文档文本内容
第一节 分式运算
1.（2017 黄冈）计算(a-
a
ab b
2
2
)÷
a
b
a的结果是______________________.
2.（2017 咸宁）a，b 互为倒数，代数式
b
a
ab b
a
2
2 2
÷（a
1 + b
1 ）的值为_____________.
3.（2017 泰州）化简（
﹣
）÷
．
4.（2017 德州）化简
﹣
等于（ ）
A．B．C．﹣
D．﹣
第二节 分式的化简求值及证明
1.（2017 十堰）化简：
．
2.（2017 随州）先化简，再求值：（
﹣x+1）÷
，其中x=
﹣2．
3.（2017 常德）先化简，再求值：（
）
，其中x=2．
4.（2017 娄底）先化简，再求值：（1﹣
）•
，其中x 是从1，2，3 中选取
的一个合适的数．
5.(2017 永州）化简：
÷
=
．
6.（2017 呼和浩特）先化简，再求值：
﹣
÷
，其中x=﹣
．
7.（2017 宁夏）化简求值：（
）
，其中a=2+
．
8.（2017 滨州）先化简，再求值：
÷（
﹣
），其中a=
．
9.(2017 聊城）计算：（
﹣
）
．
10.（2017 泰安）化简：
÷
﹣
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．a
11.（2017 烟台)先化简，再求值：（
﹣x﹣1）÷
，其中x=
，y=
．
12.（2017 巴中）先化简：
÷（
﹣），然后再从﹣2＜x≤2 的范围内选取一个
合适的x 的整数值代入求值．
13.（2017 广安）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x 满足2x+4=0．
14.（2017 凉州）先化简，再求值：
，其中实数x、y 满足
．
15.（2017 资阳）化简：（1+
）÷
．
4.（2017 福建竞赛）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
第三节 分式方程及应用
1.（2017 贺州）若关于x 的分式方程
的解为非负数，则a 的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1 且a≠4 D．a＞1 且a≠4
2.（2017 大庆）某车间计划加工360 个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原
计划多加工20%，结果提前10 天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？
3.（2017 十堰）用换元法解方程
﹣
=3 时，设
=y，则原方程可化为（
）
A．y=
﹣3=0 B．y﹣
﹣3=0 C．y﹣
+3=0 D．y﹣
+3=0
4.（2017 随州）某校学生利用双休时间去距学校10km 的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车
先走，过了20min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度
是骑车学生速度的2 倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
5.（2017 襄阳）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建
设，甲队单独施工30 天完成该项工程的3
1
，这时乙队加入，两队还需同时施工15 天，才
能完成该项工程．
(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36 天，则乙队至少施工多少天才能完成该
项工程?
6.（2017 常德）某服装店用4500 元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100 元
购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10
元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200 元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于
1950 元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
7.（2017 岳阳）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足
活动．已知学校与君山岛相距24 千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行
车的平均速度是学生步行平均速度的2.5 倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛
时，服务人员所花时间比学生少用了3.6 小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
8.（2017 无锡）分式方程=
的解是
．
9.（2017 大连）A、B 两地相距200 千米，甲车从A 地出发匀速开往B 地，乙车同时从B 地出发
匀速开往A 地，两车相遇时距A 地80 千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30 千米，求甲、乙
两车的速度．
10.（2017 呼和浩特）某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．
根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6 天可以
完成，共需工程费用385200 元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5 天，每天的工
程费用甲队比乙队多4000 元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？
11.（2017 宁夏）某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76 元，从A
地到B 地用电行驶纯电费用26 元，已知每行驶1 千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5 元．
（1）求每行驶1 千米纯用电的费用；
（2）若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39 元，则至少用电行驶
多少千米？
12.（2017 菏泽）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双
面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4 厚型纸单面打印，总质量为400 克，将其
全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4 薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160
克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8 克，求A4 薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
13.（2017 聊城）为加快城市群的建设与发展，在A，B 两城市间新建条城际铁路，建成后，铁
路运行里程由现在的120km 缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快
110km，运行时间仅是现行时间的
，求建成后的城际铁路在A，B 两地的运行时间．
14.（2017 达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500 元
餐椅
a﹣110
70
已知用600 元购进的餐桌数量与用160 元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a 的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5 倍还多20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过
200 张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐
椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10 元，按照（2）中获得最大利润
的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，
所得利润比（2）中的最大利润少了2250 元．请问本次成套的销售量为多少？
15（2017 广安）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m 的污水排放管道，铺设120m 后，
为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11 天完成这一任务，求原计划每天
铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm 管道，那么根据题意，可列方程
．
16.（2017 凉州）关于x 的方程
无解，则m 的值为（ ）
A．﹣5
B．﹣8
C．﹣2
D．5
17.（2017 新疆)两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500 米，
第一组的步行速度是第二组的1.2 倍，并且比第二组早15 分钟到达乙地．设第二组
的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）
A．
﹣
=15 B．
﹣
=
C．
﹣
=15 D．
﹣
=
18.（2017 山东烟台）2014 年12 月28 日“青烟威荣”城际铁路正式开通.从烟台到北京的
高铁里程比普快里程缩短了81 千米，运行时间减少了9 小时. 已知烟台到北京的普快列车
里程约1026 千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5 倍.
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630 千米的某市参加14：00 召开的会议，如果他买到当日
8：40 从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5 小时，试问在高铁
列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
19.（2017 山东青岛）某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6m 材料制成甲盒的个数比
制成乙盒的个数少2 个，且制作一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？
(2)如果制作甲、乙两种包装盒共3000 个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2 倍.那么请写出
所需材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米
材料？
答案：
第四节 分式运算
1.（2017 黄冈）计算(a-
a
ab b
2
2
)÷
a
b
a的结果是______________________.
【考点】分式的混合运算.
【分析】将原式中的括号内的两项通分，分子可化为完全平方式，再将后式的分子分母掉换位
置相乘，再约分即可。
【解答】解：(a-
a
ab b
2
2
)÷
a
b
a=
a
ab
b
a
2
2 2
÷
a
b
a
=
a
b
a
)
(
2
·
b
a
a
=a-b.
故答案为：a-b.
2.（2017 咸宁）a，b 互为倒数，代数式
b
a
ab b
a
2
2 2
÷（a
1 + b
1 ）的值为_____________.
【考点】倒数的性质，代数式求值，分式的化简．
【分析】a、b 互为倒数，则ab=1，或
. 先将前式的分子化为完全平方式，然后将括号内
的式子通分，再将分子分母颠倒位置转化为乘法运算，约分后根据倒数的性质即可得出答案.
【解答】解：
b
a
ab b
a
2
2 2
÷（a
1 + b
1 ）=
b
a
b
a
)
(
2
÷ ab
b
a
=（a+b）·
b
a
qb
=ab.
又∵a，b 互为倒数，
∴ab=1.
故答案为：1.
【点评】本题考查了倒数的性质，代数式求值，分式的化简．要熟知倒数的性质：若a、b 互为倒
数，则ab=1，或
，反之也成立.
3.（2017 泰州）化简（
﹣
）÷
．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先将括号内的分式通分，进行减法运算，再将除法转化为乘法，然后化简即可．
【解答】解：
（
﹣
）÷
=（
﹣
）•
=
•
=
．
4.（2017 德州）化简
﹣
等于（ ）
A．B．C．﹣
D．﹣
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=
+
=
+
=
= ，
故选B
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第五节 分式的化简求值及证明
1.（2017 十堰）化简：
．
【考点】分式的加减法．
【分析】首先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，然后根据分式的加减法法
则分母不变，分子相加即可．
【解答】解：
=
+
+2
=
+
+2
=
+
+
=
=
【点评】本题考查了分式的加减法法则、分式的通分、约分以及因式分解；熟练掌握分式的通
分是解决问题的关键．
2.（2017 随州）先化简，再求值：（
﹣x+1）÷
，其中x=
﹣2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x 的值即可求解．
【解答】解：原式=[
﹣
]•
=
•
=
，
当x=
﹣2 时，
原式=
=
=2
．
3.（2017 常德）先化简，再求值：（
）
，其中x=2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x 的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=[
+
]÷[
﹣
]
=
÷
=
÷
=
•
=
，
当x=2 时，原式=
=
．
4.（2017 娄底）先化简，再求值：（1﹣
）•
，其中x 是从1，2，3 中选取
的一个合适的数．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最后代入化
简即可．
【解答】解：原式=
•
=
．
当x=2 时，原式=
=﹣2．
5.(2017 永州）化简：
÷
=
．
【考点】分式的乘除法．
【分析】将分子、分母因式分解，除法转化为乘法，再约分即可．
【解答】解：原式=
•
=
，
故答案为：
．
6.（2017 呼和浩特）先化简，再求值：
﹣
÷
，其中x=﹣
．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算除法，再算加减，最后把x 的值代入进行计算即可．
【解答】原式=
﹣
•
=
+
=
=
，
当x=﹣
时，原式=
=﹣
．
7.（2017 宁夏）化简求值：（
）
，其中a=2+
．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则
变形，约分后两项化简得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=[
+
]•
+
=
•
+
=
=
，
当a=2+
时，原式=
+1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.（2017 滨州）先化简，再求值：
÷（
﹣
），其中a=
．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分化简，然后把乘除化为乘法，最后代入计算即可．
【解答】解：原式=
÷[
﹣
]
=
÷
=
•
=（a﹣2）2，
∵a=
，
∴原式=（
﹣2）2=6﹣4
【点评】本题考查分式的混合运算化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，通
分时学会确定最简公分母，能先约分的先约分化简，属于中考常考题型．
9.(2017 聊城）计算：（
﹣
）
．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
【解答】解：原式=
•
=
•
=﹣
．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.（2017 泰安）化简：
÷
﹣
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．a
【分析】先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计
算分式的加法即可．
【解答】解：原式=
×
﹣
=
﹣
=
，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的
关键．
11.（2017 烟台)先化简，再求值：（
﹣x﹣1）÷
，其中x=
，y=
．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先将括号里面进行通分，进而将能分解因式的分解因式，再化简求出答案．
【解答】解：（
﹣x﹣1）÷
，
=（
﹣
﹣）×
=
×
=﹣
，
把x=
，y=
代入得：
原式=﹣
=﹣1+
．
12.（2017 巴中）先化简：
÷（
﹣），然后再从﹣2＜x≤2 的范围内选取一个
合适的x 的整数值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0 的量，根据不为0 的量结合x 的取值范
围得出合适的x 的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论．
【解答】解：
÷（
﹣）
=
÷
=
×
=
．
其中
，即x≠﹣1、0、1．
又∵﹣2＜x≤2 且x 为整数，
∴x=2．
将x=2 代入
中得：
=
=4．
13.（2017 广安）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x 满足2x+4=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，求出已知方程的解得到x 的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=
•
=
，
由2x+4=0，得到x=﹣2，
则原式=5．
14.（2017 凉州）先化简，再求值：
，其中实数x、y 满足
．
【考点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，根据负数没有平方根求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=
•
=
，
∵y=
﹣
+1，
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，即x﹣2=0，
解得：x=2，y=1，
则原式=2．
15.（2017 资阳）化简：（1+
）÷
．
【考点】分式的混合运算．
【分析】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可．
【解答】解：原式=
÷
=
•
=a﹣1．
4.（2017 福建竞赛）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解答】 由
，知
，
，
，
。
∴
。
第六节 分式方程及应用
1.（2017 贺州）若关于x 的分式方程
的解为非负数，则a 的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1 且a≠4 D．a＞1 且a≠4
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程
分母不为0 求出a 的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=
，
由题意得：
≥0 且
≠2，
解得：a≥1 且a≠4，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
2.（2017 大庆）某车间计划加工360 个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原
计划多加工20%，结果提前10 天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？
【考点】分式方程的应用．
【分析】关键描述语为：“提前10 天完成任务”；等量关系为：原计划天数=实际生产天数
+10．
【解答】解：设原计划每天能加工x 个零件，
可得：
，
解得：x=6，
经检验x=6 是原方程的解，
答：原计划每天能加工6 个零件．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决
问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．
3.（2017 十堰）用换元法解方程
﹣
=3 时，设
=y，则原方程可化为（
）
A．y=
﹣3=0 B．y﹣
﹣3=0 C．y﹣
+3=0 D．y﹣
+3=0
【考点】换元法解分式方程．
【分析】直接利用已知将原式用y 替换得出答案．
【解答】解：∵设
=y，
∴
﹣
=3，可转化为：y﹣
=3，
即y﹣
﹣3=0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y 与x 值间的关系是解题关键．
4.（2017 随州）某校学生利用双休时间去距学校10km 的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车
先走，过了20min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度
是骑车学生速度的2 倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先
走，过了20min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列
出方程．
【解答】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，汽车的速度为2x 千米/小时，
可得：
，
解得：x=15，
经检验x=15 是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．
5.（2017 襄阳）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建
设，甲队单独施工30 天完成该项工程的3
1
，这时乙队加入，两队还需同时施工15 天，才
能完成该项工程．
(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36 天，则乙队至少施工多少天才能完成该
解：(1)由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为
3
1
30
=90(天)．
(2)设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，则
.1
15
90
15
30
x
去分母，得x+30=2x．解之，得x=30．
经检验x=30 是原方程的解．
答：乙队单独施工需要30 天完成．
(2)设乙队施工y 天完成该项工程，则
90
36
30
1
y
解之得y≥l8．
答：乙队至少施工18 天才能完成该项工程．
项工程?
6.（2017 常德）某服装店用4500 元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100 元
购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10
元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200 元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于
1950 元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，再根
据等量关系：第二批进的件数=
×第一批进的件数可得方程；
（2）设第二批衬衫每件售价y 元，由利润=售价﹣进价，根据这两批衬衫售完后的总
利润不低于1950 元，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，
根据题意可得：
，
解得：x=150，
经检验x=150 是原方程的解，
答：第一批T 恤衫每件进价是150 元，第二批每件进价是140 元，
（件），
（件），
答：第一批T 恤衫进了30 件，第二批进了15 件；
（2）设第二批衬衫每件售价y 元，根据题意可得：
30×+15（y﹣140）≥1950，
解得：y≥170，
答：第二批衬衫每件至少要售170 元．
7.（2017 岳阳）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足
活动．已知学校与君山岛相距24 千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行
车的平均速度是学生步行平均速度的2.5 倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛
时，服务人员所花时间比学生少用了3.6 小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时
2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24 千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6 小时，可
列方程求解．
【解答】解：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，
根据题意：
﹣
=3.6，
解得：x=3，
经检验，x=3 是所列方程的解，且符合题意．
答：学生步行的平均速度是每小时3 千米．
8.（2017 无锡）分式方程=
的解是
x=4
．
【考点】分式方程的解．
【分析】首先把分式方程=
的两边同时乘x（x﹣1），把化分式方程为整式方程；然后根
据整式方程的求解方法，求出分式方程=
的解是多少即可．
【解答】解：分式方程的两边同时乘x（x﹣1），可得
4（x﹣1）=3x
解得x=4，
经检验x=4 是分式方程的解．
故答案为：x=4．
9.（2017 大连）A、B 两地相距200 千米，甲车从A 地出发匀速开往B 地，乙车同时从B 地出发
匀速开往A 地，两车相遇时距A 地80 千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30 千米，求甲、乙
两车的速度．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据题意，可以设出甲、乙的速度，然后根据题目中的关系，列出相应的方程，本题得
以解决．
【解答】解：设甲车的速度是x 千米/时，乙车的速度为（x+30）千米/时，
解得，x=60，
则x+30=90，
即甲车的速度是60 千米/时，乙车的速度是90 千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，发现
题目中的数量关系，列出相应的方程．
10.（2017 呼和浩特）某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．
根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6 天可以
完成，共需工程费用385200 元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5 天，每天的工
程费用甲队比乙队多4000 元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设甲队单独完成此项工程需要x 天，乙队单独完成需要（x+5）天，然后依据6 天可以
完成，列出关于x 的方程，从而可求得甲、乙两队单独完成需要的天数，然后设甲队每天的工
程费为y 元，则可表示出乙队每天的工程费，接下来，根据两队合作6 天的工程费用为
385200 元列方程求解，于是可得到两队独做一天各自的工程费，然后可求得完成此项工程的
工程费，从而可得出问题的答案．
【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要x 天，乙队单独完成需要（x+5）天．
依据题意可列方程：
+
=
，
解得：x1=10，x2=﹣3（舍去）．
经检验：x=10 是原方程的解．
设甲队每天的工程费为y 元．
依据题意可列方程：6y+6（y﹣4000）=385200，
解得：y=34100．
甲队完成此项工程费用为34100×10=341000 元．
乙队完成此项工程费用为30100×15=451500 元．
答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．
11.（2017 宁夏）某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76 元，从A
地到B 地用电行驶纯电费用26 元，已知每行驶1 千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5 元．
（1）求每行驶1 千米纯用电的费用；
（2）若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39 元，则至少用电行驶
多少千米？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】方程与不等式．
【分析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76 元，从A
地到B 地用电行驶纯电费用26 元，已知每行驶1 千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5 元，
可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；
（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解
答本题．
【解答】解：（1）设每行驶1 千米纯用电的费用为x 元，
=
解得，x=0.26
经检验，x=0.26 是原分式方程的解，
即每行驶1 千米纯用电的费用为0.26 元；
（2）从A 地到B 地油电混合行驶，用电行驶y 千米，
0.26y+（
﹣y）×（0.26+0.50）≤39
解得，y≥74，
即至少用电行驶74 千米．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相
应的分式方程与不等式，注意分式方程在最后要检验．
12.（2017 菏泽）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双
面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4 厚型纸单面打印，总质量为400 克，将其
全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4 薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160
克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8 克，求A4 薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【考点】分式方程的应用．
【分析】设A4 薄型纸每页的质量为x 克，则A4 厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据
“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【解答】解：设A4 薄型纸每页的质量为x 克，则A4 厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，
根据题意，得：
=2×
，
解得：x=3.2，
经检验：x=3.2 是原分式方程的解，且符合题意，
答：A4 薄型纸每页的质量为3.2 克．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题
的关键．
13.（2017 聊城）为加快城市群的建设与发展，在A，B 两城市间新建条城际铁路，建成后，铁
路运行里程由现在的120km 缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快
110km，运行时间仅是现行时间的
，求建成后的城际铁路在A，B 两地的运行时间．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设城际铁路现行速度是xkm/h，设计时速是（x+110）xkm/h；现行路程是120km，设计路
程是114km，由时间=
，运行时间=
现行时间，就可以列方程了．
【解答】解：设城际铁路现行速度是xkm/h．
由题意得：
×
=
．
解这个方程得：x=80．
经检验：x=80 是原方程的根，且符合题意．
则
×
=
×
=0.6（h）．
答：建成后的城际铁路在A，B 两地的运行时间是0.6h．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问
题的关键．
14.（2017 达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500 元
餐椅
a﹣110
70
已知用600 元购进的餐桌数量与用160 元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a 的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5 倍还多20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过
200 张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐
椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10 元，按照（2）中获得最大利润
的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，
所得利润比（2）中的最大利润少了2250 元．请问本次成套的销售量为多少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x 张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W 元．根据购进总数量不超过200 张，得出
关于x 的一元一次不等式，解不等式即可得出x 的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利
润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W 关于x 的一次函数，根据一次函数的性质
即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m 套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系
找出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得
=
，
解得a=150，
经检验，a=150 是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x 张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W 元．
由题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
∵a=150，
∴餐桌的进价为150 元/张，餐椅的进价为40 元/张．
依题意可知：
W= x•+ x•+（5x+20﹣x•4）•（70﹣40）=245x+600，
∵k=245＞0，
∴W 关于x 的函数单调递增，
∴当x=30 时，W 取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30 张、餐椅170 张时，才能获得最大利润，最大利润是7950 元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160 元，每张餐椅的进价为50 元，
设本次成套销售量为m 套．
依题意得：m+（30﹣m）×+×（70﹣50）=7950﹣2250，
即6700﹣50m=5700，解得：m=20．
答：本次成套的销售量为20 套．
15（2017 广安）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m 的污水排放管道，铺设120m 后，
为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11 天完成这一任务，求原计划每天
铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm 管道，那么根据题意，可列方程
．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故答案为：
．
16.（2017 凉州）关于x 的方程
无解，则m 的值为（ ）
A．﹣5
B．﹣8
C．﹣2
D．5
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x 的值，代入整式
方程求出m 的值即可．
【解答】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，
代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，
解得：m=﹣5，
故选A
17.（2017 新疆)两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500 米，
第一组的步行速度是第二组的1.2 倍，并且比第二组早15 分钟到达乙地．设第二组
的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）
A．
﹣
=15 B．
﹣
=
C．
﹣
=15 D．
﹣
=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间=路程÷速度”即可找
出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早15 分钟（
小时）到达乙地
即可列出分式方程，由此即可得出结论．
【解答】解：设第二组的步行速度为x 千米/小时，则第一组的步行速度为1.2x 千
米/小时，
第一组到达乙地的时间为：7.5÷1.2x；
第二组到达乙地的时间为：7.5÷x；
∵第一组比第二组早15 分钟（
小时）到达乙地，
∴列出方程为：
﹣
=
=
．
故答案为D．
18.（2017 山东烟台）2014 年12 月28 日“青烟威荣”城际铁路正式开通.从烟台到北京的
高铁里程比普快里程缩短了81 千米，运行时间减少了9 小时. 已知烟台到北京的普快列车
里程约1026 千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5 倍.
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630 千米的某市参加14：00 召开的会议，如果他买到当日
8：40 从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5 小时，试问在高铁
列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
解：（1）设普快列车的平均时速为x 千米/时，则高铁列车的平均时速为2.5x 千米/时.
根据题意，得
.
解得x=72.
经检验x=72 是原方程的解.
2.5x=180.
答：高铁列车的平均时速为180 千米/时.
（2）630÷180=3.5（小时），3.5+1.5=5（小时），8：40+5=13：40.
∴可以在14：00 之前赶到会议.
19.（2017 山东青岛）某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6m 材料制成甲盒的个数比
制成乙盒的个数少2 个，且制作一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？
(2)如果制作甲、乙两种包装盒共3000 个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2 倍.那么请写出
所需材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米
材料？
【答案】解：(1)设制作每个甲盒用x 米材料，制作每个乙盒用y 米材料，由题意得
，解得
.
答：制作每个甲盒用
米材料，制作每个乙盒用
米材料.
(2)∵甲盒数量是n 个，
∴乙盒数量是（3000-n）个.
∴
.
∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2 倍，
∴n≥2(3000-n)，
∴n≥2000.
∴当n=2000 时，所需材料最少，最少为：
(m).
