深对函数概
念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过
幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法．在此基础
上，学习运用函数理解和处理问题的方法．
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第三章　函数的概念与性质
３１　函数的概念及其表示
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变
量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长犾
与边长狓的对应关系是犾＝４狓，而且对于每一个确定的狓都
有唯一的犾与之对应，所以犾是狓的函数．这个函数与正比
例函数狔＝４狓相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断
狔＝狓与狔＝狓２
狓是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一
步学习函数概念．
３１１!
"#$%&
先分析以下问题．
问题１　某“复兴号”高速列车加速到３５０ｋｍ?ｈ后保
持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程犛（单
位：ｋｍ）与运行时间狋（单位：ｈ）的关系可以表示为
犛＝３５０狋．
这里，狋和犛是两个变量，而且对于狋的每一个确定的
值，犛都有唯一确定的值与之对应，所以犛是狋的函数．
 Ꮶ
有人说：“根据对应关系犛＝３５０狋，这趟列车加速到３５０ｋｍ?ｈ后，运行１ｈ就前
进了３５０ｋｍ．”你认为这个说法正确吗？
根据问题１的条件，我们不能判断列车以３５０ｋｍ?ｈ运行半小时后的情况，所以上述
说法不正确．显然，其原因是没有关注到狋的变化范围．
下面用更精确的语言表示问题１中犛与狋的对应关系．
列车行进的路程犛与运行时间狋的对应关系是
犛＝３５０狋．
①
其中，狋的变化范围是数集犃１＝｛狋｜０≤狋≤０．５｝，犛的变化范围是数集犅１＝｛犛｜０≤犛≤１７５｝．
对于数集犃１中的任一时刻狋，按照对应关系①，在数集犅１中都有唯一确定的路程犛和它
对应．
０６
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第三章　函数的概念与性质
问题２　某电气维修公司要求工人每周工作至少１天，至多不超过６天．如果公司确
定的工资标准是每人每天３５０元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人
每周的工资？一个工人的工资狑（单位：元）是他工作天数犱的函数吗？
　　问题１和问题２中的
函数有相同的对应关系，
你认为它们是同一个函数
吗？为什么？
显然，工资狑是一周工作天数犱的函数，其对应关
系是
狑＝３５０犱．
②
其中，犱的变化范围是数集犃２＝｛１，２，３，４，５，６｝，狑的变化
范围是数集犅２＝｛３５０，７００，１０５０，１４００，１７５０，２１００｝．对于
数集犃２中的任一个工作天数犱，按照对应关系②，在数集
犅２中都有唯一确定的工资狑与它对应．
问题３　图３．１１是北京市２０１６年１１月２３日的空气质
量指数（ＡｉｒＱｕａｌｉｔｙＩｎｄｅｘ，简称ＡＱＩ）变化图．如何根据
该图确定这一天内任一时刻狋ｈ的空气质量指数（ＡＱＩ）的
值犐？你认为这里的犐是狋的函数吗？
ᣐ   
ᓢ͖










Ӓ̛
ቇ ᠏
᧚  
图３．１１
　　你能根据图３．１１找
到中午１２时的ＡＱＩ的
值吗？
从图３．１１中的曲线可知，狋的变化范围是数集犃３＝
｛狋｜０≤狋≤２４｝，ＡＱＩ的值犐都在数集犅３＝｛犐｜０＜犐＜１５０｝
中．对于数集犃３中的任一时刻狋，按照图３．１１中曲线所给
定的对应关系，在数集犅３中都有唯一确定的ＡＱＩ的值犐与
之对应．因此，这里的犐是狋的函数．
问题４　国际上常用恩格尔系数狉（狉＝食物支出金额
总支出金额）反
映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质
量越高．表３．１１是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情
况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
１６
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第三章　函数的概念与性质
表３１１　我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
年份狔
２００６２００７２００８２００９２０１０２０１１２０１２２０１３２０１４２０１５
恩格尔系数狉（％）３６．６９３６．８１３８．１７３５．６９３５．１５３３．５３３３．８７２９．８９２９．３５２８．５７
你认为按表３．１１给出的对应关系，恩格尔系数狉是年份狔的函数吗？如果是，你会
用怎样的语言来刻画这个函数？
这里，狔的取值范围是数集犃４＝｛２００６，２００７，２００８，２００９，２０１０，２０１１，２０１２，２０１３，
２０１４，２０１５｝；根据恩格尔系数的定义可知，狉的取值范围是数集犅４＝｛狉｜０＜狉≤１｝．对于
数集犃４中的任意一个年份狔，根据表３．１１所给定的对应关系，在数集犅４中都有唯一确
定的恩格尔系数狉与之对应．所以，狉是狔的函数．
 ጪ
上述问题１～问题４中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质
特征吗？
上述问题的共同特征有：
（１）都包含两个非空数集，用犃，犅来表示；
（２）都有一个对应关系；
（３）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集犃中的任意一
个数狓，按照对应关系，在数集犅中都有唯一确定的数狔和它对应．
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，
我们引进符号犳统一表示对应关系．
一般地，设犃，犅是非空的实数集，如果对于集合犃中的任意一个数狓，按照某种
确定的对应关系犳，在集合犅中都有唯一确定的数狔和它对应，那么就称犳：犃→犅为从
集合犃到集合犅的一个函数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作
狔＝犳（狓），狓∈犃．
　　函数符号狔＝犳（狓）
是由德国数学家莱布尼兹
在１８世纪引入的．
其中，狓叫做自变量，狓的取值范围犃叫做函数的定义域
（ｄｏｍａｉｎ）；与狓的值相对应的狔值叫做函数值，函数值的
集合｛犳（狓）｜狓∈犃｝叫做函数的值域（ｒａｎｇｅ）．
显然，值域是集合犅的子集．在问题１与问题２中，值
域就是犅１和犅２；在问题３中，值域是数集犅３的真子集；
在问题４中，值域犆４＝｛０．３６６９，０．３６８１，０．３８１７，０．３５６９，
０．３５１５，０．３３５３，０．３３８７，０．２９８９，０．２９３５，０．２８５７｝，是数集
犅４＝｛狉｜０＜狉≤１｝的真子集．
２６
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第三章　函数的概念与性质
我们所熟悉的一次函数狔＝犪狓＋犫（犪≠０）的定义域是犚，值域也是犚．对应关系犳把
犚中的任意一个数狓，对应到犚中唯一确定的数犪狓＋犫（犪≠０）．
二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）的定义域是犚，值域是犅．当犪＞０时，犅＝
狔狔≥４犪犮－犫２
４犪
烅烄烆
烍烌烎；当犪＜０时，犅＝狔狔≤４犪犮－犫２
４犪
烅烄烆
烍烌烎．对应关系犳把犚中的任意一个数
狓，对应到犅中唯一确定的数犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）．
 Ꮶ
反比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义
描述这个函数．
例１　函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的
对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数狔＝犽狓
（犽≠０）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关
系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式狔＝狓（１０－狓）来描述．
解：把狔＝狓（１０－狓）看成二次函数，那么它的定义域是犚，值域是犅＝｛狔｜狔≤２５｝．
对应关系犳把犚中的任意一个数狓，对应到犅中唯一确定的数狓（１０－狓）．
如果对狓的取值范围作出限制，例如狓∈｛狓｜０＜狓＜１０｝，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为２０，设一边长为狓，面积为狔，那么狔＝狓（１０－狓）．
其中，狓的取值范围是犃＝｛狓｜０＜狓＜１０｝，狔的取值范围是犅＝｛狔｜０＜狔≤２５｝．对应
关系犳把每一个长方形的边长狓，对应到唯一确定的面积狓（１０－狓）．
 ቃ
构建其他可用解析式狔＝狓（１０－狓）描述其中变量关系的问题情境．
ጷ˸
（第１题）
１．一枚炮弹发射后，经过２６ｓ落到地面击中目标．炮弹的射高为
８４５ｍ，且炮弹距地面的高度犺（单位：ｍ）与时间狋（单位：ｓ）
的关系为
犺＝１３０狋－５狋２．
①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述
３６
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第三章　函数的概念与性质
２．２０１６年１１月２日８时至次日８时（次日的时间前加０表示）北京的温度走势如图所示．
（１）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
（２）根据图象，求这一天１２时所对应的温度．
Ć
Ć
Ć
Ć
Ć
Ć
Ć
Ć

 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
（第２题）
３．集合犃，犅与对应关系犳如下图所示：
1
A
B
2
3
4
5
1
2
3
4
5
（第３题）
犳：犃→犅是否为从集合犃到集合犅的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
４．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式狔＝槡狓来描述．
研究函数时常会用到区间的概念．
设犪，犫是两个实数，而且犪＜犫．我们规定：
（１）满足不等式犪≤狓≤犫的实数狓的集合叫做闭区间，表示为［犪，犫］；
（２）满足不等式犪＜狓＜犫的实数狓的集合叫做开区间，表示为（犪，犫）；
（３）满足不等式犪≤狓＜犫或犪＜狓≤犫的实数狓的集合叫做半开半闭区间，分别表
示为［犪，犫），（犪，犫］．
这里的实数犪与犫都叫做相应区间的端点．
这些区间的几何表示如表３．１２所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的
端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
表３１２
定义
名称
符号
数轴表示
｛狓｜犪≤狉≤犫｝
闭区间
［犪，犫］
　　
a
b
｛狓｜犪＜狉＜犫｝
开区间
（犪，犫）
　　
a
b
｛狓｜犪≤狉＜犫｝
半开半闭区间
［犪，犫）
　　
a
b
｛狓｜犪＜狉≤犫｝
半开半闭区间
（犪，犫］
　　
a
b
实数集犚可以用区间表示为（－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负
无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
４６
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第三章　函数的概念与性质
如表３．１３，我们可以把满足狓≥犪，狓＞犪，狓≤犫，狓＜犫的实数狓的集合，用区间
分别表示为［犪，＋∞），（犪，＋∞），（－∞，犫］，（－∞，犫）．
表３１３
定义
区间
数轴表示
狓狓≥犪
｛
｝
［犪，＋∞）
a
狓狓＞犪
｛
｝
（犪，＋∞）
a
狓狓≤犫
｛
｝
（－∞，犫］
b
狓狓＜犫
｛
｝
（－∞，犫）
b
　　在函数定义中，我们
用符号狔＝犳（狓）表示函
数，其中犳（狓）表示狓对
应的函数值，而不是犳
乘狓．
例２　已知函数犳（狓）＝狓槡＋３＋１
狓＋２，
（１）求函数的定义域；
（２）求犳（－３），犳（２３）的值；
（３）当犪＞０时，求犳（犪），犳（犪－１）的值．
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果
只给出解析式狔＝犳（狓），而没有指明它的定义域，那么函
数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．
解：（１）使根式狓槡＋３有意义的实数狓的集合是｛狓｜狓≥－３｝，使分式１
狓＋２有意义
的实数狓的集合是｛狓｜狓≠－２｝．所以，这个函数的定义域是
｛狓｜狓≥－３｝∩｛狓｜狓≠－２｝＝｛狓｜狓≥－３，且狓≠－２｝，
即［－３，－２）∪（－２，＋∞）．
（２）将－３与２３代入解析式，有
犳（－３）＝槡－３＋３＋１
－３＋２＝－１；
犳（２３）＝２３槡＋３＋１
２３＋２＝１１３槡＋３８＝３８＋槡３３３．
（３）因为犪＞０，所以犳（犪），犳（犪－１）有意义．
犳（犪）＝犪槡＋３＋１
犪＋２；
犳（犪－１）＝犪槡－１＋３＋１
犪－１＋２＝犪槡＋２＋１
犪＋１．
５６
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第三章　函数的概念与性质
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是
由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一
致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数．例
如，前面的问题１和问题２中，尽管两个函数的对应关系都是狔＝３５０狓，但它们的定义域
不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是犚，而是犚的真子集，
因此它们与正比例函数狔＝３５０狓（狓∈犚）也不是同一个函数．
此外，函数狌＝狋２，狋∈（－∞，＋∞），狓＝狔２，狔∈（－∞，＋∞）与狔＝狓２，
狓∈（－∞，＋∞），虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所
以它们是同一个函数．
例３　下列函数中哪个与函数狔＝狓是同一个函数？
（１）狔＝（槡狓）２；　　　　（２）狌＝３狏槡３；
（３）狔＝狓槡２；
（４）犿＝狀２
狀．
　　也可以利用信息技术
画出例３中四个函数的图
象，根据图象进行判断．
解：（１）狔＝（槡狓）２＝狓（狓∈｛狓｜狓≥０｝），它与函数狔＝
狓（狓∈犚）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个
函数与函数狔＝狓（狓∈犚）不是同一个函数．
（２）狌＝３狏槡３＝狏（狏∈犚），它与函数狔＝狓（狓∈犚）不仅
对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数
狔＝狓（狓∈犚）是同一个函数．
（３）狔＝狓槡２＝狓＝－狓，狓＜０，
狓，狓≥０，
烅烄
烆
它与函数狔＝狓（狓∈犚）
的定义域都是实数集犚，但是当狓＜０时，它的对应关系与
函数狔＝狓（狓∈犚）不相同．所以这个函数与函数狔＝狓
（狓∈犚）不是同一个函数．
（４）犿＝狀２
狀＝狀（狀∈｛狀｜狀≠０｝，它与函数狔＝狓（狓∈犚）
的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数狔＝
狓（狓∈犚）不是同一个函数．
 Ꮶ
至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进
了符号狔＝犳（狓），明确了函数的构成要素．比较函数的这两种定义，你对函数有什
么新的认识？
６６
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第三章　函数的概念与性质
ጷ˸
１．求下列函数的定义域：
（１）犳（狓）＝１
４狓＋７；　　　　　（２）犳（狓）＝１－
槡狓＋狓槡＋３－１．
２．已知函数犳（狓）＝３狓３＋２狓，
（１）求犳（２），犳（－２），犳（２）＋犳（－２）的值；
（２）求犳（犪），犳（－犪），犳（犪）＋犳（－犪）的值．
３．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（１）表示炮弹飞行高度犺与时间狋关系的函数犺＝１３０狋－５狋２和二次函数狔＝１３０狓－５狓２；
（２）犳（狓）＝１和犵（狓）＝狓０．
３１２!
"#$'()
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如３．１．１的问题１、２．
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如３．１．１的问题４．
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如３．１．１的问题３．
这三种方法是常用的函数表示法．
例４　某种笔记本的单价是５元，买狓（狓∈｛１，２，３，４，５｝）个笔记本需要狔元．试用函
数的三种表示法表示函数狔＝犳（狓）．
解：这个函数的定义域是数集｛１，２，３，４，５｝．
用解析法可将函数狔＝犳（狓）表示为
狔＝５狓，狓∈｛１，２，３，４，５｝．
用列表法可将函数狔＝犳（狓）表示为
笔记本数狓
１
２
３
４
５
钱数狔
５
１０
１５
２０
２５
用图象法可将函数狔＝犳（狓）表示为图３．１２．
　　函数图象既可以是连
续的曲线，也可以是直
线、折线、离散的点等．
那么判断一个图形是不是
函数图象的依据是什么？
y
x
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
O
　　　　　　　　　　　图３．１２
７６
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第三章　函数的概念与性质
 Ꮶ
（１）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
（２）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．
例５　画出函数狔＝｜狓｜的图象．
解：由绝对值的概念，我们有
y
x
O
1
2
3
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
　图３．１３
狔＝－狓，狓＜０，
狓，狓≥０．
烅烄
烆
所以，函数狔＝｜狓｜的图象如图３．１３所示．
像例５中狔＝－狓，狓＜０，
狓，狓≥０
烅烄
烆
这样的函数称为分段函数．生活
中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、
个人所得税纳税额等．
例６　给定函数犳（狓）＝狓＋１，犵（狓）＝（狓＋１）２，狓∈犚，
（１）在同一直角坐标系中画出函数犳（狓），犵（狓）的图象；
（２）!狓∈犚，用犕（狓）表示犳（狓），犵（狓）中的较大者，记为
犕（狓）＝ｍａｘ犳（狓），犵（狓）
｛
｝．
例如，当狓＝２时，犕（２）＝ｍａｘ犳（２），犵（２）
｛
｝＝ｍａｘ３，９
｛
｝＝９．
请分别用图象法和解析法表示函数犕（狓）．
解：（１）在同一直角坐标系中画出函数犳（狓），犵（狓）的图象（图３．１４）．
x
y
O
-2
5
1
4
3
2
1
-1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
f (x)=x+1
g (x)=(x+1)2
x
y
O
-2
5
1
4
3
2
1
-1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
M (x)
图３．１４　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图３．１５
　　你能用其他方法求出
犕（狓）的解析式吗？
（２）由图３．１４中函数取值的情况，结合函数犕（狓）
的定义，可得函数犕（狓）的图象（图３．１５）．
由（狓＋１）２＝狓＋１，得狓（狓＋１）＝０．
解得狓＝－１，或狓＝０．
结合图３．１５，得出函数犕（狓）的解析式为
８６
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第三章　函数的概念与性质
犕（狓）＝
（狓＋１）２，狓≤－１，
狓＋１，－１＜狓≤０，
（狓＋１）２，狓＞０．
烅
烄
烆
ጷ˸
x
25 cm
（第１题）
１．如图，把直截面半径为２５ｃｍ的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边
长为狓（单位：ｃｍ），面积为狔（单位：ｃｍ２），把狔表示为狓的函数．
２．画出函数狔＝｜狓－２｜的图象．
３．给定函数犳（狓）＝－狓＋１，犵（狓）＝（狓－１）２，狓∈犚，
（１）画出函数犳（狓），犵（狓）的图象；
（２）!狓∈犚，用犿（狓）表示犳（狓），犵（狓）中的较小者，记为犿（狓）＝
ｍｉｎ犳（狓），犵（狓）
｛
｝，请分别用图象法和解析法表示函数犿（狓）．
对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函
数关系．
例７　表３．１４是某校高一（１）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班
级平均分表．
表３１４
姓　名
测试序号
第１次
第２次
第３次
第４次
第５次
第６次
王　伟
９８
８７
９１
９２
８８
９５
张　城
９０
７６
８８
７５
８６
８０
赵　磊
６８
６５
７３
７２
７５
８２
班级平均分
８８．２
７８．３
８５．４
８０．３
７５．７
８２．６
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析．
解：从表３．１４中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学
的成绩变化情况．如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象
（均为６个离散的点）表示出来，如图３．１６，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的
情况，这对我们的分析很有帮助．
从图３．１６可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比
较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，
而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图
象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
９６
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第三章　函数的概念与性质
　　为了更容易看出一个
同学的学习情况，我们将
表示每位同学成绩的函数
图象（离散的点）用虚线
连接．
ძ͘
O
60
70
80
90
100
1
2
3
4
5
6
7
 ܐ
ᄓ
ᑌ
 
ې
ѳ
ᦷዧ
y
x
　　　　图３．１６
例８　依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个
人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．２０１９年１月１日起，个税税额根据应
纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．
①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除
－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．
②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年６００００元．税率与速算扣除数见表３．１５．
　　“综合所得”包括工
资、薪金，劳务报酬，稿
酬，特许权使用费；“专
项扣除”包括居民个人按
照国家规定的范围和标准
缴纳的基本养老保险、基
本医疗保险、失业保险等
社会保险费和住房公积金
等；“专项附加扣除”包
括子女教育、继续教育、
大病医疗、住房贷款利息
或者住房租金、赡养老人
等支出；“其他扣除”是
指除上述基本减除费用、
专项扣除、专项附加扣除
之外，由国务院决定以扣
除方式减少纳税的优惠政
策规定的费用．
表３１５
级数
全年应纳税所得额所在区间税率（％）速算扣除数
１
［０，３６０００］
３
０
２
（３６０００，１４４０００］
１０
２５２０
３
（１４４０００，３０００００］
２０
１６９２０
４
（３０００００，４２００００］
２５
３１９２０
５
（４２００００，６６００００］
３０
５２９２０
６
（６６００００，９６００００］
３５
８５９２０
７
（９６００００，＋∞）
４５
１８１９２０
（１）设全年应纳税所得额为狋，应缴纳个税税额为狔，
求狔＝犳（狋），并画出图象；
（２）小王全年综合所得收入额为１８９６００元，假定缴纳
的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和
住房公积金占综合所得收入额的比例分别是８％，２％，
１％，９％，专项附加扣除是５２８００元，依法确定其他扣除
是４５６０元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个
税税额：
０７
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第三章　函数的概念与性质
第一步，根据②计算出应纳税所得额狋；
第二步，由狋的值并根据表３．１５得出相应的税率与速算扣除数；
第三步，根据①计算出个税税额狔的值．
由于不同应纳税所得额狋对应不同的税率与速算扣除数，所以狔是狋的分段函数．
解：（１）根据表３．１５，可得函数狔＝犳（狋）的解析式为
狔＝
０．０３狋，０≤狋≤３６０００，
０．１狋－２５２０，３６０００＜狋≤１４４０００，
０．２狋－１６９２０，１４４０００＜狋≤３０００００，
０．２５狋－３１９２０，３０００００＜狋≤４２００００，
０．３狋－５２９２０，４２００００＜狋≤６６００００，
０．３５狋－８５９２０，６６００００＜狋≤９６００００，
０．４５狋－１８１９２０，狋＞９６００００．
烅
烄
烆
③
函数图象如图３．１７所示．
y
250 080
145 080
73 080
43 080
11 880
36 000
144 000
300 000
420 000
660 000
960 000
t
O
图３．１７
（２）根据②，小王全年应纳税所得额为
狋＝１８９６００－６００００－１８９６００（８％＋２％＋１％＋９％）－５２８００－４５６０
＝０．８×１８９６００－１１７３６０
＝３４３２０．
将狋的值代入③，得
狔＝０．０３×３４３２０＝１０２９．６．
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为１０２９．６元．
ጷ˸
１．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．
（１）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
（２）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（３）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
１７
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第三章　函数的概念与性质
ጫ  ል᧙ጫ
 ᱡ
O
(A)
(B)
(C)
(D)
ጫ  ል᧙ጫ
 ᱡ
O
ጫ  ል᧙ጫ
 ᱡ
O
ጫ  ል᧙ጫ
 ᱡ
O
（第１题）
２．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（１）５ｋｍ以内（含５ｋｍ），票价２元；
（２）５ｋｍ以上，每增加５ｋｍ，票价增加１元（不足５ｋｍ的按５ｋｍ计算）．
如果某条线路的总里程为２０ｋｍ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的
图象．
ܭ˸ ڍ
习题３．１
１．求下列函数的定义域：
（１）犳（狓）＝３狓
狓－４；　　　　　　（２）犳（狓）＝狓槡２；
（３）犳（狓）＝
６
狓２－３狓＋２；
（４）犳（狓）＝４－
槡狓
狓－１．
２．下列哪一组中的函数犳（狓）与犵（狓）是同一个函数？
（１）犳（狓）＝狓－１，犵（狓）＝狓２
狓－１；
（２）犳（狓）＝狓２，犵（狓）＝（槡狓）４；
（３）犳（狓）＝狓２，犵（狓）＝３狓槡６．
３．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：
（１）狔＝３狓；
（２）狔＝８狓；
（３）狔＝－４狓＋５；
（４）狔＝狓２－６狓＋７．
４．已知函数犳（狓）＝３狓２－５狓＋２，求犳（槡
－２），犳（－犪），犳（犪＋３），犳（犪）＋犳（３）的值．
５．已知函数犳（狓）＝狓＋２
狓－６，
（１）点（３，１４）在犳（狓）的图象上吗？
（２）当狓＝４时，求犳（狓）的值．
（３）当犳（狓）＝２时，求狓的值．
６．若犳（狓）＝狓２＋犫狓＋犮，且犳（１）＝０，犳（３）＝０，求犳（－１）的值．
２７
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第三章　函数的概念与性质
７．画出下列函数的图象：
（１）犳（狓）＝０，狓≤０，
１，狓＞０；
烅烄烆
　　　　（２）犌（狀）＝３狀＋１，狀∈｛１，２，３｝．
፬Ռᤂၹ
x
y
d
（第８题）
８．如图，矩形的面积为１０．如果矩形的长为狓，宽为狔，对角线为
犱，周长为犾，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
９．一个圆柱形容器的底部直径是犱ｃｍ，高是犺ｃｍ．现在以狏ｃｍ３／ｓ
的速度向容器内注入某种溶液．求容器内溶液的高度狓（单位：ｃｍ）
关于注入溶液的时间狋（单位：ｓ）的函数解析式，并写出函数的定
义域和值域．
１０．一个老师用５分制对数学作业评分．一次作业中，第一小组同学按座位序号１，２，３，４，５，
６的次序，得分依次是５，３，４，２，４，５．你会怎样表示这次作业的得分情况？用狓，狔分别
表示序号和对应的得分，狔是狓的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是
什么？
１１．函数狉＝犳（狆）的图象如图所示，
（１）函数狉＝犳（狆）的定义域、值域各是什么？
（２）狉取何值时，只有唯一的狆值与之对应？
　　图中，曲线犾与直线犿
无限接近，但永不相交．
O
r
p
2
2
6
5
-5
l
m
　　　（第１１题）
１２．画出定义域为｛狓｜－３≤狓≤８，且狓≠５｝，值域为｛狔｜－１≤狔≤２，狔≠０｝的一个函数的图象．
（１）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（２）如果平面直角坐标系中点犘（狓，狔）的坐标满足－３≤狓≤８，－１≤狔≤２，那么其中哪些
点不能在图象上？
１３．函数犳（狓）＝［狓］的函数值表示不超过狓的最大整数，例如，［－３．５］＝－４，［２．１］＝２．当狓∈
（－２．５，３］时，写出函数犳（狓）的解析式，并画出函数的图象．
１４．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式狔＝１２犪狓２（犪＞０）来描述．
   ጊ
１５．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点犘的距离是２ｋｍ，从点犘沿海岸正东１２ｋｍ处
有一个城镇．
３７
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第三章　函数的概念与性质
（１）假设一个人驾驶的小船的平均速度为３ｋｍ／ｈ，步行的速度是５ｋｍ／ｈ，狋（单位：ｈ）表
示他从小岛到城镇的时间，狓（单位：ｋｍ）表示此人将船停在海岸处距点犘的距离．请
将狋表示为狓的函数．
（２）如果将船停在距点犘４ｋｍ处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到１ｈ）？
P
x
2 kmۢ
᪚
  
12
 km
12-x
d1
（第１５题）
１６．给定数集犃＝犚，犅＝（－∞，０］，方程
狌２＋２狏＝０，
①
（１）任给狌∈犃，对应关系犳使方程①的解狏与狌对应，判断狏＝犳（狌）是否为函数；
（２）任给狏∈犅，对应关系犵使方程①的解狌与狏对应，判断狌＝犵（狏）是否为函数．
１７．探究是否存在函数犳（狓），犵（狓）满足条件：
（１）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
（２）值域相同，对应关系相同，但定义域不同．
１８．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点
后面２００位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该
数位上的数字．如果记圆周率π小数点后第狀位上的数字为狔，那么你认为狔是狀的函数吗？
如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由．
４７
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第三章　函数的概念与性质
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
函数概念的发展历程
１７世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航
海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等．诸如此类
的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律
作出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程．这正
是函数概念产生和发展的背景．
《代微积拾级》　
“ｆｕｎｃｔｉｏｎ”一词最初由德国数学家莱布尼茨
（Ｇ．Ｗ．Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６）在１６９２年使用．在中
国，清代数学家李善兰（１８１１—１８８２）在１８５９年和
英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将
“ｆｕｎｃｔｉｏｎ”译做“函数”．
莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的
几何量，如坐标、切线等．１７１８年，他的学生、瑞士数学家约翰·伯努利
（Ｊ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１６６７—１７４８）强调函数要用公式表示．后来，数学家认为这不是
判断函数的标准．只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了．所以，
１７５５年，瑞士数学家欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）将函数定义为“如果某些
变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函
数”．当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度．函数
的概念仍然是比较模糊的．
随着对微积分研究的深入，１８世纪末１９世纪初，人们对函数的认识向前
推进了．德国数学家狄利克雷（Ｐ．Ｇ．Ｌ．Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ，１８０５—１８５９）在１８３７年时提
出：“如果对于狓的每一个值，狔总有一个完全确定的值与之对应，那么狔是
狓的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值
范围中的每一个狓，有一个确定的狔和它对应就行了，不管这个法则是用公式
还是用图象、表格等形式表示．例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数
时，函数值为１；当自变量取无理数时，函数值为０．它只能用对应的语言予
以表达．１９世纪７０年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加
严谨的集合和对应语言表述，这就是本节学习的函数概念．
综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要
紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表
达，这与我们学习函数的过程是一样的．
你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？
５７
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第三章　函数的概念与性质
３２　函数的基本性质
　　变化中的不变性就是
性质，变化中的规律性也
是性质．
前面学习了函数的定义和表示法，知道函数狔＝犳（狓）
（狓∈犃）描述了客观世界中变量之间的一种对应关系．这
样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中
事物的变化规律．因此，研究函数的性质，如随着自变量
的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函
数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法．
我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性
质．观察图３．２１中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？
x
y
6
4
2
1
2
-1 -2
-4
-6
-2
O
O
y
x
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
O
2
4
6
100
50
-50
-100
-2
-4
-6
图３．２１
y
x
O
x1
x2
f(x)=
f(x )
x2
1
f(x )
2
图３．２２　
３２１!
*+,-./ 0 1 2 3
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的
增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调
性．下面进一步用符号语言刻画这种性质．
先研究二次函数犳（狓）＝狓２的单调性．
画出它的图象（如图３．２２），可以看到：
图象在狔轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，
当狓＜０时，狔随狓的增大而减小．用符号语言描述，就是
任意取狓１，狓２∈（－∞，０］，得到犳（狓１）＝狓２１，犳（狓２）＝狓２２，
那么当狓１＜狓２时，有犳（狓１）＞犳（狓２）．这时我们就说函数
犳（狓）＝狓２在区间（－∞，０］上是单调递减的．
　　你能说明为什么
犳（狓１）＞犳（狓２）吗？
图象在狔轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，
当狓＞０时，狔随狓的增大而增大．用符号语言表达，就是
任意取狓１，狓２∈［０，∞），得到犳（狓１）＝狓２１，犳（狓２）＝狓２２，
６７
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第三章　函数的概念与性质
　　你能说明为什么
犳（狓１）＜犳（狓２）吗？
那么当狓１＜狓２时，有犳（狓１）＜犳（狓２）．这时我们就说函数
犳（狓）＝狓２在区间［０，∞）上是单调递增的．
 Ꮶ
函数犳（狓）＝狓，犳（狓）＝－狓２各有怎样的单调性？
一般地，设函数犳（狓）的定义域为犐，区间犇犐：
如果狓１，狓２∈犇，当狓１＜狓２时，都有犳（狓１）＜犳（狓２），那么就称函数犳（狓）在区间
犇上单调递增（图３．２３（１））．
特别地，当函数犳（狓）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
y
x
O
x1
x2
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
y
x
O
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
（１）　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
图３．２３
如果狓１，狓２∈犇，当狓１＜狓２时，都有犳（狓１）＞犳（狓２），那么就称函数犳（狓）在区间
犇上单调递减（图３．２３（２））．
特别地，当函数犳（狓）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数（ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
如果函数狔＝犳（狓）在区间犇上单调递增或单调递减，那么就说函数狔＝犳（狓）在这
一区间具有（严格的）单调性，区间犇叫做狔＝犳（狓）的单调区间．
 Ꮶ
（１）设犃是区间犇上某些自变量的值组成的集合，而且狓１，狓２∈犃，当狓１＜狓２
时，都有犳（狓１）＜犳（狓２），我们能说函数犳（狓）在区间犇上单调递增吗？你能举例
说明吗？
（２）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单
调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上
单调递减的函数例子吗？
７７
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第三章　函数的概念与性质
例１　根据定义，研究函数犳（狓）＝犽狓＋犫（犽≠０）的单调性．
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当狓１＜狓２时，犳（狓１）＜犳（狓２）还是犳（狓１）＞
犳（狓２）．根据实数大小关系的基本事实，只要考察犳（狓１）－犳（狓２）与０的大小关系．
解：函数犳（狓）＝犽狓＋犫（犽≠０）的定义域是犚．狓１，狓２∈犚，且狓１＜狓２，则
犳（狓１）－犳（狓２）＝（犽狓１＋犫）－（犽狓２＋犫）
＝犽（狓１－狓２）．
在初中，我们利用函
数图象得到了上述结论，
这里用严格的推理运算得
到了函数犳（狓）＝犽狓＋犫
的单调性．
由狓１＜狓２，得狓１－狓２＜０．所以
①当犽＞０时，犽（狓１－狓２）＜０．
于是
犳（狓１）－犳（狓２）＜０，
即
犳（狓１）＜犳（狓２）．
这时，犳（狓）＝犽狓＋犫是增函数．
②当犽＜０时，犽（狓１－狓２）＞０．
于是
犳（狓１）－犳（狓２）＞０，
即
犳（狓１）＞犳（狓２）．
这时，犳（狓）＝犽狓＋犫是减函数．
例２　物理学中的玻意耳定律狆＝犽犞（犽为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，
当其体积犞减小时，压强狆将增大．试对此用函数的单调性证明．
分析：根据题意，只要证明函数狆＝犽犞（犞∈（０，＋∞））是减函数即可．
证明：犞１，犞２∈（０，＋∞），且犞１＜犞２，则
狆１－狆２＝犽犞１－犽犞２＝犽犞２－犞１
犞１犞２．
由犞１，犞２∈（０，＋∞），得犞１犞２＞０；
由犞１＜犞２，得犞２－犞１＞０．
又犽＞０，于是
狆１－狆２＞０，
即
狆１＞狆２．
所以，根据函数单调性的定义，函数狆＝犽犞，犞∈（０，＋∞）是减函数．也就是说，
当体积犞减小时，压强狆将增大．
８７
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第三章　函数的概念与性质
例３　根据定义证明函数狔＝狓＋１狓在区间（１，＋∞）上单调递增．
证明：狓１，狓２∈（１，＋∞），且狓１＜狓２，有
狔１－狔２＝（狓１＋１狓１）－（狓２＋１狓２）＝（狓１－狓２）＋（１狓１－１狓２）
＝（狓１－狓２）＋狓２－狓１
狓１狓２＝狓１－狓２
狓１狓２（狓１狓２－１）．
由狓１，狓２∈（１，＋∞），得狓１＞１，狓２＞１．
所以
狓１狓２＞１，狓１狓２－１＞０．
又由狓１＜狓２，得狓１－狓２＜０．
于是
狓１－狓２
狓１狓２（狓１狓２－１）＜０，
即
狔１＜狔２．
所以，函数狔＝狓＋１狓在区间（１，＋∞）上单调递增．
ጷ˸
１．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
　　
通过观察图象，先对
函数是否具有某种性质做
出猜想，然后通过逻辑推
理，证明这种猜想的正确
性，是研究函数性质的一
种常用方法．
O
 ̡
 
ၷ̗
 ဋ
（第１题）
２．根据定义证明函数犳（狓）＝３狓＋２是增函数．
３．证明函数犳（狓）＝－２狓在区间（－∞，０）上单调递增．
４．画出反比例函数狔＝犽狓的图象．
（１）这个函数的定义域犐是什么？
（２）它在定义域犐上的单调性是怎样的？证明你的结论．
再来观察本节的图３．２２，可以发现，二次函数犳（狓）＝狓２的图象上有一个最低点
（０，０），即狓∈犚，都有犳（狓）≥犳（０）．当一个函数犳（狓）的图象有最低点时，我们就说
函数犳（狓）有最小值．
９７
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第三章　函数的概念与性质
 Ꮶ
你能以函数犳（狓）＝－狓２为例说明函数犳（狓）的最大值的含义吗？
一般地，设函数狔＝犳（狓）的定义域为犐，如果存在实数犕满足：
（１）狓∈犐，都有犳（狓）≤犕；
（２）狓０∈犐，使得犳（狓０）＝犕．
那么，我们称犕是函数狔＝犳（狓）的最大值（ｍａｘｉｍｕｍｖａｌｕｅ）．
 Ꮶ
你能仿照函数最大值的定义，给出函数狔＝犳（狓）的最小值（ｍｉｎｉｍｕｍｖａｌｕｅ）的
定义吗？
例４　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望
在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度犺（单位：ｍ）与时
间狋（单位：ｓ）之间的关系为犺（狋）＝－４．９狋２＋１４．７狋＋１８，那么烟
花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少
（精确到１ｍ）？
解：画出函数犺（狋）＝－４．９狋２＋１４．７狋＋１８的图象（图３．２４）．
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是
烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
　　烟花设计者就是按照
这些数据设定引信的长
度，以达到施放烟花的最
佳效果．
5
h
t
O
10
15
20
25
30
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
　　　　　　　图３．２４
由二次函数的知识，对于函数犺（狋）＝－４．９狋２＋１４．７狋＋１８，我们有：
当狋＝－１４．７
２×（－４．９）＝１．５时，函数有最大值
犺＝４×（－４．９）×１８－１４．７２
４×（－４．９）
≈２９．
于是，烟花冲出后１．５ｓ是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为２９ｍ．
０８
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第三章　函数的概念与性质
例５　已知函数犳（狓）＝２
狓－１（狓∈［２，６］），求函数的最大值和最小值．
1
y
x
O
2
3
4
5
6
1
0.5
1.5
2
2.5
　图３．２５
分析：由函数犳（狓）＝２
狓－１（狓∈［２，６］）的图象（图
３．２５）可知，函数犳（狓）＝２
狓－１在区间［２，６］上单调递减．
所以，函数犳（狓）＝２
狓－１在区间［２，６］的两个端点上分别取
得最大值和最小值．
解：狓１，狓２∈［２，６］，且狓１＜狓２，则
犳（狓１）－犳（狓２）＝２
狓１－１－２
狓２－１
＝２［（狓２－１）－（狓１－１）］
（狓１－１）（狓２－１）
＝２（狓２－狓１）
（狓１－１）（狓２－１）．
由２≤狓１＜狓２≤６，得狓２－狓１＞０，（狓１－１）（狓２－１）＞０，
于是　　　　　　　　　　　　犳（狓１）－犳（狓２）＞０，
即　　　　　　　　　　　　　
犳（狓１）＞犳（狓２）．
所以，函数犳（狓）＝２
狓－１在区间［２，６］上单调递减．
因此，函数犳（狓）＝２
狓－１在区间［２，６］的两个端点上分别取得最大值与最小值．在
狓＝２时取得最大值，最大值是２；在狓＝６时取得最小值，最小值是０．４．
ጷ˸
１．整个上午（８：００～１２：００）天气越来越暖，中午时分（１２：００～１３：００）一场暴风雨使天气骤然凉
爽了许多．暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（１８：００）才又开始转凉．画出这一天８：００～
２０：００期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间．
２．设函数犳（狓）的定义域为［－６，１１］．如果犳（狓）在区间［－６，－２］上单调递减，在区间［－２，１１］上
单调递增，画出犳（狓）的一个大致的图象，从图象上可以发现犳（－２）是函数犳（狓）的一个
　　　　　．　
３．已知函数犳（狓）＝１狓，求函数在区间［２，６］上的最大值和最小值．
１８
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第三章　函数的概念与性质
３２２!
45,
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下
降”）的性质．下面继续研究函数的其他性质．
画出并观察函数犳（狓）＝狓２和犵（狓）＝２－狓的图象（图３．２６），你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
y
x
f(x)=x2
g(x)=2-| x |
O
1
2
3
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
y
x
O
1
2
3
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
图３．２６
可以发现，这两个函数的图象都关于狔轴对称．
 ቃ
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于狔轴对称”这一
特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如表３．２１．
表３２１
狓
… －３－２－１０
１
２
３
…
犳（狓）＝狓２
…
９
４
１
０
１
４
９
…
犵（狓）＝２－｜狓｜
… －１０
１
２
１
０－１…
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．
例如，对于函数犳（狓）＝狓２，有
　　请你仿照这个过程，
说明函数犵（狓）＝２－｜狓｜
也是偶函数．
犳（－３）＝９＝犳（３）；
犳（－２）＝４＝犳（２）；
犳（－１）＝１＝犳（１）．
实际上，狓∈犚，都有犳（－狓）＝（－狓）２＝狓２＝犳（狓），
这时称函数犳（狓）＝狓２为偶函数．
２８
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第三章　函数的概念与性质
一般地，设函数犳（狓）的定义域为犐，如果狓∈犐，都有－狓∈犐，且犳（－狓）＝犳（狓），
那么函数犳（狓）就叫做偶函数（ｅｖｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
例如，函数犳（狓）＝狓２＋１，犵（狓）＝２
狓２＋１１都是偶函数，它们的图象分别如图３．２７
（１）（２）所示．
x
O
1
2
3
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
y
O
x
1 2 3 4 5
0.20
0.10
-1
-2
-3
-4
-5
f (x)=x2+1
g (x)=x2+11
x
2
（１）　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
图３．２７
 ቃ
观察函数犳（狓）＝狓和犵（狓）＝１狓的图象（图３．２８），你能发现这两个函数图象有
什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
y
x
O
1
2
3
1
2
3
-3 -2
-1-1
-2
-3
x
g (x)= 1
y
x
O
1
2
3
1
2
3
-3 -2 -1-1
-2
-3
f (x)=x
图３．２８
可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．为了用符号语言描述这一特
征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况，请完成表３．２２．
表３２２
狓
… －３－２－１０
１
２
３
…
犳（狓）＝狓
…
…
犵（狓）＝１狓
…
…
可以发现，当自变量狓取一对相反数时，相应的函数值犳（狓）也是一对相反数．
３８
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第三章　函数的概念与性质
例如，对于函数犳（狓）＝狓，有
　　请你仿照这个过程，
说明函数犵（狓）＝１狓也是奇
函数．
犳（－３）＝－３＝－犳（３）；
犳（－２）＝－２＝－犳（２）；
犳（－１）＝－１＝－犳（１）．
实际上，狓∈犚，都有犳（－狓）＝－狓＝－犳（狓）．这时称
函数犳（狓）＝狓为奇函数．
一般地，设函数犳（狓）的定义域为犐，如果狓∈犐，都
有－狓∈犐，且犳（－狓）＝－犳（狓），那么函数犳（狓）就叫做奇
函数（ｏｄｄｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
　　奇偶性是函数在它的
定义域上的整体性质，所
以判断函数的奇偶性应先
明确它的定义域．
例６　判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝狓４；　　　　（２）犳（狓）＝狓５；
（３）犳（狓）＝狓＋１狓；
（４）犳（狓）＝１狓２．
解：（１）函数犳（狓）＝狓４的定义域为犚．
因为狓∈犚，都有－狓∈犚，且
犳（－狓）＝（－狓）４＝狓４＝犳（狓），
所以，函数犳（狓）＝狓４为偶函数．
（２）函数犳（狓）＝狓５的定义域为犚．
因为狓∈犚，都有－狓∈犚，且
犳（－狓）＝（－狓）５＝－狓５＝－犳（狓），
所以，函数犳（狓）＝狓５为奇函数．
（３）函数犳（狓）＝狓＋１狓的定义域为｛狓｜狓≠０｝．
因为狓∈｛狓｜狓≠０｝，都有－狓∈｛狓｜狓≠０｝，且
犳（－狓）＝－狓＋１－狓＝－（狓＋１狓）＝－犳（狓），
所以，函数犳（狓）＝狓＋１狓为奇函数．
（４）函数犳（狓）＝１狓２的定义域为｛狓｜狓≠０｝．
因为狓∈｛狓｜狓≠０｝，都有－狓∈｛狓｜狓≠０｝，且
犳（－狓）＝１
（－狓）２＝１狓２＝犳（狓），
所以，函数犳（狓）＝１狓２为偶函数．
４８
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第三章　函数的概念与性质
 Ꮶ
y
O
x
图３．２９
（１）判断函数犳（狓）＝狓３＋狓的奇偶性．
（２）图３．２９是函数犳（狓）＝狓３＋狓图象的一部分，你能根
据犳（狓）的奇偶性画出它在狔轴左边的图象吗？
（３）一般地，如果知道狔＝犳（狓）为偶（奇）函数，那么我
们可以怎样简化对它的研究？
ጷ˸
１．已知犳（狓）是偶函数，犵（狓）是奇函数，试将下图补充完整．
x
y
O
f(x)
x
y
O
g(x)
（第１题）
２．判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝２狓４＋３狓２；　　　　　　（２）犳（狓）＝狓３－２狓．
３．（１）从偶函数的定义出发，证明函数狔＝犳（狓）是偶函数的充要条件是它的图象关于狔轴对称；
（２）从奇函数的定义出发，证明函数狔＝犳（狓）是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．
ܭ˸ ڍ
习题３．２
１．根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性．
O
y
x
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
-1
（第１题）
５８
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第三章　函数的概念与性质
２．画出下列函数的图象，并根据图象说出函数狔＝犳（狓）的单调区间及在每一单调区间上的单调性．
（１）狔＝狓２－５狓－６；　　　　　　（２）狔＝９－狓２．
３．证明：
（１）函数犳（狓）＝－２狓＋１是减函数；
（２）函数犳（狓）＝狓２＋１在（０，＋∞）上单调递增；
（３）函数犳（狓）＝１－１狓在（－∞，０）上单调递增．
４．某汽车租赁公司的月收益狔（单位：元）与每辆车的月租金狓（单位：元）间的关系为狔＝－狓２
５０＋
１６２狓－２１０００，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
５．判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝狓２＋１；　　　　（２）犳（狓）＝狓
狓２＋１．
፬Ռᤂၹ
６．一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升
高．画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）．
７．已知函数犳（狓）＝狓２－２狓，犵（狓）＝狓２－２狓（狓∈［２，４］），
（１）求犳（狓），犵（狓）的单调区间；
（２）求犳（狓），犵（狓）的最小值．
８．（１）根据函数单调性的定义证明函数狔＝狓＋９狓在区间［３，＋∞）上单调递增．
（２）讨论函数狔＝狓＋９狓在区间（０，＋∞）上的单调性．
（３）讨论函数狔＝狓＋犽狓（犽＞０）在区间（０，＋∞）上的单调性．
９．设函数狔＝犳（狓）的定义域为犐，区间犇犐，记Δ狓＝狓１－狓２，Δ狔＝犳（狓１）－犳（狓２）．证明：
（１）函数狔＝犳（狓）在区间犇上单调递增的充要条件是：狓１，狓２∈犇，狓１≠狓２，都有Δ狔Δ狓＞０；
（２）函数狔＝犳（狓）在区间犇上单调递减的充要条件是：狓１，狓２∈犇，狓１≠狓２，都有Δ狔Δ狓＜０．
１０．如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材
料总长是３０ｍ，那么宽狓（单位：ｍ）为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间
熊猫居室的最大面积是多少？
x
（第１０题）
１１．已知函数犳（狓）是定义域为犚的奇函数，当狓≥０时，犳（狓）＝狓（１＋狓）．画出函数犳（狓）的图
象，并求出函数的解析式．
６８
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第三章　函数的概念与性质
   ጊ
１２．已知函数犳（狓）是偶函数，而且在（０，＋∞）上单调递减，判断犳（狓）在（－∞，０）上单调递增
还是单调递减，并证明你的判断．
１３．我们知道，函数狔＝犳（狓）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数狔＝犳（狓）为
奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数狔＝犳（狓）的图象关于点犘（犪，犫）成中心对称图
形的充要条件是函数狔＝犳（狓＋犪）－犫为奇函数．
（１）求函数犳（狓）＝狓３－３狓２图象的对称中心；
（２）类比上述推广结论，写出“函数狔＝犳（狓）的图象关于狔轴成轴对称图形的充要条件是函
数狔＝犳（狓）为偶函数”的一个推广结论．
η    ၹ
用计算机绘制函数图象
利用计算机软件可以便捷、迅速地绘制各种函数图象．不同的计算机软
件绘制函数图象的具体操作不尽相同，但都是基于我们熟悉的描点作图，即
给自变量赋值，用计算法则算出相应的函数值，再由这些对应值生成一系列
的点，最后连接这些点描绘出函数图象．下面以软件《ＧｅｏＧｅｂｒａ》为例，介
绍用计算机软件绘制函数图象的方法．
一、直接输入函数绘制函数狔＝狓３的图象
打开软件《ＧｅｏＧｅｂｒａ》，在下方的输入框内直接输入“狔＝狓＾３”，回车，
在代数区就会显示该函数的解析式“犳（狓）＝狓３”，而在绘图区就会自动显示
相应函数狔＝狓３的图象（如图１）．
图１
７８
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第三章　函数的概念与性质
二、绘制含参数犫的函数狔＝犫狓２（犫≠０）的图象
（１）打开软件《ＧｅｏＧｅｂｒａ》，在输入框内输入参数“犫”，回车，创建滑
动条犫，选择犫的“属性”，依图２提示可自由设置其最小值、最大值、增量
等后关闭．
（２）在输入框内直接输入函数“狔＝犫狓＾２”，回车，在绘图区直接显示
出当时参数犫的值对应的函数狔＝犫狓２的图象（图２）．
当你左右移动滑动条中点犫的位置时，函数狔＝犫狓２的图象就会“动”
起来，如图２．
图２
如果有条件，请你绘制函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）的图象，并探究系数
犪，犫，犮对函数图象的影响．
８８
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第三章　函数的概念与性质
３３　幂函数
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观
察，研究了函数的一些性质．本节我们利用这些知识研究一
类新的函数．先看几个实例．
（１）如果张红以１元／ｋｇ的价格购买了某种蔬菜狑ｋｇ，
那么她需要支付狆＝狑元，这里狆是狑的函数；
（２）如果正方形的边长为犪，那么正方形的面积犛＝犪２，
这里犛是犪的函数；
（３）如果立方体的棱长为犫，那么立方体的体积犞＝犫３，
这里犞是犫的函数；
　　槡犛也可以表示为犛１２．
（４）如果一个正方形场地的面积为犛，那么这个正方形
的边长犮＝槡犛，这里犮是犛的函数；
（５）如果某人狋ｓ内骑车行进了１ｋｍ，那么他骑车的平
均速度狏＝１狋ｋｍ／ｓ，即狏＝狋－１，这里狏是狋的函数．
᜺ 
观察（１）～（５）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
　　幂的指数除了可以取
整数之外，还可以取其他
实数，当它们取其他实数
时幂也具有各自的含义，
这些会在后面学习．
实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是
以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是１，２，
３，１２，－１；它们都是形如狔＝狓α的函数．
一般地，函数狔＝狓α叫做幂函数（ｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎ），其
中狓是自变量，α是常数．
对于幂函数，我们只研究α＝１，２，３，１２，－１时的图
象与性质．
９８
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第三章　函数的概念与性质
 Ꮶ
结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析
式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
在同一坐标系中画出函数狔＝狓，狔＝狓２，狔＝狓３，狔＝狓
１２和狔＝狓－１的图象（图３．３１）．
O
y
x
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-2
-3
y=x -1
y=x 2
1
y=x
y=x2
y=x3
-4
-5
图３．３１
 ቃ
观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在表３．３１内．
表３３１
狔＝狓
狔＝狓２
狔＝狓３
狔＝狓１２
狔＝狓－１
定义域
值　域
奇偶性
单调性
这些函数图象有公共点吗？
通过图３．３１与表３．３１，我们得到：
（１）函数狔＝狓，狔＝狓２，狔＝狓３，狔＝狓
１２和狔＝狓－１的图象都通过点（１，１）；
（２）函数狔＝狓，狔＝狓３，狔＝狓－１是奇函数，函数狔＝狓２是偶函数；
（３）在区间（０，＋∞）上，函数狔＝狓，狔＝狓２，狔＝狓３，狔＝狓
１２单调递增，函数狔＝狓－１
单调递减；
（４）在第一象限内，函数狔＝狓－１的图象向上与狔轴无限接近，向右与狓轴无限接近．
０９
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第三章　函数的概念与性质
例　证明幂函数犳（狓）＝槡狓是增函数．
证明：函数的定义域是［０，＋∞）．
狓１，狓２∈［０，＋∞），且狓１＜狓２，有
犳（狓１）－犳（狓２）＝狓槡１－狓槡２
＝（狓槡１－狓槡２）（狓槡１＋狓槡２）
狓槡１＋狓槡２
＝狓１－狓２
狓槡１＋狓槡２．
因为
狓１－狓２＜０，狓槡１＋狓槡２＞０，
所以犳（狓１）＜犳（狓２），即幂函数犳（狓）＝槡狓是增函数．
ጷ˸
１．已知幂函数狔＝犳（狓）的图象过点（２，槡２），求这个函数的解析式．
２．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（１）（－１．５）３，（－１．４）３；　　　　　（２）１
－１．５，１
－１．４．
３．根据单调性和奇偶性的定义证明函数犳（狓）＝狓３的单调性和奇偶性．
ܭ˸ ڍ
习题３．３
１．画出函数狔＝｜狓
槡｜的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．
፬Ռᤂၹ
２．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率狏（单位：ｃｍ３／ｓ）与
管道半径狉（单位：ｃｍ）的四次方成正比．
（１）写出气体流量速率狏关于管道半径狉的函数解析式；
（２）若气体在半径为３ｃｍ的管道中，流量速率为４００ｃｍ３／ｓ，求该气体通过半径为狉的管道
时，其流量速率狏的表达式；
（３）已知（２）中的气体通过的管道半径为５ｃｍ，计算该气体的流量速率（精确到１ｃｍ３／ｓ）．
３．试用描点法画出函数犳（狓）＝狓－２的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶
性，并证明．
１９
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第三章　函数的概念与性质
 ቃˁԧဘ
探究函数狔＝狓＋１狓的图象与性质
在初中，我们知道狔＝狓是正比例函数，狔＝１狓是反比例函数．学习了幂函数
以后，我们知道它们都是幂函数．不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构
成新的函数．那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两
个函数的性质有联系吗？
下面请同学们带着问题探究一下函数狔＝狓＋１狓．
１．你认为可以从哪些方面研究这个函数？
２．你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？
３．按照你构建的路径研究你想到的问题．
４．证明：当狓＞０时，狓＋１狓≥２，当且仅当狓＝１狓，即狓＝１时取得等号；当
狓＜０时，狓＋１狓≤－２，当且仅当狓＝１狓，即狓＝－１时取得等号．
５．你画出的函数图象与图１类似吗？
x
y
6
8
4
2
2
-2
-4
-6
-2 O
4
6
-4
-6
8
8
-
8-
10
10
-
图１
６．函数狔＝狓＋１狓的图象有什么变化趋势？你能利用函数狔＝狓和狔＝１狓的图
象变化趋势说明函数狔＝狓＋１狓的图象变化趋势吗？
７．通过对函数狔＝狓＋１狓图象与性质的探究，你有哪些体会？
２９
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第三章　函数的概念与性质
３４　函数的应用（一）
我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实
世界有紧密联系．下面通过一些实例感受它们的广泛应用，
体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法．
例１　设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与
３．１．２例８相同，全年综合所得收入额为狓（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为狔
（单位：元）．
（１）求狔关于狓的函数解析式；
（２）如果小王全年的综合所得由１８９６００元增加到２４９６００元，那么他全年应缴纳多
少综合所得个税？
分析：根据３．１．２例８中公式②，可得应纳税所得额狋关于综合所得收入额狓的解析
式狋＝犵（狓），再结合狔＝犳（狋）的解析式③，即可得出狔关于狓的函数解析式．
解：（１）由个人应纳税所得额计算公式，可得
狋＝狓－６００００－狓（８％＋２％＋１％＋９％）－５２８００－４５６０
＝０．８狓－１１７３６０．
令狋＝０，得狓＝１４６７００．
根据个人应纳税所得额的规定可知，当０≤狓≤１４６７００时，狋＝０．所以，个人应纳税
所得额狋关于综合所得收入额狓的函数解析式为
狋＝０，０≤狓≤１４６７００，
０．８狓－１１７３６０，狓＞１４６７００．
烅烄
烆
结合３．１．２例８的解析式③，可得：
当０≤狓≤１４６７００时，狋＝０，所以狔＝０；
当１４６７００＜狓≤１９１７００时，０＜狋≤３６０００，所以
狔＝狋×３％＝０．０２４狓－３５２０．８；
当１９１７００＜狓≤３２６７００时，３６０００＜狋≤１４４０００，所以
狔＝狋×１０％－２５２０＝０．０８狓－１４２５６；
当３２６７００＜狓≤５２１７００时，１４４０００＜狋≤３０００００，所以
狔＝狋×２０％－１６９２０＝０．１６狓－４０３９２；
当５２１７００＜狓≤６７１７００时，３０００００＜狋≤４２００００，所以
狔＝狋×２５％－３１９２０＝０．２狓－６１２６０；
当６７１７００＜狓≤９７１７００时，３５０００＜狋≤５５０００，所以
狔＝狋×３０％－５２９２０＝０．２４狓－８８１２８；
３９
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第三章　函数的概念与性质
当９７１７００＜狓≤１３４６７００时，６６００００＜狋≤９６００００，所以
狔＝狋×３５％－８５９２０＝０．２８狓－１２６９９６；
当狓＞１３４６７００时，狋＞９６００００，所以
狔＝狋×４５％－１８１９２０＝０．３６狓－２３４７３２．
所以，函数解析式为
狔＝
０，０≤狓≤１４６７００，
０．０２４狓－３５２０．８，１４６７００＜狓≤１９１７００，
０．０８狓－１４２５６，１９１７００＜狓≤３２６７００，
０．１６狓－４０３９２，３２６７００＜狓≤５２１７００，
０．２狓－６１２６０，５２１７００＜狓≤６７１７００，
０．２４狓－８８１２８，６７１７００＜狓≤９７１７００，
０．２８狓－１２６９９６，９７１７００＜狓≤１３４６７００，
０．３６狓－２３４７３２，狓＞１３４６７００．
烅
烄
烆
④
（２）根据④，当狓＝２４９６００时，
狔＝０．０８×２４９６００－１４２５６＝５７１２．
所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为５７１２元．
根据个人收入情况，利用上面获得的个税和月工资关系的函数解析式，就可以直接求
得应缴纳的个税．
例２　一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率狏（单位：ｋｍ／ｈ）与时间狋（单位：ｈ）的
关系如图３．４１所示，
（１）求图３．４１中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（２）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为２００４ｋｍ，试建立行驶
这段路程时汽车里程表读数狊（单位：ｋｍ）与时间狋的函数解析式，并画出相应的图象．
　　你能根据图３．４１画
出汽车行驶路程关于时间
变化的图象吗？
t
O
1
2
3
4
5
10
20
30
v
40
50
60
70
80
90
　　　　　　　　图３．４１
分析：当时间狋在０，５
［
］内变化时，对于任意的时刻狋都有唯一确定的行驶路程与之
相对应．根据图３．４１，在时间段［０，１），［１，２），［２，３），［３，４），［４，５］内行驶的
平均速率分别为５０ｋｍ／ｈ，８０ｋｍ／ｈ，９０ｋｍ／ｈ，７５ｋｍ／ｈ，６５ｋｍ／ｈ，因此在每个时间段
内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．
４９
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第三章　函数的概念与性质
解：（１）阴影部分的面积为
５０×１＋８０×１＋９０×１＋７５×１＋６５×１＝３６０．
阴影部分的面积表示汽车在这５ｈ内行驶的路程为３６０ｋｍ．
s
t
O
1
2
3
4
5
2 000
2 100
2 200
2 300
2 400
图３．４２
（２）根据图３．４１，有
狊＝
５０狋＋２００４，０≤狋＜１，
８０（狋－１）＋２０５４，１≤狋＜２，
９０（狋－２）＋２１３４，２≤狋＜３，
７５（狋－３）＋２２２４，３≤狋＜４，
６５（狋－４）＋２２９９，４≤狋≤５．
烅
烄
烆
这个函数的图象如图３．４２所示．
本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助．因此，我们要注意提高
读图能力．另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数．
ጷ˸
１．若用模型狔＝犪狓２描述汽车紧急刹车后滑行的距离狔（单位：ｍ）与刹车时的速率狓（单位：ｋｍ／ｈ）的关系，
而某种型号的汽车在速率为６０ｋｍ／ｈ时，紧急刹车后滑行的距离为２０ｍ．在限速为１００ｋｍ／ｈ的高速
公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为５０ｍ，那么这辆车是否超速行驶？
２．某广告公司要为客户设计一幅周长为犾（单位：ｍ）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌
的面积最大？
３．某公司生产某种产品的固定成本为１５０万元，而每件产品的可变成本为２５００元，每件产品的售价
为３５００元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则
（１）设总成本为狔１（单位：万元），单位成本为狔２（单位：万元），销售总收入为狔３（单位：万元），
总利润为狔４（单位：万元），分别求出它们关于总产量狓（单位：件）的函数解析式；
（２）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．
፬Ռᤂၹ
习题３．４
１．某人开汽车以６０ｋｍ／ｈ的速率从Ａ地到１５０ｋｍ远处的Ｂ地，在Ｂ地停留１ｈ后，再以５０ｋｍ／ｈ
的速率返回Ａ地．把汽车与Ａ地的距离狓（单位：ｋｍ）表示为时间狋（单位：ｈ）（从Ａ地出发时开
始）的函数；再把车速狏（单位：ｋｍ／ｈ）表示为时间狋的函数，并分别画出这两个函数的图象．
２．要建造一个容积为１２００ｍ３，深为６ｍ的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为９５元／ｍ２，池底
的造价为１３５元／ｍ２，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在７万元以内（精确
到０．１ｍ）？
５９
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第三章　函数的概念与性质
３．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过１２ｍ３的部分
３元／ｍ３
超过１２ｍ３但不超过１８ｍ３的部分６元／ｍ３
超过１８ｍ３的部分
９元／ｍ３
若某户居民本月交纳的水费为４８元，求此户居民本月用水量．
   ጊ
４．图（１）是某条公共汽车线路收支差额狔关于乘客量狓的图象．
（１）试说明图（１）上点犃，点犅以及射线犃犅上的点的实际意义；
（２）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（２）（３）所示．
你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？
O
y
x
x
O
y
y
x
A
B
O
（１）　　　　　　　　　　　　　（２）　　　　　　　　　　　　（３）
（第４题）
５．下表是弹簧伸长长度狓（单位：ｃｍ）与拉力犉（单位：Ｎ）的相关数据：
狓
１４．２
２８．８
４１．３
５７．５
７０．２
犉
１
２
３
４
５
描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解
析式．
６９
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第三章　函数的概念与性质
 ࿹᫞឴
ˁ ߦиͻ
函数的形成与发展
自１７世纪近代数学产生以来，函数一直处于数学的核心位置．数学和
科学的绝大部分都与函数内容有关，在数学、物理和其他学科中，函数关系
随处可见．例如，圆柱体的体积和表面积是其底面半径的函数，气体膨胀的
体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数，等等．
如果用心搜集、广泛阅读、仔细观察，那么就会在很多书籍、网页中发
现有关函数的介绍，也能在生活中发现许多函数应用的实例．
请同学们根据下面的建议和参考选题，通过自主活动，了解函数的发展
历程及其广泛应用．
一、目标
１．了解函数形成、发展的历史．
２．体验文献综述的写作过程与方法．
二、实施建议
１．确定选题：根据个人兴趣初步确定选题范围，明确阅读方向，拟定
写作题目．
２．搜集资料：针对写作题目，通过查阅书籍、上网等方式搜集素材，
包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料．
３．素材整理：认真分析素材，按照一定的主题进行归纳概括，并用文
献综述的方式形成读书报告．
４．交流讨论：开展组内或全班交流、讨论和总结．
三、参考选题
１．函数产生的社会背景．
２．函数概念发展的历史过程．
３．函数符号的故事．
４．数学家与函数．
众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒、伽利略、笛卡儿、
牛顿、莱布尼茨和欧拉等．可以选取一位或多位数学家，说明他们对函数发
展作出的贡献，感受数学家的精神．
可以从以上选题中选择一个，也可以采用自己的题目．
四、文献综述的结构
１．标题．
７９
标有的内容为选学内容，不作为考试要求．
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第三章　函数的概念与性质
２．提要或前言：简要介绍研究意义；介绍搜集的资料范围及资料来源，
包括查阅了哪些主要著作、查询了哪些网络资料库（如中国学术期刊全文数
据库、中国学位论文全文数据库等），搜索到的相关论文的篇目数量等．
３．正文：这是文献综述的核心部分．应在归类整理的基础上，对自己搜
集到的有用资料进行系统介绍．
４．参考文献：列出所有参考文献，并按论文中的参考文献的格式将作
者名、文献名、文献页码、文献出处、时间等信息全面标示出来．
８９
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第三章　函数的概念与性质
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本章我们用集合的语言与对应关系进一步描述了函数概念．与初中的函数定
义相比较，突出了函数概念的本质：两个数集之间的一种确定的对应关系；明确
了函数的三个构成要素：定义域、对应关系和值域；引入了函数符号：狔＝犳（狓）．
与初中基于变量关系的函数定义相比，本章基于两个实数集之间对应关系的函数
定义，抽象层次显然提高了．在今后的学习中我们会逐渐体会到这种函数定义的
必要性，例如，在这种定义下，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，从
而使函数研究的内容和应用的范围得到扩展．
函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．函数的表示方法主要有解
析法、图象法、列表法等．在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法
表示函数是很重要的．
研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要
求．例如：事物的变化趋势，用料最省、利润最大、效率最高，对称性等，这
些特性反映在函数上，就是函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶
性等．在研究这些基本性质时，一般是先从几何直观（观察图象）入手，然后
运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特
征．研究某个函数的性质，则要利用单调性、奇偶性等定义，通过推理、运算
来实现．这是一个渐进的过程，也是数学学习和研究中经常使用的方法．
本章的学习对后面研究有关函数问题具有指导作用，我们可以按照下面的
“逻辑图”获得研究内容：
９９
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第三章　函数的概念与性质
  
  
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  Ѧ njʼᝈѦ ኎
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
１．通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识？
２．你能结合具体实例，分析、比较函数的各种表示方法的特点吗？
３．函数的性质一般包括哪些方面？为什么要研究这些性质？你能总结一下
研究函数性质的一般过程和方法吗？
ܭ˸ ڍ
复习参考题３
１．求下列函数的定义域：
（１）狔＝狓槡－２狓槡＋５；　　　　　（２）狔＝狓槡－４
｜狓｜－５．
２．已知函数犳（狓）＝１－狓
１＋狓，求：
（１）犳（犪）＋１（犪≠－１）；
（２）犳（犪＋１）（犪≠－２）．
３．设犳（狓）＝１＋狓２
１－狓２，求证：
（１）犳（－狓）＝犳（狓）；
（２）犳（１狓）＝－犳（狓）（狓≠０）．
４．已知函数犳（狓）＝４狓２－犽狓－８在［５，２０］上具有单调性，求实数犽的取值范围．
５．已知幂函数狔＝犳（狓）的图象过点（２，槡２２），试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶
性、单调性．
６．某公司生产某种电子仪器的固定成本为２００００元，每生产一台仪器需增加投入１００元，已知
总收入犚（单位：元）关于月产量狓（单位：台）满足函数：
犚＝４００狓－１２狓２，０≤狓≤４００，
８００００，狓＞４００．
烅烄
烆
００１
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第三章　函数的概念与性质
（１）将利润犘（单位：元）表示为月产量狓的函数；
（２）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入＝总成本＋利润）
፬Ռᤂၹ
７．已知函数犳（狓）＝狓（狓＋４），狓≥０，
狓（狓－４），狓＜０，
烅烄烆
求犳（１），犳（－３），犳（犪＋１）的值．
８．证明：
（１）若犳（狓）＝犪狓＋犫，则犳（狓１＋狓２
２）＝犳（狓１）＋犳（狓２）
２
；
（２）若犵（狓）＝狓２＋犪狓＋犫，则犵（狓１＋狓２
２）≤犵（狓１）＋犵（狓２）
２
．
９．（１）已知奇函数犳（狓）在［犪，犫］上单调递减，那么它在［－犫，－犪］上单调递增还是单调
递减？
（２）已知偶函数犵（狓）在［犪，犫］上单调递减，那么它在［－犫，－犪］上单调递增还是单调
递减？
１０．某地区上年度电价为０．８元／（ｋＷ·ｈ），年用电量为犪ｋＷ·ｈ，本年度计划将电价下降到
０．５５元／（ｋＷ·ｈ）至０．７５元／（ｋＷ·ｈ）之间，而用户期望电价为０．４元／（ｋＷ·ｈ）．经测
算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为犽）．该地
区的电力成本价为０．３元／（ｋＷ·ｈ）．
（１）写出本年度电价下调后电力部门的收益狔（单位：元）关于实际电价狓（单位：元／（ｋＷ·ｈ））
的函数解析式；（收益＝实际电量×（实际电价－成本价））
（２）设犽＝０．２犪，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长２０％？
   ጊ
１１．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量
（因变量）．下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？
为什么？
O
ӭ͉
 ᧚
O
ӭ͉
 ᧚
（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
（第１１题）
１２．试讨论函数狔＝狓－１狓的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象．
１０１
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第三章　函数的概念与性质
１３．如图，△犗犃犅是边长为２的正三角形，记△犗犃犅位于直线
狓＝狋（狋＞０）左侧的图形的面积为犳（狋）．试求函数狔＝犳（狋）的解析
式，并画出函数狔＝犳（狋）的图象．
y
x
O
A
B
x=t
（第１３题）
１４．某商场经营一批进价为３０元／件的商品，在市场试销中发现，此
商品的销售单价狓（单位：元）与日销售量狔（单位：件）之间有如
下表所示的关系．
狓
… ３０４０４５５０…
狔
… ６０３０１５０
…
（１）根据表中提供的数据描出实数对（狓，狔）的对应点，根据画出
的点猜想狔与狓之间的函数关系，并写出一个函数解析式；
（２）设经营此商品的日销售利润为犘（单位：元），根据上述关系，写出犘关于狓的函数解析
式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
２０１
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第四章
指数函数与对数函数
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇，１９３６年首次发
现．这里的巨型城址，面积近３００万平方米，包括古城、水坝和
多处高等级建筑．考古学家利用遗址中遗存物碳１４的残留量测
定，古城存在时期为公元前３３００年～前２５００年．你知道考古学
家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？
实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数
函数．指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用．例如，在自
然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问
题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律．
通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和
方法．在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和
对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化
差异进行比较．在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何
根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问
题的变化规律．
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第四章　指数函数与对数函数
４１　指数
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体
实数．初中已经学过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正
方形场地的边长犮关于面积犛的函数犮＝槡犛记作犮＝犛
１２．像
犛
１２这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知
的平方根、立方根的意义入手展开研究．
４１１! 狀CDE-F#G#H
我们知道：
如果狓２＝犪，那么狓叫做犪的平方根．例如，±２就是４的平方根．
如果狓３＝犪，那么狓叫做犪的立方根．例如，２就是８的立方根．
类似地，由于（±２）４＝１６，我们把±２叫做１６的４次方根；由于２５＝３２，２叫做３２
的５次方根．
一般地，如果狓狀＝犪，那么狓叫做犪的狀次方根，其中狀＞１，且狀∈犖．
当狀是奇数时，正数的狀次方根是一个正数，负数的狀次方根是一个负数．这时，犪
的狀次方根用符号狀槡犪表示．例如，
５槡３２＝２，５槡－３２＝－２，３犪槡６＝犪２．
当狀是偶数时，正数的狀次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数犪的正的
狀次方根用符号狀槡犪表示，负的狀次方根用符号－狀槡犪表示．正的狀次方根与负的狀次方根可
以合并写成±狀槡犪（犪＞０）．例如，
４槡１６＝２，－４槡１６＝－２，±４槡１６＝±２．
　　为什么负数没有偶次
方根？
负数没有偶次方根．
０的任何次方根都是０，记作狀槡０＝０．
式子狀槡犪叫做根式（ｒａｄｉｃａｌ），这里狀叫做根指数，犪叫做
被开方数．
根据狀次方根的意义，可得
（狀槡犪）狀＝犪．
例如，（槡５）２＝５，（５槡－３）５＝－３．
４０１
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第四章　指数函数与对数函数
 ቃ
狀犪槡狀表示犪狀的狀次方根，狀犪槡狀＝犪一定成立吗？如果不一定成立，那么狀犪槡狀等于
什么？
可以得到：
当狀为奇数时，狀犪槡狀＝犪；
当狀为偶数时，狀犪槡狀＝犪＝犪，犪≥０，
－犪，犪＜０．
烅烄
烆
例１　求下列各式的值：
（１）３（－８）
槡
３；　　　　　　　（２）（－１０）
槡
２；
（３）４（３－π）
槡
４；　
（４）（犪－犫）
槡
２．
解：（１）３（－８）
槡
３＝－８；
（２）（－１０）
槡
２＝－１０＝１０；
（３）４（３－π）
槡
４＝３－π＝π－３；
（４）（犪－犫）
槡
２＝犪－犫＝犪－犫，犪≥犫，
犫－犪，犪＜犫．
烅烄
烆
根据狀次方根的定义和数的运算，我们知道
５犪槡１０＝５（犪２）
槡
５＝犪２＝犪
１０５（犪＞０），
４犪槡１２＝４（犪３）
槡
４＝犪３＝犪
１２４（犪＞０）．
这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示
为分数指数幂的形式．
 Ꮶ
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数
幂的形式？
把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把３犪槡２，槡犫，４犮槡５等写成下列形式：
３犪槡２＝犪
２３（犪＞０），
槡犫＝犫
１２（犫＞０），
４犮槡５＝犮
５４（犮＞０），
５０１
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第四章　指数函数与对数函数
　　数学中，引进一个新
的概念或法则时，总希望
它与已有的概念或法则
相容．
我们希望整数指数幂的运算性质，如（犪犽）狀＝犪犽狀，对分数指
数幂仍然适用．
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
犪
犿狀＝狀犪槡犿（犪＞０，犿，狀∈犖，狀＞１）．
于是，在条件犪＞０，犿，狀∈犖，狀＞１下，根式都可以写
成分数指数幂的形式．
　　这里，略去了规定合
理性的说明．
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相
仿，我们规定，
犪－犿狀＝１犪
犿狀＝１
狀犪槡犿（犪＞０，犿，狀∈犖，狀＞１）．
例如，５－４３＝１５
４３＝１
３５槡４，犪－２３＝１犪
２３＝１
３犪槡２．
与０的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
０的正分数指数幂等于０，０的负分数指数幂没有意义．
规定了分数指数幂的意义以后，幂犪狓中指数狓的取值范围就从整数拓展到了有理数．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数狉，狊，均
有下面的运算性质．
（１）犪狉犪狊＝犪狉＋狊（犪＞０，狉，狊∈犙）；
（２）（犪狉）狊＝犪狉狊（犪＞０，狉，狊∈犙）；
（３）（犪犫）狉＝犪狉犫狉（犪＞０，犫＞０，狉∈犙）．
例２　求值：
（１）８
２３；　　　　　　　　（２）（１６８１）
－３４．
解：（１）８
２３＝（２３）
２３＝２３×２３＝２２＝４；
（２）（１６８１）
－３４＝（８１１６）
３４＝（３４
２４）
３４＝（３２）
４×３４＝（３２）
３＝２７８．
例３　用分数指数幂的形式表示下列各式（其中犪＞０）：
（１）犪２·３犪槡２；　　　　　　（２）犪３槡
槡犪．
解：（１）犪２·３犪槡２＝犪２犪
２３＝犪２＋２３＝犪
８３；
（２）犪３槡
槡犪＝（犪犪
１３）１２＝（犪
４３）１２＝犪
２３．
例４　计算下列各式（式中字母均是正数）：
（１）（２犪
２３犫
１２）（－６犪
１２犫
１３）÷（－３犪
１６犫
５６）；　　　　　（２）（犿
１４狀－３８）８；
６０１
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第四章　指数函数与对数函数
（３）（３犪槡２－犪槡３）÷４犪槡２．
解：（１）（２犪
２３犫
１２）（－６犪
１２犫
１３）÷（－３犪
１６犫
５６）
＝［２×（－６）÷（－３）］犪
２３＋１２－１６犫
１２＋１３－５６
＝４犪犫０
＝４犪；
（２）（犿
１４狀－３８）８＝（犿
１４）８（狀－３８）８
＝犿２狀－３
＝犿２
狀３；
（３）（３犪槡２－犪槡３）÷４犪槡２＝（犪
２３－犪
３２）÷犪
１２
＝犪
２３÷犪
１２－犪
３２÷犪
１２
＝犪
２３－１２－犪
３２－１２
＝犪
１６－犪
＝６槡犪－犪．
ጷ˸
１．用根式的形式表示下列各式（犪＞０）：
（１）犪１２；　　　　（２）犪３４；　　　　（３）犪－３５；　　　（４）犪－２３．
２．用分数指数幂的形式表示下列各式：
（１）３狓槡２（狓＞０）；　　　　　　　　（２）５（犿－狀）
槡
４（犿＞狀）；
（３）狆槡６狆槡５（狆＞０）；
（４）犪３
槡犪（犪＞０）．
３．计算下列各式：
（１）（３６４９）
３２；　
（２）２槡３×３３槡１．５×６槡１２；　　
（３）犪１２犪１４犪－１８；　
（４）２狓－１３（１２狓１３－２狓－２３）．
４１２!
IJ#G#HKLMN,O
上面我们将犪狓（犪＞０）中指数狓的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数狓是
无理数时，犪狓的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指
数幂来认识无理数指数幂．
７０１
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第四章　指数函数与对数函数
 ቃ
根据槡２的不足近似值狓和过剩近似值狔（表４．１１），利用计算工具计算相应的
５狓，５狔的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
表４１１
槡２的不足近似值狓
５狓的近似值
槡２的过剩近似值狔
５狔的近似值
１．４
１．５
１．４１
１．４２
１．４１４
１．４１５
１．４１４２
１．４１４３
１．４１４２１
１．４１４２２
１．４１４２１３
１．４１４２１４
１．４１４２１３５
１．４１４２１３６
１．４１４２１３５６
１．４１４２１３５７
１．４１４２１３５６２
１．４１４２１３５６３
…
…
…
…
可以发现，当槡２的不足近似值狓和过剩近似值狔逐渐逼近槡２时，５狓和５狔都趋向于同
一个数，这个数就是５槡２．也就是说，５槡２是一串逐渐增大的有理数指数幂５１．４，５１．４１，
５１．４１４，５１．４１４２，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂５１．５，５１．４２，５１．４１５，５１．４１４３，…逐步逼
近的结果，它是一个确定的实数．这个过程可以用图４．１１表示．
51.4
51.41 51.414
51.4142
5 2
51.4143
51.415
51.42
51.5
图４．１１
 Ꮶ
参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如２槡３，说明它也是一个确定的
实数吗？
一般地，无理数指数幂犪α（犪＞０，α为无理数）是一个确定的实数．这样，我们就将指
数幂犪狓（犪＞０）中指数狓的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的
实数．整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数狉，狊，均有下面的运
算性质．
（１）犪狉犪狊＝犪狉＋狊（犪＞０，狉，狊∈犚）；
（２）（犪狉）狊＝犪狉狊（犪＞０，狉，狊∈犚）；
（３）（犪犫）狉＝犪狉犫狉（犪＞０，犫＞０，狉∈犚）．
８０１
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第四章　指数函数与对数函数
ጷ˸
１．计算下列各式：
（１）（２槡３犿槡
槡３）
槡
２３；　　　（２）犪π３犪２π３犪－π．
２．利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：
（１）狓取负实数，使得｜狓｜的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的２狓（狓∈犚）的值，观察变化
趋势；
（２）狓取正实数，使得狓的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的（１２）
狓（狓∈犚）的值，观察变化
趋势．
ܭ˸ ڍ
习题４．１
１．求下列各式的值：
（１）４１００
槡
４；　　（２）
５（－０．１）
槡
５；　　（３）（π－４）
槡
２；　　（４）
６（狓－狔）
槡
６．
２．选择题
（１）设犪＞０，则下列运算中正确的是（　　）．
（Ａ）犪４３犪３４＝犪　　（Ｂ）犪÷犪２３＝犪３２　　（Ｃ）犪２３犪－２３＝０　　（Ｄ）（犪１４）４＝犪
（２）设犪＞０，犿，狀是正整数，且狀＞１，则下列各式
犪犿狀＝狀犪槡犿，犪０＝１，犪－犿狀＝１
狀犪槡犿，
　　正确的个数是（　　）．
（Ａ）３　　　　　（Ｂ）２　　　　　（Ｃ）１　　　　　（Ｄ）０
３．填空题
（１）在（－１２）
－１，２－１２，（１２）
－１，２－１中，最大的数是　　　　；
（２）按从小到大的顺序，可将２槡３，３槡２，π槡５，２π重新排列为　　　　　　（可用计算工具）．
４．用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：
（１）犫３
犪犪２
犫６槡
槡
；　　　（２）犪１２犪１２槡
槡
槡
犪；　　　（３）槡犿３槡犿４槡犿
（６槡犿）
５犿１４．
５．计算下列各式（式中字母均为正数）：
（１）犪１３犪３４犪７１２；　　　　（２）犪２３犪３４÷犪５６；
（３）（狓１３狔－３４）
１２；
（４）４犪２３犫－１３÷（－２３犪－１３犫－１３）．
９０１
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第四章　指数函数与对数函数
፬Ռᤂၹ
６．如果在某种细菌培养过程中，细菌每１０ｍｉｎ分裂１次（１个分裂成２个），那么经过１ｈ，１个
这种细菌可以分裂成　　　个．
７．（１）已知１０犿＝２，１０狀＝３，求１０３犿－２狀
２的值；
（２）已知犪２狓＝３，求犪３狓＋犪－３狓
犪狓＋犪－狓的值．
８．已知犪１２＋犪－１２＝３，求下列各式的值：
（１）犪＋犪－１；　　　（２）犪２＋犪－２．
   ጊ
９．从盛有１Ｌ纯酒精的容器中倒出１３Ｌ，然后用水填满；再倒出１３Ｌ，又用水填满……
（１）连续进行５次，容器中的纯酒精还剩下多少？
（２）连续进行狀次，容器中的纯酒精还剩下多少？
１０．（１）当狀＝１，２，３，１０，１００，１０００，１００００，１０００００，…时，用计算工具计算（１＋１狀）
狀
（狀∈犖）的值；
（２）当狀越来越大时，（１＋１狀）
狀的底数越来越小，而指数越来越大，那么（１＋１狀）狀是否也
会越来越大？有没有最大值？
０１１
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第四章　指数函数与对数函数
４２　指数函数
对于幂犪狓（犪＞０），我们已经把指数狓的范围拓展到了
实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数
的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继
续研究其他类型的基本初等函数．
４２１!
G#"#$%&
问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的
重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自２００１年起采取了不同的应对措
施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．表４．２１给出了Ａ，Ｂ两地景
区２００１年至２０１５年的游客人次以及逐年增加量．
表４２１
时间／年
Ａ地景区
Ｂ地景区
人次／万次
年增加量／万次
人次／万次
年增加量／万次
２００１
６００
２７８
２００２
６０９
９
３０９
３１
２００３
６２０
１１
３４４
３５
２００４
６３１
１１
３８３
３９
２００５
６４１
１０
４２７
４４
２００６
６５０
９
４７５
４８
２００７
６６１
１１
５２８
５３
２００８
６７１
１０
５８８
６０
２００９
６８１
１０
６５５
６７
２０１０
６９１
１０
７２９
７４
２０１１
７０２
１１
８１１
８２
２０１２
７１１
９
９０３
９２
２０１３
７２１
１０
１００５
１０２
２０１４
７３２
１１
１１１８
１１３
２０１５
７４３
１１
１２４４
１２６
１１１
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第四章　指数函数与对数函数
　　为了便于观察，可以
先根据表格中的数据描
点，然后用光滑的曲线将
离散的点连起来．
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变
化规律？
为了有利于观察规律，根据表４．２１，分别画出Ａ，Ｂ
两地景区采取不同措施后的１５年游客人次的图象（图４．２１
和图４．２２）．
2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013
300
500
700
900
1 100
1 300̡
 ʺ 
 ᫎ
 
2015
2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015
 ᫎ
 ̡
 ʺ 
300
500
700
900
1 100
1 300
图４．２１　　　　　　　　　　　　　　　　图４．２２
观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年
增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越
大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
 ቃ
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景
区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．
从２００２年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
２００２年游客人次
２００１年游客人次＝３０９
２７８≈１．１１，
２００３年游客人次
２００２年游客人次＝３４４
３０９≈１．１１，
……
　　做减法可以得到游客
人次的年增加量，做除法
可以得到游客人次的年增
长率．增加量、增长率是
刻画事物变化规律的两个
很重要的量．
２０１５年游客人次
２０１４年游客人次＝１２４４
１１１８≈１．１１．
结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年增长率都约为
１．１１－１＝０．１１，是一个常数．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增
长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．
显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律
可以近似描述为：
２１１
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第四章　指数函数与对数函数
１年后，游客人次是２００１年的１．１１１倍；
２年后，游客人次是２００１年的１．１１２倍；
３年后，游客人次是２００１年的１．１１３倍；
……
狓年后，游客人次是２００１年的１．１１狓倍．
如果设经过狓年后的游客人次为２００１年的狔倍，那么
狔＝１．１１狓（狓∈［０，＋∞））．
①
这是一个函数，其中指数狓是自变量．
问题２　当生物死亡后，它机体内原有的碳１４含量会按确定的比率衰减（称为衰减
率），大约每经过５７３０年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规
律，生物体内碳１４含量与死亡年数之间有怎样的关系？
设死亡生物体内碳１４含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳１４含量看成
１个单位，那么
死亡１年后，生物体内碳１４含量为（１－狆）１；
死亡２年后，生物体内碳１４含量为（１－狆）２；
死亡３年后，生物体内碳１４含量为（１－狆）３；
……
死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为（１－狆）５７３０．
根据已知条件，（１－狆）５７３０＝１２，从而１－狆＝（１２）
１
５７３０，所以狆＝１－（１２）
１
５７３０．
设生物死亡年数为狓，死亡生物体内碳１４含量为狔，那么狔＝（１－狆）狓，即
狔＝（（１２）
１
５７３０）
狓（狓∈［０，＋∞））．
②
这也是一个函数，指数狓是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以１－（１２）
１
５７３０的衰
减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内
碳１４含量呈指数衰减．
如果用字母犪代替上述①②两式中的底数１．１１和（１２）
１
５７３０，那么函数狔＝１．１１狓和狔＝
（（１２）
１
５７３０）
狓就可以表示为
狔＝犪狓
的形式，其中指数狓是自变量，底数犪是一个大于０且不等于１的常量．
一般地，函数狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）叫做指数函数（ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ），其中指
数狓是自变量，定义域是犚．
３１１
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第四章　指数函数与对数函数
例１　已知指数函数犳（狓）＝犪狓（犪＞０，且犪≠１），且犳（３）＝π，求犳（０），犳（１），
犳（－３）的值．
分析：要求犳（０），犳（１），犳（－３）的值，应先求出犳（狓）＝犪狓的解析式，即先求犪的值．
解：因为犳（狓）＝犪狓，且犳（３）＝π，则犪３＝π，解得犪＝π
１３，于是
犳（狓）＝π
狓３．
所以，犳（０）＝π０＝１，犳（１）＝π
１３＝３槡π，犳（－３）＝π－１＝１π．
例２　（１）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来１０００元门票之外
的收入，Ａ地景区的门票价格为１５０元，比较这１５年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．
（２）在问题２中，某生物死亡１００００年后，它体内碳１４的含量衰减为原来的百分之几？
解：（１）设经过狓年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为犳（狓）和犵（狓），则
140
120
100
80
60
40
20
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x
y
f(x)
g(x)
图４．２３
犳（狓）＝１１５０×（１０狓＋６００），
犵（狓）＝１０００×２７８×１．１１狓．
利用计算工具可得，
当狓＝０时，犳（０）－犵（０）＝４１２０００．
当狓≈１０．２２时，犳（１０．２２）≈犵（１０．２２）．
结合图４．２３可知：
当狓＜１０．２２时，犳（狓）＞犵（狓），
当狓＞１０．２２时，犳（狓）＜犵（狓）．
当狓＝１４时，犵（１４）－犳（１４）≈３４７３０３．
这说明，在２００１年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ
地多４１２０００万元；随后１０年，虽然犳（狓）＞犵（狓），但犵（狓）的增长速度大于犳（狓）；根据
上述数据，并考虑到实际情况，在２０１１年２月某个时刻就有犳（狓）＝犵（狓），这时游客给Ａ
地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，犳（狓）＜犵（狓），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由
于犵（狓）增长得越来越快，在２０１５年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多３４７３０３万元了．
（２）设生物死亡狓年后，它体内碳１４含量为犺（狓）．
如果把刚死亡的生物体内碳１４含量看成１个单位，那么
犺（狓）＝（（１２）
１
５７３０）
狓．
当狓＝１００００时，利用计算工具求得
犺（１００００）＝（１２）
１００００
５７３０≈０．３０．
所以，生物死亡１００００年后，它体内碳１４含量衰减为原来的约３０％．
在实际问题中，经常会遇到类似于例２（１）的指数增长模型：设原有量为犖，每次的增
长率为狆，经过狓次增长，该量增长到狔，则狔＝犖（１＋狆）狓（狓∈犖）．形如狔＝犽犪狓（犽∈犚，
且犽≠０；犪＞０，且犪≠１）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
４１１
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第四章　指数函数与对数函数
ጷ˸
１．下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
čAĎ
čBĎ
čCĎ
čDĎ
２．已知函数狔＝犳（狓），狓∈犚，且犳（０）＝３，犳（０．５）
犳（０）＝２，犳（１）
犳（０．５）＝２，…，犳（０．５狀）
犳（０．５（狀－１））＝２，狀∈犖，求
函数狔＝犳（狓）的一个解析式．
３．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以６．２５％的增长率呈指数增长，那么经过３０天，该湖泊的蓝藻
会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
放射性物质的衰减
本节问题２中的碳１４是一种著名的放射性物质，像铀２３５、锶９０、碘１３１、
铯１３７、镭２２６等也都是放射性物质．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能
量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰
减率衰减．一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这
个时间被称做半衰期．那么连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”（放射性物质
质量衰减为０所用的时间）？
实际上，在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有质量的（１２）
２＝１４．
所以，连续两个半衰期并非是一个全衰期．
在问题２中，我们知道碳１４的半衰期为５７３０年，如果犆０是碳１４的初始质
量，那么经过狋年后，碳１４所剩的质量犆（狋）＝犆０（１２）
狋
５７３０．
一般地，如果某物质的半衰期为犺，那么经过时间狋后，该物质所剩的质量
犙（狋）＝犙０（１２）
狋犺，其中犙０是该物质的初始质量．你能说明理由吗？
如果某函数呈指数增长，那么称函数值增长为原来两倍所用的时间为“倍增
期”．你能通过上网查询，给出一个倍增的指数函数模型实例吗？
５１１
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第四章　指数函数与对数函数
４２２!
G#"#$PQR,O
下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数．首先画出指数函
数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质．
先从简单的函数狔＝２狓开始．
请同学们完成狓，狔的对应值表４．２２，并用描点法画出函数狔＝２狓的图象（图４．２４）．
表４２２
狓
狔
－２
－１．５
０．３５
－１
－０．５
０．７１
０
０．５
１．４１
１
１．５
２．８３
２
y=2x
y
x
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
-1
-2
-3
图４．２４
为了得到指数函数狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）的性质，我们还需要画出更多的具体指数
函数的图象进行观察．
 ቃ
画出函数狔＝（１２）
狓的图象，并与函数狔＝２狓的图象进行比较，它们有什么关系？
能否利用函数狔＝２狓的图象，画出函数狔＝（１２）
狓的图象？
y
x
O
P
1
y=(    )x
2
1
y=2x
P1
图４．２５
因为狔＝（１２）
狓＝２－狓，点（狓，狔）与点（－狓，狔）关于
狔轴对称，所以函数狔＝２狓图象上任意一点犘（狓，狔）关于狔
轴的对称点犘１（－狓，狔）都在函数狔＝（１２）
狓的图象上，反之
亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于狔
轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画
出另一个函数的图象，比如利用函数狔＝２狓的图象，画出
狔＝（１２）
狓的图象（图４．２５）．
６１１
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第四章　指数函数与对数函数
 ቃ
选取底数犪（犪＞０，且犪≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应
的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由
此你能概括出指数函数狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）的值域和性质吗？
如图４．２６，选取底数犪的若干值，用信息技术画图，发现指数函数狔＝犪狓的图象按
底数犪的取值，可分为０＜犪＜１和犪＞１两种类型．因此，指数函数的性质也可以分
０＜犪＜１和犪＞１两种情况进行研究．
一般地，指数函数的图象和性质如表４．２３所示．
x
y
O
5
4
3
2
1
1
2
-1
-2
y=2x
y=3x
y=4x
y=(    )x
4
1
y=(    )x
3
1
y=(    )x
2
1
图４．２６
表４２３
０＜犪＜１
犪＞１
图象
O
y
x
(0,1)
y=ax
y=1
O
y
x
(0,1)
y=1
y=ax
定义域
犚
值域
（０，＋∞）
性质
（１）过定点（０，１），即狓＝０时，狔＝１
（２）减函数
（２）增函数
例３　比较下列各题中两个值的大小：
（１）１．７２．５，１．７３；　　
（２）０．８－槡２，０．８－槡３；　　
（３）１．７０．３，０．９３．１．
分析：对于（１）（２），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可
以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（３），１．７０．３和０．９３．１不能看作某一个指数
函数的两个函数值．可以利用函数狔＝１．７狓和狔＝０．９狓的单调性，以及“狓＝０时，狔＝１”
这条性质把它们联系起来．
解：（１）１．７２．５和１．７３可看作函数狔＝１．７狓当狓分别取２．５和３时所对应的两个函数值．
因为底数１．７＞１，所以指数函数狔＝１．７狓是增函数．
因为２．５＜３，所以１．７２．５＜１．７３．
７１１
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第四章　指数函数与对数函数
（２）同（１）理，因为０＜０．８＜１，所以指数函数狔＝０．８狓是减函数．
　　由例３可以看到，利
用指数函数的单调性，通
过自变量的大小关系可以
判断相应函数值的大小
关系．
因为槡
－２＞槡
－３，所以０．８槡
－２＜０．８槡
－３．
（３）由指数函数的性质知
１．７０．３＞１．７０＝１，
０．９３．１＜０．９０＝１，
所以１．７０．３＞０．９３．１．
例４　如图４．２７，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（２）该城市人口从８０万人开始，经过２０年会增长到多少万人？
yʺ̡
x 
O
10
20
30
40
50
60
70
80
20
40
10
30
50 60 70 80
图４．２７
分析：（１）因为该城市人口呈指数增长，而同
一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中
选取适当的点计算倍增期．
（２）要计算２０年后的人口数，关键是要找到２０
年与倍增期的数量关系．
解：（１）观察图４．２７，发现该城市人口经过
２０年约为１０万人，经过４０年约为２０万人，即由１０
万人口增加到２０万人口所用的时间约为２０年，所
以该城市人口每翻一番所需的时间约为２０年．
（２）因为倍增期为２０年，所以每经过２０年，
人口将翻一番．因此，从８０万人开始，经过２０年，
该城市人口大约会增长到１６０万人．
ጷ˸
１．在同一直角坐标系中画出函数狔＝３狓和狔＝（１３）
狓的图象，并说明它们的关系．
２．比较下列各题中两个值的大小：
（１）６槡２，７槡２；　　　　　（２）０．３－３．５，０．３－２．３；　　　　　　（３）１．２０．５，０．５１．２．
３．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化
的示意图．
ܭ˸ ڍ
习题４．２
１．求下列函数的定义域：
（１）狔＝２３－狓；　　（２）狔＝３２狓＋１；　（３）狔＝（１２）
５狓；　　（４）狔＝０．７１狓．
８１１
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第四章　指数函数与对数函数
２．一种产品原来的年产量是犪件，今后犿年内，计划使产量平均每年比上一年增加狆％，写出
年产量狔（单位：件）关于经过的年数狓的函数解析式．
３．比较满足下列条件的犿，狀的大小：
（１）２犿＜２狀；　　　　　　　　　　　　（２）０．２犿＜０．２狀；
（３）犪犿＜犪狀（０＜犪＜１）；　　　　　　　（４）犪犿＞犪狀（犪＞１）．
４．设函数犳（狓）＝犙０（１＋狉）狓，且犳（１０）＝２０．２３，犳（１１）＝２３．２６．
（１）求函数犳（狓）的增长率狉；
（２）求犳（１２）的值．
፬Ռᤂၹ
５．求下列函数可能的一个解析式：
（１）函数犳（狓）的数据如下表：
狓
０
１
２
犳（狓）
３．５０
４．２０
５．０４
（２）函数犵（狓）的图象如下：
x
y
O
č–1,8Ď
č1,2Ď
g(x)
（第５题）
６．比较下列各题中两个值的大小：
（１）３０．８，３０．７；　　　　　　　　　（２）０．７５－０．１，０．７５０．１；　
（３）１．０１２．７，１．０１３．５；　　　
（４）０．９９３．３，０．９９４．５．
７．当死亡生物组织内碳１４的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳
１４了．如果死亡生物组织内的碳１４经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测
到碳１４吗？
　　复利是一种计算利息
的方法，即把前一期的利
息和本金加在一起算作本
金，再计算下一期的利息．
我国现行定期储蓄中的自
动转存业务就是类似复利
计算的储蓄．
８．按复利计算利息的一种储蓄，本金为犪（单位：元），每期利率
为狉，本利和为狔（单位：元），存期数为狓．
（１）写出本利和狔关于存期数狓的函数解析式；
（２）如果存入本金１０００元，每期利率为２．２５％，试计算５期
后的本利和．
９１１
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第四章　指数函数与对数函数
   ጊ
９．已知函数狔＝犪（１２）
｜狓｜＋犫的图象过原点，且无限接近直线狔＝２但又不与该直线相交．
（１）求该函数的解析式，并画出图象；
（２）判断该函数的奇偶性和单调性．
１０．已知犳（狓）＝犪狓，犵（狓）＝（１犪）
狓（犪＞０，且犪≠１），
（１）讨论函数犳（狓）和犵（狓）的单调性．
（２）如果犳（狓）＜犵（狓），那么狓的取值范围是多少？
η    ၹ
探究指数函数的性质
函数图象是研究函数性质和进一步理解其概念的重要载体．利用信息技
术强大的作图以及对图象和数据的分析功能，例如函数图象的动态演示，引
起图象变化的关键因素分析，图象的局部放大和缩小等，有利于我们观察函
数的整体变化情况，并考察其中的细节，从而获得大量关于函数特点的信
息．这将极大地方便我们归纳、概括函数的性质以及发现不同函数之间的区
别与联系．下面，我们就利用信息技术来探究指数函数的性质．
１．用信息技术绘制函数狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）的图象．由于底数犪可
取大于０且不等于１的所有实数，所以不妨用一端固定于狔轴的水平线段
犘犃的长度来表示底数犪的值，即点犃的横坐标狓犃显示的就是犪的取值．
２．如图１，从左向右拖动点犃（０＜狓犃＜１），则狓犃的值逐渐增大．当狓犃
的值越来越接近于１时，图象就越来越接近于直线狔＝１；当狓犃＝１时，图
象就是直线狔＝１；继续向右拖动点犃（狓犃＞１），如图２，图象发生了变化，
-2 xA =0.95
-5
P
A
2
4
6
8
5
f(x) =xAx
-2
2
4
6
8
xA =9.97
P
A
-5
10
f(x) =xAx
5
图１　　　　　　　　　　　　　　　　　图２
０２１
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第四章　指数函数与对数函数
随着狓犃的值逐渐增大，在第一象限内，图象越来越接近于狔轴，在第二象
限内，图象越来越接近于狓轴．
３．根据图１和图２，可以容易地发现指数函数的下列性质：
（１）所有函数的图象都过点（０，１）．
（２）所有函数的定义域都是（－∞，＋∞），值域都是（０，＋∞）．
（３）在图１中，当０＜犪＜１时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函
数；在图２中，当犪＞１时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数．
接下来，请你思考和探究下列问题：
１．继续观察图１和图２，当自变量狓取同一个数时，对应的函数值狔的
大小关系是什么，你从中发现了什么规律？
２．类似地，你可以利用信息技术绘制幂函数狔＝狓α的图象，通过改变α
的大小，认识幂函数的变化规律．
１２１
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第四章　指数函数与对数函数
４３　对数
在４．２．１的问题１中，通过指数幂运算，我们能从狔＝
１．１１狓中求出经过狓年后Ｂ地景区的游客人次为２００１年的
倍数狔．反之，如果要求经过多少年游客人次是２００１年的２
倍，３倍，４倍，…，那么该如何解决？
４３１!
"#$%&
上述问题实际上就是从２＝１．１１狓，３＝１．１１狓，４＝１．１１狓，…中分别求出狓，即已知
底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
　　“ｌｏｇ”是拉丁文ｌｏｇ
ａｒｉｔｈｍ（对数）的缩写．
一般地，如果犪狓＝犖（犪＞０，且犪≠１），那么数狓叫做
以犪为底犖的对数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍ），记作
狓＝ｌｏｇ犪犖，
其中犪叫做对数的底数，犖叫做真数．
例如，由于２＝１．１１狓，所以狓就是以１．１１为底２的对
数，记作狓＝ｌｏｇ１．１１２；再如，由于４２＝１６，所以以４为底
１６的对数是２，记作ｌｏｇ４１６＝２．
　　通过查询互联网，进
一步了解无理数ｅ、常用
对数和自然对数．
通常，我们将以１０为底的对数叫做常用对数（ｃｏｍｍｏｎ
ｌｏｇａｒｉｔｈｍ），并把ｌｏｇ１０犖记为ｌｇ犖．另外，在科技、经济以
及社会生活中经常使用以无理数ｅ＝２．７１８２８…为底数的对
数，以ｅ为底的对数称为自然对数（ｎａｔｕｒａｌｌｏｇａｒｉｔｈｍ），并
把ｌｏｇｅ犖记为ｌｎ犖．
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当犪＞０，犪≠１时，犪狓＝犖狓＝ｌｏｇ犪犖．
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和０没有对数；
ｌｏｇ犪１＝０，ｌｏｇ犪犪＝１．
请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论．
例１　把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（１）５４＝６２５；　　　　（２）２－６＝１６４；　　　　（３）（１３）
犿＝５．７３；
（４）ｌｏｇ１２１６＝－４；　　（５）ｌｇ０．０１＝－２；　（６）ｌｎ１０＝２．３０３．
２２１
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第四章　指数函数与对数函数
解：（１）ｌｏｇ５６２５＝４；　（２）ｌｏｇ２１６４＝－６；　　（３）ｌｏｇ１３５．７３＝犿；
（４）（１２）
－４＝１６；　　　（５）１０－２＝０．０１；　　（６）ｅ２．３０３＝１０．
例２　求下列各式中狓的值：
（１）ｌｏｇ６４狓＝－２３；　　　　（２）ｌｏｇ狓８＝６；
（３）ｌｇ１００＝狓；　　　　　（４）－ｌｎｅ２＝狓．
解：（１）因为ｌｏｇ６４狓＝－２３，所以
狓＝６４－２３＝（４３）－２３＝４－２＝１１６．
（２）因为ｌｏｇ狓８＝６，所以狓６＝８．又狓＞０，所以
狓＝８
１６＝（２３）１６＝２
１２＝槡２．
（３）因为ｌｇ１００＝狓，所以
１０狓＝１００，１０狓＝１０２，
于是
狓＝２．
（４）因为－ｌｎｅ２＝狓，所以
ｌｎｅ２＝－狓，ｅ２＝ｅ－狓，
于是
狓＝－２．
ጷ˸
１．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（１）２３＝８；　　　　　　　（２）ｅ槡３＝犿；　　　　　　（３）２７－１３＝１３；
（４）ｌｏｇ３９＝２；　　
（５）ｌｇ狀＝２．３；　　　
（６）ｌｏｇ３１８１＝－４．
２．求下列各式的值：
（１）ｌｏｇ５２５；　　
（２）ｌｏｇ０．４１；　　　
（３）ｌｎ１ｅ；　　　　　（４）ｌｇ０．００１．
３．求下列各式中狓的值：
（１）ｌｏｇ１３狓＝－３；
（２）ｌｏｇ狓４９＝４；　
（３）ｌｇ０．００００１＝狓；　（４）ｌｎ槡ｅ＝－狓．
４３２!
S#$MN
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？
３２１
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第四章　指数函数与对数函数
 ቃ
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算
性质呢？
设　　　　　　　　　　　　犕＝犪犿，犖＝犪狀，
因为　　　　　　　　　　
犪犿犪狀＝犪犿＋狀，
所以　　　　　　　　　　　　
犕犖＝犪犿＋狀．
根据对数与指数间的关系可得
ｌｏｇ犪犕＝犿，ｌｏｇ犪犖＝狀，
ｌｏｇ犪（犕犖）＝犿＋狀．
这样，就得到了对数的一个运算性质：
ｌｏｇ犪（犕犖）＝ｌｏｇ犪犕＋ｌｏｇ犪犖．
同样地，同学们可以仿照上述过程，由犪犿÷犪狀＝犪犿－狀和（犪犿）狀＝犪犿狀，自己推出对
数运算的其他性质．
于是，我们得到如下的对数运算性质．
如果犪＞０，且犪≠１，犕＞０，犖＞０，那么
（１）ｌｏｇ犪（犕犖）＝ｌｏｇ犪犕＋ｌｏｇ犪犖；
（２）ｌｏｇ犪犕犖＝ｌｏｇ犪犕－ｌｏｇ犪犖；
（３）ｌｏｇ犪犕狀＝狀ｌｏｇ犪犕（狀∈犚）．
例３　求下列各式的值：
（１）ｌｇ５槡１００；　　　　　　（２）ｌｏｇ２（４７×２５）．
解：（１）ｌｇ５槡１００＝ｌｇ１００
１５＝１５ｌｇ１００＝２５；
（２）ｌｏｇ２（４７×２５）＝ｌｏｇ２４７＋ｌｏｇ２２５
＝７ｌｏｇ２４＋５ｌｏｇ２２
＝７×２＋５×１
＝１９．
例４　用ｌｎ狓，ｌｎ狔，ｌｎ狕表示ｌｎ狓２槡狔
３槡狕．
解：ｌｎ狓２槡狔
３槡狕＝ｌｎ（狓２槡狔）－ｌｎ３槡狕
４２１
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第四章　指数函数与对数函数
＝ｌｎ狓２＋ｌｎ槡狔－ｌｎ３槡狕
＝２ｌｎ狓＋１２ｌｎ狔－１３ｌｎ狕．
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就
能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数
的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以１０或ｅ为底的对数，就
能方便地求出这些对数．
 ቃ
（１）利用计算工具求ｌｎ２，ｌｎ３的近似值；
（２）根据对数的定义，你能利用ｌｎ２，ｌｎ３的值求ｌｏｇ２３的值吗？
（３）根据对数的定义，你能用ｌｏｇ犮犪，ｌｏｇ犮犫表示ｌｏｇ犪犫（犪＞０，且犪≠１；犫＞０；
犮＞０，且犮≠１）吗？
设ｌｏｇ犪犫＝狓，则犪狓＝犫，于是
ｌｏｇ犮犪狓＝ｌｏｇ犮犫．
根据性质（３）得狓ｌｏｇ犮犪＝ｌｏｇ犮犫，即
ｌｏｇ犪犫＝ｌｏｇ犮犫
ｌｏｇ犮犪（犪＞０，且犪≠１；犫＞０；犮＞０，且犮≠１）．
我们把上式叫做对数换底公式．
在４．２．１的问题１中，求经过多少年Ｂ地景区的游客人次是２００１年的２倍，就是计
算狓＝ｌｏｇ１．１１２的值．由换底公式，可得
狓＝ｌｏｇ１．１１２＝ｌｇ２
ｌｇ１．１１．
利用计算工具，可得
狓＝ｌｇ２
ｌｇ１．１１≈６．６４≈７．
由此可得，大约经过７年，Ｂ地景区的游客人次就达到２００１年的２倍．
类似地，可以求出游客人次是２００１年的３倍，４倍，…所需要的年数．
例５　尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了
解，例如，地震时释放出的能量犈（单位：焦耳）与地震里氏震级犕之间的关系为
ｌｇ犈＝４．８＋１．５犕．
２０１１年３月１１日，日本东北部海域发生里氏９．０级地震，它所释放出来的能量是
５２１
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第四章　指数函数与对数函数
２００８年５月１２日我国汶川发生里氏８．０级地震的多少倍（精确到１）？
解：设里氏９．０级和８．０级地震的能量分别为犈１和犈２．
由ｌｇ犈＝４．８＋１．５犕，可得
　　想一想，为什么两次
地震的里氏震级仅差１级，
而释放的能量却相差那么
多呢？
ｌｇ犈１＝４．８＋１．５×９．０，
ｌｇ犈２＝４．８＋１．５×８．０．
于是，ｌｇ犈１犈２＝ｌｇ犈１－ｌｇ犈２
＝（４．８＋１．５×９．０）－（４．８＋１．５×８．０）＝１．５．
利用计算工具可得，犈１犈２＝１０１．５≈３２．
虽然里氏９．０级地震与里氏８．０级地震仅相差１级，但前者释放出来的能量却是后者
的约３２倍．
ጷ˸
１．求下列各式的值：
（１）ｌｏｇ３（２７×９２）；　（２）ｌｇ５＋ｌｇ２；　（３）ｌｎ３＋ｌｎ１３；　（４）ｌｏｇ３５－ｌｏｇ３１５．
２．用ｌｇ狓，ｌｇ狔，ｌｇ狕表示下列各式：
（１）ｌｇ（狓狔狕）；　　　（２）ｌｇ狓狔２
狕；　　（３）ｌｇ狓狔３
槡狕；　　　（４）ｌｇ槡狓
狔２狕．
３．化简下列各式：
（１）ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４×ｌｏｇ４５×ｌｏｇ５２；　　　（２）２（ｌｏｇ４３＋ｌｏｇ８３）（ｌｏｇ３２＋ｌｏｇ９２）．
ܭ˸ ڍ
习题４．３
１．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（１）３狓＝１；　　　（２）４狓＝１６；　　　（３）１０狓＝６；　　（４）ｅ狓＝２５；
（５）狓＝ｌｏｇ５２７；　（６）狓＝ｌｏｇ７１３；　　（７）狓＝ｌｇ０．３；　　（８）狓＝ｌｎ槡３．
２．选择题
（１）使式子ｌｏｇ（２狓－１）（２－狓）有意义的狓的取值范围是（　　）．
（Ａ）狓＞２　　　（Ｂ）狓＜２　　　（Ｃ）１２＜狓＜２　　　（Ｄ）１２＜狓＜２，且狓≠１
（２）若ｌｇ犪（犪＞０）与ｌｇ犫（犫＞０）互为相反数，则（　　）．
（Ａ）犪＋犫＝０　　　　（Ｂ）犪－犫＝０　　　　（Ｃ）犪犫＝１　　　　（Ｄ）犪犫＝１
６２１
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第四章　指数函数与对数函数
３．求下列各式的值：
（１）ｌｏｇ犪２＋ｌｏｇ犪１２；　　　　　（２）ｌｏｇ３１８－ｌｏｇ３２；　　　　　（３）ｌｇ１４－ｌｇ２５；
（４）２ｌｏｇ５２５－３ｌｏｇ２６４；　　　（５）ｌｏｇ２（ｌｏｇ２１６）；　　
（６）ｌｏｇ２２５×ｌｏｇ３４×ｌｏｇ５９．
４．求满足下列条件的狓的值：
（１）ｌｎ狓＝ｌｎ犪＋ｌｎ犫；
（２）ｌｇ狓＝３ｌｇ狀－ｌｇ犿；
（３）ｌｏｇ犪狓＝１２ｌｏｇ犪犫－ｌｏｇ犪犮；（４）ｌｏｇ２［ｌｏｇ３（ｌｏｇ４狓）］＝０．
፬Ռᤂၹ
５．已知ｌｇ２＝犪，ｌｇ３＝犫，求下列各式的值：
（１）ｌｇ６；　　　　（２）ｌｏｇ３４；　　　　（３）ｌｏｇ２１２；　　　　（４）ｌｇ３２．
６．求满足下列条件的各式的值：
（１）若狓ｌｏｇ３４＝１，求４狓＋４－狓的值；
（２）若犳（狓）＝３狓，求犳（ｌｏｇ３２）的值．
７．证明：
（１）ｌｏｇ犪犫·ｌｏｇ犫犮·ｌｏｇ犮犪＝１；　　（２）ｌｏｇ犪犿犫狀＝狀犿ｌｏｇ犪犫．
８．某地ＧＤＰ的年平均增长率为６．５％，按此增长率，多少年后该地ＧＤＰ会翻两番？
   ጊ
９．我们可以把（１＋１％）３６５看作每天的“进步”率都是１％，一年后是１．０１３６５；而把（１－１％）３６５
看作每天的“落后”率都是１％，一年后是０．９９３６５．利用计算工具计算并回答下列问题：
（１）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（２）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的１０倍、１００倍、１０００倍？
１０．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：１００ｍＬ血液
中酒精含量达到２０～７９ｍｇ的驾驶员即为酒后驾车，８０ｍｇ及以上认定为醉酒驾车．假设某
驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了１ｍｇ／ｍＬ．如果在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时３０％的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？
７２１
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第四章　指数函数与对数函数
᫞឴
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对数的发明
１６、１７世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大
数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高计算速度和准确度成
了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔（Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ，１５５０－１６１７）在研究天文学
的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工
具，于１６１４年出版了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生．在这
本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法．
如图１，假定两点犘，犙以相同的初速度运动．点犙沿直线犆犇作匀速
运动，犆犙＝狓；点犘沿线段犃犅（长度为１０７单位）运动，它在任何一点的
速度值等于它尚未经过的距离（犘犅＝狔）．令犘与犙同时分别从犃，犆出
发，那么，定义狓为狔的对数．
A
P
B
y
C
D
x
图１
用现在的数学符号来叙述，纳皮尔的对数中，狓与狔的对应关系就是
狔＝１０７（１ｅ）
狓
１０７．
其中，ｅ为自然对数的底．利用对数，纳皮尔制作了０°～９０°每隔１′的八位三
角函数表，但是这种方法不够方便和简捷．
把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯（Ｈ．Ｂｒｉｇｇｓ，
１５６１—１６３１）．他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起
来很不方便，于是与纳皮尔商定，使１的对数为０，１０的对数为１，这样就
得到了现在所用的以１０为底的常用对数．由于我们的数系是十进制，因此
它在数值计算上具有优越性．１６２４年，布里格斯出版了《对数算术》，公布
了以１０为底包含１～２００００及９００００～１０００００的１４位常用对数表．
根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺．３００多年来，对数计算
尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到２０世纪
７０年代才让位给电子计算器．尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表
现在都不再重要了，但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化
为乘法和加法，在今天仍然具有生命力．
从对数发明的过程可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指
数与对数的互逆关系，主要是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也
８２１
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第四章　指数函数与对数函数
是在２０多年后的１６３７年由法国数学家笛卡儿开始使用．直到１８世纪，瑞士
数学家欧拉才发现指数与对数的互逆关系，并在１７７０年出版的一部著作中，
首先使用狔＝犪狓来定义狓＝ｌｏｇ犪狔．他指出，“对数源出于指数”．然而对数的
发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．
从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的
主要动力．建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运
算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担．
９２１
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第四章　指数函数与对数函数
４４　对数函数
在４．２节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或
衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们
还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．
４４１!
S#"#$%&
 Ꮶ
在４．２．１的问题２中，我们已经研究了死亡生物体内碳１４的含量狔随死亡时间
狓的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳１４的含量，如何得知它死亡
了多长时间呢？进一步地，死亡时间狓是碳１４的含量狔的函数吗？
x
y
O
1
y0
(x0,y0)
图４．４１
根据指数与对数的关系，由狔＝（１２）
狓
５７３０（狓≥０）得到狓＝
ｌｏｇ５７３０１２槡狔（０＜狔≤１）．如图４．４１，过狔轴正半轴上任意一点
（０，狔０）（０＜狔０≤１）作狓轴的平行线，与狔＝（１２）
狓
５７３０（狓≥０）
的图象有且只有一个交点（狓０，狔０）．这就说明，对于任意
一个狔∈（０，１］，通过对应关系狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡狔，在［０，＋∞）上
都有唯一确定的数狓和它对应，所以狓也是狔的函数．也就是说，函数狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡狔，狔∈
（０，１］刻画了时间狓随碳１４含量狔的衰减而变化的规律．
同样地，根据指数与对数的关系，由狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）可以得到狓＝ｌｏｇ犪狔
（犪＞０，且犪≠１），狓也是狔的函数．通常，我们用狓表示自变量，狔表示函数．为此，将
狓＝ｌｏｇ犪狔（犪＞０，且犪≠１）中的字母狓和狔对调，写成狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１）．
一般地，函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１）叫做对数函数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），其中
狓是自变量，定义域是（０，＋∞）．
例１　求下列函数的定义域：
（１）狔＝ｌｏｇ３狓２；　
（２）狔＝ｌｏｇ犪（４－狓）（犪＞０，且犪≠１）．
０３１
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第四章　指数函数与对数函数
解：（１）因为狓２＞０，即狓≠０，所以函数狔＝ｌｏｇ３狓２的定义域是
｛狓｜狓≠０｝．
（２）因为４－狓＞０，即狓＜４，所以函数狔＝ｌｏｇ犪（４－狓）的定义域是
｛狓｜狓＜４｝．
例２　假设某地初始物价为１，每年以５％的增长率递增，经过狔年后的物价为狓．
（１）该地的物价经过几年后会翻一番？
（２）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价狓１
２
３
４
５
６
７
８
９１０
年数狔０
解：（１）由题意可知，经过狔年后物价狓为
狓＝（１＋５％）狔，即狓＝１．０５狔（狔∈［０，＋∞））．
由对数与指数间的关系，可得
狔＝ｌｏｇ１．０５狓，狓∈［１，＋∞）．
由计算工具可得，当狓＝２时，狔≈１４．
所以，该地区的物价大约经过１４年后会翻一番．
（２）根据函数狔＝ｌｏｇ１．０５狓，狓∈［１，＋∞），利用计算工具，可得下表：
物价狓１
２
３
４
５
６
７
８
９１０
年数狔０１４２３２８３３３７４０４３４５４７
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加１倍所需
要的时间在逐渐缩小．
ጷ˸
１．求下列函数的定义域：
（１）狔＝ｌｎ（１－狓）；　　　　　　（２）狔＝１ｌｇ狓；
（３）狔＝ｌｏｇ７１
１－３狓；　　　　　（４）狔＝ｌｏｇ犪｜狓｜（犪＞０，且犪≠１）．
２．画出下列函数的图象：
（１）狔＝ｌｇ１０狓；　　　　　　　（２）狔＝１０ｌｇ狓．
３．已知集合犃＝｛１，２，３，４，… ｝，集合犅＝｛２，４，８，１６，… ｝，下列函数能体现集合犃与集合犅
对应关系的是　　　　．
①狔＝２狓；　　②狔＝狓２；　　③狔＝ｌｏｇ２狓；　　④狔＝２狓．
１３１
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第四章　指数函数与对数函数
４４２!
S#"#$PQR,O
与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质．
不妨先画函数狔＝ｌｏｇ２狓的图象．
请同学们完成狓，狔的对应值表４．４１，并用描点法画出函数狔＝ｌｏｇ２狓的图象（图
４．４２）．
表４４１
狓
狔
０．５
－１
１
０
２
１
４６８１２１６
y
x
O
2
4
6
8
10
5
y=log2x
-2
-4
-6
图４．４２
 Ꮶ
我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于狔轴对称．对于底数互为倒
数的两个对数函数，比如狔＝ｌｏｇ２狓和狔＝ｌｏｇ１２狓，它们的图象是否也有某种对称关系
呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
y
O
x
P
y=log2x
y=log    x
2
1
P1
　图４．４３
利用换底公式，可以得到狔＝ｌｏｇ１２狓＝－ｌｏｇ２狓．因为点（狓，狔）
与点（狓，－狔）关于狓轴对称，所以狔＝ｌｏｇ２狓图象上任意一点
犘（狓，狔）关于狓轴的对称点犘１（狓，－狔）都在狔＝ｌｏｇ１２狓的图象
上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图
象关于狓轴对称．根据这种对称性，就可以利用狔＝ｌｏｇ２狓的图
象画出狔＝ｌｏｇ１２狓的图象（图４．４３）．
为了得到对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１）的性质，我
们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察．
 ቃ
选取底数犪（犪＞０，且犪≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的
对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你
能概括出对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１）的值域和性质吗？
２３１
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第四章　指数函数与对数函数
如图４．４４，选取底数犪的若干值，用计算工具画图，发现对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图
象按底数犪的取值，可分为０＜犪＜１和犪＞１两种类型．因此，对数函数的性质也可以分
０＜犪＜１和犪＞１两种情况进行研究．
一般地，对数函数的图象和性质如表４．４２所示．
y=log4x
y=log3x
y=log2x
y=log
x
y=log
x
y=log
x
y
O
2
-2
-1
1
x
1
2
3
4
5
4
1
3
1
2
1
图４．４４
表４４２
０＜犪＜１
犪＞１
图象
O
y
(1,0)
x
x=1
y=logax
y
x
O
(1,0)
x=1 y=logax
定义域
（０，＋∞）
值域
犚
性质
（１）过定点（１，０），即狓＝１时，狔＝０
（２）减函数
（２）增函数
例３　比较下列各题中两个值的大小：
（１）ｌｏｇ２３．４，ｌｏｇ２８．５；　　　　
（２）ｌｏｇ０．３１．８，ｌｏｇ０．３２．７；
（３）ｌｏｇ犪５．１，ｌｏｇ犪５．９（犪＞０，且犪≠１）．
解：（１）ｌｏｇ２３．４和ｌｏｇ２８．５可看作函数狔＝ｌｏｇ２狓的两个函数值．因为底数２＞１，对
数函数狔＝ｌｏｇ２狓是增函数，且３．４＜８．５，所以
ｌｏｇ２３．４＜ｌｏｇ２８．５．
（２）ｌｏｇ０．３１．８和ｌｏｇ０．３２．７可看作函数狔＝ｌｏｇ０．３狓的两个函数值．因为底数０．３＜１，
对数函数狔＝ｌｏｇ０．３狓是减函数，且１．８＜２．７，所以
ｌｏｇ０．３１．８＞ｌｏｇ０．３２．７．
（３）ｌｏｇ犪５．１和ｌｏｇ犪５．９可看作函数狔＝ｌｏｇ犪狓的两个函数值．对数函数的单调性取决
于底数犪是大于１还是小于１，因此需要对底数犪进行讨论．
当犪＞１时，因为函数狔＝ｌｏｇ犪狓是增函数，且５．１＜５．９，所以
ｌｏｇ犪５．１＜ｌｏｇ犪５．９；
当０＜犪＜１时，因为函数狔＝ｌｏｇ犪狓是减函数，且５．１＜５．９，所以
ｌｏｇ犪５．１＞ｌｏｇ犪５．９．
３３１
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第四章　指数函数与对数函数
例４　溶液酸碱度的测量．
溶液酸碱度是通过ｐＨ计量的．ｐＨ的计算公式为ｐＨ＝－ｌｇ［Ｈ＋］，其中［Ｈ＋］表示
溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升．
（１）根据对数函数性质及上述ｐＨ的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓
度之间的变化关系；
（２）已知纯净水中氢离子的浓度为［Ｈ＋］＝１０－７摩尔／升，计算纯净水的ｐＨ．
解：（１）根据对数的运算性质，有
　　胃酸中氢离子的浓度
是２．５×１０－２摩尔／升，胃
酸的ｐＨ是多少？
ｐＨ＝－ｌｇ［Ｈ＋］＝ｌｇ［Ｈ＋］－１＝ｌｇ１
［Ｈ＋］．
在（０，＋∞）上，随着［Ｈ＋］的增大，１
［Ｈ＋］减小，
相应地，ｌｇ１Ｈ＋
［］也减小，即ｐＨ减小．所以，随着［Ｈ＋］
的增大，ｐＨ减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸
性就越强．
（２）当［Ｈ＋］＝１０－７时，ｐＨ＝－ｌｇ１０－７＝７．所以，纯
净水的ｐＨ是７．
前面根据指数与对数间的关系，由狔＝（１２）
狓
５７３０（狓≥０）得狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡狔（０＜狔≤１）．由
函数定义可知狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡狔，狔∈（０，１］是一个函数．这样，由指数函数狔＝（１２）
狓
５７３０，
狓∈［０，＋∞）可得到对数函数狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡狔，狔∈（０，１］．这个对数函数的定义域（０，１］、
值域［０，＋∞）分别是指数函数狔＝（１２）
狓
５７３０，狓∈［０，＋∞）的值域和定义域．这时就说函数
狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡狔，狔∈（０，１］是函数狔＝（１２）
狓
５７３０，狓∈［０，＋∞）的反函数（ｉｎｖｅｒｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
通常，我们用狓表示自变量，狔表示函数．为此，把狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡狔写成狔＝ｌｏｇ５７３０１２槡狓，
这样，对数函数狔＝ｌｏｇ５７３０１２槡狓，狓∈（０，１］是指数函数狔＝（１２）
狓
５７３０，狓∈［０，＋∞）的反函
数．同时，指数函数狔＝（１２）
狓
５７３０，狓∈［０，＋∞）也是对数函数狔＝ｌｏｇ５７３０１２槡狓，狓∈（０，１］的反
函数．因此，指数函数狔＝（１２）
狓
５７３０，狓∈［０，＋∞）与对数函数狔＝ｌｏｇ５７３０１２槡狓，狓∈（０，１］
互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
４３１
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第四章　指数函数与对数函数
 ቃ
对于指数函数狔＝２狓，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数
吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？
一般地，指数函数狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）与对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１）互
为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
ጷ˸
１．在同一直角坐标系中画出函数狔＝ｌｏｇ３狓和狔＝ｌｏｇ１３狓的图象，并说明它们的关系．
２．比较下列各题中两个值的大小：
（１）ｌｇ０．６，ｌｇ０．８；　　（２）ｌｏｇ０．５６，ｌｏｇ０．５４；　　（３）ｌｏｇ犿５，ｌｏｇ犿７．
３．某地去年的ＧＤＰ（国内生产总值）为３０００亿元人民币，预计未来５年的平均增长率为６．８％．
（１）设经过狓年达到的年ＧＤＰ为狔亿元，试写出未来５年内，狔关于狓的函数解析式；
（２）经过几年该地ＧＤＰ能达到３９００亿元人民币？
 ቃˁԧဘ
互为反函数的两个函数图象间的关系
我们知道，指数函数狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）与对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且
犪≠１）互为反函数．它们的图象是否有关系？有什么关系呢？下面，请你运用所
学的数学知识和计算工具，探索几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
１．在同一直角坐标系中，画出指数函数狔＝２狓及其反函数狔＝ｌｏｇ２狓的图象．
你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？
２．取狔＝２狓图象上的几个点，如犘１（－１，１２），犘２（０，１），犘３（１，２）．犘１，
犘２，犘３关于直线狔＝狓的对称点的坐标是什么？它们在狔＝ｌｏｇ２狓的图象上吗？
为什么？
３．如果点犘０（狓０，狔０）在函数狔＝２狓的图象上，那么犘０关于直线狔＝狓的对
称点在函数狔＝ｌｏｇ２狓的图象上吗？为什么？
４．根据上述探究过程，你可以得到什么结论？
５．上述结论对于指数函数狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）及其反函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，
且犪≠１）也成立吗？为什么？
５３１
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第四章　指数函数与对数函数
４４３!
TU"#VW$XY
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，
这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增
长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规
律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
 ቃ
选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间［０，＋∞）上的增长差异，你
能描述一下指数函数增长的特点吗？
不妨以函数狔＝２狓和狔＝２狓为例．
利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表４．４３），并在
同一直角坐标系中画出它们的图象（图４．４５）．可以看到，函数狔＝２狓和狔＝２狓的图象
有两个交点（１，２），（２，４）．在区间［０，１）上，函数狔＝２狓的图象位于狔＝２狓的图象之
上，２狓＞２狓；在区间（１，２）上，函数狔＝２狓的图象位于狔＝２狓的图象之下，２狓＜２狓；在
区间（２，３）上，函数狔＝２狓的图象位于狔＝２狓的图象之上，２狓＞２狓．这表明，虽然这两个
函数在［０，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数狔＝２狓的增长速度保持不
变，而函数狔＝２狓的增长速度在变化．
表４４３
狓
狔＝２狓
狔＝２狓
０
１
０
０．５
１．４１４
１
１
２
２
１．５
２．８２８
３
２
４
４
２．５
５．６５７
５
３
８
６
…
…
…
y=2x
y=2x
x
y
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
图４．４５
下面在更大的范围内，观察狔＝２狓和狔＝２狓的增长情况．
从表４．４４和图４．４６可以看到，当自变量狓越来越大时，狔＝２狓的图象就像与狓轴
垂直一样，２狓的值快速增长；而函数狔＝２狓的增长速度依然保持不变，与函数狔＝２狓的增
长速度相比几乎微不足道．
６３１
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第四章　指数函数与对数函数
表４４４
狓
狔＝２狓
狔＝２狓
０
１
０
２
４
４
４
１６
８
６
６４
１２
８
２５６
１６
１０
１０２４
２０
１２
４０９６
２４
…
…
…
y=2x
y=2x
x
y
O
200
1 000
400
600
800
5
10
15
20
图４．４６
　　指数函数不像一次函
数那样按同一速度增长，
而是越来越快，呈爆炸性
增长．
综上所述，虽然函数狔＝２狓与狔＝２狓在区间［０，＋∞）
上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个
“档次”上．随着狓的增大，狔＝２狓的增长速度越来越快，
会超过并远远大于狔＝２狓的增长速度．尽管在狓的一定变
化范围内，２狓会小于２狓，但由于狔＝２狓的增长最终会快于
狔＝２狓的增长，因此，总会存在一个狓０，当狓＞狓０时，恒
有２狓＞２狓．
一般地，指数函数狔＝犪狓（犪＞１）与一次函数狔＝犽狓
（犽＞０）的增长差异都与上述情况类似．即使犽的值远远大于
犪的值，狔＝犪狓（犪＞１）的增长速度最终都会大大超过狔＝犽狓
（犽＞０）的增长速度．
 ቃ
选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间［０，＋∞）上的增长差异，你
能描述一下对数函数增长的特点吗？
不妨以函数狔＝ｌｇ狓和狔＝１１０狓为例．
利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表４．４５），并在
同一直角坐标系中画出它们的图象（图４．４７）．可以看到，虽然它们在［０，＋∞）上都单
调递增，但增长速度存在着明显的差异．函数狔＝１１０狓的增长速度保持不变，而狔＝ｌｇ狓
的增长速度在变化．随着狓的增大，函数狔＝１１０狓的图象离狓轴越来越远，而函数狔＝ｌｇ狓
的图象越来越平缓，就像与狓轴平行一样．例如ｌｇ１０＝１，ｌｇ１００＝２，ｌｇ１０００＝３，
７３１
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第四章　指数函数与对数函数
ｌｇ１００００＝４；而１１０×１０＝１，１１０×１００＝１０，１１０×１０００＝１００，１１０×１００００＝１０００．这说明，
当狓＞１０，即狔＝ｌｇ　狓＞１时，狔＝ｌｇ狓与狔＝１１０狓相比增长得就很慢了．
表４４５
狓
狔＝ｌｇ狓狔＝１１０狓
０
不存在
０
１０
１
１
２０
１．３０１
２
３０
１．４７７
３
４０
１．６０２
４
５０
１．６９９
５
６０
１．７７８
６
…
…
…
y=lg x
x
y
O
1
2
3
4
5
6
10 20 30 40 50 60
y= 10 
1 x
图４．４７
 Ꮶ
如果将ｌｇ狓放大１０００倍，再对函数狔＝１０００ｌｇ狓和狔＝１１０狓的增长情况进行比
较，那么仍有上述规律吗？
　　对数函数比较适合于
描述增长速度平缓的变化
规律．
一般地，虽然对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞１）与一次函数狔＝
犽狓（犽＞０）在区间（０，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速
度不同．随着狓的增大，一次函数狔＝犽狓（犽＞０）保持固定
的增长速度，而对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞１）的增长速度越来
越慢．不论犪的值比犽的值大多少，在一定范围内，ｌｏｇ犪狓
可能会大于犽狓，但由于ｌｏｇ犪狓的增长慢于犽狓的增长，因此总
会存在一个狓０，当狓＞狓０时，恒有ｌｏｇ犪狓＜犽狓．
 ቃ
类比上述过程，
（１）画出一次函数狔＝２狓，对数函数狔＝ｌｏｇ１０狓和指数函数狔＝２狓的图象，并比
较它们的增长差异；
（２）试着概括一次函数狔＝犽狓（犽＞０），对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞１）和指数函数
狔＝犫狓（犫＞１）的增长差异；
（３）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义．
８３１
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第四章　指数函数与对数函数
ጷ˸
１．三个变量狔１，狔２，狔３随变量狓变化的数据如下表：
狓
０
５
１０
１５
２０
２５
３０
狔１
５１３０
５０５
１１３０２００５
３１３０
４５０５
狔２
５
９０１６２０２９１６０５２４８８０９４４７８４０１７００６１１２０
狔３
５
３０
５５
８０
１０５
１３０
１５５
其中关于狓呈指数增长的变量是　　　．
２．（１）（２）（３）分别是函数狔＝３狓和狔＝５狓在不同范围的图象，借助计算工具估算出使３狓＞５狓的狓的取
值范围（精确到０．０１）．
x
y
O
1
2
3
4
5
6
7
0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
y=5x
y=3x
y=3x
x
y
O
1
2
3
5
25
20
15
10
y=5x
x
y
O
1
2
3
4
5
6
100
200
300
400
500
600
700
y=5x
y=3x
（１）　　　　　　　　　　　　（２）　　　　　　　　　　　　　（３）
（第２题）
３．如图，对数函数狔＝ｌｇ狓的图象与一次函数狔＝犳（狓）的图象有犃，犅两个公共点．求一次函数
狔＝犳（狓）的解析式．
y=lg x
x
y
O
A
B
2
y=f(x)
（第３题）
y
x
O
1
-1
1
2
3
4
y=f(x)
（第４题）
４．函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，则狔＝犳（狓）可能是（　　）．
（Ａ）狔＝１－狓－１，狓∈（０，＋∞）　　（Ｂ）狔＝３２－（１２）
狓，狓∈（０，＋∞）
（Ｃ）狔＝ｌｎ狓　　　　　　
（Ｄ）狔＝狓－１，狓∈（０，＋∞）
９３１
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第四章　指数函数与对数函数
ܭ˸ ڍ
习题４．４
１．求下列函数的定义域：
（１）狔＝３ｌｏｇ２
槡狓；　　　　　　　　（２）狔＝ｌｏｇ０．５（４狓－３
槡
）．
２．比较满足下列条件的两个正数犿，狀的大小：
（１）ｌｏｇ３犿＜ｌｏｇ３狀；　　　　　　　　（２）ｌｏｇ０．３犿＜ｌｏｇ０．３狀；　
（３）ｌｏｇ犪犿＜ｌｏｇ犪狀（０＜犪＜１）；　　　（４）ｌｏｇ犪犿＞ｌｏｇ犪狀（犪＞１）．
３．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度狏（单位：ｋｍ／ｓ）和燃料的质量犕（单位：ｋｇ）、火
箭（除燃料外）的质量犿（单位：ｋｇ）的函数关系是狏＝２０００ｌｎ（１＋犕犿）．当燃料质量是火箭质
量的百分之几时，火箭的最大速度可达到１２ｋｍ／ｓ？
y
O
1
x
2
3
1
　　（第４题）
４．函数狔＝ｌｏｇ２狓，狔＝ｌｏｇ５狓，狔＝ｌｇ狓的图象如图所示，
（１）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
（２）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出狔＝ｌｏｇ１２狓，
狔＝ｌｏｇ１５狓，狔＝ｌｏｇ１１０狓的图象；
（３）从（２）的图中你发现了什么？
５．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上２０００ｍ，游回产地产卵．研究鲑
鱼的科学家发现鲑鱼的游速狏（单位：ｍ／ｓ）可以表示为狏＝
１２ｌｏｇ３犗１００，其中犗表示鱼的耗氧量的单位数．
（１）当一条鱼的耗氧量是２７００个单位时，它的游速是多少？
（２）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．
６．在２ｈ内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注
射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量犙随时间狋变化的图象是（　　）．
O
2
1
t
O
2
t
O
2
t
O
2
t
　　　（Ａ）　　　　　　　　（Ｂ）　　　　　　（Ｃ）　　　　　　　（Ｄ）
፬Ռᤂၹ
７．判断下列各对函数是否互为反函数．若是，则求出它们的定义域和值域：
（１）狔＝ｌｎ狓，狔＝ｅ狓；　　　　　　（２）狔＝－ｌｏｇ犪狓，狔＝（１犪）
狓．
８．设狔＝犳（狓）表示某学校男生身高为狓ｃｍ时平均体重为狔ｋｇ，
（１）如果函数狔＝犳（狓）的反函数是狔＝犵（狓），那么狔＝犵（狓）表示什么？
０４１
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第四章　指数函数与对数函数
（２）如果犳（１７０）＝５５，那么求犵（５５），并说明其实际意义．
９．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年１５％的比例降低．要将当前的
患病率降低一半，需要多少年？
１０．声强级犔犐（单位：ｄＢ）由公式
犔犐＝１０ｌｇ（犐
１０－１２）
给出，其中犐为声强（单位：Ｗ／ｍ２）．
（１）一般正常人听觉能忍受的最高声强为１Ｗ／ｍ２，能听到的最低声强为１０－１２Ｗ／ｍ２．求人
听觉的声强级范围．
（２）平时常人交谈时的声强约为１０－６Ｗ／ｍ２，求其声强级．
１１．假设有一套住房的房价从２００２年的２０万元上涨到２０１２年的４０万元．下表给出了两种价格增长
方式，其中犘１是按直线上升的房价，犘２是按指数增长的房价，狋是２００２年以来经过的年数．
狋
０
５
１０
１５
２０
犘１／万元
２０
４０
犘２／万元
２０
４０
（１）求函数犘１＝犳（狋）的解析式；
（２）求函数犘２＝犵（狋）的解析式；
（３）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格
增长方式的差异．
   ጊ
１２．已知ｌｏｇ犪１２＜１，（１２）
犪＜１，犪１２＜１，求实数犪的取值范围．
１３．比较下列各题中三个值的大小：
（１）ｌｏｇ０．２６，ｌｏｇ０．３６，ｌｏｇ０．４６；
（２）ｌｏｇ２３，ｌｏｇ３４，ｌｏｇ４５．
１４１
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第四章　指数函数与对数函数
４５　函数的应用（二）
在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步
了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描
述客观事物变化规律的方法．本节将先学习运用函数性质求
方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地
理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发
现和提出问题、分析和解决问题的方法．
４５１!
"#$Z[-D\$]
 Ꮶ
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数
根就是相应二次函数的零点．像ｌｎ狓＋２狓－６＝０这样不能用公式求解的方程，是否
也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
与二次函数的零点一样，对于一般函数狔＝犳（狓），我们把使犳（狓）＝０的实数狓叫做
函数狔＝犳（狓）的零点（ｚｅｒｏｐｏｉｎｔ）．
这样，函数狔＝犳（狓）的零点就是方程犳（狓）＝０的实数解，也就是函数狔＝犳（狓）的图
象与狓轴的公共点的横坐标．所以
方程犳（狓）＝０有实数解
　"函数狔＝犳（狓）有零点
　"函数狔＝犳（狓）的图象与狓轴有公共点．
由此可知，求方程犳（狓）＝０的实数解，就是确定函数狔＝犳（狓）的零点．一般地，对
于不能用公式求解的方程犳（狓）＝０，我们可以把它与相应的函数狔＝犳（狓）联系起来，利
用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．
下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律
入手．
２４１
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第四章　指数函数与对数函数
 ቃ
y
x
O
1 2
2
1
4
3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
图４．５１
对于二次函数犳（狓）＝狓２－２狓－３，观察它的图象（图４．５１），
发现它在区间［２，４］上有零点．这时，函数图象与狓轴有什么
关系？在区间［－２，０］上是否也有这种关系？你认为应如何利
用函数犳（狓）的取值规律来刻画这种关系？
再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及
这一区间内函数图象与狓轴的关系，并探究用犳（狓）的取值刻
画这种关系的方法．
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”狓轴．函数在端点狓＝２
和狓＝４的取值异号，即犳（２）犳（４）＜０，函数犳（狓）＝狓２－２狓－３在区间（２，４）内有零点
狓＝３，它是方程狓２－２狓－３＝０的一个根．同样地，犳（－２）犳（０）＜０，函数犳（狓）＝狓２－２狓－３
在（－２，０）内有零点狓＝－１，它是方程狓２－２狓－３＝０的另一个根．
一般地，我们有：
函数零点存在定理　如果函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上的图象是一条连续不断的曲
线，且有犳（犪）犳（犫）＜０，那么，函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）内至少有一个零点，即存在
犮∈（犪，犫），使得犳（犮）＝０，这个犮也就是方程犳（狓）＝０的解．
例１　求方程ｌｎ狓＋２狓－６＝０的实数解的个数．
分析：可以先借助计算工具画出函数狔＝ｌｎ狓＋２狓－６的图象或列出狓，狔的对应值
表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．
解：设函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋２狓－６，利用计算工具，列出函数狔＝犳（狓）的对应值表
（表４．５１），并画出图象（图４．５２）．
表４５１
狓
狔
１
－４
２
－１．３０６９
３
１．０９８６
４
３．３８６３
５
５．６０９４
６
７．７９１８
７
９．９４５９
８
１２．０７９４
９
１４．１９７２
y
x
O
5
10
2
6
4
8
10
12
14
-2
-4
-6
图４．５２
３４１
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第四章　指数函数与对数函数
　　为什么由图４．５２和
犳（２）犳（３）＜０还不能说明
函数犳（狓）只有一个零
点？你能证明函数狔＝
犳（狓）是增函数吗？
由表４．５１和图４．５２可知，犳（２）＜０，犳（３）＞０，则
犳（２）犳（３）＜０．由函数零点存在定理可知，函数犳（狓）＝
ｌｎ狓＋２狓－６在区间（２，３）内至少有一个零点．
容易证明，函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋２狓－６，狓∈（０，＋∞）是
增函数，所以它只有一个零点，即相应方程ｌｎ狓＋２狓－６＝０只
有一个实数解．
ጷ˸
１．图（１）（２）（３）分别为函数狔＝犳（狓）在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数
狔＝犳（狓）在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
x
y
O
2
-2
2
-2
x
y
O
20
-20
20
-20
x
y
O
200
-200
200
-200
（１）　　　　　　　　　　　　（２）　　　　　　　　　　　（３）
（第１题）
２．利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：
（１）犳（狓）＝－狓３－３狓＋５；　　　
（２）犳（狓）＝２狓ｌｎ（狓－２）－３；
（３）犳（狓）＝ｅ狓－１＋４狓－４；　　　
（４）犳（狓）＝３（狓＋２）（狓－３）（狓＋４）＋狓．
４５２!
^>F)_D\$`a]
　　大多数方程都不能像
一元二次方程那样用公式
求出精确解．在实际问题
中，往往只需求出满足一
定精确度的近似解．
我们已经知道，函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋２狓－６在区间（２，３）
内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
　　
一般地，称狓＝犪＋犫
２
为区间（犪，犫）的中点．
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩
小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零
点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步
缩小零点所在的范围．
取区间（２，３）的中点２．５，用计算工具算得犳（２．５）≈
－０．０８４．因为犳（２．５）犳（３）＜０，所以零点在区间（２．５，３）
内．　
４４１
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第四章　指数函数与对数函数
再取区间（２．５，３）的中点２．７５，用计算工具算得犳（２．７５）≈０．５１２．因为犳（２．５）犳（２．７５）＜０，
所以零点在区间（２．５，２．７５）内．
由于（２，３）（２．５，３）（２．５，２．７５），所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步
骤，那么零点所在的范围会越来越小（如表４．５２和图４．５３）．这样，我们就可以通过有限
次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都
可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
表４５２
零点所在区间
中点的值中点函数近似值
（２，３）
２．５
－０．０８４
（２．５，３）
２．７５
０．５１２
（２．５，２．７５）
２．６２５
０．２１５
（２．５，２．６２５）
２．５６２５
０．０６６
（２．５，２．５６２５）
２．５３１２５
－０．００９
（２．５３１２５，２．５６２５）２．５４６８７５
０．０２９
（２．５３１２５，２．５４６８７５）２．５３９０６２５
０．０１０
（２．５３１２５，２．５３９０６２５）２．５３５１５６２５
０．００１
y
O
x
2
2.5
2.625 2.75
3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
图４．５３
例如，当精确度为０．０１时，因为｜２．５３９０６２５－２．５３１２５｜＝０．００７８１２５＜０．０１，所
以区间（２．５３１２５，２．５３９０６２５）内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将狓＝
２．５３１２５作为函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋２狓－６零点的近似值，也即方程ｌｎ狓＋２狓－６＝０的近
似解．对于在区间［犪，犫］上图象连续不断且犳（犪）犳（犫）＜０的函数狔＝犳（狓），通过不断地
把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似
值的方法叫做二分法（ｂｉｓｅｃｔｉｏｎ）．
　　为了刻画与准确值的
接近程度，这里给出了精
确度ε，由｜犪－犫｜＜ε可
知，区间［犪，犫］中任意一
个值都是零点狓０满足精
确度ε的近似值（想一想，
为什么）．
给定精确度ε，用二分法求函数狔＝犳（狓）零点狓０的近
似值的一般步骤如下：
１．确定零点狓０的初始区间［犪，犫］，验证犳（犪）犳（犫）＜０．
２．求区间（犪，犫）的中点犮．
３．计算犳（犮），并进一步确定零点所在的区间：
（１）若犳（犮）＝０（此时狓０＝犮），则犮就是函数的零点；
（２）若犳（犪）犳（犮）＜０（此时狓０∈（犪，犮）），则令犫＝犮；
（３）若犳（犮）犳（犫）＜０（此时狓０∈（犮，犫）），则令犪＝犮．
４．判断是否达到精确度ε：若｜犪－犫｜＜ε，则得到零点
近似值犪（或犫）；否则重复步骤２～４．
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
５４１
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第四章　指数函数与对数函数
y
x
O
2
4
6
8
10
5
10
12
14
16
-5
-2
-4
-6
-8
图４．５４
例２　借助信息技术，用二分法求方程２狓＋３狓＝７的近似解
（精确度为０．１）．
解：原方程即２狓＋３狓－７＝０，令犳（狓）＝２狓＋３狓－７，用信
息技术画出函数狔＝犳（狓）的图象（图４．５４），并列出它的对应
值表（表４．５３）．
表４５３
狓
０
１
２
３
４
５
６
７
８
狔－６－２３１０２１４０７５１４２２７３
观察图４．５４或表４．５３，可知犳（１）犳（２）＜０，
说明该函数在区间（１，２）内存在零点狓０．
 ݽ
 ˧
f x 

ᣥК? 
a, b

ᣥѣᝍx=a

b = c
a = c
a = c
 
ա
 
 
ա
ա
ፇ 
c
2
= a + b

f a 
f c 
|a-b|?


f c 
图４．５５
取区间（１，２）的中点狓１＝１．５，用信息技术算得
犳（１．５）≈０．３３．因为犳（１）犳（１．５）＜０，所以狓０∈
（１，１．５）．　
再取区间（１，１．５）的中点狓２＝１．２５，用信息技
术算得犳（１．２５）≈－０．８７．因为犳（１．２５）犳（１．５）＜０，
所以狓０∈（１．２５，１．５）．
同理可得，狓０∈（１．３７５，１．５），狓０∈（１．３７５，１．４３７５）．
由于
｜１．３７５－１．４３７５｜＝０．０６２５＜０．１，
所以，原方程的近似解可取为１．３７５．
由例２可见，用二分法求方程的近似解，计算量较
大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定
的计算程序，借助信息技术完成计算．图４．５５就是表
示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同
学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用
信息技术求方程的近似解．
ጷ˸
１．借助信息技术，用二分法求函数犳（狓）＝狓３＋１．１狓２＋０．９狓－１．４在区间（０，１）内零点的近似值
（精确度为０．１）．
２．借助信息技术，用二分法求方程狓＝３－ｌｇ狓在区间（２，３）内的近似解（精确度为０．１）．
６４１
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第四章　指数函数与对数函数
᫞឴
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中外历史上的方程求解
在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀
璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却
经历了相当漫长的岁月．
我国古代数学家已比较系统地解决了某些类型方程求解的问题．约公元５０～
１００年编成的《九章算术》，已经记载有开平方、开立方的开方方法，这些开方问
题与求解两项方程，如求解狓２＝犪，狓３＝犫正根的方法是一致的；７世纪，隋唐
数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；１１世纪，北宋数学家贾宪在
《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次
或三次以上的高次方程．同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；１３世
纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用
算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根．
国外数学家对方程求解也有很多研究．９世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Ａｌ
Ｋｈｏｗａｒｉｚｍｉ，约７８０—８５０）给出了一次方程和二次方程的一般解法；１５４１年，
意大利数学家塔尔塔利亚（Ｎ．Ｔａｒｔａｇｌｉａ，约１４９９—１５５７）给出了三次方程的一
般解法；１５４５年，意大利数学家卡尔达诺（Ｇ．Ｃａｒｄａｎｏ，１５０１—１５７６）的名著
《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里（Ｌ．Ｆｅｒｒａｒｉ，
１５２２—１５６５）的四次方程的一般解法．
数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的
努力仍无结果．１７７８年，法国数学大师拉格朗日（Ｊ．Ｌ．Ｌａｇｒａｎｇｅ，１７３６—１８１３）提
出了五次方程不存在根式解的猜想．１８２４年，挪威年轻数学家阿贝尔（Ｎ．Ｈ．
Ａｂｅｌ，１８０２—１８２９）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．１８２８年，法国天
才数学家伽罗瓦（Ｅ．Ｇａｌｏｉｓ，１８１１—１８３２）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运
算求解的具体方程，同时还给出了一个代数方程能用根式求解的充要条件，他完全
解决了高次方程的求解问题，并创立了对代数学发展影响深远的“伽罗瓦理论”．
虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数
运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如本章
介绍的二分法，就是一种常见的利用计算技术的数值解法．除了二分法，牛顿法、
拟牛顿法、弦截法等也都是典型的数值解法．关于这些方法，感兴趣的同学还可
以查阅相关资料作进一步的了解．
７４１
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第四章　指数函数与对数函数
４５３!
"#bc$d^
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的
函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
　　尽管对马尔萨斯人口
理论存在一些争议，但它
对人口学和经济学的发展
都产生了一定的影响．上
网了解，还有哪些人口模
型，它们与我们所学的函
数有怎样的关系？
例３　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识
人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依
据．早在１７９８年，英国经济学家马尔萨斯（Ｔ．Ｒ．Ｍａｌｔｈｕｓ，
１７６６—１８３４）就提出了自然状态下的人口增长模型
狔＝狔０ｅ狉狋，
其中狋表示经过的时间，狔０表示狋＝０时的人口数，狉表示
人口的年平均增长率．
表４．５４是１９５０～１９５９年我国的人口数据资料：
表４５４
年份
１９５０１９５１１９５２１９５３１９５４１９５５１９５６１９５７１９５８１９５９
人口数／万５５１９６５６３００５７４８２５８７９６６０２６６６１４５６６２８２８６４５６３６５９９４６７２０７
（１）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到０．０００１），
用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实
际人口数据是否相符；
（２）如果按表４．５４的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到１３亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量
狔０和年平均增长率狉．
解：（１）设１９５１～１９５９年我国各年的人口增长率分别为狉１，狉２，…，狉９．由
５５１９６（１＋狉１）＝５６３００，
可得１９５１年的人口增长率狉１≈０．０２００．
同理可得，狉２≈０．０２１０，狉３≈０．０２２９，狉４≈０．０２５０，狉５≈０．０１９７，狉６≈０．０２２３，
狉７≈０．０２７６，狉８≈０．０２２２，狉９≈０．０１８４．
于是，１９５１～１９５９年期间，我国人口的年平均增长率为
狉＝（狉１＋狉２＋…＋狉９）÷９≈０．０２２１．
令狔０＝５５１９６，则我国在１９５０～１９５９年期间的人口增长模型为
狔＝５５１９６ｅ０．０２２１狋，狋∈犖．
根据表４．５４中的数据画出散点图，并画出函数狔＝５５１９６ｅ０．０２２１狋（狋∈犖）的图象（图
４．５６）．
由图４．５６可以看出，所得模型与１９５０～１９５９年的实际人口数据基本吻合．
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第四章　指数函数与对数函数
y
x
O
50 000
55 000
60 000
65 000
70 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
图４．５６
（２）将狔＝１３００００代入
狔＝５５１９６ｅ０．０２２１狋，
由计算工具得
狋≈３８．７６．
所以，如果按表４．５４的增长趋势，那么大约在１９５０年后的第３９年（即１９８９年）
我国的人口就已达到１３亿．
 Ꮶ
事实上，我国１９８９年的人口数为１１．２７亿，直到２００５年才突破１３亿．对由函
数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
　　在用已知的函数模型
刻画实际问题时，应注意
模型的适用条件．
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水
平产生了较大矛盾，所以我国从２０世纪７０年代逐步实施了
计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔
萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果
与实际不符的情况．
下面来解决章引言中的问题．
例４　２０１０年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗
存进行碳１４年代学检测，检测出碳１４的残留量约为初始量的５５．２％，能否以此推断此
水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳１４的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所
以应选择函数狔＝犽犪狓（犽∈犚，且犽≠０；犪＞０，且犪≠１）建立数学模型．
解：设样本中碳１４的初始量为犽，衰减率为狆（０＜狆＜１），经过狓年后，残余量为
狔．根据问题的实际意义，可选择如下模型：
狔＝犽（１－狆）狓（犽∈犚，且犽≠０；０＜狆＜１；狓≥０）．
由碳１４的半衰期为５７３０年，得
犽（１－狆）５７３０＝１２犽．
９４１
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第四章　指数函数与对数函数
于是　　　　　　　　
１－狆＝
５７３０１２槡，
所以　　　　　　　
狔＝犽（
５７３０１２槡）
狓．
由样本中碳１４的残余量约为初始量的５５．２％可知，
犽（
５７３０１２槡）
狓＝５５．２％犽，
即　　　　　　　
（
５７３０１２槡）
狓＝０．５５２．
解得　　　　　　
狓＝ｌｏｇ５７３０１２槡０．５５２．
由计算工具得　　　
狓≈４９１２．
因为２０１０年之前的４９１２年是公元前２９０２年，所以推断此水坝大概是公元前２９０２
年建成的．
ጷ˸
１．已知１６５０年世界人口为５亿，当时人口的年增长率为０．３％；１９７０年世界人口为３６亿，当时人口
的年增长率为２．１％．
（１）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是１６５０年的２倍？什么时候世界人口是１９７０年
的２倍？
（２）实际上，１８５０年以前世界人口就超过了１０亿；而２００４年世界人口还没有达到７２亿．你对同样
的模型得出的两个结果有何看法？
２．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为２１个月，那么１万只野兔增长到１亿
只野兔大约需要多少年？
３．１９５９年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出
碳１４的残余量约为初始量的６２．７６％，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？
在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数
模型加以解决．
例５　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报
如下：方案一：每天回报４０元；
方案二：第一天回报１０元，以后每天比前一天多回报１０元；
方案三：第一天回报０．４元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情
０５１
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第四章　指数函数与对数函数
况，为选择投资方案提供依据．
解：设第狓天所得回报是狔元，则方案一可以用函数狔＝４０（狓∈犖）进行描述；方
案二可以用函数狔＝１０狓（狓∈犖）进行描述；方案三可以用函数狔＝０．４×２狓－１（狓∈犖）
进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选
择，就要对它们的增长情况进行分析．
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（表４．５５）．
表４５５
狓
方案一
方案二
方案三
狔
增加量／元
狔
增加量／元
狔
增加量／元
１
４０
１０
０．４
２
４０
０
２０
１０
０．８
０．４
３
４０
０
３０
１０
１．６
０．８
４
４０
０
４０
１０
３．２
１．６
５
４０
０
５０
１０
６．４
３．２
６
４０
０
６０
１０
１２．８
６．４
７
４０
０
７０
１０
２５．６
１２．８
８
４０
０
８０
１０
５１．２
２５．６
９
４０
０
９０
１０
１０２．４
５１．２
１０
４０
０
１００
１０
２０４．８
１０２．４
…
…
…
…
…
…
…
３０
４０
０
３００
１０
２１４７４８３６４．８１０７３７４１８２．４
再画出三个函数的图象（图４．５７）．
　　函数图象是分析问题
的好帮手．为了便于观察，
用虚线连接离散的点．
y
O
x
20
100
40
60
80
120
140
2
4
6
8
10
12
y=40
y=10x
y=0.4f2x-1
　　　图４．５７
由表４．５５和图４．５７可知，方案一的函数是常数函
数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与
方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案
一、方案二在第１天所得回报分别是方案三的１００倍和２５
倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，
其“增长量”是成倍增加的，从第７天开始，方案三比其他
１５１
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第四章　指数函数与对数函数
　　根据这里的分析，是
否应作这样的选择：投资
５天以下选方案一，投资
５～８天选方案二，投资８
天以上选方案三？
两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所
无法企及的．从每天所得回报看，在第１～３天，方案一最
多；在第４天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第
５～８天，方案二最多；第９天开始，方案三比其他两个方
案所得回报多得多，到第３０天，所得回报已超过２亿元．
下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下（表
４．５６）．
表４５６
方案
天数
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
一
４０８０１２０１６０２００２４０２８０３２０３６０４００４４０
二
１０３０６０１００１５０２１０２８０３６０４５０５５０６６０
三
０．４１．２２．８６１２．４２５．２５０．８１０２２０４．４４０９．２８１８．８
因此，投资１～６天，应选择方案一；投资７天，应选择方案一或方案二；投资８～
１０天，应选择方案二；投资１１天（含１１天）以上，则应选择方案三．
上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在
很大差异．
例６　某公司为了实现１０００万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方
案：在销售利润达到１０万元时，按销售利润进行奖励，且奖金狔（单位：万元）随销售利
润狓（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过５万元，同时奖金不超过利润的
２５％．现有三个奖励模型：狔＝０．２５狓，狔＝ｌｏｇ７狓＋１，狔＝１．００２狓，其中哪个模型能符合
公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画
奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为１０００万元，所以销售人员的销售
利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间［１０，１０００］上，寻找并验证所选函
数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过５万元，即最大值不大于５；第二，奖金不
超过利润的２５％，即狔≤０．２５狓．
不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认
结果．解：借助信息技术画出函数狔＝５，狔＝０．２５狓，狔＝ｌｏｇ７狓＋１，狔＝１．００２狓的图象（图
４．５８）．观察图象发现，在区间［１０，１０００］上，模型狔＝０．２５狓，狔＝１．００２狓的图象都
有一部分在直线狔＝５的上方，只有模型狔＝ｌｏｇ７狓＋１的图象始终在狔＝５的下方，这说
明只有按模型狔＝ｌｏｇ７狓＋１进行奖励时才符合公司的要求．
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第四章　指数函数与对数函数
y
x
O
200
400
600
800 1 000
1
2
3
4
5
6
7
8
y=1.002x
y=0.25x
y=5
y=log  x
7 +1
图４．５８
下面通过计算确认上述判断．
先计算哪个模型的奖金总数不超过５万元．
对于模型狔＝０．２５狓，它在区间［１０，１０００］上单调递增，而且当狓＝２０时，狔＝５，
因此，当狓＞２０时，狔＞５，所以该模型不符合要求；
对于模型狔＝１．００２狓，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间（８０５，８０６）内有一
个点狓０满足１．００２狓０＝５，由于它在区间［１０，１０００］上单调递增，因此当狓＞狓０时，狔＞５，
所以该模型也不符合要求；
对于模型狔＝ｌｏｇ７狓＋１，它在区间［１０，１０００］上单调递增，而且当狓＝１０００时，
狔＝ｌｏｇ７１０００＋１≈４．５５＜５，所以它符合奖金总数不超过５万元的要求．
再计算按模型狔＝ｌｏｇ７狓＋１奖励时，奖金是否不超过利润的２５％，即当狓∈
［１０，１０００］时，是否有狔≤０．２５狓，即ｌｏｇ７狓＋１≤０．２５狓成立．
令犳（狓）＝ｌｏｇ７狓＋１－０．２５狓，狓∈［１０，１０００］，利用信息技术画出它的图象（图４．５９）．
O
200
400
600
800
1 000 1 200
y
x
-50
-300
-250
-200
-150
-100
图４．５９
由图象可知函数犳（狓）在区间［１０，１０００］上单调递减，因此
犳（狓）≤犳（１０）≈－０．３１６７＜０，
即
ｌｏｇ７狓＋１＜０．２５狓．
所以，当狓∈［１０，１０００］时，狔≤０．２５狓，说明按模型狔＝ｌｏｇ７狓＋１奖励，奖金不会
超过利润的２５％．
综上所述，模型狔＝ｌｏｇ７狓＋１确实能符合公司要求．
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第四章　指数函数与对数函数
 ጪ
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
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 ᬅ᫈ᮥ
ᄊᝍ
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这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还
是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数
学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规
律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．
ጷ˸
１．某地今年１月，２月，３月患某种传染病的人数分别为５２，６１，６８．为了预测以后各月的患病人数，
甲选择了模型狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，乙选择了模型狔＝狆狇狓＋狉，其中狔为患病人数，狓为月份数，犪，
犫，犮，狆，狇，狉都是常数．结果４月，５月，６月份的患病人数分别为７４，７８，８３，你认为谁选择的
模型更符合实际？
２．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加．２００８～２０１８年的１１年，上市
的肉鸡数量如下：
时间／年
２００８２００９２０１０２０１１２０１２２０１３２０１４２０１５２０１６２０１７２０１８
肉鸡数量／吨７６９０７８５０８０００８１５０８３１０８４６０８６２０８７７０８９２０９０８０９２３０
同期该地的人口数如下：
时间／年
２００８２００９２０１０２０１１２０１２２０１３２０１４２０１５２０１６２０１７２０１８
人口数／万１００．０１０１．２１０２．４１０３．６１０４．９１０６．１１０７．４１０８．７１１０．０１１１．３１１２．７
（１）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；
（２）如果２０１７年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么２０１８年是否能满足市场的需求？
（３）按上述两表的变化趋势，你对该地２０１８年后肉鸡市场的发展有何建议？
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第四章　指数函数与对数函数
ܭ˸ ڍ
习题４．５
１．下列函数图象与狓轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是
．（填写上所有符合
条件的图号）
　　
y
O
x
x
y
O
x
y
O
y
O
x
　　　　①　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　③　　　　　　　④
２．已知函数狔＝犳（狓）的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
狓
１
２
３
４
５
６
狔
１３６．１３６１５．５５２－３．９２１０．８８－５２．４８８－２３２．０６４
函数狔＝犳（狓）在哪几个区间内一定有零点？为什么？
３．已知函数犳（狓）＝狓３－２狓＋１，求证：方程犳（狓）＝狓在（－１，２）内至少有两个实数解．
４．利用信息技术，用二分法求函数犳（狓）＝ｌｎ狓－２狓的零点（精确度为０．１）．
５．利用信息技术，用二分法求方程０．８狓－１＝ｌｎ狓的近似解（精确度为０．１）．
６．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存２ＫＢ，然后每３分自身复制一次，复制后所
占内存是原来的２倍．那么开机后多少分，该病毒会占据６４ＭＢ内存（１ＭＢ＝１０２４ＫＢ）？
፬Ռᤂၹ
７．设函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪＞０，犫，犮∈犚），且犳（１）＝－犪２，求证：函数犳（狓）在（０，２）
内至少有一个零点．
８．已知函数犳（狓）＝－狓２－３狓－２，犵（狓）＝２－［犳（狓）］２，
y
t
O
1
2
6
4
8
10
12
2 3 4
　（第９题）
（１）求函数狔＝犵（狓）的解析式；
（２）利用信息技术，画出函数狔＝犵（狓）的图象；
（３）求函数狔＝犵（狓）的零点（精确度为０．１）．
９．如图，某池塘里浮萍的面积狔（单位：ｍ２）与时间狋（单位：月）的关系为
狔＝犪狋．关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为１；
②第５个月时，浮萍面积就会超过３０ｍ２；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到２ｍ２，３ｍ２，６ｍ２所经过的时间分别是狋１，狋２，狋３，则
狋１＋狋２＝狋３．　
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第四章　指数函数与对数函数
其中正确的说法是（　　）．
（Ａ）①②　　（Ｂ）①②③　　（Ｃ）①②④　　（Ｄ）①②③④
１０．一种药在病人血液中的量保持在１５００ｍｇ以上时才有疗效，而低于５００ｍｇ时病人就有危险．
现给某病人的静脉注射了这种药２５００ｍｇ，如果药在血液中以每小时２０％的比例衰减，那么
应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到０．１ｈ）？
１１．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从ＴＢ（１ＴＢ＝１０２４ＧＢ）级别跃升到ＰＢ
（１ＰＢ＝１０２４ＴＢ），ＥＢ（１ＥＢ＝１０２４ＰＢ）乃至ＺＢ（１ＺＢ＝１０２４ＥＢ）级别．国际数据公司
（ＩＤＣ）的研究结果表明，２００８年全球产生的数据量为０．４９ＺＢ，２００９年的数据量为０．８ＺＢ，
２０１０年增长到１．２ＺＢ，２０１１年的数量更是高达１．８２ＺＢ，而到了２０２０年，预计全世界所产
生的数据规模将达到２０１１年的４４倍．
为了较好地描述２００８年起全球产生的数据量与时间狓（单位：年）的关系，根据上述数据信
息，从函数犳（狓）＝犽狓＋犫和犵（狓）＝犪犫狓中选择一个，并求出解析式．
１２．某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高／ｃｍ６０７０８０９０１００１１０１２０１３０１４０１５０１６０１７０
平均
体重／ｋｇ６．１３７．９０９．９９１２．１５１５．０２１７．５０２０．９２２６．８６３１．１１３８．８５４７．２５５５．０５
（１）根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均
体重狔（单位：ｋｇ）与身高狓（单位：ｃｍ）的函数关系，并写出这个函数的解析式．
（２）若体重超过相同身高男性体重平均值的１．２倍为偏胖，低于０．８倍为偏瘦，那么该地一
名身高为１７５ｃｍ，体重为７８ｋｇ的在校男生的体重是否正常？
   ጊ
１３．有一道题“若函数犳（狓）＝２４犪狓２＋４狓－１在区间（－１，１）内恰有一个零点，求实数犪的取
值范围”，某同学给出了如下解答：
由犳（－１）犳（１）＝（２４犪－５）（２４犪＋３）＜０，解得－１８＜犪＜５２４．
所以，实数犪的取值范围是（－１８，５２４）．
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
１４．从甲地到乙地的距离约为２４０ｋｍ，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量犙（单位：Ｌ）与速
度狏（单位：ｋｍ／ｈ）（０≤狏≤１２０）的下列数据：
狏
０
４０
６０
８０
１２０
Ｑ
０．０００
６．６６７
８．１２５
１０．０００
２０．０００
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：
犙＝犪狏３＋犫狏２＋犮狏，犙＝０．５狏＋犪，犙＝犽ｌｏｇ犪狏＋犫．
（１）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
（２）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
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第四章　指数函数与对数函数
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对数概念的形成与发展
对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立被恩格斯并称为１７世纪
数学的三大成就．对数的发明及其计算是数学史上的重大事件，天文学界更
是以近乎狂喜的心情来迎接这一发明．意大利科学家伽利略（Ｇａｌｉｌｅｏ
Ｇａｌｉｌｅｉ，１５６４—１６４２）说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇
宙．”法国数学家拉普拉斯（Ｐ．＿Ｓ．Ｌａｐｌａｃｅ，１７４９—１８２７）也曾评价道：“因
为省时省力，对数倍增了天文学家的寿命．”
作为重要而简便的计算工具，对数是如何产生和发展的？在数学的发
展、人类社会的发展历史中起了什么作用？请你按以下要求，查阅与对数有
关的文献，自己选题，写一篇数学小论文．
一、主题
１．对数概念形成和发展的过程．
２．对数对简化运算的作用．
二、实施建议
１．选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围．
２．分组：将相近选题的５～６人分为一个小组，确定一名组长．
３．分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每
人的具体任务．
４．搜集资料：针对具体的论文题目，通过互联网、书店、图书馆等多
种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料．
５．素材整理：用论文的形式展现小组的实践成果．
６．交流讨论：开展组内或全班的交流、讨论和总结．
三、参考选题
１．对数产生的背景．
２．对数发明的过程．
３．对数的具体应用．
４．对数对简化运算的作用．
５．对数对人类文明进步的贡献．
７５１
标有的内容为选学内容，不作为考试要求．
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第四章　指数函数与对数函数
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本章我们先将指数概念由整数指数逐步拓展到了实数指数，并给出了实数
指数幂的运算法则；通过对指数增长方式的实例分析，引入指数函数的概念，
并研究了它的图象和性质．从对数与指数的相互联系出发，引入对数的概念，
研究了对数的运算法则；在此基础上研究了对数函数的概念、图象和性质．指
数函数和对数函数是两种不同类型但联系紧密的函数模型，是刻画客观世界中
“指数爆炸”“对数增长”现象的重要数学模型．利用函数零点与方程解之间的
关系，我们引入了函数零点存在定理，探索了用二分法求方程近似解的思路．
二分法是求方程近似解的一般性方法．不同类型的函数具有不同的增长方式，
通过比较，我们认识了对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，并通
过具体实例，学习了如何根据增长速度的差异，选择合适的函数类型构建数学
模型、刻画现实问题变化规律的方法．
本章中，先从整数指数拓展到有理数指数，再利用有理数指数幂逼近无理
数指数幂的思想认识无理数指数幂，从而将指数的概念拓展到实数指数；通过
问题“在犪狓＝犖（犪＞０，且犪≠１）中，已知犪，犖求狓”引入，按照“定义—
表示—性质—运算（法则）—应用”的路径研究对数．这里要注意体会数学概
念推广的基本思想．整体而言，对指数函数、对数函数的研究，都是按照“实
际问题—函数概念—图象与性质—应用”的路径展开．这里要特别注意在对现
实问题增长方式分析的基础上引入相应的函数概念，再通过对函数图象、性质的
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第四章　指数函数与对数函数
研究，把握相应函数的本质．这是建立函数模型解决实际问题的基础．
在应用函数解决实际问题时，首先应注意分析实际问题属于哪种类型的增长
方式，这是选择和建立函数模型的基础；其次，要注意理解用函数构建数学模型
的基本过程，体会运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的数学方法．
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
１．指数和对数的概念都有现实背景，你能举出一些实际例子吗？
２．概述指数概念的拓展过程，你能由此说说数学概念拓展的过程与方法吗？
３．对数概念是如何提出来的？它对发现和提出问题有什么启示？
４．回忆指数函数、对数函数的研究过程，你能由此说说如何研究一类函数
吗？例如研究的内容、过程和方法．
５．不同函数模型刻画了现实世界不同类型问题的变化规律，你能说说指数
函数和对数函数分别刻画了怎样的变化规律吗？你能举出“直线上升”“对数增
长”“指数爆炸”的实际例子吗？
６．你能举例说明函数的零点与方程解的关系吗？在什么条件下，函数在
（犪，犫）内一定有零点？
７．你能说说用二分法求方程近似解的一般步骤吗？
８．你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？
９．函数图象是研究函数性质的重要载体，信息技术是研究函数图象与性质
的有力工具，你能结合实例谈谈这方面的体会吗？
ܭ˸ ڍ
复习参考题４
１．选择题
（１）函数狔＝－２－狓与狔＝２狓的图象（　　）．
（Ａ）关于狓轴对称　　　　　　　（Ｂ）关于狔轴对称
（Ｃ）关于原点对称　　　　　　　（Ｄ）关于直线狔＝狓对称
（２）如图（１），①②③④中不属于函数狔＝２狓，狔＝６狓，狔＝（１２）
狓的一个是（　　）．　
（Ａ）①　　　　　（Ｂ）②　　　　　（Ｃ）③　　　　　（Ｄ）④
（３）如图（２），①②③④中不属于函数狔＝ｌｏｇ１２狓，狔＝ｌｏｇ１３狓，狔＝ｌｏｇ２狓的一个是（　　）．　
（Ａ）①　　　　（Ｂ）②　　　　（Ｃ）③　　　　（Ｄ）④
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第四章　指数函数与对数函数
y
x
O
1
2
1
2
-1 3
4
-2
-3
3
1
y
x
O
1
2
1
2
-1
3
4
（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
（第１题）
２．用“＜”“＞”“＝”填空：
（１）ｅ０．８　　０．８ｅ；　　　　　　　　　　（２）２犪＋１　　３犪（犪＞２）；
（３）犪０．２　　犪０．３（０＜犪＜１）；　　　　（４）ｌｇｅ　　ｌｎ０．８；
（５）ｌｏｇ２３　　ｌｏｇ３２；　　　　
（６）ｌｏｇ犪０．２　　ｌｏｇ犪０．３（犪＞１）．
３．借助信息技术，用二分法求：
（１）方程２狓３－４狓２－３狓＋１＝０的最大的根（精确度为０．０１）；
（２）函数犳（狓）＝ｌｇ狓和犵（狓）＝１狓交点的横坐标（精确度为０．１）．
４．已知函数犳（狓）＝狓２＋２狓－３，狓≤０，
－２＋ｌｎ狓，狓＞０，
烅烄烆
求使方程犳（狓）＝犽（犽＜０）的实数解个数分别为１，２，３
时犽的相应取值范围．
፬Ռᤂၹ
５．选择题
（１）已知集合犃＝｛狔｜狔＝ｌｏｇ２狓，狓＞１｝，犅＝｛狔｜狔＝１２狓，狓＞１｝，则犃∩犅＝（　　）．
（Ａ）｛狔｜０＜狔＜１２｝　　（Ｂ）｛狔｜０＜狔＜１｝　　（Ｃ）｛狔｜１２＜狔＜１｝　　（Ｄ）
（２）已知犳（狓）＝｜ｌｇ狓｜，若犪＝犳（１４），犫＝犳（１３），犮＝犳（２），则（　　）．
（Ａ）犪＜犫＜犮　　　　（Ｂ）犫＜犮＜犪　　　　（Ｃ）犮＜犪＜犫　　　　（Ｄ）犮＜犫＜犪
（３）已知函数犳（狓）＝２狓＋狓，犵（狓）＝ｌｏｇ２狓＋狓，犺（狓）＝狓３＋狓的零点分别为犪，犫，犮，则犪，
犫，犮的大小顺序为（　　）．
（Ａ）犪＞犫＞犮　　　
（Ｂ）犫＞犮＞犪　　　（Ｃ）犮＞犪＞犫　　　（Ｄ）犫＞犪＞犮
６．设犳（狓）＝ｅ狓－ｅ－狓
２，犵（狓）＝ｅ狓＋ｅ－狓
２，求证：
（１）［犵（狓）］２－［犳（狓）］２＝１；
（２）犳（２狓）＝２犳（狓）犵（狓）；
（３）犵（２狓）＝［犵（狓）］２＋［犳（狓）］２．
y
x
O
（第７题）
７．指数函数狔＝（犫犪）
狓的图象如图所示，求二次函数狔＝犪狓２＋犫狓图象
顶点的横坐标的取值范围．
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第四章　指数函数与对数函数
８．１９８６年４月２６日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染．
主要的核污染物是锶９０，它每年的衰减率为２．４７％．专家估计，要完全消除这次核事故对自
然环境的影响至少需要８００年，到那时原有的锶９０还剩百分之几？
９．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量犘（单位：ｍｇ／Ｌ）与时间狋（单
位：ｈ）间的关系为
犘＝犘０ｅ－犽狋，
其中犘０，犽是正的常数．如果在前５ｈ消除了１０％的污染物，那么
（１）１０ｈ后还剩百分之几的污染物？
（２）污染物减少５０％需要花多少时间（精确到１ｈ）？
（３）画出犘关于狋变化的函数图象．
１０．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ１℃，空气的温度是θ０℃，那么狋ｍｉｎ后
物体的温度θ（单位：℃）可由公式
θ＝θ０＋（θ１－θ０）ｅ－犽狋
求得，其中犽是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有６２℃的物体，放在
１５℃的空气中冷却，１ｍｉｎ以后物体的温度是５２℃．
（１）求犽的值（精确到０．０１）；
（２）若要将物体的温度降为４２℃，３２℃，则求分别需要冷却的时间．
   ጊ
１１．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ犪（狓＋１），犵（狓）＝ｌｏｇ犪（１－狓）（犪＞０，且犪≠１），
（１）求函数犳（狓）＋犵（狓）的定义域；
（２）判断函数犳（狓）＋犵（狓）的奇偶性，并说明理由．
y
x
O
1
2
3
4
5
1
2
3
A
B
（第１３题）
１２．对于函数犳（狓）＝犪－２
２狓＋１（犪∈犚），
（１）探索函数犳（狓）的单调性；
（２）是否存在实数犪使函数犳（狓）为奇函数？
１３．如图，函数狔＝犳（狓）的图象由曲线段犗犃和直线段犃犅构成．
（１）写出函数狔＝犳（狓）的一个解析式；
（２）提出一个能满足函数狔＝犳（狓）图象变化规律的实际问题．
１６１
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数学建模　建立函数模型解决实际问题
 ߦ  
建立函数模型解决实际问题
我们知道，用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进
行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它
的运动变化类型．然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化
归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型．最后利用函数模型的解说明实际问题
的变化规律，达到解决问题的目的．在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的
情况，这时就需要先收集数据．
67#efbgh$6ijk
１．观察实际情景，发现和提出问题
中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶
用８５℃的水泡制，再等到茶水温度降至６０℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在２５℃
室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题．
为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型．
２．收集数据
我们可以利用秒表、温度计等工具（若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技
术更好），收集茶水温度随时间变化的数据．
例如，某研究人员每隔１ｍｉｎ测量一次茶水温度，得到表１的一组数据．
表１
时间／ｍｉｎ
０
１
２
３
４
５
水温／℃
８５．００７９．１９７４．７５７１．１９６８．１９６５．１０
３．分析数据
茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图
象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型．
设茶水温度从８５℃开始，经过狓ｍｉｎ后的温度为狔℃．根据表１，画散点图（图１）．
２６１
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数学建模　建立函数模型解决实际问题
　　实际上，你可以利用
信息技术，通过函数拟合
的方法来帮助选择适当的
函数模型．
x
y
O
1
2
3
4
5
90
80
70
　　　　　　　　　图１
观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数
狔＝犽犪狓＋２５（犽∈犚，０＜犪＜１，狓≥０）来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律．
４．建立模型
根据实际情况可知，当狓＝０时，狔＝８５，可得犽＝６０．
为了求出温度的衰减比例犪，可从第２ｍｉｎ的温度数据开始，计算每分（狔－２５）的
值与上一分（狔－２５）值的比值，列出表２．
　　
能否直接将表１中的
一组数据代入狔＝６０犪狓＋
２５求犪？这与用比值的平
均值作为犪建立函数模型
有什么差异？
表２
狓
０
１
２
３
４
５
狔－２５６０．００５４．１９４９．７５４６．１９４３．１９４０．１０
比值
０．９０３２０．９１８１０．９２８４０．９３５１０．９２８５
计算各比值的平均值，得
犪＝１５（０．９０３２＋０．９１８１＋０．９２８４＋０．９３５１＋０．９２８５）
＝０．９２２７．
我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型
狔＝６０×０．９２２７狓＋２５（狓≥０）．
　　①
５．检验模型
将已知数据代入①式，或画出函数①的图象（图２），可以发现，这个函数模型与实
际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律．
x
y
O
1
2
3
4
5
90
80
70
图２
６．求解问题
将狔＝６０代入狔＝６０×０．９２２７狓＋２５，得
３６１
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数学建模　建立函数模型解决实际问题
６０×０．９２２７狓＋２５＝６０．
解得
狓＝ｌｏｇ０．９２２７７１２．
由信息技术得
狓≈６．６９９７．
所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是７ｍｉｎ．
上述过程可以概括为：
ኀՌ ᬅ
᜺  ᬅ  
ᤥ Ѧ  ی
 ᝍѦ  ی
 ᬅ᫈ᮥ
ᄊᝍ
ԧဘ֗
 ѣ᫈ᮥ
 ᬷ
  
ˀ
ኀ
Ռ
 
ᬅ
 ᰎ
>7#efbgh$lm
请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动．可以继续研究不
同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：
１．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
２．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重．
３．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法．
４．估计阅读一本书所需要的时间．
也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究．
n7#efbgh$o_
１．组建合作团队
数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成３～５人的研究小组，每位同学参加
其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究
课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告．
２．开展研究活动
根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得
４６１
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数学建模　建立函数模型解决实际问题
结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．
３．撰写研究报告
以小组为单位，撰写一份研究报告．
４．交流展示
（１）对同一个课题，先由３～４个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成
果，相互借鉴、取长补短．在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制
作向全班汇报的演示文稿．
（２）与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通
过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师
评价，完成本次数学建模活动．
p7 #efbghqrst$uBvw
建立函数模型解决实际问题
　　　年　　　班
完成时间：
１．课题名称
２．课题组成员及分工
３．选题的意义
４．研究计划（包括对选题的分析，解决问题的思路等）
５．研究过程（收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方
案等）
６．研究结果
５６１
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数学建模　建立函数模型解决实际问题
续表
７．收获与体会
８．对此研究的评价（由评价小组或老师填写）
６６１
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第五章
三角函数
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的
规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交
替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体
做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，
交变电流变化等．这些现象都可以用三角函数刻画．
前面我们学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数
函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何用某类
函数刻画相应现实问题的变化规律．本章我们将利用这些经验，
学习刻画周期性变化规律的三角函数．
三角函数是怎样的函数？它具有哪些特性？如何利用三角函
数模型刻画各种周期性变化现象？本章我们就来研究这些问题．
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第五章　三角函数
５１　任意角和弧度制
A
P
O
α
　　图５．１１
圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图５．１１，
⊙犗上的点犘以犃为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画
点犘的位置变化呢？
我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成
的图形．在图５．１１中，射线的端点是圆心犗，它从起始位
置犗犃按逆时针方向旋转到终止位置犗犘，形成一个角α，
射线犗犃，犗犘分别是角α的始边和终边．当角α确定时，
终边犗犘的位置就确定了．这时，射线犗犘与⊙犗的交点犘
也就确定了．由此想到，可以借助角α的大小变化刻画点犘
的位置变化．
由初中知识可知，射线犗犃绕端点犗按逆时针方向旋
转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到０°～３６０°范围
内的角．如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围
了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩
大角的范围．
OĄ
O
A
B
ᜂүᣃ
˟үᣃ
　图５．１２
５１１!
"#$
现实生活中随处可见超出０°～３６０°范围的角．例如，
体操中有“前空翻转体５４０度”“后空翻转体７２０度”这
样的动作名称，这里不仅有超出０°～３６０°范围的角，而
且旋转的方向也不相同；又如，图５．１２是两个齿轮旋
转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被
动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，犗犃绕点犗旋
转所成的角与犗′犅绕点犗′旋转所成的角就会有不同的方
向．因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的
度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行
推广．
　　为了简单起见，在不
引起混淆的前提下，“角
α”或“∠α”可以简记成
“α”．
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形
成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
这样，零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么α＝０°．
８６１
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第五章　三角函数
图５．１３（１）中的角是一个正角，它等于７５０°；图５．１３（２）中，正角α＝２１０°，负角
β＝－１５０°，γ＝－６６０°．正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在
旋转时所形成的角总是负角．
750c
O
A
B
O
α =210c
A
B1
B2
γ=-660c
β =-150c
　　　（１）　　　　　　　　　　（２）
图５．１３
这样，我们就把角的概念推广到了任意角（ａｎｙａｎｇｌｅ），包括正角、负角和零角．设
角α由射线犗犃绕端点犗旋转而成，角β由射线犗′犃′绕端点犗′旋转而成．如果它们的旋
转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．
设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是
α＋β．类似于实数犪的相反数是－犪，我们引入任意角α的相反角的概念．如图５．１４，我们
把射线犗犃绕端点犗按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反
角记为－α．于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有
α－β＝α＋（－β）．
这样，角的减法可以转化为角的加法．
α
α
O
B1
B2
A
α
α
B2
B1
A
O
　　　　（１）　　　　　　　　　　（２）
图５．１４
　　　
y
x
O
30c
-120c
　　
图５．１５
　　你能说说在直角坐标
系内讨论角的好处吗？
我们通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角
的顶点与原点重合，角的始边与狓轴的非负半轴重合．
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限
角．例如，图５．１５中的３０°角、－１２０°角分别是第一
象限角和第三象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么
就认为这个角不属于任何一个象限．
９６１
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第五章　三角函数
 ቃ
y
x
O
328c
-392c
-32c
B
图５．１６
将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，
就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意
一条射线犗犅（图５．１６），以它为终边的角是否唯一？如果
不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
不难发现，在图５．１６中，如果－３２°角的终边是犗犅，那么３２８°，－３９２°，…角的终
边都是犗犅，并且与－３２°角终边相同的这些角都可以表示成－３２°的角与犽个（犽∈犣）周角
的和，如
　３２８°＝－３２°＋３６０°（这里犽＝　　），
－３９２°＝－３２°－３６０°（这里犽＝　　）．
　　在直角坐标系中，角
的终边绕原点旋转３６０°后
回到原来的位置．因此，
在直角坐标系中讨论角可
以很好地表现角的“周而
复始”的变化规律．
设犛＝｛β｜β＝－３２°＋犽·３６０°，犽∈犣｝，则３２８°，－３９２°
角都是犛的元素，－３２°角也是犛的元素（此时犽＝　）．因
此，所有与－３２°角终边相同的角，连同－３２°角在内，都是
集合犛的元素；反过来，集合犛的任一元素显然与－３２°角
的终边相同．
一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个
集合
犛＝｛β｜β＝α＋犽·３６０°，犽∈犣｝，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周
角的和．
y
x
O
270c
90c
图５．１７
例１　在０°～３６０°范围内，找出与－９５０°１２′角终边相同
的角，并判定它是第几象限角．
解：－９５０°１２′＝１２９°４８′－３×３６０°，所以在０°～３６０°范围
内，与－９５０°１２′角终边相同的角是１２９°４８′，它是第二象限角．
例２　写出终边在狔轴上的角的集合．
解：在０°～３６０°范围内，终边在狔轴上的角有两个，即
９０°，２７０°角（图５．１７）．因此，所有与９０°角终边相同的角
构成集合
犛１＝｛β｜β＝９０°＋犽·３６０°，犽∈犣｝，
０７１
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第五章　三角函数
而所有与２７０°角终边相同的角构成集合
犛２＝｛β｜β＝２７０°＋犽·３６０°，犽∈犣｝，
于是，终边在狔轴上的角的集合
　　犛＝犛１∪犛２
＝｛β｜β＝９０°＋２犽·１８０°，犽∈犣｝∪｛β｜β＝９０°＋１８０°＋２犽·１８０°，犽∈犣｝
＝｛β｜β＝９０°＋２犽·１８０°，犽∈犣｝∪｛β｜β＝９０°＋（２犽＋１）１８０°，犽∈犣｝
＝｛β｜β＝９０°＋狀·１８０°，狀∈犣｝．
y
y=x
x
O
225c
45c
　图５．１８
例３　写出终边在直线狔＝狓上的角的集合犛．犛中满足不等
式－３６０°≤β＜７２０°的元素β有哪些？
解：如图５．１８，在直角坐标系中画出直线狔＝狓，可以发现
它与狓轴的夹角是４５°，在０°～３６０°范围内，终边在直线狔＝狓上
的角有两个：４５°，２２５°．因此，终边在直线狔＝狓上的角的集合
犛＝｛β｜β＝４５°＋犽·３６０°，犽∈犣｝∪
　｛β｜β＝２２５°＋犽·３６０°，犽∈犣｝
＝｛β｜β＝４５°＋狀·１８０°，狀∈犣｝．
犛中适合不等式－３６０°≤β＜７２０°的元素β有
４５°－２×１８０°＝－３１５°，
４５°－１×１８０°＝－１３５°，
４５°＋０×１８０°＝４５°，
４５°＋１×１８０°＝２２５°，
４５°＋２×１８０°＝４０５°，
４５°＋３×１８０°＝５８５°．
ጷ˸
１．（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．
２．（口答）今天是星期三，那么７犽（犽∈犣）天后的那一天是星期几？７犽（犽∈犣）天前的那一天是星期几？
１００天后的那一天是星期几？
３．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与狓轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们
是第几象限角：
（１）４２０°；　　　　（２）－７５°；　　　　（３）８５５°；　　　　（４）－５１０°．
４．在０°～３６０°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
（１）－５４°１８′；
（２）３９５°８′；
（３）－１１９０°３０′．
５．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－７２０°≤β＜３６０°的元素β：
（１）１３０３°１８′；
（２）－２２５°．
１７１
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第五章　三角函数
５１２!
%&'
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单
位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否
像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
我们知道，角可以用度为单位进行度量，１度的角等于周角的１３６０．这种用度作为单
位来度量角的单位制叫做角度制．
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制———弧度制．
A
P
O
B
α
P1
图５．１９
如图５．１９，射线犗犃绕端点犗旋转到犗犅形成角α．在
旋转过程中，射线犗犃上的一点犘（不同于点犗）的轨迹是
一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．
设α＝狀°，犗犘＝狉，点犘所形成的圆弧犘犘︵１的长为犾．由
初中所学知识可知犾＝狀π狉
１８０，
于是
犾狉＝狀π１８０．
 ቃ
A
P
O
B
α
P1
1
图５．１１０
如图５．１１０，在射线犗犃上任取一点犙（不同于点
犗），犗犙＝狉１．在旋转过程中，点犙所形成的圆弧犙犙︵１的长
为犾１．犾１与狉１的比值是多少？你能得出什么结论？
A
B
O
1
1 rad
图５．１１１
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α
的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆
心角．我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做１
弧度（ｒａｄｉａｎ）的角，弧度单位用符号ｒａｄ表示，读作弧度．
我们把半径为１的圆叫做单位圆．如图５．１１１，在单
位圆犗中，犃犅︵的长等于１，∠犃犗犅就是１弧度的角．
根据上述规定，在半径为狉的圆中，弧长为犾的弧所对
的圆心角为αｒａｄ，那么
｜α｜＝犾狉．
２７１
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第五章　三角函数
　　公元６世纪，印度人
在制作正弦表时，曾用同
一单位度量半径和圆周，
孕育着最早的弧度制概念．
欧拉是明确提出弧度制思
想的数学家．１７４８年，在
他的一部划时代著作《无
穷小分析概论》中，提出
把圆的半径作为弧长的度
量单位，使一个圆周角等
于２π弧度，１弧度等于周
角的１２π．这一思想将线段
与弧的度量统一起来，大
大简化了三角公式及计算．
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋
转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋
转，就可以得到弧度数大于２π或小于－２π的角．这样就可
以得到弧度为任意大小的角．
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一
个负数，零角的弧度数是０．
 ቃ
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可
以换算．如何换算呢？
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同
（都是０）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，
量数也不同．因为周角的弧度数是２π，而在角度制下的度数
是３６０，所以
３６０°＝２πｒａｄ，１８０°＝πｒａｄ，
１°＝π１８０ｒａｄ≈０．０１７４５ｒａｄ．
反过来有
１ｒａｄ＝（１８０π）°≈５７．３０°＝５７°１８′．
一般地，只需根据
１８０°＝πｒａｄ　　　
１°＝π１８０ｒａｄ≈０．０１７４５ｒａｄ　
１ｒａｄ＝（１８０π）°≈５７．３０°
就可以进行弧度与角度的换算了．
例４　按照下列要求，把６７°３０′化成弧度：
（１）精确值；　　　　　（２）精确到０．００１的近似值．
解：（１）因为６７°３０′＝（１３５２）°，所以
６７°３０′＝１３５２× π１８０ｒａｄ＝３８πｒａｄ．
３７１
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第五章　三角函数
（２）利用计算器有
１．１７８０９７２４５．
因此，６７°３０′≈１．１７８ｒａｄ．
例５　将３．１４ｒａｄ换算成角度（用度数表示，精确到０．００１）．
解：利用计算器有
１７９．９０８７４７７．
因此，３．１４ｒａｄ≈１７９．９０９°．
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“ｒａｄ”通常略去不写，而只写该角所对应的
弧度数．例如，角α＝２就表示α是２ｒａｄ的角；ｓｉｎπ３就表示π３ｒａｄ的角的正弦，即
ｓｉｎπ３＝ｓｉｎ６０°＝
　槡３２．
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
度
０° ３０° ４５°
１２０° １３５° １５０°
３６０°
弧度
π３
π２
π
３π２
 ᝈ
   
ᭆᝈ
᠇ᝈ
᠇  

　图５．１１２
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集犚之间
建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这
个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一
个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图５．１１２）．
例６　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（１）犾＝α犚；　　　（２）犛＝１２α犚２；　　　（３）犛＝１２犾犚．
其中犚是圆的半径，α（０＜α＜２π）为圆心角，犾是扇形的弧长，犛是扇形的面积．
证明：由公式｜α｜＝犾狉可得
犾＝α犚．
下面证明（２）（３）．
半径为犚，圆心角为狀°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
４７１
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第五章　三角函数
犾＝狀π犚
１８０，犛＝狀π犚２
３６０，
将狀°转换为弧度，得
α＝狀π
１８０，
于是，
犛＝１２α犚２．
将犾＝α犚代入上式，即得
犛＝１２犾犚．
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了．在今后的学习中，我们还将
进一步看到弧度制带来的便利．
ጷ˸
１．把下列角度化成弧度：
（１）２２°３０′；　　　（２）－２１０°；　　　（３）１２００°．
２．把下列弧度化成角度：
（１）π１２；
（２）－４π３；
（３）３π１０．
３．用弧度表示：
（１）终边在狓轴上的角的集合；
（２）终边在狔轴上的角的集合．
４．利用计算工具比较下列各对值的大小：
（１）ｃｏｓ０．７５°和ｃｏｓ０．７５；　　（２）ｔａｎ１．２°和ｔａｎ１．２．
５．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为１ｍ的圆中，６０°的圆心角所对的弧的长度（可用
计算工具）．
６．已知半径为１２０ｍｍ的圆上，有一条弧的长是１４４ｍｍ，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数．
ܭ˸ ڍ
习题５．１
１．在０°～３６０°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（１）－２６５°；　　　（２）－１０００°；　　　（３）－８４３°１０′；　　　（４）３９００°．
２．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－３６０°≤β＜３６０°的元素β：
（１）６０°；
（２）－７５°；
（３）－８２４°３０′；
（４）４７５°；
（５）９０°；
（６）２７０°；
（７）１８０°；
（８）０°．
５７１
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第五章　三角函数
３．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．
４．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于１弧度吗？为什么？
５．把下列角度化成弧度：
（１）３６°；
（２）－１５０°；
（３）１０９５°；
（４）１４４０°．
６．把下列弧度化成角度（第（３）（４）题精确到０．０１°）：
（１）－７６π；
（２）－１０３π；
（３）１．４；
（４）２３．
፬Ռᤂၹ
７．选择题
（１）已知α是锐角，那么２α是（　　）．
（Ａ）第一象限角　　　　　　　　（Ｂ）第二象限角
（Ｃ）小于１８０°的正角
（Ｄ）第一或第二象限角
（２）已知α是第一象限角，那么α２是（　　）．
（Ａ）第一象限角
（Ｂ）第二象限角
（Ｃ）第一或第二象限角
（Ｄ）第一或第三象限角
８．要在半径犗犃＝１００ｃｍ的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧犃犅的长为１１２ｃｍ，那么圆
心角∠犃犗犅是多少度（可用计算工具，精确到１°）？
９．已知弧长５０ｃｍ的弧所对圆心角为２００°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到
１ｃｍ）．
   ጊ
１０．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状
较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积犛１．
（１）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为犛２，求犛１与犛２的比值；
（２）要使犛１与犛２的比值为０．６１８，则扇子的圆心角应为几度（精确到１°）？
１１．（１）时间经过４ｈ（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（２）有人说，钟的时针和分针一天内会重合２４次．你认为这种说法是否正确？请说明理由．
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了狋ｍｉｎ会与时针重合，一天内分针和时针会重合狀
次，建立狋关于狀的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）
１２．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有４８齿，小轮有２０齿．
（１）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（２）如果大轮的转速为１８０ｒ／ｍｉｎ（转／分），小轮的半径为１０．５ｃｍ，那么小轮周上一点每１ｓ
转过的弧长是多少？
６７１
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第五章　三角函数
５２　三角函数的概念
A
P
O
　图５．２１
在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数．下
面借助这些知识研究上一节开头提出的问题．不失一般性，
先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：
如图５．２１，单位圆⊙犗上的点犘以犃为起点做逆时
针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点犘的位置变化
情况．
O
α
P(x,y)
y
x
A(1,0)
　图５．２２
５２１!
($)*+,-
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述
问题．如图５．２２，以单位圆的圆心犗为原点，以射线犗犃为狓
轴的非负半轴，建立直角坐标系，点犃的坐标为（１，０），点
犘的坐标为（狓，狔）．射线犗犃从狓轴的非负半轴开始，绕点
犗按逆时针方向旋转角α，终止位置为犗犘．
 ቃ
当α＝π６时，点犘的坐标是什么？当α＝π２或２π３时，点犘的坐标又是什么？它们
是唯一确定的吗？
一般地，任意给定一个角α，它的终边犗犘与单位圆交点犘的坐标能唯一确
定吗？
利用勾股定理可以发现，当α＝π６时，点犘的坐标是（
　槡３２，１２）；当α＝π２或２π３时，点
犘的坐标分别是（０，１）和（－１２，
　槡３２）．它们都是唯一确定的．
一般地，任意给定一个角α∈犚，它的终边犗犘与单位圆交点犘的坐标，无论是横坐
标狓还是纵坐标狔，都是唯一确定的．所以，点犘的横坐标狓、纵坐标狔都是角α的函
数．下面给出这些函数的定义．
设α是一个任意角，α∈犚，它的终边犗犘与单位圆相交于点犘（狓，狔）．
７７１
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第五章　三角函数
（１）把点犘的纵坐标狔叫做α的正弦函数（ｓｉｎｅｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作ｓｉｎα，即
狔＝ｓｉｎα；
（２）把点犘的横坐标狓叫做α的余弦函数（ｃｏｓｉｎｅｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作ｃｏｓα，即
狓＝ｃｏｓα；
（３）把点犘的纵坐标与横坐标的比值狔狓叫做α的正切，记作ｔａｎα，即
狔狓＝ｔａｎα（狓≠０）．
可以看出，当α＝π２＋犽π（犽∈犣）时，α的终边在狔轴上，这时点犘的横坐标狓等于
０，所以狔狓＝ｔａｎα无意义．除此之外，对于确定的角α，狔狓的值也是唯一确定的．所以，
狔狓＝ｔａｎα（狓≠０）也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的
函数，称为正切函数（ｔａｎｇｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），通
常将它们记为：
正弦函数　狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚；
余弦函数　狔＝ｃｏｓ狓，狓∈犚；
正切函数　狔＝ｔａｎ狓，狓≠π２＋犽π（犽∈犣）．
 ቃ
在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值
的函数．设狓∈（０，π２），把按锐角三角函数定义求得的锐角狓的正弦记为狕１，并把
按本节三角函数定义求得的狓的正弦记为狔１．狕１与狔１相等吗？对于余弦、正切也有
相同的结论吗？
O
y
x
A
B
3
5π
　图５．２３
例１　求５π３的正弦、余弦和正切值．
解：在直角坐标系中，作∠犃犗犅＝５π３（图５．２３）．易知
∠犃犗犅的终边与单位圆的交点坐标为（１２，－
　槡３２）．所以，
ｓｉｎ５π３＝－
　槡３２，
８７１
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第五章　三角函数
ｃｏｓ５π３＝１２，
ｔａｎ５π３＝－　槡３．
O
x
y
P
α
　图５．２４
例２　如图５．２４，设α是一个任意角，它的终边上任意
一点犘（不与原点犗重合）的坐标为（狓，狔），点犘与原点
的距离为狉．求证：ｓｉｎα＝狔狉，ｃｏｓα＝狓狉，ｔａｎα＝狔狓．
分析：观察图５．２５，由△犗犕犘∽△犗犕０犘０，根据三角
函数的定义可以得到证明．
证明：如图５．２５，设角α的终边与单位圆交于点犘０（狓０，狔０）．
分别过点犘，犘０作狓轴的垂线犘犕，犘０犕０，垂足分别为犕，
犕０，则
O
M
x
y
M
A(1,0)
0
P0
P
　图５．２５
｜犘０犕０｜＝｜狔０｜，｜犘犕｜＝｜狔｜，
｜犗犕０｜＝｜狓０｜，｜犗犕｜＝｜狓｜，
△犗犕犘∽△犗犕０犘０．
于是
犘０犕０
１＝｜犘犕｜
狉，
即　
狔０＝狔狉．
因为狔０与狔同号，所以　　
狔０＝狔狉，
即　
ｓｉｎα＝狔狉．
同理可得
ｃｏｓα＝狓狉，ｔａｎα＝狔狓．
根据勾股定理，狉＝　狓２＋狔
槡
２．由例２可知，只要知道角α终边上任意一点犘的坐标，
就可以求得角α的各个三角函数值，并且这些函数值不会随犘点位置的改变而改变．
ጷ˸
１．利用三角函数定义，求０，π２，π，３π２的三个三角函数值．
９７１
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第五章　三角函数
２．利用三角函数定义，求７π６的三个三角函数值．
３．已知角θ的终边过点犘（－１２，５），求角θ的三角函数值．
４．已知点犘在半径为２的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为１ｒａｄ／ｓ．求２ｓ时点犘所在的位置．
学习了三角函数的定义，接下来研究它们的一些性质．
 ቃ
根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填
入表５．２１，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图５．２６中的括号．
表５２１
三角函数
定义域
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
(      )
(      )
(      )
O
x
y
(      )
(      )
(      )
O
x
y
(      )
(      )
(      )
(      )
O
x
y
(      )
sin α
cos α
tanα
图５．２６
例３　求证：角θ为第三象限角的充要条件是
ｓｉｎθ＜０，
ｔａｎθ＞０．
烅烄
烆
①②
证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．
因为①式ｓｉｎθ＜０成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与狔轴的
负半轴重合；
又因为②式ｔａｎθ＞０成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．
必要性请同学们自己证明．
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
由此得到一组公式（公式一）：
ｓｉｎ（α＋犽·２π）＝ｓｉｎα，
ｃｏｓ（α＋犽·２π）＝ｃｏｓα，
ｔａｎ（α＋犽·２π）＝ｔａｎα，
其中犽∈犣．
　　由公式一可知，三角
函数值有“周而复始”的
变化规律，即角α的终边
每绕原点旋转一周，函数
值将重复出现．
０８１
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第五章　三角函数
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求０～２π（或０°～３６０°）角的三
角函数值．
例４　确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
（１）ｃｏｓ２５０°；　　　　　（２）ｓｉｎ（－π４）；
（３）ｔａｎ（－６７２°）；
（４）ｔａｎ３π．
解：（１）因为２５０°是第三象限角，所以
ｃｏｓ２５０°＜０；
（２）因为－π４是第四象限角，所以
ｓｉｎ（－π４）＜０；
（３）因为ｔａｎ（－６７２°）＝ｔａｎ（４８°－２×３６０°）＝ｔａｎ４８°，而４８°是第一象限角，所以
ｔａｎ（－６７２°）＞０；
（４）因为
ｔａｎ３π＝ｔａｎ（π＋２π）＝ｔａｎπ，
而π的终边在狓轴上，所以
ｔａｎπ＝０．
请同学们自己完成用计算工具验证．
　　可以直接利用计算工
具求三角函数的值．用计
算工具求值时要注意设置
角的适当的度量制．
例５　求下列三角函数值：
（１）ｓｉｎ１４８０°１０′（精确到０．００１）；
（２）ｃｏｓ９π４；
（３）ｔａｎ（－１１π６）．
解：（１）ｓｉｎ１４８０°１０′＝ｓｉｎ（４０°１０′＋４×３６０°）
＝ｓｉｎ４０°１０′≈０．６４５；
（２）ｃｏｓ９π４＝ｃｏｓ（π４＋２π）＝ｃｏｓπ４＝
　槡２２；
（３）ｔａｎ（－１１π６）＝ｔａｎ（π６－２π）＝ｔａｎπ６＝
　槡３３．
１８１
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第五章　三角函数
ጷ˸
１．填表：
α
２π
１３π６
－π
－４π３
１５π４
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
２．（口答）设α是三角形的一个内角，在ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα，ｔａｎα２中，哪些有可能取负值？
３．确定下列三角函数值的符号：
（１）ｓｉｎ１５６°；　　　　（２）ｃｏｓ１６５π；　　　　（３）ｃｏｓ（－４５０°）；
（４）ｔａｎ（－１７８π）；
（５）ｓｉｎ（－４π３）；
（６）ｔａｎ５５６°．
４．对于①ｓｉｎθ＞０，②ｓｉｎθ＜０，③ｃｏｓθ＞０，④ｃｏｓθ＜０，⑤ｔａｎθ＞０与⑥ｔａｎθ＜０，选择恰当的关系
式序号填空：
（１）角θ为第一象限角的充要条件是　　　　　；
（２）角θ为第二象限角的充要条件是　　　　　；
（３）角θ为第三象限角的充要条件是　　　　　；
（４）角θ为第四象限角的充要条件是　　　　　．
５．求下列三角函数值（可用计算工具，第（１）题精确到０．０００１）：
（１）ｃｏｓ１１０９°；　（２）ｔａｎ１９π３；　（３）ｓｉｎ（－１０５０°）；　（４）ｔａｎ（－３１π４）．
５２２!
.$($)*+/012
 ቃ
公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三
角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角
的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函
数值之间的关系．
如图５．２７，设点犘（狓，狔）是角α的终边与单位圆的交点．过犘作狓轴的垂线，交狓
轴于犕，则△犗犕犘是直角三角形，而且犗犘＝１．由勾股定理有
２８１
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第五章　三角函数
犗犕２＋犕犘２＝１．
因此，狓２＋狔２＝１，即
A(1,0)
O
y
x
M
P
1
α
图５．２７
ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１．
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当α≠犽π＋π２（犽∈犣）时，有
ｓｉｎα
ｃｏｓα＝ｔａｎα．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于１，
商等于角α的正切．
例６　已知ｓｉｎα＝－３５，求ｃｏｓα，ｔａｎα的值．
解：因为ｓｉｎα＜０，ｓｉｎα≠－１，所以α是第三或第四象限角．
由ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１得
ｃｏｓ２α＝１－ｓｉｎ２α＝１－（－３５）
２＝１６２５．
如果α是第三象限角，那么ｃｏｓα＜０．于是
ｃｏｓα＝－
　１６２５槡＝－４５，
从而
ｔａｎα＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝（－３５）×（－５４）＝３４．
如果α是第四象限角，那么
ｃｏｓα＝４５，ｔａｎα＝－３４．
例７　求证ｃｏｓ狓
１－ｓｉｎ狓＝１＋ｓｉｎ狓
ｃｏｓ狓．
证法１：由ｃｏｓ狓≠０，知ｓｉｎ狓≠－１，所以１＋ｓｉｎ狓≠０，于是
　　今后，除特殊注明
外，我们假定三角恒等式
是在使两边都有意义的情
况下的恒等式．
左边＝ｃｏｓ狓（１＋ｓｉｎ狓）
（１－ｓｉｎ狓）（１＋ｓｉｎ狓）
＝ｃｏｓ狓（１＋ｓｉｎ狓）
１－ｓｉｎ２狓
＝ｃｏｓ狓（１＋ｓｉｎ狓）
ｃｏｓ２狓
＝１＋ｓｉｎ狓
ｃｏｓ狓＝右边．
所以，原式成立．
３８１
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第五章　三角函数
证法２：因为
　（１－ｓｉｎ狓）（１＋ｓｉｎ狓）
＝１－ｓｉｎ２狓＝ｃｏｓ２狓
＝ｃｏｓ狓ｃｏｓ狓，
且１－ｓｉｎ狓≠０，ｃｏｓ狓≠０，所以
ｃｏｓ狓
１－ｓｉｎ狓＝１＋ｓｉｎ狓
ｃｏｓ狓．
ጷ˸
１．已知ｃｏｓα＝－４５，且α为第三象限角，求ｓｉｎα，ｔａｎα的值．
２．已知ｔａｎφ＝－槡３，求ｓｉｎφ，ｃｏｓφ的值．
３．已知ｓｉｎθ＝０．３５，求ｃｏｓθ，ｔａｎθ的值（精确到０．０１）．
４．化简：
（１）ｃｏｓθｔａｎθ；　　（２）２ｃｏｓ２α－１
１－２ｓｉｎ２α；　　（３）（１＋ｔａｎ２α）ｃｏｓ２α．
５．求证：ｓｉｎ４α＋ｓｉｎ２αｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２α＝１．
ܭ˸ ڍ
习题５．２
１．用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
（１）－１７π３；　　（２）２１π４；　　（３）－２３π６；　　（４）１５００°．
２．已知角α的终边上有一点犘的坐标是（３犪，４犪），其中犪≠０，求ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα的值．
３．计算：
（１）６ｓｉｎ（－９０°）＋３ｓｉｎ０°－８ｓｉｎ２７０°＋１２ｃｏｓ１８０°；
（２）１０ｃｏｓ２７０°＋４ｓｉｎ０°＋９ｔａｎ０°＋１５ｃｏｓ３６０°；
（３）２ｃｏｓπ２－ｔａｎπ４＋３４ｔａｎ２π６－ｓｉｎπ６＋ｃｏｓ２π６＋ｓｉｎ３π２；
（４）ｓｉｎ２π３＋ｃｏｓ４３π２－ｔａｎ２π３．
４．化简：
（１）犪ｓｉｎ０°＋犫ｃｏｓ９０°＋犮ｔａｎ１８０°；
（２）－狆２ｃｏｓ１８０°＋狇２ｓｉｎ９０°－２狆狇ｃｏｓ０°；
（３）犪２ｃｏｓ２π－犫２ｓｉｎ３π２＋犪犫ｃｏｓπ－犪犫ｓｉｎπ２；
（４）犿ｔａｎ０＋狀ｃｏｓ１２π－狆ｓｉｎπ－狇ｃｏｓ３２π－狉ｓｉｎ２π．
４８１
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第五章　三角函数
５．确定下列三角函数值的符号：
（１）ｓｉｎ１８６°；　　　　（２）ｔａｎ５０５°；　　　　（３）ｓｉｎ７．６π；
（４）ｔａｎ（－２３π４）；
（５）ｃｏｓ９４０°；
（６）ｃｏｓ（－５９π
１７）．
６．（１）已知ｓｉｎα＝－
　槡３２，且α为第四象限角，求ｃｏｓα，ｔａｎα的值；
（２）已知ｃｏｓα＝－５１３，且α为第二象限角，求ｓｉｎα，ｔａｎα的值；
（３）已知ｔａｎα＝－３４，求ｓｉｎα，ｃｏｓα的值；
（４）已知ｃｏｓα＝０．６８，求ｓｉｎα，ｔａｎα的值（精确到０．０１）．
፬Ռᤂၹ
７．根据下列条件求函数犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋π４）＋２ｓｉｎ（狓－π４）－４ｃｏｓ２狓＋３ｃｏｓ（狓＋３π４）的值：
（１）狓＝π４；　　　　　　　　　　　　　（２）狓＝３π４．
８．确定下列式子的符号：
（１）ｔａｎ１２５°ｓｉｎ２７３°；
（２）ｔａｎ１０８°
ｃｏｓ３０５°；
（３）ｓｉｎ５π４ｃｏｓ４π５ｔａｎ１１π６；
（４）ｃｏｓ５π６ｔａｎ１１π６
ｓｉｎ２π３
．
９．求下列三角函数值（可用计算工具，第（１）（３）（４）题精确到０．０００１）：
（１）ｓｉｎ（－６７π
１２）；
（２）ｔａｎ（－１５π４）；
（３）ｃｏｓ３９８°１３′；
（４）ｔａｎ７６６°１５′．
１０．求证：
（１）角θ为第二或第三象限角的充要条件是ｓｉｎθｔａｎθ＜０；
（２）角θ为第三或第四象限角的充要条件是ｃｏｓθｔａｎθ＜０；
（３）角θ为第一或第四象限角的充要条件是ｓｉｎθ
ｔａｎθ＞０；
（４）角θ为第一或第三象限角的充要条件是ｓｉｎθｃｏｓθ＞０．
１１．已知ｓｉｎ狓＝－１３，求ｃｏｓ狓，ｔａｎ狓的值．
１２．已知ｔａｎα＝　槡３，π＜α＜３２π，求ｃｏｓα－ｓｉｎα的值．
１３．已知角α的终边不在坐标轴上，
（１）用ｃｏｓα表示ｓｉｎα，ｔａｎα；　　　　（２）用ｓｉｎα表示ｃｏｓα，ｔａｎα．
１４．求证：
（１）１－２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓
ｃｏｓ２狓－ｓｉｎ２狓＝１－ｔａｎ狓
１＋ｔａｎ狓；
（２）ｔａｎ２α－ｓｉｎ２α＝ｔａｎ２αｓｉｎ２α；
５８１
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第五章　三角函数
（３）（ｃｏｓβ－１）２＋ｓｉｎ２β＝２－２ｃｏｓβ；
（４）ｓｉｎ４狓＋ｃｏｓ４狓＝１－２ｓｉｎ２狓ｃｏｓ２狓．
１５．已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎα＋ｃｏｓα
ｓｉｎα－ｃｏｓα的值．
   ጊ
１６．化简
　１＋ｓｉｎα
１－ｓｉｎα
槡
－
　１－ｓｉｎα
１＋ｓｉｎα
槡
，其中α为第二象限角．
１７．从本节的例７可以看出，ｃｏｓ狓
１－ｓｉｎ狓＝１＋ｓｉｎ狓
ｃｏｓ狓就是ｓｉｎ２狓＋ｃｏｓ２狓＝１的一个变形．你能利用同
角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
１８．（１）分别计算ｓｉｎ４π３－ｃｏｓ４π３和ｓｉｎ２π３－ｃｏｓ２π３的值，你有什么发现？
（２）任取一个α的值，分别计算ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α，ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α，你又有什么发现？
（３）证明：狓∈犚，ｓｉｎ２狓－ｃｏｓ２狓＝ｓｉｎ４狓－ｃｏｓ４狓．
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
三角学与天文学
三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观察结果推算的一种方法．
在１４５０年以前的三角学主要是球面三角，这不但是因为航海、历法推算以及天
文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力，这
种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现
了平面三角．
在欧洲，最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯
（Ｊ．Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，１４３６—１４７６）．他在１４６４年完成的５卷本的著作《论各种三
角形》，是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作，这部著作首次对三角学做出
了完整、独立的阐述．前２卷论述平面三角学，后３卷讨论球面三角学．前２卷
中，他采用印度人的正弦，即弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角
形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法；后３卷中，给出了球面三角的
正弦定理和关于边的余弦定理．他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠
定了牢固基础，对１６世纪的数学家产生了极大影响，也对哥白尼等一批天文学
家产生了很大影响．
由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦函数和余弦函数，而且函数值也限定在正数
范围内，因而不能推出应有的三角公式，导致计算的困难．后来，哥白尼的学生
６８１
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第五章　三角函数
雷提库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｉｃｕｓ，１５１４—１５７６）将传统的弧与弦的关系改进为角的三角
函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面
三角学中独立出来．他还采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余
割），制定了更为精确的正弦、正切、正割表．这些工作都极大推进了三角学的发
展．实际上，由于天文学研究的需要，制定更加精确的三角函数表一直是数学家
奋斗的目标，这大大推动了三角学的发展．
法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉｅｔｅ，１５４０—１６０３）所做的平面三角与球面三角系统
化工作，使得三角学得到进一步发展．他总结了前人的三角学研究成果，将解平
面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正
切公式、和差化积公式等．他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题．
对球面直角三角形，他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则，并将
这套公式表示成了代数形式，这是非常重要的工作．
１６世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．后来，在
微积分、物理学的研究和应用（如对振动、声音传播等的研究）中，三角学又找
到了新的用武之地．
７８１
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第五章　三角函数
５３　诱导公式
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基
本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性
（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆
的对称性，研究三角函数的对称性．
 ቃ
x
y
O
P1
P2
β
α
图５．３１
如图５．３１，在直角坐标系内，设任意角α的
终边与单位圆交于点犘１．
（１）作犘１关于原点的对称点犘２，以犗犘２为
终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函
数值之间有什么关系？
（２）如果作犘１关于狓轴（或狔轴）的对称点
犘３（或犘４），那么又可以得到什么结论？
下面，借助单位圆的对称性进行探究．
x
y
O
P1
P2
π α
+
α
图５．３２
如图５．３２，以犗犘２为终边的角β都是与角π＋α
终边相同的角，即β＝２犽π＋（π＋α）（犽∈犣）．因此，
只要探究角π＋α与α的三角函数值之间的关系
即可．设犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）．因为犘２是点犘１
关于原点的对称点，所以
狓２＝－狓１，狔２＝－狔１．
根据三角函数的定义，得
　　角π＋α还可以看作
是角α的终边按逆时针方
向旋转角π得到的．
ｓｉｎα＝狔１，　　ｃｏｓα＝狓１，　　ｔａｎα＝狔１狓１；
ｓｉｎ（π＋α）＝狔２，ｃｏｓ（π＋α）＝狓２，ｔａｎ（π＋α）＝狔２狓２．
从而得
８８１
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第五章　三角函数
x
y
O
P1
P3
α
-α
图５．３３
公式二
ｓｉｎ（π＋α）＝－ｓｉｎα，
ｃｏｓ（π＋α）＝－ｃｏｓα，
ｔａｎ（π＋α）＝ｔａｎα．
如图５．３３，作犘１关于狓轴的对称点犘３，则以
犗犘３为终边的角为－α，并且有
公式三
ｓｉｎ（－α）＝－ｓｉｎα，
ｃｏｓ（－α）＝ｃｏｓα，
ｔａｎ（－α）＝－ｔａｎα．
x
y
O
P1
P4
α
-α
π
图５．３４
如图５．３４，作犘１关于狔轴的对称点犘４，则以
犗犘４为终边的角为π－α，并且有
　　请你类比公式二，证
明公式三和公式四．
公式四
ｓｉｎ（π－α）＝ｓｉｎα，
ｃｏｓ（π－α）＝－ｃｏｓα，
ｔａｎ（π－α）＝－ｔａｎα．
例１　利用公式求下列三角函数值：
（１）ｃｏｓ２２５°；　　　　　　（２）ｓｉｎ８π３；
（３）ｓｉｎ（－１６π３）；　
（４）ｔａｎ（－２０４０°）．
解：（１）ｃｏｓ２２５°＝ｃｏｓ（１８０°＋４５°）
＝－ｃｏｓ４５°＝－
　槡２２；
（２）ｓｉｎ８π３＝ｓｉｎ（２π＋２π３）
＝ｓｉｎ２π３＝ｓｉｎ（π－π３）
＝ｓｉｎπ３＝
　槡３２；
（３）ｓｉｎ（－１６π３）＝－ｓｉｎ１６π３
＝－ｓｉｎ（５π＋π３）
９８１
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第五章　三角函数
＝－（－ｓｉｎπ３）＝
　槡３２；
（４）ｔａｎ（－２０４０°）＝－ｔａｎ２０４０°
＝－ｔａｎ（６×３６０°－１２０°）
＝ｔａｎ１２０°＝ｔａｎ（１８０°－６０°）
＝－ｔａｎ６０°＝－　槡３．
 Ꮶ
由例１，你对公式一～公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把
任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面
步骤进行：͊
 ᠇ᝈᄊ
ʼᝈѦ 
ၹН 
ʼ ʷ
ၹН ̄
 پ
ၹН ʷ͊
  ᝈᄊ
ʼᝈѦ ᩩ
ᝈᄊʼᝈ
Ѧ 
ᾜπᄊᝈ
ᄊʼᝈѦ 
数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数
表，并通过公式一～公式四，按上述步骤解决了问题．现在，我们可以利用计算工具方便
地求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的
三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用．
例２　化简
ｃｏｓ（１８０°＋α）ｓｉｎ（α＋３６０°）
ｔａｎ（－α－１８０°）ｃｏｓ（－１８０°＋α）．
解：ｔａｎ（－α－１８０°）＝ｔａｎ［－（１８０°＋α）］
＝－ｔａｎ（１８０°＋α）
＝－ｔａｎα，
　　ｃｏｓ（－１８０°＋α）＝ｃｏｓ［－（１８０°－α）］
＝ｃｏｓ（１８０°－α）
＝－ｃｏｓα，
所以
原式＝－ｃｏｓαｓｉｎα
（－ｔａｎα）（－ｃｏｓα）＝－ｃｏｓα．
０９１
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第五章　三角函数
ጷ˸
１．将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：
（１）ｃｏｓ１３９π＝　　　　；　　　（２）ｓｉｎ（１＋π）＝　　　　；　　　（３）ｓｉｎ（－π５）＝　　　　；
（４）ｔａｎ（－７０°６′）＝　　　　；（５）ｃｏｓ６π７＝　　　　；
（６）ｔａｎ１０００°２１′＝　　　　．
２．利用公式求下列三角函数值：
（１）ｃｏｓ（－４２０°）；
（２）ｓｉｎ（－７６π）；
（３）ｔａｎ（－１１４０°）；
（４）ｃｏｓ（－７７６π）；
（５）ｔａｎ３１５°；
（６）ｓｉｎ（－１１４π）．
３．化简：
（１）ｓｉｎ（－α－１８０°）ｃｏｓ（－α）ｓｉｎ（－α＋１８０°）；
（２）ｃｏｓ３（－α）ｓｉｎ（２π＋α）ｔａｎ３（－α－π）．
４．填表：
α
－４π３
－５π４
－５π３
－７π４
－８π３
－１１π４
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
下面在探究１的基础上继续探究．
 ቃ
作犘１关于直线狔＝狓的对称点犘５，以犗犘５为终边的角γ与角α有什么关系？角
γ与角α的三角函数值之间有什么关系？
x
y=x
y
O
α P1
P5
α
2
π
图５．３５
如图５．３５，以犗犘５为终边的角γ都是与角π２－α终边相
同的角，即γ＝２犽π＋（π２－α）（犽∈犣）．因此，只要探究角
π２－α与α的三角函数值之间的关系即可．
设犘５（狓５，狔５），由于犘５是点犘１关于直线狔＝狓的对称
点，可以证明
１９１
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第五章　三角函数
　　你能利用平面几何的知
识，就图５．３５所示的情况
证明①式吗？其他情况呢？
狓５＝狔１，狔５＝狓１．
①
根据三角函数的定义，得
ｓｉｎ（π２－α）＝狔５，ｃｏｓ（π２－α）＝狓５．
从而得
公式五
　　　　　ｓｉｎ（π２－α）＝ｃｏｓα，
ｃｏｓ（π２－α）＝ｓｉｎα．
 ቃ
作犘５关于狔轴的对称点，又能得到什么结论？
　　角π２＋α的终边与角α
的终边具有怎样的对称
性？据此你将如何证明公
式六？
类似地，可得
公式六
ｓｉｎ（π２＋α）＝ｃｏｓα，
ｃｏｓ（π２＋α）＝－ｓｉｎα．
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．
公式一～公式六都叫做诱导公式（ｉｎｄｕｃｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａ）．
例３　证明：
（１）ｓｉｎ（３π２－α）＝－ｃｏｓα；
（２）ｃｏｓ（３π２＋α）＝ｓｉｎα．
证明：（１）ｓｉｎ（３π２－α）＝ｓｉｎπ＋（π２－α）
熿燀
燄燅
＝－ｓｉｎ（π２－α）＝－ｃｏｓα；
（２）ｃｏｓ（３π２＋α）＝ｃｏｓπ＋（π２＋α）
熿燀
燄燅
＝－ｃｏｓ（π２＋α）＝ｓｉｎα．
２９１
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第五章　三角函数
例４　化简
ｓｉｎ（２π－α）ｃｏｓ（π＋α）ｃｏｓ（π２＋α）ｃｏｓ（１１π２－α）
ｃｏｓ（π－α）ｓｉｎ（３π－α）ｓｉｎ（－π－α）ｓｉｎ（９π２＋α）．
解：原式
＝（－ｓｉｎα）（－ｃｏｓα）（－ｓｉｎα）ｃｏｓ５π＋（π２－α）
熿燀
燄燅
（－ｃｏｓα）ｓｉｎ（π－α）［－ｓｉｎ（π＋α）］ｓｉｎ４π＋（π２＋α）
熿燀
燄燅
＝
－ｓｉｎ２αｃｏｓα －ｃｏｓ（π２－α）
熿燀
燄燅
（－ｃｏｓα）ｓｉｎα［－（－ｓｉｎα）］ｓｉｎ（π２＋α）
＝－ｓｉｎα
ｃｏｓα＝－ｔａｎα．
例５　已知ｓｉｎ（５３°－α）＝１５，且－２７０°＜α＜－９０°，求ｓｉｎ（３７°＋α）的值．
分析：注意到（５３°－α）＋（３７°＋α）＝９０°，如果设β＝５３°－α，γ＝３７°＋α，那么β＋γ＝
９０°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．
解：设β＝５３°－α，γ＝３７°＋α，那么β＋γ＝９０°，从而γ＝９０°－β．于是
ｓｉｎγ＝ｓｉｎ（９０°－β）＝ｃｏｓβ．
因为
－２７０°＜α＜－９０°，
所以
１４３°＜β＜３２３°．
由ｓｉｎβ＝１５＞０，得１４３°＜β＜１８０°．
所以
ｃｏｓβ＝－　１－ｓｉｎ２
槡
β＝－
　１－（１５）
槡
２＝－２　槡６５，
所以
ｓｉｎ（３７°＋α）＝ｓｉｎγ＝－２　槡６５．
ጷ˸
１．用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第（３）（４）（６）题精确到０．０００１）：
（１）ｃｏｓ６５６π；　　　　　（２）ｓｉｎ（－３１４π）；　　　　　（３）ｃｏｓ（－１１８２°１３′）；
（４）ｓｉｎ６７０°３９′；
（５）ｔａｎ（－２６π３）；
（６）ｔａｎ５８０°２１′．
３９１
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第五章　三角函数
２．证明：
（１）ｃｏｓ（５２π－α）＝ｓｉｎα；　　　　　　　　　　（２）ｃｏｓ（７２π＋α）＝ｓｉｎα；
（３）ｓｉｎ（９２π－α）＝ｃｏｓα；
（４）ｓｉｎ（１１２π－α）＝－ｃｏｓα．
３．化简：
（１）ｃｏｓ（α－π２）
ｓｉｎ（５π２＋α）ｓｉｎ（α－２π）ｃｏｓ（２π－α）；
（２）ｃｏｓ２（－α）－ｔａｎ（３６０°＋α）
ｃｏｓ（π２＋α）；
（３）ｃｏｓ（α－３π）ｃｏｓ（３π２－α）
ｓｉｎ２（α－π２）
．
ܭ˸ ڍ
习题５．３
１．用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第（２）（３）（４）（５）题精确到０．０００１）：
（１）ｃｏｓ（－１７π４）；　　　　　（２）ｓｉｎ（－１５７４°）；　　　　　（３）ｓｉｎ（－２１６０°５２′）；
（４）ｃｏｓ（－１７５１°３６′）；
（５）ｃｏｓ１６１５°８′；
（６）ｓｉｎ（－２６３π）．
２．求证：
（１）ｓｉｎ（３６０°－α）＝－ｓｉｎα；（２）ｃｏｓ（３６０°－α）＝ｃｏｓα；
（３）ｔａｎ（３６０°－α）＝－ｔａｎα．
３．化简：
（１）１＋ｓｉｎ（α－２π）ｓｉｎ（π＋α）－２ｃｏｓ２（－α）；
（２）ｓｉｎ（－１０７１°）ｓｉｎ９９°＋ｓｉｎ（－１７１°）ｓｉｎ（－２６１°）．
４．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为犘（－３５，４５），分别求角π＋α，－α，π２＋α
的正弦、余弦函数值．
፬Ռᤂၹ
５．已知ｓｉｎ（７π２＋α）＝３５，那么ｃｏｓα＝（　　）．
（Ａ）－４５　　　　　　（Ｂ）－３５　　　　　　（Ｃ）３５　　　　　　（Ｄ）４５
４９１
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第五章　三角函数
６．已知ｓｉｎ（π＋α）＝－１２，计算：
（１）ｓｉｎ（５π－α）；　　（２）ｓｉｎ（π２＋α）；　　（３）ｃｏｓ（α－３π２）；　　（４）ｔａｎ（π２－α）．
７．在△犃犅犆中，试判断下列关系是否成立，并说明理由．
（１）ｃｏｓ（犃＋犅）＝ｃｏｓ犆；
（２）ｓｉｎ（犃＋犅）＝ｓｉｎ犆；
（３）ｓｉｎ犃＋犅
２＝ｓｉｎ犆２；
（４）ｃｏｓ犃＋犅
２＝ｃｏｓ犆２．
８．已知ｓｉｎ（π３－狓）＝１３，且０＜狓＜π２，求ｓｉｎ（π６＋狓）和ｃｏｓ（２π３＋狓）的值．
   ጊ
９．化简下列各式，其中狀∈犣：
（１）ｓｉｎ（狀π２＋α）；　　　（２）ｃｏｓ（狀π２－α）．
１０．借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？由此还能得到三角函数值之间
的哪些恒等关系？
５９１
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第五章　三角函数
５４　三角函数的图象与性质
前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个
函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过
观察图象的特征，获得函数性质的一些结论．
我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到
原来的位置，这一现象可以用公式
ｓｉｎ（狓±２π）＝ｓｉｎ狓，ｃｏｓ（狓±２π）＝ｃｏｓ狓
来表示．这说明，自变量每增加（减少）２π，正弦函数值、
余弦函数值将重复出现．利用这一特性，就可以简化正弦函
数、余弦函数的图象与性质的研究过程．
５４１!
34)*5 64)*+78
下面先研究函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚的图象，从画函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈０，２π
［
］的图象
开始．
 Ꮶ
在０，２π
［
］上任取一个值狓０，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值ｓｉｎ狓０，
并画出点犜（狓０，ｓｉｎ狓０）？
如图５．４１，在直角坐标系中画出以原点犗为圆心的单位圆，⊙犗与狓轴正半轴的交
点为犃（１，０）．在单位圆上，将点犃绕着点犗旋转狓０弧度至点犅，根据正弦函数的定
义，点犅的纵坐标狔０＝ｓｉｎ狓０．由此，以狓０为横坐标，狔０为纵坐标画点，即得到函数图象
上的点犜（狓０，ｓｉｎ狓０）．
O
y
x
A
B
1
-1
T(x0,sin x0)
x0
x0
2
3π
2
π
y0
π
2π
M
图５．４１
６９１
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第五章　三角函数
若把狓轴上从０到２π这一段分成１２等份，使狓０的值分别为０，π６，π３，π２，…，２π，
它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周１２等分，再按上述画点犜（狓０，ｓｉｎ狓０）的
方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图５．４２）．
y
x
A
O
2
3π
2
π
π
2π
图５．４２
事实上，利用信息技术，可使狓０在区间０，２π
［
］上取到足够多的值而画出足够多的点
犜（狓０，ｓｉｎ狓０），将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈
０，２π
［
］的图象（图５．４３）．
y
x
O
A
B
T
x0
x0
2
3π
2
sin
(     ,           )
π
π
2π
x0
图５．４３
 Ꮶ
根据函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈０，２π
［
］的图象，你能想象函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚的图
象吗？
由诱导公式一可知，函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈２犽π，２（犽＋１）π
［
］，犽∈犣且犽≠０的图象与
狔＝ｓｉｎ狓，狓∈０，２π
［
］的图象形状完全一致．因此将函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈０，２π
［
］的图象
不断向左、向右平移（每次移动２π个单位长度），就可以得到正弦函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚
的图象（图５．４４）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线（ｓｉｎｅｃｕｒｖｅ），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
７９１
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第五章　三角函数
2
3π
2
π
π
2π
O
y
1
-1
2
5π
3π
2
7π
4π
2
π
π
2
3π
2π
2
5π
3π
2
7π
4π
Ģ
y=sin x, x    R
x
图５．４４
 Ꮶ
在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察图５．４３，在函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈０，２π
［
］的图象上，以下五个点：
（０，０），（π２，１），（π，０），（３π２，－１），（２π，０）
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈０，２π
［
］的图象形状
就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将
它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．
由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用
这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．
 Ꮶ
你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将
正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
对于函数狔＝ｃｏｓ狓，由诱导公式ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ（狓＋π２）得，
狔＝ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ（狓＋π２），狓∈犚．
而函数
狔＝ｓｉｎ（狓＋π２），狓∈犚
　　你能说明理由吗？
的图象可以通过正弦函数
狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚
的图象向左平移π２个单位长度而得到．所以，将正弦函数的
图象向左平移π２个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图５．４５所示．
８９１
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第五章　三角函数
2
3π
2
π
π
2π
O
y
1
-1
2
5π
3π
2
7π
4π
2
π
π
2
3π
2π
2
5π
3π
2
7π
4π
Ģ
y=sin x, x    R
x
Ģ
y=cos x, x    R
图５．４５
余弦函数狔＝ｃｏｓ狓，狓∈犚的图象叫做余弦曲线（ｃｏｓｉｎｅｃｕｒｖｅ）．它是与正弦曲线具
有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
 ቃ
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的
五个关键点，将它们的坐标填入表５．４１，然后画出狔＝ｃｏｓ狓，狓∈［－π，π］的
简图．
表５４１
狓
ｃｏｓ狓
例１　画出下列函数的简图：
（１）狔＝１＋ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］；　　　　（２）狔＝－ｃｏｓ狓，狓∈［０，２π］．
解：（１）按五个关键点列表：
狓
０
π２
π
３π２
２π
ｓｉｎ狓
０
１
０
－１
０
１＋ｓｉｎ狓
１
２
１
０
１
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图５．４６）：
O
1
2
y
x
-1
2
3π
2
π
π
2π
y=1+sin x,
0, 2
Ģ
x
π
y=sin x,
0, 2
Ģ
x
π
图５．４６
９９１
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第五章　三角函数
（２）按五个关键点列表：
狓
０
π２
π
３π２
２π
ｃｏｓ狓
１
０
－１
０
１
－ｃｏｓ狓
－１
０
１
０
－１
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图５．４７）：
O
1
y
x
-1
y=  cos x,
0, 2
Ģ
x
π
y=
-
cos x,
0, 2
2
Ģ
x
π
2π
π
3π
2
π
图５．４７
 Ꮶ
你能利用函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象，通过图象变换得到狔＝１＋ｓｉｎ狓，
狓∈［０，２π］的图象吗？同样地，利用函数狔＝ｃｏｓ狓，狓∈［０，２π］的图象，通过怎样
的图象变换就能得到函数狔＝－ｃｏｓ狓，狓∈［０，２π］的图象？
ጷ˸
１．在同一直角坐标系中，画出函数
狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］，
狔＝ｃｏｓ狓，狓∈－π２，３π２
［
］
的图象．通过观察两条曲线，说出它们的异同．
２．用五点法分别画下列函数在－π，π
［
］上的图象：
（１）狔＝－ｓｉｎ狓；　　　　　（２）狔＝２－ｃｏｓ狓．
３．想一想函数狔＝｜ｓｉｎ狓｜与狔＝ｓｉｎ狓的图象及其关系，并借助信息技术画出函数的图象进行检验．
４．（多项选择题）函数狔＝１＋ｃｏｓ狓，狓∈（π３，２π）的图象与直线狔＝狋（狋为常数）的交点可能有（　　）．
（Ａ）０个　　（Ｂ）１个　　（Ｃ）２个　　（Ｄ）３个　　（Ｅ）４个
００２
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第五章　三角函数
５４２!
"#$%& '#$%()*
 ቃ
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观
察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大
（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特
别而重要的．
１周期性
观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔２π个单位长度，就会出现
纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既
可从定义中看出，也能从诱导公式ｓｉｎ（狓＋２犽π）＝ｓｉｎ狓（犽∈犣）中得到反映，即自变量狓
的值增加２π整数倍时所对应的函数值，与狓所对应的函数值相等．数学上，用周期性这
个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．
一般地，对于函数犳（狓），如果存在一个非零常数犜，使得当狓取定义域内的每一个
值时，都有
犳（狓＋犜）＝犳（狓），
那么函数犳（狓）就叫做周期函数（ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）．非零常数犜叫做这个函数的周期（ｐｅｒｉｏｄ）．
周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是
正弦函数的周期．事实上，犽∈犣且犽≠０，常数２犽π都是它的周期．
如果在周期函数犳（狓）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
犳（狓）的最小正周期（ｍｉｎｉｍａｌｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｒｉｏｄ）．
　　?证明从略．同学们
可以从函数图象上观察出
这一结论．今后本书中所
涉及的周期，如果不加特
别说明，一般都是指函数
的最小正周期．
根据上述定义，我们有：
正弦函数是周期函数，２犽π（犽∈犣且犽≠０）都是它的周
期，最小正周期是２π．
类似地，余弦函数也是周期函数，２犽π（犽∈犣且犽≠０）都是
它的周期，最小正周期是２π．?
例２　求下列函数的周期：
（１）狔＝３ｓｉｎ狓，狓∈犚；
（２）狔＝ｃｏｓ２狓，狓∈犚；
（３）狔＝２ｓｉｎ（１２狓－π６），狓∈犚．
１０２
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第五章　三角函数
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式犳（狓＋犜）＝犳（狓）
而求出相应的周期．
对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出ｃｏｓ２（狓＋犜）＝ｃｏｓ２狓，狓∈犚；
对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出ｓｉｎ［１２（狓＋犜）－π６］＝
ｓｉｎ（１２狓－π６），狓∈犚．
解：（１）狓∈犚，有
３ｓｉｎ（狓＋２π）＝３ｓｉｎ狓．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为２π．
（２）令狕＝２狓，由狓∈犚得狕∈犚，且狔＝ｃｏｓ狕的周期为２π，即
ｃｏｓ（狕＋２π）＝ｃｏｓ狕，
于是
ｃｏｓ（２狓＋２π）＝ｃｏｓ２狓，
所以
ｃｏｓ２（狓＋π）＝ｃｏｓ２狓，狓∈犚．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
（３）令狕＝１２狓－π６，由狓∈犚得狕∈犚，且狔＝２ｓｉｎ狕的周期为２π，即
２ｓｉｎ（狕＋２π）＝２ｓｉｎ狕，
于是
２ｓｉｎ（１２狓－π６＋２π）＝２ｓｉｎ（１２狓－π６），
所以
２ｓｉｎ［１２（狓＋４π）－π６］＝２ｓｉｎ（１２狓－π６）．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为４π．
 Ꮶ
回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
２奇偶性
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点犗对称，余弦曲线关于狔轴
对称．这个事实，也可由诱导公式
ｓｉｎ（－狓）＝－ｓｉｎ狓，ｃｏｓ（－狓）＝ｃｏｓ狓
得到．所以
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
 Ꮶ
知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
２０２
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第五章　三角函数
ጷ˸
１．等式ｓｉｎ（π６＋２３π）＝ｓｉｎπ６是否成立？如果这个等式成立，能否说２３π是正弦函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚的
一个周期？为什么？
２．求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验：
（１）狔＝ｓｉｎ３４狓，狓∈犚；　　　　　　　　（２）狔＝ｃｏｓ４狓，狓∈犚；
（３）狔＝１２ｃｏｓ（２狓－π３），狓∈犚；
（４）狔＝ｓｉｎ（１３狓＋π４），狓∈犚．
３．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
（１）狔＝２ｓｉｎ狓；
（２）狔＝１－ｃｏｓ狓；
（３）狔＝狓＋ｓｉｎ狓；
（４）狔＝－ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓．
４．设函数犳（狓）（狓∈犚）是以２为最小正周期的周期函数，且当狓∈［０，２］时，犳（狓）＝（狓－１）２．求
犳（３），犳（７２）的值．
 ቃˁԧဘ
函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）及函数狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ）的周期
从前面的例子中可以看出，函数
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ），狓∈犚
及函数
狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ），狓∈犚
（其中犃，ω，φ为常数，且犃≠０，ω＞０）的周期仅与自变量的系数有关．那么，
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令狕＝ω狓＋φ，那么由狓∈犚得狕∈犚，且函数狔＝犃ｓｉｎ狕，狕∈犚及
函数狔＝犃ｃｏｓ狕，狕∈犚的周期都是２π．
因为
狕＋２π＝（ω狓＋φ）＋２π＝ω（狓＋２πω）＋φ，
所以，自变量狓增加２πω，函数值就重复出现；并且增加量小于２πω时，函数值不会
重复出现．即
犜＝２πω
是使等式
３０２
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第五章　三角函数
犃ｓｉｎ［ω（狓＋犜）＋φ］＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ），
犃ｃｏｓ［ω（狓＋犜）＋φ］＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ）
成立的最小正数．从而，函数
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ），狓∈犚
及函数
狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ），狓∈犚
的周期犜＝２πω．
根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．
想一想：上述求函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ），狓∈犚及函数狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ），
狓∈犚周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即命题“如果函数狔＝
犳（狓）的周期是犜，那么函数狔＝犳（ω狓）（ω＞０）的周期是犜ω”是否成立？
　　对于周期函数，如果
把握了它的一个周期内的
情况，那么也就把握了整
个函数的情况．
３单调性
由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期
的区间（如－π２，３π２
熿燀
燄燅）上讨论它的单调性，再利用它的周
期性，将单调性扩展到整个定义域．
观察图５．４８，可以看到：
O
y
x
1
-1
2
3π
2
π
π
2
π
　图５．４８
当狓由－π２增大到π２时，曲线逐渐上升，ｓｉｎ狓的值由
－１增大到１；当狓由π２增大到３π２时，曲线逐渐下降，ｓｉｎ狓
的值由１减小到－１．
ｓｉｎ狓的值的变化情况如表５．４２所示：
表５４２
狓
－π２

０

π２

π

３π２
ｓｉｎ狓
－１

０

１

０

－１
这就是说，
正弦函数狔＝ｓｉｎ狓在区间－π２，π２
熿燀
燄燅上单调递增，在区间π２，３π２
熿燀
燄燅上单调递减．
由正弦函数的周期性可得，
４０２
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第五章　三角函数
正弦函数在每一个闭区间［－π２＋２犽π，π２＋２犽π］（犽∈犣）上都单调递增，其值从－１增
大到１；在每一个闭区间［π２＋２犽π，３π２＋２犽π］（犽∈犣）上都单调递减，其值从１减小到
－１．类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如－π，π
［
］）上函数值的变化规律，将看
到的函数值的变化情况填入表５．４３：
表５４３
狓
－π

－π２

０

π２

π
ｃｏｓ狓
由此可得，
函数狔＝ｃｏｓ狓，狓∈［－π，π］在区间　　　　　　上单调递增，其值从－１增大到１；
在区间　　　　　　上单调递减，其值从１减小到－１．
由余弦函数的周期性可得，
余弦函数在每一个闭区间　　　　　　　　上都单调递增，其值从－１增大到１；在
每一个闭区间　　　　　　　上都单调递减，其值从１减小到－１．
４最大值与最小值
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，
正弦函数当且仅当狓＝　　　　　　时取得最大值１，当且仅当狓＝　　　　　　时
取得最小值－１；
余弦函数当且仅当狓＝　　　　　　时取得最大值１，当且仅当狓＝　　　　　　时
取得最小值－１．
例３　下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量狓
的集合，并求出最大值、最小值．
（１）狔＝ｃｏｓ狓＋１，狓∈犚；
（２）狔＝－３ｓｉｎ２狓，狓∈犚．
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
（１）使函数狔＝ｃｏｓ狓＋１，狓∈犚取得最大值的狓的集合，就是使函数狔＝ｃｏｓ狓，
狓∈犚取得最大值的狓的集合
｛狓｜狓＝２犽π，犽∈犣｝；
使函数狔＝ｃｏｓ狓＋１，狓∈犚取得最小值的狓的集合，就是使函数狔＝ｃｏｓ狓，狓∈犚
取得最小值的狓的集合
｛狓｜狓＝（２犽＋１）π，犽∈犣｝．
函数狔＝ｃｏｓ狓＋１，狓∈犚的最大值是１＋１＝２；最小值是－１＋１＝０．
５０２
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第五章　三角函数
（２）令狕＝２狓，使函数狔＝－３ｓｉｎ狕，狕∈犚取得最大值的狕的集合，就是使狔＝ｓｉｎ狕，
狕∈犚取得最小值的狕的集合
｛狕｜狕＝－π２＋２犽π，犽∈犣｝．
由２狓＝狕＝－π２＋２犽π，得狓＝－π４＋犽π．所以，使函数狔＝－３ｓｉｎ２狓，狓∈犚取得最
大值的狓的集合是
｛狓｜狓＝－π４＋犽π，犽∈犣｝．
同理，使函数狔＝－３ｓｉｎ２狓，狓∈犚取得最小值的狓的集合是
｛狓｜狓＝π４＋犽π，犽∈犣｝．
函数狔＝－３ｓｉｎ２狓，狓∈犚的最大值是３，最小值是－３．
例４　不通过求值，比较下列各组数的大小：
（１）ｓｉｎ（－π１８）与ｓｉｎ（－π１０）；　　（２）ｃｏｓ（－２３π５）与ｃｏｓ（－１７π４）．
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公
式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．
解：（１）因为
－π２＜－π１０＜－π１８＜０，
正弦函数狔＝ｓｉｎ狓在区间－π２，０
熿燀
燄燅上单调递增，所以
ｓｉｎ（－π１８）＞ｓｉｎ（－π１０）．
（２）ｃｏｓ（－２３π５）＝ｃｏｓ２３π５＝ｃｏｓ３π５，
ｃｏｓ（－１７π４）＝ｃｏｓ１７π４＝ｃｏｓπ４．
因为０＜π４＜３π５＜π，且函数狔＝ｃｏｓ狓在区间［０，π］上单调递减，所以
　　你能借助单位圆直观
地比较上述两对函数值的
大小吗？试一试．
ｃｏｓπ４＞ｃｏｓ３π５，
即
ｃｏｓ（－１７π４）＞ｃｏｓ（－２３π５）．
例５　求函数狔＝ｓｉｎ（１２狓＋π３），狓∈［－２π，２π］的单调递增区间．
６０２
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第五章　三角函数
分析：令狕＝１２狓＋π３，狓∈－２π，２π
［
］，当自变量狓的值增大时，狕的值也随之增
大，因此若函数狔＝ｓｉｎ狕在某个区间上单调递增，则函数狔＝ｓｉｎ（１２狓＋π３）在相应的区间
上也一定单调递增．
解：令狕＝１２狓＋π３，狓∈－２π，２π
［
］，则狕∈－２３π，４３π
熿燀
燄燅．
因为狔＝ｓｉｎ狕，狕∈－２π３，４π３
熿燀
燄燅的单调递增区间是－π２，π２
熿燀
燄燅，且由
－π２≤１２狓＋π３≤π２，
得－５π３≤狓≤π３．
所以，函数狔＝ｓｉｎ（１２狓＋π３），狓∈［－２π，２π］的单调递增区间是－５π３，π３
熿燀
燄燅．
 Ꮶ
你能求出函数狔＝ｓｉｎ（－１２狓＋π３），狓∈［－２π，２π］的单调递增区间吗？
ጷ˸
１．观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的狓所在的区间：
（１）ｓｉｎ狓＞０；　　　（２）ｓｉｎ狓＜０；　　　（３）ｃｏｓ狓＞０；　　　（４）ｃｏｓ狓＜０．
２．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值．
（１）狔＝２ｓｉｎ狓，狓∈犚；
（２）狔＝２－ｃｏｓ狓３，狓∈犚．
３．下列关于函数狔＝４ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的单调性的叙述，正确的是（　　）．
（Ａ）在［０，π］上单调递增，在［π，２π］上单调递减
（Ｂ）在０，π２
［］上单调递增，在３π２，２π
［
］上单调递减
（Ｃ）在０，π２
［］及３π２，２π
［
］上单调递增，在π２，３π２
［
］上单调递减
（Ｄ）在π２，３π２
［
］上单调递增，在０，π２
［］及３π２，２π
［
］上单调递减
４．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（１）ｃｏｓ２７π与ｃｏｓ（－３π５）；
（２）ｓｉｎ２５０°与ｓｉｎ２６０°．
５．求函数狔＝３ｓｉｎ（２狓＋π４），狓∈［０，π］的单调递减区间．
７０２
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第五章　三角函数
 ቃˁԧဘ
利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质
根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”．因此，单位
圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具．
例如，借助单位圆的对称性可以方便地得到诱导公式．借助单位圆研究三角函数
的性质体现了数形结合的思想方法，有利于从整体上把握三角函数．
P(u,v)
x
O
M
u
v
A(1,0)
图１　
如图１，在直角坐标系狌犗狏中，角狓的顶点与
原点重合，始边与犗狌轴重合，终边与单位圆交于
点犘（ｃｏｓ狓，ｓｉｎ狓）．容易发现，当角狓的终边绕原
点从犗狌轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，
点犘的横坐标按照
１→０→－１→０→１…
的规律连续地、周而复始地变化；同时，纵坐标
按照
０→１→０→－１→０…
的规律连续地、周而复始地变化．
由上述变化规律，可得余弦函数、正弦函数的各种性质．
（１）周期性
自变量每增加２π（角狓的终边旋转一周），余弦函数值、正弦函数值重复出
现，所以余弦函数、正弦函数的周期都是２π．
（２）奇偶性
角狓、角－狓与单位圆的交点犘（ｃｏｓ狓，ｓｉｎ狓）、犘′（ｃｏｓ（－狓），ｓｉｎ（－狓））关
于犗狌轴对称，所以ｃｏｓ（－狓）＝ｃｏｓ狓，ｓｉｎ（－狓）＝－ｓｉｎ狓，所以余弦函数为偶函
数，正弦函数为奇函数．
（３）单调性
余弦函数的单调性：
角狓
２犽π→２犽π＋π２２犽π＋π２→２犽π＋π２犽π＋π→２犽π＋３π２２犽π＋３π２→２犽π＋２π
犘点横坐标的变化
１→０
０→－１
－１→０
０→１
ｃｏｓ狓的单调性
单调递减
单调递减
单调递增
单调递增
正弦函数的单调性：
８０２
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第五章　三角函数
角狓
２犽π→２犽π＋π２２犽π＋π２→２犽π＋π２犽π＋π→２犽π＋３π２２犽π＋３π２→２犽π＋２π
犘点纵坐标的变化
０→１
１→０
０→－１
－１→０
ｓｉｎ狓的单调性
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
（４）最大值、最小值
余弦函数的最大值、最小值：
角狓
π＋２犽π
２犽π
犘点的横坐标
－１
１
ｃｏｓ狓
最小值
最大值
正弦函数的最大值、最小值：
角狓
－π２＋２犽π
π２＋２犽π
犘点的纵坐标
－１
１
ｓｉｎ狓
最小值
最大值
在后续的学习中我们还可以看到，借助单位圆的性质（主要是对称性），不
仅可以得到三角函数的各种性质，而且可以推导各种三角公式．
５４３!
3;)*+9:<78
 Ꮶ
（１）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
（２）你能用不同的方法研究正切函数吗？
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，
再利用性质研究正切函数的图象．
１周期性
由诱导公式
ｔａｎ（狓＋π）＝ｔａｎ狓，狓∈犚，且狓≠π２＋犽π，犽∈犣
可知，正切函数是周期函数，周期是π．
９０２
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第五章　三角函数
２奇偶性
由诱导公式
ｔａｎ（－狓）＝－ｔａｎ狓，狓∈犚，且狓≠π２＋犽π，犽∈犣
可知，正切函数是奇函数．
 Ꮶ
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
可以先考察函数狔＝ｔａｎ狓，狓∈［０，π２）的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性
进行拓展．
 ቃ
如何画出函数狔＝ｔａｎ狓，狓∈［０，π２）的图象？
O
y
x
M
A(1,0)
B
T
x
图５．４９
O1
x
y
O
B
T
2
π
图５．４１０
如图５．４９，设狓∈［０，π２），在直角
坐标系中画出角狓的终边与单位圆的交点
犅（狓０，狔０）．过点犅作狓轴的垂线，垂足
为犕；过点犃（１，０）作狓轴的垂线与角狓
的终边交于点犜，则
ｔａｎ狓＝狔０狓０＝犕犅
犗犕＝犃犜
犗犃＝犃犜．
由此可见，当狓∈［０，π２）时，线段
犃犜的长度就是相应角狓的正切值．我们可
以利用线段犃犜画出函数狔＝ｔａｎ狓，狓∈
［０，π２）的图象，如图５．４１０所示．
观察图５．４１０可知，当狓∈［０，π２）
时，随着狓的增大，线段犃犜的长度也在
增大，而且当狓趋向于π２时，犃犜的长度
０１２
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第五章　三角函数
趋向于无穷大．相应地，函数狔＝ｔａｎ狓，狓∈［０，π２）的图象从左向右呈不断上升趋势，
且向右上方无限逼近直线狓＝π２．
 ቃ
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数
的图象有怎样的特征？
根据正切函数是奇函数，只要画狔＝ｔａｎ狓，狓∈［０，π２）的图象关于原点的对称图形，
就可得到狔＝ｔａｎ狓，狓∈（－π２，０］的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数狔＝
ｔａｎ狓，狓∈（－π２，π２）的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数
狔＝ｔａｎ狓，狓∈犚，狓≠π２＋犽π，犽∈犣
的图象，我们把它叫做正切曲线（ｔａｎｇｅｎｔｃｕｒｖｅ）（图５．４１１）．
2
3π
2
π
π
2π
O
y
1
-1
2
5π
2
π
π
2
3π
2π
2
5π
x
图５．４１１
从图５．４１１可以看出，正切曲线是被与狔轴平行的一系列直线狓＝π２＋犽π，犽∈犣所
隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
３单调性
观察正切曲线可知，正切函数在区间（－π２，π２）上单调递增．
由正切函数的周期性可得，
１１２
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第五章　三角函数
正切函数在每一个区间（－π２＋犽π，π２＋犽π）（犽∈犣）上都单调递增．
４值域
当狓∈（－π２，π２）时，ｔａｎ狓在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．
因此，正切函数的值域是实数集犚．
例６　求函数狔＝ｔａｎ（π２狓＋π３）的定义域、周期及单调区间．
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．
解：自变量狓的取值应满足
π２狓＋π３≠犽π＋π２，犽∈犣，
即
狓≠２犽＋１３，犽∈犣．
所以，函数的定义域是狓｜狓≠２犽＋１３，犽∈犣
烅烄烆
烍烌烎．
设狕＝π２狓＋π３，又ｔａｎ（狕＋π）＝ｔａｎ狕，
所以
ｔａｎ（π２狓＋π３）＋π
熿燀
燄燅＝ｔａｎ（π２狓＋π３），
即
ｔａｎπ２（狓＋２）＋π３
熿燀
燄燅＝ｔａｎ（π２狓＋π３）．
因为狓∈｛狓｜狓≠２犽＋１３，犽∈犣｝都有
ｔａｎπ２（狓＋２）＋π３
熿燀
燄燅＝ｔａｎ（π２狓＋π３），
所以，函数的周期为２．
由－π２＋犽π＜π２狓＋π３＜π２＋犽π，犽∈犣解得
－５３＋２犽＜狓＜１３＋２犽，犽∈犣．
因此，函数在区间（－５３＋２犽，１３＋２犽），犽∈犣上单调递增．
２１２
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第五章　三角函数
ጷ˸
１．借助函数狔＝ｔａｎ狓的图象解不等式ｔａｎ狓≥－１，狓∈［０，π２）∪（π２，π）．
２．观察正切曲线，写出满足下列条件的狓值的范围：
（１）ｔａｎ狓＞０；　　　（２）ｔａｎ狓＝０；　　　（３）ｔａｎ狓＜０．
３．求函数狔＝ｔａｎ３狓的定义域．
４．求下列函数的周期：
（１）狔＝ｔａｎ２狓，狓≠π４＋犽π２（犽∈犣）；
（２）狔＝５ｔａｎ狓２，狓≠（２犽＋１）π（犽∈犣）．
５．不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：
（１）ｔａｎ（－５２°）与ｔａｎ（－４７°）；
（２）ｔａｎ１３π４与ｔａｎ１７π５．
ܭ˸ ڍ
习题５．４
１．画出下列函数的简图：
（１）狔＝１－ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］；　　　　　（２）狔＝３ｃｏｓ狓＋１，狓∈［０，２π］．
２．求下列函数的周期：
（１）狔＝ｓｉｎ２３狓，狓∈犚；
（２）狔＝１２ｃｏｓ４狓，狓∈犚．
３．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？
（１）狔＝ｓｉｎ狓；
（２）狔＝１－ｃｏｓ２狓；
（３）狔＝－３ｓｉｎ２狓；
（４）狔＝１＋２ｔａｎ狓．
４．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量狓的集合，并求出最大值、最小值：
（１）狔＝１－１２ｃｏｓπ３狓，狓∈犚；
（２）狔＝３ｓｉｎ（２狓＋π４），狓∈犚；
（３）狔＝－３２ｃｏｓ（１２狓－π６），狓∈犚；
（４）狔＝１２ｓｉｎ（１２狓＋π３），狓∈犚．
５．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（１）ｓｉｎ１０３°１５′与ｓｉｎ１６４°３０′；
（２）ｃｏｓ（－３１０π）与ｃｏｓ（－４９π）；
（３）ｓｉｎ５０８°与ｓｉｎ１４４°；
（４）ｃｏｓ（４７１０π）与ｃｏｓ（４４９π）．
６．求下列函数的单调区间：
（１）狔＝１＋ｓｉｎ狓，狓∈０，２π
［
］；
（２）狔＝－ｃｏｓ狓，狓∈０，２π
［
］．
７．求函数狔＝－ｔａｎ（狓＋π６）＋２的定义域．
８．求函数狔＝ｔａｎ（２狓－π３），狓≠５π１２＋犽π２（犽∈犣）的周期．
３１２
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第五章　三角函数
９．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：
（１）ｔａｎ（－π５）与ｔａｎ（－３π７）；
（２）ｔａｎ１５１９°与ｔａｎ１４９３°；
（３）ｔａｎ６９１１π与ｔａｎ（－５３１１π）；
（４）ｔａｎ７π８与ｔａｎπ６．
፬Ռᤂၹ
１０．求下列函数的值域：
（１）狔＝ｓｉｎ狓，狓∈π４，５π４
［
］；
（２）狔＝ｃｏｓ（狓＋π３），狓∈０，π２
［］．
１１．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的狓的取值集合：
（１）ｓｉｎ狓≥
　槡３２（狓∈犚）；
（２）　槡２＋２ｃｏｓ狓≥０（狓∈犚）．
１２．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（π２，π）上单调递减的是（　　）．
（Ａ）狔＝｜ｓｉｎ狓｜　　　（Ｂ）狔＝ｃｏｓ狓　　　（Ｃ）狔＝ｔａｎ狓　　　（Ｄ）狔＝ｃｏｓ狓２
１３．若狓是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的狓的集合：
（１）１＋ｔａｎ狓≤０；
（２）ｔａｎ狓－　槡３≥０．
１４．求函数狔＝－ｔａｎ（２狓－３π４）的单调区间．
１５．已知函数狔＝犳（狓）是定义在犚上周期为２的奇函数，若犳（０．５）＝１，求犳（１），犳（３．５）的值．
１６．已知函数犳（狓）＝１２ｓｉｎ（２狓－π３），狓∈犚，
（１）求犳（狓）的最小正周期；
（２）求犳（狓）在区间－π４，π４
［
］上的最大值和最小值．
   ጊ
１７．在直角坐标系中，已知⊙犗是以原点犗为圆心，半径长为２的圆，角狓（ｒａｄ）的终边与⊙犗
的交点为犅，求点犅的纵坐标狔关于狓的函数解析式，并借助信息技术画出其图象．
O
y
x
1
1
-1
（第１８题）
１８．已知函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，
（１）求函数的周期；
（２）画出函数狔＝犳（狓＋１）的图象；
（３）写出函数狔＝犳（狓）的解析式．
１９．容易知道，正弦函数狔＝ｓｉｎ狓是奇函数，
正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲
线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有
其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？
如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余
弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．
４１２
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第五章　三角函数
５５　三角恒等变换
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行
恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公
式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱
导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）
的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把
特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三
角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这
个问题．
５５１!
=$><?+345 64>3;@A
１两角差的余弦公式
 ቃ
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
P
P1
α ጼ᣸
β ጼ᣸
β
α
ጼ᣸
O
y
x
A1
A(1, 0)
图５．５１
下面，我们来探究ｃｏｓ（α－β）与角α，β的正弦、
余弦之间的关系．
不妨令α≠２犽π＋β，犽∈犣．
如图５．５１，设单位圆与狓轴的正半轴相交于点
犃（１，０），以狓轴非负半轴为始边作角α，β，α—β，
它们的终边分别与单位圆相交于点犘１（ｃｏｓα，ｓｉｎα），
犃１（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），犘（ｃｏｓ（α－β），ｓｉｎ（α－β））．
　　任意一个圆绕着其圆
心旋转任意角后都与原来
的圆重合，这一性质叫做
圆的旋转对称性．
连接犃１犘１，犃犘．若把扇形犗犃犘绕着点犗旋转
β角，则点犃，犘分别与点犃１，犘１重合．根据圆的旋
转对称性可知，犃犘︵与犃１犘１
 
重合，从而犃犘︵＝犃１犘１
 
，
所以犃犘＝犃１犘１．
５１２
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第五章　三角函数
　　平面上任意两点犘１
（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）
间的距离公式犘１犘２＝
（狓２－狓１）２＋（狔２－狔１）
槡
２．
根据两点间的距离公式，得
　ｃｏｓ（α－β）－１
［
］２＋ｓｉｎ２（α－β）
＝（ｃｏｓα－ｃｏｓβ）２＋（ｓｉｎα－ｓｉｎβ）２，
化简得
ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ．
当α＝２犽π＋β（犽∈犣）时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角α，β有
ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ．
（Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角
的余弦公式，简记作Ｃ（α－β）．
例１　利用公式Ｃ（α－β）证明：
（１）ｃｏｓ（π２－α）＝ｓｉｎα；　　　（２）ｃｏｓ（π－α）＝－ｃｏｓα．
证明：（１）ｃｏｓ（π２－α）＝ｃｏｓπ２ｃｏｓα＋ｓｉｎπ２ｓｉｎα
＝０＋１×ｓｉｎα
＝ｓｉｎα．
（２）ｃｏｓ（π－α）＝ｃｏｓπｃｏｓα＋ｓｉｎπｓｉｎα
＝（－１）×ｃｏｓα＋０
＝－ｃｏｓα．
例２　已知ｓｉｎα＝４５，α∈（π２，π），ｃｏｓβ＝－５１３，β是第三象限角，求ｃｏｓ（α－β）的值．
解：由ｓｉｎα＝４５，α∈（π２，π），得
ｃｏｓα＝－　１－ｓｉｎ２
槡
α
＝－
　１－（４５）
槡
２＝－３５．
又由ｃｏｓβ＝－５１３，β是第三象限角，得
ｓｉｎβ＝－　１－ｃｏｓ２
槡
β
＝－
　１－（－５１３）
槡
２＝－１２１３．
所以
ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ
６１２
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第五章　三角函数
＝（－３５）×（－５１３）＋４５×（－１２１３）
＝－３３６５．
ጷ˸
１．利用公式Ｃ（α－β）证明：
（１）ｃｏｓ（３π２－α）＝－ｓｉｎα；　　　（２）ｃｏｓ（－α）＝ｃｏｓα．
２．利用公式Ｃ（α－β）求ｃｏｓ１５°的值．
３．已知ｃｏｓα＝－３５，α∈（π２，π），求ｃｏｓ（π４－α）的值．
４．已知ｓｉｎθ＝１５１７，θ是第二象限角，求ｃｏｓ（θ－π３）的值．
５．已知ｓｉｎα＝－２３，α∈（π，３π２），ｃｏｓβ＝３４，β∈（３π２，２π），求ｃｏｓ（β－α）的值．
２两角和与差的正弦、余弦、正切公式
 Ꮶ
由公式Ｃ（α－β）出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
　　这里用到的是加法和
减法的联系，也可用换元
的观点来考虑：由于公式
Ｃ（α－β）对于任意α，β都成
立，那么把其中的β换成
－β后，也一定成立．由此
也可推得公式Ｃ（α＋β）．
下面以公式Ｃ（α－β）为基础来推导其他公式．
例如，比较ｃｏｓ（α－β）与ｃｏｓ（α＋β），并注意到α＋β与
α－β之间的联系：α＋β＝α－（－β），则由公式Ｃ（α－β），有
　　ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓ［α－（－β）］
＝ｃｏｓαｃｏｓ（－β）＋ｓｉｎαｓｉｎ（－β）
＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．
于是得到了两角和的余弦公式，简记作Ｃ（α＋β）．
ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．（Ｃ（α＋β））
 ቃ
上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现
正弦、余弦的互化．你能根据Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及诱导公式五（或六），推导出用任意角
α，β的正弦、余弦表示ｓｉｎ（α＋β），ｓｉｎ（α－β）的公式吗？
７１２
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第五章　三角函数
通过推导，可以得到：
ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ，
ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ．
（Ｓ（α＋β））
（Ｓ（α－β））
 ቃ
你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ（α±β），Ｓ（α±β）出发，推导
出用任意角α，β的正切表示ｔａｎ（α＋β），ｔａｎ（α－β）的公式吗？
通过推导，可以得到：
ｔａｎ（α＋β）＝ｔａｎα＋ｔａｎβ
１－ｔａｎαｔａｎβ，
ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ
１＋ｔａｎαｔａｎβ．
（Ｔ（α＋β））
（Ｔ（α－β））
公式Ｓ（α＋β），Ｃ（α＋β），Ｔ（α＋β）给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函
数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地，Ｓ（α－β），Ｃ（α－β），Ｔ（α－β）都叫做差角公式．
 ቃ
和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多
有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？
例３　已知ｓｉｎα＝－３５，α是第四象限角，求ｓｉｎ（π４－α），ｃｏｓ（π４＋α），ｔａｎ（α－π４）的值．
解：由ｓｉｎα＝－３５，α是第四象限角，得
ｃｏｓα＝　１－ｓｉｎ２
槡
α＝
　１－（－３５）
槡
２＝４５，
所以
ｔａｎα＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝－３５４５
＝－３４．
于是有
ｓｉｎ（π４－α）＝ｓｉｎπ４ｃｏｓα－ｃｏｓπ４ｓｉｎα
＝
　槡２２×４５－
　槡２２×（－３５）＝７　槡２１０；
８１２
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第五章　三角函数
ｃｏｓ（π４＋α）＝ｃｏｓπ４ｃｏｓα－ｓｉｎπ４ｓｉｎα
＝
　槡２２×４５－
　槡２２×（－３５）＝７　槡２１０；
ｔａｎ（α－π４）＝ｔａｎα－ｔａｎπ４
１＋ｔａｎαｔａｎπ４
＝ｔａｎα－１
１＋ｔａｎα
＝－３４－１
１＋（－３４）＝－７．
 Ꮶ
由以上解答可以看到，在本题条件下有ｓｉｎ（π４－α）＝ｃｏｓ（π４＋α）．那么对于任意角
α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
例４　利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（１）ｓｉｎ７２°ｃｏｓ４２°－ｃｏｓ７２°ｓｉｎ４２°；
（２）ｃｏｓ２０°ｃｏｓ７０°－ｓｉｎ２０°ｓｉｎ７０°；
（３）１＋ｔａｎ１５°
１－ｔａｎ１５°．
分析：和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过
来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．
解：（１）由公式Ｓ（α－β），得
　ｓｉｎ７２°ｃｏｓ４２°－ｃｏｓ７２°ｓｉｎ４２°
＝ｓｉｎ（７２°－４２°）
＝ｓｉｎ３０°
＝１２．
（２）由公式Ｃ（α＋β），得
　ｃｏｓ２０°ｃｏｓ７０°－ｓｉｎ２０°ｓｉｎ７０°
＝ｃｏｓ（２０°＋７０°）
＝ｃｏｓ９０°
＝０．
（３）由公式Ｔ（α＋β）及ｔａｎ４５°＝１，得
９１２
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第五章　三角函数
１＋ｔａｎ１５°
１－ｔａｎ１５°＝ｔａｎ４５°＋ｔａｎ１５°
１－ｔａｎ４５°ｔａｎ１５°
＝ｔａｎ（４５°＋１５°）
＝ｔａｎ６０°
＝　槡３．
ጷ˸
１．利用和（差）角公式，求下列各式的值：
（１）ｓｉｎ１５°；　　（２）ｃｏｓ７５°；　　（３）ｓｉｎ７５°；　　（４）ｔａｎ１５°．
２．（１）已知ｃｏｓθ＝－３５，θ∈（π２，π），求ｓｉｎ（θ＋π３）的值；
（２）已知ｓｉｎθ＝－１２１３，θ是第三象限角，求ｃｏｓ（π６＋θ）的值；
（３）已知ｔａｎα＝３，求ｔａｎ（α＋π４）的值．
３．求下列各式的值：
（１）ｓｉｎ７２°ｃｏｓ１８°＋ｃｏｓ７２°ｓｉｎ１８°；　　　　　　（２）ｃｏｓ７２°ｃｏｓ１２°＋ｓｉｎ７２°ｓｉｎ１２°；
（３）ｔａｎ１２°＋ｔａｎ３３°
１－ｔａｎ１２°ｔａｎ３３°；
（４）ｃｏｓ７４°ｓｉｎ１４°－ｓｉｎ７４°ｃｏｓ１４°；
（５）ｓｉｎ３４°ｓｉｎ２６°－ｃｏｓ３４°ｃｏｓ２６°；
（６）ｓｉｎ２０°ｃｏｓ１１０°＋ｃｏｓ１６０°ｓｉｎ７０°．
４．化简：
（１）１２ｃｏｓ狓－
　槡３２ｓｉｎ狓；
（２）　槡３ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓；
（３）　槡２（ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓）；
（４）　槡２ｃｏｓ狓－　槡６ｓｉｎ狓．
５．已知ｓｉｎ（α－β）ｃｏｓα－ｃｏｓ（β－α）ｓｉｎα＝３５，β是第三象限角，求ｓｉｎ（β＋５π４）的值．
３二倍角的正弦、余弦、正切公式
以公式Ｃ（α－β）为基础，我们已经得到六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式
为基础来推导倍角公式．
 ቃ
你能利用Ｓ（α±β），Ｃ（α±β），Ｔ（α±β）推导出ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α，ｔａｎ２α的公式吗？
通过推导，可以得到：
０２２
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第五章　三角函数
　　　　
ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα，
ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α，
ｔａｎ２α＝２ｔａｎα
１－ｔａｎ２α．
（Ｓ２α）
（Ｃ２α）
（Ｔ２α）
如果要求二倍角的余弦公式（Ｃ２α）中仅含α的正弦（余弦），那么又可得到：
　　这里的“倍角”专指
“二倍角”，遇到“三倍
角”等名词时，“三”字
等不可省去．
ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ２α，
ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１．
以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了α的三
角函数与２α的三角函数之间的关系．
 ጪ
从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联
系，请你进行归纳总结．
例５　已知ｓｉｎ２α＝５１３，π４＜α＜π２，求ｓｉｎ４α，ｃｏｓ４α，ｔａｎ４α的值．
分析：已知条件给出了２α的正弦函数值．由于４α是２α的二倍角，因此可以考虑用
倍角公式．
　　“倍”是描述两个数
量之间关系的，２α是α的
二倍，４α 是２α 的二倍，
α２是α４的二倍，这里蕴含
着换元思想．
解：由π４＜α＜π２，得
π２＜２α＜π．
又
ｓｉｎ２α＝５１３，
所以
ｃｏｓ２α＝－
　１－（５１３）
槡
２＝－１２１３．
于是
ｓｉｎ４α＝ｓｉｎ［２×（２α）］　　
＝２ｓｉｎ２αｃｏｓ２α
＝２×５１３×（－１２１３）＝－１２０
１６９；
ｃｏｓ４α＝ｃｏｓ［２×（２α）］　　
＝１－２ｓｉｎ２２α
＝１－２×（５１３）
２＝１１９
１６９；
１２２
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第五章　三角函数
ｔａｎ４α＝ｓｉｎ４α
ｃｏｓ４α　　　
＝－１２０
１６９×１６９
１１９＝－１２０
１１９．
例６　在△犃犅犆中，ｃｏｓ犃＝４５，ｔａｎ犅＝２，求ｔａｎ（２犃＋２犅）的值．
解法１：在△犃犅犆中，
　　２犃＋２犅与犃，犅之
间能构成怎样的关系？
由ｃｏｓ犃＝４５，０＜犃＜π，得
ｓｉｎ犃＝　１－ｃｏｓ２
槡
犃＝
　１－（４５）
槡
２＝３５，
所以
ｔａｎ犃＝ｓｉｎ犃
ｃｏｓ犃＝３５×５４＝３４，
ｔａｎ２犃＝２ｔａｎ犃
１－ｔａｎ２犃＝２×３４
１－（３４）
２＝２４７．
又　ｔａｎ犅＝２，
所以
ｔａｎ２犅＝２ｔａｎ犅
１－ｔａｎ２犅＝２×２
１－２２＝－４３．
于是ｔａｎ（２犃＋２犅）＝ｔａｎ２犃＋ｔａｎ２犅
１－ｔａｎ２犃ｔａｎ２犅＝
２４７－４３
１－２４７×（－４３）＝４４
１１７．
解法２：在△犃犅犆中，
由ｃｏｓ犃＝４５，０＜犃＜π，得
ｓｉｎ犃＝　１－ｃｏｓ２
槡
犃＝
　１－（４５）
槡
２＝３５，
所以
ｔａｎ犃＝ｓｉｎ犃
ｃｏｓ犃＝３５×５４＝３４．
又ｔａｎ犅＝２，
所以
ｔａｎ（犃＋犅）＝ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅
１－ｔａｎ犃ｔａｎ犅＝
３４＋２
１－３４×２＝－１１２，
所以
２２２
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第五章　三角函数
ｔａｎ（２犃＋２犅）＝ｔａｎ［２（犃＋犅）］
＝２ｔａｎ（犃＋犅）
１－ｔａｎ２（犃＋犅）
＝２×（－１１２）
１－（－１１２）
２＝４４
１１７．
ጷ˸
１．已知ｃｏｓα８＝－４５，８π＜α＜１２π，求ｓｉｎα４，ｃｏｓα４，ｔａｎα４的值．
２．已知ｓｉｎ（α－π）＝３５，求ｃｏｓ２α的值．
３．已知ｓｉｎ２α＝－ｓｉｎα，α∈（π２，π），求ｔａｎα的值．
４．已知ｔａｎ２α＝１３，求ｔａｎα的值．
５．求下列各式的值：
（１）ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５°；　　　　　（２）ｃｏｓ２π８－ｓｉｎ２π８；
（３）ｔａｎ２２．５°
１－ｔａｎ２２２．５°；
（４）２ｃｏｓ２２２．５°－１．
３２２
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第五章　三角函数
η    ၹ
利用信息技术制作三角函数表
 ݽ
ፇ 
 
ա
ᣥКsin
1′
ᄊᤃͫ
ϙs0
ᣥѣs0
c0=  1-s0
2
c=  1-s
2
s=s0
c=c0
n=2
n=n+1
n   5 400?
s=s*c0+c*s0
ᣥѣs
前面在“对数的发明”中曾经谈到，纳皮尔利用
对数制作了０°～９０°每隔１′的八位三角函数表．应当
说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的
工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科
学献身的精神．今天，我们可以利用已经学会的三角
函数知识以及算法知识，借助信息技术，容易地制作
出非常精确的三角函数表．下面我们借助信息技术来
作一个０°～９０°每隔１′的八位三角函数表．
用计算工具可得：
ｓｉｎ１′＝２．９０８８８２０４６×１０－４
≈０．０００２９０８８８．
以此作为初始值，利用
ｃｏｓ１′＝　１－ｓｉｎ２１
槡
′；
α０＝１′，α狀＝α狀－１＋１′，狀≥１；
ｓｉｎα狀＝ｓｉｎ１′ｃｏｓα狀－１＋ｃｏｓ１′ｓｉｎα狀－１，
ｃｏｓα狀＝　１－ｓｉｎ２α
槡
狀，
就可以写出一个程序框图（如右图所示），然后通过
信息技术得到一个正弦函数的三角函数表．
请同学们根据上述思路，自己编写程序，得出一
个三角函数表．
４２２
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第五章　三角函数
５５２!
BC+($DEFG
学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，
从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富．
　　α与α２有什么关系？
例７　试以ｃｏｓα表示ｓｉｎ２α２，ｃｏｓ２α２，ｔａｎ２α２．
解：α是α２的二倍角．在倍角公式ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ２α
中，以α代替２α，以α２代替α，得
　　例７的结果还可以表
示为：
ｓｉｎα２＝± １－ｃｏｓα
２
槡
，
ｃｏｓα２＝± １＋ｃｏｓα
２
槡
，
ｔａｎα２＝± １－ｃｏｓα
１＋ｃｏｓα
槡
，
并称之为半角公式，符号
由α２所在象限决定．
ｃｏｓα＝１－２ｓｉｎ２α２，
所以
ｓｉｎ２α２＝１－ｃｏｓα
２．
①
在倍角公式ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１中，以α代替２α，以α２
代替α，得
ｃｏｓα＝２ｃｏｓ２α２－１，
所以
ｃｏｓ２α２＝１＋ｃｏｓα
２．
②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得
ｔａｎ２α２＝１－ｃｏｓα
１＋ｃｏｓα．
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以
及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包
含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．这是三角恒等变换的一个重要特点．
　　这两个式子的左右两
边在结构形式上有什么
不同？
例８　求证：
（１）ｓｉｎαｃｏｓβ＝１２［ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）］；
（２）ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ＝２ｓｉｎθ＋φ２ｃｏｓθ－φ２．
证明：（１）因为
ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ，　　　
ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ，　　　
将以上两式的左右两边分别相加，得
５２２
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第五章　三角函数
ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）＝２ｓｉｎαｃｏｓβ，
即
ｓｉｎαｃｏｓβ＝１２［ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）］．
（２）由（１）可得
ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）＝２ｓｉｎαｃｏｓβ．
①
　　如果不用（１）的结
果，如何证明？
设α＋β＝θ，α－β＝φ，
那么
α＝θ＋φ２，β＝θ－φ２．
把α，β的值代入①，即得
ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ＝２ｓｉｎθ＋φ２ｃｏｓθ－φ２．
例８的证明用到了换元的方法．如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的
三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者，把ｓｉｎαｃｏｓβ看作狓，ｃｏｓαｓｉｎβ看作狔，把
等式看作狓，狔的方程，则原问题转化为解方程（组）求狓．它们都体现了化归思想．
ጷ˸
１．求证：ｔａｎα２＝ｓｉｎα
１＋ｃｏｓα＝１－ｃｏｓα
ｓｉｎα ．
２．已知ｃｏｓθ＝１３，且２７０°＜θ＜３６０°，试求ｓｉｎθ２和ｃｏｓθ２的值．
３．已知等腰三角形的顶角的余弦等于７２５，求这个三角形的一个底角的正切．
４．求证：
（１）ｃｏｓαｓｉｎβ＝１２［ｓｉｎ（α＋β）－ｓｉｎ（α－β）］；
（２）ｃｏｓαｃｏｓβ＝１２［ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（α－β）］；
（３）ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１２［ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ（α－β）］．
５．求证：
（１）ｓｉｎθ－ｓｉｎφ＝２ｃｏｓθ＋φ２ｓｉｎθ－φ２；
（２）ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ＝２ｃｏｓθ＋φ２ｃｏｓθ－φ２；
（３）ｃｏｓθ－ｃｏｓφ＝－２ｓｉｎθ＋φ２ｓｉｎθ－φ２．
６２２
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第五章　三角函数
例９　求下列函数的周期，最大值和最小值：
（１）狔＝ｓｉｎ狓＋　槡３ｃｏｓ狓；　　　（２）狔＝３ｓｉｎ狓＋４ｃｏｓ狓．
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是狔＝犃ｓｉｎ（狓＋φ），利用和角公
式将其展开，可化为狔＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓的形式．反之，利用和（差）角公式，可将狔＝
犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓转化为狔＝犃ｓｉｎ（狓＋φ）的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
　　?你能说说这一步变
形的理由吗？
解：（１）狔＝ｓｉｎ狓＋　槡３ｃｏｓ狓
＝２（１２ｓｉｎ狓＋
　槡３２ｃｏｓ狓）?
＝２（ｓｉｎ狓ｃｏｓπ３＋ｃｏｓ狓ｓｉｎπ３）＝２ｓｉｎ（狓＋π３）．
因此，所求周期为２π，最大值为２，最小值为－２．
（２）设３ｓｉｎ狓＋４ｃｏｓ狓＝犃ｓｉｎ（狓＋φ），则
３ｓｉｎ狓＋４ｃｏｓ狓＝犃ｓｉｎ狓ｃｏｓφ＋犃ｃｏｓ狓ｓｉｎφ．
于是　
犃ｃｏｓφ＝３，犃ｓｉｎφ＝４，
于是
犃２ｃｏｓ２φ＋犃２ｓｉｎ２φ＝２５，
所以
犃２＝２５．
取犃＝５，则ｃｏｓφ＝３５，ｓｉｎφ＝４５．
由狔＝５ｓｉｎ（狓＋φ）可知，所求周期为２π，最大值为５，最小值为－５．
α
O
A
B P
C
D
　图５．５２
例１０　如图５．５２，已知犗犘犙是半径为１，圆心角为π３的扇形，
犆是扇形弧上的动点，犃犅犆犇是扇形的内接矩形．记∠犘犗犆＝α，求
当角α取何值时，矩形犃犅犆犇的面积最大？并求出这个最大面积．
分析：可先建立矩形犃犅犆犇的面积犛与α之间的函数关系犛＝
犳（α），再求函数犛＝犳（α）的最大值．
解：在Ｒｔ△犗犅犆中，犗犅＝ｃｏｓα，犅犆＝ｓｉｎα．
在Ｒｔ△犗犃犇中，犇犃
犗犃＝ｔａｎ６０°＝　槡３．
所以
犗犃＝
　槡３３犇犃＝
　槡３３犅犆＝
　槡３３ｓｉｎα，
犃犅＝犗犅－犗犃＝ｃｏｓα－
　槡３３ｓｉｎα．
设矩形犃犅犆犇的面积为犛，则
犛＝犃犅·犅犆　　　　　　　
＝（ｃｏｓα－
　槡３３ｓｉｎα）ｓｉｎα
７２２
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第五章　三角函数
＝ｓｉｎαｃｏｓα－
　槡３３ｓｉｎ２α
＝１２ｓｉｎ２α－
　槡３６（１－ｃｏｓ２α）
＝１２ｓｉｎ２α＋
　槡３６ｃｏｓ２α－
　槡３６
＝１
　槡３（
　槡３２ｓｉｎ２α＋１２ｃｏｓ２α）－
　槡３６
＝１
　槡３ｓｉｎ（２α＋π６）－
　槡３６．
由０＜α＜π３，得π６＜２α＋π６＜５π６，所以当２α＋π６＝π２，即α＝π６时，
犛最大＝１
　槡３－
　槡３６＝
　槡３６．
因此，当α＝π６时，矩形犃犅犆犇的面积最大，最大面积为
　槡３６．
由例９、例１０可以看到，通过三角恒等变换，我们把狔＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓转化为
狔＝犃ｓｉｎ（狓＋φ）的形式，这个过程中蕴含了化归思想．
ጷ˸
１．求下列函数的周期，最大值和最小值：
（１）狔＝５ｃｏｓ狓－１２ｓｉｎ狓；　　　　　（２）狔＝ｃｏｓ狓＋２ｓｉｎ狓．
２．要在半径为犚的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
３．已知正狀边形的边长为犪，内切圆的半径为狉，外接圆的半径为犚．求证犚＋狉＝犪
２ｔａｎπ２狀
．
ܭ˸ ڍ
习题５．５
１．已知ｓｉｎα＝２３，ｃｏｓβ＝－３４，α∈（π２，π），β∈（π，３π２），求ｃｏｓ（α－β）的值．
２．已知α，β都是锐角，ｃｏｓα＝１７，ｃｏｓ（α＋β）＝－１１１４，求ｃｏｓβ的值．（提示：β＝（α＋β）－α．）
３．已知ｓｉｎ（３０°＋α）＝３５，６０°＜α＜１５０°，求ｃｏｓα的值．
８２２
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第五章　三角函数
４．在△犃犅犆中，ｓｉｎ犃＝５１３，ｃｏｓ犅＝３５，求ｃｏｓ犆的值．
５．已知ｔａｎ（α＋β）＝３，ｔａｎ（α－β）＝５，求ｔａｎ２α，ｔａｎ２β的值．
６．化简：
（１）ｓｉｎ３４７°ｃｏｓ１４８°＋ｓｉｎ７７°ｃｏｓ５８°；　　　　（２）ｓｉｎ１６４°ｓｉｎ２２４°＋ｓｉｎ２５４°ｓｉｎ３１４°；
（３）ｓｉｎ（α＋β）ｃｏｓ（γ－β）－ｃｏｓ（β＋α）ｓｉｎ（β－γ）；（４）ｓｉｎ（α－β）ｓｉｎ（β－γ）－ｃｏｓ（α－β）ｃｏｓ（γ－β）；
（５）ｔａｎ５π４＋ｔａｎ５π１２
１－ｔａｎ５π１２
；
（６）ｓｉｎ（α＋β）－２ｓｉｎαｃｏｓβ
２ｓｉｎαｓｉｎβ＋ｃｏｓ（α＋β）．
７．已知ｓｉｎα＝０．８０，α∈（０，π２），求ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α的值（精确到０．０１）．
８．求证：
（１）（ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α）２＝１－ｓｉｎ４α；
（２）ｔａｎ（狓２＋π４）＋ｔａｎ（狓２－π４）＝２ｔａｎ狓；
（３）１＋ｓｉｎ２φ
ｃｏｓφ＋ｓｉｎφ＝ｃｏｓφ＋ｓｉｎφ；
（４）１－２ｓｉｎαｃｏｓα
ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α ＝１－ｔａｎα
１＋ｔａｎα；
（５）１－ｃｏｓ２θ
１＋ｃｏｓ２θ＝ｔａｎ２θ；
（６）１＋ｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θ
１＋ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｔａｎθ．
９．已知ｓｉｎ（α＋β）＝１２，ｓｉｎ（α－β）＝１３，求证：
（１）ｓｉｎαｃｏｓβ＝５ｃｏｓαｓｉｎβ；
（２）ｔａｎα＝５ｔａｎβ．
１０．已知１－ｔａｎθ
２＋ｔａｎθ＝１，求证ｔａｎ２θ＝－４ｔａｎ（θ＋π４）．
１１．已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于３５，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切．
１２．化简：
（１）３　槡１５ｓｉｎ狓＋３　槡５ｃｏｓ狓；
（２）３２ｃｏｓ狓－
　槡３２ｓｉｎ狓；
（３）　槡３ｓｉｎ狓２＋ｃｏｓ狓２；
（４）
　槡２４ｓｉｎ（π４－狓）＋
　槡６４ｃｏｓ（π４－狓）．
፬Ռᤂၹ
１３．在△犃犅犆中，已知ｔａｎ犃，ｔａｎ犅是狓的方程狓２＋狆（狓＋１）＋１＝０的两个实根，求∠犆．
１４．在△犃犅犆中，犅＝π４，犅犆边上的高等于１３犅犆，则ｃｏｓ犃＝（　　）．
（Ａ）３　槡１０
１０　　　　（Ｂ）
　槡１０
１０　　　　（Ｃ）－
　槡１０
１０　　　　（Ｄ）－３　槡１０
１０
１５．求证：
（１）３＋ｃｏｓ４α－４ｃｏｓ２α＝８ｓｉｎ４α；
（２）ｔａｎαｔａｎ２α
ｔａｎ２α－ｔａｎα＋　槡３（ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α）＝２ｓｉｎ（２α－π３）．
９２２
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第五章　三角函数
１６．是否存在锐角α，β，使α＋２β＝２π３，ｔａｎα２ｔａｎβ＝２－　槡３同时成立？若存在，求出α，β的度
数；若不存在，请说明理由．
１７．（１）求函数犳（狓）＝ｓｉｎ（π３＋４狓）＋ｓｉｎ（４狓－π６）的周期和单调递增区间；
（２）求函数犳（狓）＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓（犪２＋犫２≠０）的最大值和最小值．
   ጊ
１８．观察以下各等式：
ｓｉｎ２３０°＋ｃｏｓ２６０°＋ｓｉｎ３０°ｃｏｓ６０°＝３４，
ｓｉｎ２２０°＋ｃｏｓ２５０°＋ｓｉｎ２０°ｃｏｓ５０°＝３４，
ｓｉｎ２１５°＋ｃｏｓ２４５°＋ｓｉｎ１５°ｃｏｓ４５°＝３４．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
１９．你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
１２（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝ｓｉｎα＋β
２ｃｏｓα－β
２；
１２（ｃｏｓα＋ｃｏｓβ）＝ｃｏｓα＋β
２ｃｏｓα－β
２．
x
y
O
M
(         )
β α
2
1
(cos    ,sin   )
B
 cos   (         ),sin         
C
)
(         
2
1
2
1
β
α
β
α
(cos    ,sin      )
A
α
α
(
(
β
β
（第１９题）
２０．设犳（α）＝ｓｉｎ狓α＋ｃｏｓ狓α，狓∈｛狀｜狀＝２犽，犽∈犖＋｝．利用三角变换，估计犳（α）在狓＝２，４，６
时的取值情况，进而猜想狓取一般值时犳（α）的取值范围．
０３２
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第五章　三角函数
５６　函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）
我们知道，单位圆上的点，以（１，０）为起点，以单位
速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻
画．对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻
画呢？下面先看一个实际问题．
５６１!
"#$%&'()*+,
问题　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生
产中得到使用（图５．６１）．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工
作原理（图５．６２）．
图５．６１
图５．６２
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个
合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律．
 Ꮶ
与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
如图５．６３，将筒车抽象为一个几何图形，设经过狋ｓ后，盛水筒犕从点犘０运动到
点犘．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度犎，由以下量所决定：筒车
转轮的中心犗到水面的距离犺，筒车的半径狉，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置
犘０以及所经过的时间狋．
下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒犕运动的数学模型．
１３２
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第五章　三角函数
O
y
x
h
r
P
 ᭧
P0
图５．６３
如图５．６３，以犗为原点，以与水平面平行的直线为狓轴
建立直角坐标系．设狋＝０时，盛水筒犕位于点犘０，以犗狓为
始边，犗犘０为终边的角为φ，经过狋ｓ后运动到点犘（狓，狔）．
于是，以犗狓为始边，犗犘为终边的角为ω狋＋φ，并且有
狔＝狉ｓｉｎ（ω狋＋φ）．
①
所以，盛水筒犕距离水面的高度犎与时间狋的关系是
犎＝狉ｓｉｎ（ω狋＋φ）＋犺．
②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清
楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于犺是常量，我们可以只
研究函数①的性质．
５６２!
)*狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）+78
上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）（其中犃＞０，ω＞０）
的函数．显然，这个函数由参数犃，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知
道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．
 Ꮶ
从解析式看，函数狔＝ｓｉｎ狓就是函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）在犃＝１，ω＝１，φ＝０时
的特殊情形．
（１）能否借助我们熟悉的函数狔＝ｓｉｎ狓的图象与性质研究参数犃，ω，φ对函数
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）的影响？
（２）函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？
１探索φ对狔＝ｓｉｎ（狓＋φ）图象的影响
为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验．
如图５．６４，取犃＝１，ω＝１，动点犕在单位圆犗１上以单位角速度按逆时针方向
运动．
O
y
P
G
F
x
O1
0
1
x
x 6
π
6
π
y=sinx
y=sin(x+    )
6
π
图５．６４
如果动点犕以犙０为起点（此时φ＝０），经过狓ｓ后运动到点犘，那么点犘的纵坐标
２３２
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第五章　三角函数
狔就等于ｓｉｎ狓．以（狓，狔）为坐标描点，可得正弦函数狔＝ｓｉｎ狓的图象．
 ቃ
在单位圆上拖动起点犙０，使点犙０绕点犗１旋转π６到犙１，你发现图象有什么变化？
如果使点犙０绕点犗１旋转－π６，π３，－π３，或者旋转一个任意角φ呢？
当起点位于犙１时，φ＝π６，可得函数狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）的图象．
　　分别说一说旋转－π６，
π３，－π３时的情况．
进一步，在单位圆上，设两个动点分别以犙０，犙１为起
点同时开始运动．如果以犙０为起点的动点到达圆周上点犘
的时间为狓ｓ，那么以犙１为起点的动点相继到达点犘的时
间是（狓－π６）ｓ．这个规律反映在图象上就是：如果犉（狓，狔）
是函数狔＝ｓｉｎ狓图象上的一点，那么犌（狓－π６，狔）就是函
数狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）图象上的点，如图５．６４所示．这说明，把
正弦曲线狔＝ｓｉｎ狓上的所有点向左平移π６个单位长度，就
得到狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）的图象．
一般地，当动点犕的起点位置犙所对应的角为φ时，对应的函数是狔＝ｓｉｎ（狓＋φ）
（φ≠０），把正弦曲线上的所有点向左（当φ＞０时）或向右（当φ＜０时）平移｜φ｜个单位
长度，就得到函数狔＝ｓｉｎ（狓＋φ）的图象．
２探索ω（ω＞０）对狔＝ｓｉｎ（ω狓＋φ）图象的影响
下面，仍然通过数学实验来探索．如图５．６５，取圆的半径犃＝１．为了研究方便，不
妨令φ＝π６．当ω＝１时得到狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）的图象．
O
y
P
G
K
x
O1
x
2
x
y=sin 2x+    6
π
6
π
y=sin(
(
(
(
x+    6
π
1
图５．６５
３３２
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第五章　三角函数
 ቃ
取ω＝２，图象有什么变化？取ω＝１２呢？取ω＝３，ω＝１３，图象又有什么变化？
当ω取任意正数呢？
取ω＝２时，得到函数狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）的图象．
进一步，在单位圆上，设以犙１为起点的动点，当ω＝１时到达点犘的时间为狓１ｓ，
当ω＝２时到达点犘的时间为狓２ｓ．因为ω＝２时动点的转速是ω＝１时的２倍，所以狓２＝
１２狓１．这样，设犌（狓，狔）是函数狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）图象上的一点，那么犓（１２狓，狔）就是函数
狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）图象上的相应点，如图５．６５所示．这说明，把狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）的图象上
所有点的横坐标缩短到原来的１２倍（纵坐标不变），就得到狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）的图象．
狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）的周期为π，是狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）的周期的１２倍．
　　说一说ω＝３，ω＝１３
时的情况．
同理，当ω＝１２时，动点的转速是ω＝１时的１２倍，以犙１
为起点，到达点犘的时间是ω＝１时的２倍．这样，把
狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）图象上所有点的横坐标扩大到原来的２倍（纵
坐标不变），就得到狔＝ｓｉｎ（１２狓＋π６）的图象．狔＝ｓｉｎ（１２狓＋π６）
的周期为４π，是狔＝ｓｉｎ（狓＋π６）的周期的２倍．
一般地，函数狔＝ｓｉｎ（ω狓＋φ）的周期是２πω，把狔＝ｓｉｎ（狓＋φ）图象上所有点的横坐标缩
短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的１ω倍（纵坐标不变），就得到狔＝ｓｉｎ（ω狓＋φ）
的图象．
３探索犃（犃＞０）对狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）图象的影响
下面通过数学实验探索犃对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令ω＝２，φ＝π６．
当犃＝１时，如图５．６６，可得狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）的图象．
４３２
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第五章　三角函数
1
O
P
K
N
y
O1
2y
y=2sin(2x+    )
6
π
y=sin(2x+    )
6
π
T
T1
x
x
y
6
π
图５．６６
 ቃ
改变犃的取值，使犃取２，１２，３，１３等，你发现图象有什么变化？当犃取任意
正数呢？
当犃＝２时，得到函数狔＝２ｓｉｎ（２狓＋π６）的图象．
进一步，设射线犗１犙１与以犗１为圆心、２为半径的圆交于犜１．如果单位圆上以犙１为起
点的动点，以ω＝２的转速经过狓ｓ到达圆周上点犘，那么点犘的纵坐标是ｓｉｎ（２狓＋π６）；相
应地，点犜１在以犗１为圆心、２为半径的圆上运动到点犜，点犜的纵坐标是２ｓｉｎ（２狓＋π６）．
这样，设犓（狓，狔）是函数狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）图象上的一点，那么点犖（狓，２狔）就是函数
狔＝２ｓｉｎ（２狓＋π６）图象上的相应点，如图５．６６所示．这说明，把狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）图象上所
有点的纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变），就得到狔＝２ｓｉｎ（２狓＋π６）的图象．
　　说一说犃＝３，犃＝１３
时的情况．
同理，把狔＝ｓｉｎ（２狓＋π６）图象上所有点的纵坐标缩短
到原来的１２倍（横坐标不变），就得到狔＝１２ｓｉｎ（２狓＋π６）的
图象．一般地，函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）的图象，可以看作是把
狔＝ｓｉｎ（ω狓＋φ）图象上所有点的纵坐标伸长（当犃＞１时）
或缩短（当０＜犃＜１时）到原来的犃倍（横坐标不变）而
得到．从而，函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）的值域是［－犃，犃］，
最大值是犃，最小值是－犃．
５３２
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第五章　三角函数
 Ꮶ
你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）（犃＞０，
ω＞０）图象的过程与方法吗？
一般地，函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）（犃＞０，ω＞０）的图象，可以用下面的方法得到：先
画出函数狔＝ｓｉｎ狓的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移｜φ｜个单位长度，得到函数
狔＝ｓｉｎ（狓＋φ）的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的１ω倍（纵坐标不变），得到
函数狔＝ｓｉｎ（ω狓＋φ）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的犃倍（横坐标不变），
这时的曲线就是函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）的图象．
这一过程的步骤如下：
　　补全步骤２和３的函
数及图象．
 ᰡ
 ᰡ
 ᰡ
 ᰡ
   ጳ
y=Asin(ωx+ϕ)
O
y
x
O
y
x
y=
x
sin
６３２
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第五章　三角函数
从上述步骤可以清楚地看到，参数犃，ω，φ是如何对函数图象产生影响的．
例１　画出函数狔＝２ｓｉｎ（３狓－π６）的简图．
解：先画出函数狔＝ｓｉｎ狓的图象；再把正弦曲线向右平移π６个单位长度，得到函数
狔＝ｓｉｎ（狓－π６）的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的１３倍，得到函数狔＝
ｓｉｎ（３狓－π６）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的２倍，这时的曲线就是函数
狔＝２ｓｉｎ（３狓－π６）的图象，如图５．６７所示．
y
O
-1
1
2
3
4
5
6
x
1
2
-1
-2
y=sin x
y=2sin 3x-    6
π
(
(
图５．６７
x
18
π
y
O
1
2
-1
-2
9
2π
18
7π
9
5π
18
13π
y=2sin 3x-    6
π
(
(
图５．６８
下面用“五点法”画函数狔＝２ｓｉｎ（３狓－π６）在一个周期
（犜＝２π３）内的图象．
令犡＝３狓－π６，则狓＝１３（犡＋π６）．列表（表５．６１），
描点画图（图５．６８）．表５６１
犡
０
π２
π
３π２
２π
狓
π１８
２π９
７π１８
５π９
１３π
１８
狔
０
２
０
－２
０
７３２
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第五章　三角函数
　图５．６９
例２　摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客
坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景
色．如图５．６９，某摩天轮最高点距离地面高度为１２０ｍ，转
盘直径为１１０ｍ，设置有４８个座舱，开启后按逆时针方向匀
速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周
大约需要３０ｍｉｎ．
（１）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动狋ｍｉｎ后距离
地面的高度为犎ｍ，求在转动一周的过程中，犎关于狋的函
数解析式；
（２）求游客甲在开始转动５ｍｉｎ后距离地面的高度；
（３）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地
面的高度差犺（单位：ｍ）关于狋的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到０．１）．
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程
中，游客距离地面的高度犎呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．
y
x
O
P
A
B
图５．６１０
解：如图５．６１０，设座舱距离地面最近的位置为点犘，
以轴心犗为原点，与地面平行的直线为狓轴建立直角坐标系．
（１）设狋＝０ｍｉｎ时，游客甲位于点犘（０，－５５），以犗犘
为终边的角为－π２；根据摩天轮转一周大约需要３０ｍｉｎ，可知
座舱转动的角速度约为π１５ｒａｄ／ｍｉｎ，由题意可得
犎＝５５ｓｉｎ（π１５狋－π２）＋６５，０≤狋≤３０．
（２）当狋＝５时，
犎＝５５ｓｉｎ（π１５×５－π２）＋６５＝３７．５．
所以，游客甲在开始转动５ｍｉｎ后距离地面的高度约为３７．５ｍ．
（３）如图５．６１０，甲、乙两人的位置分别用点犃，犅表示，则∠犃犗犅＝２π４８＝π２４．经过
狋ｍｉｎ后甲距离地面的高度为犎１＝５５ｓｉｎ（π１５狋－π２）＋６５，点犅相对于点犃始终落后π２４ｒａｄ，此
时乙距离地面的高度为犎２＝５５ｓｉｎ（π１５狋－１３π
２４）＋６５．则甲、乙距离地面的高度差
犺＝犎１－犎２＝５５ｓｉｎ（π１５狋－π２）－ｓｉｎ（π１５狋－１３π
２４）＝５５ｓｉｎ（π１５狋－π２）＋ｓｉｎ（１３π
２４－π１５狋），
利用ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ＝２ｓｉｎθ＋φ２ｃｏｓθ－φ２，可得
犺＝１１０ｓｉｎπ４８ｓｉｎ（π１５狋－π４８），０≤狋≤３０．
８３２
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第五章　三角函数
当π１５狋－π４８＝π２（或３π２），即狋≈７．８（或２２．８）时，犺的最大值为１１０ｓｉｎπ４８≈７．２．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为７．２ｍ．
ጷ˸
１．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：
（１）狔＝１２ｓｉｎ狓；　　　　　　（２）狔＝ｓｉｎ３狓；
（３）狔＝ｓｉｎ（狓－π３）；
（４）狔＝２ｓｉｎ（２狓－π４）．
２．已知函数狔＝３ｓｉｎ（狓＋π５）的图象为犆．
（１）为了得到函数狔＝３ｓｉｎ（狓－π５）的图象，只要把犆上所有的点（　　）．
（Ａ）向右平行移动π５个单位长度
（Ｂ）向左平行移动π５个单位长度
（Ｃ）向右平行移动２π５个单位长度
（Ｄ）向左平行移动２π５个单位长度
（２）为了得到函数狔＝３ｓｉｎ（２狓＋π５）的图象，只要把犆上所有的点（　　）．
（Ａ）横坐标伸长到原来的２倍，纵坐标不变
（Ｂ）横坐标缩短到原来的１２倍，纵坐标不变
（Ｃ）纵坐标伸长到原来的２倍，横坐标不变
（Ｄ）纵坐标缩短到原来的１２倍，横坐标不变
（３）为了得到函数狔＝４ｓｉｎ（狓＋π５）的图象，只要把犆上所有的点（　　）．
（Ａ）横坐标伸长到原来的４３倍，纵坐标不变
（Ｂ）横坐标缩短到原来的３４倍，纵坐标不变
（Ｃ）纵坐标伸长到原来的４３倍，横坐标不变
（Ｄ）纵坐标缩短到原来的３４倍，横坐标不变
３．函数狔＝２３ｓｉｎ（１２狓－π４）的图象与正弦曲线有什么关系？
４．函数狔＝ｓｉｎ（狓＋π１２），狓∈［０，＋∞）的图象与正弦曲线有什么关系？
９３２
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第五章　三角函数
ܭ˸ ڍ
习题５．６
１．选择题
（１）为了得到函数狔＝ｃｏｓ（狓＋１３）的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　）．
（Ａ）向左平行移动π３个单位长度
（Ｂ）向右平行移动π３个单位长度
（Ｃ）向左平行移动１３个单位长度
（Ｄ）向右平行移动１３个单位长度
（２）为了得到函数狔＝ｃｏｓ狓５的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　）．
（Ａ）横坐标伸长到原来的５倍，纵坐标不变
（Ｂ）横坐标缩短到原来的１５倍，纵坐标不变
（Ｃ）纵坐标伸长到原来的５倍，横坐标不变
（Ｄ）纵坐标缩短到原来的１５倍，横坐标不变
（３）为了得到函数狔＝１４ｃｏｓ狓的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　）．
（Ａ）横坐标伸长到原来的４倍，纵坐标不变
（Ｂ）横坐标缩短到原来的１４倍，纵坐标不变
（Ｃ）纵坐标伸长到原来的４倍，横坐标不变
（Ｄ）纵坐标缩短到原来的１４倍，横坐标不变
２．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：
（１）狔＝４ｓｉｎ１２狓；　　　　　（２）狔＝１２ｃｏｓ３狓；
（３）狔＝３ｓｉｎ（２狓＋π６）；
（４）狔＝２ｃｏｓ（１２狓－π４）．
３．说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）：
（１）狔＝８ｓｉｎ（狓４－π８），狓∈［０，＋∞）；
（２）狔＝１３ｓｉｎ（３狓＋π７），狓∈［０，＋∞）．
０４２
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第五章　三角函数
፬Ռᤂၹ
12
5π
12
π
y
O
x
2
-2
（第４题）
４．函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）（犃＞０，０＜φ＜π）在一个周期内的图象
如图所示，此函数的解析式为
．
５．将函数狔＝３ｓｉｎ（２狓＋π４）的图象向左平移π３后得到函数狔＝
犵（狓）的图象，求狔＝犵（狓）的解析式．
６．某时钟的秒针端点犃到中心点犗的距离为５ｃｍ，秒针绕点犗
匀速旋转，当时间狋＝０时，点犃与钟面上标１２的点犅重合．
将犃，犅两点间的距离犱（单位：ｃｍ）表示成狋（单位：ｓ）
的函数，则犱＝
，狋∈［０，６０］．
７．如图，一个半径为３ｍ的筒车按逆时针方向每分转１．５圈，
筒车的轴心犗距离水面的高度为２．２ｍ．设筒车上的某个盛水
P
O
d
 
 ᭧
（第７题）
筒犘到水面的距离为犱（单位：ｍ）（在水面下则犱为负数），
若以盛水筒犘刚浮出水面时开始计算时间，则犱与时间狋
（单位：ｓ）之间的关系为
犱＝犃ｓｉｎ（ω狋＋φ）＋犓（犃＞０，ω＞０，－π２＜φ＜π２）．
（１）求犃，ω，φ，犓的值（φ精确到０．０００１）；
（２）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确
到０．０１ｓ）？
１４２
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第五章　三角函数
５７　三角函数的应用
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周
期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么
就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，
说明三角函数模型的简单应用．
问题１　某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动
的过程中，时间狋（单位：ｓ）与位移狔（单位：ｍｍ）之间
的对应数据如表５．７１所示．试根据这些数据确定这个振子
的位移关于时间的函数解析式．
表５７１
狋０．０００．０５０．１００．１５０．２００．２５０．３００．３５０．４００．４５０．５００．５５０．６０
狔－２０．０－１７．８－１０．１０．１１０．３１７．７２０．０１７．７１０．３０．１－１０．１－１７．８－２０．０
　　请你查阅资料，了解
振子的运动原理．
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学
原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数狔＝
犃ｓｉｎ（ω狋＋φ）来刻画．
根据已知数据作出散点图，如图５．７１所示．
t
y
O
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.25
0.35
0.45
0.55
0.65
-2
-18
-6
-10
-14
-22
2
22
6
10
14
18
图５．７１
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为２０ｍｍ，因此犃＝２０；振子振
动的周期为０．６ｓ，即２πω＝０．６，解得ω＝１０π３；再由初始状态（狋＝０）振子的位移为－２０，
可得ｓｉｎφ＝－１，因此φ＝!π２．所以振子位移关于时间的函数解析式为
２４２
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第五章　三角函数
狔＝２０ｓｉｎ（１０π３狋!π２），狋∈［０，＋∞）．
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴
弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物
体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ），狓∈［０，＋∞）
表示，其中犃＞０，ω＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析
式中的常数有关：
犃就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是犜＝２πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
这个简谐运动的频率由公式犳＝１犜＝ω２π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往
复运动的次数；
ω狓＋φ称为相位；狓＝０时的相位φ称为初相．
　　请你查阅资料，了解
交变电流的产生原理．
问题２　如图５．７２（１）所示的是某次实验测得的交变电流
犻（单位：Ａ）随时间狋（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象
放大，得到图５．７２（２）．
（１）求电流犻随时间狋变化的函数解析式；
（２）当狋＝０，１６００，１１５０，７６００，１６０时，求电流犻．
1 2 3 4 5 6
t
i
i
t
7 8 9 10 11121314
1
2
3
4
5
-3
-1
-2
-4
-5
0.01
2
3
4
5
1
0.02
0.03
0.04
O
-3
-1
-2
-4
-5
4.33
　　　　　　（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
图５．７２
　
由交变电流的产生原理可知，电流犻随时间狋的变化规律可用犻＝犃ｓｉｎ（ω狋＋φ）来刻
画，其中ω２π表示频率，犃表示振幅，φ表示初相．
３４２
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第五章　三角函数
由图５．７２（２）可知，电流最大值为５Ａ，因此犃＝５；电流变化的周期为１５０ｓ，频率
为５０Ｈｚ，即ω２π＝５０，解得ω＝１００π；再由初始状态（狋＝０）的电流约为４．３３Ａ，可得
ｓｉｎφ＝０．８６６，因此φ约为π３．所以电流犻随时间狋变化的函数解析式是
犻＝５ｓｉｎ（１００π狋＋π３），狋∈［０，＋∞）．
当狋＝０时，犻＝５　槡３２；
当狋＝１６００时，犻＝５；
当狋＝１１５０时，犻＝０；
当狋＝７６００时，犻＝－５；
当狋＝１６０时，犻＝０．
ጷ˸
１．如图所示的是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
（１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（２）写出这个简谐运动的函数解析式．
x/s
O
3
-3
y/cm
1.2
3.2
B
C
（第１题）
　　　
O
l
（第２题）
２．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏
在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为犾ｃｍ，沙
漏摆动时离开平衡位置的位移狊（单位：ｃｍ）与时间狋（单位：ｓ）的函数关系是
狊＝３ｃｏｓ（犵犾槡狋＋π３），狋∈［０，＋∞）．
（１）当犾＝２５时，求该沙漏的最大偏角（精确到０．０００１ｒａｄ）；
（２）已知犵＝９．８ｍ／ｓ２，要使沙漏摆动的周期是１ｓ，线的长度应当是多少（精确到０．１ｃｍ）？
４４２
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第五章　三角函数
３．一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频
率和电压的最大值，并求出电压犝（单位：Ｖ）关于时间狋（单位：ｓ）的函数解析式．
t
O
0.02
U
0.04
311
-311
（第３题）
匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模
型准确地描述它们的运动变化规律．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围
内呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述．
例１　如图５．７３，某地一天从６～１４时的温度变化曲线近似满足函数
O
6 8 10 12 14
10
20
30
Ć
y
x h
图５．７３
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）＋犫．
（１）求这一天６～１４时的最大温差；
（２）写出这段曲线的函数解析式．
解：（１）由图５．７３可知，这段时间的最大温差是２０℃．
（２）由图５．７３可以看出，从６～１４时的图象是函数
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）＋犫
①
的半个周期的图象，所以
犃＝１２（３０－１０）＝１０，犫＝１２（３０＋１０）＝２０．
因为１２×２πω＝１４－６，所以ω＝π８．
将犃＝１０，犫＝２０，ω＝π８，狓＝６，狔＝１０代入①式，可得φ＝３π４．
综上，所求解析式为
狔＝１０ｓｉｎ（π８狓＋３π４）＋２０，狓∈［６，１４］．
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特
别注意自变量的变化范围．
例２　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，
晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海
洋．表５．７２是某港口某天的时刻与水深关系的预报．
５４２
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第五章　三角函数
表５７２
时刻
水深／ｍ
时刻
水深／ｍ
时刻
水深／ｍ
０：００
５．０
９：１８
２．５
１８：３６
５．０
３：０６
７．５
１２：２４
５．０
２１：４２
２．５
６：１２
５．０
１５：３０
７．５
２４：００
４．０
（１）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的
近似数值（精确到０．００１ｍ）．
（２）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为４ｍ，安全条例规定至少要有
１．５ｍ的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
（３）某船的吃水深度为４ｍ，安全间隙为１．５ｍ，该船这一天在２：００开始卸货，吃
水深度以０．３ｍ／ｈ的速度减少，如果这条船停止卸货后需０．４ｈ才能驶到深水域，那么该
船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？
6
4
2
3.1
x
O
y
6.2
9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
图５．７４
分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变
化具有周期性．根据表５．７２中的数据画出散点图，如图
５．７４．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的
关系可以用形如狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）＋犺的函数来刻画，其中
狓是时间，狔是水深．根据数据可以确定犃，ω，φ，犺的值．
解：（１）以时间狓（单位：ｈ）为横坐标，水深狔（单
位：ｍ）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图５．７４）．
根据图象，可以考虑用函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）＋犺刻画水深与
时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：
犃＝２．５，犺＝５，犜＝１２．４，φ＝０；
由犜＝２πω＝１２．４，得ω＝５π３１．
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数狔＝２．５ｓｉｎ５π３１狓＋５近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表５．７３）：
表５７３
时刻０：００１：００２：００３：００４：００５：００６：００７：００８：００９：００１０：００１１：００
水深
／ｍ５．０００６．２１３７．１２２７．４９７７．２４５６．４２８５．２５３４．０１４３．０２３２．５２９２．６５６３．３７２
时刻１２：００１３：００１４：００１５：００１６：００１７：００１８：００１９：００２０：００２１：００２２：００２３：００
水深
／ｍ４．４９７５．７４８６．８１２７．４２０７．４２０６．８１２５．７４８４．４９７３．３７２２．６５６２．５２９３．０２３
（２）货船需要的安全水深为４＋１．５＝５．５ｍ，所以当狔≥５．５时就可以进港．令
６４２
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第五章　三角函数
　　科学计算器上，有
ｓｉｎ－１、ｃｏｓ－１、ｔａｎ－１三个
键，在已知一个三角函数
值时，可以利用它们，求
出对应的角．
２．５ｓｉｎ５π３１狓＋５＝５．５，
ｓｉｎ５π３１狓＝０．２．
由计算器可得
０．２０１３５７９２０８≈０．２０１４．
如图５．７５，在区间［０，１２］内，函数狔＝２．５ｓｉｎ５π３１狓＋５的图象与直线狔＝５．５有两个
交点犃，犅，因此
５π３１狓≈０．２０１４，或π－５π３１狓≈０．２０１４．
2
4
6
8
A
B
5
10
15
x
O
y
C
D
y=5.5
y=2.5sin       x+5
31
π
5
图５．７５
解得
O
P
y
x
2
4
6
8
10
2
4
6
8
y=5.5-0.3(x-2)
y=2.5sin       x+5
31
π
5
　图５．７６
　　狓犃≈０．３９７５，狓犅≈５．８０２５．
由函数的周期性易得：
狓犆≈１２．４＋０．３９７５＝１２．７９７５，
狓犇≈１２．４＋５．８０２５＝１８．２０２５．
因此，货船可以在零时３０分左右进港，早晨５
时４５分左右出港；或在下午１３时左右进港，下午１８
时左右出港．每次可以在港口停留５小时左右．
（３）设在狓ｈ时货船的安全水深为狔ｍ，那么
狔＝５．５－０．３（狓－２）（狓≥２）．在同一直角坐标系内画
出这两个函数的图象，可以看到在６～８时之间两个
函数图象有一个交点（图５．７６）．
借助计算工具，用二分法可以求得点犘的坐标约
为（７．０１６，３．９９５），因此为了安全，货船最好在６．６
时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
７４２
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第五章　三角函数
 Ꮶ
如图５．７６，设犘（狓０，狔０），有人认为，由于犘点是两个图象的交点，说明在
狓０时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水
域就可以了．你认为对吗？
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在
刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后
进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
ጷ˸
１．下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过１２周期后，乙点的位置将移至何处？
˳
y
v
ႁ
ˉ
ʸ
 
4
O
x
-4
（第１题）
２．自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人
体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为２３天、２８天、３３天．
每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就
是说１１．５天、１４天、１６．５天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界日的前半期为
高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己
的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什
么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力．
８４２
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第五章　三角函数
፬Ռᤂၹ
习题５．７
１．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮
度周期性的变化．如图所示为一造父变星的亮度随时间的周期变化图．此变星的亮度变化的周
期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？
᜽ ኎
4.5
4.0
3.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
（第１题）
h=0
h   0
h   0
（第２题）
２．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在狋ｓ时相对于平衡位置的高度犺（单
位：ｃｍ）由关系式犺＝２ｓｉｎ（狋＋π４）确定．以狋为横坐标，犺为纵坐标，画出
这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：
（１）小球在开始振动（即狋＝０）时的位置在哪里？
（２）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（３）经过多少时间小球往复运动一次？
（４）每秒钟小球能往复振动多少次？
   ጊ
３．北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资
料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间．
（１）在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到
函数模型；
（２）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？
４．夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业
单位拉闸限电，而到了零时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变
化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同
时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请调查你们地区每天的用电情况，
制定一项“消峰平谷”的电价方案．
９４２
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第五章　三角函数
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
振幅、周期、频率、相位
人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为２４小时的生理
运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化；小于２４小时的叫短周期运动，
如心跳、脉搏每分５０～７０次、呼吸每分１６～２４次；大于２４小时的叫长周期运
动，如人的情绪、体力、智力等．
声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．
每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数狔＝犃ｓｉｎω狋．音有四要素：
音调、响度、音长和音色．这都与正弦函数的参数有关．响度与振幅有关，即与
声波的能量有关，振幅越大，响度越大．音长也与振幅有关，声音消失过程是由
于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也
逐渐减小．音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖
利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．
复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为犳的基音的同时，其各部分，
如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率
的倍数，如２犳，３犳，４犳等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听
出来．所以我们听到的声音的函数是狔＝ｓｉｎ狓＋１２ｓｉｎ２狓＋１３ｓｉｎ３狓＋１４ｓｉｎ４狓＋…．
O
x
y
2
2
4
6
8
10
-2
-2
y=sin x
y=     sin 2x
2
1
y=     sin 3x
3
1
y=sin x+    sin 2x+    sin 3x 
2
1
3
1
音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音
调可以相同，但音色不同，人们由此分辨出不同的声音．
周期函数产生了美妙的音乐！
０５２
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第五章　三角函数
 ፇ
Q5 0RSTUV͊
 ᝈˁ
  ҄
 
ӭͯ
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Ѧ ᄊ۳
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 ܸ
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Н 
 
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͸
 
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 ֗
 
ᝈ
Н
 
φ
ᝈ
Н
 ͊
 ᝈᄊ
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ʼᝈѦ 
ᄊڏ៶֗
 ᠏
እӭᄊʼ
ᝈ ኎ԫ
 
Ѧ 
ʼᝈѦ 
 یᄊእ
ӭ ၹ
yAsin    x    
ω 
(
(
W5 XY<Z[
现实世界中存在着大量周期现象，任意角的三角函数就是刻画这种现象的
基本而有效的数学模型．
为了建立三角函数概念，本章我们先把角的范围推广到任意角，并引进弧
度制；然后借助单位圆建立了一般三角函数的概念．接着，利用单位圆的性质
（主要是对称性），用几何直观和代数运算的方法研究了三角函数的周期性、对
称性、单调性和最大（小）值等性质．和（差）角公式、倍角公式等反映了三
角函数之间的内在联系，也是圆的几何性质的代数表示，我们借助单位圆，通
过代数运算对这些关系进行了研究．最后，利用三角函数的概念和性质，建立
了具有广泛应用价值的函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ），并用它解决了许多实际问题．
根据第三章给出的概念，函数是两个实数集之间的对应．这样，我们不仅
可以对各种函数进行加、减、乘、除等运算，还可以在自变量与函数值之间进
行运算，从而使函数具有更广泛的应用．弧度制的本质是用长度单位来度量角
的大小，统一了三角函数自变量和函数值的单位，从而使三角函数成为从实数
集到实数集之间的对应．如果只用角度制，那么将导致自变量是６０进位的角度、
函数值是１０进位的实数，例如６０°＋ｓｉｎ６０°之类的运算将失去意义．所以，弧度
制的引入对建立任意角的三角函数概念是至关重要的．在本章中已经看到，三
角函数可以刻画振动、波动等大量周期现象，它们的自变量不是角度，而是时
间、距离等其他量，这也说明了引入弧度制的必要性．在今后的学习中，我们
还会不断体验到引入弧度制对拓展三角函数应用范围的必要性．
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能
１５２
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第五章　三角函数
够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应
关系，从而建立正弦函数、余弦函数．因此，正弦函数、余弦函数的性质与圆
的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系．例如，和单位圆相
关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为
２π与正弦函数、余弦函数的周期为２π是一致的；圆的各种对称性与三角函数
的奇偶性、诱导公式等也是一致的；等等．因此，在研究三角函数时，单位圆
的作用非常重要．
周期性是三角函数最重要的性质，利用周期性，我们只要研究清楚三角函
数在一个最小正周期内的性质即可；除了奇偶性外，三角函数还有非常丰富的
对称性，诱导公式就是三角函数对称性的体现．利用周期性、奇偶性和诱导公
式等可以发现，狓轴上的点（犽π，０）（犽∈犣）都是正弦函数狔＝ｓｉｎ狓的对称中
心，而直线狓＝犽π＋π２（犽∈犣）则都是正弦函数狔＝ｓｉｎ狓的对称轴．对于余弦函
数、正切函数可以得到类似的结论．
本章出现了大量三角公式，这些公式具有紧密的联系．其中，和（差）角
公式具有一般意义，诱导公式、倍角公式等都可以看作它的特例．学习时要充
分利用这种联系性，避免对公式的死记硬背．
三角函数是一类特殊的周期函数，在研究三角函数时，既可以联系物理、
生物、自然界中的周期现象（运动），也可以从已学过的指数函数、对数函数、
幂函数等得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系．这种关系可以用以下
框图表示：
  Ѧ 
  Ѧ 
 
Ѧ
 ͊
 ᝈʼᝈѦ ᩩ
ᝈʼᝈѦ 
ᝍᄰᝈʼᝈ 
և Ѧ 
ዝ 
ᐏጇ
ᐏጇྲ
 ӑ
  
ྭ
ေnjၷྭ
njᒭཀྵႍ
˗ᄊև ဘ៶὆ᤂү὇
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
１．从本章的学习中可以看到，弧度制的引入为三角函数的研究奠定了基础．
你能概括一下引入弧度制的必要性吗？
２５２
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第五章　三角函数
２．回顾三角函数的定义方法，说说它与幂函数、指数函数的定义方法的共
性和差异性．
３．单位圆在三角函数的研究中有非常重要的作用．你能借助单位圆，自己
归纳一下研究三角函数的图象与性质的过程与方法吗？
４．两角差的余弦公式Ｃ（α－β）不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成是
诱导公式的一般化．你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过
程中用到了哪些数学思想方法？
５．函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）在刻画周期现象时有着非常重要的作用，其中参
数ω，φ，犃都有相应的实际意义．你能借助匀速圆周运动或其他周期现象（如
简谐振动、单摆等），说明这些参数的意义，以及它们的变化对函数图象的影
响吗？
６．你能针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，并利用
这些数据为这种周期现象建立一个函数模型吗？
ܭ˸ ڍ
复习参考题５
１．写出与下列各角终边相同的角的集合犛，并且把犛中适合不等式－２π≤β＜４π的元素β写
出来：
（１）π４；　　　　（２）－２３π；　　　　（３）１２５π；　　　　（４）０．
２．一个扇形的弧长与面积的数值都是５，求这个扇形中心角的度数（精确到１°）．
３．（１）已知ｃｏｓφ＝１４，求ｓｉｎφ，ｔａｎφ．
（２）已知ｓｉｎ狓＝２ｃｏｓ狓，求角狓的三个三角函数值．
４．已知ｔａｎα＝－１３，计算：
（１）ｓｉｎα＋２ｃｏｓα
５ｃｏｓα－ｓｉｎα；
（２）
１
２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ２α；
（３）ｓｉｎαｃｏｓα；
（４）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２．
５．计算（可用计算工具，第（２）（３）题精确到０．０００１）：
（１）ｓｉｎ２５６π＋ｃｏｓ２５３π＋ｔａｎ（－２５４π）；（２）ｓｉｎ２＋ｃｏｓ３＋ｔａｎ４；
（３）ｃｏｓ（ｓｉｎ２）．
３５２
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第五章　三角函数
６．设π＜狓＜２π，填表：
狓
７π６
７π４
ｓｉｎ狓
－１
ｃｏｓ狓
－
　槡２２
　槡３２
ｔａｎ狓
　槡３
７．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的狓的集合：
（１）狔＝　槡２＋ｓｉｎ狓
π ；　　　　　　（２）狔＝３－２ｃｏｓ狓．
８．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚的图
象经过怎样的变换得到：
（１）狔＝１２ｓｉｎ（３狓－π３）；
（２）狔＝－２ｓｉｎ（狓＋π４）；
（３）狔＝１－ｓｉｎ（２狓－π５）；
（４）狔＝３ｓｉｎ（π６－狓３）．
９．（１）用描点法画出函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈０，π２
［］的图象．
（２）如何根据第（１）小题并运用正弦函数的性质，得到函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象？
（３）如何根据第（２）小题并通过平行移动坐标轴，得到函数狔＝ｓｉｎ（狓＋φ）＋犽，狓∈［０，２π］
（φ，犽都是常数）的图象？
１０．不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它们的图象：
（１）狔＝ｓｉｎ（５狓＋π６）；
（２）狔＝２ｓｉｎ１６狓．
１１．（１）已知α，β都是锐角，ｓｉｎα＝４５，ｃｏｓ（α＋β）＝５１３，求ｓｉｎβ的值；
（２）已知ｃｏｓ（π４－α）＝３５，ｓｉｎ（５π４＋β）＝－１２１３，α∈（π４，３π４），β∈（０，π４），求ｓｉｎ（α＋β）
的值；
（３）已知α，β都是锐角，ｔａｎα＝１７，ｓｉｎβ＝
　槡１０
１０，求ｔａｎ（α＋２β）的值．
１２．（１）证明ｔａｎα＋ｔａｎβ＝ｔａｎ（α＋β）－ｔａｎαｔａｎβｔａｎ（α＋β）；
（２）求ｔａｎ２０°＋ｔａｎ４０°＋　槡３ｔａｎ２０°ｔａｎ４０°的值；
（３）若α＋β＝３π４，求（１－ｔａｎα）（１－ｔａｎβ）的值；
（４）求ｔａｎ２０°＋ｔａｎ４０°＋ｔａｎ１２０°
ｔａｎ２０°ｔａｎ４０°
的值．
１３．化简：
（１）１
ｓｉｎ１０°－
　槡３
ｃｏｓ１０°；
（２）ｓｉｎ４０°（ｔａｎ１０°－　槡３）；
４５２
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第五章　三角函数
（３）ｔａｎ７０°ｃｏｓ１０°（　槡３ｔａｎ２０°－１）；　　　（４）ｓｉｎ５０°（１＋　槡３ｔａｎ１０°）．
１４．（１）已知ｃｏｓθ＝－３５，π＜θ＜３π２，求（ｓｉｎθ２－ｃｏｓθ２）
２的值；
（２）已知ｓｉｎα２－ｃｏｓα２＝１５，求ｓｉｎα的值；
（３）已知ｓｉｎ４θ＋ｃｏｓ４θ＝５９，求ｓｉｎ２θ的值；
（４）已知ｃｏｓ２θ＝３５，求ｓｉｎ４θ＋ｃｏｓ４θ的值．
１５．（１）已知ｃｏｓ（α＋β）＝１５，ｃｏｓ（α－β）＝３５，求ｔａｎαｔａｎβ的值；
（２）已知ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝１２，ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝１３，求ｃｏｓ（α－β）的值．
፬Ռᤂၹ
１６．证明：
（１）ｃｏｓ４α＋４ｃｏｓ２α＋３＝８ｃｏｓ４α；　　　　　　（２）１＋ｓｉｎ２α
２ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝１２ｔａｎα＋１２；
（３）ｓｉｎ（２α＋β）
ｓｉｎα －２ｃｏｓ（α＋β）＝ｓｉｎβ
ｓｉｎα；
（４）３－４ｃｏｓ２犃＋ｃｏｓ４犃
３＋４ｃｏｓ２犃＋ｃｏｓ４犃＝ｔａｎ４犃．
１７．已知ｓｉｎα－ｃｏｓα＝１５，０≤α≤π，求ｓｉｎ（２α－π４）的值．
１８．已知ｃｏｓ（π４＋狓）＝３５，１７π
１２＜狓＜７π４，求ｓｉｎ２狓＋２ｓｉｎ２狓
１－ｔａｎ狓的值．
１９．已知ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝２ｓｉｎα，ｓｉｎθｃｏｓθ＝ｓｉｎ２β，求证４ｃｏｓ２２α＝ｃｏｓ２２β．
２０．已知函数犳（狓）＝ｃｏｓ４狓－２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－ｓｉｎ４狓，
（１）求犳（狓）的最小正周期；
（２）当狓∈０，π２
［］时，求犳（狓）的最小值以及取得最小值时狓的集合．
２１．已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋π６）＋ｓｉｎ（狓－π６）＋ｃｏｓ狓＋犪的最大值为１，
（１）求常数犪的值；
（２）求函数犳（狓）的单调递减区间；
（３）求使犳（狓）≥０成立的狓的取值集合．
A
B
C
D
P
（第２３题）
２２．已知函数犳（狓）＝　槡３ｓｉｎ２狓＋２ｃｏｓ２狓＋犿在区间０，π２
［］上的最大值
为６，
（１）求常数犿的值；
（２）当狓∈犚时，求函数犳（狓）的最小值，以及相应狓的集合．
２３．如图，正方形犃犅犆犇的边长为１，犘，犙分别为边犃犅，犇犃上的点．
当△犃犘犙的周长为２时，求∠犘犆犙的大小．
５５２
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第五章　三角函数
   ጊ
２４．已知ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝１５，β∈（０，π），
（１）求ｔａｎβ的值；
（２）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？
２５．如图，已知直线犾１∥犾２，犃是犾１，犾２之间的一定点，并且点犃到犾１，犾２的距离分别为犺１，犺２．
犅是直线犾２上一动点，作犃犆⊥犃犅，且使犃犆与直线犾１交于点犆．设∠犃犅犇＝α．
A
B
E
C
D
h1
h2
l1
l2
α
（第２５题）
（１）写出△犃犅犆面积犛关于角α的函数解析式犛（α）；
（２）画出上述函数的图象；
（３）由（２）中的图象求犛（α）的最小值．
２６．英国数学家泰勒发现了如下公式：
ｓｉｎ狓＝狓－狓３
３！＋狓５
５！－狓７
７！＋… ，
ｃｏｓ狓＝１－狓２
２！＋狓４
４！－狓６
６！＋…，
其中狀！＝１×２×３×４×…×狀．
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用
前三项计算ｃｏｓ０．３，就得到ｃｏｓ０．３≈１－０．３２
２！＋０．３４
４！＝０．９５５３３７５．
试用你的计算工具计算ｃｏｓ０．３，并与上述结果比较．ܺ
᫺А
θ
δ
ϕ
ϕ δ
（第２７题）
　　
２７．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不
断变化．
（１）如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时
太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个
量满足θ＝９０°－｜φ－δ｜．
某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直
射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续４００
天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正
值，太阳直射南半球时取负值）．下面是该科技小组的
三处观测站成员在春分后第４５天测得的当地太阳高度
角数据：
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第五章　三角函数
观测站
Ａ
Ｂ
Ｃ
观测站所在纬度φ／度
４０．００００
２３．４３９３
０．００００
观测站正午太阳高度角θ／度
６６．３８７０
８２．９４６４
７３．６１４１
太阳直射点的纬度δ／度
太阳直射点的纬度平均值／度
　　请根据数据完成上面的表格（计算结果精确到０．０００１）；
（２）设第狓天时太阳直射点的纬度平均值为狔．该科技小组通过对数据的整理和分析，推断狔
与狓近似满足函数狔＝犃ｓｉｎ狑狓，其中犃为北回归线的纬度值，约为２３．４３９２９１１，试利
用（１）中的数据，估计狑的值（精确到１０－８）；
（３）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精
确到０．０００１）；
（４）利用（３）的结果，估计每４００年中，应设定多少个闰年，可使这４００年与４００个回归年
所含的天数最为接近（精确到１）．
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部分中英文词汇索引
ᦊѬ˗ᔮ ឈ ጊ 
中文
英文
页码
元素
ｅｌｅｍｅｎｔ
２
集合
ｓｅｔ
２
属于
ｂｅｌｏｎｇｔｏ
２
不属于
ｎｏｔｂｅｌｏｎｇｔｏ
２
子集
ｓｕｂｓｅｔ
７
真子集
ｐｒｏｐｅｒｓｕｂｓｅｔ
８
空集
ｅｍｐｔｙｓｅｔ
８
并集
ｕｎｉｏｎｓｅｔ
１０
交集
ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓｅｔ
１１
全集
ｕｎｉｖｅｒｓｅｓｅｔ
１２
补集
ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｓｅｔ
１３
充分条件
ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
１７
必要条件
ｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
１７
充要条件
ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
２１
全称量词
ｕｎｉｖｅｒｓａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ
２４
全称量词命题
ｕｎｉｖｅｒｓａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ
２４
存在量词
ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ
２５
存在量词命题
ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ
２５
基本不等式
ｂａｓｉｃｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ
４４
一元二次不等式
ｑｕａｄｒｉｃｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ
５０
函数
ｆｕｎｃｔｉｏｎ
６２
定义域
ｄｏｍａｉｎ
６２
值域
ｒａｎｇｅ
６２
增函数
ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ
７７
减函数
ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ
７７
最大值
ｍａｘｉｍｕｍｖａｌｕｅ
８０
最小值
ｍｉｎｉｍｕｍｖａｌｕｅ
８０
８５２
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部分中英文词汇索引
续表
中文
英文
页码
偶函数
ｅｖｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ
８３
奇函数
ｏｄｄｆｕｎｃｔｉｏｎ
８４
幂函数
ｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎ
８９
根式
ｒａｄｉｃａｌ
１０４
指数函数
ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ
１１３
对数
ｌｏｇａｒｉｔｈｍ
１２２
常用对数
ｃｏｍｍｏｎｌｏｇａｒｉｔｈｍ
１２２
自然对数
ｎａｔｕｒａｌｌｏｇａｒｉｔｈｍ
１２２
对数函数
ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ
１３０
反函数
ｉｎｖｅｒｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ
１３４
零点
ｚｅｒｏｐｏｉｎｔ
１４２
二分法
ｂｉｓｅｃｔｉｏｎ
１４５
任意角
ａｎｙａｎｇｌｅ
１６９
弧度
ｒａｄｉａｎ
１７２
正弦函数
ｓｉｎｅｆｕｎｃｔｉｏｎ
１７８
余弦函数
ｃｏｓｉｎｅｆｕｎｃｔｉｏｎ
１７８
正切函数
ｔａｎｇｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ
１７８
三角函数
ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ
１７８
诱导公式
ｉｎｄｕｃｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａ
１９２
正弦曲线
ｓｉｎｅｃｕｒｖｅ
１９７
余弦曲线
ｃｏｓｉｎｅｃｕｒｖｅ
１９９
周期函数
ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ
２０１
周期
ｐｅｒｉｏｄ
２０１
最小正周期
ｍｉｎｉｍａｌｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｒｉｏｄ
２０１
正切曲线
ｔａｎｇｅｎｔｃｕｒｖｅ
２１１
９５２
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后  记
本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教
育部《普通高中数学课程标准（2017 年版）》编写的，经国家教材委员会2019 年审查通过. 
本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了
2004 年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A 版）》的编写经验，凝聚了参与课改
实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧
专家的集体智慧. 本册教科书的编写者还有李世杰、汪晓勤、金克勤等；本书封面设计为
王俊宏、吕旻，插图绘制为王俊宏，为本书提供照片的有东方IC 图片网（第1，36，59，
167 页各一张图）、视觉中国图片网（封面图，第57，60 页各一张图）等.
我们感谢2004 年版《普通高中课程标准实验教科书· 数学（A 版）》的主编刘绍学，
副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员. 我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教
等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友. 
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作
者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作
者与我们联系，以便及时支付稿酬. 
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见. 我
们将集思广益，不断修订，使教科书趋于完善.
联系方式
电话：010-58758866
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
2019 年4 月
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