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中考冲刺：数形结合问题—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．（2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：
①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
2.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如
图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公
式为（ ）
A 、
2
2
2
b)
-
a(
=
b
-
a
B、
2
2
2
b
+
ab
2
+
a
=
)
b
+
a(
C、
2
2
2
b
+
ab
2
-
a
=
)
b
-
a(
D、
2
2
-b
(
)( -b)
a
a
b a
二、 填空题
3. 实数a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的序号为____________.
①b+c＞0 ②a+b>a+c ③ac＜bc ④ab＞ac
4.（2016•通辽）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给
出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣
，y1）、C（﹣
，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤当﹣3≤x≤1 时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）
．
三、解答题
5.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么2 个小时时血液中
含药最高,达每毫升6 微克(1 微克=10-3 毫克),接着逐步衰减,10 小时时血液中含药量为每毫升3 微克,
每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.当成人按规定剂量服药后.
(1)分别求出x≤2 和x≥2 时y 与x 的函数解析式；
(2)如果每毫升血液中含量为4 微克或4 微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有
多长?
y
x
O 2
3
6
10
6．图1 是一个长为2m、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2 的形状拼
成一个正方形．
（1）你认为图2 中的阴影部分的正方形的边长等于 _____；
（2）请用两种不同的方法求图2 中阴影部分的面积．① ______②_______；
（3）观察图2 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（4）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）2的值．
（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7 的最小值．
7.为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与
“如意卡”在某市范围内每月（30 天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示：
（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x 之间的函数关系式；
（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜．
8.（长宁区二模）如图，一次函数y=ax
1
﹣（a≠0）的图象与反比例函数y= （ k≠0）的图象相交于A、B 两点
且点A 的坐标为（ 2，1），点B 的坐标（﹣1，n）．
（1）分别求两个函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积．
9.请同学们仔细阅读如图所示的计算机程序框架图，回答下列问题：
（1）如果输入值为2，那么输出值是多少？
（2）若要使输入的x 的值只经过一次运行就能输出结果，求x 的取值范围；
（3）若要使开始输入的x 的值经过两次运行才能输出结果，那么x 的取值范围又是多少？
10.观察如图所包含规律（图中三角形均是直角三角形，且一条直角边始终为1，四边形均为正方形．S1，
S2，S3，…Sn依次表示正方形的面积，每个正方形边长与它左边相邻的直角三角形斜边相等），再回答下列
问题．
（1）填表：
直角边
A1B1
A2B2
A3B3
A4B4
…
AnBn
长度
1
…
（2）当s1+s2+s3+s4+…+sn=465 时，求n．
11.某报社为了了解读者对该报社一种报纸四个版面的认可情况，对读者做了一次问卷凋查，要求读者选
出自己最喜欢的一个版面，并将调查结果绘制成如下的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题．
（1）在这次活动中一共调查了多少读者？
（2）在扇形统计图中，计算第一版所在扇形的圆心角度数；
（3）请你求出喜欢第四版的人数，并将条形统计图补充完整．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c 图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；
∵x=1 时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣
，∴﹣
，b＜0，∴b=3a，
又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴有两个交点，∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；
综上可得，正确结论有3 个：①③④．
2．【答案】D；
二、 填空题
3．【答案】②③④；
4．【答案】②③⑤；
【解析】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x 轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，﹣
=﹣1，∴b=2a，c=﹣3a，∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．
∵B（
，y1）、C（
，y2）为函数图象上的两点，点C 离对称轴近，∴y1＜y2，故④错误，
由图象可知，﹣3≤x≤1 时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确.
三、 解答题
5．【答案与解析】
解：（1）当x≤2 时，设y=kx，
把（2，6）代入上式，得k=3，
∴x≤2 时，y=3x；
当x≥2 时，设y=kx+b，
把（2，6），（10，3）代入上式，得
k=
3
8
，b= 27
4
∴x≥2 时，y=
3
8
x+ 27
4
（2）把y=4 代入y=3x，得x1= 4
3
把y=4 代入y=
3
8
x+ 27
4 得x2= 22
3
则x2-x1=6（小时）．
答：这个有效时间为6 小时．
6．【答案与解析】
解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；
（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2，
还可以表示为（m+n）2-4mn；
（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（4）∵mn=-2，m-n=4，
∴（m+n）2=（m-n）2+4mn=42+4×（-2）=16-8=8；
（5）x2+2x+y2-4y+7，
=x2+2x+1+y2-4y+4+2，
=（x+1）2+（y-2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，
∴（x+1）2+（y-2）2≥2，
∴当x=-1，y=2 时，代数式x2+2x+y2-4y+7 的最小值是2．
故答案为：（1）m-n；（2）（m-n）2，（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．(4) 8 (5) 最
小值是2.
7.【答案与解析】
解：（1）设y1=kx+b，将（0，29），（30，35）代入，
解得k= 1
5 ，b=29，∴y1= 1
5 x+29，
又24×60×30=43200（min）（属于隐含条件）
∴y1= 1
5 x+29 （0≤x≤43200），
同样求得y2= 1
2 x (0≤x≤43200)；
（2）当y1=y2时，
1
5 x+29= 1
2 x，
x=
2
96 3 ；
当y1＜y2时，
1
5 x+29＜1
2 x， x＞
2
96 3 ．
所以，当通话时间等于
2
96 3 min 时，两种卡的收费一致，
当通话时间小于
2
96 3 min 时，“如意卡便宜”，
当通话时间大于
2
96 3 min 时，“便民卡”便宜．
8.【答案与解析】
解：（1）一次函数y=ax
1
﹣（a≠0）的图象与反比例函数y= （ k≠0）的图象相交于A、B 两点且点A 的坐标
为（ 2，1），
，
解得
一次函数的解析式是y=x
1
﹣，
反比例函数的解析式是y= ；
（2）当x=0 时，y=
1
﹣，
S 三角形AOB=
|
1|×2+
﹣
|
1|×|
1|
﹣
﹣
=1+
= ．
9.【答案与解析】
解：（1）依据题中的计算程序列出算式：3×2+1，
∵3×2+1=7，7＜9，
∴应该按照计算程序继续计算，3×7+1=22＞9，
∴如果输入值为2，那么输出值是22．
（2）依题意，有3x+1＞9，
解得x＞8
3 ；
（3）依题意，有3
1
9
3(3
1) 1
9
x
x
解得5
9 ＜x≤8
3 .
10.【答案与解析】
解：(1)
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2;
( 2)
1
3
A B
A B
，
2
2
3
3
n
( 3)
1
4
2;
n
A B
A B
n
由此可以推断：
，
直角边
A1B1
A2B2
A3B3
A4B4
…
AnBn
长度
1
2
3
2
…
（2）S1=（
2 ）2=2，
S2=（3 ）2=3，
S3=22=4，
S4=（5 ）2=5，……..
Sn=（
1
n
）2=n+1；
由s1+s2+s3+s4+…+sn=465 可得：
1+2+3+4+5+…+n=465，
1
2 (1+n) ×n=465
解得：n=-31（不合题意舍去）或n=30，
故：n=30．
11.【答案与解析】
解：（1）这次活动中一共调查了500÷10%=5000（人）；
（2）第一版所在扇形的圆心角度数=360°×（1-20%-40%-10%）=108°；
（3）喜欢第四版的人数是：
5000×20%=1000（人），如下图所示：
