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重难点 03 阅读理解问题与探究型问题
类型一 阅读理解问题
题型01 新定义型问题
【考情分析】新定义型问题属于阅读理解类问题，其出题形式通常在学生已学知识的基础上，引入一个全
新的数学概念、运算或规则. 这些新定义可能涉及代数、几何、函数等多个领域，要求学生通过阅读和理
解题目中的新信息，迅速将其与已有知识相结合，解决相关问题. 这类题目考查学生自学及灵活应用的能
力，准确抓住新定义的本质内容是解题的关键，难度较大.
考向一 实数与方程类
1．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：①在平面直角坐标系中，{a,b}表示动点从原点出发，沿着x
轴正方向（a≥0）或负方向（a<0）．平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b<0）
平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1
个单位长度，记作{−2,1}．②加法运算法则：{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3,5}+{m,n}={−1,2}，则下列结论正确的是（ ）
A．m=2，n=7 B．m=−4，n=−3
C．m=4，n=3 D．m=−4，n=3
2．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn（m，n均为整数，且
m≠0）．例：2∗3=23−2×3=2，则(−2)∗2= ．
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3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：a⊗b=¿例如：−2⊗4=(−2) 2−4=0，2⊗3=−2+3=1．
3
若x⊗1=− ，则x的值为 ．
4
4．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k⊗−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
考向二 函数类
5．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如4⊗3=(4+2×3)(4−3)，则函
数y=(x+1)⊗2的最小值为（ ）
A．−21 B．−9 C．−7 D．−5
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称
为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y=3x+1，其“倍值点”为(−1，−2)．下
8
列说法不正确的序号为
．①函数y=2x+4是“倍值函数”；②函数y=
的图象上的“倍值点”是
x
1
(2，4)和(−2，−4)；③若关于x的函数y=(m−1)x2+mx+ m的图象上有两个“倍值点”，则m的取
4
4
值范围是m< ；
3
n k
④若关于x的函数y=x2+(m−k+2)x+ − 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当−1≤m≤3时，n的
4 2
−3−√5
最小值为k，则k的值为 ．
2
7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点M(x ,y )，给出如下定义：当点
1 1
N(x ,y )，满足x +x = y + y 时，称点N是点M的等和点．
2 2 1 2 1 2
(1)已知点M(1,3)，在N (4,2)，N (3,−1)，N (0,−2)中，是点M等和点的有_____；
1 2 3
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(2)若点M(3,−2)的等和点N在直线y=x+b上，求b的值；
k
(3)已知，双曲线y = 和直线y =x−2，满足y <y 的x取值范围是x>4或−2<x<0．若点P在双曲线
1 x 2 1 2
k
y = 上，点P的等和点Q在直线y =x−2上，求点P的坐标．
1 x 2
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q
PO 1
在PO的延长线上，使得 = ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：
QO 2
( 3) PO 1
如图1，A(2,4),B(2,2),P −1,− 是线段AB外一点，Q(2,3)在PO的延长线上，且 = ，因为点
2 QO 2
Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
( 5 )
(1)如图1，已知图形W ：线段AB，A(2,4)，B(2,2)，在P − ,−1 ,P (−1,−1),P (−1,−2)中，
1 1 2 2 3
______是图形W 的“延长2分点”；
1
(2)如图2，已知图形W ：线段BC，B(2,2)，C(5,2)，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W 的
2 2
“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形W ：以T(t,1)为圆心，半径为1的⊙T，若以D(−1,−2)，E(−1,1)，F(2,1)为顶
3
点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
3
考向三 几何类
9．（2024·上海·模拟预测）新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，
则n的取值范围为 ，正六边形的特征值为 ．
10．（2024·河南驻马店·模拟预测）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰
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直角四边形．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形AOCB的两条边分别在坐标轴上，点M为边
OC上中点，连接AM，点P是线段AM上一动点（点P不与A，M重合），过点P的直线与边BC交于点
E（点E不与C重合），若四边形ABEP是等腰直角四边形，则点BE的长为 ．
11．（2024·湖南·模拟预测）奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满
足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设Rt△ABC是奇异三角形，
∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a=1， 则c的值为 ．
12．（2024·山东济南·三模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形ABCD
中，若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．
①如图1，四边形ABCD是“对补四边形”，若∠B=90°，且AB=3，AD=2时，CD2−CB2=1；
1
②如图2，四边形ABCD是“对补四边形”，当AB=CB，且∠EBF= ∠ABC时，图中AE，CF，EF
2
之间的数量关系是AE+CF=EF；
③如图3，在四边形ABCD中，AB=CB，BD平分∠ADC，则四边形ABCD是“对补四边形”；
S 1
④如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=CB，BD平分∠ADC，且 △ACD= 时，则
S 2
△ABC
tan∠ACD=3±√3．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
13．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相
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邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中
平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=√5，CE=2，则AE=________；AB=
________；
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的
垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连
接PE，请直接写出PE的值．
14．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻
等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为
邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作
BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
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题型02 思维阅读型问题
考向一 实数与方程类
15．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（x，y
均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N 奇数 4的倍数
1=12−02 4=22−02
3=22−12 8=32−12
5=32−22 12=42−22
表示
结果
7=42−32 16=52−32
9=52−42 20=62−42
⋯ ⋯
一般
2n−1=n2−(n−1) 2 4n=______
结论
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24=（ ）❑ 2−（ ）❑ 2；
（ⅱ）4n=______；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为
x2−y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n−2=x2−y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=(2k) 2−(2m) 2=4(k2−m2)为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，
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则x2−y2=(2k+1) 2−(2m+1) 2=______为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
16．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0<q<1．
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
例求 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于该正方形的面积，
2 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
即 + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
1 1
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图②可知
2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于a ，a ，a ，…，a …等各条竖直线段的长度之和，
2 2 2 2 1 2 3 n
即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
所以， + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
【实践应用】
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
任务一 完善 + + +⋯+ +⋯的求值过程．
3 3 3 3
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2 (2) 2 (2) 3 (2) n
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯=______．
3 3 3 3
2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= ______．
3 3 3 3
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 + + +⋯+ +⋯的值．
4 4 4 4
任务三 用方法2，求q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
√5+1
长宽之比为 :1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
2
2 4 6 2n
(√5−1) (√5−1) (√5−1) (√5−1)
观察图⑤，直接写出 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
17．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+√b，a+2√b，a+3√b的正方形面积分别记为S ，S ，S ，S ．
1 2 3 4
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则S −S =(a+√b) 2 −a2
2 1
=[(a+√b)+a]⋅[(a+√b)−a]
=(2a+√b)⋅√b
=b+2a√b
例如：当a=1，b=3时，S −S =3+2√3
2 1
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a=1，b=3时，S −S =______，S −S =______；
3 2 4 3
(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n√b的正方形面积记作S ，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，
n+1
你能猜出S −S 等于多少吗？并证明你的猜想；
n+1 n
(3)当a=1，b=3时，令t =S −S ，t =S −S ，t =S −S ，…，t =S −S ，且T=t +t +t +⋯+t ，
1 2 1 2 3 2 3 4 3 n n+1 n 1 2 3 50
求T的值．
18．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如
果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的
根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
4ac−b2
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式 的值为
4a
4ac−b2
该“全整根方程”的“最值码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)= ；若另一关于x的一元二次
4a
方程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q(p,q,r)，当满足
Q(a,b,c)−Q(p,q,r)=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程
px2+qx+r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”x2−3x+2=0的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数、且4<m<15）是“全整根方程”，
请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x+m−2=0是x2+(n−1)x−n=0（m，n均为正整数）的“全整根
伴侣方程”，求m−n的值．
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考向二 函数类
19．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2−x−6=0的两根为x =−2，x =3，可得函数y=x2−x−6的图像与x轴的两个交点横坐
1 2
标为−2、3，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解
集．
方法2 不等式x2−x−6<0可变形为x2<x+6，问题转化为研究函数y=x2与y=x+6的图像关系．画出
函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是−2、3；y=x2的图像在y=x+6的图像下方的点，其横坐
标的范围是该不等式的解集．
6 6
方法3 当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x−1< ；当x<0时，不等式变为x−1>
x x
6
．问题转化为研究函数y=x−1与y= 的图像关系…
x
任务：(1)不等式x2−x−6<0的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
20．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：
阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若
1 1
tanα= ，则tanβ= ．
2 3
1
证明：设BE=k，∵tanα= ，∴AB=2k，
2
DF k 1
易证△AEB≌△EFC(AAS)∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ= = = ，
AD 3k 3
1 1
若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
2 3
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1 1
同理：若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
3 2
m
根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，与x
x
轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过
点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
21．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象．
( 1 )
发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F 0, 的距离PF，始终等于它到定直线l：
4a
1
y=− 的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，
4a
1 1
y=− 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ．
4a 2a
( 1) 1 1
例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F 0, ，准线方程为l：y=− ，其中PF=PN，FH=2OF= ．
8 8 4
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【基础训练】
1
(1)请分别直接写出抛物线y= x2 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
4
【技能训练】
1
(2)如图2，已知抛物线y= x2 上一点P(x ,y )(x >0)到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的
4 0 0 0
坐标；
【能力提升】
1 1
(3)如图3，已知抛物线y= x2 的焦点为F，准线方程为l．直线m：y= x−3交y轴于点C，抛物线上动
4 2
点P到x轴的距离为d ，到直线m的距离为d ，请直接写出d +d 的最小值；
1 2 1 2
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2(a>0)平移至y=a(x−h) 2+k(a>0)．抛物线
( 1 ) ( 1 )
y=a(x−h) 2+k(a>0)内有一定点F h,k+ ，直线l过点M h,k− 且与x轴平行．当动点P在该
4a 4a
抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛
1
( 25) 23
物线y=2(x−1) 2+3上的动点P到点F 1, 的距离等于点P到直线l：y= 的距离．
8 8
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点D ( −1, 3) 是第二象限内一定点，点P是抛物线y= 1 x2−1上一动点，当PO+PD取最小值
2 4
时，请求出△POD的面积．
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考向三 几何类
22．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
EFGH
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦
里尼翁(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系
密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
DN DG 1
= DG=GC DN=NM= DM
NM GC 2
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
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(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
23．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如√a2+b2可看做是图一中AB的长，√(a+1) 2+b2可看做是AD的
长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在△ABC中有一点P使得PA+PB+PC的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将△ABP绕B点向外旋转60°得到△A B C ，并连接PP 易得△PP B是等边三角形、PA=P A ，则
1 1 1 1 1 1 1
PB=P P ，则PA+PB+PC=P A +PP +PC，所以PA+PB+PC的值最小为A C．
1 1 1 1 1 1
请结合以上两材料求出√x2+ y2+√x2+ y2+1−2x+√x2+ y2+12−4√3 y的最小值
24．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边
形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多
定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉
美古塔定理，如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为点M，直线
ME⊥BC，垂足为点E，并且交直线AD于点F，则AF=FD．
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∵AC⊥BD ME⊥BC
，证明： ， ，
∴∠BMC=∠AMD=∠MEC=90°，
∴∠CME+∠ECM=90°，∠CBD+∠ECM=90°，
∴∠CBD=∠CME．
∵C´D=C´D，
∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）．
又∵∠CME=∠AMF，
∴∠AMF=∠CAD．
∴AF=FM．
…
任务：
(1)材料中横线部分缺少的内容为：______；
(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为点M，直线
FM交BC于点E，交AD于点F．若AF=FD，则FE⊥BC．请证明该命题．
题型03 模型学习型问题
【考情分析】模型学习型问题是给出一个新的数学模型，先简单介绍模型的应用方法，再要求学生在实际
的问题环境中应用该模型解题，模型思想是数学中的常用思想，特别是几何证明中，掌握适当的模型更有
利于学生快速的解题.
25．（2022·山东青岛·模拟预测）模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古
希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，
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如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
(1)理由：如图③，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，
∵直线l是点B，B'的对称轴，点P，C'在l上，
CB=______，C'B=______，
∴AC+CB=AC+CB'=______．
∴在△AC'B'中，∵AB'<AC'+C'B'，
∴AC+CB<AC'+C'B'，
即AC+CB最小．
归纳小结：本问题实际是利用轴对称或旋转等变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两
侧，从而可利用“两点之间线段最短”的问题加以解决，本问题可拓展为作定点关于定直线的对称点，从
而转化为两点之间的距离或点线之间的距离来解决生活中问题的思想．
(2)模型应用
如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED
交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是 ．
如图⑤在平面直角坐标系中，直线AB的函数关系式是y=−2x+4，点C是OA的中点，点P是线段OB上
一点，点Q是线段AB上一点，则△CPQ周长的最小值是 ；
如图⑥，正方形ABCD的边长为1+√3，其内部有一点P，当PA+PB+PC的和最小时，则点P距离最近
顶点的距离是多少？并写出解答过程．
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26．（2023·云南昆明·一模）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，
求证：AF−BF=EF．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：由正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，再
由垂直和平行可知∠AED=∠AFB=90°，再利用同角的余角相等得到∠ADE=∠BAF，则可根据“
AAS”判定△ADE≌△BAF，得到AE=BF，所以AF−BF=AF−AE=EF．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的点，BF∥DE，连接BE，DF．求证：四
边形BEDF是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点：
（2）如图3，若正方形ABCD的边长为12，E是对角线AC上的一点，过点E作EG⊥DE，交边BC于点
G，连接DG，交对角线AC于点F，CF:EF=3:5，求FG⋅DF的值．
27．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践
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(1)【模型认识】如图1所示，已知在△ABC中，∠BAC>90°，分别以AB、AC为直角边构造等腰直角
三角形ABD和ACE，连接BE、CD，则BE与CD的关系是： ；
1
(2)【初步应用】如图2所示，连接DE，求证：S = BE2 ；
四边形BCED 2
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断△ABC和△ADE的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在△ABC中，∠BAC=75°，AB=4√2，AC=2，以BC为直角边构造等腰直角
三角形BCP，且∠PBC=90°，连接AP，试直接写出AP的长度．
28．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，
∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD，探究AD，BD，CD之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利
用手拉手模型解答问题如下：
图示 思路
将线段AD绕点 A逆时针旋转90°得线
段AE，连接CE，DE，易证
△ABD≌△ACE，得到BD=CE，
∠ABD=∠ACE=45°，在
Rt△DCE 中，易得
CD2+CE2=DE2，由DE=√2AD，
得AD，BD，CD 之间的数量关系为
_______．
【类比分析】
（2）如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你
的推导过程；
【拓展延伸】
（3）若（1）中的点 D在射线CB上，且 CD=√3BD，请直接写出∠ADC的度数．
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命题预测
1．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb=a+2b；当a<b时，
aΔb=a−2b．例如：3Δ(−4)=3+2×(−4)=−5，1Δ2=1−2×2=−3．
(1)填空：(−4)Δ3=___________；（直接写出结果）
(2)已知(2x−4)Δ2>1，求x的取值范围．
2．（2024·甘肃·模拟预测）在正数范围内定义一种运算：M(a,b)=a2−2ab+b2，如
M(1,3)=1−2×1×3+32=4，若M(2,m)=9，则m的值为 ．
3．（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1,0)，那么称此
二次函数图象为“定点抛物线”．
(1)若抛物线y=x2−mx+2−k与x轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2)已知抛物线y=mx2+nx−m+n（m，n为常数，且m≠0）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m<0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点(2,s)，(k,t)，当s<t时，求k的取值范围．
4．（2025·辽宁抚顺·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这
个函数图象的完美点．
【定义解析】
1 ( 2 2) ( 2 2)
例如：函数y= x+1上的点(2,2)， − , 到两个坐标轴的距离相等，我们就称点(2,2)， − , 是
2 3 3 3 3
1
函数y= x+1图象的完美点．
2
（1）若点(a+1,−2a)是一次函数y=kx+4第四象限图象的完美点，求k的值；
（2）求二次函数y=x2+x−4图象的完美点；
【定义应用】
（3）若二次函数y=ax2−2x+c(a>0)的图象上有且只有一个完美点(3,3)，求二次函数的解析式；
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【定义应用】
（4）若二次函数y=(x−m) 2+3m−2(m≥0)的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，
请直接写出m的值．
5．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务
数形结合解决二次根式求和问题
求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二
次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次
根式，如何进行求和运算？
下面我们讨论一种新的方法——数形结合法
【例题】求√x2+9+√(7−x) 2+16的最小值
【分析】√x2+9=√x2+32，将x和3分别作为Rt△ABC的两条直角边，如图1所示，
AC=3，BC=x，AB=√x2+9，
√(7−x) 2+16=√(7−x) 2+42，将7−x和4分别作为Rt△≝¿的两条直角边，如图2所
示，EF=7−x，DE=4，则DF=√(7−x) 2+42，
将Rt△ABC与Rt△≝¿如图3所示放置，使点B与点F重合，BC与EF在一条直线上，
则AB+DF的最小值为线段AD的长．（依据）
任务：
(1)直接写出材料中的依据为：_________；
(2)写出求解AD长的解题过程；
(3)按照材料中例题的方法，直接写出√x2+4+√x2−6x+13的最小值为_________．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩
形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形”
（1）阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时，
(7 )
小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为 −x
2
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(7 )
由题意得方程：x −x =3，化简得：2x2−7x+6=0，
2
∵b−4ac=49−48>0，
∴x =2，x =3
1 2
∴矩形A存在对半矩形B．
小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：
¿
消去y化简后也得到：2x2−7x+6=0
然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长
（2）如果已知矩形A的边长分别为3和2，请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B．
（3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题，如图，在同一平面直角坐
标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请
你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形A的面积为 ；周长为 ．
②对半矩形B的两边长为 ．
（4）在第（3）题的图形中，若点M(2,3)在双曲线上，MB⊥x轴，MC⊥y轴，垂足分别为B、C．连
接OM，将△MOC沿若OM折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上
7．（2025·宁夏·模拟预测） 阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应任务．
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函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、
反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿
y轴向下平移的特征．
一次函数图象的平移：
如图①，一次函数y=3x−3分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB沿y轴向下平移3个单位，分别与x
轴，y轴交于点D，C．分别将x=0，y=0代入y=3x−3，求得A(1,0)，B(0,−3)，则OA=1，OB=3，
由平移的性质得AB∥CD，BC=3，∴∠ABO=∠DCO，C(0,−6)，∵∠AOB=∠DOC，∴
OA OB
△ABO∽△DCO（依据），∴ = ，∵OA=1，OB=3，OC=6，∴OD=2，∴D(2,0)，设直线
OD OC
CD的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，分别将D(2,0)，C(0,−6)代入y=kx+b(k≠0)，解得k=3，b=−6，
直线CD的函数表达式为y=3x−6．
猜想1：将直线l ：y =kx+b(k≠0)沿y轴向下平移m个（m>0）单位后，所得直线l 的函数表达式为：
1 1 2
y =kx+b−m(k≠0,m>0)．
2
证明1：设点P(c,d)为l 上的任意一点，沿y轴向下平移m个单位后的对应点为Q(c,d−m)，将x=c代入
1
y =kx+b−m，得y =kx+b−m，∵点P(c,d)为l 上的点，∴d=kx+b，∴kc=d−b，∴
2 2 1
y =d−b+b−m=d−m，∴点Q(c,d−m)在直线y =kx+b−m上．
2 2
结论1：猜想正确．
二次函数图象的平移：
猜想2：将二次函数y =ax2(a≠0)的图象沿y轴向下平移m (m>0)个单位后，所得二次函数的函数表达式
1
为：y =ax2−m(a≠0,m>0)．
2
证明2：……
反比例函数图象的平移：……
（1）任务一：填空：证明△ABO∽△DCO的依据是： ，
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（2）任务二：请完成猜想2的证明；
3 3
（3）任务三：如图②，直线y=2与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，将反比例函数y= (x>0)的
x x
图象沿y轴向下平移2个单位后与直线y=2交于点B，直接写出线段AB的长．
类型二 探究型问题
题型01 “操作-探究”型问题
【考情分析】“操作--探究”型问题经常与图形的折叠联系在一起考查，试题一般先介绍动手操作过程，
然后再探究其中的某些结论，解题的关键是注意在操作过程中的等量关系,折叠前后重合的线段和角都相等.
1．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD
的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点
Q．若AB=5，BE=4，直接写出四边形AMNQ的面积．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展
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平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF=________°．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．
【深入研究】
AG 1 GH
若 = ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．
AC k HC
3．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB>AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
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【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
1
乙同学的结论：tan∠AFG= ．
3
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN⋅AM=GN⋅AD．
（2）请证明这个结论．
题型02 “探究-结论”型问题
【考情分析】“探究--结论”型问题的特点：题干较长，给学生一定的阅读压力，故学生在阅读的过程中
要学会抓住主要信息，函数的探究问题是这类题目的常用出题角度，从最简单的列表、描点、连线入手，
探究某一函数的特征，用以体现学习过程的重要性.
4．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值
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问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … −4 −2 0 2 4 …
x … * 2 0 −2 −4 …
y的最小值 … * −9 −3 −5 −15 …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我
猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
5．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1的图象可以由函数y=2x的图象平移
得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
x ⋯ −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ⋯
2 2 1 2 2 1 2
y= ⋯ − − − −1 −2 2 1 ⋯
x 5 2 3 3 2 5
3 1
x ⋯ −5 −4 −3 −2 − − 0 1 2 3 ⋯
2 2
2 1 2 2 1
y= ⋯ − − −1 −2 −4 4 2 1 ⋯
x+1 2 3 3 2
2 2
描点连线：在已画出函数y= 的图象的坐标系中画出函数y= 的图象．
x x+1
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(2)【探究发现】
2 2
①将反比例函数y= 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数y= 的图象．
x x+1
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
1 1
①将反比例函数y=− 的图象先___________，再___________得到函数y=− −1的图象．
x x−2
1
②函数y=− −1图象的对称中心的坐标为___________．
x−2
6．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数y=−2|x| 2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下
5 3 1 1 3 5
x ⋯ − −2 − −1 − 0 1 2 ⋯
2 2 2 2 2 2
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5 3 3 3 3 5
y ⋯ − 0 m 0 2 0 − ⋯
2 2 2 2 2 2
其中，m=________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部
分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
(2)点F是函数y=−2|x| 2+4|x|图象上的一动点，点A(2,0)，点B(−2,0)，当S =3时，请直接写出所有
△FAB
满足条件的点F的坐标；
(3)在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=−2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），
点P是点Q(1,0)关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N
两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请
说明理由．
题型03 “探究-应用”型问题
【考情分析】“探究--应用”型问题在形式上一般有三部分，前两部分都是探索特殊情况下的结论，难度
一般不大，最后一问是应用结论的过程，需要构造之前的数学模型，探索特殊位置时各个量间的关系，体
现了学习中的猜想--验证--应用的过程.
7．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连
接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．
请求出当AB=3√10．BC=6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相
等．请予以证明．
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8．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习
活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
角平分线AD的 ∠BAD的度 两腰之 两腰之
图序 腰长
长 数 和 积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° √2 2√2 2
图③ 1 30° ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积
AB⋅AC之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC
之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径
作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析
1 1
+ 的值是否变化？
BM BN
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9．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的
中点．
操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、
BC的中点．
DM AM EM AM
理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以 = ， = ．所以，
BN AN CN AN
DM BN DM MP EM MP
= ．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得 = ， = ．所以
EM CN CN NP BN NP
DM CN BN CN
= ．所以 = ，则BN=CN，DM=EM，即M、N分别为DE、BC的中点．
EM BN CN BN
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，l ∥l ，点E、F在直线l 上．
1 2 2
①作线段EF的中点；
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②在①中作图的基础上，在直线l 上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得PF=EF；
2
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整
数）的线段．如图4，l ∥l ，已知点P 、P 在l 上，他利用上述方法作出了P P =P P =P P ．点E、
1 2 1 2 1 2 3 3 4 1 2
F在直线l 上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
2
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
1
（3）如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QE= CE（要求用两种方法）．
3
10．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是
______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置
关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
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如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
11．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方
形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适
的安装方案．
k
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面．喷洒覆盖率ρ= ，s为待喷洒区域面积，k为
s
待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ=
______．
9
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径
2
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9
均为3m的自动喷洒装置；⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为 m的自动喷洒装
n
置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判
断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ=1．
已知正方形ABCD各边上依次取点F，G，H，E，使得AE=BF=CG=DH，设AE=x(m)，⊙O 的面积
1
为y(m2)，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为3√2m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷
洒覆盖率ρ=1？（直接写出结果即可）
题型04 命题预测
1．（2025·山东济南·一模）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
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8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和 ，因此，木栏总长为
x 1
10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB= m，BC= m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
2．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
如图1，在 ▱ABCD中，点E,F分别在直线AB和AD上，直线CE,BF相交于点G,∠FGC=∠DAB，某
数学兴趣小组在探究CE,BF,AB,AD四条线段的比例关系时，经历了如下过程：
【特例感知】
（1）①如图2，当∠A=90°,AB=AD时，若EC=√5，则BF= ；
AB 3 BF
②如图3，当∠A=90°时，若 = ，则 = ．
AD 2 CE
【猜想证明】
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（2）猜想BF,CE,AB,AD四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择
一个证明即可）
【拓展应用】
（3）如图4，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点
BD 3
E,∠BAD=90°,∠ABC=∠AED=60°,AB=6，若 = ，试求边BC的长．
AC 2
3．（2025·河南开封·一模）综合与实践在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=1,BC=2．
问题发现
（1）如图1，将△CAB绕点C按顺时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE之间的数
量关系是___________，AD与BE的位置关系是___________．
类比探究
（2）如图2，将△CAB绕点C按顺时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE之
间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由．
迁移应用
（3）如图3，将△CAB绕点C旋转一定的角度得到△CDE，当点D落到边AB上时，连接BE，求线段BE
的长．
4．（2025·江西·模拟预测）【探究证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探
究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，
使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接
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AB'，BB'，BE'．
请完成：（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使
B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点
B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'．
请完成：
（3）BB'是∠NBC的一条________等分线．
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