专题02
常用逻辑用语
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
课标卷
理10
命题及其关系
平面向量模与夹角、命题真假判断
2012
新课标
理2
命题及其关系
复数的概念与运算、命题真假的判定
2014
卷1[来源:学科网][来
源:Z。xx。k.Com]
理9[来源:学+科+网
Z+X+X+K]
全称量词与特称量词[来
源:Z.xx.k.Com]
二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题
真假的判定[来源:学科网ZXXK]
卷2
文3
充分条件与必要条件
导数与极值的关系、充要条件的判定
2015
卷1
理3
全称量词与特称量词
特称命题的否定
2017
卷1
理2
命题及其关系
复数的有关概念与运算
2019
卷2
理7
充分条件与必要条件
面面平行的判定与性质、充要条件判定
卷3
文11
1.全称量词与特称量词
2.简单逻辑联结词
二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题
真假判断、含逻辑联结词命题的判定
2020
卷2
文理16
简单逻辑联结词
含逻辑联结词命题真假的判断
卷3
理16
命题及其关系
命题真假的判断，三角函数图象及其性质
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点5 命题及其关系
4/10
2021 年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻
辑连接词的敏体真假判断、特称命题与全称命题真假判断及
其否定的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点.
考点6 简单逻辑联结词
2/10
考点7 全称量词与特称量词
3/10
考点8 充分条件与必要条件
2/10
十年试题分类*探求规律
考点5
命题及其关系
1．(2020 新课标III 理16)关于函数
1
sin
sin
f x
x
x
．
①
f x 的图像关于y 轴对称；②
f x 的图像关于原点对称；
③
f x 的图像关于
2
x
对称；④
f x 的最小值为2 ．
其中所有真命题的序号是
．
【答案】②③
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的
定义可判断命题③的正误；取
0
x
可判断命题④的正误．综合可得出结论．
【详解】对于命题①，
1
5
2
6
2
2
f
，
1
5
2
6
2
2
f
，则
6
6
f
f
，
∴函数
f
x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数
f
x 的定义域为
,
x x
k
k
Z
，定义域关于原点对称，
1
1
1
sin
sin
sin
sin
sin
sin
f
x
x
x
x
f x
x
x
x
，
∴函数
f
x 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
1
1
sin
cos
2
2
cos
sin
2
f
x
x
x
x
x
，
1
1
sin
cos
2
2
cos
sin 2
f
x
x
x
x
x
，则
2
2
f
x
f
x
，
∴函数
f
x 的图象关于直线
2
x
对称，命题③正确；对于命题④，当
0
x
时，sin
0
x
，则
1
sin
0
2
sin
f x
x
x
，命题④错误，故答案为：②③．
2.(2017 新课标Ⅰ)设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z R ，则z R ；
2p ：若复数z 满足
2z R ，则z R ；
3p ：若复数
1z ，
2z 满足
1 2
z z R ，则
1
2
z
z
；
4p ：若复数z R ，则z R ．
其中的真命题为
A．
1p ，
3p
B．
1p ，
4p
C．
2p ，
3p
D．
2p ，
4p
【答案】B【解析】设
i
z
a
b
( ,a bR )，则
2
2
1
1
i
(
i)
a
b
z
a
b
a
b
R ，得
0
b
，所以z R ，
1p 正
确；2
2
2
2
(
i)
2
i
z
a
b
a
b
ab
R ，则
0
ab
，即
0
a
或
0
b
，不能确定z R ，2p 不正确；若z R ，
则
0
b
，此时
i
z
a
b
a
R ，
4p 正确．选B．
3.(2011 新课标)已知a ，b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
1
2
:|
| 1
[0,
)
3
p
a
b
2 :
p
|
| 1
a
b
2
(
, ]
3
3 :|
| 1
[0,
)
3
p
a
b
4 :
p
|
| 1
a
b
(
, ]
3
其中真命题是
A．
1
4
,
p p
B．
1
3
,
p p
C．
2
3
,
p
p
D．
2
4
,
p
p
【答案】A【解析】由
2
2
2
cos
2
2cos
1
a
b
a
b
ab
得，
1
cos
2
，
2
0, 3
。由
2
2
2
cos
2
2cos
1
a
b
a
b
ab
得
1
cos
2
,
3
．选A．
4.(2012 新课标，理3)下面是关于复数z =
2
1 i
的四个命题：
1p ：| z |=2；
2p ：
2
2
z
i
；
3p ：z 的共轭复
数为1 i
；
4p ：z 的虚部为－1；其中真命题为
A .
2p ,
3p
B .
1p ,
2p
C .
2p ,
4p
D .
3p ,
4p
【答案】C.【解析】∵z =
2
1 i
= 1 i
,∴| z |=
2 ，
2
2
z
i
，z 的共轭复数为1 i
，虚部为－1，故
2p ，
4p 是真命题，故选C.
5.(2014 陕西)原命题为“若
1
2
n
n
n
a
a
a
，n
N
，则
na
为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题
真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
【答案】A【解析】从原命题的真假人手，由于
1
2
n
n
n
a
a
a
1
n
n
n
a
a
a
为递减数列，即原命题
和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A．
6.(2014 江西)下列叙述中正确的是
A．若, ,
a b c
R
，则
2
"
0"
ax
bx
c
的充分条件是
2
"
4
0"
b
ac
B．若, ,
a b c
R
，则
2
2
"
"
ab
cb
的充要条件是"
"
a
c
C．命题“对任意x
R
，有
2
0
x
”的否定是“存在x
R
，有
2
0
x
”
D．l 是一条直线，
,
是两个不同的平面，若
,
l
l
，则
/ /
【答案】D【解析】
2
"
4
0"
b
ac
推不出
2
"
0"
ax
bx
c
，因为与a 的符号不确定，所以A 不正确；
当
2
0
b
时，由"
"
a
c
推不出
2
2
"
"
ab
cb
，所以B 不正确；“对任意x
R
，有
2
0
x
”的否定是“存在x
R
，
有
0
x
”，所以C 不正确．选D．
7.(2013 陕西文)设z 是复数, 则下列命题中的假命题是
A．若
2
0
z
, 则z 是实数
B．若
2
0
z
, 则z 是虚数
C．若z 是虚数, 则
2
0
z
D．若z 是纯虚数, 则
2
0
z
【答案】C【解析】
abi
b
a
z
R
b
a
bi
a
z
2
,
,
2
2
2
设
．
对选项A:
为实数
则
若
z
b
z
0
,0
2
,所以为实数
z
为真．
对选项B:
为纯虚数
且
则
若
z
b
a
z
0
,0
,0
2
,所以为纯虚数
z
为真．
对选项C:
0
0
,0
,
2
z
b
a
z
且
则
为纯虚数
若
,所以
0
2
z
为假．
对选项D:
0
0
,0
,
2
z
b
a
z
且
则
为纯虚数
若
,所以
0
2
z
为真．所以选C．
8.(2012 湖南)命题“若
4
，则tan
1
”的逆否命题是
A．若
4
，则tan
1
B．若
4
，则tan
1
C．若tan
1
，则
4
D．若tan
1
，则
4
【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p
，则q
”，所以“若
4
，则tan
1
”的逆
否命题是“若tan
1
，则
4
”．
9.(2012 福建)下列命题中，真命题是
A．
0
0
,
0
x
x
R e
-
B．
2
,2x
x
R
x
C．
0
a
b
的充要条件是
1
a
b
D．
1
a
,
1
b 是
1
ab
的充分条件
【答案】D【解析】∵
,
0
x
x
R e
，故排除A；取x=2,则
2
2
2
2
，故排除B；
0
a
b
，取
0
a
b
，
则不能推出
1
a
b ，故排除C；应选D．
10.(2011 山东)已知, ,
a b c
R
，命题“若a
b
c
=3，则
2
2
2
a
b
c
≥3”，的否命题是
A．若
3
a
b
c
，则
2
2
2
a
b
c
<3
B．若
3
a
b
c
，则
2
2
2
a
b
c
<3
C．若
3
a
b
c
，则
2
2
2
a
b
c
≥3
D．若
2
2
2
a
b
c
≥3，则
3
a
b
c
【答案】A【解析】
3
a
b
c
的否定是
3
a
b
c
，
2
2
2
a
b
c
≥3 的否定是
2
2
2
a
b
c
<3，故选A．
11.(2011 陕西)设,a b 是向量，命题“若
a
b ，则
a
b ”的逆命题是
A．若
a
b ，则
a
b
B．若
a
b ，则
a
b
C．若
a
b ，则
a
b
D．若
a
b ，则
a
b
【答案】D【解析】根据定义若“若a
b
，则a
b
”．
12.(2018 北京)能说明“若
( )
(0)
f x
f
对任意的
(0,2]
x
都成立，则
( )
f x 在[0,2] 上是增函数”为假命题的
一个函数是__________．
【答案】
sin
y
x
(不答案不唯一)【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足
( )
(0)
f x
f
对任
意的
(0,2]
x
都成立，且函数
( )
f x 在[0,2] 上不是增函数即可，如，
( )
sin
f x
x
，答案不唯一．
考点6 简单逻辑联结词
1．(2020 年高考全国Ⅱ卷文理16)设有下列四个命题：
1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
4p ：若直线
l
平面，直线
m
平面，则
l
m ．
则下述命题中所有真命题的序号是
．
①
4
1
p
p
②
2
1
p
p
③
3
2
p
p
④
4
3
p
p
【答案】①③④
【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题
1p 的真假；利用三点共线可判断命题
2p 的真假；利
用异面直线可判断命题
3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题
4p 的真假．再利用复合命题的真假可得
出结论．
【解析】对于命题
1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面内，
同理3l 与2l 的交点B 也在平面内，∴AB
，即3l
，命题
1p 为真命题；对于命题
2p ，若三点共线，
则过这三个点的平面有无数个，命题
2p 为假命题；对于命题
3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题
3p 为假命题；对于命题
4p ，若直线m 平面，则m 垂直于平面内所有直线，直线l 平面，
直线m 直线l ，命题
4p 为真命题．
综上可知，
1
4
p
p
为真命题，
1
2
p
p
为假命题，
2
3
p
p
为真命题，
3
4
p
p
为真命题．故答案为：
①③④．
2.(2019全国Ⅲ文11)记不等式组
6,
2
0
x
y
x
y
.
表示的平面区域为D.命题
: ( , )
,2
9
p
x y
D
x
y
. ；命题
:
( , )
,2
12
q
x y
D
x
y
-
.下面给出了四个命题
①p
q
②
p
q
③p
q
④
p
q
这四个命题中，所有真命题的编号是
①③
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】A．【解析】作出不等式组
6
2
0
x
y
x
y
.
.
的平面区域如图阴影部分所示.
由图可知，命题
:
,
,2
9
p
x y
D
x
y
. ；是真命题，则
p
假命题；
命题
:
,
,2
12
q
x y
D
x
y
-
是假命题，则￢ݍ真命题；
所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：
p
q
真；
p
q
假；p
q
真；
p
q
假；
故答案正确．故选A．
3.(2017 山东)已知命题p ：
0
x
，ln(
1)
0
x
；命题q ：若a
b
，则
2
2
a
b
，下列命题为真命题的
是
A．p
q
B．p
q
C．
p
q
D．
p
q
【答案】B【解析】
0
x
，
1 1
x
，所以ln(
1)
0
x
，所以p 为真命题；若
0
a
b
，则
2
2
a
b
，
若
0
b
a
，则0
a
b
，所以
2
2
a
b
，所以q 为假命题．所以p
q
为真命题．选B．
4.(2017 山东)已知命题p ：
0
x
，ln(
1)
0
x
；命题q ：若a
b
，则
2
2
a
b
，下列命题为真命题的
是
A．p
q
B．p
q
C．
p
q
D．
p
q
【答案】B【解析】
0
x
，
1 1
x
，所以ln(
1)
0
x
，所以p 为真命题；若
0
a
b
，则
2
2
a
b
，
若
0
b
a
，则0
a
b
，所以
2
2
a
b
，所以q 为假命题．所以p
q
为真命题．选B．
5.(2014 湖南)已知命题p ：若x
y
，则x
y
；命题q ：若x
y
，则
2
2
x
y
．在命题①p
q
②p
q
③
(
)
p
q
④(
)
p
q
中，真命题是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】C【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p
q
为假命题，②p
q
为真命题，③q
为真命题，则
(
)
p
q
为真命题，④p
为假命题，则(
)
p
q
为假命题，所以选C．
6.(2013 湖北)在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降
落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A．
p
q
B．
p
q
C．
p
q
D．p
q
【答案】A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．
7.(2012 山东)设命题p：函数
sin 2
y
x
的最小正周期为2
；命题q：函数
cos
y
x
的图象关于直线
2
x
对
称.则下列判断正确的是
A．p 为真
B．
q
为假
C．p
q
为假
D．p
q
为真
C【解析】∵命题p 为假,命题q 也为假,∴p
q
为假，故选C．
考点7 全称量词与特称量词
1.(2015 新课标)设命题p ：n
N
，
2
2n
n
，则p
为
A．
2
,
2n
n
N n
B．
2
,
2n
n
N n
≤
C．
2
,
2n
n
N n
≤
D．
2
,
2n
n
N n
=
【答案】C【解析】命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题．
2.(2014 新课标卷1，理9)9 不等式组
1
2
4
x
y
x
y
的解集记为D .有下面四个命题：
1p ：
( , )
,
2
2
x y
D x
y
，
2p ：( , )
,
2
2
x y
D x
y
,
3P ：
( , )
,
2
3
x y
D x
y
，
4p ：( , )
,
2
1
x y
D x
y
.
其中真命题是
A .
2p ，
3P
B .
1p ，
4p
C .
1p ，
2p
D .
1p ，
3P
【答案】C
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：
2
0
x
y
，平
移0l ，由图可知，当直线：
2
x
y
z
过
2, 1
A
时，
min
2
2
0
z
，
∴
0
z
，∴命题
1p 、
2p 真命题，选C.
3.(2014 福建)命题“
3
0,
.
0
x
x
x
”的否定是
A．
3
0,
.
0
x
x
x
B．
3
,0 .
0
x
x
x
C．
3
0
0
0
0,
.
0
x
x
x
D．
3
0
0
0
0,
.
0
x
x
x
【答案】C【解析】把量词“”改为“”，把结论否定，故选C
4.(2013 重庆)命题“对任意x
R
，都有
2
0
x
”的否定为
A．对任意x
R
，都有
2
0
x
B．不存在x
R
，都有
2
0
x
C．存在
0x
R
，使得
2
0
0
x
D．存在
0x
R
，使得
2
0
0
x
【答案】D【解析】否定为：存在
0x
R
，使得
2
0
0
x
，故选D．
5．(2013 四川)设x
Z
，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：
,2
x
A
x
B
，则
A．p
：
,2
x
A
x
B
B．p
：
2
x
A x
B
，
C．p
：
2
x
A x
B
，
D．p
：
2
x
A x
B
，
【答案】C【解析】由命题的否定易知选C．
6.(2012 湖北)命题“
0x
RQ
ð
，
3
0x Q ”的否定是
A．
0x
RQ
ð
，
3
0x Q
B．
0x
RQ
ð
，
3
0x Q
C．
x
RQ
ð
，
3x Q
D．
x
RQ
ð
，
3x Q
【答案】D【解析】存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，故为
3
0
0
,
R
x
C Q x
Q
．
7.(2012 湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定
为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B．
8.(2011 安徽)命题“所有能被2 整聊的整数都是偶数”的否定
．．是
A．所有不能被2 整除的数都是偶数
B．所有能被2 整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2 整除的数都是偶数
D．存在一个能被2 整除的数都不是偶数
【答案】D【解析】
根据定义容易知D 正确．
9.(2015 山东)若“
x
[0,
]
4
，tan x
m
≤
”是真命题，则实数m 的最小值为
．
【答案】1【解析】“
[0,
]
4
x
，tan x
m
”是真命题，则
tan
1
4
m
，于是实数m 的最小值为1。
考点8 充分条件与必要条件
1．(2020 年高考浙江卷6)已知空间中不过同一点的三条直线
,
,
m n l ，则“
,
,
m n l 在同一平面”是“
,
,
m n l
两两相交”的
(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件．
【详解】解法一：由条件可知当
, ,
m n l 在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或
三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线
, ,
m n l 两两相交，如图，
三个不同的交点确定一个平面，则
, ,
m n l 在同一平面，∴“
, ,
m n l ”在同一平面是“
, ,
m n l 两两相交”的必
要不充分条件，故选B．
解法二：依题意
, ,
m n l 是空间不过同一点的三条直线，
当
, ,
m n l 在同一平面时，可能
// //
m n l ，故不能得出
, ,
m n l 两两相交．
当
, ,
m n l 两两相交时，设
,
,
m
n
A m
l
B n
l
C
，根据公理2 可知
,
m n 确定一个平面，而
,
B
m
C
l
，根据公理1可知，直线BC 即l
，∴
, ,
m n l 在同一平面．
综上所述，“
, ,
m n l 在同一平面”是“
, ,
m n l 两两相交”的必要不充分条件．故选B．
2．(2020 年高考天津卷2)设aR ，则“
1
a ”是“
2
a
a
”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解二次不等式
2
a
a
可得：
1
a 或
0
a
，据此可知：
1
a 是
2
a
a
的充分不必要条件，故选A．
3．(2020 年高考上海卷16)命题
:
p 若存在a
R
且
0
a
，对任意的x
R
，均有
(
)
( )
( )
f x
a
f x
f a
恒
成立，已知命题
1 :
q
( )
f x 单调递减，且
( )
0
f x
恒成立；命题
2 :
q
( )
f x 单调递减，存在
0
0
x
使得
0
(
)
0
f x
，则下列说法正确的是(
)
A．
1
2
,
q q 都是p 的充分条件
B．只有
1q 是p 的充分条件
C．只有
2
q 是p 的充分条件
D．
1
2
,
q q 都不是p 的充分条件
【答案】A
【解析】
1 :
q
当
0
a
，
0
f a
，因为函数
f x 单调递减，所以
f x
a
f x
f x
f a
，即
f x
a
f x
f a
，存在
0
a
，当满足命题
1q 时，使命题p 成立，
2 :
q
当
0
0
a
x
时，
0
f a
，因为函数
f x 单调递增，所以
f x
a
f x
f x
f a
，即
f x
a
f x
f a
，存在
0
a
，当满足命题
2q 时，命题p 成立，
综上可知命题
1q 、
2q 都是命题p 的充分条件，故选A．
4．(2020 年高考北京卷9)
已知R
,
，则“存在k Z ，使得
π
( 1)k
k
”是“
sin
sin
”的
(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵
( 1)k
k
，且
sin
y
x
周期为2，∴当k 为偶数时，与终边相同，
∴sin
sin
一定成立，
当k 为奇数时，则
k
，∴sin
sin
成立，充分条件成立．
反之，当sin
sin
时，与终边相同，或与终边关于y 轴对称，∴必要条件也成立，故选C．
5.(2019 全国Ⅱ理7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或
∥
，排除；
对于B，内有两条相交直线与平行，则
∥
；
对于C，，平行于同一条直线，则与相交或
∥
，排除；
对于D，，垂直于同一平面，则与相交或
∥
，排除．故选B．
6.(2014 新课标2)函数
( )
f x 在
0
=
x x 处导数存在，若
0
0
p
f
x
：
，
0
:
q x
x
是
( )
f x 的极值点，则
A．p 是q 的充分必要条件
B．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【答案】C【解析】设
3
( )
f x
x
，
(0)
0
f
，但是
( )
f x 是单调增函数，在
0
x
处不存在极值，故若p 则
q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C．
7.(2019 天津理3)设xR ，则“
2
5
0
x
x
”是“|
1| 1
x
”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】由
2
5
0
x
x
，可得0
5
x
，由
1
1
x
，得0
2
x
，因为0
5
x
不能推出0
2
x
，但
0
2
x
可以推出0
5
x
，所以0
5
x
是0
2
x
的必要不充分条件，即0
5
x
是
1
1
x
的必要不
充分条件，故选B．
8.(2019 北京文6) 设函数f(x)=cosx+bsinx(b 为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】若
0
b
，则
cos
f x
x
是偶函数；反之，若
f x 为偶函数，则
f
x
f x
，
即
cos
sin
cos
sin
cos
sin
x
b
x
x
b
x
x
b
x
，即sin
0
b
x
对
x
成立，
可得
0
b
，故“
0
b
”是“
f x 为偶函数”的充分必要条件.故选C.
9.(2019 北京理7)设点A, B,C不共线，则“
与
的夹角是锐角”是“ AB
AC
BC
uuur
uuur
uuur
”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】点A，B，C 三点不共线，AB
AC
BC
AB
AC
AB
AC
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
0
AB
AC
AB
AC
AB AC
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
“ AB
uuur
与AC
uuur
的夹角为锐角”.
所以“ AB
uuur
与AC
uuur
的夹角为锐角”是“ AB
AC
BC
uuur
uuur
uuur
的充要条件．故选C．
10.(2019 浙江5)若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】因为a＞0，b＞0，若a+b≤4，则2
4
ab a
b
-
- ，则
4
ab- ，即
4
4
a
b
ab
-
-
.
反之，若
4
ab- ，取
1
a
，
4
b
，则
4 4
ab - ，但
5
a
b
，即
4
ab- 推不出a+b≤4，所以a+b≤4是
4
ab-
的充分不必要条件.故选A．
11.(2018 北京)设a ，b 均为单位向量，则“
3
3
a
b
a
b ”是“a ⊥b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】∵
3
3
a
b
a
b ，∴
2
2
(
3 )
(3
)
a
b
a
b
，∴
2
2
6
9
a
a b
b
2
2
9
6
a
a b
b ，又|
| |
| 1
a
b
，∴
0
a b
，∴
a
b ；反之也成立，故选C．
12.(2018 上海)已知a
R
，则“
1
a
”是“ 1
1
a
”的(
)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A【解析】由
1
a
可得1
1
a
成立；当1
1
a
，即1
1
1
0
a
a
a
，解得
0
a
或
1
a
，推不出
1
a
一定成立；所以“
1
a
”是“ 1
1
a
”的充分非必要条件．故选A．
13.(2017 浙江)已知等差数列
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ，则“
0
d
”
是“
4
6
5
+
2
S
S
S
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】∵
6
5
5
4
6
5
(
)
(
)
S
S
S
S
a
a
d
，当
0
d
，可得
4
6
5
+
2
S
S
S
；当
4
6
5
+
2
S
S
S
，
可得
0
d
．所以“
0
d
”是“
4
6
5
+
2
S
S
S
” 充分必要条件，选C．
14.(2017 天津)设R ，则“
π
π
|
|
12
12
”是“
1
sin
2
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由
π
π
|
|
12
12
，得0
6
，所以
1
sin
2
，反之令
0
，有
1
sin
2
成立，
不满足
π
π
|
|
12
12
，所以“
π
π
|
|
12
12
”是“
1
sin
2
”的充分而不必要条件．选A．
15.(2017 北京)设m , n为非零向量，则“存在负数，使得
m
n ”是“
0
m n
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】因为
,
m n 为非零向量，所以
|
||
| cos
,
0
m n
m
n
m n
的充要条件是
cos
,
0
m n
．因为
0
，则由
m
n 可知
,
m n 的方向相反，
,
180
m n
，所以cos
,
0
m n
，
所以“存在负数，使得
m
n ”可推出“
0
m n
”；而
0
m n
可推出cos
,
0
m n
，但不一定推出
,
m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得
m
n ”，所以“存在负数，使得
m
n ”是
“
0
m n
”的充分而不必要条件．
16．(2016 年北京)设,a b 是向量，则“| |=| |
a
b ”是“|
| |
|
a
b
a
b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D【解析】取
0
a =
b
，则|
| |
| 0
a
b
，|
| | 0 | 0
a
b
，|
| | 2 | 0
a
b
a
，
所以|
| |
|
a
b
a
b ，故由|
| |
|
a
b 推不出|
| |
|
a
b
a
b ．由|
| |
|
a
b
a
b ，
得
2
2
|
|
|
|
a
b
a
b
，整理得
0
a b
，所以
a
b ，不一定能得出|
| |
|
a
b ，
故由|
| |
|
a
b
a
b 推不出|
| |
|
a
b ，故“|
| |
|
a
b ”是“|
| |
|
a
b
a
b ”的既不充分也不必要条件，故选D．
17．(2016 年山东)已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β
相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则
,
P
a P
b
，又
,
a
b
，所以
,
P
P
，故
,
相交．反之，若
,
相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直
线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．
18．(2016 年天津)设{
}
na
是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“
0
q
”是“对任意的正整数n ，
2
1
2
0
n
n
a
a
”的(
)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】由题意得，
1
1
1
(
0)
n
n
a
a q
a
，
2
2
2
1
2
1
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a q
a q
2
2
1
(1
)
n
a q
q
，若
0
q
，因为1
q
得符号不定，所以无法判断
2
1
2
n
n
a
a
的符号；
反之，若
2
1
2
0
n
n
a
a
，即
2(
1)
1
(
1)
0
n
a q
q
，可得
1
0
q
，
故“
0
q
”是“对任意的正整数n ，
2
1
2
0
n
n
a
a
”的必要不充分条件，故选C.
19(2015 安徽)设p ：1
2
x
，q ：2
1
x
，则p 是q 成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由
0
: 2
2
x
q
，解得
0
x
，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充
分不必要条件，选A．
20．(2015 重庆)“
1
x
”是“
1
2
log (
2)
0
x
”的
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】
1
2
log (
2)
0
2
1
1
x
x
x
，因此选B．
21．(2015 天津)设x
R
，则“
2
1
x
”是“
2
2
0
x
x
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】解不等式|
2 | 1
x -
< 可得，1
3
x
<
<
，解不等式
2
2
0
x
x
+
-
>
可得，
2
x < - 或
1
x >
，
所以“
2
1
x
”是“
2
2
0
x
x
”的充分而不必要条件．
22.(2015 北京)设，是两个不同的平面，m 是直线且m
⊂
．“ m
∥
”是“
∥
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】因为，是两个不同的平面，m 是直线且m
⊂
．若“ m
”，则平面、
可能
相交也可能平行，不能推出
∥
，反过来若
∥
，m Ì，则有m
∥
，则“ m
∥
”是“
∥
”的必要
而不充分条件．
23．(2015 陕西)“sin
cos
”是“cos2
0
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要
【答案】A【解析】因为
2
2
cos2
cos
sin
0
，所以sin
cos
或sin
cos
，因为
“ sin
cos
” “ cos2
0
” ，但“ sin
cos
” “ cos2
0
” ，所以“ sin
cos
” 是
“cos2
0
”的充分不必要条件，故选A．
24.(2014 广东)在ABC
中，角A ，B ，C 所对应的边分别为
,
,
,
c
b
a
则“
b
a
”是“
B
A
sin
sin
”的
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
【答案】A【解析】由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，故“
b
a
” “
B
A
sin
sin
”．
25(2014 浙江)已知i 是虚数单位，
R
b
a
,
,则“
1
b
a
”是“
i
bi
a
2
)
(
2
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】.A【解析】当
1
a
b
时，
2
2
(
)
(1
)
2
a
bi
i
i
，反之，若
i
bi
a
2
)
(
2
，则有
1
a
b
或
1
a
b
，因此选A．
26.(2013 安徽)“
0
a≤
”是“函数
( )= (
-1)
f x
ax
x 在区间(0,+ )
内单调递增”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】当a=0 时，
f x
x
，∴
f x 在区间
0,内单调递增；当
0
a
时，
1
f x
a x
x
a
中一个根1
0
a
，另一个根为0 ，由图象可知
f x 在区间
0,内单调递增；∴"
0"
a
是“函数
( )= (
-1)
f x
ax
x 在区间(0,+ )
内单调递增”的充分条件，相反，当
1
f x
a x
x
a
在区间(0,+ )
内单调递增，∴
0
a
或1
0
a
，即
0
a
；"
0"
a
是“函数
( )= (
-1)
f x
ax
x 在区间(0,+ )
内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C．
27．(2013 北京)“
”是“曲线
sin 2
y
x
过坐标原点的”
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】当
时，
sin 2
y
x
过原点；
sin 2
y
x
过原点，则
,
,0, ,
等
无数个值．选A．
28.(2013 浙江)已知函数
)
,0
,0
)(
cos(
)
(
R
A
x
A
x
f
，则“
)
(x
f
是奇函数”是
2
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π
2+kπ，kZ，所以选项B 正确．
29．(2012 安徽)设平面与平面相交于直线m ，直线a 在平面内，直线b 在平面内，且b
m
，则
“
”是“ a
b
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
【答案】A【解析】①
,
,
,
b
m
m b
,
b
a
b
a
②如果
/ /
a
m ；∵b
m
，一定有a
b
但不能保证b
，既不能推出
30.(2012 北京)设,a bR ，“
0
a
”是“复数
i
a
b
是纯虚数”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】
0
a
时
i
a
b
不一定是纯虚数，但
i
a
b
是纯虚数
0
a
一定成立，故“
0
a
”是“复数
i
a
b
是纯虚数”的必要而不充分条件．
31.(2012 山东)设
0
a
且
1
a
，则“函数
x
a
x
f
在R 上是减函数”是“
3
2
x
a
x
g
在R 上是增函数”
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】p：“函数
x
a
x
f
在R 上是减函数”等价于
1
0
a
；q：“函数
3
2
x
a
x
g
在
R 上是增函数”等价于
0
2
a
，即
,2
0
a
且a≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件．选A．
32.(2011 湖南)设集合
2
1,2 ,
,
M
N
a
则“
1
a
”是“ N
M
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A【解析】显然
1
a
时一定有N
M
，反之则不一定成立，如
1
a ，故“
1
a
”是“ N
M
” 充
分不必要条件．
