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用字母表示数及整式（提高）知识讲解
【学习目标】
1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；
2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系.
【要点梳理】
要点一、字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更
具有普遍意义了．举例：如果用a、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示
为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba
要点二、代数式
1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，
等式子，它们都是用运算符号把数和
字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
要点诠释：
带等号或不等号的式子不是代数式，如
，
，
等都不是代数式.
2.列代数式：
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数
式，使问题变得简洁，更具一般性．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形
式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.
3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得
出的结果，叫做代数式的值.
要点三、整式
1.单项式
（1）单项式的定义：如
，
，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，
单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如
就不是单项式，因为
它无法写成数字与字母的乘积．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：
①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．
②圆周率π 是常数，单项式中出现π 时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1 或-1 时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：
写成
．
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（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
2．多项式
(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：
①多项式的每一项包括它前面的符号．
②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：
是一个三项式．
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫
做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把
多项式按这个字母升幂排列．
如:多项式2x3y2-xy3+ 2
1 x2y4-5x4-6 是六次五项式,按x 的降幂排列为
-5x4+2x3y2+
x2y4-xy3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列
为-6-5x4+2x3y2-xy3+
x2y4．
要点诠释：
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
3.整式：单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是
代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
【典型例题】
类型一、字母表示数
1．填空：
(1)某商场将一种商品A 按标价的9 折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A 的
标价为a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．
（2）有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40 块，女生每
人搬了30 块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a．b 的代数式表示）．
【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
【答案】(1)
；(2)（40a+30b）
【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打
折”等问题，打几折就是标价的十分之几．
【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：
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(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝
．
举一反三：
【变式】甲商品的进价为1400 元，若标价为a 元，按标价的9 折出售；乙商品的进价是400 元，
若标价为b 元，按标价的8 折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：
________．
【答案】甲商品的利润率为
，乙商品的利润率为：
．
类型二、代数式
2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140 度，按每度0.43 元
收费；如果超过140 度，超过部分按每度0.57 元收费．
（1）若某用户10 月份用去a 度电，则他应缴多少电费？
（2）若该用户11 月份用了150 度电，则该缴多少电费？
【思路点拨】当a﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140 元，
另一部分为0.57×（a-140）元.
【答案与解析】
解：（1）当a≤140 时，电费为0.43 元；
当a＞140 时，电费为：
元.
（2）因为用电量为150 度，大于140 度，
因此把a＝150 代入代数式
，得
（元）.
因此，该缴电费65.9 元.
【总结升华】根据a 的不同取值，分别对应不同的代数式．
举一反三：
【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a 块，往下每层多铺一块，最下面一
层铺了b 块，共铺了n 层，共铺石块 块？当a＝20，b＝40，n＝17 时，堤坝的这个截面铺
石块 块？
【答案】
（a＋b）n，510 块.
【变式2】代数式
（a＋b）n 的意义.
【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为
，则
表示“这两个数平均数的n 倍.
类型三、整式
3．指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？并指出单项式的系
数与次数，多项式是几次几项式.
，
，
，10，
，
，
，
，
，
.
【答案与解析】
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解：单项式有：
，10，
，
．
多项式有：
，
，
，
．
整式有：
，
，
，10，
，
，
，
．
单项式的系数分别为：－1，10，
，1．
单项式的次数分别为：1，0，3，7.
多项式的次数与项数分别为：二次二项式，一次二项式，二次二项式，二次三项式.
【总结升华】
不是整式，因为分母中含有字母；
也不是多项式，因为
不是
单项式；
为常数．
举一反三：
【变式】下列代数式：
，其
中单项式是_______________，多项式是_______________.
【答案】①②③，④⑥
4．已知多项式
．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m 的值．
【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项
的系数是-6，次数是3；第二项
的系数是-7，次数是3m+1；第三项
的系数是
，次数是4；第四项
系
数是-l，次数3；第五项-5 系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得
的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
【总结升华】对于单项式
的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用
字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
举一反三：
【变式】多项式
是关于
的二次三项式，求a 与b 的差的相反数．
【答案】
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