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苏科版版八年级下册数学第一次月考试卷
一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，采用普查方式
B．乘坐地铁前的安检，采用抽样调查方式
C．了解江苏省中学生睡眠时间，采用普查方式
D．了解清明节南京市市民扫墓方式，采用抽样调查方式
3．下列事件中：①两个奇数的乘积是奇数；②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2；③
每天太阳从东边升起；④明天要下雨；⑤长分别为2，3，4 的三条线段能围成一个三
角形．是必然事件的是（ ）
A．①②③④⑤
B．①③⑤
C．②④
D．①③
4．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，下列条件不能判定这个四边形
是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC
D．AB∥DC，DO＝BO
5．如图，在矩形ABCD 中，AC、BD 交于点O，DE⊥AC 于点E，∠AOD＝110°，则
∠CDE 大小是（ ）
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1
A．55°
B．40°
C．35°
D．20°
6．如图，在▱ABCD 中，AD＝2AB，F 是AD 的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB 上，
连接EF、CF，下列结论中：①∠DCF＝
∠BCD；②∠DFE＝3∠AEF；③EF＝
CF；④S△BEC＝S△CEF．一定成立的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④
二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
7．为了更清楚地看出病人24 小时的体温变化情况，应选用 统计图来描述数据．
8．有两个不透明的袋子，第一个袋子里装有3 个红球和4 个黑球，第二个袋子里装有4 个
红球和3 个黑球，这些球除颜色外其他都相同，分别从袋子中摸出一个球，从第
个袋子里摸出黑球的可能性大．
9．如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转95°，得到△EBD，若点E 恰好落在AD 的延长线上
则∠CAD＝ °．
10．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，且AD＝8cm，BC＝6cm，点P、Q 分别从点A、
C 同时出发，点P 以1cm/s 的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由点C 向点
B 运动，当点P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则
s 后四边形PQCD 是平行四边形．
11．已知菱形ABCD 中，对角线AC＝3，BD＝4，则该菱形AB 与CD 之间的距离是
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2
．
12．如图，在四边形ABCD 中，P、Q、M、N 分别是AD、BC、BD、AC 的中点，当四边
形ABCD 满足 时（填写一个条件），PQ⊥MN．
13．如图，在菱形ABCD 中，∠A＝120°，AB＝2，点E 为BC 的中点，P 为对角线BD 上的
一个动点，分别连接PE、PC，则PE+PC 的最小值＝ ．
14．如图，将边长都为1 的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…An分别是正方形的中心，
则2021 个这样的正方形重叠部分的面积和为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的点A 和点C 分别落在x 轴和y 轴上，AO＝
4，CO＝2，直线y＝3x+1 以每秒2 个单位长度向下移动，经过 秒该直线可将矩形
OABC 的面积平分．
16．如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，点E 是直线AB 上的一个动点，且△AEC 是以
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3
AC 为腰的等腰三角形，则∠BCE＝ ．
三、解答题（本大题共10 小题，共68 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6 分）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C
（﹣1，0）．
（1）画出将△ABC 关于原点O 中心对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1 点的坐标
；
（2）画出将△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
18．（5 分）某地区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超
出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决
策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了不完整的统计图（每组数
据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：
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4
（1）此次抽样调查的样本容量是 ．
（2）补全频数分布直方图，扇形图中“15 吨～20 吨”部分的圆心角的度数＝ ．
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25 吨，那么估计该地区10 万用户中约有
多少用户的用水全部享受基本价格？
19．（5 分）某品种小麦种子在相同条件下的发芽试验的结果如表：
每批小麦粒
数n
100
150
200
500
800
1000
发芽的粒数
m
65
108
146
355
560
700
发芽的频率
0.65
①
0.73
0.72
0.70
②
（1）请你完成上面的表格：① ；② ．
（2）该品种小麦种子发芽的概率估计值是多少？简要说明理由．
20．（6 分）如图，在▱ABCD 中，点E、F 在直线AC 上，且AE＝CF．求证：DE∥BF．
21．（6 分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EC 平分∠BED．
（1）△BEC 是否为等腰三角形？为什么？
（2）已知AB＝1，∠ABE＝45°，求BC 的长．
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22．（6 分）利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图， ；
求证： ；
证明：
23．（8 分）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 边的中点，过点A 作
AF∥CB 交CE 的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形BDAF 为矩形，并说明理由．
24．（8 分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A，D 不重
合），G、F、H 分别是BE、BC、CE 的中点．
（1）证明：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，证明：四边形EGFH 是正方
形．
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6
25．（8 分）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD 的顶点A、B 分别在OM、ON 上，AB＝
13，OB＝5，E 为AC 上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE 与ON 交于点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）判断DF 与ON 的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF 的周长为 ．
26．（10 分）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）
相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形ABCD 中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD 是“准矩形”；
如图②，在四边形ABCD 中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD 是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1 的正方形网格中，A、B、C 在格点（小正方形的顶点）上，请
分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD 和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′
在格点上）；
（2）下列说法正确的有 ；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；
②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；
④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC 中，∠ABC＝90°，以AC 为一边向外作“准菱形”ACEF，且
AC＝EC，AF＝EF，AE、CF 交于点D．
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7
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF 是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD＝
，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四
边形ACEF 的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰
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8
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第二个图，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
第三个图，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第四个图，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：C．
2．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，采用普查方式
B．乘坐地铁前的安检，采用抽样调查方式
C．了解江苏省中学生睡眠时间，采用普查方式
D．了解清明节南京市市民扫墓方式，采用抽样调查方式
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查
得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，适合抽样调查，故本选项不
合题意；
B、乘坐地铁前的安检，适合全面调查，故本选项不合题意；
C、了解江苏省中学生睡眠时间，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、了解清明节南京市市民扫墓方式，适合抽样调查，故本选项符合题意；
故选：D．
3．下列事件中：①两个奇数的乘积是奇数；②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2；③
每天太阳从东边升起；④明天要下雨；⑤长分别为2，3，4 的三条线段能围成一个三
角形．是必然事件的是（ ）
A．①②③④⑤
B．①③⑤
C．②④
D．①③
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：①两个奇数的乘积是奇数，是必然事件；
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②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2，是随机事件；
③每天太阳从东边升起，是必然事件；
④明天要下雨是随机事件；
⑤长分别为2，3，4 的三条线段能围成一个三角形，是必然事件；
故选：B．
4．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，下列条件不能判定这个四边形
是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC
D．AB∥DC，DO＝BO
【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得
出结论．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB＝∠OCD，
∴不能得到AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB 和△COD 中，
，
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10
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝DC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，在矩形ABCD 中，AC、BD 交于点O，DE⊥AC 于点E，∠AOD＝110°，则
∠CDE 大小是（ ）
A．55°
B．40°
C．35°
D．20°
【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°，由直角三角形的性
质求出∠ODE＝20°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝
（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故选：C．
6．如图，在▱ABCD 中，AD＝2AB，F 是AD 的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB 上，
连接EF、CF，下列结论中：①∠DCF＝
∠BCD；②∠DFE＝3∠AEF；③EF＝
CF；④S△BEC＝S△CEF．一定成立的是（ ）
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11
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF
（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F 是AD 的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD 中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝
∠BCD，故①正确；
②设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故②正确；
③延长EF，交CD 延长线于M，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F 为AD 中点，
∴AF＝FD，
在△AEF 和△DFM 中，
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12
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF，故③正确；
④∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故④错误；
故选：B．
二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
7．为了更清楚地看出病人24 小时的体温变化情况，应选用 折线 统计图来描述数据．
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，
而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况
选择即可．
【解答】解：根据统计图的特点可知：护士想用统计图记录病人24 小时体温变化情况，
她应选用折线统计图；
故答案为：折线．
8．有两个不透明的袋子，第一个袋子里装有3 个红球和4 个黑球，第二个袋子里装有4 个
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红球和3 个黑球，这些球除颜色外其他都相同，分别从袋子中摸出一个球，从第
1
个袋子里摸出黑球的可能性大．
【分析】根据概率公式求出第一个袋子和第二个袋子中黑球的概率，再进行比较，即可
得出答案．
【解答】解：∵第一个袋子里装有3 个红球和4 个黑球，
∴摸出黑球的概率是
＝
，
∵第二个袋子里装有4 个红球和3 个黑球，
∴摸出黑球的概率是
＝
，
∵
＞
，
∴从第1 个袋子里摸出黑球的可能性大．
故答案为：1．
9．如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转95°，得到△EBD，若点E 恰好落在AD 的延长线上
则∠CAD＝
85
°．
【分析】利用旋转的性质得出旋转前后对应线段相等、对应角相等即可．
【解答】解：∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转95°，
∴∠ABE＝95°，AB＝BE，∠CAB＝∠E，
∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAB＝∠BAE+∠E＝180°﹣∠ABE
＝180°﹣95°
＝85°，
故答案为：85．
10．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，且AD＝8cm，BC＝6cm，点P、Q 分别从点A、
C 同时出发，点P 以1cm/s 的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由点C 向点
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B 运动，当点P、Q 中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则
s 后四边形
PQCD 是平行四边形．
【分析】当PD＝CQ 时，四边形PQCD 是平行四边形，由此得出方程，解方程即可．
【解答】解：设运动了x 秒．
根据题意有AP＝xcm，CQ＝2xcm，PD＝（8﹣x）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ 时，四边形PQCD 是平行四边形，
∴8﹣x＝2x，
解得：x＝
，
∴
s 时，四边形PDCQ 是平行四边形，
故答案为：
．
11．已知菱形ABCD 中，对角线AC＝3，BD＝4，则该菱形AB 与CD 之间的距离是
．
【分析】由菱形的面积公式可求菱形的面积，即可求解．
【解答】解：∵AC＝3，BD＝4，
∴菱形ABCD 的面积＝
＝6，菱形的边长＝
＝
，
∴AB 与CD 之间的距离＝
＝
，
故答案为
．
12．如图，在四边形ABCD 中，P、Q、M、N 分别是AD、BC、BD、AC 的中点，当四边
形ABCD 满足
AB
＝
CD
时（填写一个条件），PQ⊥MN．
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【分析】根据三角形中位线定理得到PM∥AB，PM＝
AB，NQ∥AB，NQ＝
AB，PN
＝
CD，得到四边形PMQN 是平行四边形，根据菱形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵P、Q、M、N 分别是AD、BC、BD、AC 的中点，
∴PM∥AB，PM＝
AB，NQ∥AB，NQ＝
AB，PN＝
CD，
∴PM∥NQ，PM＝NQ，
∴四边形PMQN 是平行四边形，
当AB＝CD 时，PM＝PN，
∴四边形PMQN 是菱形，
∴PQ⊥MN，
故答案为：AB＝CD．
13．如图，在菱形ABCD 中，∠A＝120°，AB＝2，点E 为BC 的中点，P 为对角线BD 上的
一个动点，分别连接PE、PC，则PE+PC 的最小值＝
．
【分析】取AB 的中点F，连接PE，EF，通过菱形的性质证明△BPF≌△BPE，得出PE
＝PF，再根据两点之间线段最短，当C，P，F 在同一条之线上时，PF+PC 最小，即
PE+PC 最小．
【解答】解：如图：
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取AB 的中点F，连接PE，EF，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BA＝BC，∠FBP＝∠EBP，
又∵E，F 分别是BC，BA 的中点，
∴BF＝
BA，BE＝
BC，
∴BE＝BF，
在△BPF 和△BPE 中，
，
∴△BPF≌△BPE（SAS），
∴PE＝PF，
∴PE+PC＝PF+PC，
C，F 是两定点，
连接CF 交BD 于P，
又∵两点之间线段最短，
∴此时PF+PC＝CF 最短，
连接AC，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，BC＝BA，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵CF 平分BA，
∴CF⊥BA，
∵AB＝2，
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∴BF＝1，BC＝2，
在Rt△BFC 中，
CF＝
＝
＝
，
∴PE+PC 的最小值为
，
故答案为：
．
14．如图，将边长都为1 的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…An分别是正方形的中心，
则2021 个这样的正方形重叠部分的面积和为
505
．
【分析】过点A1 作A1D⊥A2D 于D、A1E⊥A2E 于E，根据正方形的性质可得A1D＝
A1E，由SAS 证得△A1BD≌△A1CE，然后由全等三角形的性质可得2 个正方形重叠阴影
部分的面积等于正方形面积的
，再根据重叠部分的个数比正方形的个数少1 进行计算
即可．
【解答】解：过点A1作A1D⊥A2D 于D、A1E⊥A2E 于E，如图所示：
∵A1是正方形的中心，
∴A1D＝A1E，A1D⊥A1E，
∵∠BA1D+∠BA1E＝∠CA1E+∠BA1E，
∴∠BA1D＝∠CA1E，
在△A1BD 和△A1CE 中，
，
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∴△A1BD≌△A1CE（ASA），
∴2 个正方形重叠阴影部分的面积＝正方形面积的
＝
×12＝
，
∴2021 个这样的正方形重叠部分的面积和＝
×（2021﹣1）＝505，
故答案为：505．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的点A 和点C 分别落在x 轴和y 轴上，AO＝
4，CO＝2，直线y＝3x+1 以每秒2 个单位长度向下移动，经过
3
秒该直线可将矩形
OABC 的面积平分．
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝3x+1 经过D 点时，该直线可将矩形
OABC 的面积平分，然后计算出过D 且平行直线y＝3x+1 的直线解析式，从而可得直线
y＝3x+1 要向下平移6 个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，
当y＝3x+1 经过D 点时，该直线可将▱OABC 的面积平分；
∵AC，BO 是▱OABC 的对角线，
∴OD＝BD，
∵O（0，0），B（4，2），
∴D（2，1），
根据题意设平移后直线的解析式为y＝3x+b，
∵D（2，1），
∴1＝3×2+b，解得b＝﹣5，
∴平移后的直线的解析式为y＝3x﹣5，
∴直线y＝3x+1 要向下平移6 个单位，
∴时间为3 秒，
故答案为：3．
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16．如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，点E 是直线AB 上的一个动点，且△AEC 是以
AC 为腰的等腰三角形，则∠BCE＝
67.5°
或
22.5°
或
45°
．
【分析】根据△AEC 是以AC 为腰的等腰三角形，进行分类讨论即可求解．
【解答】解：当AC＝AE 时．
以A 为圆心，AC 为半径作圆交直线AB 于点E．
当E 在BA 的延长线时．
∴∠EAC＝135°．
∴∠BEC＝22.5°．
∴∠BCE＝∠BCA+∠BEC＝67.5°．
当E 在AB 的延长线时．
∴∠EAC＝45°．
∴∠ACE＝67.5°．
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°．
当AC＝CE 时．
当以C 为圆心AC 为半径作圆交直线AB 于点E．
∴∠EAC＝∠CEA＝45°．
∴∠BCE＝45°．
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故答案为：67.5°或45°或22.5°．
三、解答题（本大题共10 小题，共68 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6 分）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C
（﹣1，0）．
（1）画出将△ABC 关于原点O 中心对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1 点的坐标
（
2 ，﹣
3 ）
；
（2）画出将△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C 的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．A1点的坐标（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
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（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
18．（5 分）某地区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超
出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决
策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了不完整的统计图（每组数
据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是
100
．
（2）补全频数分布直方图，扇形图中“15 吨～20 吨”部分的圆心角的度数＝
79.2°
．
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25 吨，那么估计该地区10 万用户中约有
多少用户的用水全部享受基本价格？
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间关系进行计算即可；
（2）求出15～20 吨的户数即可；
（3）求出样本中用水量不超过25 吨的户所占得百分比即可．
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【解答】解：（1）10÷10%＝100（户），
故答案为：100；
（2）100﹣10﹣36﹣24﹣8＝22（户），
补全频数分布直方图如图所示：
360°×
＝79.2°，
故答案为：79.2°；
（3）10×
＝6.8（万户），
答：该地区10 万用户中约有6.8 万用户的用水全部享受基本价格．
19．（5 分）某品种小麦种子在相同条件下的发芽试验的结果如表：
每批小麦粒
数n
100
150
200
500
800
1000
发芽的粒数
m
65
108
146
355
560
700
发芽的频率
0.65
①
0.73
0.72
0.70
②
（1）请你完成上面的表格：①
0.72
；②
0.70
．
（2）该品种小麦种子发芽的概率估计值是多少？简要说明理由．
【分析】（1）根据频率＝发芽的粒数÷每批小麦粒数求解即可；
（2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件发生的频率近似等于概率求解即可．
【解答】解：（1）表中①的数值为108÷150＝0.72，②的数值为700÷1000＝0.70；
故答案为：0.72、0.70；
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（2）该品种小麦种子发芽的概率估计值是0.70，
理由：在相同条件下，多次实验，某一事件发生的频率近似等于概率．
20．（6 分）如图，在▱ABCD 中，点E、F 在直线AC 上，且AE＝CF．求证：DE∥BF．
【分析】根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得∠DEA＝
∠BFC，从而证得DE∥BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAF＝∠BCE，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE 和△CBF 中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DEA＝∠BFC，
∴DE∥BF．
21．（6 分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EC 平分∠BED．
（1）△BEC 是否为等腰三角形？为什么？
（2）已知AB＝1，∠ABE＝45°，求BC 的长．
【分析】（1）求出∠DEC＝∠ECB＝∠BEC，推出BE＝BC 即可；
（2）求出AE＝AB＝1，根据勾股定理求出BE 即可．
【解答】解：（1）△BEC 是等腰三角形，
理由是：∵四边形ABCD 是矩形，
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∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵EC 平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BE＝BC，
即△BEC 是等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝AEB＝45°，
∴AB＝AE＝1，
由勾股定理得：BE＝
＝
，
即BC＝BE＝
．
22．（6 分）利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90°
，
CO
是斜边
AB
边上的中线
；
求证：
CO
＝
AB
；
证明：
【分析】延长CO 至点E，使CO＝OE，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC 是矩形，
再根据矩形的性质可得CO＝
AB；
【解答】已知：Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CO 是斜边AB 边上的中线；
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求证：CO＝
AB；
证明：如图，延长CO 至点E，使CO＝OE，连接AE、BE，
∵CO＝OE，点O 为AB 中点，
∴OA＝OC，
∴四边形AEBC 为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形AEBC 是矩形，
∴CE＝AB，
∵CO＝
CE，
∴CO＝
AB；
故答案为：Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CO 是斜边AB 边上的中线；CO＝
AB．
23．（8 分）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 边的中点，过点A 作
AF∥CB 交CE 的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形BDAF 为矩形，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到∠ADB＝90°，由（1）知四边形BDAF 为平行四边形，
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则▱BDAF 是矩形．
【解答】（1）证明：∵点D 是BC 的中点，
∴BD＝CD，
∵点E 是AD 边的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD；
（2）解：△ABC 满足：AB＝AC 时，四边形BDAF 为矩形，
理由如下：
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
由（1）知四边形BDAF 为平行四边形，
∴▱BDAF 为矩形．
24．（8 分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A，D 不重
合），G、F、H 分别是BE、BC、CE 的中点．
（1）证明：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，证明：四边形EGFH 是正方
形．
【分析】（1）根据中位线定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF＝GE，从而可判断出四
边形EGFH 的形状．
（2）连接EF，则根据等腰直角三角形斜边中线的性质可判断出EF 与BC 的关系．
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【解答】证明：（1）∵G、F 分别是BE、BC 的中点，
∴GF∥EC，
同理FH∥BE，
∴四边形EGFH 是平行四边形；
（2）连接GH．
∵G、H 分别是BE，CE 的中点，
∴GH∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥GH，
又∵四边形EGFH 是平行四边形，
∴四边形EGFH 是菱形，
∵BE⊥EC，F 是BC 的中点，
∴EF＝
BC，
∵G、H 分别是BE、CE 的中点，
∴GH＝
BC，
∴EF＝GH，
∴平行四边形EGFH 是正方形．
25．（8 分）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD 的顶点A、B 分别在OM、ON 上，AB＝
13，OB＝5，E 为AC 上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE 与ON 交于点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）判断DF 与ON 的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF 的周长为
24
．
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【分析】（1）利用正方形的性质，即可得到△BCE≌△DCE（SAS），根据全等三角形
的性质即可得到BE＝DE．
（2）依据∠EDC＝∠CBN，∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，即可得出∠2+∠CBN＝
90°，进而得到DF⊥ON；
（3）过C 作CG⊥ON 于G，过D 作DH⊥CG 于H，则∠CGB＝∠AOB＝90°，四边形
DFGH 是矩形，利用全等三角形的对应边相等，即可得到DF＝HG＝17，GF＝DH＝5，
BF＝BG﹣GF＝7，进而得出△BEF 的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 正方形，
∴CA 平分∠BCD，BC＝DC，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝DE．
（2）DF⊥ON，理由如下：
∵△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵∠EBC＝∠CBN，
∴∠EDC＝∠CBN，
∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠CBN＝90°，
∴∠EFB＝90°，
即DF⊥ON；
（3）如图所示，过C 作CG⊥ON 于G，过D 作DH⊥CG 于H，则∠CGB＝∠AOB＝
90°，四边形DFGH 是矩形，
又∵∠ABC＝90°，
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∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBG，
∴∠BAO＝∠CBG，
又∵AB＝BC，
∴△ABO≌△BCG（AAS），
∴BG＝AO＝
＝12，CG＝BO＝5，
同理可得△CDH≌△BCG，
∴DH＝CG＝5，CH＝BG＝12，
∴HG＝5+12＝17，
∴DF＝HG＝17，GF＝DH＝5，
∴BF＝BG﹣GF＝12﹣5＝7，
∴△BEF 的周长＝BF+EF+BE＝BF+EF+DE＝BF+DF＝7+17＝24，
故答案为：24．
26．（10 分）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）
相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形ABCD 中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD 是“准矩形”；
如图②，在四边形ABCD 中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD 是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1 的正方形网格中，A、B、C 在格点（小正方形的顶点）上，请
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分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD 和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′
在格点上）；
（2）下列说法正确的有
①②③④
；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；
②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；
④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC 中，∠ABC＝90°，以AC 为一边向外作“准菱形”ACEF，且
AC＝EC，AF＝EF，AE、CF 交于点D．
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF 是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD＝
，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四
边形ACEF 的面积．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据矩形和菱形的判定定理即可得到结论；
（3）①根据全等三角形的性质得到∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，求得∠ACF＝
∠EFC，∠ECF＝∠AFC，推出AC∥EF，AF∥CE，根据菱形的判定定理即可得到结论；
②首先取AC 的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，然后求出
∠BGD＝90°，即可判断出△BGD 是等腰直角三角形；最后解直角三角形，分别求出
AD、CD 的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF 的面积为多少即可．
【解答】解：（1）如图③所示，四边形ABCD 即为所求；
如图④所示，四边形ABCD′即为所求；
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（2）①如图①，当CD∥AB，
∴∠D+∠A＝∠C+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠D＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD 是矩形，故①正确；
②如下图，连接BD，
∵∠A＝∠C＝90°，CD＝AB，BD＝BD，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD 是矩形，故②正确；
③如图②，∵AD＝AB，CD＝CB，AD＝BC，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
∴四边形ABCD 是菱形；
④如图②，连接BD，
∵AD＝AB，CD＝CB，
∴∠ADB＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，
当AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠ABD，
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∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是菱形；
故正确的有①②③④，
故答案为：①②③④；
（3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，
∴△ACF≌△ECF（SSS），
∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，
∵∠ACE＝∠AFE，
∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，
∴AC∥EF，AF∥CE，
∴准菱形ACEF 是平行四边形，
∵AC＝EC，
∴准菱形ACEF 是菱形；
②如图⑤，取AC 的中点G，连接BG、DG、BD．
∵四边形ACEF 是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝30°，∠ACB＝15°，
∵DG＝GA＝GC＝GB，
∴∠GCD＝∠GDC＝30°，∠GCB＝∠GBC＝15°，
∴∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，
∴∠BGD＝30°+60°＝90°，
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∴△BGD 是等腰直角三角形，
∴BG＝DG＝
BD＝1，
∴AC＝2DG＝2，
∴AD＝2×sin30°＝1，
∴CD＝2×cos30°＝
，
∴菱形ACEF 的面积为：
×1×
×4＝2
．
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