文档文本内容
12.3.1 两数和乘以这两数的差
【内容分析】
两数和乘以它们的差公式是把具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结写
成公式的形式。从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的范例，对
它的学习和研究，丰富了教学内容，也开阔了学生的视野，乘法公式的应用十分
广泛，是本章的重点内容，也是数学运算和变形的基础内容之一。教学时，要求注
意引导学生进行观察、分析，使他们掌握公式的结构特征，理解公式的意义，并能
正确地运用公式。
教学中，首先运用多项式的乘法法则推导出两数和乘以它们的差公式；然后
通过具体实例分析两数和乘以它们的差公式的结构特征，促使学生掌握两数
和乘以它们的差公式的结构特征，理解两数和乘以它们的差公式的意义；最后通
过例1、例2、例3 的教学，使学生学会运用两数和乘以它们的差公式进行计算。
这节课的教学重点为掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，教学难点为理解
公式中字母的广泛含义。因而教学时应讲练结合，随时注意纠正学生可能出现的
符号、系数和指数等方面的错误。
【教学目标】：
知识与技能目标：
1．学生掌握两数和乘以它们的差公式，会推导两数和乘以它们的差公式，并
能运用公式进行简单的计算。
2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。
过程与分析目标：
经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘
法，又可以用于整式的乘法辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特
征，能正确应用.
情感与态度目标：
形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感.
【教学重点】：
对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特
征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
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【教学难点】：
理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含
义，代数推理能力的培养。
【教学建议】：
（1）在教学中，要帮助学生对对照两数和乘以它们的差公式找特点，培养学
生的观察能力；
(2)要引导学生体会根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明这
一重要的探索过程，要让学生体会符号运算对证明猜想的作用。
【教学过程】：
一、
创设情境
教师活动：提出问题
（1）(a＋b)(a－b); （2）（x＋3）(x－3)
并思考下列问题：
1、
等式左边的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？
2、
你能用上面的规律直接计算下列各式吗？
（1）(a＋2)(a－2) （2）(3a＋1)(3a－1)
3、
你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？4.你有什么不清楚的问题
问老师吗？
学生活动：解决问题
学生根据教师交给的问题，分组讨论，由小组长做好记录。
每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报。并提
出自己小组存在的问题。
学生提出 ：
（1）为什么两数和乘以它们的差公式是对的？
（2）
型，可以用两数和乘以它们的差公式完成吗？
（3）怎样形状的多项式相乘可以用两数和乘以它们的差公式？]（当然，我们
的学生还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题）
设计意图：
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波利亚曾说：“如果你不能解决所提出问题，可先解决一个与此有关的问题
故我先构筑这一系列的与两数和乘以它们的差公式推导有关的问题，让学生积极
探索，勇于创新。
一方面，人人尝试了问题的解决，另一方面，鼓励学生发现问题。正如爱因斯
坦所说：提出一个问题比解决一个问题更重要，因为它需要创造性的想象力。
得出两数和乘以它们的差公式的基本特征：两个二项式相乘，一项相同，一
项相反，且相同的写在前面。
教师质疑总结：对问题系列中的关键问题进行提问答疑。教师提出两数和乘
以它们的差公式。
二、
自主学习 解决问题
教师抛出问题二：
你能用以下图解释两数和乘以它们的公式吗？（见教材41 页的图）
方法：把图甲沿虚线剪开，用剪开后的两个长方形拼成图乙的形状。
学生动手，动脑。得出面积相等推得两数和乘以它们的差公式：
设计意图：用面积相等来证明两数和乘以它们的差公式的准确性。
例1 计算
（1）（a＋3）（a－3） （2）（2a＋3b）（2a－3b）
（3）（1＋2c）（1－2c） （4）（－2x－y）（2x－y）
学生独立思考，完成练习
观察：
（－2x＋y）
（ ）， 在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以
它们的差公式进行计算？由此你想到了什么规律？
学生对于第（4）小题提出把（－2x－ y）中的“－”号提出，变为－（2x+y）,
然后运用两数和乘以它们的差公式进行计算的创新思维。要求学生求取解答并继
续前进。不只满足于用某种方法求得了问题的解答，而不再进行进一步的思考。
对于（－2x－y）（2x－y），应培养学生的创新精神，思考它解法的多样性。
三、
练习
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下面各式能不能用两数和乘以它们的差公式进行计算？如果能的话，每一式
可以看作是哪两式（或数）的和与差的积？
（1）（－4a－0.1）（4a＋0.1） （2）（2x＋y）(2x－y)
（3）（
+2）(
－2) （4）（－a+b）（a+b）
四、继续深入、综合应用
例2、计算：1998×2002
例3 街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加
长2 米，而东西长要缩短2 米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
五、内容小结:
六、 教学反思
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12.3.2 两数和（差）的平方
【教学目标】：
1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的
思想。
重点：掌握公式的特点，牢记公式。
难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算。
【教学建议】：
(1)在教学中应在讨论的基础上，从代数运算的角度运用多项式乘法法则，推
导出公式
。
(2)关于公式
的获得，要鼓励学生自己探索，鼓励学生算
法的多样化，学生既要按多项式的乘法 的法则计算；也可以利用公式
来获得结果。
【评价建议】：
过程性：
（1）公式推导过程中关注学生 对多项式乘法法则的掌握程序；
（2）公式得出后关注学生对公式的理解；
（3）关注学生算法的合理性及其与同学们进行交流的积极性。
知识性：关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性，熟练
运用完全平方公式进行简单的计算。
【教学过程】：
1.知识与回顾：
（1）两数和的公式是什么？
（2）口述多项式乘以多项式法则。
（3）计算 （2x－1）（3x－4）、 （5x＋3）（5x－3）
2.设计活动，导入新课。
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师：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖
果来招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每
个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……
(1)第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
〖设计说明〗从具有现实生活实际的情境设计问题，可以激发生学生学习兴趣
让学生乐于利用所学知识解决实际问题，也可以体现数学的实用性。
（2）第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a＋b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？
多多少？
〖设计说明〗通过一系列的问题，不仅可以体现循序渐进的原则，也利于学生
更有效地运用所学知识解决实际问题。
由学生自主总结出公式，导入新课：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2 倍
3.牛刀小试
先观察下图，再用等式表示下图中图形面积的运算
4.例题讲解：
例4
计算：
（1）
（2x＋3y）2；
（2）（2a＋
）2
思路点拨：与本节课公式进行逐项比较、对照，步骤写得完整，有利于正确使
用公式。
5.试一试
试推导出两数差的平方公式。
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思路点拨：我们可以根据多次昂是的乘法法则直接计算（a－b）2，也可将（a－
b）看成是[a＋(－b)]，就将减法统一成加法，即：
，
提示学生
在今后的计算中可直接应用。
例5
计算：
（1）
（3x－2y）2；
（2）
教师活动：提问，演示。学生活动：参与、理解。教学方法：互动交流。
6.随堂练习，巩固新知
课本P35 页练习1、2、3.
点评：运用乘法公式计算，应灵活地处理符号，使运算正确，简捷。
7.全课小结，提高认识
本课学习了
两个乘法公式，在应用时
（1）要了解公式的结构和特征；
（2）掌握公式的几何意义；
（3）弄清公式的变化形式；
（4）注意公式在应用中条件；
（5）应灵活地应用公式来解题。
通过本课学习，使学生体会数形结合的数学思想。
7、作业布置：P37 页习题12.3 第 2、4 题
8、 教学反思
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