专题14.2因式分解（压轴题专项讲练）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_压轴题专项-V5_2024版

专题 14.2 因式分解 【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因 式分解呢？我们已经知道，ax  cax  c  aax2 acx  acx  cc aa x2ac ac x  1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 cc． 1 2 反过来，就得到：a a x2+(a c +a c )x+c c =(a x+c )(a x+c )． 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 我们发现，二次项的系数a分解成a a ，常数项c分解成c c ，并且把a， a， c， c 如图①所示摆 1 2 1 2 1 2 1 2 放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a c +a c ，如果a c +a c 的值正好等于ax+bx+c的一次项系数 1 2 2 1 1 2 2 1 2 b，那么ax2+bx+c就可以分解为ax  ca x  c ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a ， c 位于下一 1 1 2 2 2 2 行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘 法”． 例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1， 把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线 交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2−x−6就可以分解 为(x  2)(x  3)． 请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： x2−x−6= ． 【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）2x2+5x−7= ； （2）6x2−7xy+2y2= ．【探究与拓展】 对于形如ax2+bxy+c y2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如 图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b ， pk  qj  e ，mk  nj  d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则， 则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （1）分解因式3x2+5xy−2y2+x+9 y−4= ； （2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18 y2−5x+my−24可以分解成两个一次因式的积，求m的 值； （3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3 y=−1，请写出一组符合题意的x，y的值． 【思路点拨】 【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； （2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案； （2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解； （3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解． 【解题过程】 解：【阅读与思考】画十字交叉图： ∴x2−x−6=  x -3 x  2． 故答案是： x- 3 x  2； 【理解与应用】（1）画十字交叉图： ∴2x2  5x  7 =  x 12x  7， 故答案是： x 12x  7；（2）画十字交叉图： ∴6x2 7xy  2y2 = 2x  y3x  2y， 故答案是：2x  y3x  2y； 【探究与拓展】（1）画十字交叉图： ∴3x2 5xy  2y2 x  9y  4  x  2y 13x  y  4， 故答案是：x  2y 13x  y  4； （2）如图， ∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积， ∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3， ∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78． ∴m的值为：43或－78； （3）∵x2+3xy+2y2+2x+3 y=−1， ∴x2+3xy+2y2+2x+3 y+1=0， 画十字交叉图：∴(x+2y+1)(x+ y+1)=0， ∴x+2y+1=0或x+ y+1=0， ∵x，y为整数， ∴x=－1，y=0是一组符合题意的值． 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____． 【思路点拨】 利用十字相乘法，分别对二次项系数，常数项进行因数分解，交叉乘加，检验是否得中项的系数，从而确 定适当的“十字”进行因式分解． 【解题过程】 解：利用十字相乘法，如图， 将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案， 15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）． 故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）． 2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：x6−28x3+27=______． 【思路点拨】 利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解． 【解题过程】 解：原式=(x3) 2 −28x3+27， =(x3−1)(x3−27)，=(x−1)(x2+x+1)(x−3)(x2+3x+9)． 故答案为：(x−1)(x2+x+1)(x−3)(x2+3x+9)． 3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：a4−4a3+4a2−9=___________． 【思路点拨】 本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因 式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式． 【解题过程】 解：a4−4a3+4a2−9 =(a4−4a3+4a2 )−9 =a2 (a−2) 2−32 =(a2−2a−3)(a2−2a+3) =(a−3)(a+1)(a2−2a+3) 故答案为：(a−3)(a+1)(a2−2a+3)． 4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____． 【思路点拨】 首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案． 【解题过程】 解：x3﹣6x2+11x﹣6 ＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6 ＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3） ＝x（x﹣3）2+2（x﹣3） ＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2] ＝（x﹣3）（x2﹣3x+2） ＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）． 故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）． 5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：6x2−5xy+ y2+17x−7 y+12=_______．【思路点拨】 将原式进行拆解变形为6x2−5xy+ y2+8x−4 y+9x−3 y+12后，先将前面几项利用十字相乘法因式分 解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可. 【解题过程】 解：6x2−5xy+ y2+17x−7 y+12 =6x2−5xy+ y2+8x−4 y+9x−3 y+12 =(2x−y)(3x−y)+4(2x−y)+3(3x−y)+12 =(2x−y)(3x−y+4)+3(3x−y+4) =(2x−y+3)(3x−y+4). 所以答案为(2x−y+3)(3x−y+4). 6．（2023春·七年级课时练习）分解因式：(x+ y−2xy)(x+ y−2)+(xy−1) 2= ______ ． 【思路点拨】 先利用乘法公式展开、合并得到原式=(x+ y) 2−2(x+ y)−2xy(x+ y)+(xy) 2+2xy+1，再进行分组得到 完全平方公式，所以原式=[(x+ y)−(xy+1)] 2，然后再把括号内分组分解即可． 【解题过程】 解：原式=(x+ y) 2−2(x+ y)−2xy(x+ y)+4xy+(xy) 2−2xy+1 =(x+ y) 2−2(x+ y)−2xy(x+ y)+(xy) 2+2xy+1 =(x+ y) 2−2(x+ y)(xy+1)+(xy+1) 2 2 =[(x+ y)−(xy+1)) =(x+ y−xy−1) 2 =[(x−1)(y−1)) 2 =(x−1) 2 (y−1) 2． 故答案为：(x−1) 2 (y−1) 2．7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式： （1）x2−7x+10 （2）x2x2−9x+18 （3）x2x2−5x−6 （4）x2x2−9x−22 （5）x23x2+x−2 （6）x23x2+x−4 （7）x2−12x2+25x−12 （8）x2−3x2−x+10 （9）x2x2−y2−x−y （10）x2x3+x2+x+1 （11）x2a2+4a−9b2+4 （12）x2a2−4b2−2a+4b 【思路点拨】 （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可； （3）利用十字相乘法分解因式即可； （4）利用十字相乘法分解因式即可； （5）利用十字相乘法分解因式即可； （6）利用十字相乘法分解因式即可； （7）利用十字相乘法分解因式即可； （8）利用十字相乘法分解因式即可； （9）利用分组分解法分解因式即可； （10）利用分组分解法分解因式即可； （11）利用分组分解法分解因式即可； （12）利用分组分解法分解因式即可． 【解题过程】 （1）解：x2−7x+10∴x2−7x+10=(x−2)(x−5)； （2）解：x2−9x+18 ∴x2−9x+18=(x−3)(x−6) （3）解：x2−5x−6 ∴x2−5x−6=(x+1)(x−6)； （4）解： x2−9x−22 ∴x2−9x−22=(x+2)(x−11)； （5）解：3x2+x−2∴3x2+x−2=(x+1)(3x−2)； （6）解：3x2+x−4 ∴3x2+x−4=(x−1)(3x+4)； （7）解：−12x2+25x−12=−(12x2−25x+12) ∴原式=−(3x−4)(4x−3)； （8）解：−3x2−x+10=−(3x2+x−10) ∴原式=−(x+2)(3x−5)； （9）解：x2−y2−x−y =(x+ y)(x−y)−(x+ y) =(x+ y)(x−y−1)； （10）解：x3+x2+x+1 =x2(x+1)+(x+1) =(x2+1)(x+1)； （11）解：a2+4a−9b2+4 =a2+4a+4−9b2=(a+2) 2−9b2 =(a+2+3b)(a+2−3b)； （12）解：a2−4b2−2a+4b =a2−4b2−(2a−4b) =(a+2b)(a−2b)−2(a−2b) =(a+2b−2)(a−2b)． 8．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解： （1）x2−2x3+16x2−24x； （2）x2 (a2+b2−c2 ) 2−4a2b2； （3）x2 (x2−x−3)(x2−x−5)−3； （4）x2(x+ y) 3−x3−y3； （5）x2x3−9x+8． 【思路点拨】 （1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解． （2）运用公式法进行因式分解． （3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解． （4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解． （5）先分组，再提公因式进行因式分解． 【解题过程】 （1）解：（1）−2x3+16x2−24x ＝−2x(x2−8x+12) ＝−2x(x−2)(x−6)． （2）(a2+b2−c2 ) 2−4a2b2 ＝(a2+b2−c2+2ab)(a2+b2−c2−2ab) ＝[(a+b) 2−c2)[(a−b) 2−c2) ＝(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c)．（3）(x2−x−3)(x2−x−5)−3 ＝(x2−x) 2 −8(x2−x)+15−3 ＝(x2−x) 2 −8(x2−x)+12 ＝(x2−x−2)(x2−x−6) ＝(x+1)(x−2)(x+2)(x−3) （4）(x+ y) 3−x3−y3 ＝(x+ y) 2 (x+ y)−x3−y3 ＝(x2+ y2+2xy)(x+ y)−x3−y3 ＝x3+x2y+x y2+ y3+2x2y+2x y2−x3−y3 ＝3x2y+3x y2 ＝3xy(x+ y)． （5）x3−9x+8 ＝x3−x−8x+8 ＝x(x2−1)−8（x−1） ＝x(x+1)(x−1)−8(x−1) ＝(x−1)(x2+x−8)． 9．（2023春·七年级课时练习）因式分解： （1）x2a2−4b2+12bc−9c2； （2）x2x2−2x−15； （3）x2x2−y2−4x+6 y−5． 【思路点拨】 （1）利用分组法变形为a2−(4b2−12bc+9c2 )后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． x 3 （2）利用十字相乘法 × 分解因式即可． x −5（3）变形为(x2−4x+4)−(y2−6 y+9)后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． 【解题过程】 （1）解：原式=a2−(4b2−12bc+9c2 ) =a2−(2b−3c) 2 =(a+2b−3c)(a−2b+3c)； （2）解：原式=(x−5)(x+3)； （3）解：原式=(x2−4x+4)−(y2−6 y+9) =(x−2) 2−(y−3) 2 =(x+ y−5)(x−y+1)． 10．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式： （1）3a(b2+9) 2−108ab2； （2）2b3−b2−6b+5a−10ab+3； ( 24+ 1)( 44+ 1)( 64+ 1) 4 4 4 （3）计算： ； ( 14+ 1)( 34+ 1)( 54+ 1) 4 4 4 （4）4x2−14xy+6 y2−7x+ y−2． 【思路点拨】 （1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得； （2）利用分组分解法进行因式分解即可得； 1 (x+1) 4+ 1 1 4 （3）先利用公式法分解x4+ 和(x+1) 4+ ，从而可得 的值，再代入计算即可得； 4 4 1 x4+ 4 （4）先利用十字相乘法分解4x2−14xy+6 y2，再利用提公因式法进行因式分解即可得． 【解题过程】 解：（1）原式=3a[(b2+9) 2−36b2)=3a(b2+9+6b)(b2+9−6b) =3a(b+3) 2 (b−3) 2； （2）原式=(2b3−b2)+(5a−10ab)−(6b−3) =b2(2b−1)−5a(2b−1)−3(2b−1) =(2b−1)(b2−5a−3)； （3）∵x4+ 1 = ( x2+ 1) 2 −x2= ( x2+x+ 1)( x2−x+ 1) ， 4 2 2 2 2 (x+1) 4+ 1 = [ (x+1) 2+ 1) −(x+1) 2 4 2 = [ (x+1) 2+(x+1)+ 1)[ (x+1) 2−(x+1)+ 1) 2 2 = ( x2+3x+ 5)( x2+x+ 1) ， 2 2 (x+1) 4+ 1 ( x2+3x+ 5)( x2+x+ 1) x2+3x+ 5 4 2 2 2 ∴ = = ， x4+ 1 ( x2+x+ 1)( x2−x+ 1) x2−x+ 1 4 2 2 2 ( 24+ 1)( 44+ 1)( 64+ 1) 4 4 4 ∴ ( 14+ 1)( 34+ 1)( 54+ 1) 4 4 4 5 5 5 12+3×1+ 32+3×3+ 52+3×5+ 2 2 2 = × × 1 1 1 12−1+ 32−3+ 52−5+ 2 2 2 13 41 85 2 2 2 = × × 1 13 41 2 2 2 =85； （4）原式=(x−3 y)(4x−2y)−7x+ y−2=(x−3 y)(4x−2y)+(x−3 y)−8x+4 y−2 =(x−3 y)(4x−2y+1)−2(4x−2y+1) =(4x−2y+1)(x−3 y−2)． 11．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式： （1）a2+4ab+4b2−ac−2bc （2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx （3）a2−b2−x2+ y2−2ay+2bx （4）(1+ y) 2−2x2(1−y2)+x4(1−y) 2 【思路点拨】 （1）（2）（3）利用分组分解法分解即可； （4）利用完全平方公式分解即可． 【解题过程】 解：（1）a2+4ab+4b2−ac−2bc =(a+2b) 2−c(a+2b) =(a+2b−c)(a+2b)； （2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx =(ax2+bx2+cx2)+(ax+bx+cx) =(a+b+c)x2+(a+b+c)x =x(x+1)(a+b+c)； （3）a2−b2−x2+ y2−2ay+2bx =a2−2ay+ y2−(b2+x2−2bx) =(a−y) 2−(b−x) 2 =[(a−y)+(b−x))[(a−y)−(b−x)) =−(x−a−b+ y)(x+a−b−y)； （4）(1+ y) 2−2x2(1−y2)+x4(1−y) 2 =(1+ y) 2−2x2(1+ y)(1−y)+x4(1−y) 2=[(1+ y)−x2(1−y)) 2 =(x2y−x2+ y+1) 2． 12．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解： （1）2a(a−1) 2−28a2(1−a)+18a(a−1) （2）(x2+3x) 2 −8(x2+3x)−20 （3）4x3−2x2−9x y2−3xy （4）y(y−4)−(m+2)(m−2) 【思路点拨】 （1）利用提公因式法分解因式求解即可； （2）利用换元法设x2+3x=t，然后利用十字相乘法分解因式求解即可； （3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解； （4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可． 【解题过程】 （1）2a(a−1) 2−28a2(1−a)+18a(a−1) =2a(a−1) 2+28a2(a−1)+18a(a−1) =2a(a−1)(a−1+14a+9) =2a(a−1)(15a+8)； （2）设x2+3x=t， ∴原式=t2−8t−20=(t+2)(t−10) ∴(x2+3x) 2 −8(x2+3x)−20 =(x2+3x+2)(x2+3x−10) =(x+1)(x+2)(x−2)(x+5)； （3）4x3−2x2−9x y2−3xy =x(4x2−2x−9 y2−3 y)=x[(4x2−9 y2)−(2x+3 y)) =x[(2x+3 y)(2x−3 y)−(2x+3 y)) =x(2x+3 y)(2x−3 y−1)； （4）y(y−4)−(m+2)(m−2) = y2−4 y−m2+4 = y2−4 y+4−m2 =(y−2) 2−m2 =(y−2+m)(y−2−m)． 13．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2 【思路点拨】 前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，展开后利用等式的性质求得a=-5z， b=2z，即可分解． 【解题过程】 解：x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2 =(x−y)(x+2y)−3xz−12yz−10z2， 设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)， 则(x-y+a) (x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab， ∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2， 解得：a=-5z，b=2z， ∴x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2 =(x−y−5z)(x+2y+2z)． 14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解： （1）2(x2+6x+1) 2 +5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1) 2 （2）x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3 【思路点拨】 （1）先将x2+6x+1和x2+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分 解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因 子x−y，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x，又因为原式为x，y，z 的五次式，因此可以设x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3 =(x−y)(y−z)(z−x)[A(x2+ y2+z2)+B(xy+ yz+zx))，利用待定系数法即可求解． 【解题过程】 （1）解：2(x2+6x+1) 2 +5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1) 2 =(2x2+12x+2+x2+1)(x2+6x+1+2x2+2) =9(x2+4x+1)(x2+2x+1) =9(x2+4x+1)(x+1) 2 （2）解：当x= y时，原式等于0，故原式含有因子x−y， 又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x， 又因为原式为x，y，z的五次式，故可设x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3 =(x−y)(y−z)(z−x)[A(x2+ y2+z2)+B(xy+ yz+zx)) 令x=−1，y=0，z=1得2A−B=−1， 令x=0，y=1，z=2得5A+2B=2， 解得A=0，B=1， 所以x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3=(x−y)(y−z)(z−x)(xy+ yz+zx)． 15．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当m为何值时，多项式 6x2+mxy−5 y2−15x+38 y−21可以分解为两个关于x，y的一次三项式的乘积？ 【思路点拨】 先将x项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比较，列出方程求解即可． 【解题过程】 解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy−5 y2−15x+38 y−21中6x2−15x−21三项应当分解为：(2x−7)(3x+3)， 现在要考虑y，只须先改写作(2x−7+ay)(3x+3+by)， { ab=−5 ) 然后根据−5 y2，38 y这两项，即可断定是： ， 3a−7b=38 35 3 解得：a=1，b=−5或a= ，b=− ， 3 7 又∵m=2b+3a， ∴当a=1，b=−5时，m=−7， 35 3 239 当a= ，b=− 时，m= ． 3 7 7 16．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋ q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6） （x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A ＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 【思路点拨】 （1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可； （2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可； ②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3） （B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可． 【解题过程】 解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）； （2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16， A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2， 所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2； ②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1） =（m2-2m-3）（m2-2m+1） =（m-3）（m+1）（m-1）2， 所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2． 17．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因 式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法 及“3+3”分法等． 如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+ y)+b(x+ y)=(x+ y)(a+b) 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2−y2−x−y； （2）分解因式：9m2−4x2+4xy−y2； （3）分解因式：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1. 【思路点拨】 （1）先运用平方差公式，再提取公因式即可； （2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可； （3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可． 【解题过程】 （1）解：x2−y2−x−y =(x−y)(x+ y)−(x+ y) =(x+ y)(x−y−1)； （2）解：9m2−4x2+4xy−y2 =9m2−(4x2−4xy+ y2) =9m2−(2x−y) 2 =(3m+2x−y)(3m−2x+ y)； （3）解：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1 =(4a2−4a2b2)+(4a−4ab2)+(1−b2) =4a2(1−b2)+4a(1−b2)+(1−b2)=(4a2+4a+1)(1−b2) =(4a2+4a+1)(1−b2) =(2a+1) 2 (1+b)(1−b)． 18．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分 解： 首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写 成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣ 7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式 进行因式分解的方法，称为待定系数法． （1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ． （2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ． （3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解． 【思路点拨】 （1）用十字相乘法分解． （2）根据因式分解的结果进行计算，比较系数即可求解； （3）先分组，再用待定系数法分解． 【解题过程】 （1）解：x2﹣15x﹣34 ＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2） ＝（x﹣17）（x+2）． 故答案为：（x﹣17）（x+2）． （2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac． ∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac． ∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4． 解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4． 故选填一组即可． 故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2． （3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4） ＝（3×1）m2+[3m×（2n﹣1）﹣m（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）． 19．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用 上述方法无法分解，例如x2−4 y2−2x+4 y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以 分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下： x2−4 y2−2x+4 y =(x2−4 y2)−(2x+4 y) =(x+2y)(x−2y)−2(x+2y) =(x−2y)(x+2y−2) 这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： （1）mn2−2mn+2n−4； （2）x2−2xy+ y2−16； （3）4x2−4x−y2+4 y−3． 【思路点拨】 （1）将前两项分为一组，后两项分为一组，分别因式分解，再提取公因式即可； （2）对前三项利用完全平方公式因式分解，再整体运用平方差公式分解即可； （3）前两项加1，后三项减1，分别构建完全平方式，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【解题过程】 （1）解：mn2−2mn+2n−4 =mn(n−2)+2(n−2) =(n−2)(mn+2) （2）x2−2xy+ y2−16 =(x−y) 2−42 =(x−y+4)(x−y−4) （3）4x2−4x−y2+4 y−3 =4x2−4x+1−y2+4 y−3−1 =(4x2−4x+1)−(y2−4 y+4) =(2x−1) 2−(y−2) 2 =[(2x−1)+(y−2))[(2x−1)−(y−2))=(2x+ y−3)(2x−y+1) 20．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如 x2−2xy+ y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四 项结合再运用平方差公式进行分解． 过程如下：x2−2xy+ y2−16=(x−y) 2−16=(x−y+4)(x−y−4)． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）因式分解：a2−6ab+9b2−25； （2）因式分解：x2+x−5x−5； 1 （3）若m、n、p为非零实数，且 (m−n) 2=(p−n)(m−p)，求证：2p=m+n． 4 【思路点拨】 （1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案； （2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案； （3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答 案． 【解题过程】 （1）解：a2−6ab+9b2−25 =(a−3b) 2−25 =(a−3b−5)(a−3b+5)； （2）解：x2+x−5x−5 =(x2+x)−(5x+5) =x(x+1)−5(x+1) =(x+1)(x−5)； 1 （3）证明： (m−n) 2=(p−n)(m−p)， 4 m2−2mn+n2=4(pm−p2−mn+pn)， m2−2mn+n2=4 pm−4 p2−4mn+4 pn，m2−2mn+n2+4mn−4 pm−4 pn+4 p2=0， (m2+2mn+n2)−(4 pm+4 pn)+4 p2=0， (m+n) 2−4 p(m+n)+4 p2=0， 2 [(m+n)−2p) =0， (m+n)−2p=0，