FY25暑假预初A04B04分数的加减法教师版4.0_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_预初_志高_教师版PDF

A04/B04 分数的加减法 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）分数的加减法 （2）真分数、假分数和带分数 2. 考情分析 （1）分数的加减法属于数与运算部分，属于解释性理解水平； （2）主要考查分数的加减运算，以解答题为主，占中考总分值的5%； （3）通过本讲的学习，需先掌握异分母分数加减法的法则，并能利用法则进行计算．重点 是理解真分数、假分数和带分数的概念，并掌握假分数与带分数的互化，并熟练运用异分母 分数加减法的法则计算带分数加减法．难点是利用分数加减法的规律解分数方程和利用加 法的结合律、交换律以及根据特征寻找规律的技巧进行相关的简便计算． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：分数的加减法 45分钟 切片2：真分数、假分数和带分数 45分钟 出门测 15分钟 1知识加油站 1——分数的加减法【建议时长：45 分钟】 考点一：同分母分数的加减法 知识笔记 1 同分母分数加减法 同分母分数相加减，分母______，分子相加减． b c 已知分数 、 （ a a 2 a  0 ， b  c ），则： b c b+c + = ； a a a b c b−c − = ． a a a 注意：一般地，分数运算的结果用________表示 【填空答案】：不变；最简分数 例题1: （★☆☆☆☆）计算： 3 1 3 1 （1） + =______； （2） − = ______； （3） 5 5 5 5 5 8 + 1 8 =______； 5 1 （4） − =______； （5） 8 8 1 5 8 + 1 1 1 8 − 1 1 3 8 4 7 5 =______； （6） − + =______． 9 9 9 【常规讲解】 3 1 4 3 1 （1） + = ；（2） − = 5 5 5 5 5 2 5 ；（3） 5 8 + 1 8 = 6 8 = 3 4 5 1 4 ；（4） − = = 8 8 8 1 2 ； 5 11 13 3 1 4 7 5 2 （5） + − = = ；（6） − + = ． 18 18 18 18 6 9 9 9 9 练习1:【学习框8】 （★☆☆☆☆）计算： 5 1 （1） − =______； （2） 6 6 9 1 3 + 3 1 3 = 5 3 ______； （3） − =______； 7 7 2 7 8 3 5 7 7 1 3 （4） + − =______； （5） − + =______； （6） − − =______． 15 15 15 8 8 8 10 10 10 【常规讲解】2 （1） ； （2） 3 3 1 1 2 3 2 ； （3） ； （4） 7 1 1 5 ； （5） 5 8 ； （6） 1 3 0 ． 考点二：异分母分数的加减法 知识笔记 2 异分母分数加减法 异分母分数相加减，先________，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算． 【填空答案】：通分 例题2: （1）（★★☆☆☆）计算： 3 1 1 7 ① + ； ② + ； ③ 4 8 6 12 4 5 − 1 3 0 ； ④ 1 1 2 3 − 6 9 1 ； 5 1 ⑤ − ； ⑥ 6 3 1 3 − 1 4 ； ⑦ 6 5 − 1 3 ； ⑧ 1 7 + 1 5 ． （2）（★★★☆☆）计算： 1 1 1 11 3 1 ① + − ； ② − + ； ③ 2 4 7 12 4 6 7 1 5 + 9 2 0 − 3 4 1 3 4 ； ④ + − ． 3 4 5 5 1 1 9 3 1 11 1 1 5 1 1 1 1 1 ⑤ − + ； ⑥ − + ； ⑦ − + − ； ⑧ − − − + ． 6 4 3 8 4 2 12 3 4 6 2 6 12 20 30 （3）（★★★☆☆）计算： ① 5 4 −  3 7 + 1 4  ； ② 5 9 −  5 9 − 1 3  ； ③ 2 7 9 −  1 5 2 + 1 1 1 8  − 3 4 ； ④ 1 − 2 9 − 7 9 ． 【常规讲解】 3 1 6 1 7 1 7 2 7 9 3 4 3 8 3 5 1 （1）① + = + = ； ② + = + = = ； ③ − = − = = ； 4 8 8 8 8 6 12 12 12 12 4 5 10 10 10 10 2 ④ 1 1 2 3 − 6 9 1 = 8 9 4 1 − 6 9 1 = 7 9 8 1 = 6 5 1 5 2 3 1 1 1 4 3 1 ； ⑤ − = − = = ； ⑥ − = − = ； 7 6 3 6 6 6 2 3 4 12 12 12 6 1 18 5 ⑦ − = − = 5 3 15 15 1 1 3 5 1 1 5 7 ； ⑧ + = + = 7 5 35 35 1 3 2 5 ． 1 1 1 14 7 4 17 11 3 1 11 9 2 4 1 （2）① + − = + − = ； ② − + = − + = = ； 2 4 7 28 28 28 28 12 4 6 12 12 12 12 3 7 9 3 28 27 45 10 1 1 3 4 20 45 48 17 ③ + − = + − = = ； ④ + − = + − = ； 15 20 4 60 60 60 60 6 3 4 5 60 60 60 605 1 1 10 3 4 7 4 ⑤ − + = − + = + = 6 4 3 12 12 12 12 12 4 1 1 1 2 9 3 1 ； ⑥ − + 8 4 2 = 9 8 − 6 8 + 4 8 = 7 ； 8 11 1 1 5 11 4 3 10 ⑦ − + − = − + − 12 3 4 6 12 12 12 12 = 1 1 − 4 + 1 2 3 − 1 0 = 0； ⑧ 1 2 − 1 6 − 1 1 2 − 1 2 0 + 1 3 0 = 3 6 0 0 − 1 6 0 0 − 5 6 0 − 3 6 0 + 2 6 0 = 3 0 − 1 0 − 6 5 0 − 3 + 2 = 7 ． 30 （3）① 5 4 −  3 7 + 1 4  5 4 3 7 1 4 = 5 4 − 1 4 − 3 7 3 4 =1− = ； 7 7 ② 5 9 −  5 9 − 1 3  = 5 9 − 5 9 + 1 3 = 1 3 ； 7  5 11 3 ③2 − + − 9 12 18 4 = 2 7 9 − 1 5 2 − 1 1 1 8 − 3 4 28 15 22 27 =2 − − − = 36 36 36 36 1 ； 2 7 ④1− − 9 9 = 1 −  2 9 + 7 9  =1−1= 0． 练习2:【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）计算： 1 2 5 2 ① + ； ② + ； ③ 4 3 6 13 3 7 − 2 5 ； ④ 1 2 2 5 − 1 4 ． （2）（★★★☆☆）计算： 1 1 1 12 1 2 5 2 3 1 ① + + ； ② + − ； ③ + − − ． 2 3 9 13 2 3 8 5 16 4 （3）（★★★☆☆）计算： ① 5 6 −  2 3 − 1 5  ； ② 9 4 −  1 4 + 1 5  7 2 2 3 8 ； ③ + −( + )； ④ − 10 3 3 10 7 7 8 − 1 ． 8 【常规讲解】 1 2 3 8 （1）① + = + = 4 3 12 12 1 1 1 2 5 2 65 12 ； ② + = + = 6 13 78 78 7 7 7 8 ； 3 2 15 14 ③ − = − = 7 5 35 35 1 3 5 12 1 48 25 23 ； ④ − = − = ． 25 4 100 100 100 （2）①原式= 1 2 + 1 3 + 1 9 = 9 1 8 + 1 6 8 + 1 2 8 = 1 1 7 8 ； ②原式= 1 1 2 3 + 1 2 − 2 3 = 7 7 2 8 + 3 7 9 8 − 5 7 2 8 = 59 ； 78 50 32 15 20 47 ③原式= + − − = ． 80 80 80 80 80（3）① 5 5 6 −  2 3 − 1 5  = 2 3 5 0 − 2 3 0 0 + 6 3 0 = 1 3 1 0 ； ② 9 4 −  1 4 + 1 5  9 1 1 1 10 1 9 ＝ − − =2− = − = ； 4 4 5 5 5 5 5 ③ 1 7 0 + 2 3 − ( 2 3 + 1 3 0 ) = 1 7 0 + 2 3 − 2 3 − 1 3 0 = 1 4 0 = 2 5 ； ④ 8 7 − 7 8 − 1 8 = 8 7 − ( 7 8 + 1 8 ) = 8 1 −1= ． 7 7知识加油站 2——真分数、假分数和带分数【建议时长：45分钟】 考点三：真分数、假分数、带分数的概念 知识笔记 3 1. 真分数 分子比分母____的分数叫做真分数． 2. 假分数 分子____________分母的分数叫做假分数． 3. 带分数 一个正整数与一个真分数_______所成的数叫做带分数． 带分数是假分数的另一种表达形式． 注意：分数运算的结果如果是假分数，一般用带分数表示． 【填空答案】：1、小；2、大于或者等于；3、相加 例题3: （1）（★★☆☆☆）下面叙述正确的是（ ） A．假分数都大于1 B．真分数都小于1 C．带分数都大于假分数 D．带分数都小于真分数 （2）（★★★☆☆）已知 6 n n 是正整数， 为假分数， 7 n 1 3 为真分数，则满足条件的 n 值有 （ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2 （3）（★★☆☆☆）（2022•普陀区期中）在数轴上分别用A、B表示出2 ， 5 1 3 这两个分数对 应的点，并写出数轴上的点 C 、 D 所表示的数，点C表示的数是 ；点 D 表示的数是 ． 再将这几个数用“”连接起来： ．（4）（★★☆☆☆）在分数 7 7 4 9 ， ， 6 1 8 6 17 51 ， ， ， 12 17 8 8 52 ， ， 13 1 4 8 中： ① 是最简分数； ② 是假分数，且能化成整数； ③ 是假分数，且能化成带分数． 【常规讲解】 （1）解：A．假分数也可能等于1，如 5 5 ，故该项错误； B．真分数都小于1，该项正确； 1 5 C．带分数不一定都大于假分数，如1 与 ，故该项错误； 2 2 D．带分数都大于真分数，故该项错误； 故选：B． （2）解：∵ n 7 为假分数， n 1 3 为真分数， ∴7n13，且 n 是正整数 ∴n=7，8，9，10，11，12，共 6 个 故选：C． （3）解：如图所示， 由图可知，C点表示的数是 5 2 3 ，D点表示的数是4.5． 左到右用“  1 2 2 ”连接为： 2 4.55 ． 3 5 3 故答案为： 5 2 3 1 2 2 ，4.5； 2 4.55 ． 3 5 3 7 （4）解：①根据最简分数的定义可得 ， 4 1 1 7 2 是最简分数， 故答案为： 7 4 ， 1 1 7 2 ； 7 9 17 51 8 52 14 ②假分数有 ， ， ， ， ， ， ， 4 6 12 17 8 13 8 7 3 9 3 1 17 5 51 8 52 14 7 3 且 =1 ， = =1 ， =1 ， =3， =1， =4， = =1 ， 4 4 6 2 2 12 12 17 8 13 8 4 451 8 所以化成整数的假分数有 ， ， 17 8 8 5 1 2 3 ， 51 8 故答案为： ， ， 17 8 5 1 2 3 ； 7 9 ③能化成带分数的假分数有 ， ， 4 6 1 1 7 2 ， 1 4 8 ， 7 故答案为： ， 4 9 6 ， 1 1 7 2 14 ， ． 8 练习3:【学习框12】 （1）（★★☆☆☆）一个分数，它的分子除以分母商1余1，这个分数是（ ） A．真分数 B．假分数 C．带分数 D．无法确定 （2）（★★★☆☆）（22•松江区期末）如果 1 a 4 是真分数， 1 a 2 是假分数，那么满足条件的正 整数a有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （3）（★★☆☆☆）（2019•浦东南片期中）在数轴上方空格里填上适当的整数或分数，并在数 7 轴上标出2 和 8 1 1 3 . （4）（★★☆☆☆）真分数与假分数的判断：把下面的分数进行分类． 1 8 9 5 7 22 17 ， ， ， ， ， ， ， 5 7 9 13 6 33 20 1 6 5 ． 真分数：________________________________； 假分数：________________________________． 【常规讲解】 （1）解：根据分数的分子除以分母商1余1，可以知道分子大于分母，所以这个分数是假 分数． 故选：B． （2）解：因为真分数1，假分数 1， 0 1 2 3 4所以， 9 1 2  a  1 4 ， 即a可为12，13．满足条件的正整数a有2个，故C正确． 故选：C． （3） 2 3 ； 1 1（3 或 4 3 ） ； 2 1（4 或 9 4 ） 2 7 8 ； 1 1 3 在数轴上对应的两点如图所示． 1 （4）真分数： ， 5 5 1 3 ， 2 3 2 3 17 8 9 ， ；假分数： ， ， 20 7 9 7 6 16 ， ． 5 考点四：真分数、假分数、带分数的计算 知识笔记 4 带分数加减法 带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合并起 来．或者将带分数化为假分数再进行加减运算． 例题4: （★★☆☆☆）把下面的假分数化成整数或带分数，把带分数化成假分数． 36 9 124 4 （1） ； （2） ； （3） ； （4）3 ； 7 1 12 35 39 （5） ； （6） 13 2 6 9 7 ； （7）13 ； （8） 8 9 8 ． 【配题说明】本题考查带分数与假分数的互化． 【常规讲解】 1 解：（1）5 ；（2）9；（3） 7 1 0 1 3 2 1 1 1 2 3 3 4 7 11 2 8 3 0 1 2 3 4 109 8 111 1 ；（4） ；（5）3；（6）2 ；（7） ；（8）1 ． 35 9 8 8 练习4:【学习框14】 （★★☆☆☆）把下列分数中的假分数化为带分数，带分数化为假分数． 34 1 13 7 9 （1） ；（2）3 ；（3） ；（4）2 ；（5）4 ． 9 3 2 9 11【配题说明】本题考查带分数与假分数的互化． 【常规讲解】 34 7 1 10 解：（1） =3 ； （2）3 = ； （3） 9 9 3 3 10 1 3 2 = 6 1 2 ； 7 25 （4）2 = ； （5） 9 9 4 9 1 1 = 5 1 3 1 ． 例题5: （1）（★★☆☆☆）计算： 4 5 41 13 1 3 1 ① + ； ② − ； ③5 +4 ； ④6−3 ； 5 4 12 4 3 5 4 ⑤ 2 1 3 + 3 2 + 1 1 6 ； ⑥ 3 2 7 + 4 7 1 8 − 2 1 3 4 ； ⑦ 2 2 3 − 1 5 6 − 2 7 ． （2）（★★★☆☆）简便运算： 6 9 25  25 9  7 2 1 13 29 ①3− −1 ； ②12 −2 + ； ③2− + − + −1 ． 7 14 36  36 14 16 15 16 15 30 （3）（★★★☆☆）解方程： ① x + 3 8 = 4 5 − 1 6 ； ② x − 7 3 = 5 6 + 4 9 ． 5 1 2 （4）（★★★☆☆）一个数减去2 ，再加上3 等于1 ，求这个数． 7 14 7 【配题说明】本题考查真分数、假分数、带分数的加减计算． 【常规讲解】 4 5 16 25 41 1 （1）① + = + = = 2 ； 5 4 20 20 20 20 41 13 41 39 2 1 ② − = − = = ； 12 4 12 12 12 6 ③ 5 1 3 + 4 3 5 = 9 + 5 + 1 5 9 = 9 1 1 4 5 ； 1 1 ④6−3 =2+1− = 4 4 2 3 4 ； ⑤ 2 1 3 + 3 2 + 1 1 6 = 2 2 6 + 1 3 6 + 1 1 6 = 5； 2 7 3 36 49 27 58 29 ⑥3 +4 −2 =3 +4 −2 =5 = 5 ； 7 18 14 126 126 126 126 63 2 5 2 28 35 12 28−47 42+28−47 23 ⑦2 −1 − =2 −1 − =1+ = = ． 3 6 7 42 42 42 42 42 42（2）①原式= 11 3 − 1 1 2 4 − 1 1 9 4 = 3 − 1 − 2 1 1 4 = 2 − 3 2 = 1 ； 2 ②原式= 1 2 2 3 5 6 − 2 2 3 5 6 − 1 9 4 = 1 0 − 1 9 4 = 9 1 5 4 ； ③原式= 2 − 1 7 6 − 1 1 6 + 1 2 5 + 1 1 3 5 − 1 2 3 9 0 = 2 − 1 2 + 1 − 1 2 3 9 0 = 1 2 + 1 3 0 = 1 3 6 0 = 8 1 5 ； （3）① x = 4 5 − 1 6 − 3 8 = 1 9 2 6 0 − 1 2 2 0 0 − 1 4 2 5 0 = 31 ； 120 5 4 7 ②x= + + 6 9 3 = 1 1 5 8 + 8 1 8 + 4 1 2 8 = 6 1 5 8 = 11 3 ． 18 （4） 1 2 7 − 3 1 1 4 + 2 5 7 = 4 − 3 1 1 4 = 13 ． 14 练习5:【学习框16】 （1）（★★★☆☆）计算： 2 3 ①4 +5 ② 3 5 9 3 8 − 7 2 5 7 11 ③2 + 9 9 ④ 5 8 + 2 5 − 1 3 6 − 1 4 1  1 3 ⑤5 −3 −1 ． 8  6 4 （2）（★★★☆☆）简便运算： 11 2 9 5 5 9 26 ①7 −4 +8 ②3 +5 + − ③ 20 5 20 7 21 7 21 9 9 3 4 + 1 9 9 3 4 + 2 9 9 9 3 4 + 3 9 9 9 9 3 4 ． （3）（★★★☆☆）解方程： ① x + 2 3 = 1 1 2 + 3 4 6 1 ； ②x− =1 ． 5 3 1 （4）（★★★☆☆）一个数加上3 ，再减去 4 1 1 9 2 3 等于2 ，求这个数． 8 【配题说明】本题考查真分数、假分数、带分数的加减计算． 【常规讲解】 2 3 10+9 19 4 （1）①4 +5 =9+ =9+ = 10 ； 3 5 15 15 15 ② 9 3 8 − 7 2 5 = 2 + 1 5 − 4 0 1 6 = 1 + 4 0 + 1 4 5 0 − 1 6 = 39 1 ； 40 18 ③原式=2+ =4； 950 32 15 20 47 ④原式= + − − = ； 80 80 80 80 80 3 4 18 17 ⑤原式=5 −3 +1 =3 ． 24 24 24 24 11 9 2 2 （2）①原式=7 +8 −4 =16−4 = 20 20 5 5 12 1 1 3 5 ； 5 2 5 5 ②原式=3 +1 +5 −1 =5+4= 7 7 21 21 9 ． ③原式= 1 0 0 − 1 4 + 2 0 0 − 1 4 + 3 0 0 0 − 1 4 + 4 0 0 0 0 − 1 4 = 4 3 3 0 0 − 1 = 4 3 2 9 9 ． （3）① x = 1 1 2 + 3 4 − 2 3 1 9 8 1 = + − = ； 12 12 12 6 1 6 ②x=1 + 3 5 = 1 1 5 5 + 1 1 3 5 = 2 8 1 5 ． 3 19 1 9 14 6 （4）2 + −3 =2 +1 −3 = 8 12 4 24 24 24 1 2 7 4 ． 考点五：分数的应用 例题6: （★★★☆☆）工人们修一条路，第一天修了全长的 1 4 1 ，第二天比第一天多修了全长的 ． 5 （1）两天一共修了全长的几分之几？ （2）还剩几分之几没有修？ 【配题说明】本题考查分数加减法的实际应用题． 【常规讲解】 （1）解： 1 4 + 1 5 + 1 4 = 9 2 0 + 1 4 = 1 7 0 ， 7 答：两天一共修了全长的 ； 10 （2）解： 1 − 1 7 0 = 1 3 0 ， 3 答：还剩 没有修． 10练习6:【学习框18】 1 （★★★☆☆）春天到了，农民伯伯给果树浇水，第一天上午浇了所有果树的 ，下午浇了 4 13 3 8 ，第二天上午浇了 1 3 0 ，一共浇了所有果树的几分之几？还有几分之几没浇？ 【配题说明】本题考查分数加减法的实际应用题． 【常规讲解】 解： 1 4 + 3 8 + 1 3 0 = 1 4 0 0 + 1 4 5 0 + 1 4 2 0 = 3 4 7 0 ， 37 3 1− = ， 40 40 37 3 答：一共浇了所有果树的 ，还有 没浇． 40 40 例题7: 1 （★★★☆☆）小智放学回家后，先用了 个小时吃了晚饭，然后做数学作业用了 2 1 1 3 个小时， 休息了 1 1 2 个小时后，用了 1 7 0 个小时完成了英语作业，接着做语文作业用了 3 5 个小时，最后 1 用了 个小时洗了个澡就睡觉了．问： 4 （1）小智从回到家到睡觉，总共用了多长时间？ （2）小智总共耗费了多少小时做家庭作业？ （3）小智做作业的时间比做其他事情的时间多几小时？ 【配题说明】本题考查分数加减法的实际应用题． 【常规讲解】 1 1 1 7 3 1 7 （1） +1 + + + + =3 （小时）； 2 3 12 10 5 4 15 7 答：小智从回到家到睡觉，总共用了3 小时； 15 1 7 3 19 （2）1 + + = 2 ； 3 10 5 30 19 答：小智总共耗费了2 小时做家庭作业； 30 19 7 19 4 （3）2 −(3 −2 )=1 ． 30 15 30 5 4 答：小智做作业的时间比做其他事情的时间多1 小时． 5练习7:【学习框20】 （★★★☆☆）一次校园歌唱比赛，小明和小智都参加了比赛，小明歌唱的时间是 14 4 4 5 分钟， 小智歌唱的时间是 5 3 4 分钟，问： （1）两人共唱了几分钟？ （2）小智比小明多唱了几分钟？ 【配题说明】本题考查分数加减法的实际应用题． 【常规讲解】 （1） 4 4 5 + 5 3 4 = 4 1 2 6 0 + 5 1 2 5 0 = 9 + 3 2 1 0 = 1 0 1 2 1 0 （分钟）， 11 答：两人共唱了10 几分钟； 20 3 4 15 16 20 15 16 19 （2）5 −4 =5 −4 = + − = （分钟）， 4 5 20 20 20 50 20 20 19 答：小智比小明多唱了 分钟． 20 例题8: 1 3 （★★★☆☆）一段公路长25km，甲修了10 km，乙修了若干千米，丙修了7 km，计算 2 4 3 发现丙修的长度比甲减乙的差多3 km．问甲、乙、丙有没有把这段公路修完？ 5 【配题说明】本题考查分数加减法的实际应用题． 【常规讲解】 1 3 3 解：10 −(7 −3 ) 2 4 5 1 3 =10 −4 2 20 7 =6 （km）； 20 1 7 3 10 +6 +7 2 20 4 10 7 15 =10 +6 +7 20 20 20 32 =23 203 =24 （km）； 5 3 因为24 25，所以没有修完． 5 答：甲、乙、丙没有把这段公路修完． 练习8:【学习框22】 4 5 （★★★☆☆）某工地上有一堆黄沙，第一次用去2 吨，第二次比第一次少用 吨．如果 5 8 1 剩下的黄沙比前两天用去的总和多 吨，那么还剩下多少吨黄沙？ 5 【配题说明】本题考查分数加减法的实际应用题． 【常规讲解】 4 5 7 解：第二次用的黄沙为：2 − =2 （吨）， 5 8 40 4 7 1 7 剩下的黄沙为：2 +2 + =5 （吨）． 5 40 5 40 答：还剩下 15 5 7 4 0 吨黄沙．全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）填空． 5 2 （1）1− =______； （2）5−2 =______； 17 3 12 2 2 5 （3） − =______； （4）4 +3 =______； 13 91 7 7 （5） 16 3 1 1 2 + 2 1 6 = ______； （6） 2 8 1 5 − 1 1 6 5 = ______； 1 2 （7）1− − =______； （8） 3 5 2 5 − 1 4 − 1 1 0 = ______． 【常规讲解】 （1）原式= 1 1 2 7 ； （2）原式= 2 1 3 ； （3）原式= 8 9 4 1 − 2 9 1 82 = ； （4）原式=8； 91 1 2 3 （5）原式=3 +2 =5 = 12 12 12 5 1 4 ； （6）原式= ( 2 − 1 ) +  8 1 5 − 1 1 5  = 7 1 ； 15 （7）原式= 1 − 1 5 5 − 1 6 5 = 1 4 5 ； （8）原式= 8 2 0 − 5 2 0 − 2 2 0 = 1 2 0 ． 练习2: （★★★☆☆）如果 m 8 是假分数，是 m 1 0 真分数，那么正整数m=______． 【常规讲解】 m8 由题意得： 即： m10 8  m  1 0  m = 8 或 9 ． 练习3: （★★★☆☆）解方程： 3 1 6 1 （1）x+2 =3 ； （2）x− =2 ； （3） 7 7 25 4 5 1 4 − x = 1 3 3 − 7 2 4 ． 【常规讲解】1 3 25 24 6 7 8 （1）x=3 −2 （2）x=2 + （3）x=5 + −4 7 7 100 100 24 24 24 5 49 解得：x= ； 解得：x=2 ； 解得： 7 100 17 x = 1 5 2 4 ． 练习4: （★★★☆☆）（1）一个数减去 2 7 2 4 与 1 9 6 5 的和的差为1 ，求这个数？ 12 3 2 5 （2）（2022•上海市嘉定区期中）一个数加上2 ，再减去3 等于3 ，求这个数． 11 7 7 1 （3）（2022•松江区新桥中学月考）一个数减去2 的差等于 6 5 1 3 与 1 2 7 的和，求这个数． 【常规讲解】 5 7 9 20 14 27 13 解：（1）1 +2 + =1 +2 + = 4 ； 12 24 16 48 48 48 48 5 2 3 （2）由题意得：这个数=3 +3 −2 7 7 11 = 4 8 1 1 ， 8 所以这个数是4 ． 11 （3）设这个数为 x ，根据题意得： 1 1 2 x−2 =5 +1 ， 6 3 7 1 2 1 x=5 +1 +2 ， 3 7 6 11 x=8 ． 14 11 答：这个数是8 ． 14 练习5: 13 （★★★☆☆）有甲、乙两种货物，甲货物的质量为1 千克，乙货物的质量为 15 3 5 千克， 问：（1）两种货物的质量一共多少千克？（2）甲货物比乙货物重多少千克？ 【常规讲解】 13 3 13 9 7 解：（1）1 + =1 + =2 （千克）， 15 5 15 15 15 7 答：两种货物的质量一共2 千克； 1513 3 13 9 4 （2）1 − =1 − =1 （千克） 15 5 15 15 15 4 答：甲货物比乙货物重1 千克． 15 关卡二 练习6: （★★★★☆）（21•杨浦区期中）阅读理解题： 1 1 1 求 + + 的和可以有以下两种方法： 2 4 8 方法一：（按法则进行计算） 18 1 2 + 1 4 + 1 8 = 4 8 + 2 8 + 1 8 = 7 8 ． 1 1 1 1 方法二：通过画图发现 + + 的和等于1减去图中阴影部分的面积 ，即得 2 4 8 8 1 1 1 1 7 + + =1− = ． 2 4 8 8 8 1 1 方法三：由图得到启发，想到 =1− ， 2 2 1 4 = 1 2 − 1 4 ， 1 8 = 1 4 − 1 8 ． 1 1 1  1 1 1 1 1 1 7 于是得 + + =1− + − + − =1− = ． 2 4 8  2 2 4 4 8 8 8 1 1 1 1 1 （1）请你任选一种上述方法求 + + + + 的和． 2 4 8 16 32 1 1 1 1 1 1 1 （2）用合理的方法计算：1− − − − − − − ． 2 4 8 16 32 64 128 1 1 1 1 1 （3）用合理的方法计算：1 +2 +3 +4 ...+10 的和（式子中各分数的分母是前一 2 4 8 16 1024 个分数分母的2倍）． 【常规讲解】 1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 31 （1）方法一： + + + + = + + + + = ． 2 4 8 16 32 32 32 32 32 32 32 1 方法二：通过画图发现原式等于1减去图中阴影部分的面积 ，即得 32 1 1 1 1 1 1 31 + + + + =1− = ． 2 4 8 16 32 32 32方法三：原式 19 =  1 − 1 2  +  1 2 − 1 4  +  1 4 − 1 8  +  1 8 − 1 1 6  +  1 1 6 − 1 3 2  = 1 − 1 3 2 = 3 3 1 2 ． 31 故答案为： ． 32 （2） 1 − 1 2 − 1 4 − 1 8 − 1 1 6 − 1 3 2 − 1 6 4 − 1 1 2 8 1 1 1 1 1 1 1 =1−( + + + + + + ) 2 4 8 16 32 64 128 = 1 − (1 − 1 1 2 8 ) = 1 1 2 8 ． 或者通过图形来解题，图中阴影部分即为所求的值． 1 故答案为： ； 128 （3） 1 1 2 + 2 1 4 + 3 1 8 + 4 1 1 6 + + 1 0 1 0 1 2 4 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 1 0 +  1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 1 6 + + 1 0 1 2 4   1 1 1 1 1 1 1   1 1  =115+1− + − + − + − + + −   2 2 4 4 8 8 16 512 1024 1 =55+1− 1024 1023 =55 ． 1024 练习7: （★★★★☆）分母为5的真分数与分母为6的真分数相乘，乘积的可能值有几个？ 【常规讲解】 解：设 x 5 是 真 分 数 ， 则 x = 1、2、3、4； y 6 是 真 分 数 ， 则 y = 1、2、3、4、5； 则乘积共有4×5=20个． 其中重复的有：（1，2）与（2，1）；（1，3）与（3，1）；（1，4）与（4，1）；（2，2）与（2，2）；（2，3）与（3，2）；（2，4）与（4，2）；（3，4）与（4，3）． 所以答案应为13个． 练习8: （★★★★☆）（2022•普陀区期中）观察下列等式： 3 1 1 = − ； 58 5 8 20 8 3  1 1 = 1 8 − 1 1 1 3 1 1 3 1 1 ； = − ； = − . 1114 11 14 1417 14 17 运用以上规律，回答下列问题： 3 1 1 （1）填空： = − ； 1720 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 （2）计算： + + + + ； 58 811 1114 1417 1720 1 1 1 1 （3）计算： + + ++ ； 58 811 1114 98101 2 2 2 2 2 （4） + + + ++ =_____．（直接写出答案） 49 914 1419 1924 7984 【常规讲解】 3 1 1 解：（1） = − ； 1720 17 20 （2） 5 3  8 + 8 3  1 1 + 1 1 3  1 4 + 1 4 3  1 7 + 1 7 3  2 0 = 1 5 − 1 8 + 1 8 − 1 1 1 + 1 1 1 − 1 1 4 + 1 1 4 − 1 1 7 + 1 1 7 − 1 2 0 = 1 5 − 1 2 0 4 1 = − 20 20 3 = ； 20 （3） 5 1  8 + 8 1  1 1 + 1 1 1  1 4 +  + 9 8 1  1 0 1 = 1 3  ( 1 5 − 1 8 + 1 8 − 1 1 1 + 1 1 1 − 1 1 4 +  + 1 9 8 − 1 1 0 1 ) 1 1 1 = ( − ) 3 5 101 = 1 3  9 6 5 0 5 32 = ； 505（4） 21 4 2  9 + 9 2  1 4 + 1 4 2  1 9 + 1 9 2  2 4 +  + 7 9 2  8 4 = 2 5  ( 1 4 − 1 9 + 1 9 − 1 1 4 + 1 1 4 − 1 1 9 + 1 1 9 − 1 2 4 +  + 1 7 9 − 1 8 4 ) = 2 5  ( 1 4 − 1 8 4 ) = 2 5  2 8 0 4 = 2 2 1 ， 2 故答案为： ． 21 练习9: （★★★★☆） 1 + 1 1 + 2 + 1 + 1 2 + 3 +    + 1 + 2 + 3 + 4 1 +    + 2 0 1 6 ． 【常规讲解】 解： 1 + 2 + 3 + + n = n ( n 2 + 1 )  1 + 2 + 1 3 + + n = n ( n 2 + 1 ) = 2 ( 1 n − n 1 + 1 ) 1 1 1 1 1 原式=2(1− + − + + − ) 2 2 3 2016 2017 1 =2(1− ) 2017 = 4 2 0 0 3 1 2 7