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二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
要点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：
2,
5.
x
y
．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如
5
2
0
1
3
y
x
x
也是二元一
次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成
x
a
y
b
的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2
5
2
6
x
y
x
y
无解，而
方程组
1
2
2
2
x
y
x
y
的解有无数个．
【典型例题】
类型一、二元一次方程
1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．
(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x+y＝6； (5)2x-4y＝7；
(6)
1
0
2
x
；(7)
2
5
1
x
y
；(8)
1
3
2
x
y
；(9)
2
8
0
x
y
；(10)
4
6
2
x
y
．
【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．
【答案】(1)(4)(5)(8)(10)
【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含
有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；
(9)中未知数x 的次数为2．
【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复
杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．
举一反三：
【变式】（2015 春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．
=y+5x
B．3x+2y=2x+2y
C．x=y2+1
D．
【答案】D．
类型二、二元一次方程的解
2.（2016 春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程x+y=7 的解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】二元一次方程x+y=7 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入
方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【答案】B
【解析】
解：A、把x=﹣2，y=5 代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；
B、把x=3，y=4 代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；
C、把x=﹣1，y=7 代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；
D、把x=﹣2，y=﹣5 代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．
故选B．
【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y
的值代入原方程验证二元一次方程的解．
【高清课堂：二元一次方程组的概念409142 例2（2）】
举一反三：
【变式】若方程
2
4
ax
y
的一个解是
2
1
x
y
，则a= .
【答案】3
3.已知二元一次方程
3
1
4
2
x
y
．
(1)用含有x 的代数式表示y；(2)用含有y 的代数式表示x；
(3)用适当的数填空，使
2
_______
x
y
是方程的解．
【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，
把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．
【答案与解析】
解：(1)将方程变形为3y＝2
2
x
，化y 的系数为1，得
2
3
6
x
y
．
(2)将方程变形为
2
3
2
x
y
，化x 的系数为1，得
4
6
x
y
．
(3)把x＝-2 代入
2
3
6
x
y
得， y＝1．
【总结升华】用含x 的代数式表示y，其实质表示为“y＝含x 的代数式”的形式．在进行方程
的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．
举一反三：
【变式】已知：2x+3y=7，用关于y 的代数式表示x，用关于x 的代数式表示y．
【答案】
解：（1）2x=7－3y，
7
3
2
y
x
；（2）3y=7－2x，
7
2
3
x
y
类型三、二元一次方程组及方程组的解
4.（2015 春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】解：A 是二元二次方程组，故A 不是二元一次方程组；
B 是三元一次方程组，故B 不是二元一次方程组；
C 是二元一次方程组，故C 是二元一次方程组；
D 不是整式方程，故D 不是二元一次方程组；
【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1 的方
程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．
5.判断下列各组数是否是二元一次方程组4
2
2
1
x
y
x
y
①
②
的解．
（1）
3
5
x
y
（2）
2
1
x
y
【答案与解析】
解：（1）把
3
5
x
y
代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以
3
5
x
y
是方程①的解．
把x＝3，y＝-5 代入方程②中，左边＝3
( 5)
2
，右边＝1
，左边≠右边，所以
3
5
x
y
不是方程②的解．
所以
3
5
x
y
不是方程组的解．
（2）把
2
1
x
y
代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以
2
1
x
y
不是方
程①的解，
再把
2
1
x
y
代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以
2
1
x
y
是
方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．
【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方
程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
举一反三：
【变式】写出解为
1
2
x
y
的二元一次方程组．
【答案】
解：此题答案不唯一，可先任构造两个以
1
2
x
y
为解的二元一次方程，然后将它们用“{”
联立即可，现举一例：
∵ x＝1，y＝-2，
∴ x+y＝1-2＝-1．
2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．
∴
1
2
5
12
x
y
x
y
就是所求的一个二元一次方程组．
注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．
