基本函数 --- 高中数学知识点笔记
1. 函数解析式：
)
(
)
(
x
f
y
b
kx
f
y
2. 函数的定义域：指x，图像在x 轴上的影子
有3 种情况：分母0，平方根内0，对数真数>0
解法：先列不等式组，解交集
3. 函数的值域：指y，图像在y 轴上的影子
解法：利用函数单调性；图像法；均值不等式法
4. 函数单调性
单调递增：函数在区间上，图像由左向右上升，x 变大，y 变大;x 变小，y 变小;即同向变化
单调递减：函数在区间上，图像由左向右下降，x 变大，y 变小;x 变小，y 变大;即反向变化
会由图像求单调区间；单调区间有多个时，用逗号分隔
5. 比较大小的方法
利用函数的单调性
6. 函数求值；分段函数问题
注意x 的取值范围；不同题型的解法
7. 函数图像：会画图像
利用函数图像，求定义域、值域、单调区间
8. 二次函数：
0
,
2
a
c
bx
ax
y
图像：开口方向，对称轴，顶点坐标，韦达定理，单调区间，值域
9. 一次函数：
b
kx
y
会画图像：会求单调区间、定义域、值域
10. 反比例函数:
x
k
y
会画图像：会求单调区间、定义域、值域
11. 对勾函数:
0
,
k
x
k
x
y
会画图像，会求单调区间、定义域、值域
12. 函数零点
方程
0
)
(
x
f
y
的根；图像与x 轴的交点；求法：正负值之间必有零点
13. 指数
指数与根式的互化，指数为负数时的含义，指数运算公式
14. 指数函数
时，单调递减；
时，单调递增；当
；当
1
0
1
0
,
,1
,0
,
)
(
a
a
y
R
x
a
a
a
x
f
x
会画图像，会判断单调性、定义域、值域
15. 对数
对数和指数的互化，对数的求值
运算公式：
,
log
log
log
,
log
log
log
y
x
y
x
xy
y
x
a
a
a
a
a
a
x
a
x
m
x
x
a
m
a
a
log
,
log
log
16. 对数函数
时，单调递减；
时，单调递增；当
；当
1
0
1
,0
,1
,0
,
log
)
(
a
a
R
y
x
a
a
x
x
f
a
会画图像，会判断单调性、定义域、值域
集合 --- 高中数学知识点笔记
1. 集合和元素
用描述法表示集合，集合表示的含义，元素的分类，元素的特征
表示常用集合的符号，集合与元素的关系，符号表示
2. 集合之间的关系
包含和包含于，子集和真子集，子集的个数，符号表示
3. 集合的3 种运算
集合的交集、并集、补集运算，符号表示
命题、充要条件、逻辑 --- 高中数学知识点笔记
1. 命题
4 种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题；判断命题的真假
命题的否定，全称量词，特称量词， 符号表示；4 种命题形式之间的真假关系
2. 充分、必要条件
若
Q
P
,则P 是Q 的充分条件；若
Q
P
,则P 是Q 的必要条件；
3. 逻辑连接词：且、或、非
命题的且、或、非运算。符号表示
且运算：有假则假，全真为真；或运算：有真则真，全假则假；非运算：真假互变
导数 --- 高中数学知识点笔记
1. 导数的定义和几何意义
函数在某点的瞬时变化率，即函数图像上该点的切线斜率
2. 求导公式
a
x
x
a
a
a
x
x
e
e
ax
x
a
a
x
x
x
x
a
a
ln
1
)
(log
,
ln
)
(,
1
)
(ln
,
)
(,
)
(,0
)
(
1
3. 求导法则
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
)
(
(
),
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
2 x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
4. 函数
处的切线方程
在点
))
(
,
(
)
(
0
0
x
f
x
P
x
f
y
)
)(
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
5. 函数求导
6. 函数导数与单调性的关系
上，单调递增
在
上，
在
)
(
0
)
(
)
(
0
x
f
y
x
f
x
f
y
上，单调递减
在
上，
在
)
(
0
)
(
)
(
0
x
f
y
x
f
x
f
y
极大值，极小值，最大值，最小值
7. 求函数的单调区间
求导，通分，分解因式，写出定义域，令导数为零解出方程的根，
列三行表格，分割定义域，判断导数在各个区间的正负号，判读单调性，计算极值，回答问题
注意：单调区间有多个时，用逗号分隔
8. 求函数极值
0
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
y
x
的极值点
是函数
如
，反之不成立
求函数极值的过程，同“求函数的单调区间”
9. 求函数最值
求函数最值的过程，同“求函数的单调区间”，不过要考虑闭区间2 个端点的函数值，并比较大小，
找出最大和最小值
10. 导数常见题型
(1) 若函数在区间上无极值，则函数在区间上是单调的
(2) 若函数在区间上存在极值，则函数在区间上导数有正有负
(3) 若函数在区间上是单调的，则在区间上
0
)
(
x
f
恒成立，或在区间上
0
)
(
x
f
恒成立
(4) 若函数在区间上是单调递增的，则在区间上
0
)
(
x
f
恒成立
(5) 若函数在区间上是单调递减的，则在区间上
0
)
(
x
f
恒成立
(6) 若函数在区间上
a
x
f
)
(
恒成立，则在区间上
a
x
f
)
(
min
最小值
成立
(7) 若函数在区间上
a
x
f
)
(
恒成立，则在区间上
a
x
f
)
(
max
最大值
成立
解析几何（直线、圆） --- 高中数学知识点笔记
1. 直线的基本知识
(1) 直线倾斜角的取值范围
)
,0
[
(2) 直线斜率K 与倾斜角
2
,
tan
k
的关系：
特别注意：竖直线线的斜率K 不存在
2
,
tan
k
的关系：
2. 直线方程
一般式：
0
c
by
ax
斜截式：
b
kx
y
点斜式：
)
(
0
0
x
x
k
y
y
；其它几个直线形式省略
再次强调：求直线方程时，一定要注意斜率是否存在
3. 直线的单调性
若斜率K > 0,则直线单调递增；若斜率K < 0,则直线单调递减
4. 直线的图像
令x=0，求出y； 令y=0，求出x。标出这2 点（0, y), (x, 0),即可画出直线图像
5. 圆的标准方程
0
),
,
(
)
(
)
(
2
2
2
r
b
a
r
b
y
a
x
半径
，圆心坐标
6. 圆的一般方程
0
E
D
C
2
2
y
x
y
x
,满足一定条件时，可以表示圆
题型：求满足一定条件的圆的方程
7. 直线和圆的问题
求圆的切线方程；
判断直线和圆的位置关系；
若圆上的点到直线的距离为某个值，求存在满足条件的点的个数；
求直线被圆所截弦长，用圆心到直线的距离公式和直角三角形知识解题
8. 圆和圆的问题
判断2 圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含；用圆心距和2 圆的半径比较进行判断
求两圆的公共弦所在的直线方程
求两圆公切线的长度
立体几何 --- 高中数学知识点笔记
1. 基本定义
圆柱，棱柱，直棱柱，平行六面体，正三棱锥，正四面体；棱锥，圆锥；异面直线
球的表面积，球的体积；长方体的体对角线计算公式：
2
2
2
c
b
a
x
立体几何的截面；平面图形的旋转
2. 基本知识
判定定理
(1) 一条直线平行一个平面内任一条直线,则直线平行这个平面
(2) 一个平面内的2 条相交直线分别平行另一个平面,则这2 个平面平行
(3) 一条直线垂直一个平面内2 条相交直线,则这条直线垂直这个平面
(4) 2 个平面的二面角为90 度，则这2 个平面垂直
(5) 一个平面内的一条直线垂直另一个平面，则这2 个平面垂直
性质定理
(1) 一条直线平行一个平面，则这条直线平行平面内无数条直线
(2) 一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直平面内任意一条直线
(3) 2 个平面垂直，则它们的法线互相垂直
(4) 2 个平面垂直，若一个平面内的一条直线垂直2 平面的公共交线，则这条直线垂直另一个平面
3. 夹角
异面直线的夹角；线面夹角；二面角（面面夹角）
4. 距离
求点到平面的距离，可以用向量方法，也可以用等体积方法（一般构造三棱锥）
5. 立体几何的表面积
即全面积
6. 立体几何的体积
h
h
低
棱锥
圆锥
低
棱柱
圆柱
，
S
3
1
V
V
S
V
V
注意变换顶点，方便高h 的计算，可以降低计算量：
PAC
-
B
PBC
-
A
ABC
-
P
V
V
V
V
棱锥
等
特别地，平行直线上任意一点到平面的距离处处相等
7. 线-面平行证明
(1) 直接证明：证明直线平行平面内另一条直线即可
(2) 间接证明：构造直线所在平面，证明面-面平行即可
8. 面-面平行证明
(5) 证明一个平面内的2 条相交直线分别平行另一个平面即可
(6) 找出一个平面的法线，证明法线与另一个平面垂直即可
9. 线-线垂直证明
构造直线所在平面，证明线-面垂直即可
10. 线-面垂直证明
证明直线垂直平面内2 条相交直线即可
11. 面-面垂直证明
(1) 证明二面角为90 度
(2) 找出一个平面的法线，证明法线与另一个平面平行即可
一般证明方法：找出2 平面的公共交线l ，在平面内做直线
l
a ，再证明此直线
平面
a
三角函数 --- 高中数学知识点笔记
1.
