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5、用十字相乘法把二次三项式分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
x
a
b x
ab
x
a x
b
2
(
)
进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两
个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax
bx
c
2
（a、b、c 都是整数，且a 0）来说，如果存在四个整数
a
c
a
c
1
1
2
2
，
，
，
满足a a
a
c c
c
1
2
1
2
，
，并且a c
a c
b
1 2
2
1
，那么二次三项式
ax
bx
c
2
即
a a x
a c
a c x
c c
1
2
2
1
2
2
1
1
2
可以分解为
a x
c
a x
c
1
1
2
2
。这里要确定
四个常数a
c
a
c
1
1
2
2
，
，
，
，分析和尝试都要比首项系数是1 的类型复杂，因此一般要借
助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知：x
x
2
11
24
0
，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：x
x
2
11
24
0
x
x
x
x
x
x
x
x
3
8
0
3
0
8
0
3
0
8
0
8
3
或
或
例2. 如果x
x
mx
mx
4
3
2
2
2
能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，
并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x
4 分成x
x
2
2
，而对于常数项-2，可能分解成
1
2 ，或者分解成
2
1，
由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为
x
ax
x
bx
2
2
1
2
，其中a、b 为整数，去括号，得：
x
a
b x
x
a
b x
4
3
2
2
2
将它与原式的各项系数进行对比，得：
a
b
m
a
b
m
1
1
2
2
，
，
解得：a
b
m
1
0
1
，
，
此时，原式
x
x
x
2
2
2
1
- 1 -
（2）设原式分解为
x
cx
x
dx
2
2
2
1
，其中c、d 为整数，去括号，得：
x
c
d x
x
c
d x
4
3
2
2
2
将它与原式的各项系数进行对比，得：
c
d
m
c
d
m
1
1
2
2
，
，
解得：c
d
m
0
1
1
，
，
此时，原式
x
x
x
2
2
2
1
2. 在几何学中的应用
例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足
x
y
x
xy
y
2
2
2
2
0，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解：x
y
x
xy
y
2
2
2
2
0
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
2
2
2
2
2
0
2
0
2
1
0
(
)
x
y
2
0或x
y
1
0
又x
y
8
x
y
x
y
x
y
x
y
2
0
8
1
0
8
或
解得：
x
y
5
3 或
x
y
3 5
4 5
..
∴长方形的面积为15cm2或63
4
2
cm
3、在代数证明题中的应用
例. 证明：若4x
y
是7 的倍数，其中x，y 都是整数，则8
10
3
2
2
x
xy
y
是49 的倍数。
分析：要证明原式是49 的倍数，必将原式分解成49 与一个整数的乘积的形式。
证明一：
8
10
3
2
3
4
2
2
x
xy
y
x
y
x
y
2 2
3
4
6
4
7
x
y
x
y
x
y
y
∵4x
y
是7 的倍数，7y 也是7 的倍数（y 是整数）
∴
2 2
3
x
y
是7 的倍数
而2 与7 互质，因此，2
3
x
y
是7 的倍数，所以8
10
3
2
2
x
xy
y
是49 的倍数。
证明二：∵4x
y
是7 的倍数，设4
7
x
y
m
（m 是整数）
则y
x
m
4
7
又∵
8
10
3
2
3
4
2
2
x
xy
y
x
y
x
y
2
12
21
4
4
7
7
14
21
49
2
3
x
x
m
x
x
m
m
x
m
m
x
m
∵x，m 是整数，∴
m
x
m
2
3
也是整数
所以，8
10
3
2
2
x
xy
y
是49 的倍数。
4、中考点拨
例1.把
分解因式的结果是________________。
解：
- 2 -
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
2
4
2
2
2
2
2
2
4
5
9
4
9
1
1 2
3 2
3
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.
因式分解：6
7
5
2
x
x
_______________
解：
6
7
5
2
1 3
5
2
x
x
x
x
说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1. 若x
y
mx
y
2
2
5
6
能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）
A. 1
B. -1
C. 1
D. 2
解：
x
y
mx
y
x
y x
y
mx
y
2
2
5
6
5
6
-6 可分解成
2
3或
3
2 ，因此，存在两种情况：
（1）x+y -2 （2）x+y -3
x-y 3 x-y 2
由（1）可得：m 1，由（1）可得：m 1
故选择C。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，
再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2. 已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足
a
c
b
a c
b
2
4
。
求证：a
b
b
c
证明：
a
c
b
a c
b
2
4
a
c
b
a c
b
a
ac
c
bc
ac
ab
b
a
c
b a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
b
b
c
2
2
2
2
2
2
2
4
0
2
4
4
4
4
0
4
4
0
2
0
2
0
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3. 若x
x
x
a
3
2
5
7
有一因式x 1。求a，并将原式因式分解。
解：x
x
x
a
3
2
5
7
有一因式x 1
∴当x
1
0，即x 1时，x
x
x
a
3
2
5
7
0
a
3
- 3 -
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
3
2
2
2
2
2
5
7
3
4
4
3
3
1
4
1
3
1
1
4
3
1
1
3
1
3
说明：由条件知，x 1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x 1，
分解时尽量出现x 1，从而分解彻底。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）a b
ab
2
2
16
39
（2）15
7
4
2
1
2
2
x
x y
y
n
n
n
n
（3）
x
x
x
x
2
2
2
3
22
3
72
2. 在多项式x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
3
2
3
2
1
2
3
2
2
2
，
，
，
，
，
，哪些是多
项式
x
x
x
x
2
4
2
2
2
10
2
9
的因式？
3. 已知多项式2
13
3
2
x
x
x
k
有一个因式，求k 的值，并把原式分解因式。
4. 分解因式：3
5
2
9
4
2
2
x
xy
y
x
y
5. 已知：x
y
x
y
05
3
12
.
.
，
，求3
12
9
2
2
x
xy
y
的值。
- 4 -
【试题答案】
1.
（1）解：原式
ab
ab
ab
ab
2
16
39
3
13
（2）解：原式
3
5
4
1
1
x
y
x
y
n
n
n
n
（3）解：原式
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
3
4
3
18
4
1
6
3
2.
解：
x
x
x
x
2
4
2
2
2
10
2
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3
3
1
1
2
1
∴其中x
x
x
x
x
x
1
3
2
3
2
1
2
2
，
，
，
是多项式
x
x
x
x
2
4
2
2
2
10
2
9
的因式。
说明：先正确分解，再判断。
3.
解：设
2
13
2
1
3
2
2
x
x
x
k
x
x
ax
b
则
2
13
2
2
1
2
3
2
3
2
x
x
x
k
x
a
x
a
b x
b
2
1
1
2
13
a
a
b
b
k
解得：
a
b
k
1
6
6
k
6且
2
13
6
2
1
6
2
1
3
2
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一
个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.
解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
设3
5
2
9
4
2
2
x
xy
y
x
y
3
2
3
5
2
3
2
2
2
x
y
m x
y
n
x
xy
y
m
n x
m
n y
mn
比较同类项系数，得：
m
n
m
n
mn
3
1
2
9
4
解得：
m
n
4
1
3
5
2
9
4
3
4
2
1
2
2
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
5.
解：3
12
9
2
2
x
xy
y
- 5 -
3
4
3
3
3
2
2
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
05
3
12
3
0 5
12
18
.
.
.
.
.
，
原式
说明：用因式分解可简化计算。
- 6 -
