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专题14.23 因式分解（十字相乘法）（分层练习）
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）将多项式 分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·七年级单元测试）分解因式： ，其中□表示一个常数，则□的
值是（ ）
A．7 B．2 C． D．
3．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）把多项式 分解因式，得
，则a，b的值分别是（ ）
A．2，3 B．2， C．1， D． ，
4．（2023·上海·七年级假期作业）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取
值正确的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且
分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）若多项式 可分解为 ，则 的值
为（ ）A． B． C． D．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人在因式分解 时，甲看错了a的值，分解的
结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2023春·全国·七年级专题练习）若二次三项式 ，则当 ， ，
时， ， 的符号为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ， 同号
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）多项式 可因式分解成 ，其中 ， 均为整
数，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2023
10．（2023春·全国·八年级专题练习）下列因式分解中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）若多项式 可因式分解为 ，其中 、
、 均为整数，则 的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
12．（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是
，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为（ ）．A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）因式分解： ．
14．（2023春·七年级课时练习）已知 ， ， ，则代数式 的值
是 ．
15．（2023·全国·九年级专题练习）若关于 的二次三项式 因式分解为 ，则
的值为 ．
16．（2023秋·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）二次三项式 能在整
数范围内分解因式，则 为 ．
17．（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知关于 的二次三项式 可
分解为 ，则 的值为 ．
18．（2022春·七年级单元测试）多项式 ， ， 的公因式是 ．
19．（2023·广东佛山·模拟预测）因式分解： ．
20．（2023·山东威海·统考二模）甲、乙两人在对 进行因式分解时，甲看错了a，得到的结
果为 ；乙看错了b，得到的结果为 ，则 因式分解的正确结果为 ．
21．（2022春·七年级单元测试）观察下列因式分解中的规律：① ；②；③ ；④ ；利用上述系数特
点分解因式 ．
22．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图， ）．
（1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为 大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片
张．
（2）若取甲纸片 张，乙纸片 张，丙纸片 张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，
宽为 ．
23．（2023春·七年级单元测试）阅读下面材料：
分解因式： ．
因为 ，
设 ．
比较系数得， ．解得 ．
所以 ．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式 ．
24．（2021·山东日照·校考二模）对于多项式x3＋8x2＋4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代
入多项式，发现多项式x3＋8x2＋4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x＝2（注：把x＝a代入多项式
能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3＋8x2＋4x﹣48＝（x﹣
2）（x2＋mx＋n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣
6x2＋3x＋10因式分解的结果为 ．
三、解答题
25．（2023秋·八年级课时练习）分解因式：（1） ； （2） ．
26．（2020秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解：
（1） ． （2） ．
27．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）阅读下列材料：
材料 将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且 ，则可以把
因式分解成 ．
（1）根据材料 ，把 分解因式．
（2）结合材料 和材料 ，完成下面小题：
①分解因式： ；
②分解因式：
28．（2023春·江苏·七年级期中）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：
．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得： ．利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分
解因式，例如：将式子 分解因式．分析：这个式子的常数项 ，一次项系数 ．这是
一个 型的式子，∴ ，∴ ．
（1）填空：式子 的常数项= ，一次项系数= ，分解因式 ．
（2）若 可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ．
参考答案
1．C
【分析】二次项系数看成 ，常数项看成 ，利用十字相乘法分解因式即可．
解：
故选：C．【点拨】本题考查了用十字相乘法分解因式，正确理解因式分解的定义，注意各项系数的符号是解题
的关键．
2．C
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
解： ，
∴ 表示 ，
故选：C．
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
3．C
【分析】根据把多项式 分解因式得 得出 ， ，再求出答案即
可．
解：∵把多项式 分解因式，得 ，
∴ ， ，
故选：C．
【点拨】本题考查因式分解，能用乘法公式逆运算是解此题的关键．
4．C
【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．
解：A、 ，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
B、 ，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
C、 ，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；
D、 ，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
故选C
【点拨】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．
5．B【分析】根据因式分解的定义和方法逐个判断即可．
解：A、 ，分解错误，故不合题意；
B、 ，是因式分解且分解正确，故符合题意；
C、 ，不是因式分解，故不合题意；
D、 ，分解不彻底，故不合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解，掌握其定义和因式分解的常用方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知： ．
解： 多项式 可分解为 ，
．
．
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
7．A
【分析】根据甲分解的结果求出 ，根据乙分解的结果求出 ，然后代入 求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．
8．D【分析】首先整式的乘法展开 为 ，然后根据 求解即
可．
解：∵
，
，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， 同号．
故选：D．
【点拨】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解和整式乘法的关系．
9．B
【分析】先分解因式，求出 、 的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．
解： ，
又 多项式 可因式分解成 ，
， 或 ， ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键．
10．C
【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可
解：A. ，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，符合题意；D. ，故该选项正确，不符合题意；
故选C
【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．B
【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值
是得出正确答案的关键．
12．B
【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求
出a的值，再因式分解即可得到答案．
解：∵甲看错了a的值
∴b是正确的
∵ =
∴b=-6
∵乙看错了b的值
∴a是正确的
∵ =
∴a=-1
∴ =
故选：B．
【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．
13．
【分析】利用十字相乘法分解即可．解： ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．24
【分析】用提公因式法和十字相乘法把代数式 进行因式分解后，把 ，
， ，整体代入即可求值．
解：∵ ， ， ，
∴
＝xy（x2－2xy－3y2）
＝xy（x－3y）（x＋y）
＝2×3×4
＝24
故答案为：24
【点拨】此题考查了代数式的求值和因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．1
【分析】把 括号打开，求出 的值，计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．
16． 或
【分析】把 分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，即可得到答案．
解： ，
或 或 或 ，为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查的是利用十字相乘法分解因式，对常数 正确分解是解题关键．
17．
【分析】 ，根据以上内容得出 ， ，求出 、
，再求出答案即可．
解： 关于 的二次三项式 可分解为 ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解，能熟记 是解此题的关键．
18． /
【分析】把第一个多项式用提取公因式的方法因式分解，把第二个多项式用完全平方和公式进行因式
分解，把第三个多项式用平方差的公式进行因式分解，然后找到其中相同的因式即为公因式.
解：
由分解的结果可知，公因式为
故答案为
【点拨】本题考查了因式分解的直接提公因式法和公式法，涉及到的因式分解的公式有平方差公式
和完全平方和公式 .
19．
【分析】先提公因式 ，然后根据十字相乘法因式分解即可求解．解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
20．
【分析】根据因式分解的恒等性，根据 确定b的值，根据题意，
，确定正确的a值，后重新因式分解即可．
解：∵甲看错了a，得到的结果为 ；乙看错了b，得到的结果为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解的看错项问题，熟练掌握因式分解的意义是解题的关键．
21．
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：
．
22． / /
【分析】（1）根据正方形的面积得出 ，即可求解；（2）根据题意长方形的面积为 ，结合题意，即可求解．
解：（1）∵
∴需要取乙纸片 张，丙纸片 张
故答案为： ， ．
（2）依题意， ，
∴这个长方形的长为 ，宽为 ，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键．
23．
【分析】先用十字相乘法分解因式得到 ，再设
，比较系数得到 ，解方程
组即可求解．
解：∵ ，
设 ，
比较系数得， ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是
解题关键．
24．（x﹣2）（x﹣5）（x+1）
【分析】当x＝2时，代数式的值为0，则多项式含有因式（x﹣2），于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），展开对照，求出m，n的值，用十字相乘法分解因式即可．
解：把x＝2代入多项式，
x3﹣6x2+3x+10
＝23﹣6×22+3×2+10
＝8﹣6×4+6+10
＝8﹣24+6+10
＝0，
于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），
故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．
【点拨】本题考查因式分解的应用，题目形式较为新颖，从题目中获取正确信息是解题关键．
25．（1） ；（2）
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；
（2）利用十字相乘法因式分解即可．
（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
26．（1） ；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，然后再用十字相乘法和平方差公式分解因式即可．
（1）解：；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式 ，平方差公式
．
27．（1） ；（2）① ，②
【分析】（1）根据 进行解答即可；
（2）①将 看成一个整体，令 ，分解因式，然后再还原即可；②令
，原式可变为 ，即 ，利用十字相乘法可分解为 ，
再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
（1）解：
（2）解：①令 ，
原式=
=
=②令 ，
原式=
=
=
=
∴原式=
= ．
【点拨】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确
应用的前提．
28．（1）10；7； ；（2） ， ．
【分析】（1）由 的常数项为 ，一次项系数为 ，从而可得因式分解的结果；
（2）由 ，再分类讨论可得答案．
（1）解：式子 的常数项为 ，一次项系数为 ，
分解因式 ；
（2）∵ ，
∴ ，此时 ，
或 ，此时 ，
或 ，此时 ，
或 ，此时 ，∴ ， ．
【点拨】本题属于阅读理解题，考查的是利用十字乘法分解因式，理解题意，能够利用十字乘法解决
问题是解本题的关键．
