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中考总复习：圆综合复习—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015•杨浦区三模）已知半径分别是3 和5 的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范
围是（ ）
A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2
D．d＞8 或d＜2
2．如图，等腰梯形ABCD 内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )
A．
B．
C．
D．
3．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C
与AB 的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
第2 题 第3 题 第5 题
4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A 满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置
关系是( )
A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含
5．如图所示，在圆O 内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC 的长为( )
A．19 B．16 C．18 D．20
6．如图，MN 是半径为0.5 的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一
动点，则PA+PB 的最小值为( )
A．
B．
C．1 D．2
二、填空题
7．如图，分别以A，B 为圆心，线段AB 的长为半径的两个圆相交于C，D 两点，则∠CAD 的度数为_______．
8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上
表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接
缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．
第7 题 第8 题 第9 题
9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，
与
关于点O 中心对称，则AB、BC、
、
所围成的面积是
________cm2．
10．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为3 cm
和5 cm，则AB 的长为________cm．
11．将半径为4 cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，
圆柱的底面半径是________cm．
第10 题 第11 题
12．（2015•安徽模拟）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC 交AB 于E，
交AC 于F，过点O 作OD⊥AC 于D．下列四个结论：
①∠BOC=90°+ ∠A；②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；③设OD=m，
AE+AF=n，则S△AEF=mn； ④EF 是△ABC 的中位线．其中正确的结论是
．
三、解答题
13．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知点E 在△ABC 的边AB 上，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，
且D 在以AE 为直径的⊙O 上．
（1）证明：BC 是⊙O 的切线；
（2）若DC=4，AC=6，求圆心O 到AD 的距离；
（3）若
，求
的值．
14．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 于点D，交AC 于点E，连接BE．
(1)若BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小；
(2)当AB＝1，BC＝2 时，求△DEC 外接圆的半径．
15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF 交BC 于E，∠ABC 的平分线
BD 交AF 于D，连接BF．
(1)证明：AF 平分∠BAC；
(2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD 的长．
16. 如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB 交直线AC 于D，BD＝2PA．
(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；
(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并加以证明；
(3)求sin∠OPA 的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D ；
【解析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，
当内含时，这两个圆的圆心距d 的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；
当外离时，这两个圆的圆心距d 的取值范围是d＞R+r，即d＞8．
故选D．
2.【答案】A ；
【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E，F，连接BD，
则AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，
设AE＝x，则AD＝2+2x．
由△ABE∽△ADB 可得
，
即
，解得
．
∴ AD＝2+2x＝1+
，则
．
3.【答案】B ；
【解析】如图，过C 作CD⊥AB 于D，
在Rt△CBD 中，BC＝4cm，∠B＝30°，
∴ CD＝
BC＝
(cm)．
又⊙C 的半径为2cm，
∴ d＝r．
∴ 直线AB 与⊙C 相似．
4.【答案】A ；
【解析】因为AO1＝3，所以点A 在圆O1上，又因为点A 在圆O2上，
所以圆O1与圆O2的位置关系是相交或相切．
5.【答案】D ；
【解析】延长AO 交BC 于D 点，过O 作OE⊥BD 于E．
∵ ∠A＝∠B＝60°，∴ ∠ADB＝60°．
∴ △DAB 是等边三角形，BD＝AB＝12．
在Rt△ODE 中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，
∴ DE＝OD·cos 60°＝
，∴ BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．
6.【答案】A；
【解析】过B 作BB′⊥MN 交⊙O 于B′，连接AB′交MN 于P，此时PA+PB＝AB′最小．
连AO 并延长交⊙O 于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝
，
∴
．
二、填空题
7．【答案】120°；
【解析】连接BC，BD，则△ABC 与△ABD 都是等边三角形，故∠CAB＝∠DAB＝60°，
所以∠CAD＝60°+60°＝120°．
8．【答案】18 ；
【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为θ 度，
则由题意
．
∴ θ＝18．
9．【答案】2 ；
【解析】连接AC，因为
与
关于点O 中心对称，所以A，O，C 三点共线，
，
所以所求圆形的面积＝△ABC 的面积
(cm2)．
10．【答案】8 ；
【解析】连接OC，OA，则OC 垂直平分AB，由勾股定理知
，
所以AB＝2AC＝8．
11．【答案】1 ；
【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得OD＝OA＝4，2πCD＝4π，
∴ CD＝2．
则
．
设EF＝x，EC＝y，由△OEF∽△OCD 得
，
∴
．
∴
．
∴ 当x＝1 时，S 有最大值
．
12．【答案】①②；
【解析】如图
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
而∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∴∠1+∠2=90°﹣∠A，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴180°﹣∠BOC=90°﹣∠A，
∴∠BOC=90°
∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO，
∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，
∴EB=EO，FC=FO，
∴BE+FC=EF，
∴以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切，所以②正确；
连OA，过O 作OG⊥AE 于G，如图，
∵点O 为△ABC 的内心，
∴OA 平分∠BAC，
∴OG=OD=m，
∴S△AEF=S△OAE+S△OAF= AE•m+ AF•m= （AE+AF）•m= mn，所以③不正确；
∵EB=EO，FC=FO，
若EF 是△ABC 的中位线，则EB=AE，FC=AF，
∴AE=EO，AF=FO，
∴AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系，所以④不正确．
故答案为：①②．
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）连接OD，
AD
∵
平分∠BAC，
BAD= DAC
∴∠
∠
，
OA=OD
∵
，
BAD= ODA
∴∠
∠
，
ODA= DAC
∴∠
∠
，
AC OD
∴
∥
，
C=90°
∵∠
，
ODC=90°
∴∠
，
即BC 是⊙O 的切线．
（2）在Rt
ADC
△
中，∠ACD=90°，由勾股定理，
得：
，
作OF AD
⊥
于F，根据垂径定理得
可证△AOF
ADC
△
∽
∴
∴
∴
；
（3）连接ED，
AD
∵
平分∠BAC，
BAD= DAC
∴∠
∠
，
AE
∵
为直径，
ADE=90°
∴∠
，
∴在Rt
AED
△
中，tan EAD=
∠
=tan DAC=
∠
，
AED=90°
∵∠
，
EDB+ ADC=90°
∴∠
∠
，
DAC+ ADC=90°
∵∠
∠
，
EDB= DAC= EAD
∴∠
∠
∠
，
B= B
∵∠
∠，
BED
BDA
∴△
△
∽
，
∴
．
14.【答案与解析】
(1)∵ DE 垂直平分AC，∴ ∠DEC＝90°．
∴ DC 为△DEC 外接圆的直径．
∴ DC 的中点O 即为圆心．
连接OE，又知BE 是⊙O 的切线，
∴ ∠EBO+∠BOE＝90°．
在Rt△ABC 中，E 是斜边AC 的中点，
∴ BE＝EC．
∴ ∠EBC＝∠C．
又∵ ∠BOE＝2∠C，∴ ∠C+2∠C＝90°．
∴ ∠C＝30°．
(2)在Rt△ABC 中，
，
∴
．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝90°，∴ △ABC∽△DEC．
∴
．∴
．
∴ △DEC 外接圆的半径为
．
15.【答案与解析】
(1)证明：连接OF ．
∵ FH 是⊙O 的切线，
∴ OF⊥FH．
∵ FH∥BC，
∴ OF 垂直平分BC．
∴
．
∴ AF 平分∠BAC．
(2)证明：由(1)及题设条件可知
∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，
∴ ∠1+∠4＝∠2+∠3．
∴ ∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB＝FBD．
∴ BF＝FD．
(3)解：在△BFE 和△AFB 中，
∵ ∠5＝∠2＝∠1，∠BFE＝∠AFB，
∴ △BFE∽△AFB．
∴
，
∴
，
∴
．
16.【答案与解析】
(1)证明：连接OB．
∵ BC∥OP，
∴ ∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．
又∵ OC＝OB，∴ ∠BCO＝∠CBO．
∴ ∠POB＝∠POA．
又∵ PO＝PO，OB＝OA，
∴ △POB≌△POA．
∴ ∠PBO＝∠PAO＝90°．
∴ PB 是⊙O 的切线．
(2)解：2PO＝3BC．(写PO＝
BC 亦可)
证明：∵ △POB≌△POA，∴ PB＝PA．
∵ BD＝2PA，∴ BD＝2PB．
∵ BC∥PO，∴ △DBC∽△DPO．
∴
，
∴ 2PO＝3BC．
(3)解：∵ △DBC∽△DPO，
∴
，即
，
∴ DC＝2OC．
设OA＝x，PA＝y，则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y．
在Rt△OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x2+(2y)2，即2x2＝y2．
∵ x＞0，y＞0，
∴
，
．
∴
．
