文档内容
教师资格面试·高中数学·试讲精选考题解析合集
篇目 1：《概率的基本性质》
1.题目：《概率的基本性质》
2.内容：（如图）
3.试讲要求：
（1）带领学生理解事件之间的关系，通过实例，理解互斥事件、对立事件的概念；
（2）引导学生完成习题，逻辑鲜明，表达流利，师生互动；
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
《概率的基本性质》教案
一、教学目标
1.理解并掌握概率的基本性质，会用互斥事件的概率加法公式解决问题。
12.经历探究事件关系与概率的过程，培养数学抽象思维、数据分析能力。
3.体会数学来源于生活，又服务于生活，提高数学素养。
二、教学重难点
重点：掌握概率的几个基本性质。
难点：会用互斥事件的概率加法公式解决问题。
三、教学方法
讲授法、提问法、合作法
四、教学过程
（一）导入
提出问题：在学习事件的关系和运算时，是如何与集合的关系和运算对应起来的呢？引导学
生完成小测试，从而引出本节课的内容，并由此展开。
（二）新课讲授
层次一：探究性质1和性质2
教师提出问题：
（1）事件发生概率会是负数吗？
（2）必然事件的概率是多少？
（3）不可能事件的概率是多少？
引导学生举例作答，并得出性质1和性质2。
层次二：探究性质3
小组讨论：以例6问题为例，思考当事件A与事件B互斥时，和事件A∪B的概率与事件A、
B的概率之间又怎样的关系？
学生代表来回报答案，教师评价并总结。
讲授：互斥事件的概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（三）巩固练习
1.测试题的方式梳理本节课内容，并引导学生将概率的基本性质的表格补充完整。
2.提出思考问题：抽取不含大小王的一副扑克，抽到红色牌和黑色牌的概率分别是多少？学
生回答，教师点评。
（四）小结作业
小结：引导学生总结本节课的内容，让学生思考交流，归纳总结，教师及时补充。这里面要
体现以下几点：概率的范围、必然事件概率、不可能事件概率、互斥事件
作业：1.A层作业：完成课本121页的练习
2.B层作业：如果事件发生的概率为1，那么它一定是必然事件，这种说法对嘛？并将本节课
的知识整理到数学笔记上。
五、板书设计
2《概率的基本性质》试讲稿
上课，同学们好，请坐。
在学习本节课内容之前，我们做一个小测试，请大家拿出课前发的小测题，独立完成。在填
写过程中想一想，我们在学习事件的关系和运算时，是如何与集合的关系与运算对应起来的呢？
好同学们抬头看ppt，请对照自己的答案，有错误的同学用红笔更正。在之前的学习中，我
们知道事件A与B的并对应于集合的并 ，事件A与B之交对应于两个集合的交 ，那
么除此之外还有没有其他的关系呢？事件的概率与集合是不是也有什么联系呢？我们来看这几个
思考题：
1.事件的概率取值范围是什么？
2.必然事件的概率是多少？
3.不可能事件的概率是多少？
大家独立思考，也可以举例验证。
好这位同学你来说。她说因为事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0~1之间，
所以任何事件发生的概率在0~1之间。我们写成， .有理有据，十分准确，请坐。（板
书）
下一个，嗯，你来说，她说必然事件一定发生，所以频率是1，因此概率是1，那么你们有没
有什么实际例子呢？非常好，她说对于之前的试验，事件E表示掷一枚骰子，出现的点数小于7，
由于站点数最大为6，所以事件E的概率为1.能够通过实例说明你们的结论，值得大家学习。（板
书）
那么同样的第三题的答案是多少啊？对没错，是0，谁能来举个例子？来第三小组来说，还
是掷骰子的试验，事件F表示出现的点数大于6，这是不可能事件，概率是0，非常棒，请坐。
（板书）
好接下来难度升级。请大家前后四人为一个数学小组思考这样几个问题：
1.当集合A和集合B互斥时， 的元素个数有多少个呀？
32.那么当事件A与B互斥时， 发生的频数是否等于A发生的频数与B发生的频数之和
呢？
时间三分钟开始吧。
嗯，第一小组代表你们的探究结果是，互斥时，AUB的元素个数是A集合元素的个数加上B
集合中元素的个数，根据上节课的试验，事件C1出现1点和C2出现2点为互斥事件，所以事件
C1UC2发生的频数等于事件C1发生的频数加上事件C2发生的频数之和，很好，逻辑非常清晰，
结论也很准确。写成字符表示的形式为： ，那么对于一般的互斥事件
也就是 ，我们叫他为加法公式。（板书）
那么对于互斥事件的特殊情况，如果事件A和事件B互为对立事件，我们还可以得到什么结
论呢？
课代表你来说， 为必然事件，所以 ，很好，能够将这节课学习的知识很好的
应用进来，值得表扬。除此之外还有其他的结论吗？来后桌继续回答，根据加法公式可以得到
，举一反三，非常棒。同样的 。（板书）
好现在请同学们拿出小测题纸，翻到背面将刚刚学习的关于概率的几个性质补充上去。写完
的同学看ppt，同桌之间讨论随机抽取不含大小王的一副扑克牌，取到红色牌的概率是多少？取
到黑色牌的概率又是多少？
讨论时间到，大家一起说结果是......二分之一，非常棒，那用的是刚刚学过的哪条性质呢？对
就是加法公式，看来大家对于加法公式掌握的非常扎实。
现在请同学们看PPT，完成填空。第一个：概率的取值范围是0~1，第二个，必然事件发生
的概率是1，不可能事件发生的概率是0，很好。
第三题，加法公式为，如果 ，这样写完整吗？对不完整，还要加上
条件——事件 A 与事件 B 互斥。最后一个如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，则
。
这就是我们这节课学习的内容，课后请同学们完成121页的练习，学有余力的同学请思考，
如果事件发生的概率为1，那么他一定是必然事件，这种说法对嘛？
这节课就上到这里，下课，同学们再见。
4篇目 2：《弧度制与角度制的互换》
1.题目：《弧度制与角度制的互换》
2.内容：（如图）
53.试讲要求：
（1）讲解弧度与角度直接的互换公式；
（2）讲清楚特殊角的互换、角度与实数对应关系、扇形公式的推导；
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计和师生互动；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
《弧度制与角度制的互换》教案
一、教学目标
1.理解弧度制与角度制的对应关系，掌握弧度制与角度制的互换、扇形公式的应用，了解扇
6形公式的推导过程
2.结合弧度制与角度制互换的实例，经历从具体描述到形式符号表达的抽象过程，加深对弧
度制的理解。
3.在弧度制与角度制互换的学习过程中，提升数学运算素养和逻辑推理素养，体会一般与特
殊、转化与化归的思想方法。
二、教学重难点
重点：角度与实数的对应关系、扇形公式的推导。
难点：扇形公式的推导
三、教学方法
讲授法、提问法、讨论法、练习法
四、教学过程
（一）复习导入
首先，师生共同回顾角度制与弧度制的概念及
然后，教师引导学生思考：弧度制与角度制之间有怎样的对应关系？以此引起学生的认知矛
盾，激起学生的学习动机，引出本节课的课题—弧度制与角度制的互换。
（二）讲授新课
1.推导公式，探究新知
由导入复习 ，师生共同探究一度及一弧度的值大概是多少。学生通过讨论得出
和
2. 共同探究，搞清概念
在学生掌握角度与弧度互换的前提下，教师通过角概念的推广引导学生逐步理解弧度与角度
之间的一一对应关系，并在黑板上画出相应的图形，便于学生直观理解。
3.结合例题，实际应用
首先教师让学生自主思考完成教材上的例3，然后抽学生展示思路，师生共同评析，教师板
书，最后由教师补充、总结。
（三）巩固练习
通过教材上的练习来进行巩固。以5分钟时间为限，首先教师让3个学生上台演板，其他学
生自行思考完成，然后师生共同评析，最后教师补充、总结。
（四）课堂小结
知识：弧度与角度的互换、圆心角弧度数绝对值的公式，弧度与角度的一一对应关系、扇形
的弧长公式和面积公式。
方法：一般与特殊、转化与化归。
7（五）布置作业
必做题：教材课后剩余习题。
选做题：导学案上的提高题。
五、板书设计
《弧度制与角度制的互换》试讲稿
上课，同学们好，请坐。
在上一节课中，我们学习了弧度制与角度制的概念。用度作为单位度量角的单位制叫做角度
制，同理用弧度作为度量角的单位制叫做弧度制。大家都知道周角的弧度数是2π弧度，由此对
应关系得到 ，即 。那我们如何进行弧度制与角度制的互换呢？今天我们一起来
探究一下。
我们在等式两边同时除以180，得到 弧度，约等于0.01745弧度，同理可得1弧度=
度，计算约等于57.3°。根据这两个式子，我们就可以进行角度数和弧度数的转换。在今后用弧
度制表示角时，“弧度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写角所对应的弧度数。
请大家翻到课本P9，2分钟时间内迅速补充完整特殊角得弧度数与度数的对应表。时间到，
我转堂的时候看到大家基本都填对了。
在角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个
8角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个
角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，我们用黑板上的图形来直观表示。
接下来请同学们找到课本上的例3，首先给大家5分钟时间自主思考完成，然后我抽人展示
思路。好，请第5排的第4个同学来说一下你的证明思路。这位同学说，由 ，a是正角，半
径是R，所以可以得到 ，又因为圆心角为n°的扇形弧长 ，面积 ，所以S等于 ，
也等于。回答得很好，思路非常清晰。我们一起来书写一下证明过程。
可见，采用弧度制时扇形的弧长公式和面积公式变得简单了，这正是引入弧度制的原因之一。
那下面检测一下，请同学们利用5分钟时间独立完成课本P10练习的第5题，请第三排这位同学
到黑板上进行板演。好，我看大家都已经完成了，我们一起检查一下黑板上这位同学的板演结果，
大家说有问题吗？对，这位同学漏掉了弧长的单位，最后的答案应该加上单位——米（m）。这
里大家记住，题干中给出了具体的单位，我们的结果也应该加上相应答案的单位。
那这节课的重要内容我们就讲完了。通过这节课的学习，同学们有什么收获呢？大家总结得
非常到位，我们请班长来分享一下他的经验吧。你说你复习了弧度与角度的互换、圆心角弧度数
绝对值的公式，还学到了弧度与角度的一一对应关系、扇形的弧长公式和面积公式，加深了对初
中所学的扇形公式的理解。很好，总结得相当完整。
课上时间有限，课下还需要继续巩固。布置今天的作业为：
必做题：教材课后剩余习题
选做题：导学案上的提高题
好了，这节课就到这里。下课。
9篇目 3：《三角函数的诱导公式》
1.题目：《三角函数的诱导公式》
2.内容：（如图）
3.试讲要求：
（1）试讲时间约10分钟；
（2）教学过程中搭配适当的板书；
（3）掌握三角函数的诱导公式；
（4）教学中要注意师生间的交流互动，有适当的提问环节。
《三角函数的诱导公式》教案
一、教学目标
1.理解和掌握三角函数诱导公式的结构特征。
2.通过三角函数诱导公式推导过程，体会数形结合的数学思想。
103.感受数学研究的乐趣，激发学生学习的热情。
二、教学重难点
【教学重点】
公式二、三、四的探究。
【教学难点】
对诱导公式结构的认识与理解。
三、教学方法
讲授法、提问法、讨论法
四、教学过程
（一）复习导入
教师带领学生复习任意角的三角函数的定义，以及公式一。并给定一个角α，请学生在坐标
轴上画出角π-α，π+α，-α，并观察图形思考这些角的终边与角α的终边有什么关系？它们的
三角函数之间有什么关系？引出今天的课题。
（二）探究新知
1.小组讨论探究公式二
以角π+α为例，利用单位圆，请学生小组讨论，利用上述角与角α的对称性，与单位圆交
点的关系，学生能够得出p 与p 关于原点对称，横纵坐标互为相反数，因此p 坐标为（x，y），
1 2 1
p 坐标为（-x，-y）。由三角函数定义，最终得到公式二。
2
2.分组探究公式三、四
同桌之间相互讨论探究角π-α，与角α的三角函数值的关系，-α与角α的三角函数值的关
系。并请代表板书讲解。
多种证明方法：类比公式二，利用与单位圆上的交点之间的关系，结合三角函数的定义可以
进行推导。或者还有的学生利用公式二进行证明，把（π-α）化成π+（-α），从而进行推导。
最终得到公式三、四。
并观察公式一、二、三、四，具有什么特点。
教师进行概括：函数名不变，符号看象限
（三）巩固练习
多媒体展示练习题，找同学上台板演，其他同学练习本完成。
（四）课堂小结
教师请几名学生分别谈一谈本节课的收获：掌握了三角函数诱导公式以及推导过程，教师给
予点评和补充。
（五）布置作业
1.对学过的四组诱导公式进行总结，并完成导学案基础题
2.学有余力的做变式题第4题。
五、板书设计
11《三角函数的诱导公式》试讲稿
上课，同学们好，请坐。
环节一 ：导入新课
在之前的课已经学过任意角的三角函数的定义，以及公式一，哪位同学说一下呢？嗯，非常
棒。终边相同的角的同一三角函数的值相等 。
这位同学对之前的知识掌握的很到位。那如果老师给定一个角α，请学生在坐标轴上画出角
π-α，π+α，-α，并观察图形思考这些角的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之
间有什么关系？这节课就一起探究。
环节二 ：新课讲授
首先我们探究π+α，在单位圆中已知角α，终边与圆的交点，画出π+α的图象。哪位同学
说说你是如何画的？好你来说，角π＋α还可以看作是角 α 的终边按逆时针方向旋转角π得到
的。
12观察这些角的特点，角π+α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么
关系？同桌之间相互探究，时间3分钟。好，这位同学你来说一下你们的成果。
他们组发现角α的终边和角π+α的终边关于原点对称，利用对称性，与单位圆交点的关系，
p 与p 关于原点对称，横纵坐标互为相反数，因此p 坐标为（x，y），p 坐标为（-x，-y），根
1 2 1 2
据三角函数的定义，
其他同学还有补充吗？好，你来。嗯，你发现这个公式对于任意的三角函数都成立，这就是
公式二：
即：π＋ α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的
符号。
我们已经知道了角α，角π+α的三角函数值之间的关系，角π-α，与角α，-α与角α的三
角函数值的关系又是怎样的呢？能否继续推导呢？那请同桌之间继续讨论。
好时间到，我请两名代表到黑板上板书并为大家讲解。
第一位同学是类比公式二利用与单位圆上的交点之间的关系，找到-α与角α关于x轴对称的
点p ，p 坐标为（x，-y）；角π-α与角α关于y轴对称的点p ，p 坐标为（-x，y）结合三角函
3 3 4 4
数的定义可以进行推导。
13得到公式三、四。
公式三
公式四
第二位同学利用公式二和公式三进行证明，把（π-α）化成π+（-α），从而进行推导。
我们通过找角的关系，得到了对称关系，找到了坐标关系，进而得到三角函数的关系。
请同学们观察公式一、二三四，具有什么特点。请同学们先独立思考，同桌试着交流，好这
位同学跃跃欲试，那你来说。他发现他们都是同名三角函数，公式2右边的符号与π+α角，即
所在的第三象限角的原三角函数值符号相同。公式3右边的符号与-α角，即所在的第四象限角的
原三角函数值符号相同。公式4右边的符号与π-α角所在的第2象限角的原三角函数值符号相同。
观察的很仔细，总结的也很到位，为了方便大家的理解以及记忆，我们把2kπ+α，π-α，
π+α，-α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时的原函数值的
符号。老师为大家总结为：函数名不变，符号看象限。
14环节三 ：巩固练习
新知识大家都掌握了吗？请看多媒体出示的练习题，化简。请同学们讲解自己的化简思路，
并核对答案。嗯，做的都非常正确，在利用公式时，同学们一定要牢牢把握函数名不变，符号看
象限。
环节四：课堂小结
这节课马上就要接近尾声了，同学们有什么收获呢？好你来说，他学到了四个三角函数的诱
导公式，能够应用公式灵活求解并化简三角函数值。
你来说，他通过诱导公式的推导过程，体会到了由未知转化为已知的化归思想。看来大家收
获颇丰啊！
环节五：布置作业
课上学习，课下复习，请同学们对已学过的四组诱导公式进行总结，并完成导学案基础题1、
2.学有余力的做变式题第4题。
同学们，下课。
15篇目 4：《复数的几何意义》
1.题目：《复数的几何意义》
2.内容：（如图）
3.试讲要求：
（1）带领学生掌握复平面，实轴，虚轴等概念；
（2）能够引导学生类比实数的几何意义探究复数的几何意义；
（3）引导学生完成习题，逻辑鲜明，表达流利，师生互动；
（4）要求配合教学内容有适当的板书设计；
（5）请在10分钟内完成试讲内容。
16《复数的几何意义》教案
一、教学目标
1.掌握复平面、实轴、虚轴概念，能够类比实数的几何意义探究复数的几何意义；
2.在类比、探究、交流等活动中，体会数形结合的思想，培养分析解决问题的能力；
3.通过本节知识的学习培养学生良好的学习思维品质。
二、教学重难点
重点：复数几何意义的构建过程；点、复数间的对应关系
难点：灵活掌握复数的几何意义。
三、教学方法
讲授法、提问法、讨论法、练习法
四、教学过程
（一）导入
结合上节课所学向学生抛出第一个问题：请学生快速回顾复数、实数、虚数、纯虚数的相关
概念。教师提出第二个问题：实数是否可以用数轴上的一个点来确定（实数的几何意义是数轴上
的一个点）；复数具有怎样的几何意义；我们能否用数轴上的一个点表示复数的几何意义。经过
学生的思考他们不难发现复数需要a、b两个实数才能唯一确定。教师引导学生使其发现复数和平
面内的点似乎可以建立某种关系，进而引出新课。
（二）新课讲授
1.复平面、实轴和虚轴
教师提问学生实数的几何意义，引发思考。引导学生发现复数和有序实数的的一一对应关系，
而有序实数对和点一一对应。进而得出复数可以和点对应的关系。教师讲授复平面、实轴、虚轴
的概念，并请学生思考实轴和虚轴上的点的意义。
2.复数的几何意义
教师引导学生建立起这节课的第一组对应关系复数集与平面直角坐标系内的点一一对应关
系。为避免学生存在疑惑，此处教师应引导大家通过复数相等来进一步说明关系的必然性。且有，
至此得出复数的几何意义。
（三）巩固练习
为了学生能够对本节课的知识有更明确的梳理和掌握，通过课本练习进行巩固。先抽1个学
生上台板演，其他学生自行思考完成，5分钟后师生共同评析，最后教师补充、总结。
（四）小结作业
小结：教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评、
补充和总结。
作业：学生利用课后时间，对于教师布置的必做题目，独立完成供教师批改；对于教师布置
的选做题目，自行思考并完成，以便于与同学或老师交流讨论。
17五、板书设计
《复数的几何意义》试讲稿
新课开始之前，我们先来回顾几个概念：什么是复数、实数、虚数、纯虚数。好，你来说。
嗯，复数是形如的数，若则为我们最熟悉的实数，若则为虚数，若且则为纯虚数。好，请坐，回
答得非常好。
接着请听我的第二个问题：我们知道实数可以用数轴上的一个点来确定（也就是说实数的几
何意义是数轴上的一个点）那现在我们可否将其推广到复数呢？也就是复数具有怎样的几何意义
呢？还能用一个实数确定么？对，不能。为什么呢？因为复数需要实部a和虚部b两个实数才能
唯一确定。嗯，很好，大家能想到什么？对，可以用有序实数对表示。大家看，复数和有序实数
对是怎样的关系？有的同学说是一一对应的关系，我们来看，如果已知复数，那就是确定了复数
的实部和虚部，有序实数对的两个元素也就随之确定，反过来，如果已知有序实数对的两个元素
a,b，那么复数的实部、虚部确定，复数也随之确定，所以他们是一一对应的关系。那有序实数对
又有什么几何表示？大家都说可以用点表示。非常好。由此我们得出复数可以用直角坐标系中的
点表示，我们把这个直角坐标系叫做复平面。原轴称为实轴，轴称为虚轴。在这里需要注意实轴
和虚轴上的单位都是1。大家想一想，实轴上的点表示什么？虚轴上点表示什么？给大家两分钟
的时间，先独立思考，再同桌两人讨论。好，时间到，男生你来说，你说实轴上点代表实数。为
什么呢？你说因为实轴上的点虚部为0，所以代表实数。表达非常准确，很好，请坐。那虚轴上
的代表什么呢？老师听到有的同学说代表虚数，还有的说代表纯虚数，课代表还有不同意见，你
来说说，你说虚轴上的点除了原点以外，其他点都代表纯虚数。嗯，那原点代表什么呢？你说原
点坐标（0，0），就代表实数0。观察细致，表达完整准确，太棒了！接下来老师给出几个点，
你能说出它们表示的复数吗？请一位同时说一说，来这位女生你说，你说点A代表实数2，点B
代表纯虚数-2i，点C代表复数2+3i，非常棒。
到此，我们有什么发现么？好，你来。他说我们发现跟平面内的点与数对一一对应一样，每
一个复数就对应唯一的一个点（a，b），一个点（a，b）就可以确定唯一的复数。所以我们可以
建立起复数集与平面直角坐标系内的点一一对应关系。
至此，我们建立起了建立起了第一组关系。老师来板书一下。
18接下来同桌为一组合作完成大屏幕展示的两个问题。之后我们找同学来汇报。老师会在下面
巡视，有什么问题可以及时举手示意我。看PPT上的两个问题：
（1）实数；虚数；纯虚数在复平面的什么位置；
（2）实轴、虚轴、第1、2、3、4象限的点对应什么样的复数。
好了，时间到。我们找同学来回报一下他们的讨论结果。后排那位同学。我们仔细听。好的，
思路很清晰。
那到此为止，我们这节课的内容就结束了。接下来我们来请同学小结一下收获。靠窗同学来。
嗯，归纳得很好，我们这节课学习了复数的几何意义，复数可以用复平面内的点表示。
希望大家课后可以及时复习。
最后老师来布置一下作业：请大家完成导学案上的1-5题。学有余力的同学利用思维导图的
形式整理一下本节课的知识体系。
下课。
19篇目 5：《空间向量的应用》
1.题目：《空间向量的应用》
2.内容：（如图）
3.试讲要求：
（1）复习直线与平面垂直的判定定理、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件；
（2）讲清楚用空间向量方法证明直线与平面垂直的判定定理；
（3）引导学生解出题目，要求逻辑鲜明，表达流利；
（4）要求配合教学内容有适当的板书设计和师生互动；
（5）请在10分钟内完成试讲内容。
《空间向量的应用》教案
一、教学目标
1.理解直线与平面垂直判定定理的证明。
2.结合空间向量应用的实例，经历从具体描述到形式的符号表达的抽象过程。
3.在空间向量应用的学习过程中，提升数学运算素养和直观想象素养，体会数学中数形结合
和转化与化归的思想方法。
二、教学重难点
20重点：理解直线与平面垂直判定定理的证明。
难点：直线与平面垂直判定定理的证明。
三、教学方法
讲授法、提问法、讨论法、练习法
四、教学过程
（一）复习导入
教师通过提问，引导学生回顾共面向量定理，空间向量数量积，直线与平面垂直的判定定理。
教师通过提问题，引导学生思考：如何证明直线与平面垂直的判定定理呢？引出本节课课题
——空间向量的应用。
（二）探究新知
教师引导学生结合平面法向量的性质，利用向量运算证明直线与平面垂直的判定定理，其具
体步骤如下：
（1）带领学生将问题转化成证明题，搞清楚已知、求证；
（2）提示学生采用向量的方法尝试证明；
（3）给学生5分钟时间四人为一小组进行讨论；
（4）请小组代表展示证明思路；
（5）教师评析，并板书证明过程。
（三）巩固练习
让学生独立完成导学案上的第一题。并抽1个学生上台板演，其他学生自行思考完成，5分
钟后师生共同评析，最后教师补充、总结。
（四）课堂小结
教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。
（五）布置作业
必做题：导学案上的2、3、4题。
选做题：思考还可以借助空间向量证明什么定理。
五、板书设计
21《空间向量的应用》试讲稿
上课，同学们好，请坐。今天我们继续来学习空间向量的有关内容，在学习新的内容之前，
我们先来复习一下学过的内容。什么是共面向量定理？他说，如果两个向量 不共线，则向量 与
向量 共面的充要条件是存在实数对x、y,使 。什么是空间向量数量积？他说两向量的
模与其夹角的余弦的乘积。直线与平面垂直的判定定理是什么呀，平面上的任意两条相交直线与
已知直线垂直，就可以说明直线与平面垂直。但是，如何证明直线与平面垂直的判定定理呢？
老师把直线与平面垂直的判定定理呈现在了大屏幕上：如果一个直线与平面内的两条相交直
线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。如果转化成符号语言的话该怎么叙述呀，好课代表你来
说，你表述的可真规范，请坐。课代表说啊：已知a，b是α内的两条相交直线，且直线n⊥a，n
⊥b，那么n⊥α。那么老师再深入问一个问题，如果我们想要去求证这个定理的话，这个证明的
题目该怎么用符号语言叙述呢，哎，第三排举手最高的女生你来说。大家说她叙述的对不对啊，
老师看大家都点头了，显然大家都赞同你的说法，老师也赞同你的说法：只需要把刚刚课代表叙
述的“那么n⊥α”改成“求证n⊥α”就可以了，也就是说知a，b是α内的两条相交直线，且
直线n⊥a，n⊥b，求证n⊥α，老师把你说的内容板书在黑板上。我们先来看看我们都能想到什
么能够帮助求解这个题目的知识点呀？最后排举手的男生你来回答，哎？你的联想能力的非常棒
哈，他说想到了空间向量数量积的坐标表示、向量垂直的充要条件、以及直线与平面垂直的判定
定理。那么接下来同学们四人为一小组尝试把这个问题定理证明出来吧，老师会下去巡视，有问
题的小组可以随时叫老师来解答，时间为5分钟。老师提示大家一点，在证明的过程中，一定要
规范使用数学语言，好大家继续吧。时间到，哪个小组想来跟大家分享一下你们组的讨论结果呀，
二组代表你来说，他说设m是α内的任意一条直线，a，b是平面内两条相交直线，我们在n、a、
22b、m上分别取非零向量 。a、b相交，也就是不共线。存在唯一的数对（x,y),使 ,
我们可以通过将上式两边分别与 从而发现 所以n⊥m,所以n⊥α，条理清楚，老师把他记
录下来。
现在我们来借助练习题巩固一下本节课学习的新知识吧，请大家翻开导学案，独立完成导学
案上本节课的第一题。老师抽一名同学上台做板演，其他人自行思考完成，时间5分钟。大家同
意他的板演内容吗，非常棒，老师在刚刚巡视的时候也发现了这次大家的书写过程都很规范，大
家的掌握能力可真强。
本节课已经接近尾声了，有没有哪位同学想来和大家分享一下你在本节课中的收获？班长你
来说吧，切中要害，没错就是直线与平面垂直判定定理的证明。
最后我们来布置课后作业。所有同学都要完成：导学案上的2、3、4题；学有余力的同学思
考：还可以借助空间向量证明什么定理。下课。
23篇目 6：《平面与平面的位置关系》
1.题目：《平面与平面的位置关系》
2.内容：（如图）
3.试讲要求：
（1）讲清楚圆一般方程的定义、圆一般方程的特点；
（2）使学生理解圆一般方程的由来，体会讨论方法; 引导学生解出题目，要求逻辑鲜明，表
达流利；
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
《平面与平面的位置关系》教案
一、教学目标
1.掌握平面与平面的两种位置关系，熟练地使用符号语言表示两平面平行，能够借助位置关
系的定义判断两平面之间的关系；
2.经历从现实生活中发现问题、分析问题的过程，借助类比进行推理的过程中，感受两平面
24之间的位置关系；
3.在探究过程中，提高空间想象能力，体会到数学从生活中来并应用于生活的思想理念。
二、教学重难点
重点：理解平面与平面之间的位置关系。
难点：能够自由的运用平面与平面的位置关系定义，判定空间立体几何中两平面之间的位置
关系。
三、教学方法
讲授法、提问法、讨论法、问题情境设置法。
四、教学过程
（一）复习导入
师：带领学生复习空间中直线与直线、直线与平面的位置关系。
生：举手作答。
（二）层层深入，知识新授
1.教师引导学生在身边的现实生活中寻找平面的位置关系
学生活动：发现：观察教室的地板、天花板和墙面；两本书作为两个平面，上下、左右移动
和翻转都有两平面的位置关系。
教师用几何画板辅助展示两个平面翻转移动的动态过程，之后让学生小组讨论图2.1-24中平
面有哪几种位置关系，教师结合各组代表的回答，进行总结并板书:两个平面之间的位置关系只有
两种:平行和相交。
通过观察上述动态过程，教师引|导学生发现两平面平行则没有公共点;相交则有公共点，且这
些公共点会组成一条直线。
2.利用图形语言、符号语言表示两平面的位置关系
教师展示之前学习的各类位置关系，引导学生独立思考如何用图形语言和符号语言表示两平
面的位置关系。在展示完学生的讨论结果后，教师强调:画两平行平面时应使两个表示平面的平行
四边形的对应边平行，并尽量使两平行四边形不重叠。
（三）知识运用，巩固练习
教师引导学生小组合作讨论本节课的探究题。
学生合作完成本节探究题，独立完成练习题，教师点评，强调做题时应考虑周全。
（四）课堂小结
师生共同回顾本节课的知识点，梳理知识脉络。
（五）布置作业
1.必做题：完成导学案上的1、5题。
2.选做题：思考三个平面两两相交时，直线的位置关系。
五、板书设计
25《平面与平面的位置关系》试讲稿
上课，同学们好，请坐。今天我们来学习平面与平面的位置关系，老师想先请一名同学带领
大家一起回忆我们学习过那些空间位置关系。第二排举手的女生你来回答，记忆的非常准确，请
坐。这名女生说空间中有共面直线与异面直线，共面直线中有相交或平行直线；直线可能在平面
内，或与平面相交，又或与平面平行。老师还有一个问题，它们分别都有多少公共点呢？又如何
用图形语言和符号语言进行描述？第五排举手的同学你来作答，非常好，跟老师课件上展示出的
内容完全一致。看来大家对知识的掌握很扎实。咱们已经学习了直线与直线、直线与平面的位置
关系，那平面与平面的位管关系又是什么样的呢？下面我们一起进入本节课的知识，来解决这个
问题。
1.平面与平面之间的位置关系
先请同学们用两分钟的时间从身边找一找平面之间的关系。好，时间到，老师请几名同学来
分享一下寻找的结果。班长你来回答，观察的非常细致，请坐。班长说通过观察教室的地板、天
花板和墙体，发现两平面有平行的关系。哎，老师听有同学说以教室为例太特殊了，不具有普遍
性，有没有哪位同学来给补充一下？第五排的男生你来说，嗯不错，非常好，请坐。这名同学说
他认为可以把两本书作为两个平面，上下左右移动或翻转，在转动的过程中可以发现两个平面有
平行和相交的位置关系。同学们的想法都很灵活，翻转移动的平面这个例子更具有普遍性。请大
家观察大屏幕上的两个平面，通过这样翻转移动的动态变化我们可以知道，两个平面有平行和相
交的位置关系，班长指出的垂直，则是相交的一种特殊情况。下面请同学们观察大屏幕上的这两
个动态平面，思考平面与平面的位置关系与公共点个数的关系。课代表你来回答，表述的非常准
确，请坐。课代表说两平面平行没有公共点，两平面相交有公共点。老师还想追问一个问题:若两
平面有公共点，那么这些公共点会组成什么图形？嗯，不错，老师听到同学们齐声说直线。同学
们回答得都很准确，因此我们可以认为，若两平面平行则没有公共点，若两平面相交则有一条公
共直线。
2.利用图形语言、符号语言来表示位置关系
老师听到有同学说用文字语言表示这个结论不是很直观，我们能不能参照之前学习的知识用
26图像语言来描述呢？老师请一名同学上台作图。第一排举手的同学你来。画得很传神，先请回到
座位上。但是老师强调一点：在作图时需要注意画两平行平面时应使两个表示平面的平行四边形
的对应边平行，并尽量使两平行四边形不重叠。那，除了图形，还有其他的描述方式吗？同学们
说的非常好，还可以用符号语言表示。这里呢我们可以直接使用平行符号， 就表示平面平行
于平面β。
接下来请同学们4人为一小组对本节课书上的探究题进行讨论，时间为5分钟，大家开始吧。
请大家停止讨论，老师请一个小组派代表来分享一下小组的讨论成果，一组代表你来回答，回答
的很清晰，请坐。一组代表说是平行直线，因为 ，所以平面和没有交点，因此直线a和b平行。
第一组作答的速度很快，不过直线a和b之间除了相互平行，还有没有其他的可能呢？好，三组
代表，你来回答，补充的非常到位，请坐。三组代表说还可能是异面直线，因为直线a和b、属
于两个不同的平面α，β，所以直线是异面直线。同学们回答的都很到位。两组的回答加一起就
是标准答案，当直线a、b没有公共点时，既可能是平行直线，又可能是异面直线。
经过本节课的学习，我们学习到了很多新的知识，哪位同学想来和大家分享一下你的收获？
靠窗户举手的那位同学你来回答，总结的很精准，请坐。这名同学说我们学习了平面间的两种位
置关系：平行和相交，其中垂直是特殊的相交情况。还有同学有补充吗？最后一排举手的同学你
来回答，补充的非常到位，请坐。这名同学说还学会了用图形语言和符号语言表示两平面平行。
最后老师也要来强调一点：在解题过程中一定要考虑全面，比如两条不相交的直线既可能是平行
也可能是异面，千万不要漏掉任何一种情况。
最后我们来布置课后作业，所有同学都要完成导学案上的4、5题，学有余力的同学思考三个
平面两两相交时，直线的位置关系。
27篇目 7：《圆的一般方程》
1.题目：《圆的一般方程》
2.内容：（如图）
3.试讲要求：
（1）讲清楚圆一般方程的定义、圆一般方程的特点；
（2）使学生理解圆一般方程的由来，体会讨论方法; 引导学生解出题目，要求逻辑鲜明，表
达流利；
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
《圆的一般方程》教案
一、教学目标
1.理解圆一般方程的定义，掌握圆一般方程的特点，了解圆一般方程的由来，发现代数与几
何间的联系。
2.结合圆标准方程的实例，经历从具体描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对圆一般方
程的理解。
283.在圆一般方程的学习过程中，提升数学抽象素养和逻辑推理素养，体会数学中的数形结合
思想和分类讨论思想方法。
二、教学重难点
重点：圆一般方程的定义、圆一般方程的特点、圆一般方程的理解与应用。
难点：圆一般方程的理解与应用。
三、教学方法
讲授法、提问法、讨论法、练习法
四、教学过程
（一）温故知新，激情导入
教师通过提问，引导学生回顾圆的标准方程，以及点与圆的位置关系。
教师通过设置问题，引导学生思考所给出的方程表示什么图形？
通过配方得到，方程 表示圆心为（1，-2）、半径为 2 的圆，而方程
不表示任何图形，进而提出方程（其中D、E、F为常数）在什么条件下表示圆，
引出本节课课题——圆的一般方程。
（二）探究新知
针对上面提出的问题，将方程 左边进行配方，并把常数移到右边，可以得
到 。师生共同对所得到的方程进行讨论，分析方程在不同条件下分别
表示什么图形。
（三）巩固练习
为了学生能够对本节课的知识有更明确的梳理和掌握，通过课本P130练习第2题来进行巩
固。首先给学生3分钟时间自主完成，然后让中等偏上的学生上台演板，然后集体评析，最后由
教师进行补充、总结。
通过这样的方法，不仅照顾到基础较薄弱的学生，也为基础较扎实的学生梳清思路。
（四）课堂小结
教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。
（五）布置作业
学生利用课后时间，对于教师布置的必做题目，独立完成供教师批改；对于教师布置的选做
题目，自行思考并完成，以便于与同学或老师交流讨论。
29五、板书设计
《圆的一般方程》试讲稿
上课，起立，老师好。同学们好，请坐。在上一节课中，我们学习了圆的标准方程，大家还
记得圆的标准方程是什么吗？是的，圆的标准方程是： ，此时圆的圆心为（a，b），
半径为r。也就是说，如果我们已知圆的圆心坐标和圆的半径，就可以把圆的标准方程书写出来。
不仅如此，我们还学习了在平面直角坐标系中点与圆的位置关系，有同学能说出来吗？正如这位
同学所说，设圆心O（a,b）到点P 的距离为|OP|，则①当|OP|>r时，点P在圆外；②当|OP|=R
时，点P在圆上；③当|OP|
