文档文本内容
苏科版七年级下册数学第一次月考试卷
一、选择题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6
B．x3•x3＝x9
C．x3÷x﹣1＝x4
D．（2xy）3＝2x3y
2．以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．4，4，8
C．3，10，4
D．4，5，10
3．若三角形的底边长为2a+1，该底边上的高为2a﹣1，则此三角形的面积为（ ）
A．4a2﹣1
B．4a2﹣4a+1
C．4a2+4a+1
D．2a2﹣
4．若a＝﹣0.32，b＝﹣3﹣2，c＝（﹣
）﹣2，d＝（﹣
）0，则（ ）
A．a＜b＜c＜d
B．b＜a＜d＜c
C．a＜d＜c＜b
D．c＜a＜d＜b
5．下列说法正确的有几个？（ ）
①平移不改变图形的形状和大小；
②一个多边形的内角中最多有3 个锐角；
③一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线
上）且相等；
④同位角相等；
⑤一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
6．如图，用不同的代数式表示阴影部分的面积，可以表示下面哪个等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a（a+b）＝a2+ab
二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
1
7．计算：
＝ ．
8．比较大小：810 167．
9．某种感冒病毒的直径是0.00000712 米，用科学记数法表示为 米．
10．一个等腰三角形的两边分别是5cm 和9cm，则三角形的周长是 ．
11．已知x2﹣2mx+4 是关于x 的完全平方式，则m 的值为 ．
12．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝130°，则∠2＝ °．
13．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是 ．
14．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
15．计算：20203﹣2019×2020×2021＝ ．
16．如图，大正方形卡片边长为a，小正方形卡片边长为b，取出两张小卡片放入大卡片内
拼成图案．已知图中的阴影部分A 的面积等于B、C 的面积和，那么a、b 的关系式是
．
三．解答题（共102 分）
17．计算：
（1）tm+1•t+（﹣t）2•tm（m 是整数）；
（2）
；
（3）（x+y）（x﹣y）（x2+y2）；
（4）
；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
（5）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．
18．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，△ABC 的三个顶点的位置
如图所示．现将△ABC 平移，使点A 变换为点D，点E、F 分别是B、C 的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）求出平移过程中AB 扫过的面积．
19．化简求值：（﹣2y﹣x）（2y﹣x）﹣（x+2y）2，其中x＝﹣1，y＝﹣2．
20．已知（x﹣2）（x2﹣mx+n）的结果中不含x2项和x 的项，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的
值．
21．如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：
①BC 边上的高AD；
②∠A 的角平分线AE．
（2）试求∠DAE 的度数．
22．（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；
（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8 的值．
23．如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝75°，∠1：∠2＝5：7，求∠1 和∠B 的度数．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
3
24．若x+y＝6，且（x+2）（y+2）＝24．
（1）求xy 的值；
（2）求x2+y2的值；
（3）求x4+y4的值．
25．如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE 平分∠ABC 交CD 于E，DF 平分∠ADC
交AB 于F．
（1）若∠ABC＝60°，则∠ADC＝ °，∠AFD＝ °；
（2）BE 与DF 平行吗？试说明理由；
（3）若把题目中的条件“∠A＝∠C＝90°”换成“∠A＝∠C”，其它条件不变，
BE 与DF 还平行吗？试说明理由．
26．如图1，将三角板ABC 与三角板ADE 摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE
＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，
记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α 为 度时，AD∥BC，并在图3 中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD 与∠BAE 之间的关系；
（3）当△ADE 旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC 的某一边平行（不共线）时，
直接写出时间t 的所有值．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
4
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
5
参考答案与试题解析
一．选择题（共6 小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6
B．x3•x3＝x9
C．x3÷x﹣1＝x4
D．（2xy）3＝2x3y
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据
积的乘方，可判断D．
【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A 错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B 错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C 正确；
D、积的乘方等于乘方的积，故D 错误；
故选：C．
2．以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．4，4，8
C．3，10，4
D．4，5，10
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、3+4＞5，能构成三角形；
B、4+4＝8，不能构成三角形；
C、3+4＜10，不能构成三角形；
D、4+5＜10，不能构成三角形．
故选：A．
3．若三角形的底边长为2a+1，该底边上的高为2a﹣1，则此三角形的面积为（ ）
A．4a2﹣1
B．4a2﹣4a+1
C．4a2+4a+1
D．2a2﹣
【分析】利用三角形的面积等于底与高乘积的一半列示求解即可．
【解答】解：三角形的面积为：
（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣
，
故选：D．
4．若a＝﹣0.32，b＝﹣3﹣2，c＝（﹣
）﹣2，d＝（﹣
）0，则（ ）
A．a＜b＜c＜d
B．b＜a＜d＜c
C．a＜d＜c＜b
D．c＜a＜d＜b
【分析】先分别计算出结果，再比较大小．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
6
【解答】解：a＝﹣0.32＝﹣0.09，
b＝﹣3﹣2＝﹣
，
c＝（﹣
）﹣2＝9，
d＝（﹣
）0＝1．
故b＜a＜d＜c．
故选：B．
5．下列说法正确的有几个？（ ）
①平移不改变图形的形状和大小；
②一个多边形的内角中最多有3 个锐角；
③一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线
上）且相等；
④同位角相等；
⑤一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据平行线的性质，平移的性质，多边形的内角与外角的性质进行判断即可．
【解答】解：①平移不改变图形的形状和大小，故①说法正确；
②一个多边形的内角中最多有3 个锐角，故②说法正确；
③一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线
上）且相等，故③说法正确；
④同位角只有在两直线平行的情况下相等，④说法错误；
⑤一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，故⑤说法错误．
故选：B．
6．如图，用不同的代数式表示阴影部分的面积，可以表示下面哪个等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
7
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a（a+b）＝a2+ab
【分析】对阴影部分的面积算两次即可得出答案．方法一、正方形的面积公式；方法二、
大正方形面积减去一个小正方形和两个矩形的面积之和得到阴影部分的面积，即可得出
等式．
【解答】解：阴影部分面积：方法一：（a﹣b）2，
方法二：大正方形面积为：a2，
小正方形面积为b2，
两个矩形面积为2（a﹣b）b＝2ab﹣2b2，
∴阴影部分面积为：a2﹣b2﹣（2ab﹣2b2）＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：C．
二．填空题（共10 小题）
7．计算：
＝
．
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝
．
故答案为：
．
8．比较大小：810 ＞ 167．
【分析】根据幂的乘方运算法则把它们化为底数是2 的幂，再比较大小即可．
【解答】解：因为810＝（23）10＝230，167＝（24）7＝228．
所以810＞167．
故答案为：＞．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
8
9．某种感冒病毒的直径是0.00000712 米，用科学记数法表示为
7.12×10
﹣ 6
米．
【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：0.00000712＝7.12×10﹣6．
故答案为：7.12×10﹣6．
10．一个等腰三角形的两边分别是5cm 和9cm，则三角形的周长是
19
或
23
cm
．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，
所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）当腰是5cm 时，三角形的三边是：5cm，5cm，9cm，能构成三角形，
则等腰三角形的周长＝5+5+9＝19cm；
（2）当腰是9cm 时，三角形的三边是：5cm，9cm，9cm，能构成三角形，
则等腰三角形的周长＝5+9+9＝23cm．
因此这个等腰三角形的周长为19 或23cm．
故答案为：19 或23cm．
11．已知x2﹣2mx+4 是关于x 的完全平方式，则m 的值为
±2
．
【分析】根据完全平方式得出﹣2mx＝±2•x•2，求出即可．
【解答】解：∵x2﹣2mx+4 是一个完全平方式，
∴﹣2mx＝±2•x•2，
∴m＝±2，
故答案为：±2．
12．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝130°，则∠2＝
65
°．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据翻折变换的性质解答．
【解答】解：∵纸条是长方形，
∴对边互相平行，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣130°＝50°，
∴∠2＝
（180°﹣∠3）＝
（180°﹣50°）＝65°．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
9
故答案为：65．
13．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是
5
．
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和
360°除以72°，计算即可得解．
【解答】解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
∴这个正多边形是正五边形．
故答案为：5．
14．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
360°
．
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA，由四边
形内角和是360°，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠FAD+∠EDA，
∴∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
＝∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．
又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
15．计算：20203﹣2019×2020×2021＝
2020
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10
【分析】利用平方差公式将2020×2021 化为（2020﹣1）×（2020+1）]，即可得出答案．
【解答】解：原式＝2020×[20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）]
＝2020×（20202﹣20202+1）
＝2020×1
＝2020．
故答案为：2020．
16．如图，大正方形卡片边长为a，小正方形卡片边长为b，取出两张小卡片放入大卡片内
拼成图案．已知图中的阴影部分A 的面积等于B、C 的面积和，那么a、b 的关系式是
a 2 ＝
2 b 2
．
【分析】阴影A 为正方形，其边长为2b﹣a，得到其面积为＝（2b﹣a）2；阴影B、C 为
正方形，其边长为a﹣b，得到其面积＝（a﹣b）2；然后根据阴影部分A 的面积等于阴
影部分B、C 的面积和建立等量关系（2b﹣a）2＝2（a﹣b）2，去括号、移项、合并同
类项得到2b2＝a2．
【解答】解：阴影A 的面积＝（2b﹣a）2，阴影B、C 的面积分别＝（a﹣b）2；
根据题意得，（2b﹣a）2＝2（a﹣b）2，
4b2﹣4ab+a2＝2a2﹣4ab+2b2，
∴2b2＝a2．
故答案为：a2＝2b2．
三．解答题
17．计算：
（1）tm+1•t+（﹣t）2•tm（m 是整数）；
（2）
；
（3）（x+y）（x﹣y）（x2+y2）；
（4）
；
（5）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算；（2）根据同底数幂
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
11
的乘法法则进行计算；
（3）根据平方差公式进行运算；
（4）先用幂的乘方公式，再用平方差公式的逆运算，再用完全平方公式计算；
（5）先把第一个因式化成[a﹣（2b﹣3）]，再与后面的因式[a+（2b﹣3）]运用平方差
公式计算；
【解答】解：（1）原式＝tm+2+t2•tm
＝tm+2+tm+2
＝2tm+2；
（2）原式＝﹣x6•4x2y4•（﹣
）
＝x9y7；
（3）原式＝（x2﹣y2）（x2+y2）
＝x4﹣y4；
（4）原式＝[（
）（
）]2
＝（
﹣
）2
＝
﹣
+
；
（5）原式＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]
＝a2﹣（2b﹣3）2
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
18．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，△ABC 的三个顶点的位置
如图所示．现将△ABC 平移，使点A 变换为点D，点E、F 分别是B、C 的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 平行且相等 ；
（3）求出平移过程中AB 扫过的面积．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
12
【分析】（1）分别作出B，C 的对应点E，F 即可．
（2）利用平移的性质解决问题即可．
（3）利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF 即为所求作．
（2）AD＝CF，AD∥CF．
故答案为：平行且相等；
（3）线段AB 扫过的面积＝6×8﹣2×
×2×4﹣2×
×6×2＝28
19．化简求值：（﹣2y﹣x）（2y﹣x）﹣（x+2y）2，其中x＝﹣1，y＝﹣2．
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再代入x，y 的值计算即可．
【解答】解：（﹣2y﹣x）（2y﹣x）﹣（x+2y）2
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣（x2+4xy+4y2）
＝x2﹣4y2﹣x2﹣4xy﹣4y2
＝﹣4xy﹣8y2，
当x＝﹣1，y＝﹣2 时，原式＝﹣4×（﹣1）×（﹣2）﹣8×（﹣2）2＝﹣40．
20．已知（x﹣2）（x2﹣mx+n）的结果中不含x2项和x 的项，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
13
值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x2 项和x3 项，确定出m
与n 的值代入所求式子计算即可．
【解答】解：原式＝x3﹣mx2+nx﹣2x2+2mx﹣2n＝x3+（﹣m﹣2）x2+（n+2m）x﹣2n，
由结果不含x2项和x 项，得到﹣m﹣2＝0，n+2m＝0，
解得：m＝﹣2，n＝4，
∴（m+n）（m2﹣mn+n2）＝（﹣2+4）[（﹣2）2﹣（﹣2）×4+42]＝2×28＝56．
21．如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：
①BC 边上的高AD；
②∠A 的角平分线AE．
（2）试求∠DAE 的度数．
【分析】（1）利用直角三角板一条直角边与BC 重合，沿BC 平移使另一直角边过A 画
BC 边上的高AD 即可；再根据角平分线的做法作∠A 的角平分线AE；
（2）首先计算出∠BAE 的度数，再计算出∠BAD 的度数，利用角的和差关系可得答案．
【解答】（1）如图所示；
（2）在△ABC 中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵AE 平分∠BAC，
∴∠BAE＝
∠BAC＝15°，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
14
在Rt△ADB 中，∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠BAE＝35°．
22．（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；
（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8 的值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2
＝3÷52×2
＝
；
（2）∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8
＝2x﹣2y×8
＝2×8．
＝16．
23．如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝75°，∠1：∠2＝5：7，求∠1 和∠B 的度数．
【分析】设∠1＝5x°，∠2＝7x°，在△ABE 中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠2＝80°﹣7x°，在
△CDE 中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠1﹣∠2＝105°﹣12x°，根据平行线的性质得出∠B＝
∠CDE，代入得出方程80°﹣7x°＝105°﹣12x°，求出即可．
【解答】解：设∠1＝5x°，∠2＝7x°，
在△ABE 中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠2＝180°﹣100°﹣7x°＝80°﹣7x°，
在△CDE 中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠1﹣∠2＝180°﹣75°﹣5x°﹣7x°＝105°﹣12x°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDE，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
15
∴80°﹣7x°＝105°﹣12x°，
解得：x＝5，
∴∠1＝25°，∠B＝80°﹣7x°＝45°．
24．若x+y＝6，且（x+2）（y+2）＝24．
（1）求xy 的值；
（2）求x2+y2的值；
（3）求x4+y4的值．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则可得xy+2x+2y+4＝24，即xy+2（x+y）＝
20，再把x+y＝6 代入求解即可；
（2）（3）根据完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）∵（x+2）（y+2）＝24，
∴xy+2x+2y+4＝24，
即xy+2（x+y）＝20，
∵x+y＝6，
∴xy＝20﹣2×6＝8；
（2）∵x+y＝6，xy＝8，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×8＝20；
（3）∵x2+y2＝20，xy＝8，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2（xy）2＝202﹣2×82＝272．
25．如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE 平分∠ABC 交CD 于E，DF 平分∠ADC
交AB 于F．
（1）若∠ABC＝60°，则∠ADC＝
120
°，∠AFD＝
30
°；
（2）BE 与DF 平行吗？试说明理由；
（3）若把题目中的条件“∠A＝∠C＝90°”换成“∠A＝∠C”，其它条件不变，
BE 与DF 还平行吗？试说明理由．
【分析】（1）根据四边形内角和为360°可计算出∠ADC＝120°，再根据角平分线定义
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
16
得到∠FDA＝
ADC＝60°，然后利用互余可计算出∠AFD＝30°；
（2）由四边形的内角和为360 度求出∠ADC+∠ABC 度数，由DF、BE 分别为角平分线，
利用角平分线定义及等量代换得到∠ABE+∠FDC 为90 度，再由直角三角形ADF 两锐
角互余及∠ADF＝∠FDC，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线
平行即可得证；
（3）根据∠ADC+∠ABC+∠A+∠C＝360°，∠A＝∠C，可得∠ADC+∠ABC＝360°﹣
2∠C，根据BE 平分∠ABC 交CD 于E，DF 平分∠ADC 交AB 于F，所以∠CBE+∠CDF
＝
（∠ADC+∠ABC）＝
（360°﹣2∠C）＝180°﹣∠C，根据三角形内角和定理可得
∠CBE+∠CEB＝180°﹣∠C，可得∠CDF＝∠CEB，进而可得BE∥DF．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝120°，
∵DF 平分∠ADC 交AB 于F，
∴∠FDA＝
ADC＝60°，
∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝30°；
故答案为120，30；
（2）BE∥DF，理由如下：
在四边形ABCD 中，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∵BE 平分∠ABC 交CD 于E，DF 平分∠ADC 交AB 于F，
∴∠ADF＝∠FDC，∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE+∠FDC＝90°，
∵∠AFD+∠ADF＝90°，∠ADF＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ABE，
∴BE∥DF；
（3）BE∥DF，理由如下：
∵∠ADC+∠ABC+∠A+∠C＝360°，∠A＝∠C，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣2∠C，
∵BE 平分∠ABC 交CD 于E，DF 平分∠ADC 交AB 于F，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
17
∴∠CDF＝
∠ADC，∠CBE＝
∠ABC，
∴∠CBE+∠CDF＝
（∠ADC+∠ABC）＝
（360°﹣2∠C）＝180°﹣∠C，
∵∠CBE+∠CEB＝180°﹣∠C，
∴∠CBE+∠CDF＝∠CBE+∠CEB，
∴∠CDF＝∠CEB，
∴BE∥DF．
26．如图1，将三角板ABC 与三角板ADE 摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE
＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，
记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α 为
15
度时，AD∥BC，并在图3 中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD 与∠BAE 之间的关系；
（3）当△ADE 旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC 的某一边平行（不共线）时，
直接写出时间t 的所有值．
【分析】（1）通过画图，即可求解；
（2）分①当0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°时3 种情况，画图计算即可；
（3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC 四种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，
图形如下：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
18
故答案为15；
（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①如上图，当0°＜α≤45°时，
α+β＝90°，α+γ＝45°，
故β﹣γ＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
同理可得：γ+β＝45°，
③当90°＜α＜180°时，
同理可得：γ﹣β＝45°；
（3）①当AD∥BC 时，α＝15°，t＝3；
②当DE∥AB 时，α＝45°，t＝9；
③当DE∥BC 时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC 时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC 时，α＝150°，t＝30；
综上，t＝3 或9 或21 或27 或30．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
