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北师大版七年级下册数学期末试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，计30 分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3 分）计算20210＝（ ）
A．0
B．1
C．2021
D．
2．（3 分）下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）新冠病毒（2019﹣nCoV）平均直径约为100nm（纳米）．1nm＝10﹣9m，100nm 用科学
记数法可以表示为（ ）
A．0.1×10﹣6m
B．10×10﹣8m
C．1×10﹣7m
D．1×1011m
4．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6
B．﹣a•a3＝﹣a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
D．2a2+3a2＝5a4
5．（3 分）在下列条件中，能判定直线c 与d 平行的是（ ）
A．∠1＝∠3
B．∠2＝∠5
C．∠2+∠4＝180°
D．∠4+∠5＝180°
6．（3 分）长度分别为2，3，3，4 的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但
不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．（3 分）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使
△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
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1
A．BC＝DC，∠A＝∠D
B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD
D．BC＝EC，∠B＝∠E
8．（3 分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图
案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m 的长方形，将不规则图案
围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次
数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了
②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2
B．7m2
C．8m2
D．9m2
9．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A→B→C→D 的路径匀速前进到D
为止．在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是（ ）
A．
B．
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2
C．
D．
10．（3 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC、AD、AB
于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
二、填空题（共4 小题，每小题3 分，计12 分）
11．（3 分）若∠A＝35°，则∠A 的余角大小是 ．
12．（3 分）若a﹣b＝1，ab＝﹣2，则（a﹣2）（b+2）＝ ．
13．（3 分）如果圆柱的底面半径是2cm，那么圆柱的体积V（cm3）与高h（cm）之间的关系式为
．
14．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，CD＝3，DB＝5，点
E 在边AB 上运动，连接DE，则线段DE 长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9 小题，计58 分）
15．（5 分）计算：4xy2（2x﹣xy）÷（2xy）2．
16．（5 分）如图，∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝105°，求∠4 的度数．
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3
17．（5 分）如图，在△ABC 中，AB＞AC，请用尺规作图法，在BC 边上求作一点P，使得AP＝
PB．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（6 分）先化简，再求值：
（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝
．
19．（6 分）甲、乙两人玩赢卡片游戏，工具是一个如图所示的转盘（等分成8 份），游戏规定：
自由转动的转盘，当转盘停止后指针指向字母“A”，则甲输给乙2 张卡片，若指针指向
字母“B”，则乙输给甲3 张卡片；若指针指向字母“C”，则乙输给甲1 张卡片（如果指
针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）转动一次转盘，求甲赢取1 张卡片的概率；
（2）转动一次转盘，求乙赢取2 张卡片的概率；
（3）转动一次转盘，求甲赢取卡片的概率．
20．（6 分）如图，C 是线段AB 的中点，且CD∥BE，CD＝BE．试猜想AD 与CE 平行吗？
并说明理由．
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4
21．（7 分）如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝40°．边AB 的垂直平分线分别交BC、AB 于点
D 和点F，连接AD，作∠CAD 的平分线交BC 于点E，求∠DAE 的度数．
22．（8 分）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就
是对环境的保护．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）
与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．
（1）图中点A 表示的实际意义是什么？当0≤x≤150 时，行驶1 千米的平均耗电量是多少；
当150≤x≤200 时，行驶1 千米的平均耗电量是多少？
（2）当行驶了120 千米时，求蓄电池的剩余电量；行驶多少千米时，剩余电量降至20 千瓦．
23．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与
B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE 交线段AC 于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D 从B 向C 运动时，
∠BDA 逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC 等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出
∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，计30 分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．【分析】依据零指数幂：a0＝1（a≠0），即可得到答案．
【解答】解：20210＝1，
故选：B．
2．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，
直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁
的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁
的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
3．【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0 的个数所决定．
【解答】解：100nm＝100×10﹣9m＝1×10﹣7m．
故选：C．
4．【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各
项进行运算即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A 符合题意；
B、﹣a•a3＝﹣a4，故B 不符合题意；
C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故C 不符合题意；
D、2a2+3a2＝5a2，故D 不符合题意；
故选：A．
5．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠3 不能判定c∥d，
故A 不符合题意；
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由∠2＝∠5 不能判定c∥d，
故B 不符合题意；
∵∠2+∠4＝180°，
∴a∥b，
故C 不符合题意；
如图，
∵∠4+∠5＝180°，∠5＝∠6，
∴∠4+∠6＝180°，
∴c∥d，
故D 符合题意，
故选：D．
6．【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
7．【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B ．AC ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EC ，符合全等三角形的判定定理SSS ，能推出
△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
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∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出
△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：A．
8．【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则
图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：
，
当事件A 试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故
由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：
，解得x＝7．
故选：B．
9．【分析】根据点P 的运动过程可知：△APD 的底边为AD，而且AD 始终不变，点P 到直线
AD 的距离为△APD 的高，根据高的变化即可判断S 与t 的函数图象．
【解答】解：设点P 到直线AD 的距离为h，
∴△APD 的面积为：S＝
AD•h，
当P 在线段AB 运动时，
此时h 不断增大，S 也不断增大
当P 在线段BC 上运动时，
此时h 不变，S 也不变，
当P 在线段CD 上运动时，
此时h 不断减小，S 不断减少，
又因为匀速行驶且CD＞AB，所以在线段CD 上运动的时间大于在线段AB 上运动的时间
故选：C．
10．【分析】根据已知条件“AB＝AC，D 为BC 中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC 的
垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或
“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
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【解答】解：∵AB＝AC，D 为BC 中点，
∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，
在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF 垂直平分AC，
∴OA＝OC，AE＝CE，
在△AOE 和△COE 中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD 和△COD 中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC 和△AOB 中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
二、填空题（共4 小题，每小题3 分，计12 分）
11．【分析】根据“如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角”求解即可．
【解答】解：∵∠A＝35°，
∴∠A 的余角＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
12．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣b＝1，ab＝﹣2，
∴原式＝ab+2（a﹣b）﹣4＝﹣2+2﹣4＝﹣4，
故答案为：﹣4
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13．【分析】根据圆柱的体积公式即可作答．
【解答】解：根据圆柱的体积＝底面积×高得：
V＝4πh，
故答案为：V＝4πh．
14．【分析】当DE⊥AB 时，线段DE 的长度最小，根据角平分线的性质得出CD＝DE，代入求
出即可．
【解答】解：当DE⊥AB 时，线段DE 的长度最小（根据垂线段最短），
∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3，
即线段DE 的长度的最小值是3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共9 小题，计58 分）
15．【分析】根据整式的乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝（8x2y2﹣4x2y3）÷（4x2y2）
＝2﹣y．
16．【分析】先利用平行线的判定证明a∥b，再利用平行线的性质和对顶角的性质求∠4 的度
数．
【解答】解：∵∠1＝70°，∠2＝70°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠5．
又∠3＝105°，
∴∠5＝105°，
∴∠4＝∠5＝105°．
17．【分析】作线段AB 的垂直平分线交BC 于点P，点P 即为所求．
【解答】解：如图，点P 即为所求．
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18．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，把x、y
的值代入计算即可．
【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y）
＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy
＝﹣x2﹣3xy，
当x＝﹣2，y＝
时，原式＝﹣（﹣2）2﹣3×（﹣2）×
＝﹣4+3＝﹣1．
19．【分析】根据已知条件得出共有8 种等可能的结果，甲赢取卡片有4 种结果，乙赢取2 张
片有4 种结果，甲赢取1 卡张片有3 种结果，再根据概率公式即可求出（1）（2）（3）．
【解答】解：共有8 种等可能的结果，甲赢取卡片有4 种结果，乙赢取2 张片有4 种结果，甲
赢取1 张卡片有3 种结果，
（1）甲赢取1 张卡片的概率是：
；
（2）乙赢取2 张卡片的概率是：
＝
；
（3）甲赢取卡片的概率是：
＝
；
20．【分析】根据C 是线段AB 的中点，可得AC＝BC，再根据CD∥BE，可得∠ACD＝∠CBE，
再根据SAS 证明△ACD 和△CBE 全等，得∠A＝∠BCE，进而证明AD∥CE．
【解答】解：AD 与CE 平行，理由如下：
∵C 是线段AB 的中点，
∴AC＝BC，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD 和△CBE 中，
，
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∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠A＝∠BCE，
∴AD∥CE．
21．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝
∠B＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，进而求出∠DAC，根据角平分线的定义解
答即可．
【解答】解：∵DF 是AB 的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠DAC＝110°﹣30°＝80°，
∵AE 是∠CAD 的平分线，
∴∠DAE＝
∠DAC＝40°．
22．【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35 千瓦时时汽车已行驶了150 千米，进而解
答即可；
（2）把x＝120 代入即可求出当汽车已行驶180 千米时，蓄电池的剩余电量．
【解答】解：（1）由图象可知，A 点表示充满电后行驶150 千米时，剩余电量为35 千瓦时；
当0≤x≤150 时，行驶1 千米的平均耗电量是
千瓦时；
当150≤x≤200 时，行驶1 千米的平均耗电量是
千瓦时；
（2）60﹣
＝40（千瓦时），
（千米），150+30＝180（千米）
答：当汽车已行驶120 千米时，蓄电池的剩余电量为40 千瓦时．汽车已行驶180 千米时，
蓄电池的剩余电量为20 千瓦时．
23．【分析】（1）根据∠BDA＝115°以及∠ADE＝40°，即可得出∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣
∠ADE，进而求出∠DEC 的度数，
（2）当DC＝2 时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝
∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE，
（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．
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【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA 逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2 时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE 的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA 的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE 的形状是等腰三角形．
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