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重难点 03 阅读理解问题与探究型问题
类型一 阅读理解问题
题型01 新定义型问题
【考情分析】新定义型问题属于阅读理解类问题，其出题形式通常在学生已学知识的基础上，引入一个全
新的数学概念、运算或规则. 这些新定义可能涉及代数、几何、函数等多个领域，要求学生通过阅读和理
解题目中的新信息，迅速将其与已有知识相结合，解决相关问题. 这类题目考查学生自学及灵活应用的能
力，准确抓住新定义的本质内容是解题的关键，难度较大.
考向一 实数与方程类
1．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：①在平面直角坐标系中，{a,b}表示动点从原点出发，沿着x
轴正方向（a≥0）或负方向（a<0）．平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b<0）
平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1
个单位长度，记作{−2,1}．②加法运算法则：{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3,5}+{m,n}={−1,2}，则下列结论正确的是（ ）
A．m=2，n=7 B．m=−4，n=−3
C．m=4，n=3 D．m=−4，n=3
2．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn（m，n均为整数，且
m≠0）．例：2∗3=23−2×3=2，则(−2)∗2= ．
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3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：a⊗b=¿例如：−2⊗4=(−2) 2−4=0，2⊗3=−2+3=1．
3
若x⊗1=− ，则x的值为 ．
4
4．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k⊗−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
考向二 函数类
5．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如4⊗3=(4+2×3)(4−3)，则函
数y=(x+1)⊗2的最小值为（ ）
A．−21 B．−9 C．−7 D．−5
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称
为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y=3x+1，其“倍值点”为(−1，−2)．下
8
列说法不正确的序号为
．①函数y=2x+4是“倍值函数”；②函数y=
的图象上的“倍值点”是
x
1
(2，4)和(−2，−4)；③若关于x的函数y=(m−1)x2+mx+ m的图象上有两个“倍值点”，则m的取
4
4
值范围是m< ；
3
n k
④若关于x的函数y=x2+(m−k+2)x+ − 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当−1≤m≤3时，n的
4 2
−3−√5
最小值为k，则k的值为 ．
2
7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点M(x ,y )，给出如下定义：当点
1 1
N(x ,y )，满足x +x = y + y 时，称点N是点M的等和点．
2 2 1 2 1 2
(1)已知点M(1,3)，在N (4,2)，N (3,−1)，N (0,−2)中，是点M等和点的有_____；
1 2 3
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(2)若点M(3,−2)的等和点N在直线y=x+b上，求b的值；
k
(3)已知，双曲线y = 和直线y =x−2，满足y 4或−20时，不等式变为x−1< ；当x<0时，不等式变为x−1>
x x
6
．问题转化为研究函数y=x−1与y= 的图像关系…
x
任务：(1)不等式x2−x−6<0的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
20．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：
阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若
1 1
tanα= ，则tanβ= ．
2 3
1
证明：设BE=k，∵tanα= ，∴AB=2k，
2
DF k 1
易证△AEB≌△EFC(AAS)∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ= = = ，
AD 3k 3
1 1
若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
2 3
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1 1
同理：若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
3 2
m
根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，与x
x
轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过
点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
21．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象．
( 1 )
发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F 0, 的距离PF，始终等于它到定直线l：
4a
1
y=− 的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，
4a
1 1
y=− 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ．
4a 2a
( 1) 1 1
例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F 0, ，准线方程为l：y=− ，其中PF=PN，FH=2OF= ．
8 8 4
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【基础训练】
1
(1)请分别直接写出抛物线y= x2 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
4
【技能训练】
1
(2)如图2，已知抛物线y= x2 上一点P(x ,y )(x >0)到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的
4 0 0 0
坐标；
【能力提升】
1 1
(3)如图3，已知抛物线y= x2 的焦点为F，准线方程为l．直线m：y= x−3交y轴于点C，抛物线上动
4 2
点P到x轴的距离为d ，到直线m的距离为d ，请直接写出d +d 的最小值；
1 2 1 2
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2(a>0)平移至y=a(x−h) 2+k(a>0)．抛物线
( 1 ) ( 1 )
y=a(x−h) 2+k(a>0)内有一定点F h,k+ ，直线l过点M h,k− 且与x轴平行．当动点P在该
4a 4a
抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛
1
( 25) 23
物线y=2(x−1) 2+3上的动点P到点F 1, 的距离等于点P到直线l：y= 的距离．
8 8
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点D ( −1, 3) 是第二象限内一定点，点P是抛物线y= 1 x2−1上一动点，当PO+PD取最小值
2 4
时，请求出△POD的面积．
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考向三 几何类
22．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
EFGH
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦
里尼翁(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系
密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
DN DG 1
= DG=GC DN=NM= DM
NM GC 2
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
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(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
23．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如√a2+b2可看做是图一中AB的长，√(a+1) 2+b2可看做是AD的
长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在△ABC中有一点P使得PA+PB+PC的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将△ABP绕B点向外旋转60°得到△A B C ，并连接PP 易得△PP B是等边三角形、PA=P A ，则
1 1 1 1 1 1 1
PB=P P ，则PA+PB+PC=P A +PP +PC，所以PA+PB+PC的值最小为A C．
1 1 1 1 1 1
请结合以上两材料求出√x2+ y2+√x2+ y2+1−2x+√x2+ y2+12−4√3 y的最小值
24．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边
形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多
定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉
美古塔定理，如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为点M，直线
ME⊥BC，垂足为点E，并且交直线AD于点F，则AF=FD．
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∵AC⊥BD ME⊥BC
，证明： ， ，
∴∠BMC=∠AMD=∠MEC=90°，
∴∠CME+∠ECM=90°，∠CBD+∠ECM=90°，
∴∠CBD=∠CME．
∵C´D=C´D，
∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）．
又∵∠CME=∠AMF，
∴∠AMF=∠CAD．
∴AF=FM．
…
任务：
(1)材料中横线部分缺少的内容为：______；
(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为点M，直线
FM交BC于点E，交AD于点F．若AF=FD，则FE⊥BC．请证明该命题．
题型03 模型学习型问题
【考情分析】模型学习型问题是给出一个新的数学模型，先简单介绍模型的应用方法，再要求学生在实际
的问题环境中应用该模型解题，模型思想是数学中的常用思想，特别是几何证明中，掌握适当的模型更有
利于学生快速的解题.
25．（2022·山东青岛·模拟预测）模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古
希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，
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如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
(1)理由：如图③，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，
∵直线l是点B，B'的对称轴，点P，C'在l上，
CB=______，C'B=______，
∴AC+CB=AC+CB'=______．
∴在△AC'B'中，∵AB'90°，分别以AB、AC为直角边构造等腰直角
三角形ABD和ACE，连接BE、CD，则BE与CD的关系是： ；
1
(2)【初步应用】如图2所示，连接DE，求证：S = BE2 ；
四边形BCED 2
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断△ABC和△ADE的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在△ABC中，∠BAC=75°，AB=4√2，AC=2，以BC为直角边构造等腰直角
三角形BCP，且∠PBC=90°，连接AP，试直接写出AP的长度．
28．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，
∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD，探究AD，BD，CD之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利
用手拉手模型解答问题如下：
图示 思路
将线段AD绕点 A逆时针旋转90°得线
段AE，连接CE，DE，易证
△ABD≌△ACE，得到BD=CE，
∠ABD=∠ACE=45°，在
Rt△DCE 中，易得
CD2+CE2=DE2，由DE=√2AD，
得AD，BD，CD 之间的数量关系为
_______．
【类比分析】
（2）如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你
的推导过程；
【拓展延伸】
（3）若（1）中的点 D在射线CB上，且 CD=√3BD，请直接写出∠ADC的度数．
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命题预测
1．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb=a+2b；当a1，求x的取值范围．
2．（2024·甘肃·模拟预测）在正数范围内定义一种运算：M(a,b)=a2−2ab+b2，如
M(1,3)=1−2×1×3+32=4，若M(2,m)=9，则m的值为 ．
3．（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1,0)，那么称此
二次函数图象为“定点抛物线”．
(1)若抛物线y=x2−mx+2−k与x轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2)已知抛物线y=mx2+nx−m+n（m，n为常数，且m≠0）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m<0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点(2,s)，(k,t)，当s0)的图象上有且只有一个完美点(3,3)，求二次函数的解析式；
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【定义应用】
（4）若二次函数y=(x−m) 2+3m−2(m≥0)的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，
请直接写出m的值．
5．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务
数形结合解决二次根式求和问题
求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二
次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次
根式，如何进行求和运算？
下面我们讨论一种新的方法——数形结合法
【例题】求√x2+9+√(7−x) 2+16的最小值
【分析】√x2+9=√x2+32，将x和3分别作为Rt△ABC的两条直角边，如图1所示，
AC=3，BC=x，AB=√x2+9，
√(7−x) 2+16=√(7−x) 2+42，将7−x和4分别作为Rt△≝¿的两条直角边，如图2所
示，EF=7−x，DE=4，则DF=√(7−x) 2+42，
将Rt△ABC与Rt△≝¿如图3所示放置，使点B与点F重合，BC与EF在一条直线上，
则AB+DF的最小值为线段AD的长．（依据）
任务：
(1)直接写出材料中的依据为：_________；
(2)写出求解AD长的解题过程；
(3)按照材料中例题的方法，直接写出√x2+4+√x2−6x+13的最小值为_________．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩
形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形”
（1）阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时，
(7 )
小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为 −x
2
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(7 )
由题意得方程：x −x =3，化简得：2x2−7x+6=0，
2
∵b−4ac=49−48>0，
∴x =2，x =3
1 2
∴矩形A存在对半矩形B．
小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：
¿
消去y化简后也得到：2x2−7x+6=0
然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长
（2）如果已知矩形A的边长分别为3和2，请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B．
（3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题，如图，在同一平面直角坐
标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请
你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形A的面积为 ；周长为 ．
②对半矩形B的两边长为 ．
（4）在第（3）题的图形中，若点M(2,3)在双曲线上，MB⊥x轴，MC⊥y轴，垂足分别为B、C．连
接OM，将△MOC沿若OM折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上
7．（2025·宁夏·模拟预测） 阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应任务．
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函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、
反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿
y轴向下平移的特征．
一次函数图象的平移：
如图①，一次函数y=3x−3分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB沿y轴向下平移3个单位，分别与x
轴，y轴交于点D，C．分别将x=0，y=0代入y=3x−3，求得A(1,0)，B(0,−3)，则OA=1，OB=3，
由平移的性质得AB∥CD，BC=3，∴∠ABO=∠DCO，C(0,−6)，∵∠AOB=∠DOC，∴
OA OB
△ABO∽△DCO（依据），∴ = ，∵OA=1，OB=3，OC=6，∴OD=2，∴D(2,0)，设直线
OD OC
CD的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，分别将D(2,0)，C(0,−6)代入y=kx+b(k≠0)，解得k=3，b=−6，
直线CD的函数表达式为y=3x−6．
猜想1：将直线l ：y =kx+b(k≠0)沿y轴向下平移m个（m>0）单位后，所得直线l 的函数表达式为：
1 1 2
y =kx+b−m(k≠0,m>0)．
2
证明1：设点P(c,d)为l 上的任意一点，沿y轴向下平移m个单位后的对应点为Q(c,d−m)，将x=c代入
1
y =kx+b−m，得y =kx+b−m，∵点P(c,d)为l 上的点，∴d=kx+b，∴kc=d−b，∴
2 2 1
y =d−b+b−m=d−m，∴点Q(c,d−m)在直线y =kx+b−m上．
2 2
结论1：猜想正确．
二次函数图象的平移：
猜想2：将二次函数y =ax2(a≠0)的图象沿y轴向下平移m (m>0)个单位后，所得二次函数的函数表达式
1
为：y =ax2−m(a≠0,m>0)．
2
证明2：……
反比例函数图象的平移：……
（1）任务一：填空：证明△ABO∽△DCO的依据是： ，
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（2）任务二：请完成猜想2的证明；
3 3
（3）任务三：如图②，直线y=2与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，将反比例函数y= (x>0)的
x x
图象沿y轴向下平移2个单位后与直线y=2交于点B，直接写出线段AB的长．
类型二 探究型问题
题型01 “操作-探究”型问题
【考情分析】“操作--探究”型问题经常与图形的折叠联系在一起考查，试题一般先介绍动手操作过程，
然后再探究其中的某些结论，解题的关键是注意在操作过程中的等量关系,折叠前后重合的线段和角都相等.
1．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD
的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点
Q．若AB=5，BE=4，直接写出四边形AMNQ的面积．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展
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平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF=________°．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．
【深入研究】
AG 1 GH
若 = ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．
AC k HC
3．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB>AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
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【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
1
乙同学的结论：tan∠AFG= ．
3
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN⋅AM=GN⋅AD．
（2）请证明这个结论．
题型02 “探究-结论”型问题
【考情分析】“探究--结论”型问题的特点：题干较长，给学生一定的阅读压力，故学生在阅读的过程中
要学会抓住主要信息，函数的探究问题是这类题目的常用出题角度，从最简单的列表、描点、连线入手，
探究某一函数的特征，用以体现学习过程的重要性.
4．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值
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问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … −4 −2 0 2 4 …
x … * 2 0 −2 −4 …
y的最小值 … * −9 −3 −5 −15 …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我
猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
5．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1的图象可以由函数y=2x的图象平移
得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
x ⋯ −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ⋯
2 2 1 2 2 1 2
y= ⋯ − − − −1 −2 2 1 ⋯
x 5 2 3 3 2 5
3 1
x ⋯ −5 −4 −3 −2 − − 0 1 2 3 ⋯
2 2
2 1 2 2 1
y= ⋯ − − −1 −2 −4 4 2 1 ⋯
x+1 2 3 3 2
2 2
描点连线：在已画出函数y= 的图象的坐标系中画出函数y= 的图象．
x x+1
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(2)【探究发现】
2 2
①将反比例函数y= 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数y= 的图象．
x x+1
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
1 1
①将反比例函数y=− 的图象先___________，再___________得到函数y=− −1的图象．
x x−2
1
②函数y=− −1图象的对称中心的坐标为___________．
x−2
6．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数y=−2|x| 2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下
5 3 1 1 3 5
x ⋯ − −2 − −1 − 0 1 2 ⋯
2 2 2 2 2 2
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5 3 3 3 3 5
y ⋯ − 0 m 0 2 0 − ⋯
2 2 2 2 2 2
其中，m=________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部
分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
(2)点F是函数y=−2|x| 2+4|x|图象上的一动点，点A(2,0)，点B(−2,0)，当S =3时，请直接写出所有
△FAB
满足条件的点F的坐标；
(3)在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=−2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），
点P是点Q(1,0)关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N
两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请
说明理由．
题型03 “探究-应用”型问题
【考情分析】“探究--应用”型问题在形式上一般有三部分，前两部分都是探索特殊情况下的结论，难度
一般不大，最后一问是应用结论的过程，需要构造之前的数学模型，探索特殊位置时各个量间的关系，体
现了学习中的猜想--验证--应用的过程.
7．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连
接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．
请求出当AB=3√10．BC=6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相
等．请予以证明．
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8．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习
活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
角平分线AD的 ∠BAD的度 两腰之 两腰之
图序 腰长
长 数 和 积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° √2 2√2 2
图③ 1 30° ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积
AB⋅AC之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC
之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径
作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析
1 1
+ 的值是否变化？
BM BN
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9．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的
中点．
操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、
BC的中点．
DM AM EM AM
理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以 = ， = ．所以，
BN AN CN AN
DM BN DM MP EM MP
= ．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得 = ， = ．所以
EM CN CN NP BN NP
DM CN BN CN
= ．所以 = ，则BN=CN，DM=EM，即M、N分别为DE、BC的中点．
EM BN CN BN
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，l ∥l ，点E、F在直线l 上．
1 2 2
①作线段EF的中点；
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②在①中作图的基础上，在直线l 上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得PF=EF；
2
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整
数）的线段．如图4，l ∥l ，已知点P 、P 在l 上，他利用上述方法作出了P P =P P =P P ．点E、
1 2 1 2 1 2 3 3 4 1 2
F在直线l 上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
2
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
1
（3）如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QE= CE（要求用两种方法）．
3
10．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是
______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置
关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
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如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
11．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方
形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适
的安装方案．
k
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面．喷洒覆盖率ρ= ，s为待喷洒区域面积，k为
s
待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ=
______．
9
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径
2
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9
均为3m的自动喷洒装置；⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为 m的自动喷洒装
n
置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判
断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ=1．
已知正方形ABCD各边上依次取点F，G，H，E，使得AE=BF=CG=DH，设AE=x(m)，⊙O 的面积
1
为y(m2)，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为3√2m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷
洒覆盖率ρ=1？（直接写出结果即可）
题型04 命题预测
1．（2025·山东济南·一模）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
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8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和 ，因此，木栏总长为
x 1
10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB= m，BC= m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
2．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
如图1，在 ▱ABCD中，点E,F分别在直线AB和AD上，直线CE,BF相交于点G,∠FGC=∠DAB，某
数学兴趣小组在探究CE,BF,AB,AD四条线段的比例关系时，经历了如下过程：
【特例感知】
（1）①如图2，当∠A=90°,AB=AD时，若EC=√5，则BF= ；
AB 3 BF
②如图3，当∠A=90°时，若 = ，则 = ．
AD 2 CE
【猜想证明】
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（2）猜想BF,CE,AB,AD四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择
一个证明即可）
【拓展应用】
（3）如图4，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点
BD 3
E,∠BAD=90°,∠ABC=∠AED=60°,AB=6，若 = ，试求边BC的长．
AC 2
3．（2025·河南开封·一模）综合与实践在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=1,BC=2．
问题发现
（1）如图1，将△CAB绕点C按顺时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE之间的数
量关系是___________，AD与BE的位置关系是___________．
类比探究
（2）如图2，将△CAB绕点C按顺时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE之
间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由．
迁移应用
（3）如图3，将△CAB绕点C旋转一定的角度得到△CDE，当点D落到边AB上时，连接BE，求线段BE
的长．
4．（2025·江西·模拟预测）【探究证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探
究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，
使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接
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AB'，BB'，BE'．
请完成：（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使
B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点
B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'．
请完成：
（3）BB'是∠NBC的一条________等分线．
36
