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《轴对称图形》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一.选择题
1.（2016 秋•和平区期中）如图，图中阴影部分是由5 个小正方形组成的一个图形，再在图中
的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分称为轴对称图形，涂法有几种( )
A.2 B.4 C.5 D.7
2. 如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE、BF，则∠EBF
的大小为( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
3．在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形；
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；
C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形；
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .
4.已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P，
AC、BE 相交于点M，AD、CE 相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；
③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN 是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个 D．5 个
5. 已知A（4，3）和B 是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x ＝－3 轴对称，则平面内点B
的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（－10，3） C.（4，3） D.（4，1）
6．如图，已知△ABC 中，AC＋BC＝24，AO、BO 分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC 于N、BC 于
M，则△CMN 的周长为（ ）
A．12 B．24
C．36 D．不确定
7. 如图，将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处.若
1
129
，
则
2
的度数为（ ）
A. 49° B. 50° C. 51° D. 52°
第6 题 第7 题 第8 题
8. 如图, △ABC 中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB 的中垂线交BC 的延长线于D,交AC 于
E, 已知DE＝2.AC 的长为（ ）
A.2 B.3 C. 4 D.5
二.填空题
9. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝2cm ，点E 在BC 上，且AE＝CE．若将纸片沿AE 折叠，点B
恰好与AC 上的点
1
B 重合，则AC＝ cm ．
10. 在同一直角坐标系中，A（a ＋1，8）与B（－5，b －3）关于x 轴对称，则a ＝___________，
b ＝___________.
11．（2016•淮安一模）已知：如图，△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,过O 点的
直线分别交AB，AC 于点D、E，且DE∥BC.若AB=6，AC=8，则△ADE 的周长为________．
12. 如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，PD 的长为________．
A
N
O
B
M
C
（22 题图）
第12 题 第13 题
13．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点O 在△ABC 内，¿且∠OBC＝¿∠OCA，∠BOC＝110°，求
∠A 的度数为________．
14. 如图，在四边形ABCD 中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P 是BC 边
上一动点，则DP 长的最小值为 .
15. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60º，若BE
＝6cm ，DE＝2cm ，则BC＝______________．
第14 题 第15 题
16.（2015 春•莒县期末）如图，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE⊥AB 于点
E，DF⊥AC 于点F．若BC=4，则BE+CF=
．
三.解答题
17．如图所示，△ABC 中，D，E 在BC 上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA，交AE 于点F，
DF＝AC，求证AE 平分∠BAC．
18. 如图所示，等边三角形ABC 中，AB＝2，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与点A 重合，
但不与点B 重合），过点P 作PE⊥BC，垂足为E，过E 作EF⊥AC，垂足为F，¿过F¿作
FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝x ，AQ＝y ．
（1）写出y 与x 之间的关系式；
（2）当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合？
19．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D 为△ABC 内一点，且DB＝DC，∠DCB＝
30°．点E 为BD 延长线上一点，且AE＝AB．
（1）求∠ADE 的度数；
（2）若点M 在DE 上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．
20．已知，在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E 为AB 的中点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE
DB（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E 为AB 边上任意一点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论，AE
DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E 作EF∥BC，交AC 于点F．（请你完成以下解
答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 的延长线上，且ED=EC，若△ABC 的边
长为1，AE=2，求CD 的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】
2. 【答案】C；
【解析】由题意，∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠FBC，所以∠EBF＝1
2 ∠ABC＝45°，故选C．
3. 【答案】B；
【解析】全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的．C 选
项应为轴对称图形而不是成轴对称的图形.
4. 【答案】D；
【解析】解：∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，故选项①正确；
∵∠ACB=∠ACE=60°，由△BCE≌△ACD 得：∠CBE=∠CAD，
∴∠BMC=∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD 得：∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB 是△ACD 的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°，
又∠APM 是△PBD 的外角，
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°，故选项③正确；
在△ACN 和△BCM 中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN=BM，故选项④正确；
∴CM=CN，
∴△CMN 为等腰三角形，∵∠MCN=60°，
∴△CMN 是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
5. 【答案】B；
【解析】点B 的纵坐标和点A 一样，（横坐标＋4）÷2＝－3，解得横坐标为－10.
6. 【答案】B；
【解析】易证AN＝ON，BM＝OM，△CMN 的周长等于AC＋BC＝24.
7. 【答案】C；
【解析】∠A＝∠DOE,∠B＝∠HOG,∠C＝∠EOF,所以∠2＝360°－180°－129°＝51°.
8. 【答案】B；
【解析】连接AD，易证三角形ABD 为等边三角形，CE＝1
2 DE＝1，AE＝DE＝2，所以AC＝AE＋
CE＝2＋1＝3.
二.填空题
9. 【答案】4；
【解析】因为AE＝CE，∠
1
AB E ＝90°，所以
1
B 为AC 的中点.AC＝2AB＝4.
10.【答案】
5
,6
b
a
；
【解析】由题意a ＋1＝－5，3－b ＝8，解得
5
,6
b
a
.
11．【答案】14；
【解析】因为DE∥BC， 所以∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB， 因为∠OBC＝∠OBD，∠OCB＝
∠OCE， 所以∠OBD＝∠DOB，∠OCE＝∠EOC， 所以BD＝DO，CE＝EO， 所以△ADE
的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14.
12.【答案】2；
【解析】过P 作PE⊥OB 于E，所以PD＝PE，因为PC∥OA，所以∠BCP＝∠BOA＝30°，
在Rt△PCE 中，PE＝1
2 PC，所以PE＝1
2 ×4＝2，因为PE＝PD，所以PD＝2．
13．【答案】40°；
【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB， 又∵∠OBC＝∠OCA，
∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB）， ∵∠BOC＝110°，
∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠ABC＋∠ACB＝140°，
∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．
14.【答案】4；
【解析】过D 作DP⊥BC，此时DP 长的最小值是.因为∠ABD＝∠CBD，所以AD＝DP＝4.
15.【答案】8cm ；
【解析】延长ED 到BC 于M，延长AD 到BC 与N，∵AB＝AC，AD 平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝
CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM 为等边三角形，∵BE＝6cm ，DE＝2cm ，∴DM
＝4，∵∠NDM＝30°，∴NM＝2，∴BN＝4，∴BC＝8cm ．
16.【答案】2；
【解析】如图，作BG⊥AC 于G 点，作DH⊥BG 于H，易证△BED≌△DHB，得到BE=DH=GF，
∴BE+CF=CG，在Rt△BGC 中，CG= 1
2 BC=2.
三.解答题
17．【解析】
证明：延长FE 到G，使EG＝EF，连接CG，
在△DEF 和△CEG 中，
ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，
∴△DEF≌△CEG，
∴DF＝GC，∠DFE＝∠G，
∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE，
∵DF＝AC，∴GC＝AC，
∴∠G＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAE，即AE 平分∠BAC．
18．【解析】
解：（1）∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝2．
在△BEP 中，∵PE⊥BE，∠B＝60°，
∴∠BPE＝30°，
而BP＝x ，∴BE＝1
2
x ，EC＝2－1
2
x ，
在△CFE 中，∵∠C＝60°，EF⊥CF，
∴∠FEC＝30°，所以FC＝1－1
4 x，
同理在△FAQ 中，可得AQ＝1
2 ＋1
8
x ，
而AQ＝y ，所以y ＝1
2 ＋1
8
x （0＜x ≤2）．
（2）当点P 与点Q 重合时，有AQ＋BP＝AB＝2，
∴x ＋y ＝2，所以
2,
1
1 ,
2
8
x
y
y
x
解得x ＝4
3 ．
∴当BP 的长为4
3 时，点P 与点Q 重合．
19．【解析】
解：（1）如图．
∵△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180
30 )
2
＝75°．
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°．
∴∠1＝∠ABC－∠DBC＝75°－30°＝45°．
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD 所在直线垂直平分BC．
∴AD 平分∠BAC．
∴∠2＝2
1
∠BAC＝
30
2
1
＝15°．
∴∠ADE＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．
证明：（2）连接AM，取BE 的中点N，连接AN．
∵△ADM 中，DM＝DA，∠ADE＝60°，
∴△ADM 为等边三角形．
∵△ABE 中，AB＝AE，N 为BE 的中点，
∴BN＝NE，且AN⊥BE．
∴DN＝NM．
∴BN－DN ＝NE－NM，
即 BD＝ME．
∵DB＝DC，
∴ME＝DC．
20.【解析】
解：（1）当E 为AB 的中点时，AE=DB；
（2）AE=DB，理由如下，过点E 作EF∥BC，交AC 于点F，
证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴△AEF 为等边三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF，
在△DBE 和△EFC 中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
则AE=DB；
（3）点E 在AB 延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=2，BC=1，
则CD=BC+DB=3．
故答案为：（1）=；（2）=.
