文档文本内容
分式的概念和性质（提高）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件.
2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.
【要点梳理】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
叫做分式.其中A 叫做
分子，B 叫做分母.
要点诠释：
（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式
是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都
不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分
式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π 表示圆周率，是一个
常数，不是字母，如
是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不
能先化简，如
是分式，与
有区别，
是整式，即只看形式，不能
看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点诠释：
（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必
须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中
分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做分
式的基本性质，用式子表示是：
（其中M 是不等于零的整式）.
要点诠释：
（1）基本性质中的A、B、M 表示的是整式.其中B≠0 是已知条件中隐含着的条
件，一般在解题过程中不另强调；M≠0 是在解题过程中另外附加的条件
在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字
母的取值范围有可能发生变化.例如：
，在变形后，字母
的取值范围变大了.
要点四、分式的变号法则
第1页 共5页
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其
中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有
，
.根据有理数除法的符号法则有
.分式
与
互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着
重要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，
这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外），那
么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：
（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再
没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是
分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的
分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分
母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【典型例题】
类型一、分式的概念
1、指出下列各式中的整式与分式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【答案与解析】
解：整式有：
，
，
，
，
；
分式有：
，
，
，
．
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一
个是把π 也看作字母来判断，没有弄清π 是一个常数；另一个就是将分式化简成
整式后再判断，如
和
，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值
范围是不相同的．
类型二、分式有意义，分式值为0
2、 当
取什么数时，下列分式有意义？当
取什么数时，下列分式的值为零？
第2页 共5页
（1）
；（2）
；（3）
．
【答案与解析】
解：（1）当
，即
时，分式有意义．
∵
为非负数，不可能等于－1，
∴ 对于任意实数
，分式都有意义；
当
时，分式的值为零．
（2）当
即
时，分式有意义；
当
即
时，分式的值为零
（3）当
，即
时，分式有意义；
当
时，分式的值为零，
由①得
时，由②得
，互相矛盾．
∴ 不论
取什么值，分式
的值都不等于零．
【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零．
举一反三：
【变式1】若分式
6
5
2
2
x
x
x
的值为0，则x 的值为___________________.
【答案】－2；
提示：由题意
，
，所以
.
【变式2】当
取何值时，分式
的值恒为负数？
【答案】
解： 由题意可知
或
解不等式组
该不等式组无解．
解不等式组
得
．
第3页 共5页
所以当
时，分式
的值恒为负数．
类型三、分式的基本性质
3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.
(1)
； (2)
； (3)
.
【答案与解析】
解：(1)
；
(2)
；
(3)
.
【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：当
括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都
变号.
举一反三：
【变式】下列分式变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D；
提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0 的整式这一条
件．其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中
这一条件不知是否成
立，故A、B 两项均是错的．C 项左边可化为：
，故C 项亦错，
只有D 项的变形是正确的．
类型四、分式的约分
4、约分：（1）
；（2）
；
【答案与解析】
解：（1）
；
第4页 共5页
（2）
.
【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、
分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．
类型五、分式条件求值
5、若
，求
的值．
【答案与解析】
解法一：因为
，可知
，
所以
．
解法二：因为
，
所以
，且
，
所以
．
【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有
不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到
化简的目的．
举一反三：
【变式】已知
，求
的值．
【答案】
解： 设
，则
，
，
．
∴
．
第5页 共5页
