3 勾股定理的应用
教学目标
【知识与技能】
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾股定理解决简单的实际问题.
【过程与方法】
1.经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程,并能用勾股定理解决问题,发
展学生的应用意识.
2.在解决实际问题的过程中,体验解决问题的策略,培养学生的实践能力和创新精神.
3.在解决实际问题的过程中,学会与他人合作,并能与他人交流思维过程和结果,形成反
思的意识.
【情感、态度与价值观】
1.在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,增强自
信心.
2.在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
教学重难点
【重点】
将实际问题转化为直角三角形模型.
【难点】
如何用直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题.
教学过程
一、复习导入
问题1:欲登12 米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5 米,至少需要多长的
梯子?
(勾股定理是几何中几个最重要的定理之一,它揭示了一个直角三角形三条边之间的数
量关系,它可以解决许多直角三角形中的计算问题,是解直角三角形的主要依据之一,在生产
和生活中用途很大.它不仅在数学中,而且在其他自然科学中也被广泛应用.此活动让学生体
验勾股定理在生活中的一个简单应用.)
师生活动:
学生分小组讨论,建立直角三角形的数学模型.
教师深入到小组活动中,倾听学生的想法.
此活动中,教师应重点关注:
1.学生是否能将简单的实际问题转化为数学模型.
2.学生是否能利用勾股定理解决实际问题并给予解释.
3.学生是否积极主动地参与数学活动.
生:根据题意,作出如图所示的图形,AC 是建筑物,则AC=12 cm,BC=5 cm,AB 是梯子的长度.
所以在Rt△ABC 中,AB2=AC2+BC2=122+52=132,AB=13 cm.
所以至少需13 cm 长的梯子.
师:很好!
由勾股定理可知,已知两直角边的长分别为a、b,就可以求出斜边c 的长.由勾股定理可
得a2=c2-b2或b2=c2-a2.已知斜边与一条直角边的长,就可以求出另一条直角边的长,也就是说,
在直角三角形中,已知两边就可求出第三边的长.
问题2:一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m、宽2.2 m 的薄木板能否从门框内通过?为什
么?
(进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用,提高解决实际问题的能力.)
师生行为:
学生分组讨论、交流,教师深入到学生的数学活动中,引导他们发现问题,寻找解决问题的
方法.
教师在此活动中应重点关注:
1.学生能否独立思考,发现解决问题的方法,比较AC 与宽2.2 m 的大小即可.
2.学生遇到困难,能否有克服的勇气和坚强的毅力.
生:从题意可以看出,木板横着进、竖着进都不能从门框内通过,只能试试斜着能否通过.
生:在长方形ABCD 中,对角线AC 是斜着能通过的最大长度,求出AC,再与木板的宽比较,就
能知道木板是否能通过.
师生共同分析:
解:在Rt△ABC 中,根据勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=5.
因此AC=≈2.236.
因为AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.
二、例题讲解
【例1】 小明和爸爸、妈妈十一登香山,他们沿着45°的坡路走了500 米,看到了一棵红
叶树,这棵红叶树离地面的高度是 米.
分析:设红叶树离地面的高是x 米,则由题意可知x2+x2=5002,则x=250(米).
【答案】 250
【例2】 如图是一个滑梯示意图,若将滑道AC 水平放置,则刚好与AB 一样长.已知滑梯
的高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC 的长.
【答案】 设滑道AC 的长度为x m,则AB 的长度为x m,AE 的长度为(x-1)m.
在Rt△ABC 中,∠AEC=90°,由勾股定理得AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5.
故滑道AC 的长度为5 m.
【例3】 如图,一根12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定,两个固定点之间的距离
是 米.
分析:由图及题意知,两个固定点之间的距离是2=18.
【答案】 18
【例4】 如图是一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单位:mm),求两孔中心A、B 之间的距
离.
分析:解决问题的关键是构造出含所求线段的直角三角形,这样就可以用勾股定理求解.
【答案】 过A 作铅垂线,过B 作水平线,两线交于点C,则∠ACB=90°,AC=90-
40=50(mm),BC=160-40=120(mm).由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=502+1202=16
900(mm2).∵AB>0,∴AB=130(mm).
答:两孔中心A、B 之间的距离为130 mm.
三、巩固练习
1.有一个边长为1 米的正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖的半径
至少为 米.
【答案】
2.如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱AD 高24 米,AB=AC=48 米,E、F 分别为BD、CD 的
中点,试求B、C 两点之间的距离以及钢索AE 的长度.(精确到1 米)
【答案】 83 米,32 米
3.某人想横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C 偏离欲到达地点B200 米,结果他
在水中实际游了520 米,求该河流的宽度.
【答案】 约480 m
四、课堂小结
1.谈谈你在这节课有哪些收获.(会用勾股定理解决简单应用题;会构造直角三角形.)
2.本节是从实际问题出发,转化为直角三角形问题,并用勾股定理完成解答.
