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第 05 讲 因式分解—公式法与十字相乘法
课程标准 学习目标
1. 掌握公式法，并且能够熟练的应用公式法进行因式
①公式法 分解。
②十字相乘法 2. 掌握十字相乘法分解因式，并且能够熟练运用十字
相乘法。
知识点01 平方差公式分解因式
1. 平方差公式分解因式的内容：
两个数的平方差等于这两个数的 乘以这两个数的 。
即：
2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。
考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。
【即学即练1】
1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A．x2﹣25 B．x3﹣4 C．x2﹣2x+1 D．x2+1
【即学即练2】
2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣n2 C．4m2﹣1 D．（m+n）2﹣9
【即学即练3】
3．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣25y2． （2）﹣4m2+25n2． （3）（a+b）2﹣4a2．
（4）a4﹣1． （5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2． （6）mx2﹣4my2．
知识点02 完全平方公式分解因式
1. 完全平方公式分解因式的内容：
。
2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，
第三项是平方两项 乘积的 。
②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。若第三项与平方两项符号 ，
则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。若平方两项是符号，
则在括号前添加负号。
题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。③求值
【即学即练1】
4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．a2+ab+b2 B．9y2﹣4y C．4a2+1﹣4a D．q2+2q﹣1
【即学即练2】
5．下列各式中：① x2﹣2xy+y2；② a2+ab+ b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④ 4x2+9y2﹣12xy；⑤ 3x2﹣
6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练3】
6．把下列各式分解因式．
（1）n2﹣6mn+9m2 （2）a2﹣14ab+49b2
（3）a2﹣4ab+4b2 （4）m2﹣10m+25．
【即学即练4】7．分解因式：
①x2+6x+9＝ ；②1﹣4x+4y2＝ ；
③﹣a2+2a﹣1＝ ．
【即学即练5】
8．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝ ．
【即学即练6】
9．若x2+mx+16＝（x+n）2，其中m、n为常数，则n的值是（ ）
A．n＝8 B．n＝±8 C．n＝4 D．n＝±4
【即学即练7】
10．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝ ，n＝ B．m＝ ，n＝5
C．m＝25，n＝5 D．m＝5，n＝
知识点03 十字相乘法分解因式
1. 十字相乘法分解因式：
对于一个二次三项式 ，若存在 ， ，且 ，那么二次三
项式 可以分解为：
举例说明：
。∴
对于初中所用的十字相乘法，二次项系数 都是等于1的，即 。若存在有 ，且
，则 可分解为：
举例说明：
∵ 且
∴
题型考点：①十字相乘法分解因式。②根据十字相乘法分解因式求值。
【即学即练1】
11．十字相乘法分解因式：
（1）x2+3x+2 （2）x2﹣3x+2 （3）x2+2x﹣3（4）x2﹣2x﹣3 （5）x2+5x+6 （6）x2﹣5x﹣6
（7）x2+x﹣6 （8）x2﹣x﹣6 （9）x2﹣5x﹣36
（10）x2+3x﹣18 （11）2x2﹣3x+1 （12）6x2+5x﹣6．
【即学即练2】
12．把多项式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），则m+n的值是 ．
【即学即练3】
13．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
题型01 公式法分解因式
【典例1】
因式分解：
（1）m2﹣16； （2）（a2+1）2﹣4a2．【典例2】
把下列各式因式分解：
（1）4a2﹣ ； （2）（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2．
【典例3】
把下列各式因式分解：
（1）（x2+4）2﹣16x2； （2）﹣4ab﹣4a2﹣b2．
【典例4】
把下列各式因式分解：
（1）﹣x2﹣4y2+4xy； （2）16a2﹣（2a+3b）2．
【典例5】
因式分解：
（1）﹣4x2+12xy﹣9y2； （2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2．
【典例6】
分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
题型02 公式法的应用——求值
【典例1】
若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ）
A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定
【典例2】
已知x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2，则b2﹣a2的值是（ ）
A．﹣72 B．﹣45 C．45 D．72
【典例3】
已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．24 D．±24【典例4】
若x2+（m﹣3）x+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为（ ）
A．1或5 B．7或﹣1 C．5 D．7
【典例5】
已知4x2+2（k+1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则k＝ ．
题型03 十字相乘法分解因式
【典例1】
把多项式x2﹣3x+2分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2）
C．（x+1）（x+2） D．（x+1）（x﹣2）
【典例2】
分解因式：
（1）x2﹣12x+36＝ ；x2+2x﹣15＝ ；
（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣20．
【典例3】
阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn且p＝m+n，则可以把
x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．【典例4】
阅读下面的材料．
材料一：当ab＝0时，a＝0，或b＝0．
材料二：把等式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab的左右两边交换位置后，得到 x2+（a+b）x+ab＝
（x+a）（x+b），也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如 x2+3x+2＝（x+1）
（x+2）．
所以在解方程x2+3x+2＝0时，可以把方程变形为（x+1）（x+2）＝0，所以x+1＝0，或x+2＝0．所以x
1
＝﹣1，x ＝﹣2．
2
根据以上材料回答下列问题：
（1）因式分解：x2+7x﹣18＝ ；
（2）解方程：x2﹣5x+4＝0；
（3）若x2﹣xy﹣12y2＝0，则x与y的关系式是 ．
题型04 十字相乘法的应用——求值
【典例1】
把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7
C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
【典例2】
若x2+px+q＝（x+3）（x﹣5），则p、q的值分别为（ ）
A．﹣15，﹣2 B．﹣2，﹣15 C．15，﹣2 D．2，﹣15
【典例3】
若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【典例4】若将多项式x2﹣ax+b因式分解为（x﹣2）（x+5），则（﹣3a+b）2023的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
1．下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．16m2﹣25n2 C．4x2+4x+1 D．a2+2ab﹣b2
2．已知x2+kx+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．±6 B．±12 C．6 D．12
3．下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2
D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
4．若多项式x2+mx+n可因式分解为（x﹣2）（x+3），则mn的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．1
5．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（ ）
A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z6．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数
法可表示为（ ）
A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017
7．若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6
8．若二次三项式ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ），则当a＞0，b＜0，c＞0时，c ，c 的符号为（ ）
1 1 2 2 1 2
A．c ＞0，c ＞0 B．c ＜0，c ＜0 C．c ＞0，c ＜0 D．c ，c 同号
1 2 1 2 1 2 1 2
9. 分解因式：x6﹣28x3+27＝ ．
10．分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2＝ ．
11．若多项式x2+mx+n分解因式后的结果为（x+2）（x+3），则m﹣n的值为 ．
12．若|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，则a2﹣b＝ ．
13．已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
14．下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解的过程：
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16（第一步）
＝y2+8y+16（（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式
B．逆用平方差公式
C．逆用完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，应更正为 ．
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解．15．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：
①用配方法分解因式：a2+4a+3．
解：原式：＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣1）＝（a+3）（a+1）；
②M＝2a2﹣4a+6，利用配方法求M的最小值．
解：M＝2a2﹣4a+6＝2（a2﹣2a+1）+6﹣2＝2（a﹣1）2+4，
∵2（a﹣1）2≥0，∴2（a﹣1）2+4≥4，
∴当a＝1时，M有最小值4．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解x2﹣4x﹣12；
（2）若M＝4x2+4x﹣1，求M的最小值．
