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北师大版八年级下册数学第一次月考试卷
一．选择题（每题3 分，共30 分）
1．已知x＞y，则下列不等式成立的是（ ）
A．x﹣1＜y﹣1
B．3x＜3y
C．﹣x＜﹣y
D
．
2．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8
B．10
C．14
D．10
或14
3．用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ）
A．x＞1
B．x＜1
C．x≥1
D．x≤1
4．如果关于x 的不等式（a﹣1）x＞a﹣1 的解集为x＜1，那么a 的取值范围是
（ ）
A．a≤1
B．a≥1
C．a＜1
D ．a
＜0
5．如图，在△ABC 中，BC＝8，AB 垂直平分线交AB 于点M，交AC 于点D，△BDC
的周长为18，则AC 为（ ）
A．10
B．16
C．18
D．26
6．若不等式组
的解集是x＞2，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m≥2
C．m＜2
D
．
m≤2
7．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交
AC、AB 于点M、N，再分别以点M、N 为圆心，以一个定长为半径画弧，两弧交
于点P，作射线AP 交BC 于点D．若AC＝4，BC＝3，则CD 的长为（ ）
A．
1
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B．
C．
D．
8．如图，直线y1＝x＋b 与y2＝kx﹣1 相交于点P，点P 的横坐标为﹣1，则关于x 的不
等式x＋b＜kx﹣1 的解集是（ ）
A．x≥﹣1
B．x＞﹣1
C．x≤﹣1
D．x＜﹣1
9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B 是两格点，如果P
也是图中的格点，且使得△ABP 为等腰三角形，则点P 的个数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线AE，BF 相交于点O，AE 交BC 于
E，BF 交AC 于F，过点O 作OD⊥BC 于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋
∠C；②当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC
＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
二．填空题（每题3 分，共15 分）
11．不等式x﹣2＞1 的解集为________．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：________（写出一个条件即可），可使
Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
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13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AB＝8，
则BD＝_______．
14．如图，直线y＝kx＋b（b＞0）经过点（2，0），则关于x 的不等式kx＋b≥0 的解
集是________．
15．在第1 个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B 上取一点C，延长AA1到A2，使
得A1A2＝A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做
法进行下去，第1 个三角形的以A1为顶点的内角的度数为 ；第n 个三角形
的以An为顶点的内角的度数为________．
三．解答题（共55 分）
16．（8 分）解不等式（组）：
（1）4x＋5≥6x﹣3；
（2）
．
17．（7 分）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来、说明所有
整数解．
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18．（7 分）已知不等式组
的解集为﹣1＜x＜1，求（a＋1）（b﹣1）的值．
19．（7 分）如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为AB 延长线上一点，点
E 在BC 上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠CFA 的度数．
20．（8 分）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的洗衣机，若购进1 台甲
型洗衣机和2 台乙型洗衣机，共需要资金2600 元；若购进2 台甲型洗衣机和3 台
乙型洗衣机，共需要资金4400 元．
（1）求甲、乙型号的洗衣机每台进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的洗衣机销售，预计用不多于1.8 万元且不少于
1.74 万元的资金购进这两种型号的洗衣机共20 台，请问有几种进货方案？请写出
进货方案；
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21．（9 分）对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 及点Q，给出如下定义：
若点Q 满足QM＝QN，则称点Q 为线段MN 的“中垂点”；当QM＝QN＝MN 时，
称点Q 为线段MN 的“完美中垂点”．
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA 的中垂点是________．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，
）
（2）如图2，点A 为x 轴上一点，若Q（2，2
）为线段OA 的“完美中垂点”，写
出线段OQ 的两个“ 完美中垂点” 是________ 和________ ，两者的距离是
________．
（3）若点A 为x 轴正半轴上一点，点Q 为线段OA 的“完美中垂点”，点P（0，m）
在y 轴上，在线段PA 上方画出线段AP 的“完美中垂点”M，直接写出MQ＝
（用含m 的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
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22．（9 分）如图，在△ABC 中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8cm，直线
CM⊥BC，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒2 厘米的速度运动，动点E 也
同时从点C 开始在直线CM 上以每秒1 厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时
间为t 秒．
（1）求AB 的长；
（2）当t 为多少时，△ABD 的面积为10cm2？
（3）当t 为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图
形）．
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参考答案与试题解析
一．选择题
1．已知x＞y，则下列不等式成立的是（ ）
A．x﹣1＜y﹣1
B．3x＜3y
C．﹣x＜﹣y
D
．
【解答】解：A、根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），
不等号的方向不变，故本选项错误；
B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故本选项错误；
C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，正确；
D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变．故本选项错误．
故选：C．
2．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8
B．10
C．14
D．10
或14
【解答】解：①当2 为底时，其它两边都为6，
2、6、6 可以构成三角形，
则该等腰三角形的周长为14；
②当2 为腰时，
其它两边为2 和6，
∵2＋2＜6，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为14．
故选：C．
3．用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ）
A．x＞1
B．x＜1
C．x≥1
D
．
x≤1
【解答】解：由题意，得x≥1，
故选：C．
4．如果关于x 的不等式（a﹣1）x＞a﹣1 的解集为x＜1，那么a 的取值范围是
（ ）
A．a≤1
B．a≥1
C．a＜1
D ．a
＜0
【解答】解：由于不等式（a﹣1）x＞a﹣1 的解集为x＜1，
可知不等号的方向发生了改变：x＜
，
可判断出a﹣1＜0，
所以a＜1．
故选：C．
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5．如图，在△ABC 中，BC＝8，AB 垂直平分线交AB 于点M，交AC 于点D，△BDC
的周长为18，则AC 为（ ）
A．10
B．16
C．18
D．26
【解答】解：∵MN 是AB 的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△BDC 的周长为18，
∴BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝18，
∵BC＝8，
∴AC＝10，
故选：A．
6．若不等式组
的解集是x＞2，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m≥2
C．m＜2
D
．
m≤2
【解答】解：因为不等式组
的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，
当m＝2 时，不等式组
的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交
AC、AB 于点M、N，再分别以点M、N 为圆心，以一个定长为半径画弧，两弧交
于点P，作射线AP 交BC 于点D．若AC＝4，BC＝3，则CD 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点D 作DE⊥AB 于点E，如图所示：
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∵∠C＝90°，由作图方法可知AP 是∠BAC 的平分线，
∴CD＝DE，设CD＝DE＝x，
在Rt△ABC 中，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5．
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，DC＝DE，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE＝4，
∴EB＝1，
在Rt△DEB 中，
∵BD2＝DE2＋BE2，
∴（3﹣x）2＝x2＋12，
解得：x＝
．
故选：B．
8．如图，直线y1＝x＋b 与y2＝kx﹣1 相交于点P，点P 的横坐标为﹣1，则关于x 的不
等式x＋b＜kx﹣1 的解集是（ ）
A．x≥﹣1
B．x＞﹣1
C．x≤﹣1
D ．x
＜﹣1
【解答】解：当x＜﹣1 时，x＋b＜kx﹣1，
即不等式x＋b＜kx﹣1 的解集为x＜﹣1．
故选：D．
9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B 是两格点，如果P
也是图中的格点，且使得△ABP 为等腰三角形，则点P 的个数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB 为等腰△ABC 的底边时，符合条件的C 点有4 个；
②AB 为等腰△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有4 个．
故选：D．
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10．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线AE，BF 相交于点O，AE 交BC 于
E，BF 交AC 于F，过点O 作OD⊥BC 于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋
∠C；②当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC
＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D
．
①③
【解答】解：∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝
∠CBA，∠OAB＝
∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣
∠CBA﹣
∠CAB＝180°﹣
（180°﹣
∠C）＝90°＋
∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC＋∠ABC＝120°，
∵AE，BF 分别是∠BAC 与ABC 的平分线，
∴∠OAB＋∠OBA＝
（∠BAC＋∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB 上取一点H，使BH＝BE，
∵BF 是∠ABC 的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO 和△EBO 中，
，
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∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO 和△FAO 中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC 于H，OM⊥AB 于M，
∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O，
∴点O 在∠C 的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b
∴S△ABC＝
×AB×OM＋
×AC×OH＋
×BC×OD＝
（AB＋AC＋BC）•a＝ab，③正确．
故选：C．
二．填空题
11．不等式x﹣2＞1 的解集为
x ＞
3
．
【解答】解：x﹣2＞1，
x﹣2＋2＞1＋2，
x＞3．
故答案为：x＞3．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：
AC
＝
AD
（写出一个条件即可），可
使Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
11
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【解答】解：条件是AC＝AD（答案不唯一），
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC 和Rt△ABD 中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AB＝8，
则BD＝
2
．
【解答】解：Rt△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝
AB＝4，
在Rt△BCD 中，
∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝
BC＝2．
故答案为：2．
14．如图，直线y＝kx＋b（b＞0）经过点（2，0），则关于x 的不等式kx＋b≥0 的解
集是 ．
【解答】解：由图象可得：当x≤2 时，kx＋b≥0，
所以关于x 的不等式kx＋b≥0 的解集是x≤2．
15．在第1 个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B 上取一点C，延长AA1到A2，使
得A1A2＝A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做
12
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法进行下去，第1 个三角形的以A1为顶点的内角的度数为
75°
；第n 个三角形
的以An为顶点的内角的度数为
．
【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝
＝75°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A 是△A1A2C 的外角，
∴∠CA2A1＝
＝37.5°；
同理可得∠DA3A2＝18.75°，∠EA4A3＝9.375°，
∴∠An＝
，
故答案为：75°；
．
三．解答题
16．解不等式（组）：
（1）4x＋5≥6x﹣3；
（2）
．
【解答】解：（1）移项得：4x﹣6x≥﹣3﹣5，
合并同类项得：﹣2x≥﹣8，
系数化为1 得：x≤4；
（2）
，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
17．解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来、说明所有整数解．
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【解答】解：
，
解不等式①，2（2x﹣1）﹣3（5x﹣1）≤12，
4x﹣2﹣15x＋3≤12，
4x﹣15x≤12＋2﹣3，
﹣11x≤11，
x≥﹣1，
解不等式②，3x﹣1＜2x＋2，
3x﹣2x＜2＋1，
x＜3，
在数轴上表示如下：
所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
整数解有﹣1、0、1、2．
18．已知不等式组
的解集为﹣1＜x＜1，求（a＋1）（b﹣1）的值．
【解答】解：解不等式组
得2b＋3＜x＜
，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
∴
＝1 且2b＋3＝﹣1，
解得a＝﹣1，b＝﹣2，
则原式＝（﹣1＋1）×（﹣2﹣1）＝0．
19．如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC
上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠CFA 的度数．
【解答】（1）证明：如图，∵∠ABC＝∠CBF＝90°，
∴在Rt△ABE 和Rt△CBF 中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
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（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝45°﹣30°＝15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠CFA＝90°﹣15°＝75°．
20．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的洗衣机，若购进1 台甲型洗衣
机和2 台乙型洗衣机，共需要资金2600 元；若购进2 台甲型洗衣机和3 台乙型洗
衣机，共需要资金4400 元．
（1）求甲、乙型号的洗衣机每台进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的洗衣机销售，预计用不多于1.8 万元且不少于
1.74 万元的资金购进这两种型号的洗衣机共20 台，请问有几种进货方案？请写出
进货方案；
【解答】解：（1）设每台甲型洗衣机的进价为x 元，每台乙型洗衣机的进价为y 元，
依题意得：
，解得：
．
答：每台甲型洗衣机的进价为1000 元，每台乙型洗衣机的进价为800 元．
（2）设购进甲型洗衣机a 台，则购进乙型洗衣机（20﹣a）台，
依题意得：
，
解得：7≤a≤10，
又∵a 为正整数，
∴a 可以为7，8，9，10，
∴共有4 种进货方案，
方案1：购进甲型洗衣机7 台，乙型洗衣机13 台；
方案2：购进甲型洗衣机8 台，乙型洗衣机12 台；
方案3：购进甲型洗衣机9 台，乙型洗衣机11 台；
方案4：购进甲型洗衣机10 台，乙型洗衣机10 台．
21．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 及点Q，给出如下定义：
若点Q 满足QM＝QN，则称点Q 为线段MN 的“中垂点”；当QM＝QN＝MN 时，称
点Q 为线段MN 的“完美中垂点”．
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA 的中垂点是
Q 2 ．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，
）
（2）如图2，点A 为x 轴上一点，若Q（2，2
）为线段OA 的“完美中垂点”，写
出线段OQ 的两个“完美中垂点”是
A （
4 ，
0 ）
和
Q ′（﹣
2 ，
2
） ，
两者的距离是
4
．
（3）若点A 为x 轴正半轴上一点，点Q 为线段OA 的“完美中垂点”，点P（0，m）
在y 轴上，在线段PA 上方画出线段AP 的“完美中垂点”M，直接写出MQ＝
m
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（用含m 的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
【解答】解：（1）∵若点Q 满足QM＝QN，则称点Q 为线段MN 的“中垂点”；
∴Q 在MN 的垂直平分线上，
∵线段OA 的对称点在OA 的垂直平分线上，且A（4，0），O（0，0），
∴线段OA 的中垂点横坐标为2，
∴Q2（2，﹣4）符合题意，
故答案为Q2．
（2）如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A 和点Q 是线段OQ 的“完美中
垂点”，
∴A（4，0），Q′（﹣2，2
），
AQ′＝
＝4
，
故答案为：A（4，0），Q′（﹣2，2
），4
．
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（3）如图3 中，以PA 为边，向上作等边三角形PAM，连接QM．
∵点Q 为线段OA 的“完美中垂点”，
∴△AOQ 是等边三角形，
∴∠OAQ＝∠PAM＝60°，
∴∠OAP＝∠QAM，
在△OAP 和△QAM 中，
∴△OAP≌△QAM（SAS），
∴OP＝QM＝m，∠AOP＝∠AQM＝90°，
故答案为：m，90°．
22．如图，在△ABC 中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动
点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒2 厘米的速度运动，动点E 也同时从点C
开始在直线CM 上以每秒1 厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t 秒．
（1）求AB 的长；
（2）当t 为多少时，△ABD 的面积为10cm2？
（3）当t 为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图
形）．
【解答】解：（1）∵在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴2AB2＝BC2，
∴AB＝
＝4
cm；
（2）过A 作AF⊥BC 交BC 于点F，则AF＝
BC＝4cm，
∵S△ABD＝10cm2
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∴AF×BD＝20，
∴BD＝5cm．
若D 在B 点右侧，则CD＝3cm，t＝1.5s；
若D 在B 点左侧，则CD＝13cm，t＝6.5s．
（3）动点E 从点C 沿射线CM 方向运动
秒或当动点E 从点C 沿射线CM 的反向延长
线方向运动8 秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当E 在射线CM 上时，D 必在CB 上，则需BD＝CE．
∵CE＝t，BD＝8﹣2t
∴t＝8﹣2t，
∴t＝
，
证明：在△ABD 和△ACE 中
∵
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E 在CM 的反向延长线上时，D 必在CB 延长线上，则需BD＝CE．
∵CE＝t，BD＝2t﹣8，
∴t＝2t﹣8，
∴t＝8，
证明：在△ABD 和△ACE 中∵
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
18
