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实际问题与二元一次方程组（一）（基础）知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程
组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
=
100%
利润
利润率进价
.
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所
列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要
相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的
结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1.（2016•长春二模）电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进
入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220 元买了1 个茶壶和10 个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯
的单价的4 倍还多10 元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？
【思路点拨】设茶壶的单价为x 元，茶杯的单价为y 元，根据题意可得，1 个茶壶和10 个茶杯
共花去220 元，茶壶的单价比茶杯的单价的4 倍还多10 元，据此列方程组求解．
【答案与解析】
解：设茶壶的单价为x 元，茶杯的单价为y 元，
由题意得，
，
解得：
．
答：茶壶的单价为70 元，茶杯的单价为15 元．
【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程组求解．
举一反三：
【变式】（2015•茂名模拟）根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（ ）
A．7 元
B．35 元C．45 元D．50 元
【答案】C．
解：设水壶单价为x 元，杯子单价为y 元，
则有
，
解得
．
答：一个热水瓶的价格是45 元．
类型二、配套问题
2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或
衣袖5 只. 现计划用132 米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布
料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132 米；第二
个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍
（注意：别把2 倍的关系写反了）.
【答案与解析】
解：设用x 米布料做衣身，用y 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，列方程组得
y
x
y
x
2
5
2
2
3
132
解方程组得
72
60
y
x
答：用60 米布料做衣身，用72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿
的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们
之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例2】
举一反三：
【变式】某家具厂生产一种方桌，设计时1
3
m 的木材可做50 个桌面或300 条桌腿.现有10
3
m
的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少
张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4 条桌腿）.
【答案】
解：设有
3
xm 的木材生产桌面，
3
ym 的木材生产桌腿，由题意得，
10
300
50
4
x
y
y
x
,
6
4
x
y
.
∴方桌有50 x =300（张）.
答：有6
3
m 的木材生产桌面，4
3
m 的木材生产桌腿，可生产出300 张方桌.
类型三、工程问题
3.一批机器零件共840 个，如果甲先做4 天，乙加入合做，那么再做8 天才能完成；如果
乙先做4 天，甲加入合做，那么再做9 天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?
【思路点拨】本例由分析知，有两个相等关系：(1)甲4 天的工作量＋甲乙合做8 天的工作量
＝工作总量；(2)乙4 天的工作量＋甲、乙合做9 天的工作量＝工作总量，根据这两个相等关
系可列方程求解．
【答案与解析】
解：设甲每天做x 个机器零件，乙每天做y 个机器零件．
根据题意，得(4
8)
8
840
9
(4
9)
840
x
y
x
y
，
解之，得
50
30
x
y
．
答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50 个、30 个．
【总结升华】解答这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间．工程问题一般分
为两类：一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1 的工程问题．
类型四、利润问题
4. （2015•曲靖）某商场投入13800 元资金购进甲、乙两种矿泉水共500 箱，矿泉水的
成本价和销售价如表所示：
类别/单价
成本价
销售价（元/箱）
甲
24
36
乙
33
48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500 箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
【思路点拨】（1）设商场购进甲种矿泉水x 箱，购进乙种矿泉水y 箱，根据投入13800 元资金
购进甲、乙两种矿泉水共500 箱，列出方程组解答即可；
（2）总利润=甲的利润+乙的利润．
【答案与解析】
解：（1）设商场购进甲种矿泉水x 箱，购进乙种矿泉水y 箱，由题意得
，
解得：
．
答：商场购进甲种矿泉水300 箱，购进乙种矿泉水200 箱．
（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）
=3600+3000
=6600（元）．
答：该商场共获得利润6600 元．
【总结升华】本题考查了二元一次方程组的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例6】
举一反三：
【变式】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50 件，甲种商品的进价
是每件35 元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20 元，利润率是15%，共获利278 元，你
知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?
【答案】
解：设王师傅分别购进甲、乙两种商品x 件和y 件，则
50
35
20%
20 15%
278
x
y
x
y
解得：
32
18
x
y
答：王师傅分别购进甲乙两种商品32 件与18 件．
