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人教版八年级上册数学期末试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．下列四个手机APP 图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点A 坐标为（3，﹣2），点B 与点A 关于x 轴对称，则点B 的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣3，2）
C．（2，﹣3）
D．（3，2）
3．下列运算正确的是（ ）
A．（2x2）3＝6x6
B．x6÷x3＝x2
C．3x2﹣x2＝3
D．x•x4＝x5
4．若分式
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠1
B．x≠﹣1
C．x＝1
D．x＝﹣1
5．已知图中的两个三角形全等，则∠α 的度数是（ ）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
6．若关于x 的多项式x2+mx﹣28 可因式分解为（x﹣4）（x+7），则m 的值为（ ）
A．﹣3
B．11
C．﹣11
D．3
7．内角和等于外角和的多边形是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
8．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm
B．3cm
C．7cm 或3cm
D．8cm
9．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D，交AB 于点E．如果AC＝5cm，BC＝4cm，那
么△DBC 的周长是（ ）
A．7cm
B．8cm
C．9cm
D．10cm
10．以下说法正确的是（ ）
①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；
②有两条边相等的两个直角三角形全等；
③有一边相等的两个等边三角形全等；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
A．①②
B．②④
C．①③
D．①③④
二、填空题（本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分）
11．因式分解：2a﹣2b＝ ．
12．计算：
＝ ．
13．已知△ABC 中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝ cm．
14．如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角度数为 ．
15．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交BC 于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD
＝ ．
16．如图，△ABC≌△AED，点D 在BC 边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE 的度数是 ．
17．对两实数x，y 定义一种新运算
，规定
⊗
x⊗y＝
，例如：1⊗2＝
，若
a⊗2＝1，则a 的值为 ．
三．解答题（共62 分）
18 解方程：
．
19 按照要求完成以下作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）尺规作图：请在直线AB 上作一点P，使得PC＝PD．
（2）在直线AB 上作一点P′，使得P'C+P'D 的值最小．
20 如图，△ABC 中，∠C＝2∠DAC，∠B＝75°，AD 是△ABC 的高，求∠BAC 的度数．
21 随着《广州市深化生活垃圾分类处理三年行动计划（2019﹣2021）》的正式印发，广州市全面
开启城乡生活垃圾分类全覆盖．为推进垃圾分类行动，某工厂购进甲、乙两种型号智能机器人
用来进行垃圾分类，用360 万元购买甲型机器人和用480 万元购买乙型机器人的台数相同，两
种型号机器人的单价和为140 万元，求甲、乙两种型号机器人每台各多少万元？
22 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：
BE＝CF．
23 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019 年9 月份的日历，我们任意
选择两组其中所示的四个数（阴影表示），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的
结果都是48，例如：8×10﹣2×16＝48；19×21﹣13×27＝48．请解答：再选择一个类似的部
分试一试，看看是否符合这个规律；如果符合，利用整式的运算对这个规律加以证明．
24 先阅读下列材料：
分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1．
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M 还原，得原式＝
（a+b﹣1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1．
（2）化简：
．
25 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且它们的腰也分别相等，
则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
（1）如图1，若△ABC 与△ADE 互为“顶补等腰三角形”．∠BAC＞90°，AM⊥BC 于M，AN⊥ED
于N，求证：DE＝2AM；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，在四边形ABCD 的
内部是否存在点P，使得△PAD 与△PBC 互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不
存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．下列四个手机APP 图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．已知点A 坐标为（3，﹣2），点B 与点A 关于x 轴对称，则点B 的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣3，2）
C．（2，﹣3）
D．（3，2）
【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：∵点A 坐标为（3，﹣2），点B 与点A 关于x 轴对称，
∴点B 的坐标为：（3，2）．
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（2x2）3＝6x6
B．x6÷x3＝x2
C．3x2﹣x2＝3
D．x•x4＝x5
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法、乘法，合并同类项法则分别求出每个式
子的值，再进行判断即可．
【解答】解：A、结果是8x6，故本选项错误；
B、结果是x3，故本选项错误；
C、结果是2x2，故本选项错误；
D、结果是x5，故本选项正确；
故选：D．
4．若分式
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠1
B．x≠﹣1
C．x＝1
D．x＝﹣1
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】接：由题意，得
x﹣1≠0，
解得x≠1，
故选：A．
5．已知图中的两个三角形全等，则∠α 的度数是（ ）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等
a 与a，c 与c 分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角
∴∠α＝50°
故选：D．
6．若关于x 的多项式x2+mx﹣28 可因式分解为（x﹣4）（x+7），则m 的值为（ ）
A．﹣3
B．11
C．﹣11
D．3
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m 即可．
【解答】解：（x﹣4）（x+7）
＝x2+7x﹣4x﹣28
＝x2+3x﹣28，
∵关于x 的多项式x2+mx﹣28 可因式分解为（x﹣4）（x+7），
∴m＝3，
故选：D．
7．内角和等于外角和的多边形是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据外
角和等于内角和列方程求解．
【解答】解：设所求n 边形边数为n，
则360°＝（n﹣2）•180°，
解得n＝4．
∴外角和等于内角和的多边形是四边形．
故选：B．
8．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm
B．3cm
C．7cm 或3cm
D．8cm
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当腰是3cm 时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应
舍去．
当底边是3cm 时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：B．
9．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D，交AB 于点E．如果AC＝5cm，BC＝4cm，那
么△DBC 的周长是（ ）
A．7cm
B．8cm
C．9cm
D．10cm
【分析】由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，又由AC＝
5cm，BC＝4cm，即可求得△DBC 的周长．
【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC 的周长是：BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝5+4＝9（cm）．
故选：C．
10．以下说法正确的是（ ）
①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；
②有两条边相等的两个直角三角形全等；
③有一边相等的两个等边三角形全等；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
A．①②
B．②④
C．①③
D．①③④
【分析】根据全等三角形的判定方法或者举出反例能证明原命题是错误的，分别判断各命题的
正误即可．
【解答】解：①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；根据HL 可证得两
直角三角形全等，此命题正确；
②有两条边相等的两个直角三角形不一定全等；比如一直角三角形的两直角边和另一个直角三
角形的一直角边和一斜边相等，则这两个直角三角形并不全等；原命题错误；
③有一边相等的两个等边三角形全等，符合SSS 定理，此命题正确；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，根据SSA 并不能证明三角形全等；
故原命题错误；
故选：C．
二．填空题（共7 小题）
11．因式分解：2a﹣2b＝
2 （
a ﹣
b ）
．
【分析】直接提取公因式2 即可分解因式．
【解答】解：2a﹣2b＝2（a﹣b）．
故答案为：2（a﹣b）．
12．计算：
＝
x ﹣
1
．
【分析】根据同分母分式的加减，分母不变，只把分子相加减，计算求解即可．
【解答】解：
＝
＝x﹣1．
故答案为：x﹣1．
13．已知△ABC 中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝
5
cm．
【分析】先判定△ABC 是等边三角形，再根据BC 的长，即可得出AC 的长．
【解答】解：∵△ABC 中，AB＝AC，
∴△ABC 是等腰三角形，
又∵∠A＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵BC＝5cm，
∴AC＝5cm，
故答案为：5．
14．如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角度数为
135°
．
【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
【解答】解：这个正八边形每个内角的度数＝
×（8﹣2）×180°＝135°．
故答案为：135°．
15．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交BC 于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD
＝
15
．
【分析】过点D 作DE⊥AB 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利
用△ABD 的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D 作DE⊥AB 于E，
∵∠C＝90°，AD 平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝
AB•DE＝
×10×3＝15，
故答案为15．
16．如图，△ABC≌△AED，点D 在BC 边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE 的度数是
65°
．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠C，AD＝AC，根据等腰三角形的
性质、三角形内角和定理求出∠ADE＝∠ADC＝∠C＝65°．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠C，AD＝AC，
∴∠DAC＝∠EAB＝50°，
∴∠ADE＝∠ADC＝∠C＝65°，
故答案为：65°．
17．对两实数x，y 定义一种新运算
，规定
⊗
x⊗y＝
，例如：1⊗2＝
，若
a⊗2＝1，则a 的值为 ﹣
．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算求出解即可得到a 的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：
＝1，
去分母得：a2+4a+4＝a2+2，
解得：a＝﹣
，
检验：当a＝﹣
时，a2+2≠0，
∴分式方程的解为a＝﹣
．
故答案为：﹣
．
三．解答题
18 解方程：
．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x+3）＝12x，
去括号得：3x+9＝12x，
解得：x＝1，
检验：当x＝1 时，2x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
19 按照要求完成以下作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）尺规作图：请在直线AB 上作一点P，使得PC＝PD．
（2）在直线AB 上作一点P′，使得P'C+P'D 的值最小．
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）作线段CD 的垂直平分线交AB 于点P，点P 即为所求作．
（2）作点C 关于AB 的对称点C′，连接DC′交AB 于点P′，连接CP′，点P′即为所求作．
【解答】解：（1）如图，点P 即为所求作．
（2）如图，点P′即为所求作．
20 如图，△ABC 中，∠C＝2∠DAC，∠B＝75°，AD 是△ABC 的高，求∠BAC 的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】45°．
【分析】利用三角形的内角和等于180°和直角三角形的两个锐角互余即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠B＝75°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣75°＝15°，
又∵∠C＝2∠DAC，
∴3∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝45°．
21 随着《广州市深化生活垃圾分类处理三年行动计划（2019﹣2021）》的正式印发，广州市全面
开启城乡生活垃圾分类全覆盖．为推进垃圾分类行动，某工厂购进甲、乙两种型号智能机器人
用来进行垃圾分类，用360 万元购买甲型机器人和用480 万元购买乙型机器人的台数相同，两
种型号机器人的单价和为140 万元，求甲、乙两种型号机器人每台各多少万元？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】甲型机器人每台60 万元，乙型机器人每台80 万元．
【分析】设甲型机器人每台x 万元，则乙型机器人每台（140﹣x）万元，根据“用360 万元购
买甲型机器人和用480 万元购买乙型机器人的台数相同”列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲型机器人每台x 万元，则乙型机器人每台（140﹣x）万元，
根据题意得：
＝
，
解得：x＝60，
经检验，x＝60 是原方程的解，且符合题意，
则140﹣x＝80，
答：甲型机器人每台60 万元，乙型机器人每台80 万元．
22 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：
BE＝CF．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲证明BE＝CF，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF 即可；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD 为∠BAC 的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF．
23 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019 年9 月份的日历，我们任意
选择两组其中所示的四个数（阴影表示），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的
结果都是48，例如：8×10﹣2×16＝48；19×21﹣13×27＝48．请解答：再选择一个类似的部
分试一试，看看是否符合这个规律；如果符合，利用整式的运算对这个规律加以证明．
【考点】有理数的混合运算；整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【答案】10×12﹣4×18＝120﹣72＝48，证明过程见解答．
【分析】根据2019 年9 月份的日历和题意，可以选择一组数据试一试是否符合规律，然后可以
设左边的数字，然后即可表示出其他位置的数字，再对式子化简，即可证明规律成立．
【解答】解：选择4，10，12，18，
10×12﹣4×18＝120﹣72＝48，符合这个规律；
证明：设左边数字是x，则上边的数字是x﹣6，下边数字是x+8，右边数字是x+2，
x（x+2）﹣（x﹣6）（x+8）
＝x2+2x﹣x2﹣2x+48
＝48，
故x（x+2）﹣（x﹣6）（x+8）＝48 这一规律成立．
24 先阅读下列材料：
分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1．
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M 还原，得原式＝
（a+b﹣1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1．
（2）化简：
．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）（a+1）4；（2）n2+3n+1．
【分析】（1）运用“整体思想”设a2+2a＝M，代入原式运用完全平方式进行因式分解即可；
（2）先将原式变形，设n2+3n＝M，代入原式运用完全平方分解因式后，再约分即可．
【解答】解：（1）设a2+2a＝M，
原式＝（M+2）M+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
将M 还原得，原式＝（a2+2a+1）2＝（a+1）4；
（2）设n2+3n＝M，
原式＝
＝
，
将M 还原得，原式＝n2+3n+1．
25 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且它们的腰也分别相等，
则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
（1）如图1，若△ABC 与△ADE 互为“顶补等腰三角形”．∠BAC＞90°，AM⊥BC 于M，AN⊥ED
于N，求证：DE＝2AM；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，在四边形ABCD 的
内部是否存在点P，使得△PAD 与△PBC 互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不
存在，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】阅读型；三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“顶补等腰三角形”的定义，得到边、角之间的关系，进而证得∠B＝
∠2，再利用AAS 证明△ABM≌△DAN 即可得证；
（2）连接AC，取AC 的中点P，连接PB，PD，利用△ADC≌△ABC 和直角三角形斜边的中线等腰
斜边的一半，证明PA＝PB＝PC＝PD，再根据△PDC≌△PBC，证明顶角互补即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC 与△ADE 互为“顶补等腰三角形”，
∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠B＝∠C，
又∵AM⊥BC，AN⊥ED，
∴∠3＝∠4＝90°，∠1＝∠2，DE＝2DN，
∴∠BAC+2∠2＝180°，
又∵∠BAC+2∠B＝180°，
∴∠B＝∠2，
在△ABM 和△DAN 中，
，
∴△ABM≌△DAN（AAS），
∴AM＝DN，
∴DE＝2AM；
（2）存在．
证明：如图2，连接AC，取AC 的中点P，连接PB，PD，
∵AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC
∴△ADC≌△ABC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵P 是AC 的中点，
∴PB＝PA＝PC＝
AC，PD＝PA＝PC＝
AC．
∴PA＝PB＝PC＝PD，
又∵DC＝BC，PB＝PD，PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC（SSS），
∴∠DPC＝∠BPC，
∵∠APD+∠DPC＝180°，∠APD+∠BPC＝180°
∴△APD 与△BPC 互为“顶补等腰三角形”．
