FY25暑假初三A08B05三角比的意义及特殊值学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_学生版PDF

08A/05B 三角比的意义及特殊值 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）锐角三角比的意义 （2）锐角三角比的特殊值 2. 考情分析 （1）锐角的三角比的意义和特殊值，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%. （2）锐角的三角比的意义和特殊值以选择、填空题为主，也会在解答题中作为基础进行考 察. （3）对应教材：初三上册，第二十五章：锐角的三角比，第一节：锐角的三角比 （4）锐角的三角比的意义和特殊值是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比 的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的 概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形 和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备． 1知识加油站 1——锐角三角比的意义 考点一：锐角三角比的定义 知识笔记1 1、正切 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． B c a A C b 2 ta n A = 锐 锐 角 角 A A 的 的 对 邻 边 边 = B A C C = a b ． 2、余切 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． 锐角A的邻边 AC b cotA= = = ． 锐角A的对边 BC a 3、正弦 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． 锐角A的对边 BC a sinA= = = ． 斜边 AB c 4、余弦 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． 锐角A的邻边 AC b cosA= = = ． 斜边 AB c 5、锐角的三角比 一个锐角的_______________________统称为这个锐角的三角比．例题1: （1）如图，在 3 R t  A B C 中，  A C B = 9 0  ，  A 的对边是______，  A 的邻边是______，  B 的对边是______，B的邻边是______． （2）如图，在 R t  M N P 中，  M P N = 9 0  ， P Q ⊥ M N ，垂足为点Q． ① 在 R t  M N P 中，M 的对边是______，  M 的邻边是______； ② 在RtMPQ中，M 的对边是______，  M 的邻边是______． ③ 在 R t  ____中，  N 的对边是MP；在 R t  ____中，  N 的邻边是NQ．  M P Q 的邻边是______，NPQ的对边是______． （3）如图，在RtMNP中，  M P N = 9 0  ，PQ⊥MN，垂足为点Q． ① s in M = ( M P ) = ( N P ) ． ② P P Q N = ______， M M Q P = C A B P M N Q ______．（用正弦或余弦表示） P M N Q练习1: （1）在 4 R t A B C 中，  C = 9 0  ，若  A B C 的三边都缩小5倍，则sinA的值( ) A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 （2）（2022•金山区张堰期末）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B C = 1 ，AB=3，下列各式中， 正确的是 ( ) 1 1 1 1 A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 3 3 3 3 （3）（2023•徐汇区一模）在RtABC中，C=90，AB=5，AC =4．下列四个选项，正 确的是 ( ) 3 A．tanB= B． 4 c o t B = 4 3 C． s in B = 4 5 D． c o s B = 4 5 （4）（2023•松江区一模）已知 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 2 ， B C = 3 ，那么下列结论 正确的是 ( ) 2 A．tanA= B． 3 c o t A = 2 3 C． s in A = 2 3 D． c o s A = 2 3考点二：锐角三角比的简单计算 例题2: （1）（2022•徐汇区期末）如果把 5 R t A B C 的三边长度都扩大 2 倍，那么锐角A的四个三角 比的值 ( ) A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的 1 2 C．都没有变化 D．都不能确定 （2）（2023•虹口区一模）如图，在RtABC中，C=90， A C = 1 ，BC=2，那么cosA的 值为 ( ) 1 A． B．2 C． 2 5 5 D． 2 5 5 （3）（2023•长宁区一模）在  A B C 中，  C = 9 0  ，已知 A C = 3 ，AB=5，那么  A 的余弦 值为 ( ) 3 4 A． B． C． 4 3 3 5 4 D． 5 （4）（2020•青浦区期末）已知RtABC中，  C = 9 0  ， s in A = 5 1 3 ，BC =10，则AB等 于( ) A．26 B．32 C．24 D．12练习2: （1）在 6 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A B = 3 B C ，则sinB的值为( ) A． 1 2 2 3 2 2 B． C． D． 2 2 3 （2）（2020•浦东新区期末）已知在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B   = ， A C = 2 ，那么 A B 的长等于 ( ) A． s 2 in B．  2 s in  C． c o 2 s D．  2 c o s  考点三：锐角三角比的简单计算 例题3: （1）矩形 A B C D 中 A B = 1 0 ， B C = 8 ， E 为 A D 边上一点，沿CE将  C D E 对折，使点 D 正好落在 A B 边上，求 ta n  A F E ． （2）在ABC中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求  A C B 的四个三角比的值．（3）如图，在ABC中，ACB=90，CD⊥AB于点D， 7 D C B   = ， 若AD : BC = 16 : 15，求 s in 、 c o t 的值． 练习3: （1）如图，在 R t  A B C 中，  C = 9 0  ，点D在边BC上，AD = BD = 5， s in  A D C = 4 5 ， 求 c o s  A B C 和 ta n  A B C 的值． （2）在梯形ABCD中，AD // BC，AB ⊥ AD，对角线AC、BD相交于点E，BD ⊥ C A D B A C D B CD，AB 4 = 12，cotADB= ，求：① DBC的余弦值；② DE的长． 3知识加油站 2——特殊锐角三角比的值 考点三：特殊三角比的直接应用 知识笔记2 特殊锐角的三角比的值  tan 8 c o t  s in  c o s  30° 3 3 2 3 45° 1 2 2 3 60° 3 1 2 例题4: （1）用特殊锐角的三角比填空： ① 1 2 = ______ = ______； ② 2 2 = ______ = ______； ③ 1 = 3 ______ = ______； ④ =______ = ______． 2 （2）正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，求  O A B 的三角比的值． 练习4: （1）如图，在RtABC中，  C = 9 0  ，  A = 3 0  ，BC = a．求  A 的三角比的值． B C A（2）求满足下列条件的锐角： ① 9 2 c o s 2 0  − = ； ② tan(+10)= 3． 考点四：特殊三角比值的计算 例题5: （1）（2023•普陀区一模）计算： 2 s in 2 4 s 5 in  6 + 0  ta n 4 5  − 4 c o t 3 0   c o s 2 3 0  ． （2）（2023•金山区一模）计算： 4 s in 2 2 4 5 c o  s − 6 ta 0  n 4 5  + 2 c o t 3 0   s in 6 0  ． （3）（2023•崇明区一模）计算： 4 c o s 3 0  − c o s 4 5  ta n 6 0  + 2 s in 2 4 5  ． （4）（2023•奉贤区一模）计算： 4 c o s 3 0   s in 6 0  + 2 ta n 4 5 1  − c o t 3 0  ．练习5: 4cos245 （1）（2022•青浦一中期末）计算：2sin60−cot30+ ． tan30−1 2cos30 （2）（2022•张堰二中期末）计算：2tan45− −2sin260． cot30 2cos230−cot45 （3）（2022•青浦实验期末）计算： ． tan60+2sin45 （4）（2022•复旦二附中期末）计算： 10 c o t ta 3 0 n  4 5   s in 6 0  + (1 − c o s 4 5  ) 2 + s in 4 5  ．例题6: （1）已知 11 3 ta n 2 c o s 3 0 0  −  = ，求锐角 （2）在ABC中，  A 、  B 均是锐角且 ta n B − 3 + ( 2 s in A − 3 ) 2 = 0 ，请判断ABC 的形状，并说明理由． （3）在  A B C 中，已知  A = 6 0  ，  B 为锐角，且 ta n A ， c o s B 恰为一元二次方程 2 x 2 − 3 m x + 3 = 0 的两个实数根．求 m 的值并判断  A B C 的形状． 练习6: （1）已知2sin−3tan30=0，求锐角． （2）若 ( ta n A − 3 ) 2 + ( ta n B − 3 3 ) 2 = 0 ，  A ，  B 为  A B C 的内角，试确定三角形的形 状．全真战场 关卡一 练习1: （1）（2020•金山区期末）如图，在ABC中，C=90，设 12  A ，  B ，C所对的边 分别为 a ， b ， c ，则 ( ) A． s in A = a b B． a = s in B  c C． c o s A = b c D． ta n A = b a （2）如图，在  A B C 中，C=90，设  A ，  B ，  C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则 下列式子正确的是 ( ) A． c o s B = c a B． s in B = b c C． ta n B = a b b D．tanB= c （3）（2020•崇明区期末）在RtABC中，C=90，AC=12，BC=5，那么下列各式 中正确的是 ( ) A． ta n A = 1 5 2 B． ta n A = 5 1 3 C． s in A = 1 5 2 D． c o s A = 1 5 2练习2: （2020•金山区期末）三角比的计算： （1） 13 c o s 6 0  + 2 2 s in 4 5  + 3 ta n 3 0  （2） s in 2 6 0  − 2 s in 6 0  + 1 − | 1 − ta n 6 0  | （3） ( s in 3 0  ) − 1  ( s in 6 0  − c o s 4 5  ) − (1 − ta n 6 0  ) 2 ． 练习3: tan45+cot45 （1）（2022•黄浦区期末）计算： ． sin45+cos30（2）（2022•徐汇区期末）计算： 14 ta n 4 5 2  − s in c 3 o 0 s  6 0  + c o t 2 6 0  （3）（2022•浦东新区期末）计算： 4 s in 4 5  − 2 ta n 3 0  c o s 3 0  + c c o o t s 4 6 5 0   ． 练习4: （1）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B C = 6 ， ta n B = 0 .7 5 ，求AC的长． （2）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ，已知 B C = 1 2 ， A C = 4 3 ，求A，  B ，AB的大小．关卡二 练习5: 已知 15 R t  A B C 中，  C = 9 0  ，  A = 4 5  ， c − a = 3 ，求a、 b 、 c 的值． 练习6: 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯 一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰 的比叫做顶角的正对 ( s a d ) ．如图，在ABC中， A B = A C ，顶角A的正对记作sadA， 这时 s a d A = 底 腰 边 = B A C B ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定 的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1） s a d 6 0  的值为（ ）． A． 1 2 B ．1 C ． 2 3 D ．2 （2）对于 0   A  1 8 0  ，  A 的正对值 s a d A 的取值范围是_________． （3）已知 s in A = 3 5 ，其中  A 为锐角，试求 s a d A 的值．练习7: 应用锐角三角比的定义，求sin 15°、tan 15°、sin 75°、tan 75°． 16