文档内容
衔接点 03 因式分解
1、熟练掌握提公因式法和公式法
2、能灵活应用十字相乘法
3、了解分组分解法
一、初中知识再现
1、因式分解定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解.
2、提公因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘
积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如:
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
3、公式法：
3.1公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这
两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式或多项式.
3.2公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即 ， .
形如 ， 的式子叫做完全平方式.
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是
两数的和（或差）的平方.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式或多项式.
4、十字相乘法
4.1十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式 ，若存在 ，则
特别说明：
（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则 , 同号(若 ，则
, 异号)，然后依据一次项系数 的正负再确定 , 的符号
（2）若 中的 , 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后
看这两个整数之和能否等于 ，直到凑对为止.
4.2首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式 中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即 ，常数项
可以分解成两个因数之积，即 ，把 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 ，若它正好等于二次三项式 的一次项系数
，即 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 与 之积，即
.
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果
不要忘记把提出的负号添上.
5、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，
即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题
目进行分组，然后再分解因式.
6、求根公式法
对于一元二次方程 ，当 时，一元二次方程
有两个实数根，记为： .此时对应的二次三项式 可分解为：
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二、高中相关知识
1、乘法公式中的立方和、立方差公式：
①
②
2、因式分解中的立方和、立方差公式
①
②
对点特训一：提公因式法因式分解
典型例题
例题1．（23-24八年级下·全国·课后作业）将多项式 提公因式后，另一个
因式为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若 ， ，则 ．
精练
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式 分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）分解因式：
(1) ；
(2) ．
对点特训二：运用公式法分解因式
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全
平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数
式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解： ．
解：原式
．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
请用配方法分解因式：
(1) ；
(2) ．
例题2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）把下列各式进行因式分解
(1)
(2)
(3)
精练
1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式
法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分
解的过程．
甲： 乙：
（先分成两组） （先分成两组）
． ．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
(1)试用上述方法分解因式： ．
(2)利用分解因式说明：因式 能被9整除．
对点特训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解
典型例题
例题1．（2024·江西吉安·一模）因式分解： ．
例题2．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ．
题型归类练
1．（23-24九年级下·上海·阶段练习）分解因式： ．
2．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解 的结果是 ．
对点特训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司典型例题
例题1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若 是多项式 （m为系数）的一个因式，则m
的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
例题2．（2023八年级上·全国·专题练习）十字相乘法分解因式：
(1)
(2)
精练
1．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ．
2．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式：
(1) ．
对点特训五：含参数的十字相乘法
典型例题
例题1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）解下列关于x的不等式：
(1) ．
例题2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）分解因式：
(1)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司题型归类练
1．（23-24八年级上·四川内江·期中）因式分解
(1)
2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解：
对点特训六：十字相乘法的综合应用
典型例题
例题1．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式 等于整式 与整式 之积，则称整式 和整式 为整式 的因式．
如：①因为 ，所以 和 是 的因式．
②若 是 的因式，则求常数 的值的过程如下：
解： 是 的因式，
存在一个整式 ，使得 ．
当 时， ，此时 ．
将 代入 得， ，解得 ．
(1) 是 的因式吗？______（填“是”或“不是”）；
(2)若整式 是 的因式，求常数 的值．
例题2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
① ；
② ；
③ ．
通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ( 为整数
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有 ，即可将形如
的多项式因式分解成 ( 为整数 ．
例如： ．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】（2）规律应用：若 可用以上方法进行因式分解，则整数 的所有可能值是
______；
精练
1．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料：
材料 将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且 ，则可以把
因式分解成 ．
(1)根据材料 ，把 分解因式．
(2)结合材料 和材料 ，完成下面小题：
①分解因式： ；
②分解因式： ．
2．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：
．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系
可得 ．通过观察可把 看作以x为未知数，a、
b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 与常数项 分别进行适当的
分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方
法称为十字相乘法．例如，将二次三项式 的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，
如图2，则 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式： ；
(2)用十字相乘法分解因式： ；
(3)结合本题知识，分解因式： ．
对点特训七：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）
典型例题
例题1．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公
因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分
组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：
① ；
② ．
(2)已知 的三边 ， ， 满足 ，试判断 的形状．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分
解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
．
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 ， ，求式子 的值；
(3)已知 的三边长分别是a，b，c，且满足 ，试判断 的形状，并说明理
由．
精练
1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
乙：
（分成两组）
（分成两组）
（直接提公因
（直接运用公式）
式）
，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解： ；
(2)若 ，求式子 的值．
2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它
的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：
，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1） ______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
① ______．
② ______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足 ，试判断这个三角形的形状，并
说明理由．
对点特训八：因式分解的应用
典型例题
例题1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一
个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式 ．将若干张图
2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式 分解因式为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两
种方案：
方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q．
方案2：第一、二次提价的百分率均为 ．
其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为：
(1)方案1：______；方案2：______；
(2)两种方案中哪种提价多？请说明理由．
精练
1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且
，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转
化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．
(1)探究一：将图 的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图 的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个
多项式的因式分解______．
(2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为 的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为
的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为______．再将图 中的几何体分割成三个长方
体 、 、 ，如图 所示，则根据图中的数据，长方体 的体积为 ．类似地，表示出长方体
的体积为______，长方体 的体积为______．当用两种不同的方法表示图 中几何体的体积时，就可以得
到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知 ， ，求 的值．
一、单选题
1．（2024·河南驻马店·一模）下列等式，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ）
A． B．24 C． D．10
3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级上·河南南阳·期末）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列多项式分解因式结果不含因式 的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年级上·重庆万州·期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解
的其他方法进行了探究，如：分解因式 .设 ，利用多项式相等得
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司， ，故 可分解 .此时，我们就说多项式 既能被 整除，也能被
整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1） 能被 整除；
（2）若 能被 整除，则 或 ；
（3）若 能被 整除，则 ， .
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若多项式 可分解为 ，则 的值为 ．
10．（23-24八年级上·山东德州·期末）若 ，则 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读理解并解答：
我们把多项式 ， 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是
判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值
的最大（或最小）值问题．
(1)例如：① ，
是非负数，即 ， ，
则这个代数 的最小值是2，这时相应的x的值是 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司② ，
是非负数，即 ， ，
则这个代数式 的最小值是__________，这时相应的x的值是__________；
(2)知识再现：当 __________时，代数式 的最小值是__________；
(3)知识运用：若 ，当 __________时，y有最__________值（填“大”或“小”），这个值是
__________；
(4)知识拓展：若 ，求 的最小值．
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