中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（基础）
责编：常春芳
【中考展望】
1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和
“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验
稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.
2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四
边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．
图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：
1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．
2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要
求的图形等)．
3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．
4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．
解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用
代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．
另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获
得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类
是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯
形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题
是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.
【方法点拨】
实践操作问题：
解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭
示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通
过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、
思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知
发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．
动态几何问题：
1、动态几何常见类型
（1）点动问题（一个动点）
（2）线动问题（二个动点）
（3）面动问题（三个动点）
2、运动形式
平移、旋转、翻折、滚动
3、数学思想
函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想
4、解题思路
（1）化动为静，动中求静
（2）建立联系，计算说明
（3）特殊探路，一般推证
【典型例题】
类型一、图形的折叠
1．（2016•济南）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB=8
，AD=10，点E 是CD 中点，将这张纸片依次折叠
两次；第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N 与点E
重合，如图3，点B 落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=
．
【思路点拨】
如图2 中，作NF⊥CD 于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得
=
，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再证明∠EHG=∠AMN 即可解决问题．
【答案】45°．
【解析】
解：如图2 中，作NF⊥CD 于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，
∵DE=EC，AB=CD=8
，
∴DE=
CD=4
，
在RT△DEM 中，∵DM2+DE2=EM2，
∴（4
）2+x2=（10﹣x）2，
解得x=2.6，
∴DM=2.6，AM=EM=7.4，
∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，
∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，
∴△DME∽△FEN，
∴
=
，
∴
=
，
∴EN=
，
∴AN=EN=
，
∴tan∠AMN=
=
，
如图3 中，∵ME⊥EN，HG⊥EN，
∴EM∥GH，
∴∠NME=∠NHG，
∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，
∴∠AMN=∠EHG，
∴tan∠EHG=tan∠AMN=
．
故答案为
．
【总结升华】
本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明
∠AMN=∠EHG 是关键，属于中考填空题中的压轴题．
举一反三：
【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如
果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________ (用“能”或“不能”填空)．若填“能”，请确定裁剪线
的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．
【答案】
解：能.如图所示，取四边形ABCD 各边的中点E，F，G，H，连接EG，FH，交点为O．
以EG，FH 为裁剪线，EG，FH 将四边形ABCD 分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接时图中的Ⅰ不动，将Ⅱ，Ⅳ
分别绕E，H 旋转180°，将Ⅲ平移，拼成的四边形OO1O2O3即为所求．沿CA 方向平移，将点C 平移到点
A 位置．
类型二、实践操作
2．如图,在等腰梯形ABCD 中AB∥CD,AB＝3 2 ,DC＝
2 ,高CE＝2 2 ,对角线AC、BD 交于H，平行于
线段BD 的两条直线MN、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M、N
和R、Q，分别交对角线AC 于F、G；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD 被直线
MN 扫过的面积为
1S ，被直线RQ 扫过的面积为
2
S ，若直线MN 平移的速度为1 单位/秒,直线RQ 平移的速
度为2 单位/秒,设两直线移动的时间为x 秒.
(1)填空:∠AHB＝____________；AC＝_____________；
(2) 若
2
1
3
S
S
,求x；
(3) 若
2
1
S
mS
,求m 的变化范围.
【思路点拨】
(1) 如例2 图-1 所示,平移对角线DB,交AB 的延长线于P.则四边形BPCD 是平行四边形,BD＝PC,BP＝DC
＝
2 .因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC＝BD. 所以AC＝PC.又高CE＝2 2 , AB＝3 2 ,所以AE＝EP
＝2 2 .所以∠AHB＝90°AC＝4；
⑵直线移动有两种情况:
3
0
2
x
及3
2
2
x
,需要分类讨论.
①当
3
0
2
x
时, 有
2
2
1
4
S
AG
S
AF
. ∴
2
1
3
S
S
②当3
2
2
x
时,先用含有x 的代数式分别表示
1S ,
2
S ,然后由
2
1
3
S
S
列出方程,解之可得x 的值；
(3) 分情况讨论:
①当
3
0
2
x
时,
2
1
4
S
m
S
.
②当3
2
2
x
时,由
2
1
S
mS
,得
2
2
2
1
8
8 2
2
3
x
S
m
S
x
＝
2
1
2
36
4
3
x
.然后讨论这个函数
的最值,确定m 的变化范围.
【答案与解析】
解： (1) 90°,4；
(2)直线移动有两种情况:
3
0
2
x
和3
2
2
x
.
①当
3
0
2
x
时,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ARQ,△ANF∽△AQG.
2
2
1
4
S
AG
S
AF
. ∴
2
1
3
S
S
②当3
2
2
x
时, 如例2 图-2 所示,
CG＝4－2x,CH＝1,
1
4 1
2
2
BCD
S
.
2
2
4
2
2
8 2
1
CRQ
x
S
x
2
1
2
3
S
x
,
2
2
8
8 2
S
x
由
2
1
3
S
S
,得方程
2
2
2
8
8 2
3
3
x
x
,
解得
1
6
5
x
(舍去),
2
2
x
.
∴x＝2.
(3) 当
3
0
2
x
时,m＝4
当3
2
2
x
时,
由
2
1
S
mS
,得
2
2
8
8 2
2
3
x
m
x
＝
2
36
48
12
x
x
＝
2
1
2
36
4
3
x
.
M 是1
x 的二次函数, 当3
2
2
x
时, 即当1
1
2
2
3
x
时, M 随1
x 的增大而增大.
当
3
2
x
时,最大值m＝4. 当x＝2 时,最小值m＝3.
∴3≤m≤4.
【总结升华】
本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数的增减性和最
值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,
(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常
用的方法.
(2) 小题直线移动有两种情况:
3
0
2
x
及3
2
2
x
,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的
知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.
(3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数
2
1
2
36
4
3
m
x
,讨论它的增减性和最值是个难点. 讨论
之前点明我们把这个函数看作“M 是1
x
的二次函数”对顺利作答至关重要.
3．已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG∥BC 交AC 于点G，DE⊥BC 于
点E，过点G 作GF⊥BC 于点F，把三角形纸片ABC 分别沿DG、DE、GF 按图①所示方式折叠．点A、B、C 分别落
在A′、B′、C′处．若点A′、B′、C′在矩形DEFG 内或其边上．且互不重合，此时我们称
A B C
△
(即
图中阴影部分)为“重叠三角形”．
(1)若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为l 的等边三角形)，
点A、B、C、D 恰好落在网格图中的格点上，如图②所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；
(2)实验探究：设AD 的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在，试用含m 的代数式表示重叠三角形
A′B′C′的面积，并写出m 的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用)．
【思路点拨】
本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关键．
另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m 的取值范围．
【答案与解析】
解：(1)重叠三角形A′B′C′的面积为3 ．
理由：如题图，△A′B′C′是边长为2 的等边三角形．
∴其高为3 ，面积为1
2
3
3
2
．
(2)用含m 的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积为
2
3(4
)
m
，m 的取值范围是8
3 ≤m＜4．
理由：如图(1)，AD＝m，则BD＝GC＝8-m，
由轴对称的性质知DB′＝DB＝8-m．DA′＝DA＝m．
∴A′B′＝DB′－DA′＝8－m—m＝2(4－m)，
由△ABC 是等边三角形及折叠过程知AA′B′C′是等边三角形．
∴它的高是
3
2(4
)
3(4
)
2
m
m
．
2
1
2(4
)
3(4
)
3(4
)
2
A B C
S
m
m
m
△
．
以下求m 的取值范围：
如图(1)，若B′与F 重合，则C′与E 重合．
由折叠过程知BE＝EB′＝EF．
CF＝FC′＝FE．∴BE＝EF＝FC＝8
3 ．
∵∠B＝60°，BD＝2BE＝16
3 ，
16
8
8
3
3
AD
，即
8
3
m
．
若
8
3
m
，如图(2)，点B′、C′落在矩形DEFG 外，不合题意．
∴
8
3
m
．
又由A′B′＝2(4-m)＞0，得m＜4．
∴m 的取值范围是8
4
3
m
．
【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点．
举一反三：
【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例2 】
【变式】阅读下面问题的解决过程：
问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．
解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．
情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D，联结AP，过点D 作DE∥AP 交AC 于E，作
直线PE，直线PE 即为所求直线．
问题解决：
如图③，已知四边形ABCD，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．
【答案】
解：如图③，取对角线AC 的中点O，联结BO、DO、BD,
过点O 作OE∥BD 交CD 于E,
∴直线BE 即为所求直线
类型三、动态数学问题
4．如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC 剪开，得到△ACD 和△A′BC′.
(1)如图②，将△ACD 沿A′C′边向上平移，使点A 与点C′重合，连接A′D 和BC，四边形A′BCD 是
形；
（2）如图③，将△ACD 的顶点A 与A′点重合，然后绕点A 沿逆时针方向旋转，使点D、A、B 在同一直线上，
则旋转角为 度；连接CC′，四边形CDBC′是 形；
（3）如图④，将AC 边与A′C′边重合，并使顶点B 和D 在AC 边的同一侧，设AB、CD 相交于E，连接BD，四
边形ADBC 是什么特殊四边形？请说明你的理由.
【思路点拨】
（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2）利用旋转变换的性质
以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案．
【答案与解析】
解：（1）平行四边形；
证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C 与BD 互相平分，
∴四边形A′BCD 是平行四边形；
（2）∵DA 由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B 在同一直线上，
∴旋转角为90 度；
证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B 在一条直线上，
∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形；
故答案为：90，直角梯；
（3）四边形ADBC 是等腰梯形；
证明：过点B 作BM⊥AC，过点D 作DN⊥AC，垂足分别为M，N，
∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC 剪开，得到△ACD 和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′，
∴BM=ND，∴BD∥AC，
∵AD=BC，∴四边形ADBC 是等腰梯形．
【总结升华】
此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，
熟练掌握判定定理是解题关键．
举一反三：
【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例1 】
【变式】
（2015 秋•莘县期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似
中心，将△ABC 缩小，位似比为1：2，则线段AC 中点P 变换后对应点的坐标为
．
【答案】（
3
2 2
，）或（
3
-2 - 2
，）.
【解析】
解：如图，∵A（2，2），C（6，4），
∴点P 的坐标为（4，3），
∵以原点为位似中心将△ABC 缩小位似比为1：2，
∴线段AC 的中点P 变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．
故答案为：（2，）或（﹣2，﹣）．
5．如图①，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D
的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止．已知△PAD 的面积S（单位：cm2）与点P 移动的时间（单位：
s）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了
秒（结果保留根号）．
【思路点拨】
根据图②判断出AB、BC 的长度，过点B 作BE⊥AD 于点E，然后求出梯形ABCD 的高BE，再根据t=2 时
△PAD 的面积求出AD 的长度，过点C 作CF⊥AD 于点F，然后求出DF 的长度，利用勾股定理列式求出CD 的
长度，然后求出AB、BC、CD 的和，再根据时间=路程÷速度，计算即可得解．
【答案】（4+2
）．
【解析】
解：由图②可知，t 在2 到4 秒时，△PAD 的面积不发生变化，
∴在AB 上运动的时间是2 秒，在BC 上运动的时间是4-2=2 秒，
∵动点P 的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B 作BE⊥AD 于点E，过点C 作CF⊥AD 于点F，
则四边形BCFE 是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2×
=
，
AE=ABcos60°=2× =1，
∴×AD×BE=3
，
即×AD×
=3
，
解得AD=6cm，
∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，
在Rt△CDF 中，CD=
=
=2
，
所以，动点P 运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2
=4+2
，
∵动点P 的运动速度是1cm/s，
∴点P 从开始移动到停止移动一共用了（4+2
）÷1=4+2
（秒）．
故答案为：（4+2
）．
【总结升华】
本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC 的长度是解题
的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线．
