04.人教高中物理选择性必修1_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中物理

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第二章 机械振动
01
第一册
选择性必修
普
通
高
中
教
科
书
物理
02
高中物理选择性必修第一册
第二章 机械振动
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110
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目  录
第一章  动量守恒定律
1. 动量
2. 动量定理 
3. 动量守恒定律
4. 实验：验证动量守恒定律
5. 弹性碰撞和非弹性碰撞
6. 反冲现象  火箭 
第二章  机械振动
1. 简谐运动
2. 简谐运动的描述
3. 简谐运动的回复力和能量
4. 单摆
5. 实验：用单摆测量重力加速度
6. 受迫振动 共振 
第三章  机械波
1. 波的形成
2. 波的描述
3. 波的反射、折射和衍射
4. 波的干涉
5. 多普勒效应
第四章  光
1. 光的折射
2. 全反射
3. 光的干涉
4. 实验：用双缝干涉测量光的波长
5. 光的衍射
6. 光的偏振  激光 
课题研究
索引
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04
高中物理选择性必修第一册
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第一章 动量守恒定律
1
第一章
动量守恒定律
1
台球的碰撞、微观粒子的散射，这些运动似
乎有天壤之别。然而，物理学的研究表明，它们
遵从相同的科学规律——动量守恒定律。动量守
恒定律是自然界中最普遍的规律之一，无论是设
计火箭还是研究微观粒子，都离不开它。
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高中物理选择性必修第一册
动量
1
从历史上看，一般说来，这（引入新的
概念）永远是走向科学进步的最有力的方
法之一。
——霍耳顿
①
用两根长度相同的线绳，分别悬挂两
个完全相同的钢球A、B，且两球并排放置。
拉起A 球，然后放开，该球与静止的B 球
发生碰撞。可以看到，碰撞后A 球停止运
动而静止，B 球开始运动，最终摆到和A
球拉起时同样的高度。为什么会发生这样
的现象呢？
问题？
图1.1-1 质量不同小球的碰撞
_______________________
① 霍耳顿（Gerald Holton，1922 —  ），美国著名科学史家，哈佛大学物理学教
授兼科学史教授。
质量不同小球的碰撞
如图1.1-1，将上面实验中的A球换成大小相同的C球，
使C球质量大于B球质量，用手拉起C球至某一高度后放
开，撞击静止的B球。我们可以看到，碰撞后B球获得较
大的速度，摆起的最大高度大于C球被拉起时的高度。
演    示
从实验的现象似乎可以得出：碰撞后，A 球的速度大
小不变地“传给”了B 球。这意味着，碰撞前后，两球速
度之和是不变的。那么所有的碰撞都有这样的规律吗？
   寻求碰撞中的不变量
B
A
B
C
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第一章 动量守恒定律
3
图1.1-2   碰撞实验装置
   本书所说的“碰撞前”
是指即将发生碰撞的那一
时刻，“碰撞后”是指碰撞
刚结束的那一时刻。
从实验可以看出，质量大的C球与质量小的B球碰撞
后，B球得到的速度比C球碰撞前的速度大，两球碰撞前后
的速度之和并不相等。
仔细观察你会发现，两球碰撞前后的速度变化跟它们
的质量有关系。质量大、速度较小的C球，使质量小的B
球获得了较大的速度。对于图1.1-1所示实验的现象，可能
有的同学会猜想，两个物体碰撞前后动能之和不变，所以
质量小的球速度大；也有的同学会猜想，两个物体碰撞前
后速度与质量的乘积之和可能是不变的……
那么，对于所有的碰撞，碰撞前后到底什么量会是不
变的呢？
下面我们通过分析实验数据来研究上述问题。
实验如图1.1-2，两辆小车都放在滑轨上，用一辆运动
的小车碰撞一辆静止的小车，碰撞后两辆小车粘在一起运
动。小车的速度用滑轨上的光电计时器测量。下表中的数
据是某次实验时采集的。其中，m1 是运动小车的质量，m2
是静止小车的质量；v 是运动小车碰撞前的速度，v′ 是碰撞
后两辆小车的共同速度。
表 两辆小车的质量和碰撞前后的速度
m1 / kg
m2 / kg
v/（m·s
-1）
 v′/（m·s
-1）
1
0.519
0.519
0.628
0.307
2
0.519
0.718
0.656
0.265
3
0.718
0.519
0.572
0.321
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4
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从实验的数据可以看出，此实验中两辆小车碰撞前后，
动能之和并不相等，但是质量与速度的乘积之和却基本不变。
   动量
    
上面的实验提示我们，对于发生碰撞的两个物体来说，
它们的mv 之和在碰撞前后可能是不变的。这使我们意识到，
mv 这个物理量具有特别的意义。
物理学中把质量和速度的乘积mv 定义为物体的动量
（momentum），用字母p 表示
p ＝mv
动量的单位是由质量的单位与速度的单位构成的，是
千克米每秒，符号是kg·m/s。动量是矢量，动量的方向与
速度的方向相同。
   物理学家始终在寻求自
然界万物运动的规律，其
中包括在多变的世界里找
出某些不变量。
一个质量为0.1 kg 的钢球，以6 m/s 的速度水平向右运动，碰到坚硬的墙壁后弹回，
沿着同一直线以6 m/s 的速度水平向左运动（图1.1-3）。碰撞前后钢球的动量变化了
多少？
【例题】
请你根据表中的数据，计算两辆小车碰撞前后的动能，
比较此实验中两辆小车碰撞前后动能之和是否不变。再计
算两辆小车碰撞前后质量与速度的乘积，比较两辆小车碰
撞前后质量与速度的乘积之和是否不变。
图1.1-3
分析   动量是矢量，虽然碰撞前后钢球速
度的大小没有变化，但速度的方向变化了，所
以动量的方向也发生了变化。为了求得钢球动
量的变化量，需要先选定坐标轴的方向，确定
碰撞前后钢球的动量，然后用碰撞后的动量减
去碰撞前的动量求得动量的变化量。
解    取水平向右为坐标轴的方向。碰撞前钢球的速度为 6 m/s，碰撞前钢球的动
量为
	
p ＝mv ＝0.1 × 6 kg·m/s ＝0.6 kg·m/s
p'
p
p
x
O
v
vĉ
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第一章 动量守恒定律
5
   如果物体沿直线运
动，即动量始终保持在
同一条直线上，在选定
坐标轴的方向之后，动
量的运算就可以简化成
代数运算。
1. 解答以下三个问题，总结动量与动能概
念的不同。
（1）质量为2 kg 的物体，速度由3 m/s 增
大为6 m/s，它的动量和动能各增大为原来的几
倍？
（2）质量为2 kg 的物体，速度由向东的 
3 m/s 变为向西的3 m/s，它的动量和动能是否
发生变化？如果发生变化，变化量各是多少？
（3）A 物体质量是2 kg，速度是3 m/s，方
向向东；B 物体质量是3 kg，速度是4 m/s，方
向向西。它们动量的矢量和是多少？它们的动
能之和是多少？
2. 一个质量为2 kg 的物体在合力F 的作用
下从静止开始沿直线运动。F 随时间t 变化的
图像如图1.1-5 所示。
（1）t ＝2 s 时物体的动量大小是多少？
（2）t ＝3 s 时物体的动量大小是多少？
练习与应用
图1.1-5
图1.1-4 投接气球
碰撞后钢球的速度v′＝－6 m/s，碰撞后钢球的动
量为
	
p′＝mv′＝－0.1 × 6 kg·m/s ＝－0.6 kg·m/s
碰撞前后钢球动量的变化量为
∆p ＝p′－p ＝（－0.6 －0.6） kg·m/s
 
＝－1.2 kg·m/s
动量的变化量是矢量，求得的数值为负值，表示它
的方向与坐标轴的方向相反，即 ∆p 的方向水平向左。
做一做
让一位同学把一个充气到直径1.5 m
左右的大乳胶气球，以某一速度水平投向
你，请你接住（图1.1-4）。把气放掉后气
球变得很小，再把气球以相同的速度投向
你。两种情况下，你的体验有什么不同？
这是为什么呢？
t /s
F/N
1
2
0
1
2
3
4
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高中物理选择性必修第一册
动量定理
2
有些船和码头常悬挂一些老旧轮胎，
主要的用途是减轻船舶靠岸时码头与船体
的撞击。其中有怎样的道理呢？
问题？
两个物体碰撞时，彼此间会受到力的作用，那么一个
物体动量的变化和它所受的力有怎样的关系呢？
   动量定理
为了分析问题的方便，我们先讨论物体受恒力的情况。
如图1.2-1，假定一个质量为 m的物体在光滑的水平面上受
到恒力 F 的作用，做匀变速直线运动。在初始时刻，物体
的速度为 v，经过一段时间∆t，它的速度为v′，那么，这
个物体在这段时间的加速度就是
a ＝
＝v′－v
∆t
∆v
∆t
 
根据牛顿第二定律 F ＝ ma，则有 
F ＝  m
 ＝ 
 ＝ 
v′－v
p′－p
mv′－mv
∆t
∆t
∆t
即
                                    F∆t ＝p′－p
（1）          
（1）式的右边是物体在∆t这段时间内动量的变化量，
左边既与力的大小、方向有关，又与力的作用时间有关。
F∆t这个物理量反映了力的作用对时间的累积效应。物理
学中把力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量 （impulse），
用字母 I 表示冲量，则
I ＝F∆t
冲量的单位是牛秒，符号是N·S。有了冲量的概念，
   由于∆p ＝p ′－p，
所以（1）式也可以写成 
F ＝ ∆p
∆t
，它表示：物体
动量的变化率等于它所受
的力。
图1.2-1   力改变物体的动量
vĉ
F
F
v
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（1）式就可以写成
                              
I ＝ p′－p                            （2）
（1）式也可以写作
                  
F（t′－t）＝mv′－mv
 （3）
（2）式或（3）式表明：物体在一个过程中所受力的冲
量等于它在这个过程始末的动量变化量。这个关系叫作动
量定理 （theorem of momentum）。
物体在碰撞过程中受到的作用力往往不是恒力，物体
不做匀变速运动。那么，应该怎样处理这样的问题呢？
我们可以把碰撞过程细分为很多短暂过程（图1.2-2），
每个短暂过程中物体所受的力没有很大的变化，这样对于
每个短暂过程就能够应用（1）式了。把应用于每个短暂
过程的关系式相加，就得到整个过程的动量定理。在应用
（1）式处理变力问题时，式中的 F 应该理解为变力在作
用时间内的平均值。
   动量定理的应用
  
根据动量定理，我们知道：如果物体的动量发生的变
化是一定的，那么作用的时间短，物体受的力就大；作用
的时间长，物体受的力就小。例如，玻璃杯落在坚硬的地
面上会破碎，落在地毯上不会破碎，用动量定理可以很好
地解释此现象。从同样的高度落到地面或地毯时，在与地
面或地毯的相互作用中，两种情况下动量的变化量相等，
地面或地毯对杯子的力的冲量也相等。但是坚硬的地面与
杯子的作用时间短，作用力会大些，杯子易破碎；柔软的
地毯与杯子的作用时间较长，作用力会小些，玻璃杯不易
破碎。易碎物品运输时要用柔软材料包装，跳高时运动员
要落在软垫上（图1.2-3），就是这个道理。
在本节“问题”栏目中，船靠岸如果撞到坚硬的物体，
相互作用时间很短，作用力就会很大，很危险。如果在船
舷和码头悬挂一些具有弹性的物体（如旧轮胎），就可以
延长作用时间，以减小船和码头间的作用力。
   这里说的“力的冲量”
指的是合力的冲量，或者
是各个力的冲量的矢量和。
图1.2-3 跳高运动缓冲垫
图1.2-2 变力的冲量
t
t
F
O
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高中物理选择性必修第一册
一个质量为0.18 kg 的垒球，以25 m/s 
的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，
反向水平飞回，速度的大小为45 m/s 
（图1.2-4）。若球棒与垒球的作用时间为
0.002 s，球棒对垒球的平均作用力是多大？
分析   球棒对垒球的作用力是变力，
力的作用时间很短。在这个短时间内，力
先是急剧地增大，然后又急剧地减小为0。
在冲击、碰撞这类问题中，相互作用的时
【例题】
间很短，力的变化都具有这个特点。动量定理适用于变力作用的过程，因此，可以用
动量定理计算球棒对垒球的平均作用力。
解    沿垒球飞向球棒时的方向建立坐标轴，垒球的初动量为
p ＝mv ＝0.18×25 kg·m/s ＝4.5 kg·m/s
垒球的末动量为
p′＝mv′＝－0.18×45 kg·m/s ＝－8.1 kg·m/s
由动量定理知垒球所受的平均作用力为
F ＝
 ＝ 
 N ＝ －6 300 N
p′－p
－8.1 －4.5
∆t
0.002
垒球所受的平均作用力的大小为6 300 N，负号表示力的方向与坐标轴的方向相
反，即力的方向与垒球飞来的方向相反。
图1.2-4
历史上关于运动量度的争论
历史上，一种观点认为应该用物理量mv 来量度运动的“强弱”；另一种观点认为应该用物
理量mv
2 来量度运动的“强弱”。主张以mv 量度运动的代表人物是笛卡儿。他认为：“在物质中
存在一定量的运动，它的总和在世界上永远不会增加也不会消失。”这实际上是后来所说的动量
守恒定律的雏形。主张以mv
2 量度运动的代表人物是莱布尼兹。他认为守恒的应该是∑mv
2 而不
是∑mv 。经过半个多世纪的争论，法国科学家达兰贝尔用他的研究指出，双方实际是从不同的角
度量度运动。
科学漫步
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第一章 动量守恒定律
9
图1.2-5 汽车碰撞实验
用现在的科学术语说，就是：“力”既可以通过动量来表示
F ＝ ∆p
∆t
又可以通过动能来表示
F ＝ ∆x
∆Ek
         
动量决定了物体在力F 的阻碍下能够运动多长时间，动能则决定了物体在力F 的阻碍下能够
运动多长距离。也就是说，动量定理反映了力对时间的累积效应，动能定理反映了力对空间的累
积效应。
这场争论一方面促进了机械能概念及整个能量概念的形成，并使人们对多种运动形式及其相
互转变的认识更加深入；另一方面，动量与动量守恒定律也在争论中显示出了它们的重要性。
汽车碰撞试验
汽车安全性能是当今衡量汽车品质的重要指标。实车碰撞试验是综合评价汽车安全性能最有
效的方法，也是各国政府检验汽车安全性能的强制手段之一。
1998年6月18日，国产轿车在清华大学汽车工程研究所进行的整车安全性碰撞试验取得成
功，被誉为“中国轿车第一撞”。从此，我国汽车的整车安全性碰撞试验开始与国际接轨。
当汽车以50 km/h左右的速度撞向刚性壁障时，撞击使汽车的动量瞬间变到0，产生了极大的
冲击力（图1.2-5）。“轰”的一声巨响之后，载着模拟乘员的崭新轿车眨眼间被撞得短了一大截。
技术人员马上查看车辆受损情况：安全气囊是否爆开？安全带是否发挥了作用？前挡风玻璃是否
破碎？“乘员”是否完好无损？车门是否能够正常开启？…… 还要取出各种传感器，做进一步处
理，通过计算机得到碰撞试验的各项数据。
STSE
汽车碰撞时产生的冲击力不仅很大，而且
很复杂。在碰撞瞬间冲击力与碰撞的速度、相
撞双方的质量分布、接触位置的形状、材料、
变形等因素相关。通过“乘员”身上的传感器
采集的数据，研究人员可以评估人体相应部位
所受冲击力的大小。根据这些结果，汽车厂家
可以改进车辆的结构设计，增加乘员保护装置，
使我们乘坐的汽车越来越安全。
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10
高中物理选择性必修第一册
图1.2-8
（3）你分析一下，在计算铁锤钉钉子的平
均作用力时，在什么情况下可以不计铁锤所受
的重力。
4. 一个质量为10 kg 的物体，以10 m/s 的
速度做直线运动，受到一个反向的作用力F，
经过4 s，速度变为反向2 m/s。这个力是多大？
5. 一个质量为60 kg 的蹦床运动员，从离
水平网面3.2 m 高处自由下落，着网后沿竖直
方向蹦回到离水平网面5.0 m 高处。已知运动
员与网接触的时间为0.8 s，g 取10 m/s
2。
（1）求运动员与网接触的这段时间内动量
的变化量。
（2）求网对运动员的平均作用力大小。
（3）求从自由下落开始到蹦回离水平网面
5.0 m 高处这一过程中运动员所受重力的冲量、
弹力的冲量。
6. 曾经有一则新闻报道，一名4 岁儿童从
3 层高的楼房掉下来，被一名见义勇为的青年
接住。请你估算一下，儿童受到的合力的冲量是
多大？设儿童与青年之间的相互作用时间为0.1 s，
则儿童受到的合力的平均值有多大？
1. 如图1.2-6，一物体静止在水平地面上，
受到与水平方向成θ 角的恒定拉力F 作用时间t
后，物体仍保持静止。现有以下看法：
A．物体所受拉力F 的冲量方向水平向右
B．物体所受拉力F 的冲量大小是Ftcos θ
C．物体所受摩擦力的冲量大小为0
D．物体所受合力的冲量大小为0
你认为这些看法正确吗？请简述你的理由。
2. 体操运动员在落地时总要屈腿（图 
1.2-7），这是为什么？
 
 
3. 如图1.2-8，用0.5 kg 的铁锤钉钉子，打
击前铁锤的速度为4 m/s。打击后铁锤的速度变
为0，设打击时间为0. 01 s。
（1）不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的
平均作用力是多大？
（2）考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的
平均作用力是多大？
图1.2-6
图1.2-7
练习与应用
F
θ
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第一章 动量守恒定律
11
动量守恒定律
3
第一节中我们通过分析一辆运动的小
车碰撞一辆静止的小车，得出碰撞前后两
小车的动量之和不变的结论。对于冰壶等
物体的碰撞也是这样的吗？怎样证明这一
结论呢？这是一个普遍的规律吗？ 
问题？
动量定理给出了单个物体在一个过程中所受力的
冲量与它在这个过程始末的动量变化量的关系，即 
F∆t ＝ p′－p。如果我们用动量定理分别研究两个相互作
用的物体，会有新的收获吗？
   相互作用的两个物体的动量改变
如图1.3-1，在光滑水平桌面上做匀速运动的两个物
体A、B，质量分别是 m1 和 m2，沿同一直线向同一方向运
动，速度分别是v1 和v2，v2 ＞v1。当B 追上A 时发生碰撞。
碰撞后A、B 的速度分别是v1′和v2′。碰撞过程中A 所受
B 对它的作用力是F1 ，B 所受A 对它的作用力是F2 。碰
撞时，两物体之间力的作用时间很短，用Δt 表示。
根据动量定理，物体A 动量的变化量等于它所受作用
力F1 的冲量，即
F1Δt ＝m1v1′－ m1v1             
物体B 动量的变化量等于它所受作用力F2 的冲量，即
F2Δt ＝m2v2′－ m2v2            
根据牛顿第三定律F1 ＝－F2，两个物体碰撞过程中的
每个时刻相互作用力F1 与F2 大小相等、方向相反，故有
m1v1′－ m1v1 ＝ －（m2v2′－ m2v2）
                            m1v1′＋m2v2′＝m1v1 ＋m2v2         （1）
这说明，两物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量
图1.3-1 
用牛顿运动定律分析碰
撞过程
1v
2v
m2
m 1
B
A
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如图1.3-2，静止的两辆小车用细线相连，
中间有一个压缩了的轻质弹簧。烧断细线后，由
于弹力的作用，两辆小车分别向左、右运动，它
们都获得了动量，它们的总动量是否增加了？
思考与讨论
之和，并且该关系式对过程中的任意两时刻的状态都适用。
那么，碰撞前后满足动量之和不变的两个物体的受力
情况是怎样的呢？两物体各自既受到对方的作用力，同时
又受到重力和桌面的支持力，重力和支持力是一对平衡力。
两个碰撞的物体在所受外部对它们的作用力的矢量和为0
的情况下动量守恒。
   动量守恒定律 
一般而言，碰撞、爆炸等现象的研究对象是两个（或
多个）物体。我们把由两个（或多个）相互作用的物体构
成的整体叫作一个力学系统，简称系统（system）。例如，
研究炸弹的爆炸时，它的所有碎片及产生的燃气构成的整
个系统是研究对象。
系统中物体间的作用力，叫作内力（internal force）。系统
以外的物体施加给系统内物体的力，叫作外力（external force）。
理论和实验都表明：如果一个系统不受外力，或者所
受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。这就
是动量守恒定律（law of conservation of momentum）。
图1.3-2 弹簧使静止小车分开
如图1.3-3，在列车编组站里，一辆质量为1.8×10
4 kg的货车在平直轨道上以 
2 m/s的速度运动，碰上一辆质量为2.2×10
4 kg的静止的货车，它们碰撞后结合在一起
【例题1】
图1.3-3
x
O
1v
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第一章 动量守恒定律
13
一枚在空中飞行的火箭质量为m，在某时刻的速度
为v，方向水平，燃料即将耗尽。此时，火箭突然炸裂成
两块（图1.3-4），其中质量为m1的一块沿着与v相反的
方向飞去，速度为v1。求炸裂后另一块的速度v2。
分析   炸裂前，可以认为火箭是由质量为m1 和（m －
m1）的两部分组成。考虑到燃料几乎用完，火箭的炸裂
【例题2】
图1.3-4
继续运动。求货车碰撞后运动的速度。
分析   两辆货车在碰撞过程中发生相互作用，将它们看成一个系统，这个系统是
我们的研究对象。系统所受的外力有：重力、地面支持力和摩擦力。重力与支持力之
和等于0，摩擦力远小于系统的内力，可以忽略。因此，可以认为碰撞过程中系统所
受外力的矢量和为0，动量守恒。
为了应用动量守恒定律解决这个问题，需要确定碰撞前后的动量。
解 已知m1＝1.8×10
4 kg，m2＝2.2×10
4 kg。沿碰撞前货车运动的方向建立坐
标轴（图1.3-3），有v1 ＝2 m/s。设两车结合后的速度为v。两车碰撞前的总动量为
p ＝ m1v1
碰撞后的总动量为
p′＝（m1 ＋m2） v
根据动量守恒定律可得
 （m1＋m2） v＝m1v1 
解出
 v ＝
m1v1
m1 ＋m2
 
＝
1.8×10
4×2
1.8×10
4 ＋2.2×10
4 m/s
 
＝  0.9 m/s
两车结合后速度的大小是0.9 m/s；v是正值，表示两车结合后仍然沿坐标轴的方
向运动，即仍然向右运动。
m1
v
x
O
过程可以看作炸裂的两部分相互作用的过程。这两部分组成的系统是我们的研究对象。
在炸裂过程中，火箭受到重力的作用，所受外力的矢量和不为0，但是所受的重
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14
高中物理选择性必修第一册
解    火箭炸裂前的总动量为
p ＝ mv
炸裂后的总动量为
p′＝ m1v1 ＋（m －m1）v2
根据动量守恒定律可得
 m1v1 ＋（m －m1）v2 ＝ mv
   物体炸裂时一般不会
正好分成两块，也不会正
好沿水平方向飞行，这里
对问题进行了简化处理。
力远小于爆炸时的作用力，所以可以认为系统满足动量守恒定律的条件。
   解题时涉及的速度，
都是相对于地面的速度。
若沿炸裂前速度v 的方向建立坐标轴，v 为正值；v1 与v 的方向相反，v1 为负值。
此外，一定有m －m1> 0。于是，由上式可知，v2 应为正值。这表示质量为（m －
m1）的那部分沿着与坐标轴相同的方向，即沿着原来的方向飞去。这个结论容易
理解。炸裂的一部分沿着与原来速度相反的方向飞去，另一部分不会也沿着这个
方向飞去，否则，炸裂后的总动量将与炸裂前的总动量方向相反，动量就不可能
守恒了。
解出
v2 ＝mv －m1v1
m －m1
 
   动量守恒定律的普适性
既然许多问题可以通过牛顿运动定律解决，为什么还
要研究动量守恒定律？
用牛顿运动定律解决问题要涉及整个过程中的力。在
实际过程中，往往涉及多个力，力随时间变化的规律也可
能很复杂，使得问题难以求解。但是，动量守恒定律只涉
及过程始末两个状态，与过程中力的细节无关。这样，问
题往往能大大简化。
事实上，动量守恒定律的适用范围非常广泛。近代物
理的研究对象已经扩展到我们直接经验所不熟悉的高速
（接近光速）、微观（小到分子、原子的尺度）领域。研究
表明，在这些领域，牛顿运动定律不再适用，而动量守恒
定律仍然正确。
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第一章 动量守恒定律
15
入质量是24 g、静止在光滑水平桌面上的木块。
（1）如果子弹留在木块中，木块运动的速
度是多大？
（2）如果子弹把木块打穿，子弹穿过后的
速度为100 m/s，这时木块的速度又是多大？
4. 某机车以0.4 m/s 的速度驶向停在铁轨上
的7 节车厢，与它们对接。机车与第一节车厢
相碰后，它们连在一起具有一个共同的速度，
紧接着又与第二节车厢相碰，就这样，直至碰
上最后一节车厢。设机车和车厢的质量都相等，
求：与最后一节车厢碰撞后车厢的速度。铁轨
的摩擦忽略不计。
5. 甲、乙两个物体沿同一直线相向运动，
甲物体的速度是6 m/s，乙物体的速度是2 m/s。
碰撞后两物体都沿各自原方向的反方向运动，
速度都是4 m/s。求甲、乙两物体的质量之比。
6. 细线下吊着一个质量为m1 的静止沙袋，
沙袋到细线上端悬挂点的距离为l。一颗质量为
m 的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随沙袋
一起摆动。已知沙袋摆动时摆线的最大偏角是
θ，求子弹射入沙袋前的速度。
1. 甲、乙两人静止在光滑的冰面上，甲推
乙后，两人向相反方向滑去（图1.3-5）。在甲
推乙之前，两人的总动量为0 ；甲推乙后，两
人都有了动量，总动量还等于 0 吗？已知甲的
质量为45 kg，乙的质量为50 kg，甲的速率与
乙的速率之比是多大？
 
2. 在光滑水平面上，A、B 两个物体在同一
直线上沿同一方向运动，A 的质量是5 kg，速
度是9 m/s，B 的质量是2 kg，速度是6 m/s。A
从后面追上B，它们相互作用一段时间后，B
的速度增大为10 m/s，方向不变，这时A 的速
度是多大？方向如何？
3. 质量是10 g 的子弹，以300 m/s 的速度射
练习与应用
图1.3-5
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16
高中物理选择性必修第一册
本节课我们通过实验验证动量守恒定律。动量守恒定
律的适用条件是系统不受外力，或者所受外力的矢量和为
0。我们生活中的物体受到各种力的作用，难以满足这种理
想化的条件。但是，在某些情况下，可以近似满足动量守
恒的条件。
  实验思路
两个物体在发生碰撞时，作用时间很短。根据动量定
理，它们的相互作用力很大。如果把这两个物体看作一个
系统，那么，虽然物体还受到重力、支持力、摩擦力、空
气阻力等外力的作用，但是有些力的矢量和为0，有些力与
系统内两物体的相互作用力相比很小。因此，在可以忽略
这些外力的情况下，碰撞满足动量守恒定律的条件。
我们研究最简单的情况：两个物体碰撞前沿同一直线
运动，碰撞后仍沿这条直线运动。应该尽量创造实验条件，
使系统所受外力的矢量和近似为0。
实验：验证动量守恒定律
4
  物理量的测量
研究对象确定后，还需要明确所需测量的物理量和实
验器材。根据动量的定义，很自然地想到，需要测量物体
的质量，以及两个物体发生碰撞前后各自的速度。
物体的质量可用天平直接测量。速度的测量可以有不
同的方式，根据所选择的具体实验方案来确定（参见后面
的参考案例）。
  数据分析
根据选定的实验方案设计实验数据记录表格。选取质
量不同的两个物体进行碰撞，测出物体的质量（m1，m2）
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第一章 动量守恒定律
17
研究气垫导轨上滑块碰撞时的动量守恒
本案例中，我们利用气垫导轨来减小摩擦力，利用光电计时器测量滑块碰撞前后
的速度。实验装置如图1.4-1 所示。可以通过在滑块上添加已知质量的物块来改变碰
撞物体的质量。
 
参考案例1
图1.4-2 滑块碰撞后分开
图1.4-3 滑块碰撞后粘连
图1.4-4 弹簧使静止滑块分开
图1.4-1 参考案例1 的实验装置
本实验可以研究以下几种情况。
1. 选取两个质量不同的滑块，在两个滑块相互碰撞
的端面装上弹性碰撞架（图1.4-2），滑块碰撞后随即分开。
2. 在两个滑块的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥（图
1.4-3），碰撞时撞针插入橡皮泥中，使两个滑块连成一
体运动。如果在两个滑块的碰撞端分别贴上尼龙拉扣，
碰撞时它们也会连成一体。
3. 原来连在一起的两个物体，由于相互之间具有排
斥的力而分开，这也可视为一种碰撞。这种情况可以通
过下面的方式实现。
在两个滑块间放置轻质弹簧，挤压两个滑块使弹簧压
缩，并用一根细线将两个滑块固定。烧断细线，弹簧弹开
后落下，两个滑块由静止向相反方向运动（图1.4-4）。
和碰撞前后的速度（v1，v1′，v2，v2′），分别计算出两物体
碰撞前后的总动量，并检验碰撞前后总动量的关系是否满
足动量守恒定律，即
m1v1′＋m2v2′＝m1v1 ＋m2v2  
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18
高中物理选择性必修第一册
研究斜槽末端小球碰撞时的动量守恒
参考案例2
图1.4-5 参考案例2 的实验装置
本案例中，我们研究两个小球在斜
槽末端发生碰撞的情况。
实验装置如图1.4-5 所示。将斜槽
固定在铁架台上，使槽的末端水平。让
一个质量较大的小球（入射小球）从斜
槽上滚下，跟放在斜槽末端的另一个大
小相同、质量较小的小球（被碰小球）
发生正碰。
使入射小球从斜槽不同高度处滚
下，测出两球的质量以及它们每次碰撞
前后的速度，就可以验证动量守恒定律。
小球的质量可以用天平来测量。怎
实验前请思考：
1. 如果物体碰撞后的速度方向与原来的方向相反，应该怎样记录？
2. 以上各种情况中，碰撞前后物体的动能之和有什么变化？设法检验你的猜想。
样测量两球碰撞前后瞬间的速度呢？两个小球碰撞前后瞬间的速度方向都是水平的，
因此，两球碰撞前后的速度，可以利用平抛运动的知识求出。
在这个实验中也可以不测量速度的具体数值。做平抛运动的小球落到地面，它们
的下落高度相同，飞行时间也就相同。因此，小球碰撞后的速度之比就等于它们落地
时飞行的水平距离之比。根据这一思路，也可以验证动量守恒定律。
实验前请思考以下问题：
1. 实验装置中的重垂线起什么作用？
2. 如何记录并测量小球飞出的水平距离？
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第一章 动量守恒定律
19
（1）图中的数据有AB、BC、CD、DE四段，
计算小车A碰撞前的速度大小应选哪段？计算
两车碰撞后的速度大小应选哪段？为什么？
（2）若小车A的质量为0.4 kg，小车B的质
量为0.2 kg，根据纸带数据，碰前两小车的总
动量是多少？碰后两小车的总动量是多少？
2. 某同学用图1.4-5所示的实验装置和实
验步骤来验证动量守恒定律，小球1的质量为
m1，它从斜槽上某点滚下，离开斜槽末端时的
速度记为v1（称为第一次操作）；小球2的质
量为m2，小球1第二次从斜槽上原位置滚下，
跟小球2碰撞后离开斜槽末端的速度分别记为
v1′和v2′（称为第二次操作）。实验所验证的
计算式为
m1v1＝ m1v1′＋ m2v2′
（1）如果第二次操作时，小球1从斜槽上
开始滚下时位置比原先低一些，这将会影响计
算式中哪个或哪几个物理量？如果其他的操作
都正确，实验将会得到怎样的结果？说明道理。
（2）如果在第二次操作时，发现在第一次
操作中，槽的末端是不水平的，有些向上倾斜，
于是把它调为水平，调整后的斜槽末端离地面
高度跟原来相同。然后让小球在斜槽上原标记
位置滚下进行第二次操作，分析时仍然和第一
次操作的数据进行比较，其他实验操作都正确，
且调节斜槽引起小球在空中运动时间的变化可
忽略不计。该实验可能会得到怎样的结果，说
明道理。
图1.4-6
甲
乙
1. 如图1.4-6甲，长木板的一端垫有小木
块，可以微调木板的倾斜程度，以平衡摩擦力，
使小车能在木板上做匀速直线运动。小车A前
端贴有橡皮泥，后端连一打点计时器纸带，接
通打点计时器电源后，让小车A以某速度做匀
速直线运动，与置于木板上静止的小车B相碰
并粘在一起，继续做匀速直线运动。打点计时
器电源频率为50 Hz，得到的纸带如图1.4-6乙
所示，已将各计数点之间的距离标在图上。
练习与应用
䪬᱕Წ
ᄼ䒓
ᄼ䒓
ᾎ⯛−
㏥ፓ
ᄼ᱕಄
ក◦䃎ᬣக
A
B
(cm)
11.00
17.12
13.75
11.40
D
C
B
A
E
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20
高中物理选择性必修第一册
物体碰撞时，通常作用时间很短，相互作用的内力很大，
因此，外力往往可以忽略不计，满足动量守恒条件。下面
我们从能量的角度研究碰撞前后物体动能的变化情况，进
而对碰撞进行分类。
   弹性碰撞和非弹性碰撞
在本章第一节图1.1-2 所示的实验中，经过计算我们
知道，如果碰撞后两小车粘在一起，则总动能减少。物体
碰撞的情况多种多样。下面我们研究带弹性碰撞架小车的
碰撞，看看小车碰撞前后动能是如何变化的。
弹性碰撞和非弹性碰撞
5
碰撞是自然界中常见的现象。陨石撞
击地球而对地表产生破坏，网球受球拍撞
击而改变运动状态……
物体碰撞中动量的变化情况，前面已
进行了研究。那么，在各种碰撞中能量又
是如何变化的？
问题？
图1.5-1 研究两辆小车碰撞前后总动能的变化情况
如图1.5-1，滑轨上有两辆安装了弹性碰
撞架的小车，它们发生碰撞后改变了运动状
态。测量两辆小车的质量以及它们碰撞前后的
速度，研究碰撞前后总动能的变化情况。
研究小车碰撞前后的动能变化
实    验
通过实验可以发现，在上述实验条件下，碰撞前后总
动能基本不变。
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第一章 动量守恒定律
21
   在第4 节实验的“参考
案例1”中，第1、3 两种
情况是弹性碰撞，第2 种
是非弹性碰撞。
如图1.5-2，在光滑水平面上，两个物体的质量都是m，碰撞前一个物体静止，另
一个以速度v 向它撞去。碰撞后两个物体粘在一起，成为一个质量为2m 的物体，以一
定速度继续前进。碰撞后该系统的总动能是否会有损失？
分析   可以先根据动量守恒定律求出碰撞后的共同速度v′，然后分别计算碰撞前
后的总动能进行比较。
【例题】
解   根据动量守恒定律， 2mv′＝mv，则
v′＝      v
2
1
碰撞前的总动能 Ek ＝      mv
2
2
1
 
碰撞后的总动能 Ek′＝       （2m）v′
2 ＝       Ek
2
1
2
1
可见，碰撞后系统的总动能小于碰撞前系统的总动能。
图1.5-3 对心碰撞
图1.5-2
   弹性碰撞的实例分析
如图1.5-3，两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与
两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会
沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一
维碰撞。
下面我们分析一下，发生弹性碰撞的两个物体，由于
质量不同，碰撞后的速度将有哪些特点。
为使研究问题简单，我们假设物体m1 以速度v1 与原
来静止的物体m2 发生正碰，如图1.5-4 所示。碰撞后它们
的速度分别为v1′和v2′。
碰撞过程遵从动量守恒定律，据此可以列出包含上述
m
m
2m
v
vĉ
ⷝ᧋ݺ
m1
m1
1v
2v
ⷝ᧋ऻ
m1
m2
2v
1v
如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰
撞（elastic collision）。如果系统在碰撞后动能减少，这类
碰撞叫作非弹性碰撞（inelastic collision）。
钢球、玻璃球碰撞时，机械能损失很小，它们的碰撞
可以看作弹性碰撞；橡皮泥球之间的碰撞是非弹性碰撞。
图1.5-4 运动物体与静止物体碰撞
m
m2
1
1v
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22
高中物理选择性必修第一册
图1.5-5 保龄球击打球瓶
各已知量和未知量的方程
                          m1 v1 ＝ m1 v1′＋m2 v2′             （1）
弹性碰撞中没有动能损失，于是可以列出另一个方程
            
m1 v1
2 ＝       m1 v1′
2 ＋       m2 v2′
2
1
2
1
2
1
2
 （2）
            
从方程（1）（2）可以解出两个物体碰撞后的速度分别为
                            
v1′ ＝
v1
m1 －m2
m1 ＋m2
 （3）
                            v2′ ＝
v1
2m1
m1 ＋m2
 （4）
我们对几种情况下（3）（4）的结果作一些分析。
● 若m1 ＝m2，这时有
m1 －m2 ＝0，m1 ＋m2 ＝2m1。根据（3）（4）两式，得
	
v1′ ＝0
	
v2′ ＝v1
这表示第一个物体的速度由v1 变为0，而第二个物体
由静止开始运动，运动的速度等于第一个物体原来的速度。
第3 节“问题”中提到的冰壶的碰撞就属于这类情况。
●若m1>>m2 ，这时有
m1 －m2 ≈ m1 ，m1 ＋m2 ≈ m1。根据（3）（4）两式，
得
	
v1′ ＝ v1
	
v2′ ＝ 2v1
这表示碰撞后，第一个物体的速度几乎没有改变，而
第二个物体以2v1 的速度被撞出去。
保龄球比赛中，用大号保龄球击打球瓶时，球与瓶的
碰撞就类似这种情况（图1.5-5）。
●若m1<< m2，这时有
m1 －m2 ≈ －m2，                    ≈0
2m1
m1 ＋m2
。根据（3）（4）两式，
得
	
v1′ ＝－v1
	
v2′ ＝0
   分析的方法之一是选 
取简单特例进行分析。如
果所得的结论与实际情况
一致，那么理论分析可能
是正确的，否则一定出了
问题。
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第一章 动量守恒定律
23
未知粒子跟静止的氮原子核正碰时，测出碰撞
后氮原子核的速度是4.4×10
6 m/s。已知氢原子
核的质量是mH，氮原子核的质量是14 mH，上
述碰撞都是弹性碰撞，求未知粒子的质量。
这实际是历史上查德威克测量中子质量从
而发现中子的实验，请你根据以上查德威克的
实验数据计算：中子的质量与氢核的质量mH
有什么关系？
5. 质量为m、速度为v 的A 球跟质量为 
3m 的静止B 球发生正碰。碰撞可能是弹性的，
也可能是非弹性的，因此，碰撞后B 球的速度
可能有不同的值。请你论证：碰撞后B 球的速
度可能是以下值吗？
（1）0.6v ； （2）0.4v。
1. 在气垫导轨上，一个质量为400 g 的滑
块以15 cm/s 的速度与另一质量为200 g、速度
为10 cm/s 并沿相反方向运动的滑块迎面相撞，
碰撞后两个滑块粘在一起。
（1） 求碰撞后滑块速度的大小和方向。
（2） 这次碰撞，两滑块共损失了多少机械能？
2. 速度为10 m/s 的塑料球与静止的钢球发
生正碰，钢球的质量是塑料球的4 倍，碰撞是
弹性的，求碰撞后两球的速度。
3. 有些核反应堆里要让中子与原子核碰撞，
以便把中子的速度降下来。为此，应该选用质
量较大的还是质量较小的原子核？为什么？
4. 一种未知粒子跟静止的氢原子核正碰，
测出碰撞后氢原子核的速度是3.3×10
7 m/s。该
练习与应用
抽象与概括
物理概念是运用抽象、概括等方法进行思维加工的产物。
为了揭示事物的本质和规律，往往需要根据研究对象和问题的特点，从研究的目的出发，忽
略个别的、非本质的属性，抽取共同的、本质的属性进行研究，这是一种抽象的思维方法。把事
物共同的、本质的属性提炼出来，从而推广到同类事物上去，找到事物的共同属性，这是一种概
括的思维方法。
在动量概念的建立过程中，物理学家研究了各种各样的碰撞现象，寻找物理量来揭示运动的
本质，发现：“每个物体所具有的‘动量’在碰撞后可以增多或减少，但是在碰撞前后系统的这
一量值却保持不变”。科学前辈就是在追寻不变量的努力中，通过抽象、概括等方法提出了动量
的概念，并通过动量守恒定律建立了自然界的相互联系。
科学方法
这表示碰撞以后，第一个物体被弹了回去，以原来的
速率向反方向运动，而第二个物体仍然静止。
如果用乒乓球撞击保龄球，那么就会出现这种现象：
保龄球保持静止，而乒乓球以大致相同的速率被弹回。
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   反冲现象
发射炮弹时，炮弹从炮筒中飞出，炮身则向后退。这
种情况由于系统内力很大，外力可忽略，可用动量守恒定
律来解释。射击前，炮弹静止在炮筒中，它们的总动量为
0。炮弹射出后以很大的速度向前运动，根据动量守恒定律，
炮身必将向后运动。只是由于炮身的质量远大于炮弹的质
量，所以炮身向后的速度很小。炮身的这种后退运动叫作
反冲（recoil）。
在实际中常常需要考虑反冲现象的影响。用枪射击时，
子弹向前飞去，枪身发生反冲向后运动。枪身的反冲会影
响射击的准确性，所以用步枪射击时要把枪身抵在肩部，
以减少反冲的影响。实际生产、生活中应用反冲现象的例
子也很多，例如，农田、园林的喷灌装置能够一边喷水一
边旋转（图1.6-1），这是因为喷口的朝向略有偏斜，水从
喷口喷出时，喷管因反冲而旋转。这样可以自动改变喷水
的方向。
反冲现象  火箭
6
你知道章鱼、乌贼是怎样游动的吗？
它们先把水吸入体腔，然后用力压水，通
过身体前面的孔将水喷出，使身体很快地
运动。章鱼能够调整喷水的方向，这样可
以使得身体向任意方向前进。
章鱼游动时体现了什么物理原理？
问题？
图1.6-1 喷灌装置
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第一章 动量守恒定律
25
做一做
1.把一个气球吹起来，用手捏住气球
的通气口（图1.6-2甲），然后突然放开，
让气体喷出，观察气球的运动。 
2.如图1.6-2乙，把弯管装在可旋转
的盛水容器的下部。当水从弯管流出时，
容器就旋转起来。
甲
图1.6-2 反冲现象
乙
   火箭
我国早在宋代就发明了火箭（图1.6-3）。箭杆上捆了
一个前端封闭的火药筒，点燃后生成的燃气以很大速度向
后喷出，箭杆由于反冲而向前运动。
喷气式飞机和火箭的飞行应用了反冲的原理，它们都
靠喷出气流的反冲作用而获得巨大的速度。现代的喷气式
飞机，靠连续不断地向后喷出气体，飞行速度能够超过 
1 000 m/s。
图1.6-3 古代的火箭（模型）
质量为m 的人在远离任何星体的太空中，与他旁边的
飞船相对静止。由于没有力的作用，他与飞船总保持相对
静止的状态。
这个人手中拿着一个质量为∆ m 的小物体。现在他以
相对于飞船为u 的速度把小物体抛出（图1.6-4）。
1. 小物体的动量改变量是多少？
2. 人的动量改变量是多少？
3. 人的速度改变量是多少？
思考与讨论
上面思考与讨论中所描述的情境与火箭发射的原理大
致相同。设火箭飞行时在极短的时间∆ t内喷射燃气的质量
是∆ m，喷出的燃气相对喷气前火箭的速度是 u，喷出燃气
后火箭的质量是 m。我们就可以计算火箭在这样一次喷气
后增加的速度∆ v。
图1.6-4
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26
高中物理选择性必修第一册
以喷气前的火箭为参考系。喷气前火箭的动量是 0，
喷气后火箭的动量是m∆v，燃气的动量是∆mu。根据动量
守恒定律，喷气后火箭和燃气的总动量仍然为 0，所以
m∆v ＋∆mu ＝ 0
解出
∆v ＝－          u 
∆m
m
上式表明，火箭喷出的燃气的速度 u 越大、火箭喷出
物质的质量与火箭本身质量之比越大，火箭获得的速度∆v 
就越大。
三级火箭
科学漫步
现代火箭发动机的喷气速度通常在2 000 ～5 000 m/s，近期内难以大幅度提高。因此，若要
提高火箭的速度，需要在减轻火箭本身质量上下功夫。火箭起飞时的质量与火箭除燃料外的箭体
质量之比叫作火箭的质量比。这个参数一般小于10，否则火箭结构的强度就有问题。但是，这样
的火箭还是达不到发射人造地球卫星的7.9 km/s 的速度。
为了解决这个问题，科学家提出了多级火箭的概念。把火箭一级一级地接在一起，第一级燃
料用完之后就把箭体抛弃，减轻负
担，然后第二级开始工作，这样一
级一级地连起来，理论上火箭的速
度可以提得很高（图1.6-5）。但是
实际应用中一般不会超过四级，因
为级数太多时，连接机构和控制机
构的质量会增加很多，工作的可靠
性也会降低。
我国自1956 年建立了专门的
航天研究机构到现在，火箭技术有
了长足的发展。截至2017 年底，
已经完成近300 次各种卫星的发射
任务，成功地实现了载人航天飞
行，并在国际航天市场占有一席之
地（图1.6-6）。我国的火箭技术已
经跨入了世界先进行列。
图1.6-6 我国的火箭发射
图1.6-5 
三级火箭
䓽䒪➖
す̶
㏔
すι㏔
す̭
㏔
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第一章 动量守恒定律
27
练习与应用
1. 一架喷气式飞机（图1.6-7）飞行的速度
是800 m/s，如果它喷出的气体相对飞机的速度
小于800 m/s，那么以地面为参考系，气体的速
度方向实际上是与飞机飞行的方向相同的。如果
在这种情况下继续喷出气体，飞机的速度还会增
加吗？为什么？
2. 一个连同装备共有100 kg 的航天员，脱
离宇宙飞船后，在离飞船45 m 的位置与飞船处
于相对静止的状态（图1.6-8）。装备中有一个
高压气源，能以50 m/s 的速度喷出气体。航天
员为了能在10 min 内返回飞船，他需要在开始
返回的瞬间一次性向后喷出多少气体？
3. 用火箭发射人造地球卫星，假设最后一
节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以
7.0×10
3 m/s 的速度绕地球做匀速圆周运动。已知
卫星的质量为500 kg，最后一节火箭壳体的质量
为100 kg。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离
时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度
为1.8×10
3 m/s。试分析计算：分离后卫星的速
度增加到多大？火箭壳体的速度是多大？分离
后它们将如何运动？
4. 一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和
皮划艇的总质量是120 kg。这个士兵用自动步
枪在2 s 内沿水平方向连续射出10 发子弹，每
发子弹的质量是10 g，子弹离开枪口时相对步枪
的速度是800 m/s。射击前皮划艇是静止的，不
考虑水的阻力。
（1） 每次射击后皮划艇的速度改变多少？
（2）连续射击后皮划艇的速度是多大？
（3） 连续射击时枪所受到的平均反冲作用
力是多大？
图1.6-7
图1.6-8
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28
高中物理选择性必修第一册
的是一个不符合实际的情景。哪些地方不符合
实际？
6. A、B 两个粒子都带正电，B 的电荷量
是A 的2 倍，B 的质量是A 的4 倍。A 以已知
速度v 向静止的B 粒子飞去。由于静电力，它
们之间的距离缩短到某一极限值后又被弹开，
然后各自以新的速度做匀速直线运动。设作用
前后它们的轨迹都在同一直线上，计算A、B
之间的距离最近时它们各自的速度。
7. 质量为m1 和m2 的两个物体在光滑的水
平面上正碰，碰撞时间不计，其位移—时间图
像如图1-2 所示。
（1）若m1 ＝1 kg，则m2 等于多少？
（2）两个物体的碰撞是弹性碰撞还是非弹
性碰撞？
图1-2
m1
m1
m2
m2
16
8
0
2
4
6
t/s
x/m
8. 把一个质量为0.2 kg 的小球放在高度
为5.0 m 的直杆的顶端（图1-3）。一颗质量 
为0.01 kg 的子弹以500 m/s 的速度沿水平方向击
中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的距离为
20 m。g 取10 m/s
2，求子弹落地处离杆的距离。
1. 120 kg 的铁锤从3.2 m 高处落下，打在水
泥桩上，与水泥桩撞击的时间是0.005 s。撞击时，
铁锤对桩的平均冲击力有多大？g 取10 m/s
2。
2. 两个质量不同而初动量相同的物体，在
水平地面上由于摩擦力的作用而停止运动。它
们与地面的动摩擦因数相同，请比较它们的滑
行时间。
3. 在离地面同一高度有质量相同的三个小
球a、b、c，a 球以速度v0 竖直上抛， b 球以速
度v0 竖直下抛，c 球做自由落体运动，不计空
气阻力，三球落地时动量是否相同？从抛出到
落地，三球动量的变化量是否相同？
4. 质量为0.5 kg 的金属小球，以6 m/s 的速
度水平抛出，抛出后经过0.8 s 落地，g 取10 m/s
2。
（1）小球抛出时和刚落地时，动量的大小、
方向如何？
（2）小球从抛出到落地的动量变化量的大
小和方向如何？
（3）小球在空中运动的0.8 s 内所受重力的
冲量的大小和方向如何？
（4）说出你解答上述问题后的认识。
5. 图1-1 是用木槌把糯米饭打成糍粑的场
景，有人据此编了一道练习题：“已知木槌质量
为18 kg，木槌刚接触糍粑时的速度是22 m/s，
打击糍粑0.1 s 后木槌静止，求木槌打击糍粑时
平均作用力的大小。”
图1-1
解答此题，你是否发现，以上数据所描述
A 组
复习与提高
图1-3
m1
v0
©
m
h
©
s
s
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第一章 动量守恒定律
29
1. 物体受到方向不变的力F 作用，其中力
的大小随时间变化的规律为F ＝5 t（F 的单位
是N），求力在2 s 内的冲量大小。
2. 用水平力拉一个质量为m 的物体，使它
在水平面上从静止开始运动，物体与水平面间
的动摩擦因数为μ。经过时间t 后，撤去这个水
平力，物体在摩擦力的作用下又经过时间t 停
止运动。求拉力的大小。
3. 城市进入高楼时代后，高空坠物已成为
危害极大的社会安全问题。图1-4 为一则安全
警示广告，非常形象地描述了高空坠物对人伤
害的严重性。小明同学用下面的实例来检验广
告词的科学性：设一个50 g 的鸡蛋从18 楼的
窗户自由落下，相邻楼层的高度差为3 m，与
地面撞击时鸡蛋的竖直高度为5 cm，认为鸡蛋
下沿落地后，鸡蛋上沿的运动是匀减速运动，
并且上沿运动到地面时恰好静止，以鸡蛋的上、
下沿落地的时间间隔作为鸡蛋与地面的撞击时
间，不计空气阻力。试估算从18 楼下落的鸡蛋
对地面的平均冲击力。
4. 水流射向墙壁，会对墙壁产生冲击力。
假设水枪喷水口的横截面积为S，喷出水流的
流速为v，水流垂直射向竖直墙壁后速度变为0。
已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求墙
壁受到的平均冲击力。
图1-4
5. 长为l、质量为m 的小船停在静水中，
质量为m′的人从静止开始从船头走到船尾。不
计水的阻力，求船和人对地面位移的大小。
6. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小
球A、B，质量都为m，现B 球静止，A 球向
B 球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械
能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，求
碰前A 球的速度。
7.如图1-5，光滑水平轨道上放置长板
A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的
左端，三者质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg， 
mC＝2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0＝ 
5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时
间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B
再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再
与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度
大小。
8. 如图1-6，质量均为m 的木块A 和B，
并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻杆，
轻杆上端的O 点系一长为l 的细线，细线另一
端系一质量为m0 的球C。现将C 球拉起使细线
水平伸直，并由静止释放C 球。求A、B 两木
块分离时，A、B、C 的速度大小。
图1-5
图1-6
B 组
B
A
C
C
O
B
A
从4 楼抛下会让人砸起肿包
从8 楼抛下可以砸破人的头皮
从18 楼抛下可以砸裂行人头骨
从25 楼抛下可能使人当场死亡
一个鸡蛋的威力
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30
高中物理选择性必修第一册
第二章
机械振动
2
人类生活在运动的世界里，机械运动是最常
见的运动。在机械运动中，振动也很常见。琴弦
的振动带给人们优美的音乐，地震则可能给人类
带来巨大的灾难。本章我们将从最简单的振动开
始，学习怎样描述振动，分析振动的特点。
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第二章 机械振动
31
简谐运动
1
科学是一种方法，它教导人们：一些
事物是如何被了解的，不了解的还有些
什么，对于了解的，现在了解到了什么程
度……
——费恩曼
①
钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，担
物行走时扁担下物体的颤动，树梢在微风中
的摇摆……在生活中我们会观察到很多类似
这样的运动。这些运动的共同点是什么？
问题？
通过观察我们会发现，上述物体总是在某一位置附近
做往复性的运动。
我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运
动称为机械振动（mechanical vibration），简称振动。
   弹簧振子
如图2.1-1，把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端，
弹簧的另一端固定，小球套在光滑的杆上，能够自由滑动。
弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很
小，也可以忽略。弹簧未形变时，小球所受合力为0，处于
平衡位置（equilibrium position）。把小球拉向右方，然后放开，
它就在平衡位置附近运动起来。
我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子（spring 
oscillator），有时也简称为振子。
图2.1-1   弹簧振子的振动
_______________________
① 费恩曼（Richard Phillips Feynman，1918—1988），美国物理学家，杰出的物
理学教育家，由于在量子电动力学方面的贡献而获得1965 年诺贝尔物理学奖。
   弹簧振子是一个理想化
模型，它是研究一般性振
动的基础。
O
x
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32
高中物理选择性必修第一册
   弹簧振子的位移—时间图像  
要想了解弹簧振子运动的特点，就要知道它的位置随
时间变化的关系。我们以小球的平衡位置为坐标原点O，
沿着它的振动方向建立坐标轴，规定水平向右为正方向。
小球在平衡位置的右边时它的位置坐标x 为正，在左边时
位置坐标x 为负，这样描述小球的位置既方便，又突出了
小球位置变化的特点。小球的位置坐标反映了小球相对于
平衡位置的位移，小球的位置—时间图像就是小球的位移—
时间图像。
要想得到位移与时间的关系，关键在于记录不同时刻
小球的位置，为了便于分析，最好是相等时间间隔的位置。
利用频闪照相、照相机连拍，或用摄像机摄像后逐帧观察
的方式，都可以得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置。
图2.1-2 是图2.1-1 所示的弹簧振子的频闪照片。频闪
仪每隔0.05 s 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮，从而得到
闪光时小球的位置，相邻两个位置之间的时间相隔为0.05 s。
拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球
和弹簧的一系列的像。
选取小球平衡位置为坐标原点，建立如图2.1-3 所示
的坐标系，横轴和纵轴分别表示时间t 和小球的位移x。在
坐标系中标出各时刻小球球心的位置，用曲线把各点连接
起来，就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移—时间
图像，即x-t 图像。x-t 图像即振动图像。
图2.1-2   弹簧振子的频闪照片
图2.1-3 振动图像
怎样才能得到小球位移与时间的关系？
思考与讨论
t
x
O
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第二章 机械振动
33
   简谐运动  
从获得的弹簧振子的x-t 图像（图2.1-3）可以看出，
小球位移与时间的关系似乎可以用正弦函数来表示。是不
是这样呢？还需要进行深入的研究。
数学课中我们已经学过正弦函数的有关知识。要想确
定弹簧振子中小球的位移与时间的关系是否遵从正弦函数
的规律，可采用下面的方法。
方法一：假定图2.1-3 中的曲线是正弦曲线，测量它
的振幅和周期，写出对应的正弦函数的表达式。需要注意
的是，这个表达式中计时开始时位移应该是0，随后位移
开始增加并为正值。
如何确定弹簧振子中小球的位移与时间的关系是否遵从正弦函数的规律？
思考与讨论
做一做
用数码相机和计算机绘制弹簧振子的x-t图像
图2.1-2的照片是通过频闪照相得到的。使用数码相机或手机的连拍功能也能得
到类似的图片。
轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定，它们组成了一个振动系统，称为竖直弹
簧振子。用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动。钢球原来静止时
的位置就是振子的平衡位置（图2.1-4）。
用数码相机拍摄钢球的运动。通常每隔0.04 s（这
个时间间隔通常可以设定）数码相机就会拍摄一帧照片。
拍摄时最好把钢球的位置放在取景框的最左侧。
在计算机中建立一个幻灯片的演示文稿，把这些照片
插入文稿中的同一张空白幻灯片中，照片会按拍摄时间的
先后一帧一帧自动向右平铺开来。把这些照片的上端对齐，
便能得到与图2.1-2相似的画面。这样就可以在同一个画面
上看到钢球在各个不同时刻的位置。
图2.1-4   钢球释放后上下振动
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34
高中物理选择性必修第一册
然后，在图2.1-3 的曲线中选小球的若干个位置，用
刻度尺在图中测量它们的纵坐标（位移），将每一个位移对
应的振动时间代入表达式求出函数值，比较这一函数值与
测量值，看一看二者是否相等。若可视为相等，则这条曲
线就是一条正弦曲线。
方法二：在图2.1-3 中，测量小球在各个位置的横坐
标和纵坐标。把测量值输入计算机中，作出这条曲线，看
一看小球的位移—时间关系是否可以用正弦函数表示。
通过仔细分析会发现，图2.1-3 所示小球位移与时间
的关系是正弦函数关系。
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，
即它的振动图像（x-t 图像）是一条正弦曲线，这样的振动
是一种简谐运动（simple harmonic motion）。简谐运动是最
基本的振动。图2.1-1 中小球的运动就是简谐运动。
2. 图2.1-6 是某质点做简谐运动的振动图
像。根据图像中的信息，回答下列问题。
（1）  质点离开平衡位置的最大距离有多大？
（2）在1.5 s 和2.5 s 这两个时刻，质点的
位置在哪里？质点向哪个方向运动？
（3）质点相对于平衡位置的位移方向在哪
些时间内跟它的瞬时速度的方向相同？在哪些
时间内跟瞬时速度的方向相反？ 
（4）质点在第2 s 末的位移是多少？ 
（5）质点在前2 s 内运动的路程是多少？
1. 如图2.1-5，两人合作，模拟振动曲线的
记录装置。先在白纸中央画一条直线OO′，使
它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴。一
个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO′的方
向水平振动，另一个人沿OO′的方向匀速拖动
白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x-t
图像。
请完成这个实验，并解释：横坐标代表什
么物理量？纵坐标代表什么量？为什么必须匀速
拖动白纸？如果拖动白纸的速度是5×10
-2 m/s，
在横坐标轴上应该怎样标出坐标的刻度？
练习与应用
图2.1-5
图2.1-6
x/cm
t/s
10
0
-10
2
4
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第二章 机械振动
35
简谐运动的描述
2
有些物体的振动可以近似为简谐运
动，做简谐运动的物体在一个位置附近不
断地重复同样的运动。如何描述简谐运动
的这种独特性呢？ 
问题？
我们已经知道，做简谐运动的物体的位移x与运动时
间t之间满足正弦函数关系，因此，位移x的一般函数表达
式可写为  
                        x＝Asin（ωt＋φ）         
下面我们根据上述表达式，结合图2.2-1所示情景，分
析简谐运动的特点。
   振幅 
因为∣sin（ωt＋φ）∣≤1，所以∣x∣≤A，这说明A是物
体离开平衡位置的最大距离。
如图2.2-2，如果用M点和M ′点表示水平弹簧振
子在平衡位置O点右端及左端最远位置，则∣OM∣＝ 
∣OM′
∣＝A，我们把振动物体离开平衡位置的最大距离，
叫作振动的振幅（amplitude）。振幅是表示振动幅度大小
的物理量，常用字母A表示。振幅的单位是米。振动物体
运动的范围是振幅的两倍。
   周期和频率
在图2.2-2中，如果从振动物体向右通过O的时刻开始
计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动
到达M′，之后又向右回到O。这样一个完整的振动过程称
为一次全振动。做简谐运动的物体总是不断地重复着这样
图2.2-1 弹簧振子的简谐运动
图2.2-2 简谐运动的振幅
   请大家复习高中数学的
相关知识。
M
x
O
Mĉ
P0
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36
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的运动过程，不管以哪里作为开始研究的起点。例如从图
中的P0点开始研究，做简谐运动的物体完成一次全振动的
时间总是相同的。
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫
作振动的周期（period）。周期的倒数叫作振动的频率
（frequency），数值等于单位时间内完成全振动的次数。用
T表示周期，用f表示频率，则有
f ＝ T
1
       
在国际单位制中，周期的单位是秒。频率的单位是赫
兹（hertz），简称赫，符号是Hz。1 Hz＝1 s
-1。
周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越
小，频率越大，表示振动越快。
根据正弦函数规律，（ωt＋φ）在每增加2π的过程中，
函数值循环变化一次。这一变化过程所需要的时间便是简
谐运动的周期T。
于是有         [ω（t＋T）＋φ] －（ωt＋φ）＝2π
由此解出        
T
2π
ω ＝
         
根据周期与频率间的关系，则
ω＝2π f
可见，ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，
叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。
通过这个实验你会发现，弹簧振子的振动周期与其振
幅无关。不仅弹簧振子的简谐运动，所有简谐运动的周期
均与其振幅无关。
做一做
测量小球振动的周期
如图2.2-3，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球
从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动，A 就是振
动的振幅。用停表测出钢球完成n 个全振动所用的时间t，
n
t 就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。
再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振
动的周期。
图2.2-3   测量小球振动的周期
   描述任何周期性过程都
要用到周期和频率这两个
概念。实际上，它们的应
用范围已经扩展到物理学
以外的领域了。
x
A
O
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第二章 机械振动
37
图2.2-4 观察两小球的振动
   相位
从x＝A sin（ωt＋φ）可以发现，当（ωt＋φ）确定时，
sin（ωt＋φ）的值也就确定了，所以（ωt＋φ）代表了做简
谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物
理学中把（ωt＋φ）叫作相位（phase）。φ是t＝0时的相位，
称作初相位，或初相。
实际上，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动
的相位差（phase difference）。如果两个简谐运动的频率相
同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是
Δφ ＝（ωt ＋φ1）－（ωt ＋φ2）＝ φ1 －φ2
此时我们常说1 的相位比2 超前Δφ，或者说2 的相位
比1 落后Δφ。
通过观察我们会发现，两个小球同时释放时，除了振
幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平
衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。在一个周期内，
如果不同时释放小球，它们的步调就不一致。例如，自开
始释放，当第一个小球到达平衡位置时再放开第二个，那
么当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置；
而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置
了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后 4
1 个周期，
或者说总是滞后 4
1 个全振动。
上例中同时放开的两个小球振动步调总是一致，我们
说它们的相位是相同的；而对于不同时放开的两个小球，
我们说第二个小球的相位落后于第一个小球的相位。
观察两个小球的振动情况
并列悬挂两个相同的弹簧振子（图2.2-4）。把小球向
下拉同样的距离后同时放开，观察两球的振幅、周期、振
动的步调。
再次把两个小球拉到相同的位置，先把第一个小球放
开，再放开第二个，观察两球的振幅、周期、振动的步调。
演    示
O
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38
高中物理选择性必修第一册
如图2.2-5，弹簧振子的平衡位置为O 点，在B、C
两点之间做简谐运动。B、C 相距20 cm。小球经过B 点
时开始计时，经过0.5 s 首次到达C 点。
（1）画出小球在第一个周期内的x-t 图像。
（2）求5 s 内小球通过的路程及5 s 末小球的位移。
【例题】
分析 根据简谐运动的位移与时间的函数关系，可以画出简谐运动的x-t 图像。
要得到简谐运动的位移与时间的函数关系，就需要首先确定计时的起点，进而确
定初相位。根据振幅、周期及初相位写出位移与时间的函数关系，画出图像。
我们也可以采用描点法来画出位移－时间图像。根据题意，可以确定计时起点的
位移、通过平衡位置及最大位移处的时刻，在x-t 图上描出这些特殊坐标点，根据正
弦图像规律画出图像。
根据简谐运动的周期性，在一个周期内，小球的位移为0，通过的路程为振幅的
4 倍。据此，可以求出5 s 内小球通过的路程及5 s 末小球的位移。
解 （1）以O 点作为坐标原点，沿OB 建立坐标轴，如图2.2-5。以小球从B 点
开始运动的时刻作为计时起点，用正弦函数来表示小球的位移－时间关系，则函数的
初相位为 2
π 。
由于小球从最右端的B点运动到最左端的C点所用时间为0.5 s，所以振动的周期
T＝1.0 s；由于B点和C点之间的距离为0.2 m，所以，振动的振幅 A＝0.1 m。
根据 x ＝Asin（      t ＋φ0）
T
2π
，可得小球的位移－时间关系为
图2.2-5
图2.2-6
 x ＝0.1sin（2πt ＋    ）m
2
π
据此，可以画出小球在第一个周期内的
位移－时间图像，如图2.2-6 所示。
（2）由于振动的周期T ＝1 s，所以在时
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0，可以
知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
 x ＝Asin（      t ＋φ0）
T
2π
所以，振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物
理量。
O
C
B
x
0.1
0
0.25
0.50
0.75
1.00 t/s
x/m
0.1
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第二章 机械振动
39
乐音和音阶
在音乐理论中，把一组音按音调高低的次序排列起来就成为音阶，也就是大家都知道的do，
re，mi，fa，sol，la，si，do（高）。下表列出了某乐律C调音阶中各音的频率。
唱名
do
re
mi
fa
sol
la
si
do（高）
该唱名的频率与do 的
频率之比
1:1
9:8
5:4
4:3
3:2
5:3
15:8
2:1
f / Hz（C 调）
264
297
330
352
396
440
495
528
科学漫步
间t ＝5 s 内，小球一共做了n ＝      ＝5
T
t
次全振动。小球在一次全振动中通过的路程
为4 A ＝0.4 m，所以小球运动的路程为s ＝5×0.4 m ＝2 m ；经过5 次全振动后，
小球正好回到B 点，所以小球的位移为0.1 m。
做一做
绝大多数计算机都有录音、放音的功能，并能
在放音时显示声振动的图像。
用计算机的录音功能录制两个乐音，例如笛声，
一个是do，另一个是sol，把它们保存起来。用媒体
播放软件显示这个声音，把播放软件界面中“条形
与波浪”的选项设为“波形”。这样可以从电脑屏
幕上看到播放声音时的振动图像。按下“暂停”键
得到静止的图像。
把do 和sol 这两个声音的振动图像复制到同一
张空白幻灯片上，并把图像以外多余的区域裁掉，
用计算机呈现声音的振动图像
图2.2-7    比较两个声音的频率
就得到图2.2-7 所示的图形。在屏幕上作出矩形框，调节框的宽度，使框内包含“do”的10 个周
期。在屏幕上观察，多少个“sol”的周期与“do”的10 个周期的时间相等，由此可以得到“sol”
和“do”的频率之比。如果已知其中一个声音的频率，还可以推知另一个声音的频率。
请你想办法完成上面的操作。
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40
高中物理选择性必修第一册
  有趣的是，高音do的频率正好是中音do的2倍，而且音阶中各音的频率与do的频率之比都
是整数之比。
  还有更有趣的事情。喜欢音乐的同学都知道，有些音一起演奏时听起来好听，有些音一起
演奏时听起来不好听，前者叫作谐和音，后者叫作不谐和音。著名的大三和弦do、mi、sol的频
率比是4:5:6，而小三和弦re、fa、la的频率比是10:12:15。大三和弦听起来更为和谐，那是因为
三个音的频率比是更小的整数之比。随便拼凑在一起的三个音听起来不和谐，有兴趣的同学可以
算一算它们的频率比，一定是三个比较大的整数。
  从这个例子可以看到艺术后面的科学道理，但是，艺术远比“1＋1＝2”复杂。从上表中
看出，频率增加一倍，音程高出8度。实际上这只对于中等音高是正确的。人的感觉十分复杂，
对于高音段来说，频率要增加一倍多，听起来音高才高出一个8度。如果一个调音师按照“频率
翻倍”的办法调钢琴，那就要出问题了。
  尽管如此，科学家们还是可以通过音乐家的实际测听，确定音高与频率的对应关系，并且
据此设计出优美动听的电子乐器。
4. 有甲、乙两个简谐运动：甲的振幅为 
2 cm，乙的振幅为3 cm，它们的周期都是4 s，
当t ＝0 时甲的位移为2 cm，乙的相位比甲落
后4
π 。请在同一坐标系中画出这两个简谐运动
的位移—时间图像。
5. 图2.2-9 为甲、乙两个简谐运动的振动
图像。请根据图像写出这两个简谐运动的位移
随时间变化的关系式。
1. 一个小球在平衡位置O 点附近做简谐运
动，若从O 点开始计时，经过3 s 小球第一次
经过M 点，再继续运动，又经过2 s 它第二次
经过M 点；求该小球做简谐运动的可能周期。
2. 有两个简谐运动：  x1 ＝3asin（8πbt ＋    ）
4
π
和 x2 ＝9asin（8πbt ＋    ）
2
π
，它们的振幅之比
是多少？它们的频率各是多少？t ＝0 时它们
的相位差是多少？
3. 图2.2-8 是两个简谐运动的振动图像，
它们的相位差是多少？
 
练习与应用
图2.2-8
图2.2-9
0
t /s
x/cm
0.5
0.5
⩞
΅
0.5
1.0
΅
⩞
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t /s
x
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第二章 机械振动
41
简谐运动的回复力和能量
3
当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位
置释放后，小球就会在平衡位置附近做简
谐运动。小球的受力满足什么特点才会做
这种运动呢？
问题？
根据牛顿运动定律，可以作出以下判断：做简谐运动
的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物
体的运动速度逐渐减小直到减为０，然后，物体在这个力
的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；物
体由于具有惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，
这个力使它再一次回到平衡位置。正是在这个力的作用下，
物体在平衡位置附近做往复运动。我们把这样的力称为回
复力（restoring force）。
   简谐运动的回复力  
做简谐运动的物体受到的回复力有什么特点？下面我
们以弹簧振子做简谐运动为例进行分析。
如图2.3-1甲，当小球在O点（平衡位置）时，所受的
合力为０；在O点右侧任意选择一个位置P，无论小球向
右运动还是向左运动，小球在P点相对平衡位置的位移都
为x，受到的弹簧弹力如图2.3-1乙所示。从图中可以看出，
迫使小球回到平衡位置的回复力应该是由弹簧弹力提供的，
回复力大小为F＝ kx（k为弹簧的劲度系数），方向指向平
衡位置。
同样道理，当小球在O点左侧某一位置Q时，迫使小
球回到平衡位置的回复力还是由弹簧弹力提供，大小仍为
F＝ kx，方向指向平衡位置（如图2.3-1丙所示）。
从上面的分析可以看出，弹簧对小球的弹力是小球做
图2.3-1 简谐运动的回复力
F
F
P
O
Q
x
⩟
Ά͆
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42
高中物理选择性必修第一册
简谐运动的回复力，这个力的大小与小球相对平衡位置的
位移成正比，方向与位移方向相反，可表示为：F＝－kx，
式中“－”号表示F与x反向。
理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的
形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方
向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且
总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
   简谐运动的能量  
弹簧振子中小球的速度在不断变化，因而它的动能在
不断变化；弹簧的伸长量或压缩量在不断变化，因而它的
势能也在不断变化。弹簧振子的能量变化具有什么规律呢？
做一做
弹簧振子的势能与弹簧的伸长量有关，动能与小球的速度有关。请在下表中填出图
2.3-1 中的弹簧振子在各位置的能量。某量为最大值、最小值用“最大”和“最小”表示，
某量为零用数字“0”表示，增加和减少分别用“
 ”和“
 ”表示（假设P、Q 为最
大位移处）。
位置
Q
Q →O
O
O →P
P
位移的大小
速度的大小
动能
弹性势能
机械能
沿水平方向振动的弹簧振子的势能为弹性势能，其大
小取决于弹簧的形变量。小球运动远离平衡位置时，势能
会增大。与此同时，小球的速度减小，动能减小。小球到
达最大位移时，动能为０，势能最大。小球通过平衡位置时，
动能最大，势能为０。
理论上可以证明，在弹簧振子运动的任意位置，系统的
动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律。
实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一
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第二章 机械振动
43
种理想化的模型。
当小球运动到最大位移时，动能为０，弹性势能最大，
系统的机械能等于最大弹性势能。对于弹簧劲度系数和小
球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
（2）光滑圆弧面上有一个小球，把它从最
低点移开一小段距离，放手后，小球以最低点
为平衡位置左右振动（图2.3-4）。
3. 做简谐运动的物体经过A 点时，加速度
的大小是2 m/s
2，方向指向B 点；当它经过B
点时，加速度的大小是3 m/s
2，方向指向A 点。
若AB 之间的距离是10 cm，请确定它的平衡位
置。
4. 图2.3-5 为某物体做简谐运动的图像，
在0
1.5 s 范围内回答下列问题。
（1）哪些时刻物体的回复力与0.4 s 时的回
复力相同？
（2）哪些时刻物体的速度与0.4 s 时的速度
相同？
（3）哪些时刻的动能与0.4 s 时的动能相
同？
（4）哪段时间的加速度在减小？
（5）哪段时间的势能在增大？
1. 把图2.3-2 中倾角为θ 的光滑斜面上的
小球沿斜面拉下一段距离，然后松开。假设空
气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐
运动。
 
2. 若想判定以下振动是不是简谐运动，请
你陈述求证的思路（可以不进行定量证明），空
气阻力可忽略。
（1）粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁
丝，竖直浮在较大的装有水的杯中（图2.3-3）。
把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水
中上下振动。
练习与应用
图2.3-2
图2.3-3
图2.3-4
图2.3-5
θ
0
4
4
0.1
0.5
0.9
1.3
t /s
x/cm
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44
高中物理选择性必修第一册
单摆
4
生活中经常可以看到悬挂起来的物体
在竖直平面内往复运动。将一小球用细绳
悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小
球就会来回摆动。小球的摆动是否为简谐
运动呢？
问题？
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可
以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装
置就叫作单摆（simple pendulum）。单摆是实际摆的理想化
模型。显然，单摆摆动时摆球在做振动，下面我们来研究
单摆的运动情况。
   研究单摆时还有一个条
件：与小球受到的重力及
绳的拉力相比，空气等对
它的阻力可以忽略。
  为了更好地满足这个
条件，实验时我们总要尽
量选择质量大、体积小的
球和尽量细的线。
用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
思考与讨论
可以用两种不同方法来研究上述问题：一种方法是分析
单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反；另一
种方法是分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系。
下面我们采用第一种方法来分析。
   单摆的回复力  
如图2.4-1，单摆摆长为l、摆球质量为m。将摆球拉
离平衡位置O 后释放，摆球沿圆弧做往复运动。当摆球沿
圆弧运动到某一位置P 时，摆线与竖直方向的夹角为θ。
此时摆球受到重力G 和摆线拉力FT 的作用。重力G 沿圆
弧切线方向的分力F ＝mgsin θ，正是这个力充当回复力，
图2.4-1 分析单摆的回复力
l
1
m
F
T
F
F
G
P
O
θ
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第二章 机械振动
45
   如果角θ 很小，用弧度
表示的θ 与它的正弦sin θ
近似相等。
图2.4-2 观察墨汁图样
图2.4-3 悬绳长度不同的秋千
迫使摆球回到平衡位置O。
回复力F 与小球从O 点到P 点的位移x 并不成正比也
不反向。但是，当摆角θ 很小时，摆球运动的圆弧可以看
成直线，可认为F 指向平衡位置O，与位移x 反向。圆弧
OP 的长度可认为与摆球的位移x 大小相等，即
sin θ ≈θ ＝ l
OP ≈ l
x
因此，单摆振动的回复力F 可表示为                                 
F ＝－
x
l
mg 
式中负号表示回复力与位移的方向相反。对一个确定
的单摆来说，摆球质量m和摆长l是一定的， l
mg可以用一个
常量k表示，于是上式可以写成
F ＝－kx
可见，单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
做一做
如图2.4-2，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注
射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方
向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。
   单摆的周期  
一条短绳系一个小球，它的振动周期较短。悬绳较长的
秋千（图2.4-3），周期较长。单摆的周期与哪些因素有关？
下面我们通过实验来研究这个问题。
O'
O
如图2.4-4，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以
下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆
的振动周期。
图2.4-4   研究单摆的振动周期
探究单摆周期与摆长之间的关系
实    验
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46
高中物理选择性必修第一册
实验表明：单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长
越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关。
单摆周期与摆长之间有什么定量的关系呢？
为了找出单摆周期与摆长之间定量的关系，荷兰物理
学家惠更斯进行了详尽的研究，发现单摆做简谐运动的周
期T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次
方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。惠更斯确定了计
算单摆周期的公式
 
T ＝2π 
g
l
单摆周期公式的发现，为人类利用简谐运动定量计时
提供了可能，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。
1. 两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同（都在小偏角下）。
2. 两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同。
3. 两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同。
比较三种情况下两摆的周期，可以得出什么结论？
惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）
从日晷到原子钟
科学漫步
图2.4-5    日晷
在人类文明进步和科学技术发展的历史长河中，人类活动与
时间测量的精度是密不可分的。很久很久以前，我们的祖先记录
时间是利用天体的周期性运动。例如利用太阳和月亮相对自己的
位置等来模糊地定义时间。
后来，人们从观察自然现象到逐渐发明了日晷、水钟、沙漏
等人造计时装置，这标志着人造时钟开始出现（图2.4-5）。
做一做
改变摆长l，测出对应的单摆周期T（在小偏角下）。根据你的实验数据，尝试在坐
标纸上画出T-l图像或T-l
 2图像。它们分别是什么曲线？你能根据图像判断单摆周期与
摆长的关系吗？
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第二章 机械振动
47
图2.4-6 我国制造的空间冷原子钟
当钟摆等可长时间周期性运动的振荡器出现后，人们把能产生确定的振荡频率的装置，作为
时间频率标准，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。
从20 世纪30 年代开始，随着晶体振荡器的发明，小型化、低能耗的石英晶体钟表代替了机
械钟，广泛应用在电子计时器和其他各种计时领域。
20 世纪40 年代开始，科学家们利用原子超精细结构跃迁能级具有非常稳定的跃迁频率这一
特点，发展出比晶体钟更高精度的原子钟。
随着激光冷却原子技术的发展，利用激光冷却的原子制造的冷原子钟（图2.4-6）使时间
1. 一个理想单摆，已知其周期为T。如果
由于某种原因（如转移到其他星球）自由落体
加速度变为原来的 2
1 ，振幅变为原来的 3
1 ，
摆长变为原来的 4
1 ，摆球的质量变为原来的 5
1 ，
它的周期变为多少？
2. 周期是2 s 的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是
多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已
知月球上的自由落体加速度为1.6 m/s
2，它在月
球上做50 次全振动要用多少时间？
3. 图2.4-7 是两个单摆的振动图像。
（1）甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
（2）以向右的方向作为摆球偏离平衡位置
的位移的正方向，从t ＝ 0 起，乙第一次到达
右方最大位移时，甲摆动到了什么位置？向什
么方向运动？
4. 一条细线下面挂着一个小球，让它自由
摆动，画出它的振动图像如图2.4-8 所示。
（1） 请根据图中的数据计算出它的摆长。
（2） 请根据图中的数据估算出它摆动的最
大偏角。
图2.4-7
练习与应用
图2.4-8
测量的精度进一步提高。到目前为止，地面上
精度最高的冷原子喷泉钟已经达到每3 亿年只
有1 s 的误差，更高精度的冷原子光钟也在快
速发展中。
近年来，科学家们将激光冷却原子技术与
空间微重力环境相结合，有望在空间轨道上获
得比地面上的线宽要窄一个数量级的原子钟谱
线，从而进一步提高原子钟的精度，这将是原
子钟发展史上又一个重大突破。
t/s
x/cm
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
⩟
Ά
1
1
0
2
4
4
t/s
x/cm
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48
高中物理选择性必修第一册
实验：用单摆测量重力加速度
5
了解地球表面重力加速度的分布，对地球物理学、航
空航天技术及大地测量等领域有十分重要的意义。为此，
就需要了解测量重力加速度的方法。
  实验思路    
惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出
了巴黎的重力加速度。我们也可以采用同样的办法，测量
所在地区的重力加速度数值。
当摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式可得
g ＝ T 2
4π 2l
想一想，要根据上式测量重力加速度，需要测量哪些
物理量？应该如何设计实验装置、选择实验器材？怎样才
能减小实验误差？
  实验装置  
如图2.5-1，在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的
结，将细线穿过球上的小孔，并把细线上端固定在铁架台上，
就制成一个单摆。将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在
实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，方便使用不同长度的摆线。
图2.5-1   实验装置
   理论上，与重力相关的
物理现象都可以用来测量
g。例如，利用自由落体
运动就可以测量g。
思考与讨论
图2.5-2 细线上端的两种悬挂方式
甲
乙
1. 线有粗细、长短的不同，伸缩性也
有区别。不同的小球，质量和体积有差异。
想一想，应如何选择摆线和摆球？为什么？
2. 图2.5-2 画出了细线上端的两种不
同的悬挂方式。应该选用哪种方式？为什
么？你还有更好的设计吗？
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第二章 机械振动
49
图2.5-3 测摆线长度
  物理量的测量
摆长的测量
摆长是摆线长度和小球半径之和。怎样测量才能减小误
差？可以用刻度尺直接测量小球球心与悬挂点之间的距离作
为摆长的测量值，用图2.5-3 所示的方法减小误差；也可用
游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬挂点与
小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。
周期的测量
我们一般用停表测量单摆的周期。实验时，可以测量
单摆做一次全振动的时间作为它的周期的测量值；也可以
测量单摆做多次全振动（例如几十次）的时间，然后通过
计算求出它的周期的测量值。哪种方法比较好？为什么？
  数据分析
从测量的数据中选择几组，根据前面推导的公式，分
别计算重力加速度，然后取平均值作为测量结果。
除了这种方法，你还能想出别的方法来处理实验数据，
得到重力加速度吗？ 
查询所在地区的重力加速度值，并与测得的结果进行
比较。如果有差异，想想可能是什么原因造成的。
示，它们的单位为P、Q。请用图像（图2.5-4）
处理实验数据，寻找它们之间的定量关系，根
据图像推出a、b 之间关系的表达式，如果有常
数，写出常数的数值和单位。
1. 在用单摆测量重力加速度的实验中，下
面的叙述哪些是正确的，哪些是错误的？
A. 摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并
且尽可能长一些
B. 摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C. 为了使摆的周期大一些，以方便测量，
开始时拉开摆球，使摆角较大
D. 用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单
摆的摆长
E. 释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计
时，记下摆球做50 次全振动所用的时间t，则
单摆周期 T ＝50
t
2. 某同学在实验探究a、b 两个物理量之间
的定量关系时，测得了6 组实验数据如下表所
练习与应用
图2.5-4
a/P
0.5
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
b/Q
1.42
1.79
1.90
2.00
2.20
2.45
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50
高中物理选择性必修第一册
受迫振动  共振
6
“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青
铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品。倒
些清水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆
就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起
层层水花。这是为什么？
问题？
通过对弹簧振子及单摆的研究，我们知道弹簧振子
与单摆在没有外力干预的情况下做简谐运动，周期或频
率与振幅无关，仅由系统自身的性质决定，我们把这种
振动称为固有振动，其振动频率称为固有频率（natural 
frequency）。倘若振动系统受到外力作用，它将如何运动？
   振动中的能量损失 
生活中，摇曳的树叶会停下来，摆动的秋千也会停止
运动。由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻
碍作用，振幅必然逐渐减小。这种振幅随时间逐渐减小的
振动称为阻尼振动（damped vibration），其振动图像如图
2.6-1 所示。
振动系统能量衰减的方式通常有两种。一种是由于振
动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转
化为内能。例如单摆运动时受到空气的阻力。另一种是由
于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周
辐射出去，从而自身机械能减少。例如音叉发声时，一部
分机械能随声波辐射到周围空间，导致音叉振幅减小。
   受迫振动 
阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能产生持续的振
图2.6-1 阻尼振动图像
x
t
O
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第二章 机械振动
51
动呢？最简单的办法是使周期性的外力作用于振动系统，
外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统的振动维
持下去。这种周期性的外力叫作驱动力，系统在驱动力作
用下的振动叫作受迫振动（forced vibration）。机器运转时
底座发生的振动、扬声器纸盆的振动，都是受迫振动。
受迫振动的频率与什么因素有关呢？
做一做
做一做
研究受迫振动的频率
如图2.6-2，架子上面的电动机向下面的两组弹簧—
钩码系统施加周期性的驱动力，使钩码做受迫振动。改
变电动机的转速可以调整驱动力的频率。
接通电源，使钩码做受迫振动，记录驱动力的频率
和钩码振动的频率。改变驱动力的频率，再做记录。钩
码做受迫振动的频率与驱动力的频率有什么关系？
如图2.6-3，铁架横梁上挂着几个摆长不同的摆。
其中，A 与D、G 的摆长相同，D 的摆球质量大于其他
摆球。使D 摆偏离平衡位置后释放，D 摆在振动中通过
横梁对其他几个摆施加周期性的驱动力。在振动稳定后
比较各球的振幅。
图2.6-2   研究受迫振动的频率
图2.6-3 演示共振现象
大量的实验都证实：物体做受迫振动达到稳定后，物
体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
   共振现象及其应用 
在周期性驱动力作用下的受迫振动，其振幅是否也跟
它的固有频率无关呢？
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图2.6-4 
受迫振动振幅与驱动力
频率的关系
通过观察会发现，固有频率与D摆相同的A 摆、G 摆
振幅最大，固有频率与D摆相差较多的C摆、E摆振幅最
小。这说明物体在做受迫振动时，驱动力的频率与物体的
固有频率相差越小，受迫振动的振幅越大；当驱动力的频
率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅达到最大。
图2.6-4反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的
关系。图中f0等于物体的固有频率，可以看出，当驱动力
的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大
值，这种现象称为共振（resonance）。
共振是十分普遍的现象，在工程技术的许多领域都可
以观察到它，都要应用到它。
把一些不同长度的钢片安装在同一个支架上，可以制
作转速计。把这样的转速计与开动着的机器紧密接触，机
器的振动引起转速计的轻微振动，这时固有频率与机器转
速一致的那个钢片发生共振，振幅最大。读出这个钢片的
固有频率，就可以知道机器的转速。
有的情况下需要避免共振。例如，在桥梁、码头等各
种建筑的设计施工中，以及飞机、汽车、轮船的发动机等
机器设备的设计、制造、安装中，都必须考虑防止共振产
生的危害，以保证建筑和设备的安全。
   共振不仅存在于机械振
动中，还广泛应用于电磁
振动等其他形式的振动中。
A
O
f
f 0
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图2.6-5 港珠澳大桥
振动控制技术
1940年11月7日早晨，跨度为850 m的美国塔科马峡湾悬索大桥遭到了一场大风的袭击，引
发了桥梁的扭转共振。人们束手无策，只能眼看着大桥扭转晃动的幅度越来越大。两小时后，这
座建成通车仅4个月的大桥轰然倒塌。从那以后，土木工程师们就开始研究风激振机理和各种桥
梁建筑的振动控制技术。
有一种工程减振装置叫作调谐质量阻尼器，是目前大跨度、大悬挑与高耸结构振动控制中应
用最广泛的结构被动控制装置之一。这种装置是一个由弹簧、阻尼器和质量块组成的振动控制系
统，附加在需要振动控制的主结构上。主结构在外界驱动力的作用下产生振动时，会带动减振装
置一起振动。当满足一定条件时，减振装置的弹性力与外来驱动力的方向相反，抵消了一部分驱
动力，从而最大限度地降低主结构的振动，达到减振的效果。
在科技工作者的共同努力下，我国的振动控制技术得到了长足发展。目前，包括港珠澳大桥
（图2.6-5）在内的许多大型建筑工程中都采用了振动控制技术。
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54
高中物理选择性必修第一册
（2）在C球摆动起来后，用手使A、B球静
止，然后松手，在起初一段时间内又将看到A、
B球有什么表现？
3.汽车的车身是装在弹簧上的，某车的车
身—弹簧系统的固有周期是1.5 s。这辆汽车在
一条起伏不平的路上行驶，路面凸起之处大约
都相隔8 m。汽车以多大速度行驶时，车身上
下颠簸得最剧烈？
4.图2.6-8是一个单摆的共振曲线。
（1）试估计此单摆的摆长。
（2）若摆长增大，共振曲线振幅最大值所
对应的横坐标将怎样变化？
5.图2.6-9是单摆做阻尼振动的位移—时间
图像，请比较摆球在P与N时刻的势能、动能、
机械能的大小。
图2.6-7
图2.6-8
图2.6-9
图2.6-6
1.如图2.6-6，一个竖直圆盘转动时，固定
在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方
向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组
成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止
时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约
为3 Hz。现使圆盘以4 s 的周期匀速运动，经过
一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频
率是多少？
练习与应用
2.如图2.6-7，张紧的水平绳上吊着A、B、
C三个小球。B球靠近A球，但两者的悬线长度
不同；C球远离A球，但两者的悬线长度相同。
（1）让A 球在垂直于水平绳的方向摆动，
在起初一段时间内将会看到B、C球有什么 
表现？
ᄼళᴞ
5ᒏᩜ᳣
A
B
C
f
2
0
4
6
8
10
0.2
0.4
0.6
/HΖ
A/cm
2
0
2
t /s
x/cm
P
N
-
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第二章 机械振动
55
的A、B之间来回运动。若AB＜＜R，试证明小
球的运动是简谐运动，并求出其振动的频率。
6.使悬挂在长绳上的小球偏离平衡位置一
个很小的角度，然后放开它，同时使另一个小
球从静止开始由悬点自由下落。哪一个小球先
到达第一个小球的平衡位置？
7.图2-3是某简谐运动的振动图像，试根
据图像回答下列问题。
 
（1）该简谐运动的振幅、周期、频率各是
多大？
（2）从C点算起，到曲线上的哪一点，表
示完成了一次全振动？
（3）曲线上A、B、C、D、E、F、G、H各
点中，哪些点表示振子的动能最大，哪些点表
示振子的势能最大？
摆球回到原来的高度，在200 s 内总共应补充
多少能量？
2. 一个单摆在质量为m1、半径为R1 的星
球上做周期为T1 的简谐运动，在质量为m2、半
径为R2 的星球上做周期为T2 的简谐运动。求
1.做简谐运动的质点在通过平衡位置时，
哪些物理量分别具有最大值和最小值？
2.某一弹簧振子完成10次全振动需要
2 s的时间，在此2 s的时间内通过的路程是 
80 cm。求此弹簧振子的振幅、周期和频率。
3.如图2-1，滑块在M、N之间做简谐运动。
以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴
正方向。若滑块位于N点时开始计时，试画出
其振动图像。
 
4.一座摆钟走得慢了，要把它调准，应该
怎样改变它的摆长？为什么？
1. 一个单摆完成10 次全振动的时间是40 s，
摆球的质量为0.2 kg，它振动到最大位移时距
最低点的高度为1.5 cm，它完成10 次全振动回
到最大位移时，距最低点的高度变为1.2 cm。
如果每完成10 次全振动给它补充一次能量，使
A 组
B 组
复习与提高
图2-1
图2-2
图2-3
5.如图2-2，小球在半径为R的光滑球面上
x
M
O
N
2
0.4
1.2
1.6
0.8
2
0
B
A
E 
D
F
H
C
G
t /s
x/cm
O
R
B
A
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56
高中物理选择性必修第一册
A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之
间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。
图2-6乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t
变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动
的时刻，g取10 m/s
2。
（1）求单摆的振动周期和摆长。
（2）求摆球的质量。
（3）求摆球运动过程中的最大速度。
6. 把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子
上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一
个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图2-7
甲所示。该共振筛的共振曲线如图2-7 乙所示。
已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛
子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某
电压下偏心轮的转速是54 r/min。为了使筛子
的振幅增大，请提出两种方案。
T1 与T2 之比。
3. 某同学用单摆测重力加速度。实验时改
变摆长，测出几组摆长l 和对应的周期T 的数据，
作出l-T  2 图像，如图2-4 所示。
（1）利用A、B 两点的坐标可求得重力加
速度g，请写出重力加速度的表达式。
（2）本实验用l-T2 图像计算重力加速度，
是否可以消除因摆球质量分布不均匀而造成的
测量误差？请说明道理。
 
4. 图2-5 是一个弹簧振子的振动图像，试
完成以下问题。
（1）写出该小球位移随时间变化的关系式。
（2）在第2 s 末到第3 s 末这段时间内，小
球的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样
变化的？
（3）该小球在第100 s 时的位移是多少？路
程是多少？
 　
5. 如图2-6甲，O点为单摆的固定悬点，将
力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到
图2-4
图2-6
甲
乙
图2-5
O
l1
l2
l
T 
2
T1
2
T2
2
A
B
5
0
1
3
5
6
5
t /s
x/cm
4
2
图2-7
甲
乙
ռᓰ䒛
f
0.8
0
/HΖ
A
0.510
0.495
0
0.2π
0.4π
t /s
F/N
C
B
A
O
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第三章 机械波
57
第三章
机械波
3
“隔墙有耳”“一石激起千层浪”……我们对
这些现象耳熟能详，它们都与波动有关。测绘科
技人员利用声呐绘制海底地形图，医生用“B 
超”诊断疾病，狂风巨浪使船舶颠簸，地震波对
建筑物造成破坏……种种现象表明：波既能传递
信息，又能传递能量。
多姿多彩的波有许多共同的特征和规律，我
们应该很好地认识波，以便更好地利用波，或预
防和减轻波所造成的破坏。
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58
高中物理选择性必修第一册
_______________________
① 达· 芬奇（Leonardo da Vinci, 1452—1519），意大利文艺复兴时期的画家、科
学家，研究领域涉及数学、物理学、天文学等。
波的形成
1
水波离开了它产生的地方，而那里的水
并不离开， 就像风在田野里掀起的麦浪。我
们看到，麦浪滚滚地在田野里奔去，但是麦
子却仍旧留在原来的地方。
——达·芬奇
①
在艺术体操的带操表演中，运动员手
持细棒抖动彩带的一端，彩带随之波浪翻
卷。彩带上的波浪向前传播时，彩带上的
每个点也在向前运动吗？
问题？
彩带上的波浪翻卷实际是振动在彩带上传播的结果。
振动的传播称为波动，简称波（wave）。波是怎样形成的？
   波的形成
如图3.1-1，取一条较长的软绳，用手握住一端拉平后
向上抖动一次，可以看到绳上形成一个凸起部分，这个凸
起部分向另一端传去。向下抖动一次，可以看到绳上形成
一个凹下部分，这个凹下部分也向另一端传去。连续向上、
向下抖动长绳，可以看到一列波产生和传播的情形。
在绳上做个红色标记，在波传播的过程中，这个标记
怎样运动？它是否随着波向绳的另一端移动？
演    示
图3.1-1   沿绳传播的波
观察绳波的产生和传播
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第三章 机械波
59
图3.1-2   横波的形成
图3.1-3 团体操表现波浪
仔细观察会发现，绳子上的各点只是在一定位置上下
振动，没有向前运动，而振动这种形式却传播出去了。为
什么会这样呢？
绳子是有弹性的物体。设想把一条绳子分成一个个小
段，这些小段可以看作一个个相连的质点，这些质点之间
存在着弹性力的作用。当手握绳端上下振动时，绳端带动
相邻的质点，使它也上下振动，这个质点又带动更远一些
的质点…… 绳子上的质点都跟着振动起来，只是后面的质
点总比前面的质点迟一些开始振动。这样依次带动下去，
绳端这种上下振动的状态就沿绳子传出去了，整体上形成
了凹凸相间的波形。
图3.1-2 更清楚地描绘了绳中质点的运动与波的传播
的关系。图中小圆点代表绳中的质点，相邻质点之间有相
互作用力，这使得一个质点的运动会影响相邻质点的运动。
质点P0 在沿上下方向振动，依次牵动质点P1，P2，
P3，… 使它们也运动起来。若在 t ＝      T
4
1
 时刻，质点P0 到
达了最高点，则P2 将刚要开始运动。质点P0 到达最高点
后又开始下落，当 t ＝      T
2
1
 时它又回到平衡位置，而这时
P2 刚刚到达最高点，质点P4 则刚要开始运动。下面两幅图
是随后 4
3 T、T 时刻各质点的位置及波的形状。
做一做
一组学生手挽手排成一行，从左边第
一位同学开始，周期性地下蹲、起立，依
次带动旁边的同学重复他的动作，只是后
边的一位总比前边的一位稍迟一点点。这
样就会看到凹凸相间的波沿着队伍传播开
来，而每个学生的位置并没有移动。
运动会上的团体操表演常常用这种办
法来表现波浪（图3.1-3）。
   横波和纵波
图3.1-2 表现的是绳子中传播的波。在这列波中质点
T
A
A
A
A
1
4
＝0
t
＝
t
T
1
2
＝
t
T
3
4
＝
t
T
＝
t
A
A
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9
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60
高中物理选择性必修第一册
图3.1-4
图3.1-5    声波示意图
如图3.1-4，将一根长而软的弹簧水平放置在光滑平面
上，在左端沿弹簧轴线方向不断推、拉弹簧，观察实验现象。
演    示
实验中观察到，弹簧圈密集的部分和稀疏的部分交替
向右传播，在弹簧上形成一种与横波不一样的波。     
这种波又是如何形成的呢？我们把一系列弹簧圈看成
一系列质点，它们之间由弹力联系着。手执弹簧一端左右
振动起来以后，前面的质点依次带动后面的质点左右振动，
但后一个质点总比前一个质点迟一些开始振动。也就是说，
后一个质点振动的相位总比前一个质点落后一些。这样，
弹簧一端左右振动的状态就沿弹簧传播开来。从整体上看，
就形成了疏密相间的波。
在图3.1-4 所示的波中，质点左右振动，波向右传播，
二者的方向在同一直线上。质点的振动方向与波的传播方
向在同一直线上的波，叫作纵波（longitudinal wave）。在纵
波中，质点分布最密的位置叫作密部，质点分布最疏的位
置叫作疏部。
发声体振动时在空气中产生的声波是纵波。例如振动
的音叉，它的叉股向一侧振动时，压缩邻近的空气，使
这部分空气变密，叉股向另一侧振动时，又使这部分空
气变得稀疏。 这种疏密相间的状态向外传播就形成声波 
（图3.1-5）。 声波传入人耳，使鼓膜振动， 就引起声音的感
觉。声波不仅能在空气中传播，也能在液体、固体中传播。
   机械波
绳上和弹簧上的波是在绳和弹簧上传播的，水波是在
水面传播的，声波通常是在空气中传播的。绳、弹簧、水、
上下振动，波向右传播，二者的方向相互垂直。质点的振
动方向与波的传播方向相互垂直的波，叫作横波（transverse 
wave）。在横波中，凸起的最高处叫作波峰（crest），凹下
的最低处叫作波谷（trough）。
我们再看另外一种波。
观察弹簧形成的波
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第三章 机械波
61
有一盆平静的水，上面漂着一片小纸屑。用笔尖轻点水面，观察产生的水波。使笔
尖周期性地轻点同一处水面，观察水波的传播和纸屑的运动。
做一做
空气等是波借以传播的物质，叫作介质（medium）。组成
介质的质点之间有相互作用，一个质点的振动会引起相
邻质点的振动。 机械振动在介质中传播，形成了机械波
（mechanical wave）。
介质中有机械波传播时，介质本身并不随波一起传播。
例如绳上或弹簧上有波传播时，它们的质点发生振动，但
质点并不随波迁移，传播的只是振动这种运动形式。
介质中本来静止的质点， 随着波的传来而发生振动，
这表示它获得了能量。这个能量是从波源通过前面的质点
依次传来的，所以波在传播“振动”这种运动形式的同时，
也将波源的能量传递出去。波是传递能量的一种方式。
波不但传递能量，而且可以传递信息。我们用语言进
行交流，就是利用声波传递信息。
带动2，3，4，…各个质点依次上下振动，把
振动从绳的左端传到右端。已知t ＝0 时，质
点1 开始向上运动；  t ＝ 4
1 T 时，1 到达最上方，
5 开始向上运动。
（1） t ＝ 2
1 T 时，质点8、12、16 的运动
状态如何？
（2）t ＝ 4
3 T 时，质点8、12、16 的运动
状态如何？
（3） t ＝T 时, 质点8、12、16 的运动状态
如何？
1. 举出一个生活中的例子，说明机械波是
“质点振动”这种运动形式在介质中的传播，质
点并没迁移。
2. 图3.1-6 是以质点P 为波源的机械波在
绳上传到质点Q 时的波形。
（1）请判断此机械波的类型。
（2）P 点从平衡位置刚开始振动时，是朝
着哪个方向运动的？
3. 图3.1-7 是某绳波形成过程的示意图。
质点1 在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，
练习与应用
图3.1-6
图3.1-7
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
t = 0
t =
T
4
1
Q
P
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62
高中物理选择性必修第一册
波的描述
2
观察水波，可以看出波在空间、时间
上具有周期性，我们能否用图像的方法来
描述一列波呢？如果能，坐标轴表示的是
什么物理量？
问题？
过去我们研究的是单个质点的运动情况，用x-t 图像可
以很方便地描述质点在任意时刻的位移。而波却是很多质
点的运动，在同一时刻各个质点的位移都不尽相同，不方
便用x-t 图像来描述。能否用其他的图像来描述波呢？我们
以横波为例研究波的图像。
   波的图像
图3.2-1 是根据一张绳上横波的照片画出的图，记录
了绳上各质点在该时刻的具体位置。如果建立直角坐标系，
把该时刻绳上各质点的具体位置反映在坐标系中，就可以
得到这一时刻绳子上波的图像。
在图3.2-2 中，用横坐标 x 表示在波的传播方向上绳中
各质点的平衡位置，纵坐标 y 表示某一时刻绳中各质点偏
离平衡位置的位移。我们规定，位移向上时 y 取正值，向
下时 y 取负值。
把平衡时位于x1, x2, x3，… 的质点的位移y1， y2， y3，… 
画在Oxy 坐标平面内，得到一系列坐标为（x1，y1），（x2，
y2），（x3，y3），… 的点，这些点的集合就是这一时刻波的
图像。波的图像有时也称波形图。
如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也
叫简谐波（simple harmonic wave）。可以证明，介质中有
正弦波传播时，介质的质点在做简谐运动。
简谐波的波形图与质点的振动图像都是正弦曲线，但
图3.2-1 绳上的横波
图3.2-2 横波的图像
y
x
O
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第三章 机械波
63
它们的意义是不同的。波形图表示介质中的“各个质点”
在“某一时刻”的位移，振动图像则表示介质中“某一质
点”在“各个时刻”的位移。
   波长、频率和波速
在上节图3.1-2 中，从t ＝0 到t ＝T 这段时间里，由
质点P0 发出的振动传到质点P8，使质点P8 开始振动。这
时质点P0 恰好结束了一次全振动而开始下一次全振动，此
后质点P0 和质点P8 的振动步调完全一致。也就是说，这
两个质点振动的相位相同，它们在任何时刻对平衡位置的
位移的大小和方向总是相同的。同样，质点P1 和P9、P2 和
P10……它们每一对在振动中的相位也总是相同的。
在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质
点间的距离，叫作波长（wave length），通常用λ 表示（图
3.2-3）。
在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离
等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间
的距离等于波长。
在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，它
们都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫作
波的周期或频率。在图3.1-2 中，由质点P0 发出的振动，
经过一个周期传到质点P8，也就是说，经过一个周期T，
振动在介质中传播的距离等于一个波长λ，所以机械波在介
质中传播的速度为
                                      v ＝ T
λ
    
               
而 f ＝  T
1 ，所以上式也可以写成
                                     v ＝f λ                              
机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定，
在不同的介质中，波速是不同的。声速还与温度有关，表
中列出了0 ℃时声波在几种介质中的传播速度。
图3.2-3   波长
   我们可以形象地说：
波的图像是“ 照相式”
的，而振动图像是“录像 
式”的。
0 ℃时几种介质中的声速
v/（m·s
-1）
空气
332
水
1 450
铜
3 800
铁
4 900
玻璃
5 000
6 000
松木
约3 320
软木
430
530
橡胶
30
50
图3.2- 4中实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝
0.1 s时刻的波形图。据此能否判定波的传播方向？
思考与讨论
图3.2-4 不同时刻的波形图
y
O
x
λ
λ
λ
O
x
y
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64
高中物理选择性必修第一册
【例题】
图3.2-5 中的实线是一列正
弦波在某一时刻的波形图。经过 
0.5 s 后，其波形如图中虚线所示。 
设该波的周期T 大于0.5 s。
（1）如果波是向左传播的，波
的速度是多大？波的周期是多大？
（2）如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
分析  这列波的周期大于0.5 s，所以经过0.5 s 的时间，这列波传播的距离不可
能大于一个波长λ。当波向左传播时，图中的波峰1 只能到达波峰2，而不可能向左
到达更远的波峰。当波向右传播时，图中的波峰1 只能到达波峰3，而不可能向右到
达更远的波峰。
已知波传播的时间t ＝ 0.5 s，由图可以知道波的传播距离∆x，由公式 v ＝
t
∆x 
就能够求出波的传播速度v。
由图又可以知道波长λ，由公式 v ＝T
λ 就能够求出周期T。
解  （1）如果波是向左传播的，从图3.2-5 看出，虚线所示的波形相当于实线所
示的波形向左移动了6 cm（4
1 个波长），由此可求出波速的大小
 
v ＝
＝
m/s ＝0.12 m/s
t
∆x
0.5
0.06
波的周期为
 T ＝v
λ ＝
s ＝2.0 s
0.12
0.24
（2）如果波是向右传播的，从图3.2-5 看出，虚线所示的波形相当于实线所示的
波形向右移动了18 cm（4
3 个波长），由此可以求出波速的大小
 
v ＝
＝
m/s ＝0.36 m/s
t
∆x
0.5
0.18
波的周期为
T ＝v
λ ＝
s ＝0.67 s
0.36
0.24
图3.2-5 一列正弦波的波形图
2
1
3
y
x/cm
∏
ም
∏
ም
∏
ም
60
12
0
24
36
48
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第三章 机械波
65
2.简谐横波某时刻的波形如图3.2-7所
示，P为介质中的一个质点，波沿x轴的正方向 
传播。
（1）此时刻与 
T
1
4
 时刻，质点P 的速度与
1. 图3.2-6 为一列沿x 轴正方向传播的简
谐波在初始时刻的波形，试画出该简谐波经过
极短一段时间后的波形图，并确定初始时刻图
中A、B、C、D 四个质点的振动方向及这段时
间内质点速度大小的变化情况。
图3.2-6
练习与应用
图3.2-7
加速度的方向各是怎样的？
（2）经过一个周期，质点P 通过的路程为
多少？
（3）有同学说由此时刻起经过 
T
1
4
 后，质
点P 通过的路程为A0，你认为这种说法对吗？
3. 图3.2-8 是一列波的图像。
（1）如果波沿着x 轴的正方向传播，K、L、
M 三个质点，哪一个最先回到平衡位置？
（2）如果波沿着x 轴的负方向传播，K、L、
M 三个质点，哪一个最先回到平衡位置？
4. 一列横波某时刻的波形如图3.2-9 甲所
示，图3.2-9 乙表示介质中某质点此后一段时
间内的振动图像。
（1）若波沿x 轴的正方向传播，图乙为K、
L、M、N 四点中哪点的振动图像？
（2）若波沿x 轴的负方向传播，图乙为K、
L、M、N 四点中哪点的振动图像？
5. 在空气中波长为1 m 的声波，由空气传
入水中，声波在水中的频率和波长各是多少？
（此时温度为0 ℃）
6. 湖面上停着A、B 两条小船，它们相距
20 m。一列水波正在湖面上沿AB 连线的方向
传播，每条小船每分钟上下浮动20 次。当A
船位于波峰时，B 船在波谷，两船之间还有一
个波峰。求水波的波速。
A
B
C
D
O
x
y
P
x
y
O
A0 
A0 
图3.2-8
x
y
K
L
M
O
图3.2-9
甲
乙
O
x
y
K
L
M
N
t
y
O
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66
高中物理选择性必修第一册
波的反射、折射和衍射
3
我们知道，声音在传播过程中，遇到
障碍物时会发生反射。对着远处的峭壁大
喊一声会听到回声，就是声波在峭壁上反
射的结果。生活中，你是否注意过水波的
反射？波的反射应该遵从什么规律？ 
问题？
   波的反射
我们可以通过实验来研究水波的反射规律。
水波的反射
如图3.3-1 甲，在发波水槽一端有一平
板振动发生器，振动发生器在水槽中能够产
生水波。在水槽中斜向放置一个挡板，观察
水波在传播过程中发生的现象。
演    示
如图3.3-1乙，当水波遇到挡板时会发生反射
（reflection）。如果用一条射线代表水波的入射方向（入射
线），用另一条射线代表水波的反射方向（反射线），我
们发现水波的反射与初中学过的光的反射遵循同样的规律。
反射线、法线与入射线在同一平面内，反射线与入射线分
居法线两侧，反射角等于入射角。
   波的折射  
我们知道光从一种介质进入另一种介质时会发生折射，
图3.3-1 水波的反射
甲
乙
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第三章 机械波
67
图3.3-2 水波的折射
在水槽里放两块挡板，中间留一个狭缝，
观察水波通过狭缝后的传播情况（图3.3-3 甲）。
保持水波的波长不变，改变狭缝的宽度，
观察水波的传播情况有什么变化（图3.3-3 乙）。
演    示
水波的衍射
图3.3-3   波长一定的水波通过宽度不同的狭缝
甲
乙
机械波会发生折射吗？理论和实验证明，一切波都会发生
折射现象。一列水波在深度不同的水域传播时，在交界面
处将发生折射（refraction），如图3.3-2所示。
如果用一条射线代表水波的入射方向，用另一条射线
代表水波的折射方向， 可以更清晰地看出水波的折射现象。
   波的衍射  
在水塘里，微风激起的水波遇到小石、芦苇等细小的
障碍物，会绕过它们继续传播。在波的前进方向上放一个
有孔的屏，可以看到波通过小孔而在屏的后面向各个方向
传播。
波可以绕过障碍物继续传播，这种现象叫作波的衍射
（diffraction）。波在什么条件下能够发生明显的衍射现象？
通过实验可以看到，在狭缝宽度比波长大得多的情况
下，波的传播如同光沿直线传播一样，在挡板后面产生“阴
影区”，如图3.3-3 甲所示；在狭缝宽度与波长相差不多或
者狭缝宽度比波长更小的情况下，发生明显的衍射现象，
水波可以绕到挡板后面继续传播，如图3.3-3 乙所示。
保持狭缝的宽度不变，改变水波的波长，观察波的传
播情况有什么变化。图3.3-4是实验时拍摄的照片，在甲、
乙、丙三幅照片中，波长分别是狭缝宽度的 10
7 、 10
5 、 10
3 。
对比这三张照片会再次看到， 波长与狭缝宽度相差不多时，
有明显的衍射现象， 随着波长的减小，衍射现象变得不明
显。可以推测，当波长与狭缝宽度相比非常小时，水波将
沿直线传播，观察不到衍射现象。
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68
高中物理选择性必修第一册
实验表明，只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长
相差不多，或者比波长更小时，才能观察到明显的衍射 
现象。
不只是水波，声波也能发生衍射。“闻其声而不见其
人”，这是司空见惯的现象。通常的声波，波长在1.7 cm ~ 
17 m之间，跟一般障碍物的尺寸相当，所以声波能绕过一
般的障碍物，使我们能听到障碍物另一侧的声音。
一切波都能发生衍射。衍射是波特有的现象。
甲
乙
图3.3-4 波长不同的水波通过宽度一定的狭缝
丙
1. 蝙蝠是通过声波的反射来判断前方是否
有障碍物的。科学家在蝙蝠飞行的空间里横跨
了很多系有铜铃的绳索，蝙蝠黑暗中在此空间
飞行时不会碰撞这些绳索而导致铜铃发声。据
此，你认为蝙蝠发出的声波频率应该具有怎样
的特征？尽可能用数量级来描述你的估算。
2. 操场上的喇叭正在播放音乐，有高音也
有低音。走到离操场不远的教学大楼后面，听
到喇叭播放的音乐声有所减弱。是高音还是低
音减弱得明显一些？为什么？
练习与应用
图3.3-5
3. 如图3.3-5，挡板
M 是固定的，挡板N 可以
上下移动。现在把M、N
两块挡板中的空隙当作一
个“小孔”做水波的衍射
实验，出现了图示中的图
样，P 点的水没有振动起
来。为了使挡板左边的振
动传到P 点，可以采用什
么办法？ 
M
N
P
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第三章 机械波
69
波的干涉
4
在平静的水面上，下落的雨滴激起层
层涟漪，形成了复杂而美丽的图案。这种
图案是怎样产生的？
问题？
要研究上述问题，我们需要先了解一个现象——波的
叠加。
   波的叠加
在介质中常常有几列波同时传播。两列波相遇时，会
不会像两个小球相碰时那样，改变各自的运动特征呢？
观察波的叠加现象
演    示
图3.4-1   波的叠加
可以发现，两列波在彼此相遇并穿过后，波的形状和
相遇前一样，传播的情形也和相遇前一样（图3.4-1 戊）。
生活中常见的水波也是如此，两列水波相遇后彼此穿过，
仍然保持各自的运动特征，继续传播，就像没有跟另一列
水波相遇一样。
事实表明，几列波相遇时能够保持各自的运动特征，
继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这
几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时
   “保持各自的运动特征”
指的是各自的波长、频率
等保持不变，不因其他波
的存在而受影响。
⩞
΅̭ͅ
1
1
2
2
᜶
1
2
1
1
2
2
在一根水平长绳的两端分别向上抖动一下，
在绳上分别产生相向传播的两列波（图3.4-1甲）。
观察两列波的传播情况（图3.4-1）。
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70
高中物理选择性必修第一册
观察水波的干涉
水槽中，波源是固定在同一个振动片上的两根细杆，当振动片振动时，两根细杆周期
性地触动水面，形成两个波源。这两个波源发出的是频率相同的波。两列波的振动方向也
相同，水面质点的振动都沿上下方向。由于两根细杆是同步振动的，所以它们振动的相位
差保持不变（总是0）。
演    示
这两列波相遇后，在它们重叠的区域形成如图3.4-2所
示的图样：水面上出现了一条条相对平静的区域和激烈振
动的区域，这两类区域在水面上的位置是稳定不变的。
怎样解释上面观察到的现象呢？
如图3.4-3，用两组同心圆表示从波源发出的两列波，
蓝线圆表示波峰，黑线圆表示波谷。蓝线圆与黑线圆间的
距离等于半个波长，蓝线与蓝线、黑线与黑线之间的距离
等于一个波长。
图3.4-3 波的干涉的示意图
图3.4-2 水波的干涉图样
引起的位移的矢量和（图3.4-1 丙）。
   波的干涉
两列周期相同的波相遇时，在它们重叠的区域里会发
生什么现象？我们先观察，然后再作解释。
1
2
2
M
N
ᑦ
ᑝ
ᑝ
ᑦ
ᑦ
ᑦ
ᑦ
ᑝ
ᑝ
∎ሜ
∎䅣
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第三章 机械波
71
如果在某一时刻，一列波的波峰与另一列波的波峰在
水面上的某点（例如图中的M点）相遇，也就是说，两列
波在这里引起的振动的相位相同，那么经过半个周期，一
定是波谷与波谷在这里相遇。波峰与波峰相遇时，质点向
上的位移最大，等于两列波的振幅之和；波谷与波谷相遇
时，质点的位移尽管是向下的，但也是最大，也等于两列
波的振幅之和。又由于两列波在这点的相位差保持不变，
因此，在这一点，两列波引起的振动总是相互加强的，质
点的振幅最大。
如果在某一时刻，两列波的波峰与波谷在水面上的某
点（例如图中的N点）相遇，也就是说，两列波在这里引
起的振动的相位相反，相互削弱；经过半个周期，变成波
谷与波峰在这里相遇，两列波在这一点引起的振动仍然相
互削弱。又由于两列波在这点的相位差保持不变，所以它
们在这点引起的振动总是相互削弱的。如果两列波的振幅
相同，质点的位移之和就总等于0。
在图3.4-3中，蓝线圆与蓝线圆的交点或者黑线圆与黑
线圆的交点，是振动的加强区，它们连成的区域用红实线
画出；蓝线圆与黑线圆的交点为振动的减弱区，它们连成
的区域用红虚线画出。从图3.4-3中可以看出，情况与实验
结果是一致的。
在上面的实验中，两个波源的频率是相同的。如果两
列波的频率不同，在相互叠加时，波中相遇区域的各个质
点的振幅会随时间变化，不会出现振动总是加强与总是减
弱的区域。
同时，在上面的实验中，两个波源的相位差是保持不
变的。如果两波源的相位差随时间变化，波中相遇区域的
各个质点的相位差会随时间变化，同样不会出现振动总是
加强与总是减弱的区域。
另外，在上面的实验中，两列波在相遇区域各质点引
起的振动方向也应该总是相同的。否则也不会出现振动总
是加强与总是减弱的区域。
可见，频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列
波叠加时，某些区域的振动总是加强，某些区域的振动总
是减弱，这种现象叫作波的干涉（interference）。形成的这
种稳定图样叫作干涉图样。
不仅水波会发生干涉现象，声波、电磁波等一切波，
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72
高中物理选择性必修第一册
只要满足上述条件都能发生干涉。跟衍射一样，干涉也是
波特有的现象。
声音的干涉
安装两个相同的扬声器，并且使它们由同一个信号源带动，发出相同频率的声音。
同学们分成两组，手持不同颜色的标志（如A 组持白，B 组持黑），分散在两个扬声器之
间，注意听扬声器发出的声音，并且小范围地移动。A组同学移动到声音最大位置停住，
B组同学移动到声音最小（或听不到声音）位置停住。找到位置后都把标志举起，看看A 
组和B组同学所在位置的分布有什么规律。
做一做
主动降噪技术
STSE
噪声会影响我们的日常生活，人们通常在声源处、传播过程中以及人耳处采取措施，以控制
噪声。声音是一种波，通过波的干涉能够起到消音的作用。这一原理使我们可以主动出击，通过
发出与噪声振幅、频率相同，相位相反的声波来消灭噪声（图3.4-4）。
具有主动降噪功能的耳机就是根据这一原理制成的。简单来说，在耳机内设有麦克风，用来
收集周围环境中的噪声信号，在此基础上，耳机的处理器能够预测下一时刻噪声的情况，并产
生相应的抵消声波。为了保证降噪质量，耳机内还设有另一个麦克风来检测合成后的噪声是否变
小。这时，处理器会根据这个麦克风的测量结果，对处理过程不断优化，进一步降低合成后的噪
声音量，达到最佳的降噪效果，使人们更好地欣赏音乐或是进行通信等活动。
主动降噪技术使我们摆脱噪声的困扰，它不仅能够营造安静的生活氛围，而且能够在机场等
强噪声场景下保护人们的健康（图3.4-5）。
图3.4-4 消声原理
图3.4-5 佩戴耳机保护听力
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第三章 机械波
73
图3.4-8
3. 消除噪声污染是当前环境保护的一个重
要课题，内燃机、通风机等在排放各种高速气
流的过程中都会发出噪声，图3.4-7 所示的消
声器可以用来削弱高速气流产生的噪声。波长
为λ 的声波沿水平管道自左向右传播，在声波
到达a 处时，分成上下两束波，这两束声波在
b 处相遇时可削弱噪声。试说明该消声器的
工作原理及要达到良好的消声效果必须满足
的条件。
4. 波源S1 和S2 振动方向相同，频率均为 
4 Hz，分别置于均匀介质中的A、B 两点处，
AB ＝1.2 m，如图3.4-8 所示。两波源产生的
简谐横波沿直线AB 相向传播，波速为4 m/s。
已知两波源振动的初始相位相同，求A、B 间
合振动振幅最小的点的位置。
1. 图3.4-6 表示两列频率相同的横波相遇
时某一时刻的情况，实线表示波峰，虚线表示
波谷。
（1） 描述一个周期内M、N 两个质点的运
动情况。
（2） 用空心小圆圈把半个周期后图中具有
最大正位移的点标出来，用实心小圆点把半个
周期后图中具有最大负位移的点标出来。
（3） 把图中比较“平静”的地方用虚线标
出来。
2. 在图3.4-6 所描述的时刻， M 是波峰与
波峰相遇的点，是凸起最高的位置之一。
（1） 随着时间的推移，这个凸起最高的位
置在向哪个方向移动？是不是M 质点在向那个
方向迁移？M 质点在哪个方向上运动？
（2） 指出图中哪个位置是凹下最低的位置
（只需指出一个）。随着时间的推移，这个凹下
最低的位置在向哪个方向移动？
（3） 由图中时刻经过 T
4 时，M 质点的位移
有什么特点？
练习与应用
图3.4-6
图3.4-7
M
N
a
b
S1
A
B
S2
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74
高中物理选择性必修第一册
多普勒效应
5
仔细听急救车的鸣笛声，你会发现一
个现象：当车从你身边疾驰而过的时候，
鸣笛的音调会由高变低。这到底是怎么 
回事？
问题？
1842 年，奥地利物理学家多普勒带着女儿在铁道旁
散步时就注意到了类似上面描述的现象。他经过认真的研
究，发现波源与观察者相互靠近或者相互远离时，接收到
的波的频率都会发生变化。人们把这种现象叫作多普勒效
应（Doppler effect）。
   多普勒效应
蜂鸣器音调的变化
将一个以电池为电源的蜂鸣器固定在长竹竿的一端，
闭合开关后听一听它发出的声音。请一位同学用竹竿把蜂
鸣器举起并在头顶快速转动（图3.5-1），在几米之外听它
的声音有什么变化。
演    示
图3.5-1 蜂鸣器音调的变化
要了解多普勒效应，可以做如下的模拟实验。让一队
人沿路行走，观察者站在路旁不动，假设每分钟有30 个人
从他身边通过（图3.5-2 甲），这种情况下的“过人频率”
是30 人每分。如果观察者逆着队伍行走，每分钟与观察者
相遇的人数增加，也就是频率增加（图3.5-2 乙）；反之，
如果观察者顺着队伍行走，频率降低（图3.5-2 丙）。
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第三章 机械波
75
   观察者顺着队伍的方向
行走时，假设他的速度小
于队伍行进的速度。
   在这个模拟实验中，人
不表示介质中的质点，只
代表传播中的波峰或波
谷，于是“过人频率”就
代表波的频率。
图3.5-2   多普勒效应的模拟实验
甲
乙
丙
固定在振动片上的金属丝周期性触动水面可以形成
水波。当振动片在水面上移动时拍得一幅如图3.5-3 所
示的照片，显示出此时波的图样。由照片是否可知，振
动片正在向图中哪个方向移动？单位时间内是水波槽左
边接收完全波个数多还是右边接收完全波个数多？
思考与讨论
我们可以这样理解声波的多普勒效应：当波源与观察
者相对静止时，1 s 内通过观察者的波峰（或密部）的数目
是一定的，观测到的频率等于波源振动的频率；当波源与
观察者相互接近时，1 s 内通过观察者的波峰（或密部）的
数目增加，观测到的频率增加；反之，当波源与观察者相
互远离时，观测到的频率变小。
图3.5-3
   多普勒效应的应用
多普勒效应在科学技术中有广泛的应用。交通警察向
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76
高中物理选择性必修第一册
1. 为了理解多普勒效应，可以设想一个抛
球的游戏（图3.5-5）。设想甲每隔1 s 向乙抛一
乙
乙
甲
甲
抛球时两人站着不动
图3.5-5
抛球时乙向甲跑来
个球，如果甲、乙都站着不动，乙每隔1 s 接
到一个球。如果甲抛球时仍然站着不动，而乙
以一定速度向甲运动，这时乙接球的时间间隔
是否还是1 s ？如果乙靠向甲的速度增大，乙
接球的时间间隔是否会有变化？
2. 火车上有一个声源发出频率一定的乐音。
当火车静止、观察者也静止时，观察者听到并
记住了这个乐音的音调。以下哪种情况中，观察
者听到这个乐音的音调比原来低？请解释原因。
A. 观察者静止，火车向他驶来
B. 观察者静止，火车离他驶去
C. 火车静止，观察者乘汽车向着火车运动
D. 火车静止，观察者乘汽车远离火车运动
3. 在网络搜索引擎上键入“多普勒效应”
一词，查找多普勒效应的应用，并写出一篇介
绍文章，全班同学进行交流。
练习与应用
图3.5-4 水下多普勒测速仪
行进中的车辆发射频率已知的超声波，同时测量反射波的
频率，根据反射波频率变化的多少就能知道车辆的速度。
装有多普勒测速仪的监视器可以装在公路上方，在测速的
同时把车辆牌号拍摄下来，并把测得的速度自动打印在照 
片上。利用多普勒测速仪，还可以测量水在海底的流速，
为养殖场寻找适合贝类生长的场所（图3.5-4）。
医生向人体内发射频率已知的超声波，超声波被血管
中的血流反射后又被仪器接收。测出反射波的频率变化，
就能知道血流的速度。这种方法俗称“彩超”，可以检查心
脏、大脑和眼底血管的病变。
理论和实验都证明，光波或电磁波都有多普勒效应，
多普勒效应在科学技术中也有着广泛的应用。宇宙中的星
球都在不停地运动。测量星球上某些元素发出的光波的频
率，然后与地球上这些元素静止时发光的频率对照，就可
以算出星球靠近或远离我们的速度。
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第三章 机械波
77
4.一列简谐横波在t＝0时的波形图如图
3-4所示。介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方
向做简谐运动的表达式为y＝10sin（5πt）（y的
单位是cm）。 
（1）由图确定这列波的波长λ与振幅。
（2）求出这列波的波速。
（3）试判定这列波的传播方向。
5.某波源S发出一列简谐横波，波源S的
振动图像如图3-5所示。在波的传播方向上
有A、B两点，它们到S的距离分别为45 m和 
55 m。测得A、B两点开始振动的时间间隔为1.0 s。
（1）求这列波的波长λ。
（2） 当B点离开平衡位置的位移为6 cm时，
A点离开平衡位置的位移是多少？
1.向水面上扔一个石块，形成如图3-1所
示的波形，已知相邻实线间的距离等于一个波
长，不考虑水波的反射，试大致画出水波通过
图3-1甲的孔A和B以及遇到图3-1乙中障碍物
C和D之后的传播情况。
2.第一次测定声音在水中的传播速度是1827
年在日内瓦湖上进行的，现有两位同学模拟当
年情景（图3-2）：两条船相距14 km，一位同
学在一条船上敲响水里的一口钟，同时点燃船上
的火把使其发光；另一条船上的同学在看到火把
发光后10 s，通过水里的听音器听到了水下的钟
声。试根据这些数据计算水中的声速。
A 组
复习与提高
图3-1
图3-3
图3-4
图3-5
A
B
C
D
0.5
0
1.0
1.5
2.0
x/m
y
0
10
6
t/s
y/cm
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
1
0
10
2
3
4
5
6
P
10
x/m
y/cm
图3-2
3.图3-3的横波正在沿x轴的正方向传播，
波速为0.5 m/s，分别画出经过1 s和4 s时刻的
两个波形图。
甲
乙
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78
高中物理选择性必修第一册
1. 如图3-6 甲，两列沿相反方向传播的横
波，形状相当于正弦曲线的一半，上下对称，
其振幅和波长都相等。它们在相遇的某一时刻
会出现两列波“消失”的现象，如图乙。请判断：
从此时刻开始a、b 两质点将向哪个方向运动？
2. 振源A 从0 时刻开始带动细绳上各点上
下做简谐运动，振幅为0.2 m。0.4 s 时绳上形
成的波形如图3-7 所示。规定向上为质点振动
位移的正方向，试画出A 点的振动图像。
 
3. 图3-8 中的a 是一列正弦波在某时刻的
波形曲线，b 是0.2 s 后它的波形曲线。试求这
列波可能的传播速度。
4. 如图3-9，S 点是波源，振动频率为100 Hz，
产生的简谐波向右传播，波速为80 m/s。波在
传播过程中经过P、Q 两点，已知SP 为4.2 m，
SQ 为5.4 m。
（1）在某一时刻t，当S 点通过平衡位置向
上运动时，P 点和Q 点是处于波峰还是处于波
谷，或者处于其他位置？
（2）取时刻t 为时间的起点，分别作出S、P、
Q 三点的振动图像。
5. 在学校运动场上50 m 直跑道的两端，分
别安装了由同一信号发生器带动的两个相同的
扬声器。两个扬声器连续发出波长为5 m 的声
波。一同学从该跑道的中点出发，向某一端点
缓慢行进10 m。求在此过程中他听到扬声器声
音由强变弱的次数？
6. 如图3-10，一列简谐横波在x 轴上传播，
图甲和图乙分别为x 轴上a、b 两质点的振动图
像，且xab 为6 m。试求出这列波的波长与波速？
 　 
7. 两列简谐横波分别沿x轴正方向和
负方向传播，两波源分别位于x＝－0.2 m和 
x＝1. 2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波
源的振幅均为2 cm。图3-11为0时刻两列
波的图像，此刻平衡位置在x＝0.2 m和 
x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M
的平衡位置处于x＝0.5 m处。
（1）求两列波相遇的时刻。
（2）求1.5 s后质点M运动的路程。
B 组
图3-6
图3-7
图3-8
图3-9
图3-10
甲
乙
甲
乙
图3-11
a
b
A
1
0
2
3
4
5
6
b
a
1
2
3
4
5
x/m
y
S
P
Q
t/s
y
1
2
3
4
5
t/s
y
1
0
0
2
3
4
5
P
0
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
0.2
x/m
y
M
Q
v
v
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第三章 机械波
79
第四章
光
4
光给世界带来光明，使我们能看清周围的景
物，进行各种活动；光从太阳、星球射到我们这里，
给我们带来了宇宙空间的信息，使我们能够认识宇
宙；光从原子、分子内部发射出来，使我们认识了
微观世界的奥秘。光学既是物理学中一门古老的学
科，又是现代科学领域中最活跃的前沿科学之一，
具有强大的生命力和不可估量的发展前景。
按照不同的研究目的，光学可以粗略地分为
两大分支：一支利用几何学的概念和方法研究光
的传播规律，称为几何光学；另一支主要研究光
的本性以及光与物质相互作用的规律，通常称为
物理光学。
在本章中，我们将学习几何光学和物理光学
的初步知识。
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80
高中物理选择性必修第一册
光的折射
1
固执于光的旧有理论的人们，最好是
从它自身的原理出发，提出实验的说明。
并且，如果他的这种努力失败的话，他应
该承认这些事实。
——托马斯·杨
①
射水鱼在水中能准确射中水面上不远
处的小昆虫。水中的鱼看到小昆虫在什么
位置？是在昆虫的上方还是下方？
问题？
阳光照射水面时，我们能够看到水中的鱼和草，同时
也能看到太阳的倒影，这说明：光从空气射到水面时，一
部分光射进水中， 另一部分光返回到空气中。一般说来，
光从第 1 种介质射到该介质与第 2 种介质的分界面时，一
部分光会返回到第1种介质，这个现象叫作光的反射；另
一部分光会进入第2种介质，这个现象叫作光的折射（图
4.1-1）。
光在反射时遵从反射定律，光在折射时遵从什么规 
律呢？
   折射定律
如图4.1-2，让一束光由一种介质斜着射向另一种介
质，例如，从空气射向水中，入射光线与法线的夹角θ1称
为入射角，折射光线与法线的夹角θ2称为折射角。光在折
射时，折射角与入射角之间会有什么定量的关系？
_______________________
① 托马斯· 杨（Thomas Young, 1773 — 1829），英国物理学家、考古学家、医生，
光的波动说的奠基人之一。
图4.1-2 光的折射
图4.1-1 光的反射和折射同时发生
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A
B
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第四章 光
81
_______________________
① 在国内外各种参考书中，这个比例常数的符号有的用n12 表示，有的用n21 表示，
还有的用1n2  表示。国家标准没有关于这个符号的规定，阅读时要通过上下文明
确符号的意义。本书采用第一种符号。
我们可以通过做类似图4.1-2 所示的实验，测量多个
入射角和折射角，找出这些数据之间的关系。1621 年，荷
兰数学家斯涅耳在分析了大量实验数据后，找到了两者之
间的关系，并把它总结为光的折射定律（refraction law）：
折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与
入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的
正弦成正比，即
                            
sin θ1 
sin θ2 
＝n12
（1）
                 
式中n12 是比例常数，它与入射角、折射角的大小无关，只
与两种介质的性质有关。
① 我们在初中学过的透镜就是根据
光的折射原理制成的。
事实表明，当光从水中斜射入空气时也会发生偏折，
而且当光线沿图4.1-2 中BO 的方向进入空气时，折射光
线必沿OA 的方向射出。也就是说，与光的反射现象一样，
在光的折射现象中，光路也是可逆的。
   折射率 
下面我们讨论光从真空射入介质的情形。这时，（1）
式中的常数n12 可以简单地记为n。
对于不同的介质来说，常数n 是不同的。例如，光从
真空射入水中时，n ＝ 1.33 ；光从真空射入某种玻璃时， 
n ＝ 1.50。可见常数n 与介质有关系，是一个反映介质的
光学性质的物理量。常数n 越大，光线以相同入射角从真
空斜射入这种介质时偏折的角度越大。
光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与
折射角的正弦之比，叫作这种介质的绝对折射率，简称折
射率（refractive index），用符号n 表示。真空的折射率为1，
空气的折射率近似为1。
研究表明，光在不同介质中的传播速度不同；某种介
质的折射率，等于光在真空中的传播速度c 与光在这种介
质中的传播速度v 之比，即
   在实际应用中，遇到最
多的情形是光从空气射入
某种介质，或从某种介质
射入空气，而空气对光的
传播的影响很小，可以作
为真空处理。
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82
高中物理选择性必修第一册
c
v
n ＝
由于光在真空中的传播速度 c 大于光在任何其他介质
中的传播速度v，因而任何介质的折射率 n 都大于1。所以，
光从真空射入任何介质时，sin θ1 都大于sin θ2，即入射角
总是大于折射角。下表列出了几种介质的折射率。 
表 几种介质的折射率（λ ＝589.3 nm    t ＝20 ℃）
介质
折射率
介质
折射率
金刚石
2.42
氯化钠
1.54
二硫化碳
1.63
酒精
1.36
玻璃
1.5
1.8
水
1.33
水晶
1.55
空气
1.000 28
测量玻璃的折射率
实    验
图4.1-3   测量玻璃的折射率
这样大头针A、B 就确定了射入玻璃砖的光线。
在眼睛这一侧再插第三个大头针C，使它把 A、B 都挡住，插第四个大头针D，使它
把前三个大头针都挡住，那么，后两个大头针就确定了从玻璃砖射出的光线。   
在白纸上描出光线的径迹，测量相应的角度，计算玻璃的折射率n。
实验中，应该采取哪些措施以减小误差？
如图4.1-3，当光以一定的入射角透过一块两面平行的
玻璃砖时，只要找出与入射光线 AO相对应的出射光线O′D，
就能够画出光从空气射入玻璃后的折射光线OO′，于是就
能测量入射角θ1、折射角θ2。 根据折射定律，就可以求出
玻璃的折射率了。
怎样确定与入射光线AO 相对应的折射光线OO′？
在木板上面铺一张白纸，把玻璃砖放在纸上，描出玻
璃砖的两个边 a 和 a′。然后，在玻璃砖的一侧插两个大头
针 A、B，AB 的延长线与直线a 的交点就是O。眼睛在另
一侧透过玻璃砖看两个大头针，使 B 把 A 挡住（图4.1-3），
折射率是衡量材料光学性能的重要指标。根据折射定
律，可以测量材料的折射率。
A
1
2
N
O
B
a
C
D
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O
'
N
'
a
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第四章 光
83
如图4.1-4 ，一个储油桶的底面直径与高均为d。当桶内没有油时，从某点A 
恰能看到桶底边缘的某点B。当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿AB 方向看
去，恰好看到桶底上的点C，C、B两点相距 d
4 。求油的折射率和光在油中传播的 
速度。
【例题】
图4.1-4 计算油的折射率和油中的光速
甲 没有油时刚好看到B 点
乙 有油时沿同一方向看去可以看到C 点
分析   在图乙中过直线AB 与油面的交点O 作油面的垂线，交桶底于N′点。根据
题意可知，来自C 点的光线沿CO 到达油面后沿OA 方向射入空气。折射现象中光路
是可逆的，因此如果光线沿AO 方向由空气射到油面，折射光线将沿OC 进入油中。以 
∠AON 作为入射角，以∠CON′作为折射角，由折射定律可以求出油的折射率n。
解   因为底面直径与桶高相等，所以
∠AON ＝∠BON′＝ 45º
由ON′＝2CN′可知
 
sin ∠CON′＝
＝
√ CN′
2 ＋ON′
2
CN′
√ 5
1
因此，油的折射率
 
n ＝
＝
＝
＝1.58
sin ∠CON′
√ 5
1
2
√ 2
sin ∠AON
2
5
因为 
c
v
n ＝
 ，所以光在油中的传播速度
c
3.0×10
8
n
1.58
v ＝
＝
m/s ＝1.9×10
8 m/s
A
d
C
B
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C
B
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84
高中物理选择性必修第一册
1. 图4.1-5 是光线由空气射入半圆形玻璃
砖，再由玻璃砖射入空气中的光路图。O 点是
半圆形玻璃砖的圆心，指出哪些情况是可能发
生的，哪些情况是不可能发生的。
2. 光以60° 入射角从空气射入折射率
n ＝√ 3 的玻璃中，折射角是多大？画出光路图。
3. 图4.1-6 是光由空气射入某种介质时的
O
O
O
O
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为1.52 的玻璃，厚度与坦克的壁厚相同（图
4.1-7，俯视图）。坦克内的人通过这块玻璃能
看到的外界角度范围为多大 ？
5. 关于图4.1-3 测定玻璃折射率的实验，
回答以下问题。 
（1）证明图中的入射光线与射出玻璃砖的
光线是平行的。 
（2）射出玻璃砖的光线相对入射光线来说
产生了侧移。证明：入射角越大，侧移越大。
6. 将一根筷子竖直插入装有水的玻璃杯中，
从水平方向拍摄的照片如图4.1-8 所示。看上
去，浸在水中的这段筷子产生了侧移，而且变
粗了。如何解释观察到的现象？
图4.1-5
图4.1-8
图4.1-6
练习与应用
图4.1-7
12 cm
ಒٷโ䘔
20 cm
ಒٷڱ䘔
N
'
55º
50º
N
折射情况，试由图中所给出的数据求出这种介
质的折射率和这种介质中的光速。
4. 为了从坦克内部观察外部的目标，在坦
克壁上开了一个孔。假定坦克壁厚20 cm，孔
的左右两边距离12 cm，孔内安装一块折射率
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第四章 光
85
全反射
2
水中的气泡看上去特别明亮，这是为
什么呢？
问题？
   全反射
对于折射率不同的两种介质，我们把折射率较小的称
为光疏介质（optically thinner medium），折射率较大的称为
光密介质（optically denser medium）。光疏介质与光密介质
是相对的，例如水、水晶和金刚石三种物质相比较，水晶
对水来说是光密介质，对金刚石来说则是光疏介质。根据
折射定律，光由光疏介质射入光密介质（例如由空气射入水）
时，折射角小于入射角；光由光密介质射入光疏介质（例
如由水射入空气）时，折射角大于入射角。
光由光密介质进入光疏介质时，如果入射角不断增大，
使折射角增大到90º 时，会出现什么现象？
如图4.2-1，让光沿着半圆形玻璃砖的半径射到它的平直的边上，在这个边与空气的
界面上会发生反射和折射。逐渐增大入射角，观察反射光线和折射光线的变化。
演    示
观察全反射现象
图4.2-1   观察全反射现象
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86
高中物理选择性必修第一册
由于不同介质的折射率不同，在光从介质射入空气
（真空）时，发生全反射的临界角是不一样的。怎样计
算光从折射率为 n 的某种介质射入空气（真空）发生全
反射时的临界角C ？
计算时可以先考虑图4.2-2 的情形：光以接近 90°的
入射角从空气射入介质，求出这时的折射角。根据光路
可逆的道理，也就知道光从介质射入空气时发生全反射
的临界角了。
思考与讨论
光从介质射入空气（真空）时，发生全反射的临界角
C 与介质的折射率n 的关系是
sin C ＝   n
1
从这个关系式可以看出，介质的折射率越大，发生全
反射的临界角越小。水的临界角为48.8°，各种玻璃的临界
角为32°
42°，金刚石的临界角为24.4°。
科研和技术中常常通过测量临界角来测定材料的折 
射率。
全反射是自然界中常见的现象。例如，水中或玻璃中
的气泡，看起来特别明亮，就是因为光从水或玻璃射向气
泡时，一部分光在界面上发生了全反射的缘故。
当光从光密介质射入光疏介质时，同时发生折射和反
射。如果入射角逐渐增大，折射光离法线会越来越远，而
且越来越弱，反射光却越来越强。当入射角增大到某一角
度，使折射角达到90°时，折射光完全消失，只剩下反射
光，这种现象叫作全反射（total reflection），这时的入射
角叫作临界角（critical angle）。
当光从光密介质射入光疏介质时，如果入射角等于或
大于临界角，就会发生全反射现象。
图4.2-2
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A
B
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第四章 光
87
在潜水员看来，岸上的所有景物都出现在一个倒立的圆锥里，为什么？这个圆锥
的顶角是多大？
分析   如图4.2-3，岸上所有景物发出的光，射向水面时入射角θ1 分布在0°到 
90°之间，射入水中后的折射角θ2 都在0°至临界角C 之间。
【例题】
图4.2-3   潜水员认为水面以上
所有景物都出现在一个倒立的
圆锥里
解    几乎贴着水面射入水里的光线，在潜水员看来是从折射角为C 的方向射来的，
水面上其他方向射来的光线，折射角都小于C。因此他认为水面以上所有的景物都出
现在顶角为2C 的圆锥里。
由公式 sin C ＝   n
1 和水的折射率n ＝ 1.33，可求得临界角 
   全反射棱镜  
如图4.2-4，玻璃棱镜的截面为等腰直角三角形，当光
从图中所示的方向射入玻璃时，由于光的方向与玻璃面垂
直，光线不发生偏折。但在玻璃内部，光射向玻璃与空气
的界面时，入射角大于临界角，发生全反射。与平面镜相比，
它的反射率高，几乎可达100%。这种棱镜在光学仪器中可
用来改变光的方向，应用十分广泛，例如图4.2-5 所示的
双筒望远镜中的全反射棱镜等。
 
                  
图4.2-4   全反射棱镜
图4.2-5   双筒望远镜中的全反射
棱镜
C ＝ arcsin    
＝48.8° 
1.33
1
设圆锥的顶角为α，则有
α ＝ 2C ＝ 97.6°
即圆锥的顶角为97.6°。
θ1
θ2 顶角
倒立的圆锥
全反射棱镜
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88
高中物理选择性必修第一册
当光在有机玻璃棒内传播时，如果从有机玻璃射向
空气的入射角大于临界角，光会发生全反射，于是光在
有机玻璃棒内沿着锯齿形路线传播。这就是光导纤维导
光的原理。
①
实用光导纤维的直径只有几微米到一百微米。因为很
细，一定程度上可以弯折。它由内芯和外套两层组成，内
芯的折射率比外套的大，光传播时在内芯与外套的界面上
发生全反射（图4.2-7）。
如果把光导纤维聚集成束，使纤维在两端排列的相对
位置一样，图像就可以从一端传到另一端（图4.2-8）。 医
学上用这种光纤制成内窥镜
②（图4.2-9），用来检查人体胃、
肠、气管等脏器的内部。
 实际的内窥镜装有两组光纤，一
组把光传送到人体内部进行照明，另一组把体内的图像传
出供医生观察。
光也可以像无线电波那样，作为载体来传递信息。载
有声音、图像以及各种数字信号的激光从光纤的一端输入，
就可以传到千里以外的另一端，实现光纤通信。
_______________________
① 本书用全反射的知识解释了光在有机玻璃棒中的传播，并且由此粗浅地说明
了光纤导光的原理。实际上两者并不完全一样。
② 这里介绍的是纤维式内窥镜。现在医院用的大多是电子式内窥镜：把微型摄
像头送入人体，图像信号经过电缆传出，用计算机屏幕显示。电子式内窥镜的探
头体积小、分辨率高，可供多人观察，所得图像能以电子文件的形式存储。
图4.2-7
图4.2-6
图4.2-8
图4.2-9 内窥镜
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观察光在弯曲的有机玻璃棒中传播的路径
如图4.2-6，激光笔发出的光射入一根弯曲的有机玻璃
棒的一端，观察光传播的路径有什么特点。
演    示
   光导纤维
1966 年，33 岁的华裔科学家高锟提出：光通过直
径仅几微米的玻璃纤维就可以用来传输大量信息。高锟
因此获得2009 年诺贝尔物理学奖。根据这一理论制造
的光导纤维（optical fiber）已经普遍应用到通信领域。
这其中就用到了全反射原理。
高锟（1933-2018）
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第四章 光
89
光纤通信有传输容量大的特点。例如，一路光纤的传
输能力的理论值为二十亿路电话，一千万路电视。此外，
光纤传输还有衰减小、抗干扰性及保密性强等多方面的 
优点。
尽管光纤通信的发展历史较短，但是发展速度惊人。
我国的光纤通信起步较早，现已成为技术先进的几个国家
之一，目前已经建立了纵横城市之间的光缆通信网络，而
且与邻国建立了海底光缆。随着技术的发展，光纤宽带也
越来越普及，已有许多企业、家庭实现了光纤入户。光缆
线路已经与通信卫星、微波接力站、普通电缆相结合，构
成了现代国家的“神经系统”。
水流导光
将塑料瓶下侧开一个小孔，瓶中灌入清水，水就从小孔
流出。用激光水平射向塑料瓶小孔（图4.2-10，激光可由激
光笔产生），观察光的传播路径。
做一做
图4.2-10 水流导光
图4.2-11
图4.2-12
A
B
C
D
璃丝）的示意图，玻璃丝长为l，折射率为 
n（
√ 2
n <
），AB 代表端面。为使光能从玻璃丝
的AB 端面传播到另一端面，求光在端面AB 上
的入射角应满足的条件。
1. 光由折射率为1.5 的玻璃和2.42 的金刚
石进入空气时的临界角各是多大？
2. 光从折射率为√ 2 的介质中以40° 的入射
角射到介质与空气的界面上时，能发生全反射吗？
3. 图4.2-11 是一个用折射率n ＝2.4 的透
明介质做成的四棱柱的横截面图，其中∠A ＝
∠C ＝90°，∠B ＝60°，现有一束光从图示的
位置垂直入射到棱镜的AB 面上，画出光路图，
确定射出光线。注意：每个面的反射光线和折
射光线都不能忽略。
4. 图4.2-12 为光导纤维（可简化为长玻
练习与应用
A
B
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90
高中物理选择性必修第一册
光的干涉
3
肥皂膜看起来常常是彩色的，雨后公
路积水上面漂浮的油膜，也经常显现出彩
色条纹。
这些彩色条纹或图样是怎样形成的？ 
问题
我们知道：如果两列机械波的频率相同、相位差恒定、
振动方向相同，就会发生干涉。光是一种电磁波，那么光
也应该会发生干涉现象。怎样才能观察到光的干涉现象呢？
   光的双缝干涉
在暗室中用氦氖激光器发出的红色激光照射金属挡板上的两条平行的狭缝（图4.3-1
甲），在后面的屏上观察光的干涉情况（图4.3-1 乙）。
演    示
光的双缝干涉
图4.3-1 用氦氖激光器做双缝干涉实验
甲 实验装置（屏在挡板右侧，没有画出）
反射镜
金属
挡板
激光源
乙 屏的照片
？
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第四章 光
91
图4.3-2   双缝干涉的示意图
图4.3-3 双缝干涉的原理图
如何解释这个现象呢？如图4.3-2，让一束单色光投射
到一个有两条狭缝S1 和S2 的挡板上，狭缝S1 和S2 相距很
近。狭缝就成了两个波源，它们的频率、相位和振动方向
总是相同的。这两个波源发出的光在挡板后面的空间互相
叠加，发生干涉现象：来自两个光源的光在一些位置相互
加强，在另一些位置相互削弱，因此在挡板后面的屏上得
到明暗相间的条纹。
具体地说，如图4.3-3，狭缝S1 和S2 相当于两个频率、
相位和振动方向都相同的波源，它们到屏上P0 点的距离相
同。 由于S1和 S2发出的两列波到达P0 点的路程一样，所以
这两列波的波峰或波谷同时到达P0 点，也就是相位仍然相
同。在这点，两列波叠加后相互加强，因此这里出现亮条纹。
再考察P0 点上方的另外一点P1 ，它距S2 比距S1远一
些，两列波到达P1 点的路程不相同，两列波的波峰或波谷
不一定同时到达P1。如果路程差正好是半个波长2
1 λ，那
么，当一列波的波峰到达P1时，另一列波正好在这里出现
波谷。这时两列波叠加的结果是互相抵消，于是这里出现
暗条纹。
对于更远一些的P2点 ，来自两个狭缝的光波的路程差
更大。如果路程差正好等于波长λ，那么，两列光波的波峰
或波谷会同时到达这点，它们相互加强，这里也出现亮条
纹。距离屏的中心越远，路程差越大。每当路程差等于λ，
2λ，3λ，… 时，也就是每当路程差等于 2
2 λ，2
4 λ，2
6 λ，… 
时，两列光波得到加强，屏上出现亮条纹；每当路程差等
于2
1 λ，2
3 λ，2
5 λ，… 时， 两列光波相互削弱，屏上出现暗
条纹。
综合以上分析，可以说，当两个光源与屏上某点的距
离之差等于半波长的偶数倍时（即恰好等于波长的整数倍
时），两列光波在这点相互加强，这里出现亮条纹；当两
个光源与屏上某点的距离之差等于半波长的奇数倍时，两
列光波在这点相互削弱，这里出现暗条纹。
光的干涉实验最早是英国物理学家托马斯·杨在1801
年成功完成的。托马斯·杨的时代没有激光。他用日光照
亮一条狭缝，通过这条狭缝的光再通过双缝，发生干涉。
这就是历史上著名的杨氏双缝干涉实验，它有力地证明了
光是一种波。
   “两个光源与屏上某点
的距离之差等于半波长的
偶数倍”，包括了“距离
之差为0”这种情况。这
时在P0 点出现亮条纹。
S1
S2
P1
P2
P0
ᅻ
ᡍᲫ
ࢁ㞞ٵ
S1
S2
屏
双缝
单色光
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92
高中物理选择性必修第一册
   干涉条纹和光的波长之间的关系
光的双缝干涉条纹特征，如条纹间距、宽度等，能反映出光的波长、频率等信息吗？
不同颜色的单色光产生的干涉条纹会有什么不同？请你作出猜想，并在下节的实验
中验证。
思考与讨论
思考与讨论
如图4.3-4，波长为λ 的单色光照射到双缝上。两缝中
心之间的距离为 d ，两缝S1、S2 的连线的中垂线与屏的交
点为P0，双缝到屏的距离OP0 ＝ l。
我们考察屏上与P0  的距离为x 的一点P1 ，两缝与P1 
的距离分别为P1 S1 ＝r1、P1S2 ＝ r2。
在线段P1S2上作P1M＝P1 S1，于是，S2M ＝r2 －r1。由
于两缝之间的距离d远远小于缝到屏的距离l，所以，能够
认为ΔS1S2M是直角三角形。根据三角函数的关系有
r2 － r1 ＝ dsin θ
图4.3-4 
导出相邻亮条纹距离的
表达式
另一方面
x ＝ ltan θ ≈ lsin θ
消去sin θ，有
r2 － r1 ＝ d l
x
根据上一节的分析，当两列波的路程差为波长的整数
倍，即 d      ＝n λ     （n ＝ 0，±1，±2 …）
l
x
时出现亮条纹，
也就是说，亮条纹中心的位置为
x ＝n      λ
d
l
相邻两个亮条纹或暗条纹的中心间距是
                          
∆ x ＝     λ
d
l
（1）
根据这个关系式可以测出波长。
单色光
P0
P1
r1
r2
S1
S2
ᡍᲫ
ᅻ
x
l
M
O
d
θ
   当角θ 很小时，用弧度
表示的θ 与它的正弦sin θ、
正切tan θ，三者近似相等。
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第四章 光
93
根据（1）式可知，条纹之间的距离与光波的波长成正比，
因此能够断定，不同颜色的光，波长不同。实验中确实发
现，各种颜色的单色光都会发生干涉，但条纹之间的距离
不一样。用黄光做这个实验，条纹之间的距离比用红光时小；
用蓝光时更小。
   薄膜干涉
灯焰的像和“问题”中提到的现象，都是液膜前后两
个面反射的光共同形成的。来自两个面的反射光相互叠加，
发生干涉，也称薄膜干涉。如图4.3-6，通常而言，不同位
置的液膜，厚度不同，因此在膜上不同的位置，来自前后
两个面的反射光（即图中的实线和虚线波形代表的两列光）
的路程差不同。在某些位置，这两列波叠加后相互加强，
出现了亮条纹；在另一些位置，叠加后相互削弱，出现了
暗条纹。
如果用另一种颜色的光做这个实验，由于光的波长不
同，导致从肥皂膜的前后两面反射的光将在别的位置相互
加强，所以，从肥皂膜上看到的亮条纹的位置也会不同。
薄膜上不同颜色的光的条纹的明暗位置不同，相互交错，
所以，看上去会有彩色条纹。
薄膜干涉在技术上有很多应用。例如，可以在光学元
件的表面镀一层特定厚度的薄膜，增加光的透射或者反射，
还可以利用薄膜干涉的原理对镜面或其他精密的光学平面
的平滑度进行检测。
图4.3-6   薄膜前后两个面的反射光
图4.3-5 灯焰在肥皂膜上所成
的像
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ᯄ
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用肥皂膜做薄膜干涉实验
在酒精灯的灯芯上撒一些食盐，灯焰就能发出明亮的黄
光。把铁丝圈在肥皂水中蘸一下，让它挂上一层薄薄的液膜。
把这层液膜当作一个平面镜，用它观察灯焰的像（图4.3-5）。
这个像与直接看到的灯焰有什么不同？
做一做
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94
高中物理选择性必修第一册
1. 光的干涉现象对认识光的本性有什么意义？
2. 两列光干涉时，光屏上的亮条纹和暗条
纹到两个光源的距离与波长有什么关系？ 
声的干涉也遵循类似的规律。设想在空旷
的地方相隔一定位置的两个振动完全一样的声
源，发出的声波波长是0.6 m，观察者A 离两
声源的距离分别是4.5 m 和5.4 m，观察者B 离
两声源的距离分别是4.3 m 和5.5 m。这两个观
察者听到声音的大小有什么区别？
3. 在双缝干涉实验中，光屏上某点P 到双
缝S1 和S2 的路程差为7.5×10
-7 m，如果用频
率6.0×10
14 Hz 的黄光照射双缝，试通过计算
分析P 点出现的是亮条纹还是暗条纹。
4. 劈尖干涉是一种薄膜干涉，如图4.3-7
所示。将一块平板玻璃放置在另一平板玻璃之
练习与应用
上，在一端夹入两张纸片，从而在两玻璃表面
之间形成一个劈形空气薄膜，当光从上方入射
后，从上往下看到的干涉条纹有如下特点：
（1）任意一条明条纹或暗条纹所在位置下
面的薄膜厚度相等；
（2）任意相邻明条纹或暗条纹所对应的薄
膜厚度差恒定。
现若在如图所示装置中抽去一张纸片，则
当光入射到劈形空气薄膜后，从上往下可以观
察到干涉条纹发生了怎样的变化？
图4.3-7
光的本性
光到底是什么？这个问题早就引起了人们的注意，不过在很长的时期内人们对它的认识却进
展得很慢。
到17 世纪时，科学界已经形成了两种学说。一种是光的微粒说，认为光是从光源发出的一
种物质微粒，在均匀的介质中以一定的速度传播，牛顿支持微粒说。另一种是光的波动说，是惠
更斯首先提出的，认为光是在空间传播的某种波。 微粒说和波动说都能解释一些光现象，但又不
能解释当时观察到的全部光现象。
到了19 世纪初，人们在实验中观察到了光的干涉和衍射现象，这是波动的特征，不能用微
粒说解释，因而证明了波动说的正确性。19 世纪60 年代，麦克斯韦预言了电磁波的存在，并认
为光也是一种电磁波。此后，赫兹在实验中证实了这种假说，至此，光的波动理论取得了巨大的
成功。
但是，19 世纪末又发现了新的现象——光电效应，这种现象用波动说无法解释。爱因斯坦于
20 世纪初提出了光子说，认为光具有粒子性，从而解释了光电效应。不过，这里说的光子已经不
同于过去说的“微粒”了。
现在人们认识到，光既具有波动性，又具有粒子性。
科学漫步
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第四章 光
95
前面我们通过理论推导，得到了双缝干涉实验中干涉
条纹的间距和光的波长之间的关系，即∆ x ＝       λ
d
l
 。本节
我们利用该结果，通过双缝干涉实验测量光的波长。
  实验思路
图4.4-1 为双缝干涉实验装置示意图。
光源发出的光经滤光片（装在单缝前）成为单色光，
把单缝照亮。单缝相当于一个线光源，它又把双缝照亮。
来自双缝的光在双缝右边的空间发生干涉。遮光筒的一端
装有毛玻璃屏，我们可以在这个屏上观察到干涉条纹，并
由 λ ＝      ∆ x
l
d
 计算出光的波长。透镜的作用是使射向单缝
的光更集中。
  物理量的测量
根据 λ ＝      ∆ x
l
d
可知，本实验需要测量的物理量是双
缝到屏的距离l 和相邻两条亮条纹间的距离∆ x（双缝间的
距离d 已知）。具体操作如下。
l 的测量   双缝到屏的距离l 可以用刻度尺测出。
∆ x 的测量   相邻两条亮条纹间的距离∆ x 需用测量头测
出。测量头通常有两种（图4.4-2），但都由分划板、目镜、
手轮等构成。转动手轮，分划板会左右移动。测量时，应
实验：用双缝干涉测量光的波长
4
图4.4-2   测量头
甲
乙
图4.4-1   双缝干涉的实验装置
光源
透镜
双缝
遮光筒
目镜
毛玻璃
单缝
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
25
30
35
40
20
0
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96
高中物理选择性必修第一册
使分划板的中心刻线与条纹的中心对齐（图4.4-3），记下
此时手轮上的读数。然后转动测量头，使分划板中心刻线
与另一条纹的中心对齐，再次记下手轮上的读数。两次读
数之差表示这两个条纹间的距离 ∆x。
为了减小测量误差，可测多个亮条纹间的距离，再求
出相邻两个条纹间的距离。例如，可测出n 个亮条纹间的
距离a，再求出相邻两个亮条纹间的距离 ∆x ＝ n －1
a
。
  
  进行实验
如图4.4-1，实验前先取下双缝，打开光源，调节光源
的高度和角度，使它发出的光束沿着遮光筒的轴线把屏照
亮。然后放好单缝和双缝。注意使单缝与双缝相互平行，
尽量使缝的中点位于遮光筒的轴线上。
做好以上调整后，在单缝与光源之间放上滤光片就可
以观察到单色光的双缝干涉图样（图4.4-4）。
测量双缝到屏的距离l  和相邻两条亮条纹间的距离
∆x。
分别改变滤光片的颜色和双缝的距离，观察干涉条纹
的变化，并求出相应的波长。
  数据分析
设计表格记录实验数据。d 是已知的，l 和n 个亮条纹
间的距离a 是直接测量值。
由∆x ＝ n －1
a
 可以求出相邻两个亮条纹间的距离
Δx。最后，根据 λ ＝      ∆x
l
d
算出波长。
图4.4-4   不同双缝、不同色光
的双缝干涉条纹
蓝光 双缝间距0.36 mm
红光 双缝间距0.36 mm
红光 双缝间距0.18 mm
用光传感器可以更方便地演示双缝干涉现象。
图4.4-5 是实验装置图（实验在暗室中进行）。光源在铁架台的最上端，中间是刻有双缝的
挡板，下面是光传感器。这个实验的光路是自上而下的。
用光传感器做双缝干涉的实验
拓展学习
图4.4-3   分划板中心刻线
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第四章 光
97
图4.4-5 
用传感器和计算机观察双缝干涉的实验 
装置
1. 用如图4.4-1 所示的实验装置观察双缝
干涉图样，双缝之间的距离是0.2 mm，用的是
绿色滤光片，从目镜中可以看到绿色干涉条纹。
（1）如果把毛玻璃屏向远离双缝的方向移
动，相邻两亮条纹中心的距离如何变化？
（2）把绿色滤色片换成红色，相邻两个亮
条纹中心的距离增大了。这说明哪种色光的波
长较长？
（3）如果改用间距为0.3 mm 的双缝，相邻
两个亮条纹中心的距离会有什么变化？
2. 在用双缝干涉测量光的波长的实验中，
为什么不直接测∆ x，而要通过测n 个条纹的间
距求出∆ x ？
3. 某同学在用双缝干涉测量光的波长的实
验中，已知两缝间的间距为0.3 mm，以某种
练习与应用
单色光照射双缝时，在离双缝1.2 m 远的屏上，
用测量头测量条纹间的宽度：先将测量头的分
划板中心刻线与某亮纹中心对齐，将该亮纹定
为第1 条亮纹，此时手轮上的示数如图4.4-6
甲所示；然后同方向转动测量头，使分划板中
心刻线与第6 条亮纹中心对齐，此时手轮上的
示数如图4.4-6 乙所示。根据以上实验，测得
的这种光的波长是多少？
图中带有白色狭长矩形的小盒是光传感器，
沿矩形的长边分布着许多光敏单元。传感器各
个光敏单元得到的光照信息经计算机处理后，
在显示器上显示出来。
根据显示器上干涉图像的条纹间距，可以
算出光的波长。
与图4.4-4 的方法相比，这种方法除了同
样可以测量条纹间距外，它还可以方便、形象
地展示亮条纹的分布，并能测出传感器上各点
的光照强度。  
图4.4-6
甲
乙
1 0
45
40
35
30
0
40
35
30
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98
高中物理选择性必修第一册
光的衍射
5
我们知道，波能够绕过障碍物发生衍
射。例如，声音能够绕过障碍物传播。
既然光也是一种波，为什么在日常生
活中我们观察不到光的衍射，而且常常说
“光沿直线传播”呢？
问题？
   光的衍射
在挡板上安装一个宽度可调的狭缝，缝后放一个光
屏。用单色平行光照射狭缝，我们看到，当缝比较宽时，
光沿着直线通过狭缝，在屏上产生一条与缝宽相当的亮条
纹。但是，当缝调到很窄时，尽管亮条纹的亮度有所降低，
但是宽度反而增大了，而且还出现了明暗相间的条纹（图
4.5-1）。
这表明，光没有沿直线传播，它绕过了缝的边缘，传
播到了相当宽的地方。这就是光的衍射现象。图4.5-2是
在一次实验中拍摄的屏上亮条纹的照片，上图的狭缝较窄，
衍射后在屏上产生的中央亮条纹较宽。
      
图4.5-1   单缝衍射示意图  
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图4.5-2   单缝衍射产生的图样
红光 单缝宽0.4 mm
红光 单缝宽0.8 mm
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第四章 光
99
图4.5-3   白光的单缝衍射条纹
如果用白光做上述实验，得到的条纹是彩色的（图
4.5-3）。这是因为白光中包含了各种颜色的光，衍射时不
同色光的亮条纹的位置不同，于是各种色光就区分开了。
在单缝衍射和圆孔衍射的照片中，都有一些亮条纹和
暗条纹。这是由于来自单缝或圆孔上不同位置的光，通过
缝或孔之后叠加时加强或者削弱的结果。各种不同形状的
障碍物都能使光发生衍射，致使影的轮廓模糊不清，出现
明暗相间的条纹（图4.5-4）。
对衍射现象的研究表明，光在没有障碍物的均匀介质
中是沿直线传播的，在障碍物的尺寸比光的波长大得多的
情况下，衍射现象不明显，也可以近似认为光是沿直线传
播的。但是，在障碍物的尺寸可以跟光的波长相比，甚至
比光的波长还小的时候，衍射现象十分明显，这时就不能
说光沿直线传播了。
   衍射光栅
单缝衍射的条纹比较宽，而且距离中央亮条纹较远的
条纹，亮度也很低。因此，无论从测量的精确度，还是从
可分辨的程度上说，单缝衍射都不能达到实用要求。
实验表明，如果增加狭缝的个数，衍射条纹的宽度将
变窄，亮度将增加。光学仪器中用的衍射光栅就是据此制
成的。它是由许多等宽的狭缝等距离地排列起来形成的光
学元件。在一块很平的玻璃上刻出一系列等距的平行刻痕，
刻痕产生漫反射而不太透光，未刻的部分相当于透光的狭
缝，这样就做成了透射光栅（图4.5-5）。如果在高反射率
的金属上刻痕，就可以做成反射光栅。
图4.5-4   光经过大头针尖时的衍
射照片
图4.5-5 透射光栅
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100 高中物理选择性必修第一册
二、X 射线衍射与双螺旋
晶体中原子的排列是规则的，原子间距与X 射线波长接近。这使得X 射线照射在晶体上会发
生明显的衍射现象。衍射图样中斑点的强度和位置包含着有关晶体的大量信息。因此，人们可以
利用X 射线衍射探测晶体的结构（图4.5-7）。
图4.5-7 X 射线晶体衍射实验示意图
1912 年，德国科学家劳厄观测到了这种衍射现象。在当时
人们并不确信X 射线是一种电磁波，也不确信晶体是由周
期性排列的原子组成的。劳厄的观测，同时证实了X
射线的波动性和晶体内部的原子点阵结构，被
爱因斯坦誉为物理学中最美的实验。劳厄
因此获得了1914 年诺贝尔物理学奖。
一、泊松亮斑趣事
科学漫步
1818 年，法国的巴黎科学院为了鼓励对衍射问题的研究，悬赏征集这方面的论文。一位年轻
的物理学家菲涅耳在论文中按照波动说深入研究了光的衍射。
当时的另一位法国科学家泊松是光的波动说的反对者，他按照菲涅耳的理论计算了光在圆盘
图4.5-6 泊松亮斑
后的影的问题，发现对于一定的波长、在适当的距离上，影的中
心会出现一个亮斑！泊松认为这是荒谬可笑的，并认为这样就驳
倒了光的波动说。
但是，就在竞赛的关键时刻，评委阿拉果在实验中观察到了
这个亮斑（图4.5-6），这样，泊松的计算反而支持了光的波动说。
后人为了纪念这个有意义的事件，把这个亮斑称为泊松亮斑，也
称为阿拉果亮斑。  
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第四章 光101
之后，英国物理学家布拉格父子深入研究了利用X 射线测量和分
析晶体结构的方法。他们的工作奠定了这一技术的实验和理论基
础，为此，布拉格父子共同获得了1915 年诺贝尔物理学奖。
今天，X 射线衍射已经成为人们探测晶体和大分子结构的标
准技术手段之一，被广泛应用于物理学和生物学等许多领域。这
一技术所带来的最重要成果之一，就是DNA 双螺旋结构的发现。
在20 世纪50 年代，生物学家已经知道DNA 是细胞中携带
遗传信息的物质，下一步就是要搞清楚DNA 的结构，从而确定
它的化学作用。从1951 年开始，英国物理学家威尔金斯和富兰
克林研究了DNA 对X 射线的衍射，获得了一系列DNA 纤维的
X 射线衍射图样（图4.5-8）。英国卡文迪什实验室（主任为小布
图4.5-8 
富兰克林使用X 射
线拍摄的DNA 晶体
拉格）的美国生物学家沃森和英国生物学家克里克则根据这些数据提出了DNA 的双螺旋结构模
型。这是生物学史上划时代的事件。它宣告了分子生物学的诞生，标志着生物学已经进入了分子
水平。沃森、克里克和威尔金斯因此获得了1962 年的诺贝尔生理学或医学奖。
1. 用两支铅笔夹成一条狭缝，将眼睛紧贴
着狭缝且让狭缝与日光灯管或其他线状光源平
行，你会观察到怎样的现象？试解释这个现象。
2．在挡板上安装一个宽度可以调节的狭缝，
缝后放一个光屏。用平行单色光照射狭缝，当
缝的宽度较小时，我们会从光屏上看到衍射条
纹。此时，如果进一步调小狭缝的宽度，所看
到的衍射条纹有什么变化？做这个实验，看你
的判断是否正确。
也可以用游标卡尺两个卡脚之间的缝隙做
单缝，用眼睛通过这个单缝观察线状光源。
3. 太阳光照射一块遮光板，遮光板上有一
个大的三角形孔，太阳光透过这个孔，在光屏
练习与应用
上形成一个三角形光斑。请说明：遮光板上三
角形孔的尺寸不断减小时，光屏上的图形将怎
样变化？请你说明其中的道理。
4. 用物理知识讨论假想中的衍射现象。
（1）可见光的波长是微米数量级的，人眼
的瞳孔的直径是毫米数量级的。假想有一种眼
睛的瞳孔是微米数量级的，视网膜非常灵敏，
能感觉非常微弱的光线，这时所看到的外部世
界将是一幅什么景象？
（2）人体的线度在米的数量级，这个数值
恰与人耳的可听声波的波长相近。根据这一事
实，假想某种动物可听到波长是毫米数量级的
声波，请说出一些能体现衍射现象的场景。
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102 高中物理选择性必修第一册
光的偏振  激光
6
在观看立体电影时，观众要戴上特制
的眼镜，如果不戴这副眼镜，银幕上的图
像就模糊不清了。这是为什么？
问题？
   偏振
波分为纵波和横波。在纵波中，各点的振动方向总与
波的传播方向在同一直线上。在横波中，各点的振动方向
总与波的传播方向垂直。
不同的横波，即使传播方向相同，振动方向也可能是
不同的。这个现象称为“偏振现象”。例如，一列沿水平方
向传播的横波，既可能沿上下方向振动，也可能沿左右方
向振动，还可能沿其他“斜”的方向振动。横波的振动方
向称为“偏振方向”。
让绳穿过一块带有狭缝的木板，先后将狭缝与振动方
向平行放置及与振动方向垂直放置（图4.6-1）。对于图4.6-1
甲的情形，绳上的横波能穿过狭缝，而对于图4.6-1 乙的
情形则不能。如图4.6-2，在一条弹簧上传播的纵波，无论
狭缝的取向如何，波都能穿过。
乙
甲
图4.6-2 纵波可以穿过不同方向的狭缝
图4.6-1   狭缝的方向影响横波的
传播
甲
乙
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第四章 光103
   光的偏振 
 
光的干涉和衍射现象说明光具有波动性。光是横波还
是纵波呢？研究表明，光是一种横波。我们可以用与上述
实验类似的方法来研究光的偏振。为此，利用“偏振片”
代替图4.6-1 中带有狭缝的木板来做光学实验。偏振片由
特定的材料制成，每个偏振片都有一个特定的方向，沿着
这个方向振动的光波
①能顺利通过偏振片，偏振方向与这个
方向垂直的光不能通过，这个方向叫作“透振方向”。偏振
片对光波的作用就像图4.6-1 中的狭缝对于机械波的作用
一样。
我们来看下面的实验。
   事实上，只要光的振动
方向不与透振方向垂直，
它都可以不同程度地通过
偏振片，不过强度要比振
动方向与透振方向平行的
光弱一些。
演    示
观察光的偏振现象
_______________________
① 光是传播中的电磁场，即电磁波。“电磁波的振动方向”指的是其中电场的方向。
图4.6-3   自然光通过偏振片的实验结果
怎样解释上面的实验呢？如果光波是纵波，上面演示的现象是否会发生？
思考与讨论
⩞
΅ͅ
P
P
Q
Q
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ᯃ
如图4.6-3 甲，让阳光或
灯光通过偏振片P，在 P 的另
一侧观察，可以看到偏振片是
透明的，只是透射光暗了一些。
以光的传播方向为轴旋转偏振
片P，透射光的强度变化吗？
在偏振片P 的后面再放置
另一个偏振片Q（图4.6-3 乙），
以光的传播方向为轴旋转偏振
片Q（图4.6-3 丙），观察通
过两块偏振片的透射光的强度
变化。
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104 高中物理选择性必修第一册
   偏振片P、Q 上的狭缝
用来形象地表示它们的透
振方向，真实的偏振片上
没有这样的狭缝。
实际上，太阳以及日光灯、发光二极管等普通光源发
出的光，包含着在垂直于传播方向上沿一切方向振动的光，
而且沿着各个方向振动的光波的强度都相同。这种光是“自
然光”（图4.6-4）。
自然光在通过偏振片P 时，只有振动方向与偏振片的
透振方向一致的光波才能顺利通过。也就是说，通过偏振
片P 的光波，在垂直于传播方向的平面上，沿着某个特定
的方向振动。这种光叫作偏振光（polarized light）。
通过偏振片P 的偏振光照射到偏振片Q 时，如果两个
偏振片的透振方向平行，那么，通过P 的偏振光的振动方
向与偏振片Q 的透振方向一致，可以透过Q（图4.6-3 乙）；
如果两个偏振片的透振方向垂直，那么，偏振光的振动方
向跟偏振片Q 的透振方向垂直，不能透过Q（图4.6-3 丙）。
偏振光并不罕见。除了从太阳、白炽灯等光源直接发
出的光以外，我们通常看到的绝大部分光，都是不同程度
的偏振光。自然光在玻璃、水面、木质桌面等表面反射时，
反射光和折射光都是偏振光（图4.6-5），入射角变化时偏
振的程度也有变化。          
   偏振现象的应用  
光的偏振现象有很多应用。例如，摄影师在拍摄池中
的游鱼、玻璃橱窗里的陈列物时，由于水面和玻璃表面的
反射光的干扰，景象会不清楚。如果在照相机镜头前装一
片偏振滤光片，转动滤光片，让它的透振方向与水面和玻
璃表面的反射光的偏振方向垂直，就可以减弱反射光而使
水下和玻璃后的景象清晰（图4.6-6）。
图4.6-5   反射引起自然光的偏振
图4.6-4 太阳光是自然光
图4.6-6 相机的偏振滤光片能减弱玻璃表面反射光的影响（右图）
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第四章 光105
将一个偏振片放于眼睛的前方，观察通过窗户进入室内的自然光。转动偏振片，你
感觉到的明暗有没有明显的变化？
再透过偏振片观察玻璃表面、光滑桌面反射来的自然光，同时转动偏振片。你感觉
到的明暗有没有明显的变化？玻璃表面、光滑桌面反射的光是偏振光吗？
透过偏振片观察手机等液晶屏幕上的字，你有什么发现？
做一做
   激光的特点及其应用
光是从物质的原子中发射出来的。原子获得能量以后
处于不稳定状态，它会以光的形式把能量发射出去。但是，
普通的光源，例如白炽灯，灯丝中某个原子在什么时刻发
光、在哪个方向偏振，完全是随机的，发出的光传播方向
各异，频率也不一定相同，这导致不同原子发出的光没有
确定的相位差。因此，普通光源发出的自然光是许多频率、
相位、偏振以及传播方向各不相同的光的杂乱无章的混合。
这导致两个独立的普通光源发出的光不会发生干涉。
那么，能否制造出频率、相位、偏振以及传播方向等
性质都十分确定的“纯净”的光呢？1960年，美国物理学
家梅曼率先在实验室中制造出了传播方向、偏振、相位等
性质完全相同的光波，这就是激光（laser）。迄今为止，人
类已经制造了各种类型的激光器，比如气体激光器、半导
体激光器、染料激光器、宝石激光器，等等。
激光的诞生是一件大事。它使得人类获得了极其理想
的、自然界中不存在的光源。激光纯净的特性能在实际应
用中带来很多方便。例如，我们前面讲过的双缝干涉实验
和衍射实验，用激光要比用自然光更容易完成。因此，激
光被广泛地应用于生产生活和科学研究中。 
激光能像无线电波那样被调制，用来传递信息。光纤
通信就是激光和光导纤维相结合的产物。今天，每时每刻
都有无数激光信号承载着海量的信息在海底光缆中传输。
借助它们，大洋两岸的人们可以实现廉价的实时通信，全
世界被连接成一个整体。
激光的另一个特点是它的平行度非常好，在传播很远
的距离后仍能保持一定的强度。激光的这个特点使它可以
梅曼（Theodore Harold Maiman 
1927-2007）
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106 高中物理选择性必修第一册
图4.6-7   阿波罗11 号宇宙飞船在
月球安放的激光反射器
用来进行精确的测距。对准目标发出一个极短的激光脉
冲，测量发射脉冲与收到反射回波的时间间隔，就可以求
出目标的距离。利用激光测量地球到月亮的距离（大约为
38 万千米），准确度可以达到厘米级别（图4.6-7）。现在，
廉价的激光测距装置已经被应用到房屋装修等日常生活中。
此外，人们还可以利用激光束等各种实用的指向设备，为
枪械、火炮、导弹等武器提供目标指引。
激光的亮度很高，也就是说，它可以在很小的空间和
很短的时间内集中很大的能量。如果把强大的激光束会聚
起来照射到物体上，可以使物体的被照部分在不到千分之
一秒的时间内产生几千万度的高温，最难熔化的物质在这
一瞬间也要汽化了。因此，可以利用激光束来切割、焊接
以及在很硬的材料上打孔。医学上可以用激光做“光刀”
来切开皮肤、切除肿瘤， 还可以用激光“焊接”剥落的视
网膜。
此外，激光还是科学研究的有力工具。例如，以激光
为光源，科学家们可以深入研究原子、分子和固体材料的
光谱，从而了解这些物质的结构；利用激光，可以研究分
子的运动和化学反应的过程；利用激光制作的高精度光钟，
可以实现对频率和时间的超高精度测量，这是人类能完成
的最准确的测量之一。
激光的用途还有很多。人们现在还在努力实现更多种类
的激光，比如，频率远高于可见光、与X 射线接近的超高频
率激光（图4.6-8）。它们也将成为生产和科研的有力工具。
图4.6-8   上海超强超短激光实验
装置
立体电影和偏振光
科学漫步
观看立体电影（3D 电影）时，观众戴的眼镜就是一对透振方向互相垂直的偏振片。
这要从人眼看物的立体感说起。人的两只眼睛同时观察物体，不但能扩大视野，而且能判断
物体的远近，产生立体感。这是由于人的两只眼睛同时观察一个物体时，两眼看到的两个像并不
完全相同，左眼看到物体的左侧面较多，右眼看到物体的右侧面较多，这两个像经过大脑综合以
后就能区分物体的前后、远近，从而产生立体感。
拍摄立体电影时，可以用两个镜头如人眼那样从两个不同方向同步拍摄景物的像，制成电影
第四章 光107
1．什么是光的偏振现象？光的偏振现象对
认识光的本性有什么意义？
2．市场上有一种太阳镜，它的镜片是偏振
片。为什么不用普通的带色玻璃而用偏振片？
安装镜片时它的透振方向应该沿什么方向？利
用偏振眼镜可以做哪些实验，做哪些检测？
3．激光是相干光源。根据激光的这个特点，
可以将激光应用在哪些方面？
4．一张光盘可以记录几亿个字节，其信息
量相当于几千本十多万字的书，其中一个重要
练习与应用
的原因就是光盘上记录信息的轨道可以做得很
密，1 mm 的宽度至少可以容纳650 条轨道。这
是应用了激光的什么特性？
5．激光可以在很小的空间和很短的时间内
聚集很大的能量。例如一台红宝石巨脉冲激光
器，激光束的发散角只有10
-3 rad，在垂直于激
光束的平面上，平均每平方厘米面积的功率达
到10
9 W。激光的这一特性有哪些应用价值？
请你举例说明。
胶片。放映时通过两台放映机，同步放映两组胶片，使略有差别的两幅图像重叠在银幕上。这时
如果用眼睛直接观看，看到的画面好像是电视信号不好时出现的“重影”。
实际上，每架放映机前还要安装一块偏振片，两架放映机射出的光，通过偏振片后成了偏振光。
左右两架放映机前的偏振片的透振方向互相垂直，因而产生的两束偏振光的偏振方向也互相垂直。
图4.6-9   用偏振眼镜观看立体电影
这两束偏振光投射到银幕上再反射到观众那里，偏
振方向不变。观众用上述的偏振眼镜观看，每只眼
睛只看到相应的偏振光图像，即左眼只看到左机映
出的画面，右眼只看到右机映出的画面，这样就会
像直接观看物体那样产生立体感（图4.6-9）。实际
拍摄立体电影时只用一台摄影机，让它通过两个窗
口（相当于人的双眼）交替拍摄，两套图像交替地
印在同一条电影胶片上。放映时也是只用一台放映
机，把两套图像交替地映在银幕上。为了实现这些
功能还需要一套复杂的装置，但原理就是上面所说
的那些。
108 高中物理选择性必修第一册
截面，OD 为直径，一束由紫光和红光组成的
复色光沿AO 方向从真空射入玻璃，紫光、红
光分别从B、C 点射出。设紫光由O 到B 的传
播时间为tB，红光由O 到C 的传播时间为tC，
请比较tB、tC 的大小。
图4-2
O
B
C
D
A
ⱌ⾧
⣨⦰
5. 在光学仪器中，“道威棱镜”被广泛用来
进行图形翻转。如图4-3，ABCD是棱镜的横
截面，是底角为45°的等腰梯形。现有与BC平
行的三条光线射入AB，已知棱镜材料的折射率 
n＝√ 2 ，请根据计算结果在原图上准确作出这
三条光线从进入棱镜到射出棱镜的光路图，论
证BC面是否有光线射出棱镜，并说明从DC射
出的光线跟入射光线相比有什么特点。
1. 由哪些现象或实验结果可以说明：
（1）光是一种波；
（2）光是横波；
（3）与水波的波长相比较，光波的波长非 
常短；
（4）绿光的波长比红光的波长短。
2. 把一块厚玻璃板压在书上，透过玻璃板
看书上的字与原来的感觉有什么不同？试试看，
并说明原因。
3. 如图4-1，光沿AO从空气射入折射率为
n的介质中，以O点为圆心、R为半径画圆，与
折射光线的交点为B，过B点向两介质的交界面
作垂线，交点为N，BN与AO的延长线的交点
为M。以O点为圆心，OM（设为r）为半径画
另一圆。试证明 n ＝r
R。
图4-1
O
N
M
B
A
4. 如图4-2，OBCD 为半圆柱体玻璃的横
A 组
复习与提高
2. 用下面的方法可以测量液体的折射率：
取一个半径为r 的软木塞，在它的圆心处插上
一枚大头针，让软木塞浮在液面上（图4-4）。
调整大头针插入软木塞的深度，使它露在外面
1. 一束光斜射入界面相互平行、折射率递
增的多层介质膜中，光的轨迹将如何？若斜射
入界面相互平行、折射率递减的多层介质膜中，
光的轨迹又将如何？请画出光路图。
B 组
图4-3
45
º
1
2
3
45
º
C
D
A
B
第四章 光109
的长度为h。这时从液面上方的各个方向向液
体中看，恰好看不到大头针。利用测得的数据
r 和h 即可求出液体的折射率。
（1）写出用r 和h 求折射率的计算式。
（2）用这种方法实际做一下，求出水的折
射率。
图4-4
r
h
3. 单镜头反光相机简称单反相机，它用一
块放置在镜头与感光部件之间的透明平面镜把
来自镜头的图像投射到对焦屏上。对焦屏上的
图像通过五棱镜的反射进入人眼中。图4-5 为
单反照相机取景器的示意图，ABCDE 为五棱
镜的一个截面，AB ⊥BC。光线垂直AB 射入，
分别在CD 和EA 上发生反射，且两次反射的入
射角相等，最后光线垂直BC 射出。若两次反
射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是
多少？（计算结果可用三角函数表示）
图4-5
ρḞ䪉
Ꭰ䲏䪉
㜠ᙌٶ䘕У
㜠ϧⱩ
B
C
D
E
A
4.  1801 年，托马斯·杨用双缝干涉实验研
究了光波的性质。1834 年，洛埃利用单面镜同
样得到了杨氏干涉的结果（称洛埃镜实验）。洛
埃镜实验的基本装置如图4-6 所示，S 为单色光
源，M 为一平面镜。S 发出的光直接照在光屏
上，同时S发出的光还通过平面镜反射在光屏上。
从平面镜反射的光相当于S 在平面镜中的虚像
发出的，这样就形成了两个一样的相干光源。
设光源S 到平面镜的垂直距离和到光屏的
垂直距离分别为a 和l，光的波长为λ。写出相
邻两条亮纹（或暗纹）间距离Δx 的表达式。
ٵᅻ
S
M
l
a
图4-6
5. 如图4-7，图中阴影部分ABC 为一透明
材料做成的柱形光学元件的横截面，该种材料
折射率 n ＝2，AC为一半径为R 的4
1 圆弧，D
为圆弧面圆心，ABCD 构成正方形，在D 处有
一点光源。若只考虑首次从圆弧 AC直接射向
AB、BC 的光线，从点光源射入圆弧 AC的光中，
有一部分不能从AB、BC 面直接射出，求这部
分光照射圆弧 AC的弧长。
图4-7
B
A
R
R
B
C
D
110 高中物理选择性必修第一册
   研究样例
	
单摆周期与重力加速度定量关系的实验研究
 问题的提出   
关于单摆周期公式 T ＝2π
gl 中周期和摆长的定量
关系，我们已经进行了实验探究，所得到的结论跟公式吻合。
公式中周期与重力加速度的定量关系是否也可以通过实验
进行检验呢？从公式看，似乎只有在其他星体上，或者
在一个稳定的超重或失重的场景下能够改变g 时，才能
进行实验检验。那么，在地球上的普通实验条件下，是
否可以对T 与g 的定量关系进行实验研究呢？如果可以，
怎样实验？
 实验方案的设计
1. 进一步思考g 的实验含义
重力mg 是单摆在简谐运动中产生回复力的原因，g 是
重力加速度，这是单摆周期公式中g 的物理意义。
从实验的视角看，g 是什么？g 是单摆的摆球在失去
摆线拉力的情况下运动的加速度（摆球脱离摆线时，它的
加速度是g），该加速度大小和方向都是不变的。由此我们
设想，是否可以设计一个这样的实验环境：摆球在没有摆
线作用的情况下，它运动的加速度是另外一个大小和方向
都不变的值，而且这个值是可以人为调节的。
2. 伽利略用斜面“冲淡”重力的启示
伽利略研究小球自由落体运动规律时，用斜面来“冲淡”
重力，通过小球在斜面上运动的实验研究，把结论外推到
自由落体运动。由此我们想到，用斜面“冲淡”重力的设
计思路也可以用在单摆上。没有摆线的钢珠，在光滑斜面
课题研究
课题研究111
上运动的加速度大小和方向是一个不变的值，而且这个值
可以通过改变斜面倾角来调节，这和我们需要的实验环境
是完全吻合的。
3. 实验的基本方案
本实验的基本方案就是在摩擦力可以忽略的斜面上做
单摆实验，如图研-1 所示。如果没有摆线的约束，摆球在
该倾角为θ 的斜面上运动的加速度为a ＝gsin θ，相当于被
“冲淡”后的重力加速度。本研究中，把a 称为“等效重力
加速度”。本实验的目的是：在摆长一定的情况下，检验单
摆周期T 是否与a 的平方根成反比。即检验 T ∝
a
1 是否
成立。
 实验装置和物理量的测量
1. 实验装置
图研-2 是双线摆，双线摆也是一种单摆，它的优点是
可以把摆球的运动轨迹约束在一个确定的平面上。现把双
线摆的其中一根悬线，换成一根很轻的硬杆，组成一个“杆
线摆”，如图研-3 所示。杆线摆可以绕着悬挂轴OO′来回
摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这
相当于单摆在斜面上来回摆动，但避免了摆球在真实斜面
上运动时所受的摩擦力。测量该倾斜平面的倾角θ，能求
出等效重力加速度a 的大小，测量不同倾角下的单摆周期T，
便能检验T 和a 的定量关系。
2. 斜面倾角θ 的测量
如图研- 4，铁架台上装一根重垂线。在铁架台的立柱
跟重垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节摆线的
长度，使摆杆与立柱垂直，则此时摆杆是水平的。
图研-1 斜面上的单摆
图研-2 双线摆
图研-3 “杆线摆”
θ
θ
O
Oĉ
䒧ᱲ
㏲㏫
112 高中物理选择性必修第一册
如图研-5，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，绕
立柱摆动的钢球实际上是在一倾斜平面上运动。测出静止
时摆杆与重垂线的夹角为β，则该倾斜平面与水平面的夹
角θ ＝ 90° － β。
3. 单摆周期T 的测量
在图研-5 的情况下，尽量减小摆杆与支柱之间的摩擦，
使该摆能较长时间绕支柱自由摆动而不停下来。让单摆做
小偏角下的振动，用停表测量单摆完成20 个全振动所用的
时间t，则单摆周期 T ＝20
t 。同样的操作进行三次，取平
均值作为该周期的测定值。
改变铁架台的倾斜程度，测出不同倾斜程度下斜面倾
角θ 的值以及在该倾角下单摆的周期T，把各组θ 和T 的
值填在实验数据表中。
 实验数据与分析
为检验在相同摆长下单摆周期是否跟等效重力加速度
的平方根成反比，即对公式 T ∝
a
1 进行检验，需要把斜
面倾角θ 的度数转化为 
a
1 的值。为此，取g ＝9.8 m/s
2，计
算a ＝gsin θ 的值作为表格中的一列，再计算 
a
1 的值，
得到表格中的另一列，如下表所示。
图研-4 水平放置的杆线摆
图研-5 倾斜放置的杆线摆
  ­‐
  
序号
θ（°）
T/s
a /（m·s
-2）
a
1
2
1
-
（m   ·s）
1
11.0
2.52
1.87
0.731
2
14.5
2.11
2.45
0.639
β
θ
课题研究113
图研-6 T － 
a
1 图像
图研-7 弹簧振子
   参考选题
	
弹簧振子运动周期的实验研究
 研究内容
由于弹簧振子由轻质弹簧和振动小球组成，因此猜想：
弹簧振子的运动周期跟弹簧的劲度系数、振动小球的质量
有关。
为减小振动过程的摩擦，用竖直的弹簧振子的上下振
动进行实验，如图研-7。不过首先要证明，竖直方向的弹
簧振子的上下振动是简谐运动，而且其回复力与位移之比
等于弹簧的劲度系数。
在保持弹簧劲度系数不变的情况下，改变小球质量，
探究弹簧振子的运动周期跟振子质量的定量关系；在保持
振子质量不变的情况下，改变弹簧的劲度系数，探究弹簧
振子运动的周期跟弹簧劲度系数的定量关系。
弹簧劲度系数的改变，可以通过改变弹簧的长度来实
现。理论上可以证明，对同一跟均匀弹簧，取其中不同长
度进行实验，其劲度系数跟所取的弹簧长度具有确定的定
量关系。也可以通过实验来测量不同长度弹簧的劲度系数。
0.1
0
1
2
3
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
T/s
/(s.m   )
2
1
a
1
如图研-6，以T 为纵坐标、以 
a
1 
为横坐标建立坐标系，把以上表格中T 和 
a
1 的各组数据在坐标系中描点。发现这
些点都在一条过坐标原点的直线上，说明
T 和  
a
1 成正比，验证了单摆在摆长一定
的情况下，其周期跟重力加速度的平方根
成反比。
3
19.0
1.83
3.19
0.560
4
22.5
1.73
3.75
0.516
5
25.5
1.62
4.22
0.487
6
29.0
1.50
4.75
0.459
续表
114 高中物理选择性必修第一册
索引
（名词后面的数字是该名词中、英文第一次出现的页码）
58
63
60
60
6
44
4
7
12
74
24
66
21
71
52
50
88
85
85
36
60
41
105
61
31
62
34
61
86
12
104
36
31
86
51
31
21
12
12
37
37
67
67
81
81
35
36
60
50
B
波
波长
波峰
波谷
C
冲量
D
单摆
动量
动量定理
动量守恒定律
多普勒效应
F
反冲
反射
非弹性碰撞
G
干涉
共振
固有频率
光导纤维
光密介质
光疏介质
H
赫兹
横波
回复力
J
激光
机械波
机械振动
简谐波
简谐运动
介质
L
临界角
N
内力
P
偏振光
频率
平衡位置
Q
全反射
S
受迫振动
T
弹簧振子
弹性碰撞
W
外力
X
系统
相位
相位差
Y
衍射
Z
折射
折射定律
折射率
振幅
周期
纵波
阻尼振动