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中考总复习：特殊的四边形--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 如图,E 是边长为1 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点
Q，PR⊥BE 于点R，则PQ＋PR 的值是( )． A．
B．
C．
D．
2．如图,在梯形ABCD 中， AB∥CD， 中位线MN = 7,对角线AC⊥BD,∠BDC = 30°，则梯形的高为（
）．A．
B．
C．
D．
3. 四边形ABCD 的对角线AC=BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D 作对角线的平行线，得到四边形EFGH，则
它是（ ）.A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
4 如图，矩形ABCD 中，其长为a，宽为b，如果
，则
的值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
5.如图，在菱形ABCD 中，
，
的垂直平分线FE 交对角线AC 于点F，E 为垂足，连接DF．
则
等于（ ）． A．
B．
C．
D．
6.（2014•海南模拟）如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A、B 重合），对角线AC、BD 相交于
点O，过点P 分别作AC、BD 的垂线，分别交AC、BD 于点E、F，交AD、BC 于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；
其中正确的结论有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二、填空题
7. 如图，点E、F、G、H 分别为正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 上的点，且AE=BF=CG=DH=
AB，则图中阴
影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为___________．
8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AC 与BD 相交于点O．下面结论正确的是_________．
①AC=BD；②∠DAO=∠DBC；③S△BOC=
S 梯形ABCD；④△AOB≌△DOC．
9.（2015 春•伊春校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为8cm，底面周长为12cm，在杯内离杯底2cm 的点C 处
有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距
离是 ．
10.（2012•湖州）如图，将正△ABC 分割成m 个边长为1 的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可
分割成n 个边长为1 的小三角形，若
=
，则△ABC 的边长是_________.
11.（2012•咸宁）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，BE 平分∠ABC 且交CD 于E，E 为CD 的中点，
EF∥BC 交AB 于F，EG∥AB 交BC 于G，当AD=2，BC=12 时，四边形BGEF 的周长为_________．
12.如图，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形
A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD 对角线长分别为a 和b，请用含a、b 的代数式
表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长_________________.
三、解答题
13.（2015·邯郸校级月考）已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E，G，H 分别在正
方形ABCD 边AB，CD，DA 上，AH=2，连接CF．
(1)当DG=2 时，求△FCG 的面积；
(2)设DG=
，用含
的代数式表示△FCG 的面积；
(3)判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．
14.在图1 到图3 中，点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点，△MPN 为直角三角形，∠MPN=90°．正方形
ABCD 保持不动，△MPN 沿射线AC 向右平移，平移过程中P 点始终在射线AC 上，且保持PM 垂直于直线AB
于点E，PN 垂直于直线BC 于点F．
（1）如图1，当点P 与点O 重合时，OE 与OF 的数量关系为______；
（2）如图2，当P 在线段OC 上时，猜想OE 与OF 有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证
明；
（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，OE 与OF 的数量关系为_______；位置关系为_________．
15．如图1，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接
CD，点E、F、G、H 分别是AC、AB、BD、CD 的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论
还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理
由．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E 从点B 出发，以每秒1 个
单位长度沿BC 向点C 运动，点F 从点O 出发，以每秒2 个单位长度沿OB 向点B 运动．现点E、F 同时出
发，当点F 到达点B 时，E、F 两点同时停止运动．
（1）求梯形OABC 的高BG 的长；
（2）连接E、F 并延长交OA 于点D，当E 点运动到几秒时，四边形ABED 是等腰梯形；
（3）动点E、F 是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F 运动的时间t
的值；如果不会，请说明理由．
【答案与解析】
一.选择题
1．【答案】A．
2．【答案】B.
3．【答案】A.
4．【答案】A.
【解析】由题意
，
，
.
5．【答案】D.
6．【答案】B.
【解析】在正方形ABCD 中，∠PAE= MAE=45°
∠
，
在△APE 和△AME 中，
，
APE
AME
∴△
△
≌
（ASA），故①正确；
AP=AM
∴
，
APM
∴△
是等腰直角三角形，
PM=
∴
AP，
同理可得PN=
PB，
PM+PN=
∴
AB，
又∵AC=
AB，
PM+PN=AC
∴
，故②正确；
PM AC
⊥
∵
，PN BD
⊥
，AC BD
⊥
，
∴四边形PEOF 是矩形，
PF=OE
∴
，
在Rt
POE
△
中，PE2+OE2=PO2，
PE
∴
2+PF2=PO2，故③正确；
∵矩形PEOF 不一定是正方形，
POF
∴△
是不一定等腰直角三角形，
OBC=45°
∵∠
，BF FN
⊥
，
BNF
∴△
是等腰直角三角形，
POF
∴△
与△BNF 相似不一定成立，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③共3 个．故选B．
二．填空题
7．【答案】
.
【解析】 把△APD 旋转到△DCM，把△ABF 旋转到△BCN， 则多边形PFBNMD 的面积被分成10 份，阴影部
分占4 份.
8．【答案】①②④.
9．【答案】10cm.
【解析】如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，
连接A′C，则A′C 即为最短距离，
由题意可得出：A′D=6cm，CD=8cm，
A′C=
=10（cm）．
10.【答案】12.
【解析】设正△ABC 的边长为x，则高为
x，S△ABC=
x•
x=
x2，
∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为
x-
，
较短的对角线为（
x-
）
=
x-1，
∴黑色菱形的面积=
（
x-
）（
x-1）=
（x-2）2，
∴
=
，整理得，11x2-144x+144=0，
解得x1=
（不符合题意，舍去），x2=12，所以，△ABC 的边长是12．
11.【答案】28.
【解析】先根据EF∥BC 交AB 于F，EG∥AB 交BC 于G 得出四边形BGEF 是平行四边形，再由BE 平分
∠ABC 且交CD 于E 可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC 可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判断出
四边形BGEF 是菱形，再根据E 为CD 的中点，AD=2，BC=12 求出EF 的长，进而可得出结论．
12．【答案】
.
【解析】结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，长为
，宽为
；
脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为
，
∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为
，
周长为
，即
．
∴四边形A2011B2011C2011D2011是矩形，长为
，宽为
，
∴四边形A2011B2011C2011D2011的周长为：2（
+
）=
．故答案为：
．
三.综合题
13．【解析】(1)
.
(2)作FM⊥DC，M 为垂足，连结GE，
∵ AB∥CD，∴ ∠AEG=∠MGE，
∵ HE∥GF，∴ ∠HEG=∠FGE．
∴ ∠AEH=∠MGF.
在△AHE 和△MFG 中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴ △AHE≌△MFG.
∴ FM=HA=2，
即无论菱形EFGH 如何变化，点F 的直线CD 的距离始终为定值2.
因此
(3)若
，由
，得
，此时在△DGH 中，
.
相应地，在△AHE 中，
，即点E 已经不在边AB 上.
故不可能有
.
14．【解析】
（1）OE=OF（相等）；
（2）OE=OF，OE⊥OF；
证明：连接BO，
∵在正方形ABCD 中，O 为AC 中点，
∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，
∵PF⊥BC，∠BCO=45°，
∴∠FPC=45°，PF=FC．
∵正方形ABCD，∠ABC=90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB=∠PFB=90°．
∴四边形PEBF 是矩形，
∴BE=PF．
∴BE=FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∴∠EOF=90°，
∴OE⊥OF．
（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．
15．【解析】
（1）四边形EFGH 是菱形．
（2）成立．理由：连接AD，BC．
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．
即∠APD=∠CPB．
又∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．
∵E、F、G、H 分别是AC、AB、BD、CD 的中点，
∴EF、FG、GH、EH 分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD 的中位线．
∴EF=
BC，FG=
AD，GH=
BC，EH=
AD．
∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH 是菱形．
（3）补全图形．
判断四边形EFGH 是正方形．
理由：连接AD，BC．
∵（2）中已证△APD≌△CPB．
∴∠PAD=∠PCB．
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°．
又∵∠1=∠2．
∴∠PCB+∠2=90°．
∴∠3=90°．
∵（2）中已证GH，EH 分别是△BCD，△ACD 的中位线，
∴GH∥BC，EH∥AD．
∴∠EHG=90°．
又∵（2）中已证四边形EFGH 是菱形，
∴菱形EFGH 是正方形.
16.【解析】（1）根据题意，AB=
=6,
∵2S△AOB=AB•OB=AO•BG，∴BG=
=
=4.8；
（2）设当E 点运动到x 秒时，四边形ABED 是等腰梯形，则BE=x，OF=2x，
∵BC∥OA，
∴
=
，即
=
，解得OD=
，
过E 作EH⊥OA 于H，
∵四边形ABED 是等腰梯形，
∴DH=AG=
，HG=BE=x，
∴DH=10-
-x-3.6=3.6，解得x=
；
（3）会同时在某个反比例函数的图象上．
根据题意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，
∴点E（6.4-t，4.8），
∵OF=2t，
∴2tcos∠AOB=2t×
=
t，2tsin∠AOB=2t×
=
t，
∴点F 的坐标为（
t，
t）
假设能在同一反比例函数图象上，则
t×
t=（6.4-t）×4.8，
整理得：2t2+5t-32=0，
△=25-4×2×（-32）=281＞0，
∴方程有解，即E、F 会同时在某一反比例函数图象上，此时，t=
，
因此E、F 会同时在某个反比例函数的图象上，t=
．
