FY25暑假初一A03幂的运算（一）教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_精进_教师版PDF

A03 幂的运算（一） 考情链接 1．本次任务由两个部分构成 （1）同底数幂的乘法 （2）幂的乘方 2．考情分析 （1）幂的运算属于方程与代数部分，属于解释性理解水平； （2）主要考查同底数幂乘法和幂的乘方运算．这个部分知识主要以计算解答题的形式对学 生进行考查； （3）本讲知识属于幂的基本运算，是后期整式乘法的基础，同时也为七上分式章节的负数 指数幂和七下分数指数幂的学习做铺垫． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：同底数幂的乘法 45分钟 切片2：幂的乘方 45分钟 出门测 15分钟 1知识加油站 1——同底数幂的乘法【建议时长：45分钟】 知识笔记1 1．幂的运算概念： 求n个相同因数的_____的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____．在an中，a叫做______， n叫做_______．an表示有n个a连续相乘． 特别注意_______及_______的乘方，应把底数加上括号． 2．“奇负偶正”的应用： 口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“  ”号的个数． （2）有理数乘方，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中 积的符号． （3）有理数乘方，即当n为奇数时，_____________________________；当n为偶数时， ______________________________． 3．同底数幂相乘 同底数的幂相乘，底数________，指数________．用式子表示为：_____________________． 【填空答案】： 1．积；幂；底数；指数；负数；分数 2．an an；an an 3．不变；相加；aman amn （m，n都是正整数） 2考点一：同底数幂的乘法 例题1: （1）（★★☆☆☆）下列四个算式：①a6a6 2a6；②m3 m2 m5；③x2xx8  x10；④ y2  y2  y4．其中计算正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （2）（★★☆☆☆）（2022•静安区教育学院附属学校期中）已知m为奇数，n为偶数，则下 列各式的计算中正确的是( ) A．(3)2(3)m 3m2 B．(2)3(2)m 2m3 C．(4)4(4)n 4n4 D．(5)5(5)n (5)n5 （3）（★★☆☆☆）已知3a 4，3b 5，则3ab _______． （4）（★★☆☆☆）（2022•静安区教育学院附属学校期中）计算：(x y)2(yx)3 _______ ．（结果用幂的形式表示） 【配题说明】本题主要考查同底数幂的乘法，如果底数互为相反数，需先化成同底数幂． 【常规讲解】 （1）解：①a6a6 2a6，底数不变指数相加，故①错误； ②m3 m2 m5，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故②错误； ③x2xx8 x11，底数不变指数相加，故③错误； ④y2  y2  y4，同类项相加，y2  y2 2y2，故④错误； 所以计算正确的有：0个． 故选：A． （2）解：A．因为(3)2(3)m (3)2m，m为奇数，m2为奇数，(3)2m 3m2，所以 所以A选项计算不正确，故A选项不符合题意； B．因为(2)3(2)m (2)3m，m为奇数，m3为偶数，(2)3m 23m，所以B选项计算 不正确，故B选项不符合题意； C．因为(4)4(4)n (4)n4，n为偶数，n4为偶数，(4)n4 4n4，所以C选项计算 不正确，故C选项不符合题意； D．因为(5)5(5)n (5)n5，所以D选项计算正确，故D选项符合题意． 故选：D． 3（3）解：∵3a 4，3b 5， 3ab 3a3b 45 20． 故答案为：20． （4）解：(x y)2(yx)3 (yx)2(yx)3 (yx)5． 故答案为：(yx)5． 练习1: （1）（★☆☆☆☆）下列各式中，计算正确的是( ) A．m2m4 m6 B．m4 m2 m6 C．m2m4 m8 D．m4m4 2m4 （2）（★☆☆☆☆）（2023•松江区月考）4n1 (4)n1成立的条件是( ) A．n为奇数 B．n是正整数 C．n是偶数 D．n是负数 （3）（★★☆☆☆）若am 2，an 6，则amn ________． （4）（★★☆☆☆）（2019•闵行区月考）计算：(ba)2(ab)3 ________ 【配题说明】本题主要考查同底数幂的乘法，如果底数互为相反数，需先化成同底数幂． 【常规讲解】 （1）解：A、应为m2m4 m24 m6，正确； B、m4与m2不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、应为m2m4 a24 m6，故本选项错误； D、应为m4m4 m44 m8，故本选项错误． 故选：A． （2）解：4n1 (4)n1成立的条件是n1是奇数， 即n是偶数， 故选：C． （3）解：∵am 2，an 6， 4amn aman 2612． 故答案为：12． （4）解：(ba)2(ab)3  (a  b)2(a  b)3  (a b)23  (a b)5． 故答案为：(a b)5． 例题2: （★★★☆☆）计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）（2022•闵行区罗阳中学开学）a(a5)(a6)(a)7 (a)2； （2）（2022•静安区月考）(a b)2 (b a)3  (a b)4 (b a)； （3）(x)3(x)2(x8)； （4）b3(b)2 (b)3b2； （5）（2022•宝山区校级月考）x4(x)3 (x)4(x3)； （6）（2022•静安区月考）(ab)2(ba)3 (ab)4(ba)． 【配题说明】本题主要考查同底数幂的乘法、“奇负偶正”及合并同类项的相关知识，较例题 1计算更为复杂． 【常规讲解】 （1）解：a(a5)(a6)(a)7 (a)2  a(a5)(a6)(a7)a2 a21． （2）解：原式(ba)2(ba)3 (ba)4(ba)， (ba)5 (ba)5， 2(ba)5． （3）解：(x)3(x)2(x8) x3x2(x8) x3x2x8 5 x328  x13． 故答案为：x13． （4）解：b3(b)2 (b)3b2 b3b2 (b3)b2 b5 b5 0． 故答案为：0． （5）解：x4(x)3 (x)4(x3)  x4x3 x4x3  x7 x7 0． （6）解：原式(ba)2(ba)3 (ba)4(ba)， (ba)5 (ba)5， 2(ba)5． 练习2: （★★★☆☆）计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）x3x4 xx3x3 xx3x3； （2）a3a2a  a4a2； （3）am1an2 am2an1aman1； （4）a3  a2a3； （5）x y2yx3； （6）x2y2x2ym1x2ym2． 【配题说明】本题主要考查同底数幂的乘法、“奇负偶正”及合并同类项的相关知识，较例题 1计算更为复杂． 【常规讲解】 6（1）原式 x7  x7  x7 3x7； （2）原式a6 a6 0； （3）原式amn1amn1amn1 3amn1． （4）原式a3a5 a8； （5）原式(y x)2 (y x)3 (y x)5； （6）原式(x2y)2m1m2 a2m3． 故答案为：（1）3x7；（2）0；（3）3amn1．（4）a8；（5）yx5；（6）x2y2m3． 例题3: （1）（★★★☆☆）（2022•静安区月考）规定a*b2a2b，若2*(x1)16，则x ______ ． （2）（★★★☆☆）（2022•嘉定区丰庄中学期中）已知 2222n123n 64 ，求 n 的值． （3）（★★★★☆）已知：2a 3，2b  20，2c  45．求a、b、c之间的等量关系． 【配题说明】本题主要考查了运用同底数幂的乘法运算，求未知数的值，正确将原式变形是 解题关键． 【常规讲解】 （1）解：由题意得： 2*(x1) 22 2x1 16， 即22x124， 2x14， 解得x1． 故答案为：1． （2）解：∵2222n123n 64， 2222n123n 26， 则22n13n6， 解得：n2． （3）∵3320=4522 2a2a2b=2c22 22ab=2c2 2abc2 7练习3: （1）（★★★☆☆）已知：xm2n xnm  x9，求5 n 9的值． （2）（★★★☆☆）已知：3 x432，求x的值． （3）（★★★★☆）已知：2a 5，2b  70，2c 7．求a、b、c之间的等量关系． 【配题说明】本题主要考查了运用同底数幂的乘法运算，求未知数的值，正确将原式变形是 解题关键． 【常规讲解】 （1）由同底数幂乘法法则，可得m2nnm9，解得n3，5 39116； （2）3 x4 32 3 2 ，可得x42，解得x2． （3）∵572=70 2a2c2=2b 2a+c1=2b ac1b 故答案为：（1）116；（2）2（3）ac1b． 8知识加油站 2——幂的乘方【建议时长：45分钟】 知识笔记2 1．幂的乘方定义： 幂的乘方是指______________________________． 2．幂的乘方法则： 幂的乘方，底数________，指数________．即_____________________________. 【填空答案】： 1．几个相同的幂相乘 2．不变；相乘；(am)n amn（m、n都是正整数） 考点二：幂的乘方 例题4: （★★☆☆☆）计算： （1） m2x-1 ； （2） ym2   y3； （3） a52   a25 ； （4）6a8 2  a32 a2 【配题说明】本题主要考查幂的乘方、合并同类项． 【常规讲解】 （1）解： m2x-1 m2(x-1)  m2x-2； （2）解： ym2 ·(y3)y2m·y3  y2m3； （3）解： a52   a25 a10 a10  0； （4）解：6a8 2  a32 a2 6a8 2a6a2 6a8 2a8  4a8． 9练习4: （★★☆☆☆）计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）  a24 ； （2）(a2)4； （3）(a2n)n； （4） 238 ； （5）234 ； （6）  b33 ； （7） x34 ； （8）(x y)2 3 (x y)3．       【配题说明】本题主要考查幂的乘方的运算． 【常规讲解】 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 故答案为：（1）a8 ；（2）a8；（3）a2n2；（4）224；（5）212；（6）b9 ； （7）x12；（8）x y9． 例题5: （1）（★★★☆☆）（2022•长宁区校级期中）计算：x2x3 (x)5 (x2)3． （2）（★★★☆☆）（2022•闵行区期中）计算：(x2)3(x2)2 x(x3)3． （3）（★★★☆☆）（2022•闵行区罗阳中学开学）计算： (x2x3)2(0.5x2 1.5x2)5 (x2)3[(x)3]2[(x)4]2 ． （4）（★★★☆☆）计算：xx2x3   x2 x4 x2 3   （5）（★★★☆☆）计算：[2(ab)3]2 [(ab)2]3 [(ab)2] 【配题说明】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算，较例题1难度有所上升． 【常规讲解】 （1）解：x2x3 (x)5 (x2)3 x5 x5 x6  x6； （2）解：(x2)3(x2)2 x(x3)3 (x6)x4 x(x9) x10 x10 2x10； （3）解：(x2x3)2(0.5x2 1.5x2)5 (x2)3[(x)3]2[(x)4]2  x10(x10)(x6)x6x8 10x20 x20 0； （4）xx2x3   x2 x4 x2 3   x6 x6 x6  x6； （5）解：原式 4(ab)6 (ab)6 (ab)2 5(ab)6 (ab)2． 练习5: （★★★☆☆）计算 （1）2  an12 anan2； （2）x2 x28 2  x23 3 x6 x34 ；   （3）[(a2b)2]3(a2b)(a2b)[(a2b)3]2； （4）a2a4 (a3)2 32a6 【配题说明】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算，较练习1难度有所上升． 【常规讲解】 （1）原式2a2n2a2n2 3a2n2； （2）原式 x18 2x18  x18 0； （3）原式(a2b)6(a2b)(a2b)(a2b)6 (a2b)7(a2b)7 0； （4）原式a6 a6 32a6 30a6． 故答案为：（1）3a2n2；（2）0；（3）0；（4）30a6． 例题6: （1）（★★★☆☆）（2021•金山区期末）已知10n 3，且10m 4，则102mn _______； 11（2）（★★★☆☆）（2022•宝山区实验学校期中）213______310（比较大小）； （3）（★★★☆☆）（2022•宝山区实验学校期中）已知x2n 3，y4n 5，用含字母x的 代数式表示y，则y_________． 【配题说明】本题考查了幂的乘方的应用，掌握运算法则的逆运算是解题的关键． 【常规讲解】 （1）解：∵10n 3，10m 4， 102mn 102m10n (10m)210n 42316348， 故答案为：48； （2）解：∵213 (26)226422，310 (34)232 8129，64228129， 213 310 故答案为：； （3）解：∵x2n 3， 2n x3， y4n 5 (22)n 5 (2n)2 5 (x3)2 5  x2 6x95 x2 6x14． 故答案为：x2 6x14． 练习6: （1）（★★★☆☆）已知am 2，an 3，求a2m3n的值； （2）（★★★☆☆）如果28n16n 222，求n的值； （3）（★★★☆☆）比较3555 ，4444 ，5333 的大小． 【配题说明】本题考查了幂的乘方的应用，掌握运算法则的逆运算是解题的关键． 【常规讲解】 （1）a2m3n a2ma3n   am2   an3 2233 108． （2）将式子两边化作等底数幂，即有28n16n 2  23n   24n 27n1 222， 12故7n122，解得n3． （3）解：∵3555 35111  (35)111  243111， 4444  44111  (44)111  256111， 5333  53111  (53)111 125111， 又∵256243125， 256111 243111 125111， 即4444 3555 5333． 故答案为：（1）108；（2）3；（3）4444 3555 5333． 【拓展讲解】已知33x5 27x1 648，求x． 解：33x3933x3 648 33x38648 33x3 8134 1 解得：x ． 3 考点三：幂的运算新定义 例题7: （★★★★☆）对于整数a、b定义运算：a b(ab)m (ba)n（其中m、n为常数），如 ※ 3 2(32)m (23)n． ※ （1）填空：当m1，n2023时，2 1_______； ※ （2）若1 410，2 215，求42mn1的值． ※ ※ 【常规讲解】 解：（1）2 1(21)1(12)2023 ※ 21 3， 故答案为：3； （2）∵1 410，2 215， ※ ※ (14)m (41)n 10，(22)m [（2）2]n 15， 整理得：4n 9，4m 4n 15，解得：4m 6， 42mn1 42m4n 4 13(4m)24n 4 6294 81． 练习7: （★★★★☆）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)：如果ac b，那么(a,b)c．例 如：因为23 8，所以(2,8)3． 1 （1）根据上述规定，填空：(3,81)______，(8,1)______，(2, )______； 8 （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：(5n，6n)(5，6)，小明给出了如下的理由： (5n，6n)x，则(5n)x 6n，即(5x)n 6n．所以5x 6，即(5,6) x．所以(5n，6n)(5， 6)．请你尝试运用这种方法判断(5，6)(5，7)(5，42)是否成立，并说明理由． 【常规讲解】 解：（1）由题意得： ∵34 81， (3,81)4， ∵80 1， (8,1)0， 1 ∵23  ， 8 1 (2, )3， 8 故答案为：4；0；3． （2）成立，理由如下： 设(5,6) x，(5,7) y，则5x 6，5y 7， 5xy 5x5y 6742， (5,42) x y， (5，6)(5，7)(5，42)． 14全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成 ．． ．． 关卡一 练习1: （ 1 ）（ ★★☆☆☆ ）（ 2019 • 闵 行 区 月 考 ） 用 幂 的 形 式 表 示 结 果 ： (m3n)3(3nm)2 _________． （2）（★★☆☆☆）（2019•青浦区月考）在等式x2(x)( )x11中，括号内的代数式 为 ( ) A．x8 B．(x)8 C．x9 D．x8 （3）（★★☆☆☆）（2018•长宁区期中）下列各算式中，计算结果不是a6 的是( ) A．(a3)2 B．[(a2)]3 C．[(a2)]3 D．(a2)3 【常规讲解】 （1）解：(m 3n)3(3nm)2  (m 3n)3(m 3n)2  (m 3n)5 ． 故答案为：(m 3n)5 （2）解：x2 (x)(x8) x218  x11， 故选：D． （3）解：A．(a3)2  a6，故本选项不合题意； B．[(a2)]3  (a6) a6，故本选项不合题意； C．[(a2)]3  a6，故本选项不合题意； D．(a2)3  a6，故本选项符合题意． 故选：D． 练习2: （1）（★★★☆☆）（2018•长宁区期中）计算：(x2)3(x2)2 x(x3)3 （2）（★★★☆☆）（2018•浦东新区月考）计算：xx2x3 (x2)(x)4 [(x)2]3 （3）（★★★☆☆）计算：[(a2)4]3[(2a)3]3（用幂的形式表示结果）． 15【常规讲解】 （1）解：原式x6x4 x(x9)x10 x10 0． （2）解：xx2x3 (x2)(x)4 [(x)2]3 x6 x6 x6  x6． （3）解：[(a  2)4]3[(2 a)3]3 (a2)12(2a)9 (2a)12(2a)9 (2a)21． 练习3: （★★★☆☆）已知am 4，an 3，a2p  2，求a3m2n4p 的值． 【常规讲解】 a3m2n4p a3ma2na4p   am3   an2   a2p2  433222  2304． 故答案为：2304 练习4: （★★★☆☆）（2022•宝山区校级期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示．计 算中一般用KB（千字节）、MB（兆字节）或GB（吉字节）作为存储容量的计数单位，它 们之间的关系为1KB210B，1MB210KB，1GB210MB．一种新款电脑的硬盘存储容量 为160GB，它相当于多少千字节？（结果用a2n千字节表示，其中1a2，n为正整数） 【常规讲解】 解：160GB160210210KB5227KB． 答：它相当于5227千字节． 练习5: （1）（★★★★☆）已知：22x3 22x1 192，求x． （2）（★★★★☆）解方程：33x133x3 648． 【常规讲解】 （1）2222x122x1 192， 22x1 6426， 165 解得：x  ； 2 （2）33x133x132 648， 833x1 648， 33x18134， 解得：x1． 5 故答案为（1）x ；（2）x1． 2 关卡二 练习6: （★★★★☆）在幂的运算中规定：若ax ay(a0且a1，x、y是正整数），则x y．利 用上面结论解答下列问题： （1）若9x 36，求x的值； （2）若3x2 3x1 18，求x的值； （3）若m2x 1，n4x 2x，用含m的代数式表示n． 【常规讲解】 解：（1）∵9x 36， 32x 36， 2x6， 解得：x3； （2）∵3x2 3x1 18， 3x133x1 18， 23x1 232， x12， 解得：x1； （3）∵m2x 1，n4x 2x， n(2x)2 2x 2x(2x 1) m2x m(m1) m2 m． 17练习7: （★★★★★）比较大小： （1）比较下列一组数的大小：在255，344，433，522； （2）比较下列一组数的大小：8131，2741，961； （3）比较下列一组数的大小：4488，5366 ，6244 【配题说明】本题中，指数幂运算结果都是很大的数，不可能直接算出来，采用间接法，利 用幂的乘方运算法则，要么化作指数相同，比较底数大小；要么化作底数相同，比较指数大 小． 【常规讲解】 （1）255   2511 3211，344   3411 8111，433   4311 6411，522   5211 2511， 可得：344 433 255 522； （2）8131   3431 3124，2741   3341 3123，961   3261 3122，可得：8131 2741 961； （3）4488   44112 256112，5366   53112 125112，6244   62112 36112， 可得：4488 5366 6244． 故答案为：（1）344 433 255 522；（2）8131 2741 961；（3）4488 5366 6244． 练习8: （★★★★★）如果xn  y，那么我们规定 x,y n．例如：因为42 16，所以 4,16 2． （1）2,16 ______ ；若 2,y 6，则y  ______ ； （2）已知 4,12 a， 4,5 b， 4,y c，若abc，求y的值； （3）若 5,10 a， 2,10 b，令t  2ab ． ab 25a ①求 的值； 16b ②求t的值． 【常规讲解】 （1）解：∵(2)4 16， 2,16 4； ∵2,y 6，且26 64， y64． 18故答案为：4，64； （2）解：∵4,12 a，4,5 b， 4,y c，若abc， 4a 12，4b 5，4c  y． ∵abc， 4ab 4c，即4a4b 4c， y12560； （3）解：①∵5,10 a， 2,10 b， 5a 10，2b 10， 25a   52a   5a2 102100 ，16b   24b   2b4 104 10000， 25a 100 1    ； 16b 10000 100 ②∵(5a)b 10b， 5ab 10b，   5,10bab．  由①知：5a 2b 10， 5ab 5a5b 2b5b 10b，   5,10bab，  abab， 2ab t  2． ab 19